Een meetkundige constructie van de som van een meetkundige rij

Transcriptie

1 Ee meetkudige costructie va de som va ee meetkudige rij [ Dick Kliges ] Iets verder da Euclides deed Er wordt door sommige og wel ees gedacht dat Euclides (hij leefde rod 300 v. Chr.) allee over meetkude heeft geschreve. Dat dat iet zo is, blijkt oder meer aa het eide va boek IX va zij Elemete waari hij de door os wellicht wat lastig te doorgrode propositie 35 formuleerde: Idie er willekeurig veel getalle zij, opvolged everedig, e er worde va het tweede e laatste <getalle> afgeome, gelijk aa het eerste, da zal, zooals het overschot va het tweede tot het eerste, zoo het overschot va het laatste tot alle aa hem voorafgaade staa. Wat Euclides hier schreef [], heeft betrekkig op ee meetkudige rij a, ar, ar, ar 3, (opvolged everedige getalle). E propositie 35 zegt da i hededaagse termiologie: ar a ar a = a a + ar + + ar waaruit de (os) bekede formule voor de som S va de eerste terme (de -de partiële som) va die rij direct volgt: r S = a r Maar Euclides gig met die meetkudige rij iet veel verder. Hij gebruikte propositie 35 allee voor de er op volgede bijzodere stellig over volmaakte getalle. [] Wij zulle i het oderstaade wel wat verder gaa, maar we blijve daarbij i de traditie va Euclides: we geve ee meetkudige iterpretatie va de somformule. Costructie met ee scherpe hoek ϕ We wete dat bij ee meetkudige rij a, ar, met < r < geldt: r a S = lim a = r r Het getal S wordt da wel de 'som va de meetkudige rij' geoemd. Weges < r < kue we bij elke r ee hoek ϕ vide, waarvoor r =. Voor deze waarde va r kue we ϕ berekee met ϕ = arccos r, met ϕ ligged tusse 0 e 80, wat we houde het hier maar bij grade. We eme ϕ eerst scherp. Op ee lij l, die we opvatte als x-as, kieze we de pute P 0 e P zo, dat P 0 P =. Met P 0 als begiput tekee we de halve lij m 0 met (, lm0) = ϕ (zie figuur ). []

2 Figuur Vervolges tekee we met P als begiput ee halve lij m // m 0 e kieze daarop het put Q zo, dat P Q = P P 0 ( = ). Da late we uit Q de loodlij eer op l met voetput P op l. I driehoek P Q P is u = PQ =, zodat: 0 = + E we herhale deze werkwijze: met put P als begiput tekee we ee halve lij m // m e kieze daarop Q zo, dat P Q = P P. Ezovoorts. Nu is: 3 = PQ = = cos ϕ. E dus geldt: 0 3 = + cosφ + cos ϕ Voor het op deze maier gecostrueerde put P op l geldt da: 0 cos cos cos = + ϕ + ϕ + + ϕ Het lijkt erop dat we dit proces oeidig vaak moete herhale, maar, zoals we zulle zie, is eevoudig e meetkudig aa te toe, dat we aa de eerste twee stappe va het proces geoeg hebbe om lim 0 te vide. We bekijke de rechthoekige driehoeke P Q P e P Q P 3. Deze driehoeke zij gelijkvormig; ze hebbe immers beide ee hoek ϕ e beide ee hoek va 90. De pute Q, Q bepale u ee rechte lij e daarop ligge da ook, vawege de gelijkvormigheid, de pute Q 3, Q 4,, Q -. Voor scherpe ϕ sijdt de lij l i het put P S. We bewere u dat P 0 P S gelijk is aa de som va ee meetkudige rij met rede. Bewijs. We hebbe PQ =, PQ = cos ϕ, PQ 3 3 = cos ϕ, ; voorwaar, ee meetkudige rij met rede. De driehoeke PQ 0 0PS, PQP S, zij alle gelijkvormig (hh); e er geldt: PQ =. Bij de eerste 0 0 twee driehoeke i deze opsommig is da: 0 S S S S =, of met P 0 P S = S, =, zodat S = S, waaruit volgt: PQ PQ 0 0 S = 0 S is dus gelijk aa de som va de meetkudige rij, cos ϕ, cos ϕ, E dat we allee de eerste twee stappe va het costructieproces odig hebbe om P S te costruere, komt doordat de lij bepaald is door de pute Q e Q. []

3 Voorbeelde. Voor ϕ = 60 hebbe we de som va de rij,, 4, 8, 6, S = = = cos 60 (zie figuur ). Het gaat hier dus om Figuur Figuur 3 Kieze we ϕ = 45 (we kijke u aar de som ), da vide we S = = = + 3, 44 (zie figuur 3). Voor ϕ = 90 ligt Q op de loodlij op l i P, zodat elke volgede Q k (k ) samevalt met P. E da is ook P PS, zodat S =, hetgee overeekomt met de som va de rij, 0, 0, (i dit geval is immers r = cos90 = 0 ). Als ϕ adert tot 0 (r = ), adert de lij tot de lij l, waarbij de pute P k (voor k ) aar rechts schuive, immers de legtes va de lijstukke P k- P k adere da tot. De lij gaat horizotaal lope e valt, i uiterste stad, same met l. Het aatal sijpute va e l is da oeidig groot. De rij,,, divergeert. Costructie met ee stompe hoek ϕ Is de hoek ϕ stomp, da moete we bij de costructie rekeig houde met het feit dat u < 0. I de vorige paragraaf (ϕ scherp) kode we eevoudig de legte cos ϕ va het lijstuk P P + optelle bij de k= k som va de daaraa voorafgaade lijstukke: 0 = cos ϕ. Dat ka u iet meer Maar, we k = 0 zulle zie dat we dit probleem kue oplosse door de halve lije m k om e om i tegegestelde richtig te tekee. De halve lij m 0 maakt dus i P 0 ee stompe hoek met de lij l (zie figuur 4). Op de lij m // m 0 door P (waarbij weer P 0 P = ) kieze we ook u Q met P Q = P P 0. Het put P vide we weer met de loodlij uit Q op l. Nu is = ; echter, voor P 0 P hebbe we daardoor toch: 0 = ( cos ϕ) = + E we herhale het costructieproces [3]

4 Figuur 4 Bewijs. I driehoek P Q P 3 geldt da: cos PQ = = ϕ = zodat 3 = cos ϕ, waaruit weer volgt dat 0 3 = + + cos ϕ. Voor ee willekeurig put P op l is ook i dit geval: 0 cos cos cos = + ϕ + ϕ + + ϕ We krijge twee stelsels geeste rechthoekige, e gelijkvormige, driehoeke P k Q k P k+ waarva de hoekpute Q k weer op éé rechte lij ligge. E deze lij sijdt de lij l i het put P S. Merk hierbij op dat de pute P k liks va het put P S ligge, e de pute P k+ rechts va P S. Daardoor adere de partiële somme va de rij dus afwisseled va de 'oderkat' e de 'bovekat' tot S, afhakelijk va het optelle va ee eve of oeve aatal terme. Voorbeelde. Voor ϕ = 0 krijge we de meetkudige rij met S = = = = 0,667 (zie figuur 5). cos0 + cos 60 3 u ) = ( als algemee term, zodat [4]

5 Figuur 5 Figuur 6 Kieze we ϕ =35, da is S = = = = 0,586 (zie figuur 6). cos Als ϕ adert tot 80, da bewege de pute P k zich aar P 0 e de pute P k+ aar P. De pute Q k e Q k+ adere tot ee positie vlak bij de loodlije op l i opvolged P e P 0. Het put P S adert daardoor tot het midde va P 0 P (zie figuur 7, waari liks ϕ = 67, e rechts ϕ = 7 ). Figuur 7 I dit geval ( r = = ) komt hetgee we gevode hebbe dus overee met de formule voor S: S = = ( ) Echter, voor eve hebbe we lim 0 = 0, e voor oeve is lim 0 =. Beide zake lijke tegestrijdig, maar voor r = hebbe we de meetkudige rij,,,, waarva de rij va partiële somme afwisseled gelijk is aa e 0. Het was ook Leibiz (646-76) die meede, dat de 'werkelijke' som va die rij gelijk is aa, iet omdat dat strookte met bovestaade meetkudige costructie, maar omdat de som 'met gelijke kase' gelijk was aa e 0. [5]

6 Dyamische meetkude Bij het spreke over limiete gebruike we vaak uitdrukkige als 'gaa aar' e 'adere tot'. Het aardige va bovestaade costructies is, dat we die uitdrukkige echt 'tot leve' kue zie kome als we ee dyamisch meetkudeprogramma zoals Cabri gebruike: pute adere iderdaad tot hu limiet(positie). Figuur 7 geeft al wel ee aardige idruk, te meer daar uitkomste va berekeige zichtbaar veradere, maar toch Om de lezer ook i staat te stelle met de dyamiek va de behadelde costructies keis te make zij op de website va de auteur [3] ekele CabriJava applets opgeome. De gebruikte Cabri-figure zelf kue daar ook worde gedowload. Note [] I vertalig va Dr. E.J. Dijksterhuis i 'De Elemete va Euclides II' (Groige: P. Noordhoff N.V., 930. Deel II, pp ). [] Prop. IX-36 luidt i hededaagse zettig: Als de rij,, 4,, - gegeve is, waarbij S = ee priemgetal is, da is - S ee volmaakt getal. (zie bijvoorbeeld [3] Zie daarvoor: Let wel, de door de lezer daarbij te gebruike iteretbrowser diet te beschikke over Java-mogelijkhede. Literatuur - Th. L. Heath: The Thirtee Books of Euclid's Elemets. New York: Dover Publicatios Ic. (956), Volume II, pp E. Maor: Geometric Costructios of the Geometric Series. I: Iteratioal Joural of Mathematics Educatio. Volume 8, o. (Jauary 977), pp G.E. Marti: Geometric Costructios. New York: Spriger Verlag (998). Over de auteur Dick Kliges (mailto:dkliges@padd.demo.l) is verbode aa het Krimpeerwaard College te Krimpe aa de IJssel e is teves eidredacteur va Euclides. [6]