Discrete Tomografie op de Torus

Transcriptie

1 Arthur Pijpers Discrete Tomografie op de Torus Bachelorscriptie, 13 jui 2013 Scriptiebegeleider: prof.dr. K.J. Bateburg Mathematisch Istituut, Uiversiteit Leide

2 Ihoudsopgave 1 Ileidig 3 2 Basisresultate op het vlak Twee richtige: horizotaal e verticaal Meer richtige De oplossig x Motivatie e defiitie Eigeschappe va x De formule voor x bij twee richtige Het torusmodel Defiitie e eigeschappe De formule voor x i ee specifiek geval Nieuwe resultate op de torus Eigeschappe va x op de torus Ee maier om x te bepale Cocrete voorbeelde Het eidresultaat: de algemee formule voor x op de torus Bijlage: Illustraties bij voorbeeld 3 (sectie 5.3) 17 2

3 1 Ileidig De tomografie houdt zich bezig met het recostruere va beelde vauit de projecties i ee beperkt aatal richtige. Dit vakgebied heeft vele toepassige, bijvoorbeeld i de geeeskude (dek aa rötgefoto s). Bie de tomografie bestaat de discrete tomografie, waarbij de beelde die gerecostrueerd worde biaire beelde zij. Ook de discrete tomografie ket verschillede toepassige, bijvoorbeeld bij de elektroemiscroscopie va aodeeltjes [1]. I deze scriptie ga ik de discrete tomografie bekijke. We defiiëre eerst het discrete tomografiemodel op het vlak. Zij gegeve ee rechthoekig rooster A = {(i, j) Z 2 0 i < m, 0 j < }. Ee richtig is ee paar (a, b) Z 2 met a, b copriem. De lije (va A) i ee richtig (a, b) zij de iet-lege verzamelige va de vorm {(x, y) A ax by = t} voor ee t Z. Met ee biair beeld (op A) bedoele we ee fuctie f : A {0, 1}. De lijsom va ee lij L, behorede bij ee biair beeld f, is de som va de waarde op L, dus f(x, y). Zij (x,y) L S = {(a 1, b 1 ), (a 2, b 2 ),..., (a k, b k )} ee verzamelig verschillede richtige. Met verschilled bedoele we dat de richtige verschillede lije iducere. I de discrete tomografie wordt het verbad tusse biaire beelde op A e de lijsomme hierva va alle lije i de richtige va S bestudeerd. De belagrijkste vrage hierbij zij: De lijsomme behorede bij ee biair beeld kue worde gerepreseteerd door ee fuctie va de verzamelig va alle lije aar N. Gegeve ee willekeurige fuctie va de verzamelig va alle lije aar N, bestaat er ee biair beeld met deze lijsomme? Zo ja, hoe ka zo ee biair beeld gerecostrueerd worde? Gegeve ee biair beeld, zij er adere biaire beelde met dezelfde lijsomme? Zo ja, i hoeverre kue deze beelde verschilled zij? I deze scriptie ga ik vooral i op de derde e vierde vraag. Eerst ga ik ee aatal bekede resultate geve, voor het discrete tomografiemodel op het vlak. Daara itroduceer ik ee ieuw model, op de torus. Met dit ieuwe model kue sommige probleme die me tegekomt op het vlakke model makkelijker opgelost worde. I het bijzoder ligt de focus op ee speciale oplossig x va ee ader te bepale lieair stelsel. Met deze x ka me bovegreze geve voor verschille tusse biaire beelde met dezelfde lijsomme. Het zal blijke dat we op de torus de oplossig x op ee elegate maier kue berekee. 3

4 2 Basisresultate op het vlak I dit hoofdstuk bespreke we ee aatal elemetaire resultate i de discrete tomografie. We gaa hierbij uit va het model op het vlak zoals gedefiieerd i de ileidig. Dit hoofdstuk is bedoeld om wat meer izicht te krijge i de discrete tomografie, e richt zich vooral op existetie e uiciteit va biaire beelde met bepaalde lijsomme. 2.1 Twee richtige: horizotaal e verticaal Bekijk eerst het meest simpele geval met slechts de horizotale e verticale richtige, d.w.z. S = {(0, 1), (1, 0)}. I dit geval zij de lijsomme dus eigelijk rijsomme e kolomsomme. I dit geval is het precies beked waeer er ee biair beeld bestaat met deze lijsomme. Dit wordt gegeve i de volgede stellig. Stellig 2.1 Zij gegeve gehele getalle 0 r 0, r 1,..., r 1 m e 0 c 0, c 1,..., c m 1 zodaig dat 1 = m 1 c j. Er bestaat ee biair beeld met rijsomme r 0, r 1,... r 1 e kolomsomme r i i=0 j=0 c 0, c 1,... c m 1 da e slechts da als er voor alle deelverzamelige I {0, 1,... m 1} e J {0, 1,..., 1} geldt r j c i I J. j J i/ I Het is duidelijk dat er gee biair beeld met deze lijsomme ka bestaa i het geval dat er verzamelige I, J bestaa waarvooor deze eis iet voldaa is. Het bewijs de adere kat op is igewikkelder, e is te vide i [2, Theorem 1.2]. Ook de vraag wat alle beelde zij met bepaalde lijsomme heeft i het geval va twee richtige ee duidelijk atwoord, i de vorm va de volgede stellig va Ryser. Als twee biaire beelde dezelfde lijsomme hebbe i alle richtige va S, oeme we deze beelde tomografisch equivalet. Stellig 2.2 (Ryser, 1957) Bekijk het geval S = {(0, 1), (1, 0)}. Twee biaire beelde zij tomografisch equivalet da e slechts da als ze i elkaar over zij te brege door ee eidig aatal 4-verwisselige. Ee 4-verwisselig is ee veraderig tusse biaire beelde die de volgede deelfigure i elkaar overvoert (beide kate op is toegestaa, e met de getalle op de putjes gebeurt iets) Het is duidelijk dat ee 4-verwisselig de lijsomme iet veradert, e elke eidige combiatie va 4-verwisselige dus ook iet. Het bewijs de adere kat op maakt gebruik va iductie aar het verschil d(f, g) := {(x, y) A f(x, y) g(x, y)} tusse twee biaire beelde f, g e is te vide i [3]. 4

5 2.2 Meer richtige Voor het geval va slechts twee richtige is dus al veel beked. Dit is aders i het geval va drie of meer richtige. Er is da gee simpele karakterisatie va vectore atuurlijke getalle die als lijsomme va ee biair beeld kue voorkome. Er bestaa echter wel algoritme om i de praktijk ee biair beeld met gegeve lijsomme te recostruere, of ee beaderig daarva als zo ee beeld iet bestaat. De vraag of er, gegeve ee biair beeld, tomografisch equivalete beelde bestaa is og lastiger te beatwoorde. Er is zelfs ee sterk egatief resultaat, zie de volgede stellig [2, Propositio 3.1]: Stellig 2.3 Zij S = (a 1, b 1 ),..., (a k, b k ) ee gegeve verzamelig richtige met k 2. Voor elke L N bestaa er zekere, m N e biaire beelde f, g op A = {(i, j) Z 2 0 i < m, 0 j < } met de volgede eigeschappe: d(f, g) > L. f e g zij tomografisch equivalet. Er bestaat gee biair beeld h verschilled va f e g met dezelfde lijsomme. Deze stellig impliceert dat er gee stellig aaloog aa die va Ryser is voor meer da twee richtige. We zulle dus adere techieke moete gebruike om de verschille tusse tomografisch equivalete beelde te bestudere. 3 De oplossig x I dit hoofdstuk make we de stap aar (bovegreze va) verschille tusse tomografisch equivalete biaire beelde. Ee belagrijke rol hieri speelt het beeld x op A, waarva we zulle zie dat het i het midde va alle biaire beelde ligt. Veel bovegreze va verschille tusse tomografisch equivalete biaire beelde worde bepaald door x [4], e dus is het belagrijk om deze oplossig ader te bestudere. We geve ee aatal eigeschappe va x, ee voorbeeld va ee bovegres waarbij we x gebruike, e ee formule voor x als fuctie va de lijsomme i het geval va twee richtige. Teves merke we op dat voor meer da twee richtige ee dergelijke formule og iet is gevode. 3.1 Motivatie e defiitie I de discrete tomografie wordt eigelijk gezocht aar biaire oplossige va ee gegeve lieair stelsel. Het is iteressat om dit lieaire stelsel verder te bestudere, e bijvoorbeeld te kijke aar alle gehele of zelfs alle reële oplossige hierva. Het stelsel otere we als W x = p. De matrix W is hier de matrix met de lije i de richtige va S als rije, e de pute i A als kolomme. De waarde W ij is da gelijk aa 1 als het put j op lij i ligt, e aders gelijk aa 0. De vector p is de vector va alle lijsomme, e de vector x is ee beeld op A. We zulle i het vervolg aaeme dat het stelsel W x = p reële oplossige heeft. I het bijzoder is hieraa voldaa als dit stelsel ee biaire oplossig heeft. Ee bijzoder iteressate oplossig va dit stelsel is de kortste reële oplossig (als vector i R m, met de Euclidische legte), die we met x zulle otere. Deze oplossig wordt gebruikt bij het bepale va veel bovegreze va verschille tusse tomografisch equivalete beelde [4]. De rest va deze scriptie gaat bestaa uit het bespreke va deze oplossig x, e hoe deze afhagt va de lijsomme. 5

6 3.2 Eigeschappe va x We begie met het geve va twee belagrijke eigeschappe va x. Stellig 3.1 x is de uieke oplossig va W x = p die loodrecht staat op elke oplossig va het stelsel W x = 0. Bewijs: Het is beked uit de lieaire algebra dat de kortste vector i ee affie vlak (hier de oplossige va W x = p) de loodrechte projectie vauit 0 op dit vlak is. Teves is deze loodrechte projectie uiek. Stellig 3.2 x is, als fuctie va de lijsomme, lieair. Bewijs: Zij gegeve twee sets lijsomme p 1 e p 2, met bijbehorede kortste reële oplossige x 1 resp. x 2. Zij λ, µ R costate. Da geldt W (λx 1 + µx 2 ) = λw (x 1 ) + µw (x 2 ) = λp 1 + µp 2 e voor elke y met W y = 0 geldt λx 1 + µx 2, y = λ x 1, y + µ x 2, y = 0. Met behulp va stellig 3.1 zie we u dat λx 1 + µx 2 de kortste reële oplossig is behorede bij de lijsomme λp 1 + µp 2. Nu late we ee voorbeeld zie va ee bovegres voor het verschil tusse twee tomografisch equivalete beelde, beschreve i [4]. Merk op dat we hier, zoals bij veel va dit soort bovegreze, de oplossig x gebruike. Stellig 3.3 Zij x 1 e x 2 twee biaire beelde op A die voldoe aa het stelsel W x = p. Da geldt d(x 1, x 2 ) := {(i, j) A x 1 (i, j) x 2 (i, j)} 4R 2 waarbij R := D x 2 2, e D := p 1 k. We gebruike hierbij de otatie p voor de L p -orm. Merk op dat D het aatal ee is i ee biair beeld dat voldoet aa W x = p. Bewijs: Omdat x 1 ee biair beeld is geldt er x = x 1 1 = D. Daaraast wete we dat x loodrecht staat op x 1 x e met de stellig va Pythagoras vide we dat de afstad tusse x e x 1 gelijk is aa x x 1 2 = x x 2 2 = R. Op dezelfde maier geldt uiteraard dat de afstad tusse x e x 2 ook gelijk is aa R. Toepasse va de driehoeksogelijkheid geeft da dat de afstad tusse x 1 e x 2 iet groter is da 2R. Omdat x 1 e x 2 allebei biaire beelde zij heeft het beeld x 1 x 2 allee waarde i { 1, 0, 1}. I het bijzoder geldt voor al deze waarde i de gelijkheid i 2 = i. Er geldt dus d(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 1 = x 1 x (2R)2 = 4R De formule voor x bij twee richtige De vraag is hoe we de lieaire afbeeldig die x geeft als fuctie va de lijsomme expliciet kue bepale voor gegeve S,, m. We begie weer met het simpele geval, S = {(0, 1), (1, 0)}. Het is misschie gee verrassig dat de fuctie voor x hier beked is [5]. Het resultaat wordt gegeve i de volgede stellig: 6

7 Stellig 3.4 Bekijk het discrete tomografiemodel op het m vlak met S = {(0, 1), (1, 0)}. We hebbe da rijsomme r 0, r 1,..., r 1 e kolomsomme c 0, c 1,..., c m 1. Voor de kortste reële oplossig x va het bijbehorede lieaire stelsel W x = p geldt da x (i, j) = c i + r j m D m waarbij 1 D = r j = j=0 m 1 i=0 c i. Bewijs: We late eerst zie dat x voldoet aa het lieaire stelsel. Voor elke 0 i < geldt amelijk 1 1 ( x ci (i, j) = + r j m D ) = c i + m j=0 e voor elke 0 j < m geldt m 1 i=0 x (i, j) = j=0 m 1 i=0 ( ci + r j m D ) = m m 1 i=0 1 j=0 ( rj ) D m m = c i ( ci ) + r j D = r j. Nu late we zie dat x loodrecht staat op de ker va het lieaire stelsel. Zij hiervoor h ker(w ) gegeve. Alle lijsomme va h zij da ul e dus geldt er: m 1 = i=0 m 1 i=0 1 x (i, j)h(i, j) = j=0 c i m 1 i=0 1 j=0 ( 1 1 (rj h(i, j) + m D m j=0 j=0 (( ci + r j m D ) ) h(i, j) m ) m 1 i=0 h(i, j) ) = 0. Voor meer da twee richtige is er echter og gee expliciete uitdrukkig voor x als fuctie va de lijsomme beked. Eé va de grote probleme is dat voor ee richtig verschilled va (0, 1) e (1, 0) iet alle lije i die richtig eveveel pute bevatte. Om, oder adere, dit probleem te omzeile itroducere we het torusmodel. 4 Het torusmodel I dit hoofdstuk defiiëre we ee ieuw discrete tomografiemodel, amelijk op de torus i plaats va op het vlak. We bespreke ee aatal eigeschappe va dit ieuwe torusmodel, e geve ee formule voor x als fuctie va de lijsomme voor ee willekeurig aatal richtige oder specifieke voorwaarde. 7

8 4.1 Defiitie e eigeschappe We defiiëre het discrete tomografiemodel op de torus als volgt: Laat A = Z/mZ Z/Z, defiieer het begrip richtig weer als ee paar (a, b) Z 2 met a, b copriem e defiieer de lije d.m.v. parametrisaties. Ee lij i de richtig (a, b) is dus va de vorm {(i + at, j + bt) t Z} voor ee put (i, j) A. Zij S = {(a 1, b 1 ),..., (a k, b k )} ee verzamelig verschillede richtige, waarbij we met verschilled weer bedoele dat de richtige verschillede lije iducere. Aa de had va dit model kue we lijsomme, het stelsel W x = p e de kortste reële oplossig x aaloog aa het vlakke model defiiëre. Het torusmodel dat we u hebbe lijkt veel op het model op het vlak, maar er zij ee aatal belagrijke verschille. De volgede stellig laat hier éé va zie: Stellig 4.1 Bekijk het torusmodel e zij (a, b) ee richtig. Alle lije i de richtig (a, b) bevatte da eveveel pute. Bewijs: Het aatal pute op ee toruslij {(i + at, j + bt) t Z} is de periode va de fuctie Z Z/mZ Z/Z, t (i + at, j + bt). Deze is gelijk aa de kleiste positieve t Z waarvoor geldt m at e bt. I het bijzoder is deze oafhakelijk va i e j. We wille probere de expliciete formule voor x i het geval met twee richtige te veralgemeisere voor meer richtige met het torusmodel. We wete dat i ieder geval alle lije i dezelfde richtig eveveel pute bevatte. Het geval va twee richtige heeft echter ook og twee adere mooie eigeschappe, die i het algemee iet waar zij i het torusmodel. Voor elke richtig (a, b) S, geldt dat alle lije i de richtige i S\(a, b) eveveel pute bevatte. Elk tweetal lije i verschillede richtige sijdt elkaar i precies éé put. Neem aa dat m =, dus dat we ee vierkat bekijke. Da is het mogelijk om te late zie waeer bovestaade twee eigeschappe gelde, e dat i die gevalle er ee expliciete formule voor x bestaat. Stellig 4.2 Bekijk het torusmodel op ee vierkat. Da bestaat elke lij uit precies pute. Bewijs: Bekijk ee lij met richtig (a, b). We zoeke de kleiste positieve gehele t waarvoor geldt at e bt. Aagezie (a, b) ee richtig is geldt ggd(a, b) = 1, e dus ook ggd(at, bt) = t. Het getal deelt zowel at als bt, e dus moet gelde t. We zie ook dat de waarde t = voldoet aa de eise, e dus bevat elke toruslij precies pute. Gevolg 4.3 Er zij op de torus precies lije i elke richtig. Aa de eerste voorwaarde is op ee vierkat dus altijd voldaa. We gaa u oderzoeke waeer ook de tweede voorwaarde geldt. Eerst geve we ee adere maier om toruslije te bekijke, e daara kue we odige e voldoede voorwaarde geve. Stellig 4.4 De lije i het torusmodel i de richtig (a, b) zij allemaal va de vorm {(x, y) A bx ay c mod } voor ee c Z/Z. 8

9 Bewijs: Het is duidelijk dat bx ay costat blijft modulo op de toruslij {(i + at, j + bt) t Z}. Teves zij gee va de verzamelige {(x, y) A bx ay c mod } leeg, omdat a e b copriem zij. Dus bevatte de verzamelige {(x, y) A bx ay c mod } voor c Z/Z alle miimaal pute. Hiermee hebbe we alle 2 pute uit A al, e dus zij de verzamelige {(x, y) A bx ay c mod } precies de lije i de richtig (a, b). Stellig 4.5 Bekijk het torusmodel. Ee willekeurige toruslij i de richtig (a, b) e ee willekeurige toruslij i de richtig (c, d) sijde elkaar precies éé keer da e slechts da als ggd(ad bc, ) = 1. Bewijs: We kijke aar het aatal sijpute va de toruslije bx ay c 1 mod e dx cy c 2 mod. Dit aatal is voor alle c 1, c 2 ( Z/Z ) gelijk aa éé da e slechts als het edomorfisme op b a (Z/Z) 2 gegeve door de matrix A = ijectief is, of equivalet, als het triviale ker heeft. d c Stel dat geldt ggd(ad bc, ) 1, e zij p ee priemdeler va ggd(ad bc, ). Da heeft A i Z/pZ determiat ul, e bestaat er dus ee vector q Z 2 \pz 2 met Aq pz 2. Hieruit volgt dat geldt p q / Z2 e A( p q) 0 mod. Stel u dat geldt ggd(ad bc, ) = 1. Da is ad bc iverteerbaar ( ) modulo, e bestaat er ee iverse va A, amelijk A 1 = 1 c a ad bc. De matrix A is da dus d b ijectief. 4.2 De formule voor x i ee specifiek geval Nu kue we eidelijk, oder ee aatal aaames, ee expliciete formule voor x als fuctie va de lijsomme vide. Deze formule is ook al gegeve i [5]. Stellig 4.6 Bekijk het discrete tomografiemodel op de torus, met richtigsverzamelig S = {(a 1, b 1 )... (a k, b k )}. Neem bovedie aa dat voor alle 0 < i < j k geldt ggd(a i b j b i a j, ) = 1. Noteer de lijsom va de toruslij met richtig (a, b) die door put (i, j) gaat als L a,b,i,j. Defiieer D weer als het totale aatal vakjes met waarde 1, dus de som va alle lijsomme i ee richtig. Voor de kortste reële oplossig x va het bijbehorede lieaire stelsel geldt da ( k ) x (i, j) = 1 (k 1)D (L at,b t,i,j). Bewijs: We late eerst zie dat x ee oplossig is va het lieaire stelsel. Bekijk ee toruslij l met de richtig (a t, b t ). Da geldt x (i, j) = (k 1)D + L a t,b t,i,j (k 1)D = + L at,b t,i,j + = L at,bt,i,j. + (k 1)D (a,b) S\(a t,b t) L a,b,i,j We hebbe hierbij gebruikt dat voor twee verschillede richtige (a, b) e (c, d) de pute op ee lij met de richtig (a, b) precies ligge op de lije met richtig (c, d). Dit feit volgt uit stellig

10 We late u zie dat x loodrecht staat op de ker va W. Zij h ee elemet uit deze ker. Noteer de verzamelig toruslije met richtig (a t, b t ) als L t e de lijsom va ee toruslij l als S l. Er geldt da (i,j) A x (i, j)h(i, j) = = 1 = 1 = 0. (i,j) A k ( k ) 1 (k 1)T (L at,b t,i,j) h(i, j) (( ) ) (k 1)T S l h(i, j) k l L t k l L t ( (k 1)T S l k ) h(i, j) 5 Nieuwe resultate op de torus I dit hoofdstuk kijke we verder aar x op de torus. I het bijzoder gaa we op zoek aar ee zo algemee mogelijke formule voor x als fuctie va de lijsomme. Eerst geve we ee aatal eigeschappe waar deze formule aa moet voldoe, e daara geve we ee maier om deze formule te bepale door ee lieair stelsel op te losse. Hiermee zulle we ee aatal voorbeelde uitwerke om meer izicht te krijge e te slotte ee algemee formule voor x te producere. Neem i dit hoofdstuk, tezij aders vermeld, aa dat m =. 5.1 Eigeschappe va x op de torus We gaa probere om i og algemeere gevalle ee expliciete fuctie voor x vauit de lijsomme te geve. De volgede stellige geve de richtig aa waari we moete zoeke. Stellig 5.1 De fuctie die x geeft vauit de lijsomme is lieair i de lijsomme. Bewijs: Hetzelfde als i het vlakke geval. We kue dus schrijve x (i, j) = k c(i, j, x, y, t)l at,b t,i+x,j+y waarbij X t ee verzamelig va pute uit A is zodaig dat op elke lij i de richtig (a t, b t ) precies éé put uit X t ligt. Dat we deze maier hebbe gekoze om over alle lije te sommere heeft te make met het feit dat alle pute op de torus als het ware hetzelfde zij. Daardoor voldoe de costate i bovestaade uitdrukkig aa speciale voorwaarde. Dit resultaat wordt gegeve i de volgede stellig: Stellig 5.2 De costate c(i, j, x, y, t) i bovestaade uitdrukkig hage iet af va (i, j). 10

11 Bewijs: Zij twee pute (i, j), (r, s) A gegeve. Er geldt da e x (i, j) = x (i + r, j + s) = k k c(i, j, x, y, t)l at,b t,i+x,j+y c(i + r, j + s, x, y, t)l at,b t,i+r+x,j+s+y. Maar ook geldt, omdat we op ee torus werke, dat x (i+r, j+s) op dezelfde maier va de lijsomme L at,b t,i+r+x,j+s+y afhagt als x (i, j) va de lijsomme L at,b t,i+x,j+y. Dus geldt er x (i + r, j + s) = k c(i, j, x, y, t)l at,b t,i+r+x,j+s+y waarmee we zie dat geldt c(i, j, x, y, t) = c(i + r, j + s, x, y, t). Dit geldt voor elke (r, s) A, e dus zij de costate i elk put gelijk. We zulle deze eigeschap voortaa ook wel ivariat oder traslaties oeme. We geve u ee uttig resultaat dat volgt uit ivariatie oder traslaties. Stellig 5.3 Elk elemet va het beeld va elke lieaire fuctie va de lijsomme aar R 2 ivariat is oder traslaties staat loodrecht op het vlak W x = 0. die Bewijs: Bekijk ee lieaire fuctie f(i, j) = k c(x, y, t)l at,b t,i+x,j+y. Zij h ker(w ) gegeve. Voor ee lij l e ee put (x, y), oteer met l + (x, y) de lij {(i + x, j + y) (i, j) l}, die uiteraard i dezelfde richtig als l loopt. Er geldt: f, h = f(i, j)h(i, j) (i,j) A = k c(x, y, t)l at,bt,i+x,j+yh(i, j) (i,j) A k = c(x, y, t)l at,bt,i+x,j+yh(i, j) l L t k = c(x, y, t)s l+(x,y) h(i, j) = 0. l L t 5.2 Ee maier om x te bepale We zoeke dus costate c(x, y, t) zodaig dat de uitdrukkig voor x zoals bove gegeve voldoet aa het stelsel W x = p. 11

12 De vergelijkige waar deze costate da aa moete voldoe vorme zelf ook ee lieair stelsel. Merk op dat dit stelsel gee uieke oplossig heeft, aagezie er lieaire afhakelijkhede tusse de lije bestaa. Wel geldt atuurlijk dat elke oplossig va het stelsel de (uieke) fuctie voor x geeft. Hoe dit stelsel eruit ziet is gegeve i de volgede stellig: Stellig 5.4 Nummer de lije (l 1, l 2,..., l k ). Zij B de k k matrix gedefiieerd door B r,s = l r l s. Defiieer c(i, j) = (c 1,... c k ) als de vector waarbij c r de costate voor de lijsom va lij l r i de formule voor x (i, j) is. Defiieer de vector x(i, j) = (x 1,..., x k ) door x r = 1 als (i, j) l r e x r = 0 als (i, j) / l r. Voor alle (i, j) A geldt da Bc(i, j) = x(i, j). Teves geldt dat elke oplossig va het stelsel Bc(i, j) = x(i, j) de uitdrukkig voor x iduceert. Merk op dat vawege stellig 5.2 we dit stelsel voor slechts éé put (i, j) hoeve op te losse. Sterker og, we zulle voor elk put hetzelfde stelsel krijge. Bewijs: Leg voor iedere richtig (a t, b t ) ee verzamelig X t va pute vast waarva er gee twee op éé lij i de richtig (a t, b t ) ligge (zie gevolg 4.3). Noteer met l(x, y, a t, b t ) de lij door put (x, y) i de richtig (a t, b t ) e met L t de verzamelig va alle lije i de richtig (a t, b t ). Zij (p 1, p 2 ) A ee put, (a w, b w ) ee richtig e l ee lij i de richtig (a w, b w ) door (p 1, p 2 ). We berekee u S l = = = = = = x (i, j) k k k k k = c(x, y, t)l at,b t,i+x,j+y c(x, y, t) c(x, y, t) c(x, y, t) c(x, y, t) S L L L w = k k S L L L w s=1 +(x,y) L at,b t,i+x,j+y L at,b t,i,j (p 1 +x,p 2 +y,a t,b t) L aw,b w,i,j L L w S L L l(p 1 + x, p 2 + y, a t, b t ) c(x, y, t) L l(p 1 + x, p 2 + y, a t, b t ) c s (p 1, p 2 ) L l s. De rechterzijde i de laatste uitdrukkig moet hier gelijk zij aa 1 bij L = l e aders gelijk aa 0. Dit geldt uiteraard voor iedere 1 w k, waarmee de stellig beweze is. 5.3 Cocrete voorbeelde We kue voor specifieke voorbeelde de formule voor x dus cocreet berekee. Dit ka mogelijk izicht geve i het gedrag va deze formule i het algemee geval. 12

13 Voorbeeld 1 Neem = 4, S = {(0, 1), (1, 0), (1, 2)}. Da krijge we a het oplosse va het stelsel 3 verkrege door stellig 5.4 de volgede formule: x (i, j) = 1 4 L i,j,at,bt 1 16 D 2 16 D, waarbij D het aatal ee (va ee beeld dat aa de lijsomme voldoet) i de verzamelig Q = {(x, y) A x j mod 2} is. We kue Q zie als de rij waarop (i, j) ligt vereigd met de rij twee hoger. We kue Q ook zie als de vereigig va alle lije i de richtig (1, 2) die door ee put i de rij va (i, j) gaa. De formule uit dit voorbeeld vertoot sterke gelijkeisse met de algemee formule i het geval dat lije i verschillede richtige elkaar precies eemaal sijde. Ter herierig: i dat geval hadde we ( k ) x (i, j) = 1 (k 1)D (L at,b t,i,j). We zie i os voorbeeld alweer de term 1 k L i,j,at,bt, het verschil is dat de adere term i os geval eruit ziet als 1 2 (D + 2D ) i plaats va 1 2 D(k 1). Aagezie geldt k 1 = 2 is het eige verschil dat we u ee term 2D i plaats va D hebbe. Dit is goed te verklare als we aar de richtigsverzamelig S kijke. Stel dat we a wille gaa of de formule voor x klopt, e de som over ee lij i de richtig (1, 2) berekee. Bekijk eerst de term 3 L i,j,at,bt. Het deel t = 3 geeft de lijsom die we als uitkomst wille hebbe. Het deel t = 1 geeft 1 4 ee term D 16, omdat ee lij i de richtig (0, 1) e ee lij i de richtig (1, 2) elkaar precies eemaal sijde. Het deel t = 2 verklaart de formule voor x : twee lije i de richtig (1, 0) worde tweemaal geteld e de adere twee lije i die richtig worde iet geteld. We krijge dus ee term 2D 16, zodat we precies goed uitkome. Merk op dat ee soortgelijke redeerig ook zou kue worde toegepast i voorbeelde met ee grotere of zelfs algemee. Met behulp va dit voorbeeld kue we ee algemee formule vide voor het geval S = {(0, 1), (1, 0), (a, b)}. Defiieer d 1 als het aatal kere dat ee lij i de richtig (0, 1) e ee lij i de richtig (a, b) elkaar sijde (waarbij we de lije zodaig kieze dat ze elkaar sijde) e d 2 aaloog voor de richtige (1, 0) e (a, b). Defiieer Q 1 (i, j) als de vereigig va alle lije i de richtig (a, b) die door ee put i de kolom va (i, j) gaa, e Q 2 (i, j) als de vereigig va alle lije i de richtig (a, b) die door ee put i de rij va (i, j) gaa. Defiieer D 1 e D 2 als het aatal ee op Q 1 resp. Q 2. Dit zij costate aagezie Q 1 e Q 2 allebei ee disjucte vereigig va lije zij. Da geldt de volgede algemee formule: Stellig 5.5 Zij S = {(0, 1), (1, 0), (a, b)}, op de torus. Da geldt x (i, j) = 1 k L i,j,at,b t d 1D 1 2 d 2D 2 2. Bewijs: Recht toe recht aa uitwerke. Voor elke richtig gaat het aaloog aa de redeerig voor de richtig (1, 2) bij het voorbeeld met (a, b) = (1, 2). I alle gevalle die we tot u toe hebbe bekeke zag de formule voor x er als volgt uit: x (i, j) = k mi k 1 terme die lijke op D, waarbij D mogelijk vervage wordt door het aatal 2 1 L i,j,at,bt ee i ee kleiere deelverzamelig va A (bij D eme we het aatal ee over heel A). 13

14 Er moet da gekeke worde of de som va x over alle pute i ee bepaalde lij iderdaad de juiste lijsom geeft. Dit geeft het volgede idee om tot de formule voor x te kome: Kies ee richtig (a r, b r ) (og iet duidelijk hoe). Bereke X(i, j) = S l richtig (a r, b r ). Er geldt x (i, j) = ( 1 ( 1 k L i,j,at,bt ) als fuctie va de lijsomme voor ee lij l i de k L i,j,at,bt ) + X(i, j). I alle voorgaade situaties zou dit recept gewerkt hebbe, mits we de juiste richtig (a r, b r ) hadde gekoze. Ook is duidelijk dat het iet per costructie werkt, er wordt amelijk allee gegaradeerd dat de somme i de richtig (a r, b r ) kloppe, i de adere richtige ka het og misgaa. De vraag is of de formule voor x altijd op deze maier te krijge is, e het atwoord blijkt ee te zij. Voorbeeld 2 Neem S = {(0, 1), (1, 0), (1, 2), (2, 1)} e = 4. Da sijde ee lij i de richtig (0, 1) e ee lij i de richtig (2, 1) tweemaal (idie ze sijde), e ee lij i de richtig (1, 0) e ee lij i de richtig (1, 2) ook. Voor alle adere pare verschillede richtige geldt dat twee lije elkaar precies éé keer sijde. I het bijzoder zie we dat we iet meer éé richtig kue kieze zoals i alle voorgaade gevalle. Als we amelijk (0, 1) of (2, 1) kieze, da komt het tweemaal sijde tusse lije i de richtige (1, 0) e (1, 2) iet i de formule voor x voor, e als we (1, 0) of (1, 2) kieze komt het tweemaal sijde tusse lije i de richtige (0, 1) e (2, 1) iet voor. Voordat we de formule voor x bij dit voorbeeld geve voere we wat hadige otatie i. Voor ee ietlege deelverzamelig V = {(a 1, b 1 ),..., (a w, b w )} S defiiëre we Q(V )(i, j) := {(i, j) + λ 1 (a 1, b 1 ) + +λ w (a w, b w ) A λ 1,..., λ w Z}. Merk de gelijkeis op met de verzamelige i eerdere voorbeelde die met de letter Q aagegeve werde. Aagezie ee verzamelig Q(V )(i, j) altijd ee disjucte vereigig va lije is kue we spreke over het aatal ee op Q(V )(i, j), dat we aaduide met D(V )(i, j). Merk weer de gelijkeis op met waarde die we eerder met de letter D hebbe aagegeve. Nu gaa we weer terug aar os voorbeeld, de formule voor x wordt gegeve door x (i, j) = 1 4 = 1 4 k ( D D({(0, 1), (2, 1)})(i, j) L i,j,at,bt ) D({(1, 0), (1, 2)})(i, j) 8 ( ) D D({(0, 1), (2, 1)})(i, j) D({(1, 0), (1, 2)})(i, j) L i,j,at,bt Q({(0, 1), (2, 1)})(i, j) Q({(1, 0), (1, 2)})(i, j) De oplossig is dus va ee iets adere vorm da i alle vorige gevalle, maar og steeds zij er grote gelijkeisse. Als we ook og opmerke dat we kue schrijve D = D({(0,1),(1,0)})(i,j) 2 Q({(0,1),(1,0)})(i,j) zie k we dat we x (i, j) kue schrijve als 1 L i,j,at,bt mi k 1 terme va de vorm D(V )(i,j) Q(V )(i,j) voor ee verzamelig V S. Ook valt og op dat we steeds verzamelige V va twee richtige kue kieze. We kue os afvrage of dit i het algemee mogelijk is, e og steeds blijkt dit iet zo te zij. De tegevoorbeelde worde echter al ee stuk groter. Voorbeeld 3 Neem = 30 e S = {(0, 1), (2, 1), (3, 4)}. Ee lij i de richtig (0, 1) e ee lij i de richtig (2, 1) sijde elkaar tweemaal (idie ze sijde). 14

15 Ee lij i de richtig (0, 1) e ee lij i de richtig (3, 4) sijde elkaar driemaal (idie de lije sijde), e ee lij i de richtig (2, 1) e ee lij i de richtig (3, 4) zelfs vijfmaal. I het bijzoder leidt dit ertoe dat de verzamelige Q({(0, 1), (2, 1)})(i, j), Q({(0, 1), (3, 4)})(i, j) e Q({(3, 4), (2, 1)})(i, j) iet i elkaar bevat zij. Ook is duidelijk dat deze drie verzamelige allemaal moete terugkome i k de formule voor x als we weer va ee term 1 L i,j,at,bt uitgaa. We krijge dus ee ieuw soort oplossig, maar ook i dit geval blijkt de oplossig iet veel af te wijke va de eerdere gevalle. Er geldt x (i, j) = 1 k L i,j,at,bt + D ( ) D({(0, 1), (2, 1})(i, j) 2 D({(0, 1), (3, 4)})(i, j) D({(2, 1), (3, 4)})(i, j) + +. Q({(0, 1), (2, 1)})(i, j) Q({(0, 1), (3, 4)})(i, j) Q({(2, 1), (3, 4)})(i, j) Dit voorbeeld is voor verduidelijkig ook visueel uitgewerkt, i de bijlage staa illustraties va de lije met hu sijpute, e va de verschillede verzamelige Q. Aa de had va dit laatste voorbeeld krijge we ee ieuw idee over hoe we x kue costruere: Begi met 1 k L i,j,at,bt. Trek alles dat teveel geteld is hierva af. Tel alles wat teveel afgetrokke is er weer bij op. Herhaal totdat het voor alle richtige klopt. Het is og iet helemaal duidelijk wat hiermee bedoeld wordt, maar het blijkt dat we op deze maier eidelijk de algemee formule voor x kue krijge. 5.4 Het eidresultaat: de algemee formule voor x op de torus Stellig 5.6 Bekijk het discrete tomografiemodel op de m torus, met richtigsverzamelig S. Da geldt: x (i, j) = V +1 D(V )(i, j) ( 1) Q(V )(i, j). =V S Bewijs: Het is duidelijk dat x op deze maier ivariat is oder traslaties, dus we hoeve allee og a te gaa dat de lijsomme kloppe. Merk op dat voor elke oplossig x va het stelsel W x = p de D(V )(i,j) uitdrukkig Q(V )(i,j) gelijk is aa de gemiddelde waarde va x over de verzamelig Q(V )(i, j). Zij w S ee richtig, l ee lij i de richtig w e a ee put op l. We zie u dat voor elke V S met w V e V {w} geldt D(V )(i, j) D(V )(a) = l Q(V )(i, j) Q(V )(a) = D(V \w)(i, j) Q(V \w)(i, j) aagezie ieder put i D(V )(a) eve vaak voorkomt i D(V \w)(i, j). Hieruit volgt x (i, j) = = =V S V +1 D(V )(i, j) ( 1) Q(V )(i, j) V S,w V,V {w} ( V +1 D(V )(i, j) D(V \w)(i, j) ( 1) + ( 1) V Q(V )(i, j) Q(V \w)(i, j) ) + D({w})(i, j) Q({w})(i, j) 15

16 = = S l. S l l 16

17 6 Bijlage: Illustraties bij voorbeeld 3 (sectie 5.3) I deze bijlage staat ee visuele uitwerkig va voorbeeld 3 (op blz. 14). De eerste figuur laat lije i de drie verschillede richtige e hu sijpute zie. De blauwe lij heeft de richtig (0, 1), de rode lij heeft de richtig (2, 1) e de gele lij heeft richtig (3, 4). Alle drie de lije gaa door het zwartgekleurde put, e ook de adere sijpute tusse de lije zij aagegeve. Let ook op de aatalle sijpute va de verschillede lije. 17

18 De volgede drie figure late de (grijs gekleurde) verzamelige Q({(0, 1), (2, 1)})(0, 0), Q({(0, 1), (3, 4)})(0, 0) resp. Q({(2, 1), (3, 4)})(0, 0) zie. Het put (0, 0) is i elk va de figure zwart gekleurd. 18

19 Refereties [1] S. va Aert et al., Three-dimesioal atomic imagig of crystallie aoparticles, Nature 470, , doi: /ature09741 [2] G.T. Herma, A. Kuba, Discrete Tomography: Foudatios, Algorithms ad Applicatios, Birkhäuser Bosto, [3] A. Stolk, De stellig va Ryser, [4] K.J. Bateburg et al., Bouds o the quality of recostructed images i biary tomography, Discrete Applied Mathematics, 2012, to appear. doi: /j.dam [5] B. va Dale, L. Hajdu, R. Tijdema, Bouds for discrete tomography solutios,