1 Ileidig De vraag is of de spelers i het spel Fatasie 24 (ee variat va observatie roulette), gespeeld i casio YYY te ZZZ, ivloed kue hebbe op de kasb

Transcriptie

1 Behedigheid bij Fatasie 24? R.D. Gill, C.G.M. Oudshoor 4 maart 1997 Samevattig Dit artikel is ee aagepaste versie va ee verslag wat geschreve is.a.v. ee oderzoek voor ee casio. Dit oderzoek gig over de vraag of het spel Fatasie 24 (ee vorm va observatieroulette) ee behedigheidsspel da wel kasspel is. We hebbe ee model opgesteld dat de behedigheid meet als gewoge gemiddelde over de izette va persoe (wat gelijk blijkt te zij aa de fractie va de gemiddelde wist over de dage e het gemiddeld verlies over de dage). De wet op de kasspele ka daarmee ee uitspraak ka geve over de vraag of het spel ee behedigheidspel of ee kasspel is. Om ee betrouwbaarheidsiterval va deze fractie te bepale wordt gestudetiseerde bootstrap gebruikt, waarmee ee tweede orde correcte bovegres is verkrege. Mathematisch Istituut, Rijksuiversiteit Utrecht, Postbus 80010, 3508 TA Utrecht

2 1 Ileidig De vraag is of de spelers i het spel Fatasie 24 (ee variat va observatie roulette), gespeeld i casio YYY te ZZZ, ivloed kue hebbe op de kasbepalig, d.w.z. of het spel behedig gespeeld ka worde. Om hier ee statistische uitspraak over te doe heeft het casio YYY op os verzoek data verzameld. De data bestaa uit de etto wist (va de bak) e totale izet (va de spelers), per dag, over ee aaeesluitede periode va 56 dage. Het spel Fatasie 24 bestaat uit o.a. ee schijf met 26 vakjes waar het balletje, a te zij gelaceerd door ee mechaisme, terecht komt. Op alle 26 vakjes ka igezet worde. Allee bij uitbetalig wordt gedaa alsof er 24 vakjes zij, d.w.z. de speler die op het juiste vakje heeft igezet krijgt 24 keer zij/haar izet. Als we erva uitgaa dat de kas dat ee balletje i ee bepaald vakje terecht komt gelijk is voor elk vakje (e daarmee dus 1 ), 26 da geeft de wet va de grote aatalle os dat a ee zeer lage periode, als de spelers puur `op de gok' izette, precies 1 va de izet aa de bak toevalt. 13 De Nederladse wetgevig zegt dat het verbode is om kasspele te exploitere zoder verguig. De wet is echter erg vaag over waeer ee spel ee behedigheidsspel is da wel ee kasspel. I het Sature-arrest va de Hoge Raad i 1965 is beslote dat ee spel als behedigheidsspel geclassiceerd wordt als de meerderheid va de spelers i de praktijk behedig spele. Als spelers, gemiddeld geome, behedig zoude spele, da zou de verwachte fractie va de izet die aar de bak toe gaat kleier moete zij da 1. Deze fractie ka 13 atuurlijk iet exact bepaald worde; maar we kue de fractie wel schatte aa de had va de verzamelde gegeves. Ee redelijke schattig blijkt te zij: fractie d gemiddelde wist over 56 dage = gemiddelde izet over 56 dage Deze fractie is ee verhoudig tusse twee gemiddelde, allebei geome over de dage. Maar de fractie ka ook herschreve worde als ee gewoge gemiddelde, over de deelemede spelers, va het totale verlies va elke speler gedeeld door zij totale izet; er is gewoge aar de totale izette va de spelers. Dus ee speler die twee keer zoveel igezet heeft, wordt twee keer zo zwaar gewoge. E dat is de maier waarop we behedigheid wille mete. De gemete fractie ka dus geiterpreteerd worde als ee gemiddeld waargeome (o)behedigheid. Ee waarde dicht bij 1 duidt op volledige obehedigheid; ee kleier 13 waarde duidt op aawezigheid va eige behedigheid. Ee waarde kleier da 0 zou betekee dat de casio verlies maakt; zo' grote gemiddeld behedigheid va de spelers zal haast omogelijk zij. I (de mathematische) sectie 2 zal, oder bepaalde aaames, ee beaded 95% betrouwbaarheidsiterval afgeleid worde voor de, og precies te deiere, gemiddelde behedigheid. De coclusie zal gegeve worde i sectie 3. Om deze aaames te kue rechtvaardige zij eige statistische oderzoekige gedaa die beschreve staa i sectie 4. Er is gee rede tot twijfel gevode.

3 dag totale izet etto speelwist per dag i sestertie per dag i sestertie Figuur 1: data

4 Het zal blijke dat we de behedigheid va spelers kue uitdrukke i ee gemiddelde over de dage e daarom is het iet odig om data va idividuele spelers te verzamele. Dit zou echter ook te kostbaar e eigelijk iet mogelijk zij geweest omdat de spelers da te veel beivloed zoude worde tijdes het observere e we daardoor gee `praktijksituatie' meer hebbe. Veel eevoudiger is het als ee waaremer bij elk spel de totale izet oteert e aa het eid va de dag de bak de totale wist va die dag vermeldt. Deze gegeves zij ook voldoede om de aalyse uit te voere. Kort samegevat: het waargeome gemiddeld verlies va de spelers was 3,4%, terwijl bij obehedig spele het verlies 7,7% zou zij geweest. Ee beaderede 95% bovegres voor het gemiddeld verlies is 4,2%. I al deze bewerige zij idividuele spelers meegereked everedig aa hu totale izet. 2 Statistische Theorie We wille ee uitspraak doe over de gemiddelde behedigheid t.a.v. het spel Fatasie 24. We veroderstelle daarom het volgede model voor speler j op dag i: E [X ij j Y ij ; j ]=Y ij j met X ij de wist va de bak va speler j, dag i Y ij de izet va speler j, dag i j de (o)behedigheid va speler j : Merk op dat de speler verodersteld wordt ee vaste behedigheid te hebbe maar op verschillede dage verschillede izette te doe. Vele va deze izette moge ul zij; d.w.z., de speler speelt allee op ee beperkt aatal dage. Gesommeerd over de dage geeft dit voor ee speler j: E [X j j j ;Y j ]= j Y j (1) Zij V; I; resp. het verlies (totaal over de dage), izet (totaal over de dage) e behedigheid va ee radom gekoze speler. Volges (1) geldt voor deze speler (door het eme va verwachtige aa beide kate): oftewel E [V ]=E [ I ] E [V ] E [I] = E [I] E [I] def = gem : (2) Hierbij is gem de gemiddelde behedigheid, iet te opzichte va de oorsprokelijke verdelig va over spelers, maar te opzichte va de d.m.v. I gewoge verdelig. gem wille we schatte. Weges (2) ligt het voor de had om gem te schatte met P j X j = P j Y j e dat is gelijk aa X =Y = P i X i = P i Y i, oftewel ee fractie over de daggemiddelde. Het is dus voldoede om dagtotale waar te eme. Deieer u X i de etto wist va het casio op dag i (voorhee X i ) e Y i de etto izet bij het casio op dag i (voorhee Y i ). Volges (2 ) geldt: gem = E(X i )=E(Y i ).

5 Zoals hiervoor uitgelegd, is gem gelijk aa de gewoge gemiddelde (o)behedigheid va alle spelers (gewoge aar izet). We zulle veroderstelle dat de steekproef va dagtotale ee `radom sample' is, dat wil zegge, opeevolgede dage zij oafhakelijk e idetiek verdeeld. Dit is iet exact waar: er zulle treds zij i de loop der tijd; dag-eecte (weekeid versus weekdage); e teslotte, als ee speler meerdere dage of zelfs regelmatig aa het spel deeleemt is er ee afhakelijkheid over de dage aagezie dezelfde spelersbehedigheid op meerdere dage ee bijdrage levert. I sectie 3 rapportere we over het empirisch oderzoek aar mogelijke afhakelijkheid e iet-idetiek verdeeldheid. Oze coclusies zij dat hoewel we ee gerige mate va tred, dag-eecte, e afhakelijkheid hebbe gecostateerd, dit iet voldoede sterk is om oze coclusies uitgaad va ee `radom sample' model aa te taste. gem gaa we schatte met ^: ^ = X Y = 1 1 P X i i=1 P Y i i=1 met als uitkomst ^ =0:034. M.b.v. 1 e orde taylorexpasie krijge we dat de asymptotische variatie va ^ gelijk is aa: 2 = 1 2 X 2 Y + 2 Y 2 X 4 Y! X 1, 2 X Y + 3 o ; Y oder de voorwaarde dat de dichtheid va Y i ee omgevig va ul 0 is. 2 is da ee gladde fuctie va de 1 e e 2 e momete va (X; Y ). We zij op zoek aar ee 95 % betrouwbaarheidsiterval voor gem, d.w.z. gezocht b ST ( 1); b 2 ST (1, 1 ) z.d.d. : 2 P( b ST ( 1) 2 gem b ST (1, 1 )) = 1, : 2 Aagezie de asymptotische variatie va ^ obeked is zulle we deze schatte met ^ 2 : ^ 2 = 1 S2 X + S 2 Y X 2 Y 2 Y 4, 2S XY X Y 3 (met S 2 X ;S2 Y resp. de steekproefvariatie va X e Y e S XY de steekproefcovariatie). De geschatte variatie is gelijk aa 0:0043. Deieer u K(y) =P(^,1 (^, gem ) y) e y x = K,1 (x), oftewel als b ST ( 1 2 ) = ^, ^ y 1, 1 2 e b ST (1, 1 2 ) = ^, ^ y 1 2 da is de kas dat gem tusse deze 2 greze ligt gelijk aa 1, ; formeel: 1 A : P( b ST ( 1) 2 gem b ST (1, 1 )) = 1, : 2

6 De grootheid ^, gem ^ is asymptotisch ormaal dus (met K de ormale verdelig ) ee beaderede 95 % betrouwbare bovegres is De fout die we make is va de orde, 1 2. Om ee sterker resultaat te krijge zulle we u bootstraptechieke gaa toepasse door de verdelig K te schatte i.p.v. te veroderstelle dat K ee ormale verdelig is. We hope dat de geschatte K, otatie f K,voor!1aar K covergeert. f K geeft da schatters voor de quatiele va K. Deze schatter zal tweede orde correct zij d.w.z (voor ee tweezijdig iterval is de deitie aaloog): Deitie 2.1 Ee schatter ~ () is ee tweede orde correcte bovegres voor als de bedekkigsfout va de orde,1 is, d.w.z. P( ~ ()) = + O(,1 ) voor!1. We zij dus op zoek aar de verdelig K va T = ^,1 (^, gem ) die afhagt va de data (e dus va P = de empirische verdelig va de data) door ^ e ^ e va F, de verdelig va (X; Y ) door gem. Bootstrap komt er grofweg op eer dat je uit de data radom m keer (met bv. m = 1000) ee steekproef ter grootte trekt, F vervagt door P e P vervagt door P de empirische verdelig va de radom getrokke steekproef. Formeel: Zij ( X f i1 ; Y e i1 );:::; X f i ; Y e i ) ee radom getrokke steekproef uit P (i = 1;:::;). Bereke voor elke i: 0 1 P 1 fx ij 0 0 f 11 j=1 P, ^ C S2 X e ey + S2 Y e X 2, 2S, X e Y e X f 1 2 AA 2 ey 4 ey 3 et i = ~, ^ ~ = 1 j=1 ey 1 Deze T e i geve ee verdelig K(y) f = P(~,1 ( ~, ^) y) die ee schatter voor K is. Omdat os model i het gladde model past va P. Hall (1988) krijge we hiermee gelijk de covergetie va K f aar K voor!1kado. Als y x := K f,1 (x) da zij e ST ( 1 2 )=^, ^ y 1, 1 2 e e ST (1, 1 2 )=^, ^ y 1 2 tweede orde correcte greze voor het 95 % betrouwbaarheidsiterval va. Merk op dat ee 90 % betrouwbaarheidsiterval voor gem ee bovegres voor gem geeft met ee obetrouwbaarheid va5%. Dit hebbe we gebruikt om ee beaderede 95 % betrouwbare bovegres voor gem te berekee, amelijk (=4,1 %). De uitkomste va de simulaties staa samegevat i guur 3. De tweede orde correcte greze geve u dat P[ gem e ST (1, 1 )] = 2 1,+O(,1 ). Dus de bedekkigsfout is va orde,1 i.p.v., 1 2 voor eezijdige betrouwbaarheidsitervalle. Het verschil tusse beide methode is i dit geval erg klei, amelijk We wete echter dat asymptotisch gezie de fout i het beadere va de bovegres aazielijk kleier is m.b.v. de gestudetiseerde bootstrap. E omdat het aatal waaremige

7 bootstrapped studetized ratios of meas bigboot Figuur 2: gestudetiseerde ratios va gemiddelde iet zo groot is geeft dit ee grote reductie va de fout. Voor tweezijdige betrouwbaarheidsitervalle echter heeft de tweede orde correctheid iet zo' grote ivloed op de bedekkigsfout, maar we zij eigelijk ook vooramelijk geiteresseerd i ee bovegres voor gem. 3 Coclusies Uit de statistische aalyse cocludere we dat de gemiddelde verliesfractie (verlies als fractie va hu izet, gewoge aar izet) va de spelers kleier is da (Er is ee 5% risico dat deze uitspraak icorrect is). De geschatte gemiddelde verliesfractie is Daaraast kue we ook cocludere dat de gemiddelde verliesfractie tusse

8 m ^ = X Y ^ e ST ( 1 2 ) e ST (1, 1 2 ) Figuur 3: uitkomste e ligt, met betrouwbaarheid 95 %; of dat de verliesfractie tusse e ligt, met betrouwbaarheid 99%. Aagezie 1 =0:077 zich ver buite deze itervalle bevidt kue we cocludere dat er sprake isva ee ruime mate va 13 behedigheid. 4 Toetsig va de aaames I sectie 2 is verodersteld dat de data oafhakelijk i de tijd is, d.w.z. het toeeme va behedigheid e veraderede omstadighede va het spel worde verwaarloosd. Het zou atuurlijk kue zij dat er ee tred i de weke zit, d.w.z. dat er door de weke iet veel ieuwe spelers bijkome e de `oude' spelers steeds behediger worde. Hierdoor zou de gemiddelde behedigheid toeeme e er zou sprake zij va ee weekeect. Of de spelers kome vaker terug, b.v. ee paar dage achter elkaar e daarom zou er correlatie tusse de verschillede dage kue ostaa. Daaraast gaa we erva uit dat er door verschillede persoe gespeeld is. Aagezie we uitgaa va de wist e izet per dag worde de verschille i spelers eruit gemiddeld. Daaraast is er gee rekeig gehoude met het feit dat er ee dageect ka optrede. Oftewel we verwaarloze het eect va mese die elke week op ee speciale dag aar het casio kome. Ook wordt er gee rekeig gehoude met ee verschil tusse weeked e werkweek dage. Het zou atuurlijk kue zij dat spelers i het weeked meer izette of meer gokke da door de week (door bv. ee weekedgevoel). Dit oemt me het weekedeect. Om te toetse dat deze eecte iderdaad verwaarloosbaar zij hebbe we devolgede modelle beschouwd: model 1 versus wist ij = cost + ma + di + wo + do + vr + za + week j + " ij wist ij = cost + weeked + " ij waarbij wist ij de wist is op dag i va week j met i = 1 = maadag, ma is het zogeaamde maadageect. Het zodageect wordt op ul geschaald. Voor dit model hebbe

9 we de volgede toets gemaakt: ulhypothese: ee weekedeect i de wist alt. hypothese: dageecte i de wist. De F toets geeft als waarde De kritieke waarde voor de F-verdelig bij ee betrouwbaarheidsiveau va 5 % is (met 5 resp. 48 vrijheidsgrade). We kue de dageecte dus iderdaad verwaarloze. model 2 versus izet ij = cost + ma + di + wo + do + vr + za + week j + " ij izet ij = cost + weeked + " ij waarbij izet ij de izet op dag i va week j is. Ook voor deze modelle toetse we: ulhypothese: ee weekedeect i de izet alt. hypothese: dageecte i de izet. De F-toets geeft als waarde , oftewel de ulhypothese wordt verworpe. model 3 wist ij izet ij = cost + ma + di + wo + do + vr + za + week j + " ij versus wist ij izet ij = cost + weeked + " ij met als toets: ulhypothese: ee weeked eect i de ratio va wist e izet alt. hypothese: ee dageect i de ratio va wist e izet. De F toets geeft als waarde , dus de ulhypothese wordt iet verworpe. Weges de laatste toets kue we dus cocludere dat de dageecte i de izet iet doorwerke op de ratios, dus lijkt het redelijk om te veroderstelle dat we gee rekeig hoeve te houde met dageecte. Om te toetse of het weekedeect sigicat is hebbe we de volgede toets uitgevoerd: model 4 versus wist ij izet ij = cost + weeked + " ij wist ij izet ij = cost + " ij met als toets: ulhypothese: gee weeked eect i de ratio va wist e izet

10 wist/izet Time Figuur 4: graek va de data alt. hypothese: ee dageect i de ratio va wist e izet. Aagezie de F toets de waarde geeft e de kritieke waarde voor de F- verdelig met 2 resp. 54 vrijheidsgrade, bij ee betrouwbaarheidsiveau va 5% gelijk is aa is er gee rede om de ulhypothese te verwerpe. Oftewel er is gee sigicat weekedeect. Daaraast hebbe we ook og correlaties tusse de opeevolgede dage geschat i de bovestaade modelle. Deze geve, eveals de Durbi-Watso toets, gee aaleidig om rekeig te houde met correlatie tusse de dage. Uit g 4. blijkt dat er ee extreme dag, d.w.z. ee dag die erg afwijkt va de adere dage, tusse de data zit. Als we die dag echter weglate veradert er iet sigicat

11 iets, dus hebbe we hier ook gee rekeig mee gehoude. referetie: Hall, P. (1988) Theoretical compariso of bootstrap codece itervals: Aals of Statistics 16, )