Functies, Rijen, Continuïteit en Limieten

Transcriptie

1 Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-0 Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Ihoud 1. Fucties Defiitie e kemerke / bewerkige op fucties Reële fucties va éé reële veraderlijke 2. Rije Defiitie e voorbeelde / kemerke va rije Rekeregels voor limiete Deelrije e het O-smbool 3. Cotiuïteit 4. Limiete Fucties: Defiities e kemerke Ee fuctie f va de verzamelig A aar de verzamelig B is ee voorschrift dat aa elk elemet va ; A juist éé elemet va B toevoegt. We otere = f() e f : A B : f(). A is het domei of defiitiegebied va f : A = domf. Bij elke domf hoort precies éé elemet = f() B. f() is het beeld va oder f, of ook wel de waarde va f i. De verzamelig va alle beelde bldf = f(a) = { B A : = f()} is het bereik of beeld va f. Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-2 Cotiuïteit e Limiete Notatie: f : A B : f() A is oafhakelijke veraderlijke of argumet = f() B is afhakelijke veraderlijke metafoor: iput-output machie iput output f f() Surjectie Ee fuctie f : A B is ee surjectie als B : A : = f(). Dat wil zegge f(a) = B. A B Opm.: We make gee oderscheid tusse fuctie e afbeeldig! 5 6 Pijlediagram va ee surjectie

2 Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-4 Cotiuïteit e Limiete Ijectie Ee fuctie f : A B is ee ijectie als elk elemet va B het beeld is va hooguit éé elemet va A: als = f( 1 ) e = f( 2 ) da 1 = 2. Bij ee ijectieve fuctie geeft verschillede iput ee verschillede output als 1 2 da f( 1 ) f( 2 ). A f 6 7 bld f ( 1 1 duidig ) B Bijectie Ee fuctie f : A B is ee bijectie waeer ze zowel surjectief als ijectief is. A B Pijlediagram va ee bijectie f e de iverse fuctie f 1 4 Pijlediagram va ee ijectie Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-6 Cotiuïteit e Limiete Iverse fuctie Het ivers beeld va B is de verzamelig f 1 () = { A f() = }. Als bldf = f(a) da is f 1 () iet leeg. Ee fuctie f : A B is iverteerbaar als voor iedere f(a) de verzamelig f 1 () uit precies éé elemet bestaat. I dat geval otere we dat elemet ook met f 1 () e is f 1 : f(a) A : = f 1 () de iverse fuctie. Er geldt = f 1 () als e slechts als = f(). f is iverteerbaar als e slechts als f ijectief is. als f ee bijectie is da is f 1 ee bijectie va B aar A Bewerkige op fucties Als f ee fuctie is va A aar B e g ee fuctie va B aar C da wordt de samegestelde fuctie g f gedefiieerd als g f : A C : g f() = g(f()). A g f B C bld f g f

3 Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-8 Cotiuïteit e Limiete Als iput-output machie : iput f output f() iput g output g (f()) Het samestelle va fucties is iet commutatief vb.: stel f() = + 3 e g() = 3 f g () = g f () = ( + 3) 3 Som, verschil, product e quotiët Neem aa dat B ee verzamelig is waarop som, verschil, product, quotiët gedefiieerd zij (bv. B = R). Stel f e g zij twee fucties va A aar B. De som f + g, het verschil f g, het product f g e f g worde gedefiieerd als het quotiët f + g : A B : f() + g() f g : A B : f() g() fg : A B : f()g() f f() : { A g() 0} B : g g() Let op: we moge iet door ul dele. f() is iet gedefiieerd als g() = 0. g() Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-10 Cotiuïteit e Limiete Reële fucties va éé reële veraderlijke Ee fuctie heet reëel als bldf R. Als bovedie domf R da is f ee reële fuctie va éé reële veraderlijke. Grafiek va ee ijectie graf f De grafiek va de fuctie f is graff = {(, ) R 2 domf e = f()} f(a) P de grafiek bevat alle iformatie over het verloop va f (stijge/dale, mi/ma, limiete, ez.) a f( o ) P o Grafiek va ee ijectie De fuctie is ijectief als e slechts als elke horizotale rechte de grafiek hooguit ée keer doorsijdt.

4 Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-12 Cotiuïteit e Limiete Grafiek va de iverse fuctie f(a) -1 f (b) P a graf f b Q graf f Grafiek va ee ijectie f e va f 1-1 Elemetaire reële fucties Polome of veelterme: als a 0, a 1,..., a gegeve reële getalle zij met a 0, da is de fuctie P : R R : P () = a 0 +a 1 + +a = a k k k=0 ee veelterm va de -de graad i met coëfficiëte a 0, a 1,..., a Ratioale fucties: idie P e Q veelterme zij, da is De grafiek va de iverse fuctie krijge we door de grafiek va de fuctie te spiegele i de rechte =. R = P Q ee ratioale fuctie. Het domei va R is domr = { R Q() 0}. Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-14 Cotiuïteit e Limiete Machtfucties: Voor elke N 0 is de machtsfuctie ee veelterm va graad. Voor egatieve gehele getalle geldt = 1. Voor N 0 is de beperkig va tot R + ijectief e het bereik is R +. De iverse otere we met R + R + : 1/ = e heet de de machtswortel. Voor q = m Q (met m Z, N 0) geldt teslotte met domei R +. q = ( 1/) m Begrippe rod ordeig: stijge e dale Stel f : domf R R is ee reële fuctie va éé reële veraderlijke. Zij A domf. f is stijged op A idie 1, 2 A : 1 < 2 = f( 1 ) f( 2 ). f is strikt stijged op A idie 1, 2 A : 1 < 2 = f( 1 ) < f( 2 ). f is daled op A idie 1, 2 A : 1 < 2 = f( 1 ) f( 2 ). f is strikt daled op A idie 1, 2 A : 1 < 2 = f( 1 ) > f( 2 ).

5 Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-16 Cotiuïteit e Limiete Begrippe rod ordeig: begresd Stel f : domf R R is ee reële fuctie va éé reële veraderlijke. Zij A domf. f is aar bove begresd op A idie M R : A : f() M. f is aar oder begresd op A idie m R : A : f() m. f is begresd op A idie f zowel aar oder als aar bove begresd is op A. M is ee bovegres va f op A. m is ee odergres va f op A. Supremum e maimum Stel f : domf R R is ee reële fuctie va éé reële veraderlijke. Zij A domf. Als f aar bove begresd is op A, da is f(a) aar bove begresd e heeft bijgevolg ee supremum. Dit is het supremum va f op A Als f(a) ee grootste elemet heeft, da is dit het maimum va f op A. Dit maimum wordt bereikt i c als c A e A : f() f(c). Net zo worde het ifimum e het miimum va f op A gedefiieerd. Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-18 Cotiuïteit e Limiete Complee fucties Als bldf C da is f ee complee fuctie. Als domf C e bldf C da is f ee complee fuctie va éé complee veraderlijke. Veelterme: P (z) = a 0 + a 1 z + + a z = a k z k k=0 zij atuurlijk gedefiieerd voor elke z C. De coëfficiëte a 0,..., a moge ook complee getalle zij Rije: Defiitie e voorbeelde Ee fuctie a : N R is ee rij va reële getalle. I plaats va a() schrijve we a. De getalle a zij de elemete va de rij. Adere otatie voor rij: (a ) of (a ) =0. Opeevolgig va reële getalle a 0, a 1, a 2,... soms wille we iet met a 0 begie, maar met bv. a 1. Ook a 1, a 2, a 3,... zulle we ee rij oeme. Belagrijk is de opeevolgig va getalle e de richtig die i de rij zit: eerst a 0, da a 1, da a 2, ezovoorts.

6 Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-1 Cotiuïteit e Limiete Complee rije Ee fuctie a : N C is ee rij va complee getalle. Notatie (a ) of (a ) =0. Voorbeelde a = is de rij va atuurlijke getalle 0, 1, 2,..., a = a = ( 1) is ee altererede rij 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,... rij va priemgetalle 2, 3, 5, 7, 11, 13,... Fiboacci getalle f 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... zij recursief gedefiieerd door f 0 = f 1 = 1 e f = f 1 + f 2 voor 2. Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-3 Cotiuïteit e Limiete Covergetie va rije Rije worde vaak gebruikt i beaderigsprocesse. Bepaal ee eerste beaderig va de te bepale grootheid. Vid ee maier om ee betere beaderig te verkrijge. Geereer ee rij va steeds betere beaderige. De geweste grootheid is de limiet va de rij. Covergetie De rij (a ) is coverget met limiet L R idie bij elke ε > 0 ee atuurlijk getal 0 gevode ka worde, zodaig dat a L < ε geldt voor elke 0. I formulevorm ε > 0 : 0 N : 0 : a L < ε We kue ε beschouwe als ee geweste auwkeurigheid waarmee we L wese te beadere. Als de rij covergeert aar L, da kue we L met elke geweste auwkeurigheid beadere door maar a ver geoeg i de rij te eme, amelijk 0. Als ε kleier wordt geome, da zal 0 i het algemee groter gekoze moete worde.

7 Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-5 Cotiuïteit e Limiete R L + ɛ L L ɛ Notatie voor limiet Ook wel 0 L = lim a N Voorbeeld 1 Rij a = 10si() tot aa = 100. Gee covergetie! a L als. with(plots): f := -> 10*si(): plot([[, f()] $=0..100], =0..100, stle=poit,smbol=circle,smbolsize=18,scalig=costraied); Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-7 Cotiuïteit e Limiete Voorbeeld 2 Rij a = (!)1/ 1 tot aa = 50. Voorbeeld 2 Rij a = (!)1/ rod 0.4. lijkt te covergere aar ee limiet Late we uitvergrote rod = with(plots): g := -> (!)^(1/)/: plot([[, g()] $=0..50], =0..100, =0..1, stle=poit,smbol=circle,smbolsize=18,scalig=ucostraied);

8 Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-7 Cotiuïteit e Limiete Voorbeeld 2 Rij a = (!)1/ tot aa = 100. Voorbeeld 2 Rij a = (!)1/. Limiet lijkt zich te bevide rod Uitvergrotig rod 0.38: iterval [0.37, 0.39] with(plots): Digits := 20: g := -> (!)^(1/)/: plot([[, g()] $=0..100], =0..100, = , stle=poit,smbol=circle,smbolsize=18,scalig=ucostraied); with(plots): Digits := 20: g := -> (!)^(1/)/: plot([[, g()] $=0..100], =0..100, = , stle=poit,smbol=circle,smbolsize=18,scalig=ucostraied); Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-7 Cotiuïteit e Limiete Voorbeeld 2 Limiet lijkt zich te bevide rod Ter bevestigig eme we tot Voorbeeld 2 = 200 is iet groot geoeg. Neem = with(plots): Digits := 20: g := -> (!)^(1/)/: plot([[, g()] $=1..200], =0..200, = , stle=poit,smbol=circle,smbolsize=18,scalig=ucostraied); Oei! De pute lope uit het iterval [0.37, 0.39]. with(plots): Digits := 40: g := -> (!)^(1/)/: plot([[, g()] $= ], = , = , stle=poit,smbol=circle,smbolsize=18,scalig=ucostraied);

9 Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-7 Cotiuïteit e Limiete Voorbeeld 2 Vergroot het iterval tot [0.35, 0.39]. Voorbeeld 2 Me ka late zie dat de limiet va de rij (a ) bestaat e gelijk is aa with(plots): Digits := 40: g := -> (!)^(1/)/: plot([[, g()] $= ], = , = , stle=poit,smbol=circle,smbolsize=18,scalig=ucostraied); Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-8 Cotiuïteit e Limiete Divergetie Ee rij (a ) die iet coverget is, is diverget. Idie er voor elk reëel getal M ee atuurlijk getal 0 bestaat zodat 0 : a > M da is de rij (a ) diverget aar + e we schrijve lim + a = +. Aaloog is divergetie aar gedefiieerd e lim a =. Stijgede rije, begresde rije Ee rij is ee speciaal tpe reële fuctie va ee reële veraderlijke. De begrippe rod ordeig die we kee voor reële fucies va reële veraderlijke zij da ook toepasbaar op rije. Dus kue we spreke va stijgede e dalede rije, strikt stijgede e strikt dalede rije, aar bove begresde e aar oder begresde rije, begresde rije, supremum e ifimum va ee rij, maimum e miimum va ee rij.

10 Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-10 Cotiuïteit e Limiete STELLING 2.3: Ee dalede, aar oder begresde rij is coverget. Ee stijgede, aar bove begresde rij is coverget. We bewijze dat ee stijgede, aar bove begresde rij, coverget is. Neem ee stijgede, aar bove begresde rij (a ). Da is A = {a N} ee aar bove begresde verzamelig. Volges de derde defiiërede eigeschap va R bezit A ee supremum, zeg L = sup A e L R. We hebbe u L, we wille late zie dat L de limiet va de rij is. Vervolg va bewijs Neem ε > 0 willekeurig. Omdat L het supremum va A is, is L ε gee bovegres va A. Er is ee elemet va de rij, zeg a 0 met a 0 > L ε Aagezie de rij stijged is, geldt voor elke 0 dat a a 0 e dus ook a > L ε. Voor elke 0 geldt ook a L, omdat L ee bovegres va A is. Dus L ε < a L als 0. Dus 0 : a L < ε. Omdat ε > 0 willekeurig gekoze ka worde, volgt uit de defiitie dat de rij coverget is e dat L de limiet is. Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-12 Cotiuïteit e Limiete Het bewijs voor ee dalede rij, die aar oder begresd is, is aaloog. Probeer zelf! Probeer zelf ook te bewijze dat ee aar bove begresde rij (a ) met de eigeschap 1000 : a a +1 Voorbeeld Recursieve rij: a 1 = 4 e a +1 = 1 2 ( a + 2 ). a coverget is.

11 Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-14 Cotiuïteit e Limiete Covergetie va complee rije Ee complee rij (z ) is coverget met limiet L C idie bij elke ε > 0 ee atuurlijk getal 0 gevode ka worde, zodaig dat z L < ε geldt voor elke 0. I formulevorm L C : ε > 0 : 0 N : 0 : z L < ε L is de limiet va de rij Voorbeeld: de rij (z ) L = lim z. covergeert aar 0 als z < 1, is diverget als z > 1. Rekeregels Neem aa dat (a ) e (b ) covergete rije zij met limiete L = lim a e M = lim b Da zij de rije (a + b ), (a b ) e (a b ) ook coverget, met limiete lim (a + b ) = L + M lim (a b ) = L M lim a b = LM Als teves geldt dat M 0, da is de rij (a /b ) coverget e a lim = L b M. Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-16 Cotiuïteit e Limiete Voorbeeld a = Limiet e ogelijkhede STELLING 2.5: Neem aa dat (a ) e (b ) covergete rije zij met limiete L = lim a e M = lim Veroderstel dat b N N : N : a b Da geldt L M. Bewijs: We voere het bewijs uit het ogerijmde. Neem aa dat L > M. Da is er ee ε > 0 met L > M + 2ε. (We zoude bv. ε = (L M)/3 kue eme.)

12 Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-18 Cotiuïteit e Limiete Uit de defiitie va covergetie volgt dat er ee 1 N is met 1 : L a < ε. Teves is er ee 2 N met 2 : M b < ε. Neem ma( 1, 2, N). Da geldt L a < ε, M b < ε e a b (uit aaame va de stellig) Uit L a < ε volgt u L ε < a e uit M b < ε volgt b < M + ε. Dus L ε < a b < M + ε. Isluitstellig voor rije STELLING 2.6: Neem aa dat (a ) e (c ) covergete rije zij met limiete L = lim a e L = lim c. Als (b ) ee rij is waarvoor geldt N N : N : a b c da is de rij (b ) ook coverget e er geldt L = lim b. Dit beteket L < M + 2ε, hetgee i tegespraak is met het feit dat L > M + 2ε. Deze tegespraak bewijst dat oze aaame dat L > M geldt, ojuist is. Bijgevolg is L M. Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-20 Cotiuïteit e Limiete Voorbeeld a = = 1/ lim a = 1 Neem b = a 1 = 1. Het is duidelijk dat a 1 is, dus b 0. Omdat (1+b ) = a =, geldt vawege het biomium va Newto ( ) ( ) = (1 + b ) = 1 + b + b b 2 2 Da is b 2 ( 1 2) Omdat ( ) 2 = ( 1) 2 volgt b 2 2 ( 1) ( 1) = 2. Bijgevolg is 0 b Uit de isluitstellig volgt lim b = 0. Dus lim a = Deelrije Ee deelrij va ee rij wordt bekome door ee aatal elemete va de rij weg te late, zoder iets aa de volgorde va de overblijvede elemte te veradere. Ee rij (b ) is ee deelrij va (a ) als er ee strikt stijgede fuctie ϕ : N N is zodat N : b = a ϕ(). Voorbeeld is ee deelrij va (a ). a 1, a 3, a 5, a 7,...

13 Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-22 Cotiuïteit e Limiete Ee deelrij va ee covergete rij is coverget e heeft dezelfde limiet. Stellig va Bolzao-Weierstrass STELLING: Elke begresde rij heeft ee covergete deelrij. Het bewijs hierva is gebaseerd op de volledigheid va R. We zulle het bewijs overslaa. Limsup e limif Zij (a ) ee begresde rij va reële getalle De limes superior of limsup va de rij (a ) is lim sup a = lim sup{a k k } Het is de grootst mogelijke limiet va ee covergete deelrij. De limes iferior of limif va de rij (a ) is lim if a = lim if{a k k } Het is de kleist mogelijke limiet va ee covergete deelrij. Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-24 Cotiuïteit e Limiete O-smbool Soms is het limietgedrag va de rij iet belagrijk, maar hoe ee rij zich gedraagt te opzichte va ee adere, meestal beter gekede rij. Neem aa dat (a ) e (b ) twee rije zij. Da zegge we dat a = O(b ) als idie er ee costate M > 0 e ee 0 N zij met We spreke uit: 0 : a M b. a is "grote-o"va b (a ) is begresd als e slechts als a = O(1) als. (a ) groeit polomiaal als er ee p N is met a = O( p ) als. O-smbool (e verwate smbole) zij belagrijk i het oderzoek aar compleiteit va algoritme. Als staat voor de legte va de ivoer, e a is het aatal bewerkige dat gedaa moet worde met deze ivoer, da geeft ee uitspraak als a = O( 3 ) aa hoe sel het aatal bewerkige ka stijge als groot wordt. Ee algoritme met a = O( 2 ) is da beter (wat tijdscompleiteit betreft) da ee algoritme met a = O( 4 ).