Eindexamen wiskunde B vwo II

Transcriptie

1 Eidexame wiskude B vwo II Formules Vlakke meetkude Verwijzige aar defiities e stellige die bij ee bewijs moge worde gebruikt zoder adere toelichtig. Hoeke, lije e afstade: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaade hoeke, F-hoeke, Z-hoeke, afstad put tot lij, driehoeksogelijkheid. Meetkudige plaatse: middelloodlij, bissectrice, bissectricepaar, middeparallel, cirkel, parabool. Driehoeke: hoekesom driehoek, buitehoek driehoek, cogruetie: HZH, ZHH, ZHZ, ZZZ, ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr; middelloodlije driehoek, bissectrices driehoek, hoogtelij driehoek, hoogtelije driehoek, zwaartelij driehoek, zwaartelije driehoek, gelijkbeige driehoek, gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, thagoras, gelijkbeige rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek. Vierhoeke: hoekesom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkat. Cirkel, koorde, boge, hoeke, raaklij, vierhoeke: koorde, boog e koorde, loodlij op koorde, middellij, Thales, middelputshoek, omtrekshoek, costate hoek, raaklij, hoek tusse koorde e raaklij, koordevierhoek. Goiometrie si( t+ u) = sitcosu+ costsiu si( t u) = sitcosu costsiu cos( t+ u) = costcosu sitsiu cos( t u) = costcosu+ sitsiu t u t u 2 2 t u t u 2 2 t u t u 2 2 t u t u 2 2 sit+ siu = 2si + cos + sit siu = 2si cos cost+ cosu = 2cos + cos cost cosu = 2si + si www. - -

2 Eidexame wiskude B vwo II Sijde met ee hoogtelij Op ee cirkel kieze we drie vaste pute A, B e C, waarbij lijstuk AB gee middellij is e put C op de kortste cirkelboog AB ligt. Ee put doorloopt dat deel va de lagste cirkelboog AB waarvoor driehoek AB iet stomphoekig is. De hoogtelij BQ va driehoek AB sijdt de koorde C i put R. I figuur is ee mogelijke positie va geteked met de bijbehorede pute Q e R. Deze figuur staat ook twee maal op de uitwerkbijlage. figuur Q R A B C Bij de bewegig va over het hierbove beschreve deel va de cirkelboog AB veradert de grootte va hoek BRC iet. 4p Bewijs dit. De baa va R die hoort bij de hierbove beschreve bewegig va, ka geteked worde met behulp va de oder figuur geoemde eigeschap. 5p 2 Teke op deze maier i de figuur op de uitwerkbijlage de baa va R. Geef de radpute va de baa, waarbij driehoek AB rechthoekig is, duidelijk aa. Licht je werkwijze toe. www

3 Eidexame wiskude B vwo II uitwerkbijlage Q R A B 2 C Q R A B C www

4 Eidexame wiskude B vwo II De leercurve Het aalere va ee ieuwe hadelig kost tijd. Als je ee hadelig vaker uitvoert, wordt de voor deze hadelig beodigde tijd meestal steeds korter. T.. Wright stelde voor dit leerproces de volgede formule op: a T = T. Hieri is: T het aatal secode dat odig is als de hadelig voor de -de keer wordt uitgevoerd, T het aatal secode dat odig is als de hadelig voor de eerste keer wordt uitgevoerd e a ee positieve costate die afhagt va de selheid va het leerproces. Volges de formule va Wright leidt ee verdubbelig va het aatal keer uitvoere va ee zelfde hadelig tot ee dalig va de hoeveelheid beodigde tijd (e dus koste) va de laatste keer met ee vast percetage. Me spreekt va ee %-leercurve als bij verdubbelig va het aatal keer uitvoere va aar 2 de laatste keer og maar % kost va de tijd bij de -de T2 keer. Ofwel: T = 00 4p 3 Bereke de waarde va a i de formule va Wright bij ee 85%-leercurve. Rod je atwoord af op twee decimale. I ee bepaald bedrijf voere mese ee hadelig aa de lopede bad uit. Deze hadelig wordt iet door iederee op dezelfde maier aageleerd. I de praktijk komt me oder adere de volgede twee soorte mese tege: selle starters: deze mese kue de hadelig de eerste keer al sel uitvoere, maar het lukt he daara iet om dit sel te verbetere, selle leerders: de eerste keer duurt bij deze mese wat lager, maar zij zij i staat sel vooruitgag te boeke. Voor beide soorte hateert het bedrijf ee formule va Wright: selle starters: T 0,52 = 20, selle leerders: T 0,328 = 40. 4p 4 Bereke bij de hoeveelste keer uitvoere ee selle leerder de hadelig voor het eerst seller uitvoert da ee selle starter. www

5 Eidexame wiskude B vwo II Me wil wete hoe lag ee selle starter bij de eerste 00 hadelige gemiddeld over ee hadelig doet. Daarvoor moet eerst de totale tijd, dus de som T + T + T T, uitgereked worde. Deze som is gelijk aa de totale oppervlakte va 00 rechthoeke met breedte e hoogtes T, T, T,, T I figuur is ee aatal va deze rechthoeke geteked voor ee selle starter. figuur 20 T x De oppervlakte va de 00 rechthoeke ka goed beaderd worde met ee oppervlakte oder de grafiek va de fuctie T die gegeve is door 0,52 T( x) = 20 x. 4p 5 Bereke deze oppervlakte oder de grafiek va T met behulp va primitivere e bepaal hiermee hoe lag ee selle starter bij de eerste 00 hadelige gemiddeld over ee hadelig doet. Rod deze tijdsduur af op ee geheel aatal secode. www

6 Eidexame wiskude B vwo II Ee expoetiële fuctie I figuur is voor x 0 de grafiek geteked va de fuctie f die gegeve is door 8x f( x ) =. e x figuur A f O x Deze grafiek heeft éé top, die we A oeme. 4p 6 Bereke exact de x-coördiaat va A. figuur 2 f O x Zoals je i figuur 2 ziet, past ee vierkat met zijde waarva éé zijde op de x-as ligt, ruimschoots i het gebied tusse de grafiek va f e de x-as. 4p 7 Oderzoek met ee berekeig of ee vierkat met zijde 2 waarva éé zijde op de x-as ligt, ook og i dit gebied past. www

7 Eidexame wiskude B vwo II We bekijke u voor positieve waarde va met de fuctie g die is 8x gegeve door g ( x ) =. x e De grafieke va g sijde de grafiek va f i het put (0, 0). Ook is er voor elke positieve waarde va met og ee ader sijput. I tabel staat voor ekele waarde va de x-coördiaat va dit adere sijput. tabel x l 2 l 3 l 4 l sijput Voor de vier waarde va uit de tabel geldt: x = sijput l. Hieruit otstaat het vermoede dat deze formule voor x klopt voor elke sijput positieve waarde va met. 5p 8 Too aa dat dit vermoede juist is. figuur 3 g 3 f O x I figuur 3 zij de grafieke geteked va f e de fuctie g, gegeve door 3 24x g ( x ) =. De grafieke va f e g sluite ee vlakdeel i. Dit vlakdeel is i 3 3 e x 3 figuur 3 grijs gemaakt. 4p 9 Bereke de oppervlakte va dit vlakdeel. www

8 Eidexame wiskude B vwo II Wortelfucties Voor =, 2, 3,... is de fuctie f gegeve door f ( x ) = + 6 x. De fuctie f 2 is dus gegeve door f 2 ( x ) = x 2. I figuur is de grafiek va f 2 geteked e de lij met vergelijkig = x. figuur f 2 = x 20 0 O x p 0 Bereke exact de oppervlakte va het vlakdeel dat wordt igeslote door de lij met vergelijkig = x e de grafiek va f 2. Verder is gegeve de lij k met vergelijkig = x p Bewijs dat voor elke waarde va de grafiek va f de lij k raakt i het put met x-coördiaat + 9. www

9 Eidexame wiskude B vwo II Zoek de geodriehoek Gegeve zij twee evewijdige lije k e m e ee put A ertussei. Zie figuur. figuur m A k I deze opgave bekijke we hoe je op elk va de twee gegeve lije ee put kut tekee zo dat deze pute same met put A de hoekpute zij va ee geodriehoek. Ee geodriehoek is ee gelijkbeige rechthoekige driehoek. We bekijke de situatie waarbij de hoek waarva A het hoekput is, recht is. Om te begrijpe hoe we die situatie kue tekee, bekijke we figuur 2. Hieri is ee geodriehoek QR geteked, waarbij hoek recht is e de pute Q e R respectievelijk op de (evewijdige) lije k e m ligge. De loodlij door op k e m sijdt k i put S e m i put T. Figuur 2 staat vergroot op de uitwerkbijlage. figuur 2 T R m k S Q Er geldt: driehoek QS is cogruet met driehoek RT. 4p 2 Bewijs dit. I de figuur op de uitwerkbijlage zij twee evewijdige lije k e m geteked met ee put A ertussei. 3p 3 Teke i deze figuur met behulp va wat hierbove over figuur 2 gezegd is ee geodriehoek waarva op elk va deze lije k e m ee hoekput ligt e waarva A het hoekput va de rechte hoek is. Licht je werkwijze toe. www

10 Eidexame wiskude B vwo II uitwerkbijlage 2 R m T k S Q 3 m A k www

11 Eidexame wiskude B vwo II Gebroke fuctie Voor elke positieve waarde va a is de fuctie f a gegeve door fa ( x ) = ax+ met x > 0 x I figuur is voor ekele waarde va a de grafiek va f a geteked. figuur x De grafiek va f a heeft voor elke positieve waarde va a ee top. Het lijkt erop dat deze toppe ligge op ee hperbool met vergelijkig x = c voor ee zekere waarde va c. Deze hperbool is i figuur gestippeld weergegeve. 5p 4 Too lags algebraïsche weg aa dat de toppe iderdaad op ee hperbool met vergelijkig x = c ligge e bereke de waarde va c. www. - -

12 Eidexame wiskude B vwo II Rechthoeke bij ee kwartcirkel I ee rechthoekig assestelsel Ox bekijke we het deel va de eeheidscirkel dat i het eerste kwadrat ligt. Het sijput met de x-as is A(, 0). Op de kwartcirkel ligt ee willekeurig put B(cos t, si t ) met AOB = t rad e 0 < t < π. 2 ut R is de loodrechte projectie va B op de x-as. We make u twee rechthoeke: I. Ee rechthoek ONQ, waarbij N het midde va AR is e e Q op dezelfde hoogte als B ligge. OQ = sit e ON = ( + cos t ). Zie figuur. De oppervlakte va deze rechthoek oeme we Vt (). figuur 2 II. Ee rechthoek ATSR, waarbij S het midde va BR is. RS = 2 sit e RA= cos t. Zie figuur 2. De oppervlakte va deze rechthoek oeme we Wt (). figuur 2 Q B B S T t O R N A(,0) x O t R A(,0) x 5p 5 Bereke exact de waarde va t waarvoor Vt () = 3 Wt (). De bovegeoemde rechthoeke zij gelijkvormig als de verhoudig va de zijde va de ee rechthoek gelijk is aa de verhoudig va de zijde va de adere rechthoek. Hiervoor zij twee mogelijkhede: ON RS ON RA = of =. OQ RA OQ RS 4p 6 Too aa dat voor elke waarde va t met 0 < t < π geldt: 2 ON RS =. OQ RA Er is ee waarde va t (met ON RA 0 < t < π ) waarvoor geldt dat =. 2 OQ RS Voor deze waarde va t zij beide rechthoeke vierkat. 7p 7 Bereke va beide vierkate exact de zijde voor deze waarde va t. www