Ongelijkheden. IMO trainingsweekend 2013

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Ongelijkheden. IMO trainingsweekend 2013"

Transcriptie

1 Ogelijkhede IMO traiigsweeked 0 Deze tekst probeert de basis aa te brege voor het bewijze va ogelijkhede op de IMO. Het is de bedoelig om te bewijze dat ee bepaalde grootheid (ee uitdrukkig met ee aatal variabele i) steeds mistes zo groot is als (of strikt groter da) ee adere, evetueel oder bepaalde voorwaarde. Om verwarrig te vermijde make we eerst de volgede afspraak: ee reëel getal heet positief als het mistes ul is. Ee reëel getal heet egatief als het hoogstes ul is. Merk op dat ul dus zowel positief als egatief is. (Weetje: i het Egels is de covetie dat positive ee getal aaduidt dat strikt groter is da ul e egative ee getal dat strikt kleier is da ul. I het Egels is ul dus iet positive e ook iet egative.) Deze tekst is vooramelijk gebaseerd op hoofdstuk 7 va Problem Solvig Strategies va Arthur Egel e op Olympiad Iequalities va Thomas Mildorf. De meeste oefeige kome rechtstreeks uit éé va deze twee broe. De basis Laat os begie met ee voorbeeld. Opgave. Bewijs dat voor alle reële getalle a, b geldt dat a + b ab. Oplossig. Kwadrate zij positief (!). Daarom geldt (a b) 0. Uitwerke va het merkwaardig product levert het gevraagde. Dit voorbeeld illustreert de eerste techiek die je ka gebruike om ee ogelijkheid aa te toe: kwadrate zij positief. Ook somme va kwadrate zij atuurlijk positief. We zulle hier ee aatal resultate uit afleide die vaak uttig zij. Het bewijze va deze stellige late we als oefeig aa de lezer. Stellig. Voor alle reële getalle a, b geldt dat (a + b ) (a + b) a + b a + b. Als a e b positief zij, wete we dat ( a b) 0. Dit levert het volgede op.

2 Stellig. Voor a, b, x > 0 geldt a + b ab. a b + b a x + x Het getal ab ab a + b = +. a b (a + b )/ wordt het kwadratisch gemiddelde va a e b geoemd. Het getal (a + b)/ wordt het rekekudig gemiddelde va a e b geoemd. Het getal ab wordt het meetkudig gemiddelde va a e b geoemd. Het getal ab/(a + b) wordt het harmoisch gemiddelde va a e b geoemd. De afkortige voor deze gemiddeldes zij (vauit het Egels) respectievelijk QM, AM, GM e HM. We hebbe da het volgede resultaat vastgesteld. Stellig. Voor strikt positieve getalle a e b geldt mi(a, b) HM GM AM QM max(a, b). Deze vier soorte gemiddeldes kue we uitbreide tot rije va strikt positieve getalle. Voor a,..., a > 0 hebbe we a + + a QM = Stellig 4. Voor a,..., a > 0 geldt AM = a + + a GM = a a... a HM = a + +. a mi(a i ) HM GM AM QM max(a i ). i i De ogelijkhede zij gelijkhede precies waeer alle a i gelijk zij. Als éé of meer va de a i ul zij, da geldt de stellig og steeds op voorwaarde dat je het harmoisch gemiddelde weglaat (wat dat is da iet gedefiieerd). Opgave (Ogelijkheid va Nesbitt). Voor strikt positieve getalle a, b, c geldt a b + c + b c + a + c a + b.

3 Eerste oplossig. We kue de ogelijkheid herschrijve tot a + b + c b + c + a + b + c c + a + a + b + c a + b of dus ( (a + b + c) b + c + c + a + ) a + b Dit kue we herschikke tot hetgee equivalet is met (a + b + c) (a + b) + (b + c) + (c + a) + + b+c c+a a+b maar dit is gewoo AM-HM voor a + b, b + c e c + a , b+c c+a a+b ( ) Tweede oplossig. We begie met dezelfde twee stappe als i de eerste oplossig e moete dus ( ) bewijze. Da oeme we x = b + c, y = c + a, z = a + b zodat de ogelijkheid wordt ( (x + y + z) x + y + ) 9. z Dit is equivalet met + ( x y + y ) ( y + x z + z ) ( z + y x + x ) 9, z hetgee klopt omdat alle somme tusse haakjes mistes zij. Derde oplossig. Oze eerste twee stappe zij weer dezelfde. We passe AM-GM toe op beide factore i het likerlid va ( ). Dit levert op ( (a + b + c) a + b + ) abc c abc = 9. Vierde oplossig. Als we a, b e c vervage door ta, tb e tc met t > 0, da blijft de ogelijkheid gelde (we moge de situatie herschale ; we zegge ook wel dat de ogelijkheid homogee is). Daarom moge we aaeme dat a + b + c = i ( ). Nu passe we AM-HM toe op (a + b), (b + c) e (c + a) e we vide dat ( a + b + b + c + ) c + a e dit was precies wat we moeste bewijze volges ( ). (a + b + c) =

4 De herschaal-techiek i het vierde bewijs ka waardevol zij op ee olympiade. Kijk altijd eve a of ee ogelijkheid homogee is. Merk op dat de ogelijkheid tusse de gemiddeldes (stellig 4) homogee ogelijkhede bevat. Soms kome homogee ogelijkhede eer op deze stellig. Vaak moete ogelijkhede beweze worde oder evevoorwaarde, extra gegeves waaraa de variabele voldoe. Het is vaak ee goed idee om de te bewijze ogelijkheid homogee te make met behulp va deze extra gegeves. Ee voorbeeld: Opgave. Als a, b, c positieve getalle zij zodaig dat abc =, da is a+b+c a +b +c. Oplossig. Het likerlid is va de eerste graad i de variabele e het rechterlid va de tweede. Liks vermeigvuldige met (abc) = levert dus ee homogee ogelijkheid op, amelijk a b c + b c a + c a b a + b + c. Deze volgt uit AM-GM. Iderdaad, we hebbe a + a + a + a + b + c 6 a 4 b c e og twee aaloge ogelijkhede door cyclisch verwissele va de variabele. Deze drie ogelijkhede optelle levert het gevraagde. Stadaard ogelijkhede Belagrijk i het bewijze va ogelijkhede is het herkee va bestaade ogelijkhede die goed geked zij. Stellig 4 mag je gebruike op de IMO op voorwaarde dat je de aam (bijvoorbeeld QM-GM) vermeldt. Hetzelfde geldt voor de stellige i deze sectie. Stellig 5 (Cauchy-Schwarz). Als a,..., a e b,..., b reële getalle zij, da is (a b + + a b ) (a + + a )(b + + b ). Gelijkheid geldt precies waeer er ee reëel getal λ bestaat zodaig dat a i = λb i voor alle i of als alle b i ul zij. Deze ogelijkheid komt heel vaak voor i olympiade-oplossige, bijvoorbeeld bij de volgede opgave. Opgave 4. Voor strikt positieve getalle a, b, c, d geldt a + b + 4 c + 6 d 64 a + b + c + d. Voor de volgede stellig moete we wete wat covexiteit is. Als f : [a, b] R ee fuctie is op ee iterval, oeme we deze covex als λf(x) + ( λ)f(y) f(λx + ( λ)y) voor alle x, y [a, b] e λ [0, ]. 4

5 Grafisch gezie komt dit erop eer dat het lijstuk tusse twee pute op de grafiek erges oder de grafiek ligt. Ee fuctie f heet cocaaf als f covex is, met adere woorde als het lijstuk tusse twee pute op de grafiek erges bove de grafiek ligt. Als f cotiu is e twee keer afleidbaar op ]a, b[, da is f covex als e slechts als de tweede afgeleide altijd positief is. Aaloog is f da cocaaf als e slechts als de tweede afgeleide altijd egatief is. We oeme ee fuctie strikt covex als de ogelijkheid strikt is voor alle λ ]0, [ (tezij x = y), e aaloog voor strikt cocaaf. Veroderstel dat f cotiu is e twee keer afleidbaar op ]a, b[. Als de tweede afgeleide va f strikt positief is, da is f strikt covex (maar het omgekeerde geldt iet). Covexiteit va fucties is ee krachtig hulpmiddel voor het aatoe va ogelijkhede. Het is wellicht éé va de weiige plaatse i de IMO waar het gebruik va afgeleide uttig is. Stellig 6 (Jese). Zij f : [a, b] R covex. Da geldt voor alle x,..., x [a, b] e positieve ω,..., ω (iet allemaal ul) dat ω f(x ) + + ω f(x ) ω + + ω ( ) ω x + + ω x f. ω + + ω De ogelijkheid is strikt waeer f strikt covex is e de x i iet allemaal gelijk zij. Opgave 5. Als a, b strikt positief zij zodaig dat a + b =, da is ( a + a) ( + b + ) 5 b. Oplossig. De fuctie f : x (x + x ) is covex op de verzamelig va strikt positieve getalle (ga dit zelf a). We hebbe dus ( ) f(a) + f(b) a + b f e dit is het gevraagde. Stellig 7 (Machtsgemiddeldes). Zij x,..., x e ω,..., ω positieve getalle e veroderstel dat iet alle ω i ul zij. Defiieer ( ω x r + + ω x r f(r) = ω + + ω r voor alle r > 0. Als alle x i strikt positief zij, defiiëre we f ook voor r < 0 aa de had va dezelfde formule, e da defiiëre we ook f(0) = (x ω... x ω ) r ω ) + +ω. (De fuctie f is dus gedefiieerd op alle reële getalle als alle x i strikt positief zij, e aders allee op de strikt positieve reële getalle.) Da is f ee stijgede fuctie i r die waarde aaeemt tusse mi i (x i ) e max i (x i ). Als iet alle x i gelijk zij, is f strikt stijged, e aders is f costat. 5

6 Dit is ee sterke veralgemeig va stellig 4. Iderdaad, als we ω i = eme voor alle i, is f( ) het harmoisch gemiddelde va de x i, f(0) het meetkudig gemiddelde, f() het rekekudig gemiddelde e f() het kwadratisch gemiddelde. Stellig 4 zegt da essetieel dat f( ) f(0) f() f(). De formulerig va deze stellig is lag weges de algemeeheid, e vaak zij speciale gevalle (zoals alle ω i = ) al uttig. Stellig 8 (Schur). Veroderstel dat a, b, c positief zij e dat r > 0. Da is a r (a b)(a c) + b r (b c)(b a) + c r (c a)(c b) 0 met gelijkheid als e slechts als a = b = c, of als twee getalle uit {a, b, c} gelijk zij e het adere ul. Schrijf de gevalle r = e r = ees expliciet op e werk de haakjes uit om de ogelijkheid va Schur beter te lere kee. Stellig 9 (Chebyshev). Veroderstel dat a a a e b b b. Da is a b + + a b a + + a b + + b a b + a b + + a b. Opgave 6. Voor strikt positieve a, b, c geldt a + b + c a + b + c a + b + c. Opgave 7. Veroderstel dat a, b, c positieve getalle zij met a + b + c =. Bewijs dat e ga a waeer de gelijkheid geldt. a + b + c + 6abc 4 De volgede ogelijkheid die we wille bespreke is de herschikkigsogelijkheid. We zulle deze eerst illustrere met ee simpele puzzel. Veroderstel dat op ee tafel stapeltjes eurobiljette ligge, gesorteerd per waarde (dus ee stapeltje va biljette va 5, 0, 0, 50, 00, 00 e 500 euro). Va éé va deze stapeltjes mag je 7 biljette eme, va ee adere 6, va og ee adere 5, va ee vierde 4, va éé va de overblijvede, va ee zesde stapeltje e va het laatste stapeltje. Hoe maximaliseer je je wist? Het atwoord ligt voor de had: eem 7 biljette va 500, 6 biljette va 00, ezovoorts tot biljet va 5. Dit is het idee achter de herschikkigsogelijkheid. Om de herschikkigsogelijkheid op ee efficiëte maier te kue opschrijve, voere we eerst wat otatie i. Als a,..., a e b,..., b twee rije reële getalle zij, otere we hu scalair product als [ ] a a a = a b b b b + + a b. Deze otatie is iet stadaard, e als je ze gebruikt op de IMO moet je ze eerst uitlegge. 6

7 Stellig 0 (Herschikkigsogelijkheid). Veroderstel dat a a a e b b b twee rije reële getalle zij, gesorteerd va groot aar klei. Da is [ ] [ ] [ ] a a a a a a a a a b b b b σ() b σ() b σ() b b b voor eeder welke permutatie σ va {,,..., }. I woorde: het scalair product va twee rije is maximaal als hu elemete op dezelfde maier gesorteerd zij (bijvoorbeeld allebei va groot aar klei), e miimaal als ze omgekeerd gesorteerd zij. Deze ogelijkheid ligt redelijk voor de had als je het voorbeeld met de eurobiljette i het achterhoofd houdt. Toch is ze heel uttig op olympiades, zeker als je ook de uitbreidig aar meerdere rije ket (hoewel die allee spreekt over het maximum). Voor drie rije a,..., a, b,..., b e c,..., c is het gezamelijk scalair product gedefiieerd als a a a b b b = a b c + + a b c, c c c e aaloog voor meer da drie rije. Stellig (Herschikkigsogelijkheid voor meerdere rije). Veroderstel dat ee aatal rije gegeve zij va positieve getalle elk. Da is hu gezamelijk scalair product maximaal als ze allemaal va groot aar klei gesorteerd zij. Merk op dat de herschikkigsogelijkheid voor meerdere rije ekel geldt voor rije va positieve getalle. Opgave 8. Bewijs de ogelijkheid va Nesbitt met behulp va de herschikkigsogelijkheid. Bewijs. Merk op dat [ a b c b+c c+a [ a b c b+c c+a ] a+b ] a+b [ a b c c+a a+b [ a b c a+b b+c ] b+c ] c+a. Het optelle va deze ogelijkhede geeft het gevraagde. Opgave 9. Vid het miimum va si(x) / cos(x) + cos(x) / si(x) voor 0 < x < π. Hit. Voor x = π 4 krijge we. Dit is het miimum. Opgave 0. Voor positieve a, b, c geldt a 4 + b 4 + c 4 a bc + b ca + c ab. Te slotte og ee lijstje va veelvoorkomede substituties: als abc =, ka je stelle a = x/y, b = y/z e c = z/x, 7

8 als a, b, c de zijde zij va ee driehoek (als gee ekele groter is da de som va de twee adere), zij ze te schrijve als a = x + y, b = y + z, c = z + x met x, y, z 0, goiometrische substituties. We geve va de laatste ee voorbeeld. Opgave. Zij x, y, z strikt positief zodaig dat x + y + z = xyz. Bewijs dat + x + + y + + z. Oplossig. Stel x = ta(a), y = ta(b), z = ta(c) met a, b, c ]0, π [. De te bewijze ogelijkheid wordt da De gelijkheid x + y + z = xyz is da hetgee beteket cos(a) + cos(b) + cos(c). ta(a) + ta(b) + ta(c) = ta(a) ta(b) ta(c), ta(c) = ta(a) + ta(b) ta(a) ta(b) = ta(a + b). Er volgt dat a + b + c = π. Merk op dat cos cocaaf is op ]0, π [, zodat volges Jese geldt Dit bewijst het gevraagde. Oefeige cos(a) + cos(b) + cos(c) Opgave. Voor alle reële getalle x geldt x + x +. ( ) a + b + c cos =. Opgave. Voor positieve reële getalle a, b, c geldt (a + b)(b + c)(c + a) 8abc. Opgave 4. Voor alle reële getalle a, b, c geldt a + b + c ab + bc + ca. Opgave 5. Als a, a,..., a 0 positieve reële getalle zij waarva het product is, da geldt ( + a )( + a ) ( + a 0 ) Opgave 6. Voor positieve getalle a, b, c, d geldt (a + c)(b + d) ab + cd. 8

9 Opgave 7. Voor strikt positieve getalle a,..., a geldt ( (a + + a ) + + ). a a Probeer i te zie dat dit beteket dat het rekekudig gemiddelde va getalle mistes het harmoisch gemiddelde is va deze getalle. Opgave 8. Vermeigvuldig de ogelijkheid i opgave 4 met (a + b + c) om te bewijze dat voor alle strikt positieve a, b, c geldt dat AM GM HM (waarbij AM = (a + b + c)/, GM = abc e HM = /(a + b + c )). Opgave 9 (IMO 974). Zij a, b, c, d > 0. Vid alle mogelijke waarde va a a + b + d + b a + b + c + Opgave 0. Voor positieve x,..., x geldt c b + c + d + d a + c + d. x + + x x + x x x (x + x + + x ). Opgave (IMO 975). Veroderstel dat x,..., x e y,..., y twee dalede rije va getalle zij. Veroderstel dat z,..., z ee willekeurige permutatie is va de y i. Too aa dat (x i y i ) (x i z i ). i= Opgave. Voor positieve getalle a, b, c geldt (a b + b c + c a)(ab + bc + ca ) 9a b c. Opgave. Als a, b, c > 0 e a + b + c =, da ( a + a) ( + b + ) ( + c + ) 00 b c. Opgave 4. Voor strikt positieve x, y, z gelde e i= x y + y z + z x y x + z y + x z x y + y z + z x x y + y z + z x. Opgave 5. Bewijs dat (a a + ) > 4a (a + )(a ). Opgave 6. Veroderstel dat a, b, c groter zij da zodaig dat Bewijs dat a + b + c =. a + + b + + c +. 9

10 Opgave 7. Bewijs dat voor reële getalle x e y geldt dat (x + y)( xy) ( + x )( + y ). Opgave 8. Als a, b > 0 e is ee atuurlijk getal, da geldt ( + a ) ( + + b b a) +. Opgave 9. Veroderstel dat a, b, c > 0, a > c e b > c. Bewijs dat c(a c) + c(b c) ab. Opgave 0. Veroderstel dat a, b, c > 0. Bewijs dat abc (a + b c)(a + c b)(b + c a) e a + b + c a b + b c + c a. Opgave. Veroderstel dat a, b, c positief zij zodaig dat a + b + c =. Bewijs dat 4a + + 4b + + 4c +. Opgave. Als a, b, c strikt positieve getalle zij, da is a + b c b + c + b + c a c + a + c + a b a + b 0. Opgave (IMO 995). Veroderstel dat a, b, c positief zij met abc =. Bewijs dat a (b + c) + b (a + c) + c (a + b). Opgave 4 (IMO 999). Zij ee atuurlijk getal. Vid het kleiste getal C zodaig dat voor alle positieve x,..., x geldt ( ) x i x j (x i + x 4 j) C x i. i<j i= Opgave 5. Veroderstel dat abc =. Bewijs dat a 4 + b 4 + c 4 + (a + b + c) a b + a c + b c + b a + c a + c b. 0

11 Opgave 6 (IMO 008). Bewijs dat voor alle reële getalle x, y, z die voldoe aa xyz = de volgede ogelijkheid geldt: x (x ) + y (y ) + z (z ). Bewijs dat er gelijkheid geldt voor oeidig veel drietalle ratioale getalle x, y, z die voldoe aa xyz =. Opgave 7. Veroderstel dat a, b, c strikt positieve getalle zij met a + b + c + abc = 4. Bewijs dat a + b + c b c + a + c (a + b + c). a + b Opgave 8 (Shortlist IMO 008). Veroderstel dat a, b, c, d positief zij zodaig dat abcd = e a + b + c + d > a b + b c + c d + d a. Bewijs dat a + b + c + d < b a + c b + d c + a d. Opgave 9 (IMO 0). Veroderstel dat e dat a,..., a positieve getalle zij waarva het product is. Bewijs dat (a + ) (a + ) (a + ) >.

12 Extraatje: covexiteit i meerdere veraderlijke We illustrere ee techiek die gebruikmaakt va covexiteit i meerdere veraderlijke. We gaa iet i op de theorie, e als je deze techiek wil toepasse op de IMO moet je alle stappe goed veratwoorde (wellicht beter da we hier doe). Opgave 40. Voor 0 a, b, c geldt a b + c + + b c + a + + c + ( a)( b)( c). a + b + Oplossig. We beschouwe het likerlid als ee fuctie f(a, b, c) gedefiieerd op de kubus. Omdat f cotiu is e gedefiieerd op ee geslote e begresd gebied eemt ze haar maximum aa. De fuctie is daarebove strikt covex, zoals agegaa ka worde door alle tweede partieel afgeleide te berekee. Hieruit volgt dat f haar maximum aaeemt op ee put dat iet op het lijstuk tusse twee adere pute ligt, maar zo zij er maar acht: alle hoekpute va de kubus. De fuctiewaarde uitrekee voor alle acht de hoekpute levert dat f ooit groter wordt da. Opgave 4. Als 0 a, b, c, da is a bc + + Extraatje: meer ogelijkhede b ac + + c ab +. Wie extra wapes wil voor het oplosse va ogelijkhede ka zich hieri verdiepe. Veroderstel dat (a,..., a ) e (b,..., b ) twee rije reële getalle zij. We zegge da dat de rij (a,..., a ) de rij (b,..., b ) majoriseert als beide rije daled zij (iet per se strikt), voor alle k geldt dat k i= a i k i= b i, met gelijkheid voor k =. We schrijve dit als (a,..., a ) (b,..., b ). Merk op dat de getalle iet geheel hoeve te zij. Bemerk ook dat de rije dezelfde som moete hebbe (als gevolg va het tweede putje). Als voorbeeld hebbe we dat (, 0, 0) de rij (,, 0) majoriseert. De rij (0,, 0) majoriseert de rij (, 0, ) iet (e ook iet omgekeerd). Wel hebbe we (, 0, 0) (,, 0). Stellig (Muirhead). Veroderstel dat x,..., x positieve getalle zij e dat (a,..., a ) (b,..., b ). Da is x a i i x b i i. sym sym Hierbij wordt de som geome over alle permutaties va de x i (merk op: iet allee over de cyclische). Gelijkheid geldt als e slechts als (a,..., a ) = (b,..., b ) of alle x i gelijk zij.

13 Omdat (,, 0) (,, ) zegt de ogelijkheid va Muirhead bijvoorbeeld dat x y + x z + y x + y z + z x + z y (x yz + y xz + z xy) voor alle positieve x, y, z. Merk op dat we dit ook hadde kue verkrijge door AM-GM door (x y) + (x z) + y z + z y (x 6 6 y) (x z) (y z)(z y) = x yz op te telle over alle permutaties va de variabele. I feite ka elk resultaat dat je via Muirhead verkrijgt ook verkrege worde met AM-GM, e sommige rade aa om ee toepassig va Muirhead steeds te vervage door AM-GM omdat dit beter geked is oder de jury. Bespreek evetueel met je teamleider of het aa te rade is Muirhead te gebruike. We geve te slotte og ee laatste stellig. Stellig (Karamata s majorizatio iequality). Veroderstel dat f covex is op [a, b] e dat (x,..., x ) (y,..., y ), waarbij x i, y i [a, b]. Da is f(x i ) f(y i ). i= i=

Convergentie, divergentie en limieten van rijen

Convergentie, divergentie en limieten van rijen Covergetie, divergetie e limiete va rije TI-spire e rije 7N5p GGHM 22-23 Eigeschappe rekekudige rij b = begiwaarde v = verschil tusse twee opeevolgede terme recursieve formule: u = u + v met u = b directe

Nadere informatie

We kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen:

We kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen: Masteropleidig Fiacial Plaig Kwatitatieve Methode Relevate wiskude We kee i de wiskude de volgede getalleverzamelige: De atuurlijke getalle: N = {0,,,,4, } De gehele getalle: Z = {, -,-,-,0,,,, } (egels:

Nadere informatie

Periodiciteit bij breuken

Periodiciteit bij breuken Periodiciteit bij breuke Keuzeodracht voor wiskude Ee verdieede odracht over eriodieke decimale getalle, riemgetalle Voorkeis: omrekee va ee breuk i ee decimale vorm Ileidig I deze odracht leer je dat

Nadere informatie

Praktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling

Praktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling Praktische opdracht: Complexe getalle e de Julia-verzamelig Auteur: Wiebe K. Goodijk, Zerike College Hare Beodigde Voorkeis: 1 = i Het complexe vlak. Notatie: z = a + bi of z = r(cosϕ + i si ϕ) Regel va

Nadere informatie

Opgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100...

Opgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100... Opgave OPGAVE 1 a. Itereer met F( ) = e als startwaarde 1 e 1. 16 1............... 16 1............... b. Stel de bae grafisch voor i ee tijdgrafiek. c. Formuleer het gedrag va deze bae. (belagrijk is

Nadere informatie

Functies, Rijen, Continuïteit en Limieten

Functies, Rijen, Continuïteit en Limieten Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-0 Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Ihoud 1. Fucties Defiitie e kemerke / bewerkige op fucties Reële fucties va éé reële veraderlijke

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II Eideame wiskude B vwo 200 - II Sijde met ee hoogtelij Op ee cirkel kieze we drie vaste pute, B e C, waarbij lijstuk B gee middellij is e put C op de kortste cirkelboog B ligt. Ee put doorloopt dat deel

Nadere informatie

PARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens

PARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens PARADOXEN 9 Dr Luc Gheyses LIMIETEN, AFGELEIDEN EN INTEGRALEN: ENKELE MERKWAARDIGE VERHALEN Ileidig: verhale over ifiitesimale Ee ifiitesimaal (of ifiitesimaal kleie waarde) is ee object dat mi of meer

Nadere informatie

Rijen. 6N5p

Rijen. 6N5p Rije 6N5p 0-03 Rije Ileidig I de wiskude werke we vaak met formules e/of fucties die elke mogelijke waarde aa kue eme. Als bijvoorbeeld f( x) = 5x + 5x 3, da ku je voor x (bija) elke waarde ivulle e ka

Nadere informatie

Is A < B? Fokko van de Bult June 2, 2004

Is A < B? Fokko van de Bult June 2, 2004 Is A < B? Fokko va de Bult Jue 2, 2004 Ileidig Ogelijkhede kome op de IMO i verschillede vorme voor. De opvalledste vorm is opgaves die zelf ee ogelijkheid zij. Deze opgaves vereise (bija) altijd og ee

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 6. Proporties. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 6. Proporties. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1. Ee ieuwe aam voor ee gekede grootheid...2

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodelle e ormaal verdeelde steekproefgroothede 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1.

Nadere informatie

HET BELANG VAN. Vragen Tijdens de voordracht op 14 augustus 2007 hebben we de volgende vragen besproken.

HET BELANG VAN. Vragen Tijdens de voordracht op 14 augustus 2007 hebben we de volgende vragen besproken. HET BELANG VAN KP HART Vrage Tijdes de voordracht op augustus 007 hebbe we de volgede vrage besproke. Hoe ku je izie dat ee vierkat, bij gegeve omtrek, de rechthoek met de maximale oppervlakte is? Hoe

Nadere informatie

Hoeveel getallen van 2 verschillende cijfers kan je vormen met de cijfers 1,4,7,8? tweede cijfer 4 7 8 1 7 8 1 4 8 1 4 7

Hoeveel getallen van 2 verschillende cijfers kan je vormen met de cijfers 1,4,7,8? tweede cijfer 4 7 8 1 7 8 1 4 8 1 4 7 Hoofdstu Combiatorie. Basisregels Combiatorie is de studie va telprobleme. De ust va het telle bestaat vaa uit het codere of aders voorstelle va het telprobleem, zodat het uiteidelij volstaat om de volgede

Nadere informatie

2. Limiet van een rij : convergentie of divergentie

2. Limiet van een rij : convergentie of divergentie 2. Limiet va ee rij : covergetie of divergetie 2. Eigelijke of eidige limiet 2.. Voorbeeld I ee bos staa 4 bome. De diest bosbeheer zal jaarlijks 2% bome kappe e ieuwe aaplate. Zal het bos verdwije? Zal

Nadere informatie

1. Recursievergelijkingen van de 1 e orde

1. Recursievergelijkingen van de 1 e orde Recursievergelijkige va de e orde Rekekudige rije Het voorschrift va ee rekekudige rij ka gegeve wordt met de volgede recursievergelijkig: u = u + b Idie we deze vergelijkig i de vorm u = u u = b otere

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame HAVO 2013 tijdvak 2 woesdag 19 jui 13.30-16.30 uur wiskude A Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 21 vrage. Voor dit exame zij maximaal 80 pute te behale. Voor elk vraagummer

Nadere informatie

Werktekst 1: Een bos beheren

Werktekst 1: Een bos beheren Werktekst : Ee bos behere Berekeige met rije op het basisscherm Op ee perceel staa 3000 kerstbome. Ee boomkweker moet beslisse hoeveel bome er jaarlijks gekapt kue worde e hoeveel ieuwe aaplat er odig

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2008-II

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2008-II Groepsfoto s Alle mese kippere met hu oge. Daardoor staa op groepsfoto s vaak ekele persoe met geslote oge. Sveso e Bares hebbe oderzocht hoeveel foto s je moet make va ee groep va persoe om 99% kas te

Nadere informatie

Rijen met de TI-nspire vii

Rijen met de TI-nspire vii Rije met de TI-spire vii De tore va Pisa Me laat ee bal valle vaaf de tore va Pisa(63m hoog) Na elke keer stuitere haalt de bal og ee vijfde va de voorgaade hoogte. Gevraagd zij: a) De hoogte a de e keer

Nadere informatie

Een toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek.

Een toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek. 006 Wolters-Noordhoff bv Groige/Houte De steekproefomvag Ee toelichtig op het belag e het berekee va de steekproefomvag i marktoderzoek. Ihoud 1 Ileidig Eerst ekele defiities 3 Steekproefomvag e respose

Nadere informatie

Videoles Discrete dynamische modellen

Videoles Discrete dynamische modellen Videoles Discrete dyamische modelle Discrete dyamische modelle Orietatie Algebraisch Algebraisch/ umeriek Numeriek Maak de volgede rijtjes af: Puzzele met rijtjes a. 2 4 6 8 10 - b. 1 2 4 8 16 - c. 1 2

Nadere informatie

2.6 De Fourierintegraal

2.6 De Fourierintegraal 2.6 De Fourieritegraal We vertrekke va de Fourierreeks i complexe vorm: voor g : [ π,π] C kue we schrijve met g(t) α e it, α 1 Z π g(t)e it dt. 2π π We herschrijve deze formules eerst voor ee fuctie f

Nadere informatie

Reeksen. Convergente reeksen

Reeksen. Convergente reeksen Reekse Reekse Defiitie, otatie e voorbeelde Defiitie: Eereeks is ee koppel ( ) {u } l, {s } l met s = u k = u l + u l+ + u l+2 +...+ u + u k=l u l = s l, u = s s, = l +, l +2,... {u } l oemt me de termerij,

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame VW 007 tijdvak woesdag 6 mei.0-6.0 uur wiskude B Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 0 vrage. Voor dit exame zij maximaal 8 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel

Nadere informatie

Kanstheorie. 2de bachelor wiskunde Vrije Universiteit Brussel. U. Einmahl

Kanstheorie. 2de bachelor wiskunde Vrije Universiteit Brussel. U. Einmahl Kastheorie 2de bachelor wiskude Vrije Uiversiteit Brussel U. Eimahl Academiejaar 2011/2012 Ihoudsopgave 1 Kasruimte 1 1.1 Toevallige experimete................................. 1 1.2 De axioma s va Kolmogorov.............................

Nadere informatie

Appendix A: De rij van Fibonacci

Appendix A: De rij van Fibonacci ppedix : De rij va Fiboacci Het expliciete voorschrift va de rij va Fiboacci We otere het het e Fiboaccigetal met F De rij va Fiboacci wordt gegeve door: F F F F 4 F F 6 F 7 F De volgede afleidig is gebaseerd

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame VW 007 tijdvak woesdag 6 mei.0-6.0 uur wiskude B Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 0 vrage. Voor dit exame zij maximaal 8 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel

Nadere informatie

Discrete dynamische systemen

Discrete dynamische systemen Cahiers T 3 Europe Vlaadere r. 19 Discrete dyamische systeme Recursievergelijkige met de TI-84 Joha Deprez Discrete dyamische systeme Joha Deprez HUBrussel, Uiversiteit Atwerpe, Katholieke Uiversiteit

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 Rijen en webgrafieken

Hoofdstuk 1 Rijen en webgrafieken Hoofdstuk Rije e wegrafieke Voorkeis: Rije ladzijde V-a u 7 + v +, c De vergelijkig 7 + +, oplosse geeft, e dus 8. Ze hee eide 8 rode gelope. V- u, u met u V-a u + ( ) + + s u + u + u +... + u + + 8 +

Nadere informatie

Combinatoriek. Nota s in samenwerking met Anja Struyf en Sabine Verboven (Universiteit Antwerpen)

Combinatoriek. Nota s in samenwerking met Anja Struyf en Sabine Verboven (Universiteit Antwerpen) 1 Combiatoriek Nota s i samewerkig met Aja Struyf e Sabie Verbove (Uiversiteit Atwerpe) I het dagelijkse leve worde we vaak gecofroteerd met vraagstukke waarva de oplossig het telle va het aatal elemete

Nadere informatie

7. Betrouwbaarheidsintervallen voor proporties

7. Betrouwbaarheidsintervallen voor proporties VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 7. Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg

Nadere informatie

Opgeloste Oefeningen Hoofdstuk 5: Wet van de grote aantallen en Centrale limietstelling

Opgeloste Oefeningen Hoofdstuk 5: Wet van de grote aantallen en Centrale limietstelling Opgeloste Oefeige Hoofdstuk 5: Wet va de grote aatalle e Cetrale limietstellig 5.. Ee toevalsveraderlijke X is oisso-verdeeld met parameter λ = 00. Bepaal ee odergres voor de waarschijlijkheid (75 X 5).

Nadere informatie

Iteratie is het steeds herhalen van eenzelfde proces, verwerking op het bekomen resultaat. Verwerking

Iteratie is het steeds herhalen van eenzelfde proces, verwerking op het bekomen resultaat. Verwerking 1. Wat is iteratie? Iteratie is het steeds herhale va eezelfde proces, verwerkig op het bekome resultaat. INPUT Verwerkig OUTPUT Idie de verwerkig gebeurt met ee (reële) fuctie geldt voor ee startwaarde

Nadere informatie

Het andere binomium van Newton Edward Omey

Het andere binomium van Newton Edward Omey Ileidig Het adere biomium va Newto Edward Omey Bija iederee heeft tijdes ij studies eis gemaat met de biomiale coëf- ciëte of getalle Dee worde diwijls voorgesteld oder de vorm die door Blaise Pascal (6-66)

Nadere informatie

12 Kansrekening. 12.1 Kansruimten WIS12 1

12 Kansrekening. 12.1 Kansruimten WIS12 1 WIS12 1 12 Kasrekeig 12.1 Kasruimte Kasmaat Ee experimet is ee hadelig of serie hadelige met ee of meer mogelijke resultate uitkomste geoemd). De uitkomsteruimte, die we steeds zulle aageve met Ω, is de

Nadere informatie

6 Het inwendig product

6 Het inwendig product 6 Het iwedig prdct Te algebra e meetkde gescheide vakke ware, was h vrtgag lagzaam e h t beperkt Maar sids beide vakke zij vereigd, hebbe ze elkaar derlig versterkt e zij ze gezamelijk pgetrkke aar perfectie

Nadere informatie

7.1 Recursieve formules [1]

7.1 Recursieve formules [1] 7.1 Recursieve formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is ee getallerij. De getalle i de rij zij de terme. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is de vijfde term (u

Nadere informatie

C p n = C p (2000) Zet op de volgende uitdrukking gelijke noemer. 1 (p + 1)!n! + 1. (n + 1)!p! (a 3 2 a 2 )15

C p n = C p (2000) Zet op de volgende uitdrukking gelijke noemer. 1 (p + 1)!n! + 1. (n + 1)!p! (a 3 2 a 2 )15 Combiatieleer. (99 Op hoeveel maiere kue 8 studete verdeeld worde i groepe als elke groep uit mistes studet moet bestaa.. (99 Hoeveel terme elt ee homogee veelterm va graad 5 i 3 obepaalde x, y e, z? 3.

Nadere informatie

Machtsfuncties en wortelfuncties. Introductie 177. Leerkern 178

Machtsfuncties en wortelfuncties. Introductie 177. Leerkern 178 Ope Ihoud Uiversiteit leereeheid 6 Wiskude voor ilieuweteschappe Machtsfucties e wortelfucties Itroductie 77 Leerker 7 Machtsfucties et ee atuurlijk getal als epoet 7 Machtsfucties et ee egatief geheel

Nadere informatie

8 want 5,8 2 = 33,64 > 33 5 want 7,5 2 = 56,25 > 56,2 5 want 2,5 2 = 6,25.

8 want 5,8 2 = 33,64 > 33 5 want 7,5 2 = 56,25 > 56,2 5 want 2,5 2 = 6,25. Hoofdstuk WORTELS. ZIJDE EN OPPERVLAKTE VAN EEN VIERKANT a z a 9 + + + + 9 Lagzamer a Nee Hij doet alsof de oppervlakte gelijkmatig toeeemt. Je moet als zijde eme. z 0, 0, z a a 0,09 0,9 z a 0 / 00 0,

Nadere informatie

Meetkundige ongelijkheden Groep A

Meetkundige ongelijkheden Groep A Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor

Nadere informatie

Deel A. Breuken vergelijken 4 ----- 12

Deel A. Breuken vergelijken 4 ----- 12 Deel A Breuke vergelijke - - 0 Breuke e brokke (). Kleur va elke figuur deel. Doe het zo auwkeurig mogelijk.. Kleur va elke figuur deel. Doe het telkes aders.. Kleur steeds het deel dat is aagegeve. -

Nadere informatie

B C D E Welke rij is noch een Rekenkundige. noch een Meetkundige Rij? A B C D E

B C D E Welke rij is noch een Rekenkundige. noch een Meetkundige Rij? A B C D E Naam : Klas:.Datum: Ma 0 sept. 00 Rechterkat als kladblad gebruike A. 5067 De rij x, x+, x+,... is rekekudig als x gelijk is aa ) ) ) 4) 4 5) 0 6) 4 7) 8) ee getal tusse e 0 B. 57 80 De legtes a, b e c

Nadere informatie

Oefeningen op Rijen. Leon Lenders, Bree

Oefeningen op Rijen. Leon Lenders, Bree Oefeige op Rije Leo Leders, Bree I de tekst staa ee aatal oefeige i verbad met rije. De moeilijkere oefeige zij volledig uitgewerkt. Volgede oderwerpe kome aa bod : Plooie va ee blad papier Salaris Het

Nadere informatie

1. Weten dat in het geval van compressoren rekening moet gehouden worden met thermische effecten

1. Weten dat in het geval van compressoren rekening moet gehouden worden met thermische effecten Hoofdstuk 4 Compressore Doelstellige 1. Wete dat i het geval va compressore rekeig moet gehoude worde met thermische effecte 2. Wete dat er ee gres is aa het verhoge va de druk va ee gas 3. Wete welke

Nadere informatie

Toelichting bij Opbrengstgegevens VAVO 2011-2013

Toelichting bij Opbrengstgegevens VAVO 2011-2013 Toelichtig bij Opbregstgegeves VAVO 2011-2013 Ihoud Ileidig Aatal deelemers exame Kegetalle toezicht exames CE-cijfer alle vakke CE-cijfer alle vakke - tred SE-cijfer mius CE cijfer alle vakke Percetage

Nadere informatie

Hoe los ik het op, samen met Thuisvester? Ik heb een klacht

Hoe los ik het op, samen met Thuisvester? Ik heb een klacht Klachte? Hoe los ik het op, same met Thuisvester? Ik heb ee klacht Thuisvester doet haar uiterste best de beste service te verlee aa haar huurders. We vide ee goede relatie met oze klate erg belagrijk.

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO

Correctievoorschrift VWO Correctievoorschrift VWO 009 tijdvak wiskude B, Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordelig Algemee regels Vakspecifieke regels Beoordeligsmodel 5 Izede scores Regels voor de beoordelig

Nadere informatie

Kansrekenen [B-KUL-G0W66A]

Kansrekenen [B-KUL-G0W66A] KU Leuve Kasrekee [B-KUL-G0W66A] Notities Tom Sydey Kerckhove Gestart 8 februari 2015 Gecompileerd 9 februari 2015 Docet: Prof. Tim Verdock Ihoudsopgave 1 Combiatoriek 2 1.1 Variaties..........................................

Nadere informatie

Handout bij de workshop Wortels van Binomen

Handout bij de workshop Wortels van Binomen Hadout bij de workshop Wortels va Biome Steve Wepster NWD 014 Verbeterde versie 1 Historische achtergrod Klassieke Griekse meetkude: I de klassieke Griekse meetkude zoals we die bijvoorbeeld bij Euclides

Nadere informatie

Bevolkingsevolutie en prijsevolutie: rijen en de TI-89

Bevolkingsevolutie en prijsevolutie: rijen en de TI-89 Bevolkigsevolutie e prijsevolutie: rije e de TI-89 Joha Deprez, EHSAL Brussel - K.U. Leuve. Ileidig Deze tekst is bedoeld als keismakig met de symbolische rekemachie TI-89 va Texas Istrumets. We geve gee

Nadere informatie

Inleiding. 1. Rijen. 1.1 De rij van Fibonacci. 2 Zou je deze regelmatigheden kunnen verklaren met wiskunde? déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå=téíéåëåü~éééå=

Inleiding. 1. Rijen. 1.1 De rij van Fibonacci. 2 Zou je deze regelmatigheden kunnen verklaren met wiskunde? déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå=téíéåëåü~éééå= Ileidig Waarom vorme zoebloempitte 2 bochte i de ee richtig e 34 i de adere? E wat heeft ee huisjesslak te make met + 5 2 Zou je deze regelmatighede kue verklare met wiskude? Heeft wiskude cocrete toepassige

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde A vwo 2010 - I Eidexame wiskude A vwo - I Beoordeligsmodel Maratholoopsters maximumscore 3 uur, 43 miute e 3 secode is 98 secode De selheid is 495 98 (m/s) Het atwoord: 4,3 (m/s) maximumscore 3 Uit x = 5 volgt v 4,4

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II Eidexame wiskude B vwo 200 - II Formules Vlakke meetkude Verwijzige aar defiities e stellige die bij ee bewijs moge worde gebruikt zoder adere toelichtig. Hoeke, lije e afstade: gestrekte hoek, rechte

Nadere informatie

fíéê~íáéi=çóå~ãáëåüé=éêçåéëëéå=éå= åìãéêáéâé=ãéíüççéå=

fíéê~íáéi=çóå~ãáëåüé=éêçåéëëéå=éå= åìãéêáéâé=ãéíüççéå= fíéê~íáéiçóå~ãáëåüééêçåéëëéåéå åìãéêáéâéãéíüççéå oçöéêi~äáé hçéåpíìäéåë Iteratie, dyamische processe e umerieke methode Roger Labie Koe Stules www.scholeetwerk.be 005, UHasselt (België), Scholeetwerk Weteschappe

Nadere informatie

Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek

Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek Vrije Uiversiteit Brussel Faculteit Toegepaste Weteschappe Waarschijlijkheidsrekeig e Statistiek S. Caeepeel e P. de Groe Syllabus bij de cursus Waarschijlijkheidsrekeig e Statistiek Tweede Kadidatuur

Nadere informatie

wiskunde A pilot vwo 2016-I

wiskunde A pilot vwo 2016-I wiskude A pilot vwo 06-I Aalscholvers e vis maximumscore 3 De viscosumptie per dag is 30 0 0,36 + 696 0, 85 ( 788 (kg)) I de maad jui is dit 30 788 (kg) Het atwoord: 38 000 ( 38 duized) (kg) Als ee kadidaat

Nadere informatie

Commissie Pensioenhervorming 2020-2040. Nota over de actuariële neutraliteit. Bijlage III

Commissie Pensioenhervorming 2020-2040. Nota over de actuariële neutraliteit. Bijlage III Commissie Pesioehervormig 00-040 Nota over de actuariële eutraliteit Bijlage III. I het kader va de ivoerig va ee «deeltijds pesioe» wordt de kwestie va de actuariële correctie va de uitkerige i geval

Nadere informatie

Schatters en betrouwbaarheidsintervallen

Schatters en betrouwbaarheidsintervallen Statistiek voor Iformatiekude, 006 Les 3 Schatters e betrouwbaarheidsitervalle I de vorige les hebbe we era gekeke hoe we bijvoorbeeld het gemiddelde e de variatie va ee populatie kue schatte, door deze

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 23 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 23 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eame VWO 200 tijdvak 2 woesdag 23 jui 3.30-6.30 uur wiskude B Bij dit eame hoort ee uitwerkbijlage. Dit eame bestaat uit 7 vrage. Voor dit eame zij maimaal 80 pute te behale. Voor elk vraagummer staat

Nadere informatie

Rijen en reeksen. Mei 2008. Remy van Bergen Peter Mulder

Rijen en reeksen. Mei 2008. Remy van Bergen Peter Mulder Rije e reekse Keuzeoderwerp Atheeum 5 wiskude B e B Mei 008 Remy va Berge Peter Mulder Dit boekje gaat over rije e reekse. Wiskudige rije! Rije worde i de wiskude op verschillede maiere gedefiieerd. Met

Nadere informatie

2de bach TEW. Statistiek 2. Van Driessen. uickprinter Koningstraat Antwerpen ,00

2de bach TEW. Statistiek 2. Van Driessen. uickprinter Koningstraat Antwerpen ,00 de bach TEW Statistiek Va Driesse Q www.quickpriter.be uickpriter Koigstraat 3 000 Atwerpe 46 5,00 Nieuw!!! Olie samevattige kope via www.quickpritershop.be Hoofdstuk : Het schatte va populatieparameters.

Nadere informatie

DE ROL VAN GIS BIJ DE HEDONISCHE WAARDEBEPALING VAN VASTGOED

DE ROL VAN GIS BIJ DE HEDONISCHE WAARDEBEPALING VAN VASTGOED DE ROL VAN GIS BIJ DE HEDONISCHE WAARDEBEPALING VAN VASTGOED Prof. ir. P. Ampe, Prof. dr. ir. A. De Wulf, ig. J. De Corte. 1. Ileidig e probleemstellig. Sedert deceia gebruike schatters zowel i België

Nadere informatie

Hoe werkt het? Zelf uw woning aanpassen

Hoe werkt het? Zelf uw woning aanpassen Woig aapasse Hoe werkt het? Zelf uw woig aapasse Prettig woe beteket woe i ee huis aar uw smaak. Om og fijer te kue woe, wille veel huurders kleie of grote veraderige aabrege i hu huis. Thuisvester begrijpt

Nadere informatie

Proeftentamen IBK1LOG01

Proeftentamen IBK1LOG01 Proeftetame IBK1LOG01 Opgave 1 ( 20 pute) Beatwoord de oderstaade vrage met waar of iet waar: 1.De bereikbaarheid va iformatie over ee product bij ee iteretwikel is ee voorbeeld va pre-trasactie elemet

Nadere informatie

www. POspiegel.nl Online Instrument voor CB Het Talent schooljaar februari DigiDoc

www. POspiegel.nl Online Instrument voor CB Het Talent schooljaar februari DigiDoc POspiegel.l Olie Istrumet voor CB Het Talet schooljaar 2009-2010 februari 2010 2010 DigiDoc www. Algemee Algemee. pagia 1 Eigeschappe Equête Nummer ENQ60536 Naam schooljaar 2009-2010 Istellig CB Het Talet

Nadere informatie

www.hbospiegel.nl Hogeschool Utrecht Enquete project Cross Your Borders Faculteit Educatie Online Evaluatie Instrument juli 2014

www.hbospiegel.nl Hogeschool Utrecht Enquete project Cross Your Borders Faculteit Educatie Online Evaluatie Instrument juli 2014 Equete project Cross Your Borders Pagia 1 va 7 www.hbospiegel.l Olie Evaluatie Istrumet Hogeschool Utrecht Faculteit Educatie Equete project Cross Your Borders juli 2014 Alle rechte voorbehoude. CopyRight

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2007-I

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2007-I Eidexame wiskude B vwo 007-I havovwo.l Podiumverlichtig Ee podium is 6 meter diep. Midde bove het podium hagt ee balk met tl-buize. De verlichtigssterkte op het podium is het kleist aa de rad, bijvoorbeeld

Nadere informatie

1 Bewerkingen met matrices invoeren via voorbeelden. , is een commutatieve groep.

1 Bewerkingen met matrices invoeren via voorbeelden. , is een commutatieve groep. 1 Bewerkige met mtrices ivoere vi voorbeelde 11 -tlle e de bewerkige ( 1, 2, 3,, ) is ee -tl met i De verzmelig v reële -tlle otere we met Defiieer de som ls ( 1, 2, 3,, ) + (b 1,b 2,b 3,,b ) = ( 1 +b

Nadere informatie

Eindrapport Leerlingtevredenheidsonderzoek Floracollege Eindexamenklassen 2013

Eindrapport Leerlingtevredenheidsonderzoek Floracollege Eindexamenklassen 2013 Eidrapport Leerligtevredeheidsoderzoek Floracollege Eidexameklasse 2013 Juli 2013 Ihoudsopgave Samevattig 3 Vrage over schoolwerk 5 Vrage over jezelf 6 Vrage over docete 8 Vrage over de metor 11 Vrage

Nadere informatie

Alles wat u moet weten over asbest in en om uw woning

Alles wat u moet weten over asbest in en om uw woning Alles wat u moet wete over asbest i e om uw woig is meestal iet gevaarlijk. Maar waeer da wel? Dat kut u leze i deze folder. We legge uit wat asbest precies is, welke soorte er zij, welke gezodheidsrisico

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3NA10 of 3AA10) Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10)

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3NA10 of 3AA10) Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) TECHISCHE UIVERSITEIT EIDHOVE Tetame Ileidig Experimetele Fysica (3A10 of 3AA10) Tetame OGO Fysisch Experimetere voor mior AP (3M10) d.d. 0 jauari 010 va 9:00 1:00 uur Vul de presetiekaart i blokletters

Nadere informatie

Op het internet is heel wat bijkomend materiaal te vinden over dit onderwerp. We vermelden een tweetal URL s:

Op het internet is heel wat bijkomend materiaal te vinden over dit onderwerp. We vermelden een tweetal URL s: Fiboacci: joger da je dekt! -- Ileidig Het documet dat voorligt is opgesteld door ere-pedagogisch begeleider Walter De Volder. Oze bijzodere dak e waarderig gaa da ook volledig aar hem: va zij vele ure

Nadere informatie

1 Het trekken van ballen uit een vaas

1 Het trekken van ballen uit een vaas Het trekke va balle uit ee vaas Combiatorische kasprobleme moete worde aagepakt met ee kasmodel dat bestaat uit ee eidige uitkomsteverzamelig Ω va gelijkwaarschijlijke uitkomste Dit wil zegge dat de kas

Nadere informatie

3 Meetkundige voorstelling van complexe getallen

3 Meetkundige voorstelling van complexe getallen 3 Meetkudige voorstellig va complexe getalle 31 Complexe getalle als pute va ee vlak Complexe getalle zij geïtroduceerd als pute va ee vlak tov ee orthoormaal assestelsel Ee dergelijk assestelsel is odig

Nadere informatie

Betrouwbaarheid. Betrouwbaarheidsinterval

Betrouwbaarheid. Betrouwbaarheidsinterval Betrouwbaarheid Ee simulatie beoogt éé of i.h.a. twee of meerdere sceario s te evaluere e te vergelijke, bij Mote Carlo (MC) simulatie voor ee groot aatal istelwaarde, voor éé of meerdere parameters. Hierbij

Nadere informatie

RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO CM/EM T212-HCMEM-H7911 Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald.

RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO CM/EM T212-HCMEM-H7911 Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald. RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO CM/EM T1-HCMEM-H7911 Voor elk oderdeel is aagegeve hoeveel pute kue worde behaald. Atwoorde moete altijd zij voorzie va ee berekeig, toelichtig of argumetatie.

Nadere informatie

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2 Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskude B, (ieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereided Weteschappelijk Oderwijs 0 0 Tijdvak Izede scores Uiterlijk op jui de scores va de alfabetisch eerste vijf kadidate per school op de daartoe

Nadere informatie

Regressie, correlatie en modelvorming

Regressie, correlatie en modelvorming Hoofdstuk 9 Regresse, correlate e modelvormg 9. Leare regresse 9.. Ileded voorbeeld De pute (,3), (,) e (3,5) lgge et op éé rechte. Hoe kue we de rechte vde de het best aaslut bj de pute? Plaats de coördate

Nadere informatie

Beoordelingsmodel VWO wiskunde B II. Een rij. Voor de limiet geldt: u 2 u. 2u u = 1. Dit schrijven als un. De (enige) oplossing: u = 1

Beoordelingsmodel VWO wiskunde B II. Een rij. Voor de limiet geldt: u 2 u. 2u u = 1. Dit schrijven als un. De (enige) oplossing: u = 1 Beoordeligsmodel VWO wiskude B 009-II Vraag Atwoord Scores Ee rij maximumscore Voor de limiet geldt: u u u u Dit schrijve als u u+ 0 De (eige) oplossig: u maximumscore 5 vervage door i u + u + + + Dit

Nadere informatie

Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek

Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek Vrije Uiversiteit Brussel Faculteit Weteschappe Waarschijlijkheidsrekeig e Statistiek P. de Groe Syllabus voor het college i Waarschijlijkheidsrekeig e Statistiek i de Tweede Kadidature Weteschappe, Iformatica,

Nadere informatie

1 Introductie. 2 Oppervlakteformules

1 Introductie. 2 Oppervlakteformules Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus ook weergegeven met XY. Verder zullen we de volgende notatie

Nadere informatie

Een andere kijk op Financiële Rekenkunde Wim Pijls, Erasmus Universiteit Rotterdam

Een andere kijk op Financiële Rekenkunde Wim Pijls, Erasmus Universiteit Rotterdam Ee adere kijk op Fiaciële Rekekude Wim Pijls, Erasmus Uiversiteit Rotterdam. Ileidig Het vak Fiaciële Rekekude levert vawege zij sterk wiskudig karakter ogal wat probleme op i het oderwijs. Veel leerlige

Nadere informatie

Huisstijl en logogebruik Associatie KU Leuven

Huisstijl en logogebruik Associatie KU Leuven Huisstijl e logogebruik Associatie KU Leuve Associatie huisstijlhadboek > Ihoudstafel 1 Ihoudstafel 1. Gebruik va de huisstijl of opame va het associatielogo 3 2. Huisstijl Associatie KU Leuve 4 2.1 Opame

Nadere informatie

Vuilwaterafvoersystemen voor hoogbouw

Vuilwaterafvoersystemen voor hoogbouw Vuilwaterafvoersysteme voor hoogbouw 1.2 Vuilwaterafvoersysteme voor hoogbouw Nu er steeds hogere e extremere gebouwe otworpe worde, biedt ee ekelvoudig stadleidigsysteem de mogelijkheid om gemakkelijker

Nadere informatie

Wijzigingsformulier Ziektekostenverzekering

Wijzigingsformulier Ziektekostenverzekering De Amersfoortse Verzekerige Stadsrig 15, postbus 42 3800 AA Amersfoort Tel. (033) 464 29 11 Fax (033) 464 29 30 Wijzigigsformulier Ziektekosteverzekerig Gegevesverwerkig Bij deze wijzigig worde persoosgegeves

Nadere informatie

HOOFDSTUK III. SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen. Theorie Statistiek Les 6

HOOFDSTUK III. SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen. Theorie Statistiek Les 6 HOOFDSTUK III SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters e Betrouwbaarheidsitervalle 3. HET GEMIDDELDE VAN EEN NV Steekproef uit ee ormaal verdeelde populatie De kasveraderlijke X, X, X 3,..., X zij N(µ, σ) verdeeld

Nadere informatie

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Opgave 5 Onderzoek aan β -straling

Opgave 5 Onderzoek aan β -straling Eidexame vwo atuurkude 214-I - havovwo.l Opgave 5 Oderzoek aa β -stralig Zoals beked bestaat β -stralig uit elektroe. Om ee oderzoek aa β -stralig te doe heeft Harald ee radioactieve bro met P-32 late

Nadere informatie

VAIO-Link Online Service Gids

VAIO-Link Online Service Gids VAIO-Lik Olie Service Gids "Wij behadele iedere idividuele klacht met zorg, aadacht e respect e we zorge ervoor dat iedere klat ee goed gevoel heeft over de ervarig die hij had of zal hebbe met het VAIO-Lik

Nadere informatie

we willen graag zelf klussen in onze nieuwe woning.

we willen graag zelf klussen in onze nieuwe woning. ZELF AANGEBRACHTE VOORZIENINGEN we wille graag zelf klusse i oze ieuwe woig. ECHT WEL. Zelf uw woig aar wes veradere De woig die u va os huurt, wilt u atuurlijk aar uw eige smaak irichte. U kiest zelf

Nadere informatie

imtech Arbodienst (versie 2.1)

imtech Arbodienst (versie 2.1) imtech Arbodiest Vervoer va gevaarlijke stoffe (versie 2.1) veilig e gezod werke imtech arbodiest Wat verstaa we oder het vervoer va gevaarlijke stoffe? Gevaarlijke stoffe zij stoffe die op éé of adere

Nadere informatie

Buren en overlast. waar je thuis bent...

Buren en overlast. waar je thuis bent... Bure e overlast waar je thuis bet... Goed wooklimaat HEEMwoe vidt het belagrijk dat bewoers prettig woe i ee fije buurt. De meeste buurtbewoers kue het goed met elkaar vide. Soms gaat het sameleve i ee

Nadere informatie

Op zoek naar een betaalbare starterswoning? Koop een eigen huis met korting

Op zoek naar een betaalbare starterswoning? Koop een eigen huis met korting Op zoek aar ee betaalbare starterswoig? Koop ee eige huis met kortig Op zoek aar ee betaalbare starterswoig? Koop ee eige huis met kortig Pagia Ee eige huis waar u zich helemaal thuis voelt. Dat wil iederee!

Nadere informatie

Cahiers T 3 Europe Vlaanderen nr. 3. Regressie. Een eerste kennismaking. Bieke Van Deyck

Cahiers T 3 Europe Vlaanderen nr. 3. Regressie. Een eerste kennismaking. Bieke Van Deyck Cahiers T 3 Europe Vlaadere r. 3 Regressie Ee eerste keismakig Bieke Va Deyck Regressie Ee eerste keismakig Bieke Va Deyck Ihoudsopgave HOOFDSTUK : DE BIVARIATE VERDELING A. Probleembeschrijvig B. Het

Nadere informatie

www.hbospiegel.nl Hogeschool Utrecht Faculteit Educatie Enquete studenten Farel College Instituut Archimedes Online Evaluatie Instrument juli 2014

www.hbospiegel.nl Hogeschool Utrecht Faculteit Educatie Enquete studenten Farel College Instituut Archimedes Online Evaluatie Instrument juli 2014 Equete studete Farel College Pagia 1 va 11 www.hbospiegel.l Olie Evaluatie Istrumet Hogeschool Utrecht Faculteit Educatie Istituut Archimedes Equete studete Farel College juli 201 Alle rechte voorbehoude.

Nadere informatie

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a.

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a. 98 Algebra 3.3 Variabelen 3.3.1 Inleiding F= 9 5 15+32= 27+32=59 15 C= 59 F In de inleidende tekst aan het begin van dit hoofdstuk staat een afkorting waarmee de temperatuur in graden Celsius in graden

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 - Rijen ) = bladzijde ; voor x = 11 is y = = 55. te rekenen omdat die ook met hele stappen toeneemt.

Hoofdstuk 1 - Rijen ) = bladzijde ; voor x = 11 is y = = 55. te rekenen omdat die ook met hele stappen toeneemt. Hoofdstuk - Rije bladzijde V-a Als x steeds met toeeemt, da eemt y met toe. b Voor x is y + 5 ; voor x is y + 55. c De waarde va x eemt met hele stappe toe. De waarde va y is da makkelijk uit te rekee

Nadere informatie