De speler die begint mag in zijn eerste beurt niet alle stenen pakken.

Transcriptie

1 Nim Het spel: Op tafel ligt ee stapel stee (meer da éé). Twee spelers eme om beurte stee va de stapel. De speler die begit mag i zij eerste beurt iet alle stee pakke. De speler die aa de beurt is mag iet meer da het dubbele aatal pakke dat de speler voor hem pakte. De speler die de laatste stee (stee) pakt wit het spel. De strategie: We zij geïteresseerd i de strategie om het spel te wie. Om ee idee te krijge spele we het spel ee aatal kere met steeds ee adere begihoeveelheid. Stel we begie met twee stee. Da is het duidelijk dat de tweede speler wit. Begie we met drie stee da is het weer duidelijk dat speler twee wit. Hoe zit het met vier stee? E vijf stee? Ez? Noem de spelers: A ad B. Speler A begit het spel. Zoek uit wie het spel wit als je start met 4, 5, 6, 7,... ez. stee (erva uit gaade dat beide spelers zo goed mogelijk spele). Vul de volgede tabel i: Aatal stee: Wiaar (A of B): B B Probeer ee verbad te formulere tusse het aatal stee waarmee je begit e de wiaar va het spel. 1

2 Het lijkt er op dat als je met ee Fiboacci-getal begit, je het spel verliest. Geldt dit voor alle Fiboacci-getalle? Het is waar voor 2, ad 5. We begie het spel u met 8 stee e legge ze i ee rij. Om het spel te wie probere we de tegestader te late spele met 5 stee waarbij hij ze iet allemaal tegelijk mag wegeme. (Immers we wete dat hij i dat geval het spel verliest) Verdeel de rij i twee subrije va 5 e stee: Om vijf stee over te houde moet je er wegeme, maar dit ka iet i éé beurt wat da eemt je tegestader de rest weg (hij mag er 2 keer is 6 pakke) e dus wit hij. Het is dus iet mogelijk om alle stee i éé keer te pakke. Maar is ee Fiboaccigetal e je kut het pakke va die stee beschouwe als ee apart spel waarbij je begit met drie stee e waarbij je ze iet alle drie i ee keer mag pakke. Dit spel is al opgelost e we wete dat je tegestader dit wit e de laatste ka pakke. Het gevolg is dat je weer met ee Fiboacci-getal (5) begit waarbij je weer iet alle stee kut pakke. Je verliest dit spel wat ook dat is al opgelost. We kue hetzelfde doe met 1 stee (het volgede Fiboacci-getal). We wete al dat 8 stee tot verlies leidt dus we verdele de rij i 8 e 5 stee: Om je tegestader op 8 stee te krijge moet je er 5 wegeme. Je kut ze echter iet alle vijf pakke wat da pakt je tegestader de rest. Het pakke va die 5 stee is op zichzelf weer ee spel dat je verliest e waarbij je tegestader de laatste ka pakke. (Dit is al opgelost). Je begit weer met 8 stee e we wete uit het vorige voorbeeld dat je dit verliest. Je kut op deze maier doorgaa met elk volged Fiboacci-getal. Algemee: Voor elk Fiboacci-getal geldt: As je begit met ee Fiboacci-getal, verlies je het spel. (Er staat ee wiskudig bewijs voor deze stellig op de bijlage.) 2

3 Hoe zit het u als je begit met ee iet -Fiboacci-getal? Wi je da het spel e zo ja, is er da ee strategie om te wie? Eerst ekele voorbeelde: Begi met 7 stee. Verdeel de rij i 5 (het grootste Fiboacci-getal kleier da 7) e 2: Je weet dat je tegestader verliest als hij met 5 stee begit e hij ze iet allemaal i ee keer ka pakke, dus pak je de twee stee. Hij mag er iet meer da 2 keer 2 is vier wegeme dus hij verliest. Begi u met 20 stee. Verdeel de rij i 1 (het grootste Fiboacci-getal kleier da 20) e 7: Om je tegestader op 1 stee te krijge moet je er 7 pakke. Dit ka iet i éé beurt wat da mag je tegestader de rest wegeme. Verdeel daarom de 7 stee weer i twee groepjes va 5 ad 2: Neem eerst de twee 2 stee. Je tegestader ka de vijf stee iet i ee keer wegeme (hij mag er maximaal 4 pakke). Beschouw het pakke va die vijf stee als ee apart spel e omdat 5 ee Fiboacci-getal is wi je dit e ku je de laatste va de vijf stee wegeme. Je tegestader begit weer met de resterede 1 stee (ee Fiboacci-getal) e ka ze iet allemaal wegeme, e verliest dus het spel. De strategie voor het spel als je met ee iet-fiboacci-getal begit: Schrijf dit getal als de som va verschillede iet opeevolgede Fiboacci-getalle va groot aar klei. Voorbeeld: 6 = 5+1, 7 = 5+2, 9 = 8+1, 11 = 8+, 12 = 8++1, 20 = 1+5+2, ez. Neem het laatste Fiboacci-aatal i deze represetatie weg. Je tegestader ka iet het ee a laatste aatal uit deze represetatie pakke, wat dat is meer da het dubbele va wat jij geome hebt. Omdat dit ieuwe laatste getal ee Fiboacci-getal is ku jij weer de laatste stee va dit Fiboacci-aatal pakke e start hij weer met het volgede Fiboaccigetal. Dit herhaalt zich totdat alle aatalle weggeome zij e dus wi jij het spel! Algemee: Voor alle iet-fiboacci-getalle geldt: As je begit met ee iet-fiboacci-getal, ku je het spel wie. (Er staat ee wiskudig bewijs voor deze stellig op de bijlage.)

4 Bijlage Nu het bewijs voor wat we vode. We hebbe twee stellige: I Voor elk Fiboacci-getal geldt: As je begit met ee Fiboacci-getal, verlies je het spel. II Voor alle iet-fiboacci-getalle geldt: As je begit met ee iet-fiboacci-getal, ku je het spel wie. I We wete dat het geldt voor 2, e 5. Stel u dat het is beweze voor de eerste Fiboacci-getalle F 1!F. Da geldt voor het volgede Fiboacci-getal : Omdat F wil speler A stee wegeme om op het voorgaade F F Fiboacci-getal F te kome. Maar speler A ka iet stee pakke wat F - 1 F (immers ) e dus ka speler B alle < 2 F F F < F + F = 2 F resterede stee eme. Dit beteket dat A iet alle F stee pakt. is ee va de eerste Fiboacci-getalle e we wete dus dat B de laatste va deze F F stee ka pakke om op het getal te kome. (je kut het pakke va die F F - 1 stee beschouwe als ee apart spel). Speler A begit daara weer met het Fiboaccigetal e ka ze iet allemaal wegeme e dus verliest hij het spel. F Als A begit met eemt hij er iet meer da 1. Als hij er 1 F wegeemt da eemt B er maximaal 2 F e ka A er iet pakke, wat voor ³ 4 Dit bewijst (I). II Veroderstel u dat we begie met ee iet-fiboacci-getal. Dit getal ka geschreve worde als de som va verschillede, iet opeevolgede, Fiboacci-getalle. Bijvoorbeeld: 6 = 5+1, 7 = 5+2, 9 = 8+1, 11 = 8+, 12 = 8++1, 20 = 1+5+2, ez. (Dit is de stellig va Zeckedorf e wordt op pagia 5 beweze.) We gebruike dit als volgt: Speler A eemt het laatse Fiboacci-getal i deze represetatie weg. Speler B ka da iet het volgede getal wegeme wat dat is meer da het dubbele va wat A am (voor elk Fiboacci-getal F geldt: F ) F > F + F = 2 F Het ieuwe laatste getal is ee Fiboacci-getal dus B ka iet de laatste hierva eme e moet weer begie met het daaropvolgede Fiboacci-getal. Dit gaat door tot het eerste getal e A wit het spel Dit bewijst (II) F +1 F F F 1 2 F > 1 Þ F 2 > F F 4

5 Stellig va Zeckedorf: Elk atuulijk getal N ka geschreve worde als de som va verschillede iet opeevolgede Fiboacci-getalle. Bewijs: De stellig is waar voor =1, =2, =, =4, =5, =6, =7. (1=1, 2=2, =, 4=+1, 5=5, 6=5+1, 7=5+2) Stel de stellig geldt voor elk atuurlijk getal kleier da F waarbij F het e Fiboaccigetal is e laat N ee atuurlijk getal zij zo dat F ( is het (+1) e Fiboaccigetal) N < F +1 F + 1 Da geldt: N - F (wat e dus < F F Þ N - F < F F F F ) F We wete dat N - F geschreve ka worde als de som va verschillede, iet opeevolgede, Fiboacci-getalle (omdat N - F kleier is da F ) e dat F - zelf iet 1 i deze som voorkomt (wat N - F is kleier da F - ). Als we u het Fiboacci-getal F 1 er bij optelle hebbe we de stellig beweze voor N. Met volledige iductie is de stellg u beweze voor elk atuurlijk getal N. 5

6 Fiboacci Nim Deze fuctie geeft het grootste Fiboacci-getal kleier of gelijk aa a: Defie fib(a)= Fuc Local lijst lijst:={1,1} Loop If lijst[2]>a Exit lijst:={lijst[2],lijst[2]+lijst[1]} EdLoop Retur lijst[1] EdFuc Deze fuctie geeft het de Fiboacci-represetatie va het getal a: Defie factoriseer(a)= Fuc Local,lijst lijst:={} While a>0 :=fib(a) lijst:=augmet({},lijst) a:=a- EdWhile Retur lijst EdFuc

7 Het programma: Local,mx,zet,f,a,spire Startgetal? :=0 While < Request "Begi aatal",,0 If =0 Stop If < Text "Miimaal ",0 EdWhile Wie begit spire:=false a:=0 While a<1 or a>2 Request "1=Nspire begit, 2=Jij begit",a,0 If a=0 Stop EdWhile If a=1 spire:=true Het eigelijke programma start hier mx:= Loop If spire The f:=factoriseer() zet:=f[1] If zet>mx zet:=1 Text "Er ligge er "&strig()&". Nspire pakt er "&strig(zet),0 Else zet:=0 While zet<1 or zet>mx Request "Er ligge er "&strig()&". Hoeveel? (max "&strig(mx)&")",zet,0 If zet=0 Stop EdWhile EdIf :=-zet If 0 Exit spire:=ot spire mx:=2*zet EdLoop If spire The Text "Nspire wit",0 Else Text "Jij wit",0 EdIf