Werktekst 1: Een bos beheren

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Werktekst 1: Een bos beheren"

Transcriptie

1 Werktekst : Ee bos behere Berekeige met rije op het basisscherm Op ee perceel staa 3000 kerstbome. Ee boomkweker moet beslisse hoeveel bome er jaarlijks gekapt kue worde e hoeveel ieuwe aaplat er odig is. Hij zal iet alle bome i éé keer kappe wat da heeft hij de eerstvolgede jare gee opbregst. Hij besluit elk jaar 0% va de bome te kappe e er da weer 450 aa te plate. Hij plat dus meer da hij kapt om zij opbregst op termij te verhoge. Op het perceel is amelijk plaats voor 5000 bome.. Hoeveel bome staa er éé jaar later op het perceel? E twee jaar later? 2. Oderzoek hoe het aatal bome op dit perceel de volgede twitig jaar evolueert. Maak hierbij gebruik va de -kop va je reketoestel. 3. Ka de boomkweker zij beleid blijve voortzette of staat het perceel a ee tijd vol? 4. Op ee gegeve momet lijkt er ee evewicht te otstaa. Hoeveel bome staa er da op het perceel? Tabelle e grafieke Het aatal bome B hagt af va de tijd t (i jare). We volge de evolutie va het aatal bome jaar a jaar. We late de veraderlijke t allee atuurlijke getalle als waarde aaeme. Zo krijge we ee rij va getalle die de evolutie va het aatal bome beschrijft. Het is iet eevoudig om ee expliciete vergelijkig te vide voor deze rij. We kue de rij echter wel op ee adere maier beschrijve, amelijk aa de had va ee recursieve vergelijkig (syoieme: differetievergelijkig, recurrete betrekkig) met begivoorwaarde. Deze recursievergelijkig drukt B(t) uit i fuctie va B(t ). 5. Geef deze recursieve vergelijkig e begivoorwaarde. Je kut recursieve voorschrifte ook i je reketoestel ivoere. Hiervoor moet je eerst de juiste istelle. Druk op de -toets e kies op de vierde regel (va sequece, het Egels voor rij). Als je u de - toets idrukt, verschijt i het vester o.a. u() = i plaats va het bekede Y=. 6. Vul op de plaats va de recursieve vergelijkig i. Voor de rekemachie wordt de veraderlijke B dus u e de veraderlijke t wordt. u vid je bij e de veraderlijke verschijt bij de [θ]-toets. Stel ook de begiwaarde va i () e de begiwaarde va u (). Nu ku je ee tabel e ee grafiek va de recursieve vergelijkig late make. Voor de grafiek moet je og ee goed tekevester kieze. Hieroder zie je hoe dit gebeurt.

2 Met e geef je aa welke terme va de rij bereked zulle worde. e gebruik je om aa te geve welke terme geteked zulle worde. Met stel je i vaaf welk elemet va de rij het tekee moet starte. Omdat we u(0), het eerste elemet va de rij, ook wille late tekee, staat op. Omdat we alle terme va de rij wille late tekee, staat op. Met!" wordt de grafiek va de recursieve vergelijkig gemaakt. Met!# ku je, zoals bij fucties, over de grafiek lope. De istellige voor de tabel ku je aapasse met $%. De tabel wordt gemaakt als je op $% drukt. 7. Maak ee tabel e ee grafiek va de evolutie va het aatal kerstbome e cotroleer hiermee je de bevidige die je eerder deed (om de evewichtswaarde te cotrolere zul je eerst Max moete verhoge) Me ka aatoe (met zeer elemetaire middele, zie b.v. Uitwiskelig 20/3) dat het expliciete voorschrift va de rij gegeve wordt door B ( t) = Voer dit expliciete voorschrift i i je rekemachie voor de rij v() (zoder de begiwaarde te specificere) e cotroleer aa de had va de tabel e de grafiek dat de rije u() e v() gelijk zij. LIST-commado s I het LIST-OPS-meu (OPS staat voor operatios ; %& ) vid je het commado '(. De oderstaade schermafdruk toot hoe je hiermee ee lijst kut make met (ee eidig aatal) terme va de rij. M.b.v. het pijltje rechts ku je de volgede terme va de rij zie. t 9. Maak ee lijst met het aatal bome dat jaar a jaar gekapt wordt i de eerste 30 jaar. 0. Hoeveel bome werde er i het totaal gekapt gedurede de eerste 30 jaar? Maak gebruik va het commado ') dat je i het LIST-MATH-meu vidt e waarmee je de som kut berekee va alle getalle i ee lijst.. Bekijk hoe de verschille tusse opeevolgede aatalle gekapte bome evoluere. Maak hiervoor gebruik va het commado %' uit het LIST-OPS-meu, waarmee je de verschille tusse opeevolgede elemete va ee lijst kut berekee. Uitbreidig: meer i verbad met het evewicht 2. Beteket het bereike va ee evewicht dat er iets meer veradert? 3. Ee evewicht beteket dat het aatal bome iet meer veradert. Gebruik dit om het evewicht op ee adere maier te berekee. 4. Op het momet dat de kleizoo de zaak overeemt, staa er 4500 bome op het perceel. Hij houdt dezelfde politiek aa als zij vader e grootvader: jaarlijks 0% va de bome kappe e 450 ieuwe bome plate. Hoe evolueert het aatal bome op zij perceel? 5. Door ee ogeval ka de kleizoo i ee bepaald jaar slechts 400 ieuwe bome aaplate. Daardoor raakt het systeem tijdelijk uit evewicht. De kleizoo blijft echter bij zij werkwijze. Hoe evolueert het aatal bome? 2

3 6. De achterkleizoo eemt de zaak over. Hij heeft bedekige bij de hadelswijze va zij voorvadere. Niet het hele perceel wordt beut. Er is immers plaats voor 5000 bome. Ku je er voor zorge dat het evewicht op 5000 komt te ligge door a. ee veraderig aa te brege i het aatal ieuwe bome dat aageplat wordt (e verder alles ogewijzigd te late) b. ee veraderig aa te brege i het percetage dat gekapt wordt (e verder alles ogewijzigd te late). 3

4 Werktekst 2: Vraag e aabod Het aabod: vergelijkig () I deze werktekst bestudere we ee product waarva de productietijd ogeveer éé jaar i beslag eemt. Het zou bijvoorbeeld kue gaa over ee ladbouwgewas dat vóór de witer gezaaid wordt e i de volgede zomer geoogst wordt of over varkes die vetgemest worde. Om te bepale of ze al da iet met de productie zulle starte, houde de producete (oder meer) rekeig met de prijs va het product. Omdat de productietijd ogeveer éé jaar bedraagt, beïvloedt de prijs op ee zeker ogeblik de grootte va het aabod ogeveer éé jaar later. We stelle de (totale) aagebode hoeveelheid (door alle producete same) over jaar voor door a e de prijs over jaar door p. Da hagt a af va p. We zulle er va uitgaa dat het verbad gegeve wordt door voor alle. a = p De vraag: vergelijkig (2) De cosumete houde bij hu aakoop (oder meer) rekeig met de prijs va het product. We eme aa dat het hierbij gaat over de prijs op het momet va hu aakoop. We stelle de (totale) gevraagde hoeveelheid (door alle cosumete same) over jaar voor door v. We wete dat v afhagt va p. We zulle er va uitgaa dat het verbad gegeve wordt door voor alle. v = 50 5 p Het evewicht: vergelijkig (3) Ee laatste veroderstellig die we make, is dat elk jaar alles verkocht wordt dat aagebode wordt, d.w.z. dat voor alle. v = a Cocreet beteket dit het volgede. De hoeveelheid die aagebode wordt, ligt vast: het graa is vóór de witer geplat e moet i de volgede zomer geoogst e verkocht worde, de varkes zij vetgemest e het vlees diet op de markt aagebode te worde, Om er voor te zorge dat vraag e aabod i evewicht met elkaar kome, zal me de prijs late dale of stijge. Dat is iet voor alle producte ee realistische veroderstellig. Soms zal me er bijvoorbeeld de voorkeur aa geve de prijs iet te late dale, maar zal me voorrade opbouwe. Wij veroderstelle hier dus dat dat iet gebeurt, bijvoorbeeld omdat het ee bederfbaar of modegevoelig product betreft. Het begi: vergelijkig (4) We veroderstelle dat de prijs u 25 geldeehede bedraagt, m.a.w. p 0 = 25. 4

5 Hoe evolueert de prijs? Nu kue we oderzoeke hoe de prijs jaar a jaar evolueert: de prijs va u bepaalt het aabod va volged jaar om vraag e aabod volged jaar i evewicht te brege, wordt de prijs va volged jaar aagepast de prijs va volged jaar bepaalt het aabod over twee jaar om vraag e aabod over twee jaar i evewicht te brege, wordt de prijs over twee jaar aagepast We zulle i deze werktekst oderzoeke hoe de prijs evolueert. Recursieve vergelijkig Bij de werkwijze die hierbove geschetst is, oderzoek je de evolutie va de prijs door elk va de bovestaade vergelijkige om de beurt te gebruike.. Gebruik deze werkwijze om de prijs va volged jaar e over twee jaar te berekee. Je ka de prijsevolutie echter op ee efficiëtere maier oderzoeke door de eerste drie vergelijkige te combiere tot éé (recursieve) vergelijkig (differetievergelijkig) die ee rechtstreeks verbad geeft tusse p e p. 2. Stel deze recursieve vergelijkig op e geef de begivoorwaarde. 3. Cotroleer hiermee de prijs va volged jaar e over twee jaar. We zoude de evolutie va de prijs kue oderzoeke met de methode die we i werktekst hebbe lere kee. We zulle dat echter iet doe omdat we het u wille doe m.b.v. ee ieuwe grafische voorstellig (evetueel ka je de methode uit werktekst gebruike als cotrole achteraf). Webdiagram Zorg er vooreerst voor dat je rekemachie igesteld is op het werke met rije (m.b.v. ; ormaal is dat i orde). Stel daara, via [2d] [FORMAT], de machie i op het make va webgrafieke. Voer u de recursieve vergelijkig i (via ) e stel het tekevester i (via *&* ). 5

6 Als je da op!" drukt, krijg je het volgede scherm te zie. 4. Oderzoek welke rechte je hier ziet (houd rekeig met de istellige va het tekevester) e wat het verbad is met de recursieve vergelijkig. Druk u op!#. Je ziet dat er ee put aageduid is op de horizotale as (het zwarte blokje i de oderstaade schermafdruk; ee kippered blokje/kruisje op je machie). Er is ook tekst verschee, bijvoorbeeld de recursievergelijkig boveaa het scherm. 5. Wat zij de coördiate va het aageduide put? Wat is de betekeis va de adere stukjes tekst? Wat is het verbad met de recursieve vergelijkig e de begivoorwaarde? Druk 6 keer op!#. Je krijgt achtereevolges de volgede scherme. 6. Leg bij elk scherm uit wat je ziet. Wat beteket dit voor de evolutie va de prijs? Geef ook telkes ee wiskudige verklarig. 7. Voorspel hoe de figuur verder opgebouwd zal worde e cotroleer je voorspellig door de machie de tekeig daadwerkelijk te late vervolledige (druk hiervoor verschillede kere op!# ). 8. De prijs verloopt schommeled, de schommelige zij gedempt, e de prijs heeft limietwaarde 20. Hoe ka je deze drie aspecte va verloop uit de figuur afleide? 6

7 9. Hieroder zie je ee schermafdruk va het webdiagram va ee adere recursieve vergelijkig met begivoorwaarde (i hetzelfde tekevester). a. Wat is de begivoorwaarde? b. Beschrijf het verloop va de terme va de rij i woorde. 0. Maak ee webdiagram va de recursieve vergelijkig met begiwaarde uit de vorige werktekst. 7

8 I deze werktekst wille we late zie dat recursieve vergelijkige raakpute hebbe met ee thema dat i veel klasse odertusse ee vaste stek verworve heeft: matrixmodelle voor migratie, groei va ee populatie met leeftijdsklasse, We gaa er i de oderstaade werktekst va uit dat je reeds vroeger met overgagsmatrices hebt lere werke. De atwoorde vid je achteraa. Werktekst 3: Recursief migrere I ee zeker gebied woe mese. Het gebied bestaat uit ee cetraal gelege grote stad met daaromhee ee uitgestrekt plattelad. Op dit ogeblik woe er mese i de stad e op het plattelad. We geve deze begisituatie weer m.b.v. de kolommatrix s(0) s X (0) = p(0) = p Mese verhuize va de stad aar het plattelad e omgekeerd. De verhuisbewegige, gemete over periodes va 0 jaar, worde weergegeve door de oderstaade migratiematrix P: va s p 0,9 0,2 s 0, 0,8 p aar De bevolkig i stad e plattelad a periodes va 0 jaar geve we weer door s( ) X ( ) = p( ).. Laat aa de had va ee matrixberekeig zie dat s( ) = 0,9 s( ) + 0, 2 p( ) p( ) = 0, s( ) + 0,8 p( ) De uitdrukkig hierbove is ee stelsel va twee (gekoppelde) recursieve vergelijkige: de waarde va s e p a ee aatal periode wordt uitgedrukt i fuctie va de waarde va s e p éé periode eerder. Om de waarde va s a periodes te kee heb je zowel de waarde va s als die va p a periodes odig. 2. Voer de twee recursieve voorschrifte uit de vorige vraag i i je rekemachie. Laat ee tabel e ee grafiek make die de evolutie va de bevolkig va de stad e het plattelad weergeve. Beschrijf de evolutie va de bevolkig i stad e plattelad i woorde. 3. Waag, op basis va het atwoord op de vorige vraag, ee gefudeerde gok voor ee expliciet voorschrift voor s( ). I je voorstel moge og parameters voorkome. 4. Geef, gebruik maked va je atwoord op de vorige vraag, ee expliciet voorschrift voor p( ). 5. Bepaal de waarde va de obekede parameter(s) i de uitdrukkige uit vraag 3 e 4 door je gefudeerde gok i te vulle i het stelsel recursieve vergelijkige. 6. Bepaal op dezelfde maier ee expliciete formule voor evolutie va de bevolkig i stad e plattelad voor ee gebied waarva de begipopulatie e de overgagsmatrix gegeve worde door X (0) = e 0,8 0,3 P = 0, 2 0,7. 8

9 I de werktekst hebbe we voor het bepale va de expliciete voorschrifte sterk gesteud op de grafiek die door de rekemachie geteked werd. Voor 2 2-migratiematrices volstaat dat. I dat speciale geval krijg je amelijk altijd expliciete voorschrifte waarva het rechterlid de vorm c g + b aaeemt. De waarde va de parameters ka je eevoudig bepale. Voor adere 2 2-matrixmodelle e voor grotere matrixmodelle is het i het algemee iet meer mogelijk op basis va de grafiek de vorm va het expliciete voorschrift te rade. Me ka aatoe dat bij 2 2-Lesliematrices e bij de matrix uit de volgede paragraaf het rechterlid va het expliciete voorschrift va de vorm c g + c2 g2 is. De grodtalle g e g 2 zij da de eigewaarde va de matrix. Bij 2 2-migratiematrices is g ee va de eigewaarde e is de adere eigewaarde steeds gelijk aa. Wie hier meer over wil wete, verwijze we aar Uitwiskelig 9/. Maar je hebt i de werktekst gemerkt dat je g ook kut bepale zoder dat te wete. Je ka de bad met recursieve voorschrifte og op ee adere maier legge da i de werktekst. De gekede formule X ( ) = P X ( ) drukt de bevolkig i stad e plattelad op ee zeker tijdstip uit i fuctie va de bevolkig i stad e plattelad éé periode eerder. We hebbe dus te make met ee recursief voorschrift. Het verschil met de recursieve voorschrifte die we vroeger bekeke, is dat het recursieve voorschrift u iet ee rij va getalle beschrijft, maar ee rij va kolomvectore. Voor ee stelsel va twee gekoppelde recursieve vergelijkige biedt de rekemachie og ee ader type grafiek. Kies via +! de istellig,. Voor elke waarde va teket de machie da het put ( s( ), p( )) (i machietaal : ( u( ), v( )) ; vadaar de aam). Met!# ku je de evolutie va de bevolkig volge. Het hoeft iet te verwodere dat de pute op ee rechte ligge: de totale bevolkig blijft immers costat. 9

10 . Schrijf X ( ) = P X ( ) voluit. Atwoorde 2. De oderstaade schermafdrukke toe hoe het met de rekemachie i zij werk gaat. Vergeet iet te cotrolere of de grafiekoptie TIME igesteld is. We zie dat de bevolkig i de stad vertraagd toeeemt va i het begi aar op lage termij. De bevolkig op het plattelad daalt vertraagd va i het begi aar op lage termij. 3. Op basis va de limietwaarde ( ), de begiwaarde ( ) e het vertraagd stijgede verloop, lijkt s( ) = g , met g ee getal tusse 0 e, ee veratwoorde gok.) 4. Maak gebruik va het feit dat de totale bevolkig steeds uit persoe bestaat. Je vidt p( ) = g Als je de uitdrukkige ivult i het eerste recursieve voorschrift, vid je g = = 0,9 ( g ) + 0,2 ( g ). g Na vereevoudigig geeft dit g = 0,7, waaruit we afleide dat g = 0,7 Het tweede recursieve voorschrift klopt daarmee metee ook. 6. s( ) = , e p( ) = ,

11 De recursieve vergelijkige die we tot u toe otmoet hebbe ware hoofdzakelijk va de vorm t = at + b, die we kue omwerke tot t a t = b. I deze ieuwe vorm is het likerlid ee lieaire combiatie va t e t. Daarom spreke we i dit verbad va lieaire recursieve vergelijkige. I de volgede werktekst oderzoeke we ee recursievergelijkig die iet lieair is e late we zie dat de wereld va de iet-lieaire recursieve voorschrifte veel gevarieerder is da die va de lieaire. Werktekst 4: De wodere wereld va de recursievergelijkig t = at ( t ) We oderzoeke recursieve voorschrifte va de vorm t = at ( t ), waarbij a ee getal voorstelt. Nieuw bij deze recursievergelijkig is dat i het rechterlid ee product staat va twee factore die t bevatte.. Welke lije zal je te zie krijge op ee webdiagram? Neem a = 2,5. 2. Maak ee webdiagram va de rij met begiwaarde 0, e beschrijf het verloop erva i woorde. Verklaar wat je vaststelt zoveel mogelijk op basis va het recursieve voorschrift. 3. Oderzoek de stabiliteit va de twee (!) evewichtsposities. We eme u a = 3,5. 4. Bereke met de had het verloop va de rij met begiwaarde De oderstaade schermafdruk toot het spiewebdiagram va de rij met begiwaarde 5. Geef ee 7 verklarig voor wat er misloopt. 6. Oderzoek met de had e met de rekemachie het verloop va de rij met begiwaarde 3 7. Noem f ( x) = 3,5 x( x) e f 2 ( x) = f ( f ( x)). 7. De oderstaade figuur toot de grafiek va f 2 e de eerste bissectrice. Je ka arekee dat de sijpute optrede bij de x-waarde 3 7, 5 7 e 6. Het is gee toeval dat dit de getalle zij uit de 7 vrage 5 e 6. Geef ee goede verklarig! 8. Oderzoek e verklaar het verloop va de rij met begiwaarde 0.. Je moet ver geoeg i de rij gaa (ogeveer tot ragummer 40) om te zie wat er te zie is.

12 Atwoorde. De rechte y = x (zoals steeds) e de parabool y = ax( x). 2. Helemaal i het begi stijgt de rij, daara schommelt de rij. De schommelige worde steeds kleier e de limietwaarde is 0,6. Om dit vast te stelle; ku je gebruik make va ee tabel e/of ee webdiagram (izoome om het verloop te zie voor terme met ee groter ragummer!). De limietwaarde ka je vide door het sijput te bepale va de parabool met de eerste bissectrice. Het feit dat de rij (a ee aaloopperiode) gedempt schommeled verloopt, houdt verbad met het feit dat de raaklij i het sijput richtigscoëfficiët 0,5 heeft. Als de terme zeer dicht bij de limietwaarde geaderd zij, kue we de parabool vervage door de raaklij. E ee rechte met richtigscoëfficiët tusse e 0 zorgt voor ee gedempt schommeled verloop.) 3. De parabool e de eerste bissectrice hebbe twee sijpute, die dus twee evewichtswaarde oplevere: 0 e 0,6. Als we ee begiwaarde eme i de omiddellijke omgevig va 0,6, da covergeert de rij(gedempt schommeled) aar 0,6 (verklarig: dek aa de redeerig met de raaklij bij de vorige vraag!). Dit evewicht is stabiel (of: aatrekked). Als de begiwaarde exact gelijk is aa 0, da zij alle terme va de rij gelijk aa 0. Neme we echter ee begiwaarde i de omiddellijke omgevig va 0 maar iet exact gelijk aa 0, da covergeert de rij iet aar 0. Als het systeem uit evewicht gebracht wordt, keert het dus iet terug aar zij evewicht. Dit evewichtsput is iet stabiel (of: afstoted). 4. De rij is costat. 5. De machie werkt met ee decimale beaderig va de breuk e start bijgevolg met ee begiwaarde die iet exact gelijk is aa 5. Omdat het evewicht iet stabiel is, rake de terme die de machie 7 bereket steeds verder va de echte (evewichts)waarde verwijderd. Na ee groot aatal stappe levert dit zichtbare verschille op. 6. De terme va de rij eme afwisseled de waarde 3 7 e 6 7 aa. We zegge dat zo rij periode 2 heeft. Nu doe er zich gee probleme voor bij de berekeig met de rekemachie. 7. De recursievergelijkig die we bestudere, kue we schrijve als t = f ( t ). De x-waarde waarvoor f ( x) = x geve aa welke begiwaarde ee costate rij oplevere. Dat hebbe we hierbove geregeld gebruikt om evewichtspute te bepale. De fuctie f 2 komt tevoorschij waeer we t uitdrukke i fuctie va de term die twee plaatse voordie staat: t = f ( t ) = f ( f ( t )) = f ( t ) De x-waarde waarvoor f 2 ( x) = x geve os dus de begiwaarde va de rije waarvoor t0 = t2 = t4 = t6 =... Vazelfspreked geldt da ook t = t 3 = t 5 = t 7 =... We krijge da m.a.w. ee rij met periode 2. Dat verklaart waarom 3 7 e 6 7 va de partij zij. Als de begiwaarde 5 is, zij alle 7 terme va de rij aa elkaar gelijk. Da klopt de voorwaarde hierbove atuurlijk ook. 2

13 8. Na ee aaloopperiode kome dezelfde vier getalle steeds terug: (afgerod) 0,87500, 0,38282, 0,82694 e 0, Het klopt iet helemaal, wat ee aatal decimale veradere og. Maar aarmate je verder gaat i de rij blijve meer e meer decimale gelijk. De rij covergeert als het ware aar ee stel limietgetalle met periode 4. We kue dit stel terugvide op de maier va vraag 7. Noem f 4 ( x) = f ( f ( f ( f ( x)))) (ee veeltermfuctie va graad 6!). De sijpute va de eerste bissectrice met de grafiek va f 4 bepale de rije met periode (hoogstes) 4. De oderstaade figuur (liks) toot de grafiek. Als we de gepaste dele uitvergrote (zie bijvoorbeeld de middelste e de rechtse figuur), zie we dat er i het totaal 7 sijpute zij. We kee reeds drie va deze sijpute, amelijk deze met x-coördiaat 3 7, 5 7 e 6. E voor de 7 overige vier verwachte we de periodiek terugkerede waarde uit de rij hierbove te zie. Dat klopt effectief. De oderstaade figuur toot dat voor éé va deze vier. Wat experimetere leert dat er gee rije zij die op de lage duur steeds meer lijke op de rij met periode 2 uit vraag 6, terwijl heel veel rije op de lage duur steeds meer lijke op de rij met periode 4. De verklarig daarvoor is dezelfde als die voor het al da iet stabiel zij va ee evewicht. De raaklije aa de grafiek va f 4 i de bewuste vier sijpute met de eerste bissectrice hebbe allemaal dezelfde richtigscoëfficiët, amelijk (afgerod) 0, 03, i absolute waarde kleier da. Daarom is dit stel va 4 aatrekked. De raaklije aa de grafiek va f 2 i de pute met eerste coördiaat 3 7 e 6 7 hebbe (beide) richtigscoëfficiët,25, i absolute waarde groter da. Het stel va 2 is daarom afstoted. Het is overiges iet moeilijk om aalytisch aa te toe dat de vier (resp. twee) raaklije dezelfde richtigscoëfficiët hebbe e om de richtigscoëfficiët va de twee raaklije aalytisch uit te rekee.). 3

14 Ee differetiaalvergelijkig oplosse m.b.v. ee recursief voorschrift I de voorgaade werktekste hebbe we recursieve voorschrifte vooramelijk lere gebruike om veraderigsprocesse te beschrijve. Typisch hierbij was dat we uit gegeves over het veradere va ee grootheid (e over de begiwaarde erva) afgeleid hebbe hoe de grootheid zelf evolueert. I het voorbeeld va de kerstbome was gegeve dat elk jaar 0% va de bome gekapt worde e dat er elk jaar 450 ieuwe bome geplat worde. Op basis hierva (e op basis va de begiwaarde) werd bereked hoe het aatal bome evolueert, werd ee grafiek gemaakt e werd tot slot ee formule opgesteld voor het aatal bome i fuctie va de tijd. Er is i de wiskude og ee ader istrumet dat heel veel gebruikt wordt om veraderigsprocesse te beschrijve, amelijk ee differetiaalvergelijkig. Ook bij ee differetiaalvergelijkig gebruik je gegeves over het veradere va ee grootheid om te achterhale hoe de grootheid zelf evolueert. Het grote verschil is dat je de tijd bij ee recursief voorschrift opvat als ee discrete veraderlijke (de tijd eemt allee gehele waarde aa) terwijl je de tijd bij ee differetiaalvergelijkig als ee cotiue veraderlijke opvat (de tijd eemt ook iet-gehele waarde aa). De selheid waarmee de grootheid veradert, wordt i het cotiue geval weergegeve door de afgeleide va die grootheid aar de tijd. We wille late zie dat je ee differetiaalvergelijkig (beadered) kut oplosse m.b.v. ee recursief voorschrift. Werktekst 5: De verspreidig va ee virus I deze werktekst oderzoeke we de verspreidig va ee virus i ee gebied met mese. Het virus veroorzaakt ee ziekte die iet erstig is, maar wel zeer besmettelijk. Wie besmet wordt, wordt eerst ziek maar bouwt algauw ee afweer tege de ziekte op. Iederee die ooit besmet werd, blijft drager va het virus e blijft adere besmette, maar heeft daar verder gee last meer va. Noteer met y(t) het aatal mese dat drager is va het virus op tijdstip t. Op dit ogeblik zij 5000 mese drager va het virus, d.w.z. y (0) = De selheid waarmee het virus zich op tijdstip t uitbreidt bie de bevolkig va dit gebied wordt gegeve door y ( t). We gaa er va uit dat deze selheid everedig is met het product va twee factore: y( t ), d.w.z. het aatal mese dat drager is va het virus (logisch: als meer mese drager va het virus zij, zij er ook meer besmetters ); y( t), d.w.z. het aatal mese dat og gee drager is va het virus (ook logisch: als de meeste mese reeds besmet zij, zij er wel veel besmetters maar slechts weiig potetiële slachtoffers). Meer bepaald zulle we veroderstelle dat voor elk tijdstip t 7 y '( t) = 5 0 y( t) (00000 y( t)). Om te wete hoe het aatal dragers va het virus evolueert, moet je de fuctie y( t ) kee. De uitdrukkig hierbove ku je opvatte als ee vergelijkig met de fuctie y( t ) als obekede. I deze vergelijkig komt de obekede fuctie zelf voor tezame met haar afgeleide. Ee dergelijke vergelijkig wordt ee differetiaalvergelijkig geoemd. We zulle deze differetiaalvergelijkig i deze werktekst iet oplosse (i de betekeis dat we gee formule zulle vide voor y i fuctie va t), maar we zulle er wel i slage om beaderede waarde voor y te berekee. 4

15 . Verklaar de volgede beaderede gelijkheid: y(0.) y(0) y (0) Gebruik de differetiaalvergelijkig voor t = 0 e de beaderede formule uit de vorige opgave om ee beaderede waarde voor y (0.) te berekee. 3. Zoek op ee gelijkaardige maier ee beaderede waarde voor y (0.2). De beaderede waarde die je bereked hebt voor y (0.) e y (0.2) oeme we y e y 2. De exacte waarde va y (0) oeme we y 0. Op dezelfde maier als i de vorige vrage ku je beaderede waarde vide voor y (0.3), y (0.4), y (0.5), y (0.6),... Deze beaderede waarde oeme we y 3, y 4, y 5, y 6, 4. Geef ee recursief voorschrift voor deze rij va beaderede waarde. 5. Maak ee grafiek bij dit recursieve voorschrift e beschrijf i woorde hoe het virus zich verspreidt oder de bevolkig. Het groeimodel i de werktekst is ee voorbeeld va logistische groei. De beaderede methode die we gebruikt hebbe om de differetiaalvergelijkig op te losse, ka voor heel veel differetiaalvergelijkige toegepast worde. y(0 + h) y(0). Omdat y (0) = lim, is h 0 h 2. Uit 7 Atwoorde y(0 + h) y(0) y (0) als h voldoede klei is. Neem h = 0.. h y '(0) = 5 0 y(0) (00000 y(0)) volgt de beaderede formule y(0.) y(0) y(0) (00000 y(0)). 0. Hieruit vid je dat 8 2 y(0.) 5 0 y(0) y(0) = Je vidt y(0.2) 5 0 y(0.) y(0.) Ee subtiliteit: i de vorige vraag ko je je basere op de exacte waarde va y (0), terwijl je u slechts kut steue op ee beaderede waarde va y (0.). 4. Voorhee vod je je het recursieve voorschrift: = e 2 = y = 5 0 y +.005y. y y y y y y. Op dezelfde maier vid 5. De oderstaade schermafdrukke geve ee goed tekevester e ee goede grafiek. Het duurt wel eve vóór de grafiek er staat: ogeveer twee miute met ee gewoe TI83. Bemerk dat de grafiek geteked wordt voor tijdstippe va 0 tot 88 (Max verwijst aar de maximale waarde va, iet va de tijd!) I het begi stijgt het aatal dragers verseld. Op het tijdstip dat de helft va de bevolkig drager geworde is, vertoot de grafiek ee buigput. Na dit tijdstip stijgt het aatal dragers vertraagd om te stabilisere rod

Convergentie, divergentie en limieten van rijen

Convergentie, divergentie en limieten van rijen Covergetie, divergetie e limiete va rije TI-spire e rije 7N5p GGHM 22-23 Eigeschappe rekekudige rij b = begiwaarde v = verschil tusse twee opeevolgede terme recursieve formule: u = u + v met u = b directe

Nadere informatie

7.1 Recursieve formules [1]

7.1 Recursieve formules [1] 7.1 Recursieve formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is ee getallerij. De getalle i de rij zij de terme. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is de vijfde term (u

Nadere informatie

Discrete dynamische systemen

Discrete dynamische systemen Cahiers T 3 Europe Vlaadere r. 19 Discrete dyamische systeme Recursievergelijkige met de TI-84 Joha Deprez Discrete dyamische systeme Joha Deprez HUBrussel, Uiversiteit Atwerpe, Katholieke Uiversiteit

Nadere informatie

Praktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling

Praktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling Praktische opdracht: Complexe getalle e de Julia-verzamelig Auteur: Wiebe K. Goodijk, Zerike College Hare Beodigde Voorkeis: 1 = i Het complexe vlak. Notatie: z = a + bi of z = r(cosϕ + i si ϕ) Regel va

Nadere informatie

1. Recursievergelijkingen van de 1 e orde

1. Recursievergelijkingen van de 1 e orde Recursievergelijkige va de e orde Rekekudige rije Het voorschrift va ee rekekudige rij ka gegeve wordt met de volgede recursievergelijkig: u = u + b Idie we deze vergelijkig i de vorm u = u u = b otere

Nadere informatie

Bevolkingsevolutie en prijsevolutie: rijen en de TI-89

Bevolkingsevolutie en prijsevolutie: rijen en de TI-89 Bevolkigsevolutie e prijsevolutie: rije e de TI-89 Joha Deprez, EHSAL Brussel - K.U. Leuve. Ileidig Deze tekst is bedoeld als keismakig met de symbolische rekemachie TI-89 va Texas Istrumets. We geve gee

Nadere informatie

Opgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100...

Opgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100... Opgave OPGAVE 1 a. Itereer met F( ) = e als startwaarde 1 e 1. 16 1............... 16 1............... b. Stel de bae grafisch voor i ee tijdgrafiek. c. Formuleer het gedrag va deze bae. (belagrijk is

Nadere informatie

2. Limiet van een rij : convergentie of divergentie

2. Limiet van een rij : convergentie of divergentie 2. Limiet va ee rij : covergetie of divergetie 2. Eigelijke of eidige limiet 2.. Voorbeeld I ee bos staa 4 bome. De diest bosbeheer zal jaarlijks 2% bome kappe e ieuwe aaplate. Zal het bos verdwije? Zal

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2008-II

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2008-II Groepsfoto s Alle mese kippere met hu oge. Daardoor staa op groepsfoto s vaak ekele persoe met geslote oge. Sveso e Bares hebbe oderzocht hoeveel foto s je moet make va ee groep va persoe om 99% kas te

Nadere informatie

Periodiciteit bij breuken

Periodiciteit bij breuken Periodiciteit bij breuke Keuzeodracht voor wiskude Ee verdieede odracht over eriodieke decimale getalle, riemgetalle Voorkeis: omrekee va ee breuk i ee decimale vorm Ileidig I deze odracht leer je dat

Nadere informatie

Iteratie is het steeds herhalen van eenzelfde proces, verwerking op het bekomen resultaat. Verwerking

Iteratie is het steeds herhalen van eenzelfde proces, verwerking op het bekomen resultaat. Verwerking 1. Wat is iteratie? Iteratie is het steeds herhale va eezelfde proces, verwerkig op het bekome resultaat. INPUT Verwerkig OUTPUT Idie de verwerkig gebeurt met ee (reële) fuctie geldt voor ee startwaarde

Nadere informatie

We kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen:

We kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen: Masteropleidig Fiacial Plaig Kwatitatieve Methode Relevate wiskude We kee i de wiskude de volgede getalleverzamelige: De atuurlijke getalle: N = {0,,,,4, } De gehele getalle: Z = {, -,-,-,0,,,, } (egels:

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame HAVO 2013 tijdvak 2 woesdag 19 jui 13.30-16.30 uur wiskude A Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 21 vrage. Voor dit exame zij maximaal 80 pute te behale. Voor elk vraagummer

Nadere informatie

Rijen. 6N5p

Rijen. 6N5p Rije 6N5p 0-03 Rije Ileidig I de wiskude werke we vaak met formules e/of fucties die elke mogelijke waarde aa kue eme. Als bijvoorbeeld f( x) = 5x + 5x 3, da ku je voor x (bija) elke waarde ivulle e ka

Nadere informatie

Een toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek.

Een toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek. 006 Wolters-Noordhoff bv Groige/Houte De steekproefomvag Ee toelichtig op het belag e het berekee va de steekproefomvag i marktoderzoek. Ihoud 1 Ileidig Eerst ekele defiities 3 Steekproefomvag e respose

Nadere informatie

Appendix A: De rij van Fibonacci

Appendix A: De rij van Fibonacci ppedix : De rij va Fiboacci Het expliciete voorschrift va de rij va Fiboacci We otere het het e Fiboaccigetal met F De rij va Fiboacci wordt gegeve door: F F F F 4 F F 6 F 7 F De volgede afleidig is gebaseerd

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II Eideame wiskude B vwo 200 - II Sijde met ee hoogtelij Op ee cirkel kieze we drie vaste pute, B e C, waarbij lijstuk B gee middellij is e put C op de kortste cirkelboog B ligt. Ee put doorloopt dat deel

Nadere informatie

Rijen met de TI-nspire vii

Rijen met de TI-nspire vii Rije met de TI-spire vii De tore va Pisa Me laat ee bal valle vaaf de tore va Pisa(63m hoog) Na elke keer stuitere haalt de bal og ee vijfde va de voorgaade hoogte. Gevraagd zij: a) De hoogte a de e keer

Nadere informatie

Deel A. Breuken vergelijken 4 ----- 12

Deel A. Breuken vergelijken 4 ----- 12 Deel A Breuke vergelijke - - 0 Breuke e brokke (). Kleur va elke figuur deel. Doe het zo auwkeurig mogelijk.. Kleur va elke figuur deel. Doe het telkes aders.. Kleur steeds het deel dat is aagegeve. -

Nadere informatie

Discrete dynamische systemen: wiskundige modellen met rijen, vectoren en matrices Deel 1: rijen en recursievergelijkingen

Discrete dynamische systemen: wiskundige modellen met rijen, vectoren en matrices Deel 1: rijen en recursievergelijkingen Discrete dyamische systeme: wiskudige modelle met rije, vectore e matrices Deel 1: rije e recursievergelijkige Ihoud 1. Ileidig. Tabelle e grafieke 3. Ee spiewebdiagram 4. Ee ecoomisch probleem 5. Aalytisch

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 - Rijen ) = bladzijde ; voor x = 11 is y = = 55. te rekenen omdat die ook met hele stappen toeneemt.

Hoofdstuk 1 - Rijen ) = bladzijde ; voor x = 11 is y = = 55. te rekenen omdat die ook met hele stappen toeneemt. Hoofdstuk - Rije bladzijde V-a Als x steeds met toeeemt, da eemt y met toe. b Voor x is y + 5 ; voor x is y + 55. c De waarde va x eemt met hele stappe toe. De waarde va y is da makkelijk uit te rekee

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 6. Proporties. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 6. Proporties. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1. Ee ieuwe aam voor ee gekede grootheid...2

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodelle e ormaal verdeelde steekproefgroothede 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1.

Nadere informatie

Ongelijkheden. IMO trainingsweekend 2013

Ongelijkheden. IMO trainingsweekend 2013 Ogelijkhede IMO traiigsweeked 0 Deze tekst probeert de basis aa te brege voor het bewijze va ogelijkhede op de IMO. Het is de bedoelig om te bewijze dat ee bepaalde grootheid (ee uitdrukkig met ee aatal

Nadere informatie

Oefeningen op Rijen. Leon Lenders, Bree

Oefeningen op Rijen. Leon Lenders, Bree Oefeige op Rije Leo Leders, Bree I de tekst staa ee aatal oefeige i verbad met rije. De moeilijkere oefeige zij volledig uitgewerkt. Volgede oderwerpe kome aa bod : Plooie va ee blad papier Salaris Het

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde A vwo 2010 - I Eidexame wiskude A vwo - I Beoordeligsmodel Maratholoopsters maximumscore 3 uur, 43 miute e 3 secode is 98 secode De selheid is 495 98 (m/s) Het atwoord: 4,3 (m/s) maximumscore 3 Uit x = 5 volgt v 4,4

Nadere informatie

Steekproeftrekking Onderzoekspopulatie Steekproef

Steekproeftrekking Onderzoekspopulatie Steekproef Steekproeftrekkig I dit artikel worde twee begrippe beschreve die va belag zij voor het uitvoere va ee oderzoek. Het gaat om de populatie va het oderzoek e de steekproef. Voor wat betreft steekproeve lichte

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3NA10 of 3AA10) Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10)

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3NA10 of 3AA10) Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) TECHISCHE UIVERSITEIT EIDHOVE Tetame Ileidig Experimetele Fysica (3A10 of 3AA10) Tetame OGO Fysisch Experimetere voor mior AP (3M10) d.d. 0 jauari 010 va 9:00 1:00 uur Vul de presetiekaart i blokletters

Nadere informatie

PARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens

PARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens PARADOXEN 9 Dr Luc Gheyses LIMIETEN, AFGELEIDEN EN INTEGRALEN: ENKELE MERKWAARDIGE VERHALEN Ileidig: verhale over ifiitesimale Ee ifiitesimaal (of ifiitesimaal kleie waarde) is ee object dat mi of meer

Nadere informatie

7. Betrouwbaarheidsintervallen voor proporties

7. Betrouwbaarheidsintervallen voor proporties VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 7. Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg

Nadere informatie

Een meetkundige constructie van de som van een meetkundige rij

Een meetkundige constructie van de som van een meetkundige rij Ee meetkudige costructie va de som va ee meetkudige rij [ Dick Kliges ] Iets verder da Euclides deed Er wordt door sommige og wel ees gedacht dat Euclides (hij leefde rod 300 v. Chr.) allee over meetkude

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame VW 007 tijdvak woesdag 6 mei.0-6.0 uur wiskude B Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 0 vrage. Voor dit exame zij maximaal 8 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel

Nadere informatie

Rijen en reeksen. Mei 2008. Remy van Bergen Peter Mulder

Rijen en reeksen. Mei 2008. Remy van Bergen Peter Mulder Rije e reekse Keuzeoderwerp Atheeum 5 wiskude B e B Mei 008 Remy va Berge Peter Mulder Dit boekje gaat over rije e reekse. Wiskudige rije! Rije worde i de wiskude op verschillede maiere gedefiieerd. Met

Nadere informatie

fíéê~íáéi=çóå~ãáëåüé=éêçåéëëéå=éå= åìãéêáéâé=ãéíüççéå=

fíéê~íáéi=çóå~ãáëåüé=éêçåéëëéå=éå= åìãéêáéâé=ãéíüççéå= fíéê~íáéiçóå~ãáëåüééêçåéëëéåéå åìãéêáéâéãéíüççéå oçöéêi~äáé hçéåpíìäéåë Iteratie, dyamische processe e umerieke methode Roger Labie Koe Stules www.scholeetwerk.be 005, UHasselt (België), Scholeetwerk Weteschappe

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame VW 007 tijdvak woesdag 6 mei.0-6.0 uur wiskude B Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 0 vrage. Voor dit exame zij maximaal 8 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel

Nadere informatie

Videoles Discrete dynamische modellen

Videoles Discrete dynamische modellen Videoles Discrete dyamische modelle Discrete dyamische modelle Orietatie Algebraisch Algebraisch/ umeriek Numeriek Maak de volgede rijtjes af: Puzzele met rijtjes a. 2 4 6 8 10 - b. 1 2 4 8 16 - c. 1 2

Nadere informatie

Inleiding. 1. Rijen. 1.1 De rij van Fibonacci. 2 Zou je deze regelmatigheden kunnen verklaren met wiskunde? déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå=téíéåëåü~éééå=

Inleiding. 1. Rijen. 1.1 De rij van Fibonacci. 2 Zou je deze regelmatigheden kunnen verklaren met wiskunde? déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå=téíéåëåü~éééå= Ileidig Waarom vorme zoebloempitte 2 bochte i de ee richtig e 34 i de adere? E wat heeft ee huisjesslak te make met + 5 2 Zou je deze regelmatighede kue verklare met wiskude? Heeft wiskude cocrete toepassige

Nadere informatie

Buren en overlast. waar je thuis bent...

Buren en overlast. waar je thuis bent... Bure e overlast waar je thuis bet... Goed wooklimaat HEEMwoe vidt het belagrijk dat bewoers prettig woe i ee fije buurt. De meeste buurtbewoers kue het goed met elkaar vide. Soms gaat het sameleve i ee

Nadere informatie

De standaardafwijking die deze verdeling bepaalt is gegeven door

De standaardafwijking die deze verdeling bepaalt is gegeven door RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE VWO CM T311-VCM-H911 Voor elk oderdeel is aagegeve hoeveel pute kue worde behaald. Atwoorde moete altijd zij voorzie va ee berekeig, toelichtig of argumetatie. MAX:

Nadere informatie

Betrouwbaarheid. Betrouwbaarheidsinterval

Betrouwbaarheid. Betrouwbaarheidsinterval Betrouwbaarheid Ee simulatie beoogt éé of i.h.a. twee of meerdere sceario s te evaluere e te vergelijke, bij Mote Carlo (MC) simulatie voor ee groot aatal istelwaarde, voor éé of meerdere parameters. Hierbij

Nadere informatie

imtech Arbodienst (versie 2.0)

imtech Arbodienst (versie 2.0) imtech Arbodiest (versie 2.0) veilig e gezod werke (Gezodheids)risico s bij autorijde Buite de verkeersveiligheid e de oderhoudsstaat va de auto ka ook het lagdurig zitte i de auto tot (gezodheids)klachte

Nadere informatie

RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO CM/EM T212-HCMEM-H7911 Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald.

RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO CM/EM T212-HCMEM-H7911 Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald. RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO CM/EM T1-HCMEM-H7911 Voor elk oderdeel is aagegeve hoeveel pute kue worde behaald. Atwoorde moete altijd zij voorzie va ee berekeig, toelichtig of argumetatie.

Nadere informatie

Examen PC 2 onderdeel 4A

Examen PC 2 onderdeel 4A Exame PC 2 oderdeel 4A Istructieblad Betreft: exame: PC 2 oderdeel 4A leergag 3 oderdeel: Fiaciële Rekekude datum: 30 mei 2012 tijdsduur: 90 miute (09:30-11:00 uur) Deze aawijzige goed leze voor u met

Nadere informatie

Complexe getallen. c(a+ib)=ca+i(cb) id(a+ib)=i(ad)+i 2 (bd)=(-bd)+i(ad) (a+ib)(c+id)=ac+i(ad)+i(bc)+i 2 (bd)= ac-bd+i(ad+bc)

Complexe getallen. c(a+ib)=ca+i(cb) id(a+ib)=i(ad)+i 2 (bd)=(-bd)+i(ad) (a+ib)(c+id)=ac+i(ad)+i(bc)+i 2 (bd)= ac-bd+i(ad+bc) . Ileidig: Complexe getalle I de wiskude stelt zich het probleem dat iet bestaat voor de reële getalle of dat de vergelijkig x + 0 gee reële ulpute heeft. Om dit euvel op te losse werd het getal i igevoerd

Nadere informatie

Machtsfuncties en wortelfuncties. Introductie 177. Leerkern 178

Machtsfuncties en wortelfuncties. Introductie 177. Leerkern 178 Ope Ihoud Uiversiteit leereeheid 6 Wiskude voor ilieuweteschappe Machtsfucties e wortelfucties Itroductie 77 Leerker 7 Machtsfucties et ee atuurlijk getal als epoet 7 Machtsfucties et ee egatief geheel

Nadere informatie

www. POspiegel.nl Online Instrument voor CB Het Talent schooljaar februari DigiDoc

www. POspiegel.nl Online Instrument voor CB Het Talent schooljaar februari DigiDoc POspiegel.l Olie Istrumet voor CB Het Talet schooljaar 2009-2010 februari 2010 2010 DigiDoc www. Algemee Algemee. pagia 1 Eigeschappe Equête Nummer ENQ60536 Naam schooljaar 2009-2010 Istellig CB Het Talet

Nadere informatie

Functies, Rijen, Continuïteit en Limieten

Functies, Rijen, Continuïteit en Limieten Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-0 Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Ihoud 1. Fucties Defiitie e kemerke / bewerkige op fucties Reële fucties va éé reële veraderlijke

Nadere informatie

Waar moet je aan denken? Verhuizen. Stap 1: Hoe zeg ik de huur op?

Waar moet je aan denken? Verhuizen. Stap 1: Hoe zeg ik de huur op? Verhuize Waar moet je aa deke? Verhuize Bij verhuize komt heel wat kijke. Naast het ipakke va spulle e doorgeve va adreswijzigige, is het ook belagrijk dat u same met Thuisvester ee aatal zake regelt.

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskude B, (ieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereided Weteschappelijk Oderwijs 0 0 Tijdvak Izede scores Uiterlijk op jui de scores va de alfabetisch eerste vijf kadidate per school op de daartoe

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2007-I

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2007-I Eidexame wiskude B vwo 007-I havovwo.l Podiumverlichtig Ee podium is 6 meter diep. Midde bove het podium hagt ee balk met tl-buize. De verlichtigssterkte op het podium is het kleist aa de rad, bijvoorbeeld

Nadere informatie

Tabellenrapportage CQ-index Kraamzorg

Tabellenrapportage CQ-index Kraamzorg Tabellerapportage CQ-idex Kraamzorg Jauari 2011 Ihoud Pagia Algemee uitleg 1 Deelame e bevalmaad 1 De itake 2 3 Zorg tijdes de bevallig 3 4 Zorg tijdes de kraamperiode 4 10 Samewerkig e afstemmig 11 Algemee

Nadere informatie

Eindexamen natuurkunde 1-2 compex havo 2007-I

Eindexamen natuurkunde 1-2 compex havo 2007-I Ogave 1 Kerfusie I de zo fusere waterstofkere tot heliumkere. Bij fusie komt eergie vrij. O deze maier roduceert de zo er secode 3,9 10 26 J. Alle eergiecetrales o aarde roducere same i éé jaar ogeveer

Nadere informatie

Stochastische loadflow. Beschrijving model belasting.

Stochastische loadflow. Beschrijving model belasting. Stochastische loadflow. eschrijvig model belastig. 95 pmo 5-- Phase to Phase V Utrechtseweg 3 Postbus 68 AC Arhem T: 6 356 38 F: 6 356 36 36 www.phasetophase.l 95 pmo INHOUD Ileidig...3 eschrijvig belastig...

Nadere informatie

Examen PC 2 onderdeel 4A

Examen PC 2 onderdeel 4A Exame PC 2 oderdeel 4A Istructieblad Betreft: exame: PC 2 oderdeel 4A leergag 1 oderdeel: Fiaciële Rekekude datum: 27 mei 2011 tijdsduur: 90 miute (10.00-11.30 uur) Deze aawijzige goed leze voor u met

Nadere informatie

Op zoek naar een betaalbare starterswoning? Koop een eigen huis met korting

Op zoek naar een betaalbare starterswoning? Koop een eigen huis met korting Op zoek aar ee betaalbare starterswoig? Koop ee eige huis met kortig Op zoek aar ee betaalbare starterswoig? Koop ee eige huis met kortig Pagia Ee eige huis waar u zich helemaal thuis voelt. Dat wil iederee!

Nadere informatie

Regressie, correlatie en modelvorming

Regressie, correlatie en modelvorming Hoofdstuk 9 Regresse, correlate e modelvormg 9. Leare regresse 9.. Ileded voorbeeld De pute (,3), (,) e (3,5) lgge et op éé rechte. Hoe kue we de rechte vde de het best aaslut bj de pute? Plaats de coördate

Nadere informatie

Combinatoriek. Nota s in samenwerking met Anja Struyf en Sabine Verboven (Universiteit Antwerpen)

Combinatoriek. Nota s in samenwerking met Anja Struyf en Sabine Verboven (Universiteit Antwerpen) 1 Combiatoriek Nota s i samewerkig met Aja Struyf e Sabie Verbove (Uiversiteit Atwerpe) I het dagelijkse leve worde we vaak gecofroteerd met vraagstukke waarva de oplossig het telle va het aatal elemete

Nadere informatie

Wijzigingsformulier Ziektekostenverzekering

Wijzigingsformulier Ziektekostenverzekering De Amersfoortse Verzekerige Stadsrig 15, postbus 42 3800 AA Amersfoort Tel. (033) 464 29 11 Fax (033) 464 29 30 Wijzigigsformulier Ziektekosteverzekerig Gegevesverwerkig Bij deze wijzigig worde persoosgegeves

Nadere informatie

Wijzigingsformulier Ziektekostenverzekering

Wijzigingsformulier Ziektekostenverzekering De Amersfoortse Verzekerige Stadsrig 15, postbus 42 3800 AA Amersfoort Tel. (033) 464 29 11 Fax (033) 464 29 30 Gegevesverwerkig Wijzigigsformulier Ziektekosteverzekerig Bij deze wijzigig worde persoosgegeves

Nadere informatie

Thermodynamica HWTK PROEFTOETS- AT02 - UITWERKING.doc 1/9

Thermodynamica HWTK PROEFTOETS- AT02 - UITWERKING.doc 1/9 VAK: hermodyamica HWK Set Proeftoets A0 hermodyamica HWK PROEFOES- A0 - UIWERKING.doc /9 DI EERS LEZEN EN VOORZIEN VAN NAAM EN LEERLINGNUMMER! Beschikbare tijd: 00 miute Uw aam:... Klas:... Leerligummer:

Nadere informatie

Dit geeft ee voorwaarde die slechts afhagt va de begiwaarde va de `basisoplossige' (bij (3) is die voorwaarde a b a b 0). Hoe ka me twee lieair oafhak

Dit geeft ee voorwaarde die slechts afhagt va de begiwaarde va de `basisoplossige' (bij (3) is die voorwaarde a b a b 0). Hoe ka me twee lieair oafhak Lesbrief 5 Recurreties e ogelijkhede Recursief gedefiieerde rije Er zij getallerije {a } die voldoe aa ee recurrete betrekkig va de vorm a +k = f(a +k ;a +k ;:::;a ) voor = ; ;:::, waardoor de + k-de term

Nadere informatie

12 Kansrekening. 12.1 Kansruimten WIS12 1

12 Kansrekening. 12.1 Kansruimten WIS12 1 WIS12 1 12 Kasrekeig 12.1 Kasruimte Kasmaat Ee experimet is ee hadelig of serie hadelige met ee of meer mogelijke resultate uitkomste geoemd). De uitkomsteruimte, die we steeds zulle aageve met Ω, is de

Nadere informatie

Spelen met vormen. Tim Neefjes Bryan Tong Minh

Spelen met vormen. Tim Neefjes Bryan Tong Minh Spele met vorme Tim Neefjes Brya Tog Mih Ileidig Toe ee plei i Stockholm, Sergel s Square aa heraaleg toe was stode de architecte voor ee probleem. Het was ee rechthoekig plei e i het midde moest ee wikelcetrum

Nadere informatie

d 25, 35, 47 of27, 43, 69 b 2, 27, 10240, 100, e = 287 u( n) = 243 ( ) n

d 25, 35, 47 of27, 43, 69 b 2, 27, 10240, 100, e = 287 u( n) = 243 ( ) n Netwerk 4-5 vwo wiskude D Hoofdstuk 8 uitwerkige Hoofdstuk 8 Ker a 3, 37, 43 c 5, 3, 49 b, 3, d 5, 35, 47 of7, 43, 9 a,, 3, 5, 7 d 0,,,, 0 b, 7,, 3, 8 e 35, 35, 35, 35, 35 c 5, 0, 0, 40,80 f 0,, 8, 7,

Nadere informatie

Huisstijl en logogebruik Associatie KU Leuven

Huisstijl en logogebruik Associatie KU Leuven Huisstijl e logogebruik Associatie KU Leuve Associatie huisstijlhadboek > Ihoudstafel 1 Ihoudstafel 1. Gebruik va de huisstijl of opame va het associatielogo 3 2. Huisstijl Associatie KU Leuve 4 2.1 Opame

Nadere informatie

déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå

déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå téíéåëåü~éééå táëâìåçé oáàéå e~åë=_éâ~éêí oçöéê=i~äáé iéçå=iéåçéêë hçéå=píìäéåë 4, LUC Diepebeek (België), Geboeid door Wiskude e Weteschappe Niets uit deze uitgave mag worde verveelvoudigd

Nadere informatie

1. Weten dat in het geval van compressoren rekening moet gehouden worden met thermische effecten

1. Weten dat in het geval van compressoren rekening moet gehouden worden met thermische effecten Hoofdstuk 4 Compressore Doelstellige 1. Wete dat i het geval va compressore rekeig moet gehoude worde met thermische effecte 2. Wete dat er ee gres is aa het verhoge va de druk va ee gas 3. Wete welke

Nadere informatie

Schatgraven. Werken aan de zelfstandigheid van kinderen

Schatgraven. Werken aan de zelfstandigheid van kinderen Werke aa de zelfstadigheid va kidere 2 Ileidig Werke aa zelfstadigheid is ee oderwerp dat al vele jare ee belagrijk oderdeel is va het oderwijsaabod op OBS De Spiegel. I 2008 is beslote om Zelfstadig werke

Nadere informatie

Commissie Pensioenhervorming 2020-2040. Nota over de actuariële neutraliteit. Bijlage III

Commissie Pensioenhervorming 2020-2040. Nota over de actuariële neutraliteit. Bijlage III Commissie Pesioehervormig 00-040 Nota over de actuariële eutraliteit Bijlage III. I het kader va de ivoerig va ee «deeltijds pesioe» wordt de kwestie va de actuariële correctie va de uitkerige i geval

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 18 juni uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 18 juni uur Eame VW 05 tijdvak doderdag 8 jui.0-6.0 uur wiskude B (pilot) Dit eame bestaat uit 7 vrage. Voor dit eame zij maimaal 79 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel pute met ee goed atwoord behaald

Nadere informatie

Ja, ik wil. Trouwen in Vlaardingen

Ja, ik wil. Trouwen in Vlaardingen Ja, ik wil Trouwe i Vlaardige Ihoud Pagia 4 Locatie kieze Pagia 5 Tijdstip kieze Pagia 6 De plechtigheid Pagia 8 I odertrouw Pagia 9 Tot slot Pagia 11 Bijlage Gefeliciteerd met uw voorgeome huwelijk of

Nadere informatie

Een andere kijk op Financiële Rekenkunde Wim Pijls, Erasmus Universiteit Rotterdam

Een andere kijk op Financiële Rekenkunde Wim Pijls, Erasmus Universiteit Rotterdam Ee adere kijk op Fiaciële Rekekude Wim Pijls, Erasmus Uiversiteit Rotterdam. Ileidig Het vak Fiaciële Rekekude levert vawege zij sterk wiskudig karakter ogal wat probleme op i het oderwijs. Veel leerlige

Nadere informatie

Mexicaanse griep: A/H1N1 griep

Mexicaanse griep: A/H1N1 griep Mexicaase griep: A/H1N1 griep Wat is de Mexicaase griep? De zogeaamde Mexicaase of varkesgriep is ee ieuwe variat va het griepvirus, met ame A/H1N1. Weiig mese hebbe immuiteit voor dit virus. Hierdoor

Nadere informatie

Betrouwbaarheid van een steekproefresultaat m.b.t. de hele populatie

Betrouwbaarheid van een steekproefresultaat m.b.t. de hele populatie Betrouwbaarheid va ee steekproefresultaat m.b.t. de hele populatie Verschillede steekproeve uit eezelfde populatie levere verschillede (steekproef) resultate op. Dit overmijdelijke verschijsel oeme we

Nadere informatie

wiskunde A pilot vwo 2016-I

wiskunde A pilot vwo 2016-I wiskude A pilot vwo 06-I Aalscholvers e vis maximumscore 3 De viscosumptie per dag is 30 0 0,36 + 696 0, 85 ( 788 (kg)) I de maad jui is dit 30 788 (kg) Het atwoord: 38 000 ( 38 duized) (kg) Als ee kadidaat

Nadere informatie

Evaluatie pilot ipad onder docenten

Evaluatie pilot ipad onder docenten Evaluatie pilot ipad oder docete Oderwerp equête Geëquêteerde Istellig Evaluatie pilot ipad Docete OSG Sigellad locatie Drachtster Lyceum Datum aamake equête 19-06-2012 Datum uitzette equête 21-06-2012

Nadere informatie

Hoe werkt het? Zelf uw woning aanpassen

Hoe werkt het? Zelf uw woning aanpassen Woig aapasse Hoe werkt het? Zelf uw woig aapasse Prettig woe beteket woe i ee huis aar uw smaak. Om og fijer te kue woe, wille veel huurders kleie of grote veraderige aabrege i hu huis. Thuisvester begrijpt

Nadere informatie

Efficiënt communiceren met uw zakenrelaties 09/2012

Efficiënt communiceren met uw zakenrelaties 09/2012 Mobile Busiess Mobile Busiess Efficiët commuicere met uw zakerelaties 9040413 09/2012 Ik kies voor mij bedrijf Het geheim achter efficiët zakedoe? De juiste beslissige eme, odersteud door ee optimale commuicatie.

Nadere informatie

Schoenen voor diabetes en reuma

Schoenen voor diabetes en reuma Schoee voor diabetes e reuma Comfortschoee gemaakt voor de extra kwetsbare voet Officieel gee vergoedig via zorgverzekeraar. Echter bij ekele zorgverzekeraars is door middel va idividuele aavraag vergoedig

Nadere informatie

Semi-orthopedische schoenen (OSB)

Semi-orthopedische schoenen (OSB) Semi-orthopedische schoee speciaal voor uw voete gemaakt Om i aamerkig te kome voor vergoedig zij gemachtigd voor te schrijve: Eerste verstrekkig: Revalidatieartse Orthopedische chirurge Reumatologe AWBZ

Nadere informatie

Eindrapport Leerlingtevredenheidsonderzoek Floracollege Eindexamenklassen 2013

Eindrapport Leerlingtevredenheidsonderzoek Floracollege Eindexamenklassen 2013 Eidrapport Leerligtevredeheidsoderzoek Floracollege Eidexameklasse 2013 Juli 2013 Ihoudsopgave Samevattig 3 Vrage over schoolwerk 5 Vrage over jezelf 6 Vrage over docete 8 Vrage over de metor 11 Vrage

Nadere informatie

Hoeveel getallen van 2 verschillende cijfers kan je vormen met de cijfers 1,4,7,8? tweede cijfer 4 7 8 1 7 8 1 4 8 1 4 7

Hoeveel getallen van 2 verschillende cijfers kan je vormen met de cijfers 1,4,7,8? tweede cijfer 4 7 8 1 7 8 1 4 8 1 4 7 Hoofdstu Combiatorie. Basisregels Combiatorie is de studie va telprobleme. De ust va het telle bestaat vaa uit het codere of aders voorstelle va het telprobleem, zodat het uiteidelij volstaat om de volgede

Nadere informatie

Toelichting bij Opbrengstgegevens VAVO 2011-2013

Toelichting bij Opbrengstgegevens VAVO 2011-2013 Toelichtig bij Opbregstgegeves VAVO 2011-2013 Ihoud Ileidig Aatal deelemers exame Kegetalle toezicht exames CE-cijfer alle vakke CE-cijfer alle vakke - tred SE-cijfer mius CE cijfer alle vakke Percetage

Nadere informatie

1. Symmetrische Functies

1. Symmetrische Functies Algebra III 1 1. Symmetrische Fucties permutatios sot la metaphysique des équatios Lagrage*, 1771 I dit hoofdstuk bestudere we de ivariate va de werkig va de symmetrische groep S op polyoomrige i variabele.

Nadere informatie

Hoe los ik het op, samen met Thuisvester? Ik heb een klacht

Hoe los ik het op, samen met Thuisvester? Ik heb een klacht Klachte? Hoe los ik het op, same met Thuisvester? Ik heb ee klacht Thuisvester doet haar uiterste best de beste service te verlee aa haar huurders. We vide ee goede relatie met oze klate erg belagrijk.

Nadere informatie

Officiële uitgave van het Koninkrijk der Nederlanden sinds 1814.

Officiële uitgave van het Koninkrijk der Nederlanden sinds 1814. STAATSCOURANT Officiële uitgave va het Koikrijk der Nederlade sids 1814. Nr. 6416 10 maart 2015 Regelig va de Miister va Oderwijs, Cultuur e Weteschap va 27 februari 2015, r. FEZ/732697 houdede wijzigig

Nadere informatie

RAADS IN FORMATIE BRIE F

RAADS IN FORMATIE BRIE F RAADS IN FORMATIE BRIE F gemeete WOERDEN Va: college va burgemeester e wethouders Datum: 1 december 2011 Portefeuillehouder(s): Titia Cosse Portefeuille(s): portefeuille Moumete e Archeologie Cotactpersoo:

Nadere informatie

Een samenvatting van de CAO voor Uitzendkrachten 2012-2017

Een samenvatting van de CAO voor Uitzendkrachten 2012-2017 Ee samevattig va de CAO voor Uitzedkrachte 2012-2017 Uitgave juli 2015 Ihoudsopgave 1. Ileidig 5 2. Fasesysteem 5 2.1 Fase A 6 2.2 Fase B 6 2.3 Fase C 6 2.4 Oderbrekigsregels 7 2.5 Overgagsregelig fase

Nadere informatie

Effectief document- en risicobeheer

Effectief document- en risicobeheer Tekee voor efficiecy Effectief documet- e risicobeheer Met KOVO s techisch iformatiecetrum (TIC) altijd toegag tot actuele tekeige e documete é voldoe aa de eise va wet- e regelgevig. Succesvol documetbeheer

Nadere informatie

Cahiers T 3 Europe Vlaanderen nr. 3. Regressie. Een eerste kennismaking. Bieke Van Deyck

Cahiers T 3 Europe Vlaanderen nr. 3. Regressie. Een eerste kennismaking. Bieke Van Deyck Cahiers T 3 Europe Vlaadere r. 3 Regressie Ee eerste keismakig Bieke Va Deyck Regressie Ee eerste keismakig Bieke Va Deyck Ihoudsopgave HOOFDSTUK : DE BIVARIATE VERDELING A. Probleembeschrijvig B. Het

Nadere informatie

Statistiek = leuk + zinvol

Statistiek = leuk + zinvol Statistiek = leuk + zivol Doel 1: Doel : Doel 3: zie titel ee statistisch oderzoek kue beoordele ee statistisch oderzoek kue opzette ee probleem vertale i stadaardmethode gegeves verzamele, verwerke via

Nadere informatie

Mobile Business Efficiënt communiceren met uw zakenrelaties

Mobile Business Efficiënt communiceren met uw zakenrelaties Mobile Busiess Efficiët commuicere met uw zakerelaties Uiek! Exteded Fleet Obeperkt belle aar alle Mobistar-ummers e vaste lije! Ik kies voor mij bedrijf Het geheim achter efficiët zakedoe? De juiste beslissige

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 Rijen en webgrafieken

Hoofdstuk 1 Rijen en webgrafieken Hoofdstuk Rije e wegrafieke Voorkeis: Rije ladzijde V-a u 7 + v +, c De vergelijkig 7 + +, oplosse geeft, e dus 8. Ze hee eide 8 rode gelope. V- u, u met u V-a u + ( ) + + s u + u + u +... + u + + 8 +

Nadere informatie

Schoenen voor diabetes en reuma

Schoenen voor diabetes en reuma Schoee voor diabetes e reuma Comfortschoee gemaakt voor de extra kwetsbare voet Officieel gee vergoedig via zorgverzekeraar. Echter bij ekele zorgverzekeraars is door middel va idividuele aavraag vergoedig

Nadere informatie

Overlijden: uw rechten in Duitsland en Nederland

Overlijden: uw rechten in Duitsland en Nederland Regelige e voorzieige CODE 1.1.3.46 Overlijde: uw rechte i Duitslad e Nederlad brochure broe Bureau voor Duitse Zake, www.svb.l/bdz Ihoudsopgave Overlijde Uw rechte i Duitslad e Nederlad Deskudig e betrouwbaar

Nadere informatie

Inzicht in voortgang. Versnellingsvraag 9 Inzichten periode maart t/m juni

Inzicht in voortgang. Versnellingsvraag 9 Inzichten periode maart t/m juni Izicht i voortgag Verselligsvraag 9 Izichte periode maart t/m jui Terugblik Ee idicatie hoe ee leerlig zich otwikkeld per vakgebied Ee referetieiveau waarmee elke leerlig vergeleke ka worde 2 Terugblik

Nadere informatie

we willen graag zelf klussen in onze nieuwe woning.

we willen graag zelf klussen in onze nieuwe woning. ZELF AANGEBRACHTE VOORZIENINGEN we wille graag zelf klusse i oze ieuwe woig. ECHT WEL. Zelf uw woig aar wes veradere De woig die u va os huurt, wilt u atuurlijk aar uw eige smaak irichte. U kiest zelf

Nadere informatie

HANDLEIDING CONDITIONELE ORDERS

HANDLEIDING CONDITIONELE ORDERS hadleidig coditioele orders HANDLEIDING CONDITIONELE ORDERS Ee coditioele order kut u vergelijke met ee istructie die u geeft aa uw wekkerradio: als het 7.30 uur is, wil ik dat de radio aagaat e ik gewekt

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) wiskude A, (ieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereided Weteschappelijk Oderwijs 0 04 Tijdvak izede scores Verwerk de scores va de alfabetisch eerste vijf kadidate per school i het programma Wolf

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II Eidexame wiskude B vwo 200 - II Formules Vlakke meetkude Verwijzige aar defiities e stellige die bij ee bewijs moge worde gebruikt zoder adere toelichtig. Hoeke, lije e afstade: gestrekte hoek, rechte

Nadere informatie