Bevolkingsevolutie en prijsevolutie: rijen en de TI-89

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Bevolkingsevolutie en prijsevolutie: rijen en de TI-89"

Transcriptie

1 Bevolkigsevolutie e prijsevolutie: rije e de TI-89 Joha Deprez, EHSAL Brussel - K.U. Leuve. Ileidig Deze tekst is bedoeld als keismakig met de symbolische rekemachie TI-89 va Texas Istrumets. We geve gee dorre opsommig va de capaciteite va deze rekemachie, maar 'verpakke' het grootste deel va deze keismakig i ee serie wiskudige probleme die gecetreerd zij rod bevolkigsevolutie e modelle voor de evolutie va de prijs va ee product aar ee evewichtspositie. We zorge dat hierbij zowel de grafisch-umerieke als de symbolische mogelijkhede va de TI-89 aa bod kome. Pas op het eide verruime we de blik ee beetje e verkee we de symbolische mogelijkhede va de TI-89 los va de cotext va bevolkigsevolutie e prijsevolutie. Het zij precies deze symbolische mogelijkhede die het oderscheid vorme tusse de symbolische rekemachies (zoals de TI-89) e de grafische rekemachies (zoals de TI-83). Natuurlijk is het omogelijk om bie het bestek va ee tekst va ee twitigtal bladzijde ee volledig overzicht te geve va alle mogelijkhede va ee rekemachie als de TI-89. Zo otbreke bijvoorbeeld statistische berekeige e berekeige met matrices helemaal i deze tekst. We gaa er va uit dat de lezer helemaal iet vertrouwd is met de TI-89 of ee adere grafische of symbolische rekemachie. Daarom geve we ook heel gedetailleerde aawijzige voor het gebruik va dit reketoestel (misschie tot ergeris va wie ee dergelijke machie wel reeds ka bediee ). Vauit wiskudig stadput hadelt deze tekst over rije die bepaald worde door ee eevoudige recursievergelijkig. Er wordt ekel gebruik gemaakt va wiskude die i het secudair oderwijs voorkomt (vooral leerstof uit de tweede graad: rekekudige e meetkudige rije, vergelijkig va ee rechte, ), maar de recursievergelijkige die we hier bestudere, worde als dusdaig iet i het secudair oderwijs behadeld. 2. Opdracht : bevolkigsevolutie i Litouwe Pagia 2 is ee afdruk va ee iteretpagia met allerlei gegeves i verbad met de bevolkig va Litouwe.. Bepaal m.b.v. deze iformatie het aatal iwoers begi 998 het geboortecijfer i 998 (= aatal geboorte i de loop va het jaar per 000 iwoers i het begi va het jaar) het sterftecijfer i 998 (= aatal overlijdes i de loop va het jaar per 000 iwoers i het begi va het jaar) het aatal iwijkelige i 998 het aatal uitwijkelige i 998

2 2

3 Voor de (kleie) berekeige kut u gebruik make va de TI-89. De aawijzige hieroder kue u helpe bij het bediee va deze rekemachie. Aawijzige voor het gebruik va de TI-89 I deze tekst gaa we er va uit dat bij het begi het geheuge va de rekemachie leeg is e dat de stadaardistellige va kracht zij. Als u gebruik maakt va uw eige toestel moet u zelf beslisse of u al da iet bereid bet het geheuge te wisse e terug te kere aar de stadaardistellige. Als u beslist om dit iet te doe, is het mogelijk dat u hier e daar wat moet afwijke va de aawijzige die gegeve worde. Als u gebruik maakt va ee toestel dat door TI uitgeleed werd, kut u zoder probleme het geheuge va de rekemachie leeg make e terugkere aar de stadaardistellige. Ga hiervoor als volgt tewerk. Zet het toestel aa m.b.v. de toets [ON] (liksoder). Druk op de oraje toets [2d] (R2K, d.w.z. de toets i de eerste kolom va de tweede rij va het toetsebord) e laat ze terug los (bemerk dat oderaa het scherm aageduid wordt dat u deze toets igedrukt heeft), e daara op [MEM] (R8K4; we geve hier aa wat i het oraje liksbove de toets gedrukt is; MEM verwijst atuurlijk aar het Egelse woord 'memory' voor 'geheuge'). U ziet het dialoogvester met als titel 'MEMORY', dat iformatie geeft over het geheuge va de rekemachie. Druk [F] (RK). Nu ziet u ee keuzelijst verschije. Kies voor mogelijkheid ':All' door de toets [] i te drukke. De machie toot u ee ieuw dialoogvester. Bevestig uw keuze voor het heristelle va de machie door op [ENTER] (de blauwe toets rechtsoderaa het toetsebord) te drukke, zoals aagegeve staat oderaa i het dialoogvester. Nadat deze operatie uitgevoerd is, is het mogelijk dat het scherm helemaal zwart of helemaal leeg geworde is. Om het cotrast va het scherm aa te passe, moet u tegelijk op de toets met de groee ruit (R3K) e de toets [+] (R9K5) of [-] (R8K5) drukke. U ziet u het basisscherm va de rekemachie, met boveaa ee meubalk, i het midde de plaats waar i- e uitvoer bijgehoude zulle worde, daaroder de ivoerregel e helemaal oderaa ee regel waarop allerlei aaduidige voorkome. Om berekeige te make, typt u de berekeig eerst helemaal i op de ivoerregel. Als u op [ENTER] drukt, wordt de berekeig uitgevoerd e wordt de ivoer tezame met het resultaat op het grote middegedeelte va het basisscherm geplaatst. 2. Cotroleer het cijfer dat gegeve wordt voor de bevolkig i het begi va 999. Veroderstel u dat het geboortecijfer, het sterftecijfer, het aatal iwijkelige e het aatal uitwijkelige costat blijve vaaf 998. (De iformatie toot dat dit iet het geval was i het verlede, maar om voorspellige te make, moete we i elk geval bepaalde veroderstellige make ). 3. Voorspel het aatal iwoers begi 2000 e begi 200. Noem u het aatal iwoers bij het begi va het jaar (waarbij ee atuurlijk getal is). Vauit wiskudig oogput vorme de getalle u ee rij. 4. Druk u uit i fuctie va u (i de wiskude wordt zo' formule die ee term va ee rij uitdrukt i fuctie va de voorgaade term(e) ee recursievergelijkig geoemd). Voer deze formule ook i op de rekemachie (de aawijzige hieroder kue u hierbij helpe). Aawijzige voor het gebruik va de TI-89 Stel de machie eerst i op het werke met rije. Druk hiervoor eerst [MODE] (R4K2). Da verschijt het dialoogvester met titel 'MODE'. Op de eerste lij va dit scherm ziet u het veld 3

4 'Graph' met als ihoud 'FUNCTION'. Het pijltje dat uiterst rechts staat, wijst er op dat u ee keuzelijst kut oproepe door op de toets [pijl rechts] (zie het groepje va vier toetse rechtsboveaa het toetsebord) te drukke. Doe dit. Kies hieri de mogelijkheid '4:SEQUENCE' (door [4] te drukke). De keuzelijst verdwijt e de ihoud va het veld 'Graph' is veraderd i 'SEQUENCE'. Bevestig het dialoogvester 'MODE' door op [ENTER] te drukke (cfr. de aawijzige oderaa het dialoogvester). Bemerk dat helemaal oderaa het basisscherm aageduid wordt dat de machie igesteld is op het werke met rije. Ope u de vergelijkigseditor door eerst de toets met de groee ruit i te drukke e daara [Y=] (RK). Druk op [ENTER] om de cursor aar de ivoerregel oderaa het scherm te verplaatse. U ziet dat daar al 'u()=' staat. Vul rechts va het gelijkheidsteke aa met ' *u(-)+576'. De letters 'u' e '' krijgt u door eerst op de paarse toets [alpha] (R3K2) te drukke e vervolges op [U], respectievelijk [N] (aageduid i het paars rechts bove de toets). De meeste letters kome i alfabetische volgorde voor op het klavier, met uitzoderig va ekele (i de wiskude) veel gebruikte letters, amelijk x, y, z e t. Deze letters zij gegroepeerd op de vijfde rij va het toetsebord e voor deze letters is het iet odig de [alfa]-toets te gebruike. Bevestig wat u op de ivoerregel getypt hebt met [ENTER]. De igetypte recursievergelijkig is u i de lijst opgeome als recursievergelijkig voor de rij met aam 'u'. De cursor is aar de tweede lij i de lijst verplaatst, waar 'ui' aagegeve staat. Deze lij hoort dus ook og bij de rij u e moet de begiwaarde va de rij geve (de letter 'i' verwijst aar het Egelse 'iitial value' voor 'begiwaarde'). Verplaats de cursor weer aar de ivoerregel met [ENTER], vul de begiwaarde i e bevestig met [ENTER]. U moet tot slot og aageve dat de begiterm va de rij ragummer 0 e iet heeft. Ope hiervoor de tekevestereditor door eerst op de toets met de groee ruit te drukke e daara op [WINDOW] (RK2). De cursor staat op de lij va de variabele 'mi'. Verader de waarde va deze variabele va i 0 door '0' te type. 5. Cotroleer de gegeve 'begiwaarde' e de atwoorde op de vrage 2 e 3. Bereke het aatal iwoers bij het begi va 2008, va 208, va 2048, Aawijzige voor het gebruik va de TI-89 Keer terug aar het basisscherm door de toets [HOME] i te drukke. U kut u i het basisscherm berekeige make met de rij die u daaret igevoerd hebt. Als u bijvoorbeeld 'u()' typt, krijgt u het aatal iwoers bij het begi va Oderzoek (door berekeige te make, ee grafiek te tekee, ) hoe de bevolkig evolueert. De aawijzige hieroder kue u hierbij helpe. Vertel iet allee iets over het aatal iwoers zelf, maar ook over de verschille tusse opeevolgede iwoersaatalle. Kut u ook iets zegge over het aatal iwoers op zeer lage termij? Aawijzige voor het gebruik va de TI-89 Berekeige kut u make op het basisscherm, maar het is ook mogelijk om de rekemachie ee tabel te late opstelle: druk op de toets met de groee ruit e vervolges op [TABLE] (RK5). Er verschijt ee tabel met waarde voor e de bijbehorede waarde voor u(). Het eerste vakje va de eerste kolom is geselecteerd (u merkt dat het op ee adere maier weergegeve is: witte cijfers op ee dokere achtergrod). Met de pijltjestoetse (rechtsboveaa het toetsebord) kut u de selectie verplaatse. Als u ee vakje uit de tweede kolom selecteert, wordt de ihoud met ee grotere precisie getood op de ivoerregel. U kut de bevolkigsaatalle voor grotere waarde va late berekee 4

5 door de selectie met de pijltjestoets verder aar oder te verplaatse. U kut ee hele 'pagia' iees aar bove of aar oder gaa door eerst op de oraje toets [2d] te drukke e daara op de pijltjestoets. De rekemachie ka ee grafiek va de rij make. Op de horizotale as wordt uitgezet e op de verticale as wordt u uitgezet. U moet eerst ee gepast tekevester istelle (d.w.z. dat u de rechthoek moet afbakee waarbie geteked zal worde) m.b.v. de tekevestereditor (die u al eerder gebruikt heeft om het ragummer va de begiterm i te stelle). Pas desgewest de volgede variabele aa (e wijzig de overige variabele iet): max (het ragummer va de laatste term die bereked zal worde) xmi (geeft de likerrad aa va de 'rechthoek' die getood wordt; omdat hier de rol va x speelt, bepaalt xmi dus de miimale waarde va die geteked zal worde) xmax (geeft de rechterrad aa va de 'rechthoek' die getood wordt e bepaalt hier dus de maximale waarde va die geteked zal worde) xscl (geeft de afstad aa tusse twee opeevolgede 'streepjes' op de horizotale as) ymi (geeft de oderrad aa va de 'rechthoek' die getood wordt) ymax (geeft de boverad aa va de 'rechthoek' die getood wordt) yscl (geeft de afstad aa tusse twee opeevolgede 'streepjes' op de verticale as) Als u geschikte waarde igesteld heeft, drukt u op de toets met de groee ruit, gevolgd door [GRAPH] (RK3). De rekemachie stelt de terme va de rij da grafisch voor. Als u bij ader izie iet tevrede bet met het gekoze tekevester, keert u terug aar de tekevestereditor e past u de bovestaade variabele aa. Om de verschille tusse opeevolgede terme te aalysere, kut u vauit het basisscherm ee ieuwe rij defiiëre. Ga daarbij als volgt tewerk. Kies de optie 'Other' uit de meubalk boveaa het scherm door [F4] (RK4) i te drukke. Er verschijt ee keuzelijst. Kies hieruit ':Defie'. De machie voegt de tekst 'Defie ' i op de ivoerregel. Vul aa met 'v()=u(+)-u()'. Op deze maier defiieert u ee rij v waarva elke term het verschil is tusse twee opeevolgede terme va de rij u (of, zoals de rij door de rekemachie geked is: u). 5

6 3. Opdracht 2: prijsevolutie De prijs va graa veradert va jaar tot jaar. Veroderstel dat de prijs i jaar voorgesteld wordt door p. De getalle p vorme ee rij. We make ee aatal veroderstellige omtret deze rij. De hoeveelheid graa die door de cosumete gevraagd wordt i jaar stelle we voor door v. Hoeveel graa er precies gevraagd wordt, hagt af va de prijs va het graa: hoe hoger de prijs, hoe mider er verkocht zal worde. We veroderstelle dat het verbad tusse de gevraagde hoeveelheid e de prijs gegeve wordt door v = 50 5 p. De hoeveelheid graa die door de producete aagebode wordt i jaar stelle we voor door a. Hoeveel graa er precies aagebode wordt, hagt af va de prijs va het graa: hoe hoger de prijs, hoe meer producete geeigd zulle zij graa te verbouwe. Echter, de producet moet de beslissig om graa te tele reeds eme éé jaar vóór het graa op de markt aagebode ka worde. Dit beteket dat de aagebode hoeveelheid i jaar bepaald wordt door de prijs i jaar. We veroderstelle dat het verbad tusse het aabod e de prijs gegeve wordt door a = p. We veroderstelle verder dat de prijs i het begi (d.w.z. i jaar 0) 30 geldeehede bedraagt.. Bepaal de aagebode hoeveelheid i jaar. We veroderstelle tot slot dat de producete gee voorraad va graa aalegge, maar itegedeel al hu graa wille verkope, desoods tege ee lagere prijs da die va het jaar voordie e, wie weet, misschie zelfs tege ee hogere prijs da het jaar voordie. 2. Bepaal u de prijs va het graa i jaar zo dat de volledige aagebode hoeveelheid ee afemer vidt. 3. Bepaal de aagebode hoeveelheid e de prijs i jaar Druk p uit i fuctie va p e voer de verkrege recursievergelijkig i op de TI-89 voor de rij u2. 5. Oderzoek m.b.v. de rekemachie (door berekeige te make, door de rij grafisch voor te stelle, ) hoe de terme va de rij evoluere. Vertel iet allee iets over de prijze zelf, maar ook over de verschille tusse opeevolgede prijze. Kut u ook iets zegge over de prijs op zeer lage termij? Aawijzige voor het gebruik va de TI-89 I vraag 5 moet u ekel met de rij u2 werke. U kut zorge dat de adere rij u tijdelijk geegeerd wordt. Verplaats (i de vergelijkigseditor) de selectie aar de lij waar u staat e druk op [F4]. Het 'vikje' bij de rij u verdwijt da. Op het ogeblik dat u opieuw met de rij u west te werke, doet u et hetzelfde als daaret om het 'vikje' er terug te plaatse. 6

7 4. Opdracht 3: prijsevolutie (bis) We oderzoeke u ee ader model voor prijsevolutie. Er zij ook producte waarbij de aagebode hoeveelheid iet gebaseerd is op de prijs va het jaar (of de maad, week, dag, ) voordie, maar op de prijs va het ogeblik zelf. Veroderstel dat de gevraagde e de aagebode hoeveelheid i jaar bepaald worde door de prijs i jaar door de volgede vergelijkige: v = 50 5 p e a = p We gaa er weer va uit dat de prijs i jaar 0 gegeve wordt door 30.. Bepaal de gevraagde e de aagebode hoeveelheid i jaar 0. We stelle vast dat er ee serieus overschot is. Om ee evewicht te bereike, zoude we de prijs moete verlage. We zulle de prijs echter iet aapasse i jaar 0, maar i jaar, volges de volgede formule: p = p ( v0 a0 ). Deze formule toot os dat de veraderig i prijs everedig is met het verschil tusse vraag e aabod. Is de vraag hoger da het aabod, da wordt de prijs verhoogd. Is daaretege de vraag lager da het aabod, da wordt de prijs verlaagd. 2. Bereke de prijs i jaar. 3. Bepaal de gevraagde e de aagebode hoeveelheid i jaar. 4. Bereke ee aagepaste prijs voor jaar 2, waarbij je gebruik maakt va ee aaloge formule als hierbove. 5. Druk p uit i fuctie va p e voer deze recursievergelijkig i op de TI-89 als recursievergelijkig voor de rij u3. 6. Oderzoek m.b.v. de rekemachie (door berekeige te make, door de rij grafisch voor te stelle, ) hoe de terme va de rij evoluere. Vertel iet allee iets over de prijze zelf, maak ook over de verschille tusse opeevolgede prijze. Kut u ook iets zegge over de prijs op zeer lage termij? 5. Opdracht 4: bevolkigsevolutie i Vlaadere De volgede figuur is ee kopie uit de brochure 'Profiel Vlaadere 998' (uitgegeve door het miisterie va de Vlaamse Gemeeschap) e toot allerlei gegeves i verbad met de bevolkig va Vlaadere. Maak gebruik va de cijfers va 996 om ee model op te stelle voor de evolutie va de Vlaamse bevolkig, waarbij je rekeig houdt met geboorte, sterfte e i- e uitwijkig e beschrijf de evolutie va de Vlaamse bevolkig volges dat model. 7

8 6. Sythese: lieaire e expoetiële groei gecombieerd Twee heel bekede groeimodelle zij lieaire e expoetiële groei. We bekijke ze eerst og eve va aderbij. Lieaire groei wordt gekemerkt door het feit dat de bestudeerde grootheid over elke tijdseeheid met ee vaste waarde b toeeemt (als b ook egatief mag zij, krijge we aast lieaire toeame ook lieaire afame). We kue dit ook als volgt uitdrukke: de waarde va de bestudeerde grootheid op tijdstip is gelijk aa de waarde erva op tijdstip plus b. Als we de waarde va de bestudeerde grootheid op tijdstip voorstelle door u, geeft dit de recursievergelijkig u = u + b. De rij die gevormd wordt door de opeevolgede waarde va de bestudeerde grootheid is de rekekudige rij u = u 0 + b (waarbij u 0 de begiwaarde va de grootheid is). We kue dezelfde formule ook gebruike als de tijd iet ekel gehele waarde aaeemt. Met t i.p.v. krijge we da de eerstegraadsfuctie u = u 0 + bt. We kue expoetiële groei op ee gelijkaardige maier bekijke. Expoetiële groei wordt gekemerkt door het feit dat de bestudeerde grootheid over elke tijdseeheid vermeigvuldigd wordt met ee vaste factor a. (Als a groter is da, eemt de grootheid toe, als a tusse 0 e gelege is, eemt de grootheid af.) We kue dit ook als volgt uitdrukke: de waarde va de bestudeerde grootheid op tijdstip is gelijk aa de waarde erva op tijdstip maal a. De recursievergelijkig wordt u: u = a u. De rij die gevormd wordt door de opeevolgede waarde va de bestudeerde grootheid is de meetkudige rij u = u 0 a (waarbij u 0 de begiwaarde va de grootheid is). We kue dezelfde formule ook gebruike als de tijd iet ekel gehele waarde aaeemt. Met t i.p.v. t krijge we da de expoetiële fuctie u = u 0 a. De groeiprocesse die we i de voorgaade opdrachte bestudeerd hebbe, worde beschreve door ee recursievergelijkig die i zekere zi ee combiatie is va de recursievergelijkige voor lieaire 8

9 e expoetiële groei: u = a u + b. I de eerste opdracht bijvoorbeeld is er zowel sprake va ee vaste toeame (i- e uitwijkig) als va ee veraderig die everedig is met de waarde va de voorgaade term (geboorte e sterfte). I de tweede opdracht merke we dat het getal a ook egatief ka zij (dit was iet het geval bij expoetiële groei). De voorgaade opdrachte hebbe late zie dat er heel wat mogelijkhede zij voor de evolutie va de terme va de rije die door dergelijke recursievergelijkige beschreve worde: opdracht : vertraagd daled, gee duidelijkheid omtret de limietwaarde opdracht 2: gedempt schommeled, eidige limietwaarde opdracht 3: vertraagd daled, eidige limietwaarde opdracht 4: verseld stijged, oeidige limietwaarde I het vervolg va deze tekst probere we meer izicht te krijge i het verloop va de rije die bepaald worde door ee recursievergelijkig va de vorm u = a u b. + Vauit het oogput va het werke met de rekemachie heeft u i de voorgaade opdrachte gewerkt met de mogelijkhede va de TI-89 die betrekkig hebbe op het defiiëre va recursief bepaalde rije, het rekee ermee (op het basisscherm e m.b.v. tabelle) e het grafisch voorstelle erva. Alles wat aa bod gekome is, ka ook met ee TI-92 uitgevoerd worde e bija alles met ee TI Spiewebdiagramme I de voorgaade paragrafe heeft u wellicht ee grafische voorstellig gemaakt va de rije die bestudeerd werde. Nu make we keis met ee adere grafische voorstellig va ee recursief bepaalde rij. We werke dit uit voor het prijsmodel uit opdracht 2 m.b.v. de TI-89. We opee de vergelijkigseditor e zorge ervoor dat ekel de rij u2 geselecteerd is. We kieze de optie 'Axes' uit de meubalk boveaa door de oraje toets [2d] i te drukke, gevolgd door [F7]. Op het scherm verschijt het dialoogvester 'AXES'. We roepe de keuzelijst op va het veld 'Axes' door op [pijltje aar rechts] te drukke e kieze mogelijkheid '2:WEB'. I het dialoogvester veradert iet allee de ihoud va het veld 'Axes', maar verschijt er ook ee ieuw veld, amelijk 'Build Web'. De ihoud va dit veld ('TRACE') veradere we iet. We bevestige de ihoud va dit dialoogvester met [ENTER]. We stelle u het tekevester i. I oze ieuwe grafische voorstellig zal de grootte va de terme zowel op de horizotale als op de verticale as af te leze zij (dit lijkt ee beetje vreemd, maar het zal verderop duidelijk worde). Dit geeft os ee idicatie voor de miimale e maximale x- e y-waarde. We moete hier bovedie ee assestelsel kieze waarbij de eehede op beide asse eve groot zij. We gaa hier iet i op de maier waarop me dit ka verkrijge. Ee geschikte keuze wordt gegeve door de oderstaade schermafdruk. 9

10 We late de machie met deze gegeves e istellige ee grafiek make e drukke hiervoor eerst op de toets met de groee ruit e vervolges op [GRAPH]. We bemerke dat de TI-89 twee rechte geteked heeft. De ee rechte is de eerste bissectrice. De adere rechte heeft vergelijkig y= 0.8x De vergelijkig va deze rechte is gebaseerd op de recursievergelijkig: u is vervage door y e u is vervage door x! We drukke u de toets [F3] i (op de meubalk boveaa zie we dat dit beteket dat we de TRACE-modus ischakele; het Egelse woord 'trace' beteket 'spoor'). Op het scherm zij u drie getalle verschee e we zie ee kipperede cursor. De getalle die met 'xc' e 'yc' aagegeve zij, zij de x- e y-coördiaat va de cursor. We bemerke dat de x-coördiaat va de cursor de begiwaarde is va de prijs. Het aageduide put heeft dus betrekkig op de begiterm va de rij. Dit verklaart waarom het getal dat met 'c' aagegeve is de waarde 0 heeft. We drukke u op de toets [pijltje aar rechts]. We zie dat de cursor verticaal verplaatst is e u op dalede rechte staat. Er is ee verticaal lijstukje geteked dat de oude e de ieuwe positie va de cursor met elkaar verbidt. De y-coördiaat va de cursor, amelijk 2, is y-waarde die overeekomt met de x- waarde 30 volges de vergelijkig va de dalede rechte. Omdat de vergelijkig va deze 0

11 rechte gebaseerd is op de recursievergelijkig, is 2 teves de prijs op tijdstip. We stelle vast dat 'c' iderdaad gelijk is aa. We drukke u ogmaals op de toets [pijltje aar rechts]. De cursor is u horizotaal verplaatst tot op de eerste bissectrice e de figuur is aagevuld met ee horizotaal lijstukje. De waarde va 'c' is iet veraderd. Beide coördiaatgetalle va de cursor zij u gelijk aa 2, de waarde va de prijs op tijdstip. We drukke ogmaals op de toets met het pijltje aar rechts. De cursor is u weer verticaal verplaatst tot op de dalede rechte. Nu is de y-coördiaat va de cursor gelijk aa de waarde va de prijs op tijdstip 2. Zo blijve we verder gaa. De veelhoekslij die gevormd wordt door de verticale e horizotale lijstukjes is ee soort spiraal. De spiraal e de rechte vorme tezame (met wat fatasie) ee spieweb. Daarom oeme we deze alteratieve grafische voorstellig va de rij ee spiewebdiagram. Met behulp va de toetse [pijltje aar rechts] e [pijltje aar liks] kue we voor- e achteruit gaa i de rij. De x-waarde die overeekome met de verticale lijstukjes geve de terme va de rij aa. (We kue (bija) eve goed zegge dat de y-waarde die overeekome met de horizotale lijstukjes de terme va de rij aageve; we misse op deze maier allee de begiterm.) De kemerke va het

12 verloop va de rij die we i opdracht 2 otmoet hebbe, kue we ook uit het spiewebdiagram afleze: we zie i dat de prijs afwisseled toe- e afeemt omdat de veelhoekslij afwisseled aar liks e aar rechts gaat, m.a.w. de prijs schommelt; we zie i dat de prijsschommelige steeds kleier worde omdat de spiraal zich sluit; we zie i dat de prijs zich op lage termij stabiliseert rod de waarde 20 omdat de spiraal zich sluit rod het put met coördiaat (20, 20), het sijput va de twee rechte. Alles wat i deze paragraaf aa bod gekome is, ka uitgevoerd worde op ee TI-92 of ee TI Opdracht 5: spiewebdiagramme. Maak ee spiewebdiagram voor het eerste prijsmodel (zoals i paragraaf 7), maar eem als begiwaarde voor de prijs 0 i.p.v. 30. Wat stelt u vast i.v.m. de limietwaarde va de prijs? 2. Maak ee spiewebdiagram voor de evolutie va de bevolkig va Litouwe. De aawijzige hieroder kue u helpe bij het gebruik va de TI-89. Verklaar hoe u hier kut zie dat het aatal iwoers vertraagd daalt. Geef u ook ee atwoord op de vraag aar het aatal iwoers op lage termij. Aawijzige voor het gebruik va de TI-89 Ee eerste moeilijkheid ligt i het kieze va ee assestelsel waarbij de eehede op de asse eve groot zij. U kut hierbij bijvoorbeeld als volgt tewerk gaa. Vul voor ymi, ymax e yscl gepaste waarde i (b.v. ymi = , ymax = , yscl = ) e vul voor xmi, xmax e xscl dezelfde waarde i. Omdat het scherm va de rekemachie ee rechthoek is waarva de breedte groter is da de hoogte, zal de eeheid op de horizotale as groter zij da die op de verticale as. We kue de TI-89 het opgegeve tekevester echter automatisch late aapasse zo dat we wel ee assestelsel krijge waarbij de eehede op de asse eve groot zij: druk op [F2: Zoom] e kies i de keuzelijst mogelijkheid '5:ZoomSqr' (de letters 'Sqr' verwijze aar het Egelse woord 'square' voor 'vierkat'). De TI-89 past de waarde va xmi e xmax aa e teket de gevraagde grafiek. (U kut cotrolere dat de waarde va xmi e xmax iderdaad aagepast is door terug te kere aar de tekevestereditor.) Ee volgede moeilijkheid die optreedt, is dat beide rechte hier ageoeg samevalle. Los dit probleem op door i te zoome op het deel va het tekevester dat hier va belag is. Dit beteket dat u ee klei stukje va het aavakelijke tekevester moet uitvergrote. Ga hierbij als volgt tewerk. Pas eerst de uitvergrootfactore aa: druk op [F2: Zoom]; verplaats vervolges de selectie i de keuzelijst aar oder tot u de keuzemogelijkheid 'C:SetFactors ' ziet m.b.v. de toets [pijltje aar oder]; kies da voor deze mogelijkheid door [alpha], [C] te drukke; vul i de velde 'xfact' e 'yfact' 0 i e bevestig m.b.v. [ENTER]. Plaats de cursor vervolges boveaa het eerste verticale lijtje va de veelhoekslij (gebruik [F3: Trace] e de toetse [pijltje aar rechts] e [pijltje aar liks]). Druk u op [F2:Zoom], kies [2:ZoomI] e aavaard het voorstel voor het midde va het ieuwe tekevester door op [ENTER] te drukke. De TI-89 maakt ee ieuwe tekeig. Evetueel moet u het tekevester ogmaals uitvergrote. De uitvergrootfactore hoeft u iet opieuw i te stelle. Plaats de cursor m.b.v. [F3] e de toets [pijltje aar rechts] wel eerst weer boveaa het eerste verticale lijstukje va de veelhoekslij. 2

13 Als u ee geschikt tekevester gevode heeft, kut u het spiewebdiagram opbouwe m.b.v. [F3:Trace] e [pijltje aar rechts]. Om de limietwaarde te bepale, moet u ee stelsel oplosse. Dit kut u als volgt door de TI- 89 late doe. Ga aar het basisscherm. Druk [F2:Algebra] e kies ':solve('. Vul aa met 'y=x ad y= *x+576,{x,y})'. Het gelijkheidsteke vidt u op R6K. Om ee blaco i te voege, moet u gebruik make va het 'gootje' (i het paars rechtsbove R0K4). Laat het commado uitvoere door op [ENTER] te drukke. 9. Opdracht 6. Kut u de gegeves (vraagvergelijkig, aabodvergelijkig, begiwaarde) voor het prijsmodel uit opdracht 2 aapasse zo dat de prijs a. 40 als limietwaarde heeft i.p.v. 20? b. iet meer gedempt schommeled verloopt? 2. Maak ee spiewebdiagram voor het tweede prijsmodel (d.w.z. het prijsmodel uit opdracht 3). 3. Kut u de gegeves uit dit prijsmodel (vraagvergelijkig, aabodvergelijkig, begiwaarde) aapasse zo dat de prijs a. stijged verloopt i.p.v. daled? b. 40 als limietwaarde heeft i.p.v. 20? c. verseld stijged verloopt? 4. Maak ee spiewebdiagram voor de evolutie va de Vlaamse bevolkig. 5. Ee rij met begiwaarde u 0 wordt bepaald door ee recusievergelijkig va de vorm u = a u + b (waarbij a e b getalle zij e a verschilled is va 0). Bespreek de mogelijkhede voor het verloop va de rij. 0. Ee formule voor u i fuctie va Om vrage als i welk jaar zal Litouwe voor het eerst mider da iwoers telle? vaaf waeer zulle de prijsschommelige mider da eeheid bedrage? te beatwoorde, schiete de hulpmiddele uit de voorgaade paragrafe tekort. We stelle u, met de hulp va de TI-89, ee formule op voor de algemee term va de rije die we bestudeerd hebbe. We gaa hierbij heel algemee tewerk: we vertrekke va ee rij met begiwaarde u 0 die bepaald wordt door ee recursievergelijkig va de vorm u = a u + b (waarbij u 0, a e b getalle zij e a verschilled is va 0). We specificere de begiwaarde u 0 e de coëffciëte a e b iet. We defiiëre de rij u aa de had va de volgede recursieve defiitie: u u 0 = a u + b als = 0 als 0 We voere deze defiitie als volgt i via het basisscherm va de TI-89: Defie u()=whe(=0,u0,a*u( )+b) 3

14 (gebruik [F4:Other], [:Defie] om 'Defie ' door de machie te late ivoege). We berekee u(0), u(), u(2) e u(3). We bemerke ee zeker patroo i de resultate e op grod daarva begrijpe we dat u = a u ( a + a a + a + ) b. We late de som die tusse de haakjes staat door de TI-89 berekee. We drukke hiervoor op [F3:Calc], [4:Σ( sum] e vulle aa met 'a^i,i,0, )'. De uitdrukkig die de rekemachie os geeft, is slechts geldig als a (daar moete we dus zelf op lette!). De verkrege uitdrukkig vermeigvuldige we met b e we telle er a u 0 bij. (We type eerst het vermeigvuldigigsteke. De TI-89 voegt vóór het vermeigvuldigigsteke 'as()' i, wat staat voor het laatst verkrege resultaat). Zo krijge we ee formule die u uitdrukt i fuctie va : b = + u a (op voorwaarde dat a ). We aalysere deze formule: u 0 a b a 4

15 Het rechterlid bevat twee terme. Aagezie a e b gegeve getalle zij, is de tweede term costat. Omdat u 0 ee gegeve getal is, is ook de uitdrukkig tusse de haakjes costat. De eerste term bepaalt dus ee meetkudige rij. Als we ee adere begiwaarde eme, veradert allee de costate factor i de eerste term. Alle rije die voldoe aa de recursievergelijkig zij dus va de vorm b u = C a, a waarbij C ee getal is. Alle rije die aa de recursievergelijkig voldoe (dus met de 'obepaalde costate' C eri), vorme de algemee oplossig va de recursievergelijkig. De ee rij die aa de recursievergelijkig voldoet e bovedie de goede begiwaarde heeft, wordt ee particuliere oplossig va de recursievergelijkig geoemd. De berekeige die we i deze paragraaf gemaakt hebbe, zij symbolische berekeige. Ze kue ook met de TI-92 uitgevoerd worde omdat de TI-92 (et als de TI-89) ee symbolische rekemachie is, maar ze kue iet uitgevoerd worde met de TI-83 omdat de TI-83 slechts ee grafische rekemachie is.. Opdracht 7. Stel ee formule op voor het aatal iwoers va Litouwe i fuctie va het ragummer va het jaar. Gebruik de TI-89 om te bepale waeer het aatal iwoers voor het eerst mider da bedraagt. (voor hulp bij het oplosse va ee vergelijkig m.b.v. de TI-89, zie opdracht 5; omdat er u maar éé variabele bepaald moet worde, zij er gee accolades odig). 2. Stel ee formule op voor de prijs i fuctie va het tijdstip voor het eerste prijsmodel (cfr. opdracht 2). Gebruik de TI-89 om te bepale vaaf waeer de prijs mider da eeheid schommelt. Aawijzige voor het gebruik va de TI-89 De fuctie 'absolute waarde' vidt u door eerst het MATH-meu op te roepe (zie de oraje aaduidig liks bove R8K3); hieri ':Number' te kieze e vervolges '2:abs(' te kieze. 2. Opdracht 8: bepaalde itegraal e som De figuur hieroder toot de grafiek va de fuctie y = x e ee grijs gebied dat begresd wordt door de grafiek va deze fuctie, de horizotale as e ee verticale rechte. Bereke m.b.v. de volgede opdrachte de oppervlakte va het grijze gebied. 2 Y X 5

Werktekst 1: Een bos beheren

Werktekst 1: Een bos beheren Werktekst : Ee bos behere Berekeige met rije op het basisscherm Op ee perceel staa 3000 kerstbome. Ee boomkweker moet beslisse hoeveel bome er jaarlijks gekapt kue worde e hoeveel ieuwe aaplat er odig

Nadere informatie

Convergentie, divergentie en limieten van rijen

Convergentie, divergentie en limieten van rijen Covergetie, divergetie e limiete va rije TI-spire e rije 7N5p GGHM 22-23 Eigeschappe rekekudige rij b = begiwaarde v = verschil tusse twee opeevolgede terme recursieve formule: u = u + v met u = b directe

Nadere informatie

Discrete dynamische systemen

Discrete dynamische systemen Cahiers T 3 Europe Vlaadere r. 19 Discrete dyamische systeme Recursievergelijkige met de TI-84 Joha Deprez Discrete dyamische systeme Joha Deprez HUBrussel, Uiversiteit Atwerpe, Katholieke Uiversiteit

Nadere informatie

7.1 Recursieve formules [1]

7.1 Recursieve formules [1] 7.1 Recursieve formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is ee getallerij. De getalle i de rij zij de terme. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is de vijfde term (u

Nadere informatie

Praktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling

Praktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling Praktische opdracht: Complexe getalle e de Julia-verzamelig Auteur: Wiebe K. Goodijk, Zerike College Hare Beodigde Voorkeis: 1 = i Het complexe vlak. Notatie: z = a + bi of z = r(cosϕ + i si ϕ) Regel va

Nadere informatie

Rijen met de TI-nspire vii

Rijen met de TI-nspire vii Rije met de TI-spire vii De tore va Pisa Me laat ee bal valle vaaf de tore va Pisa(63m hoog) Na elke keer stuitere haalt de bal og ee vijfde va de voorgaade hoogte. Gevraagd zij: a) De hoogte a de e keer

Nadere informatie

1. Recursievergelijkingen van de 1 e orde

1. Recursievergelijkingen van de 1 e orde Recursievergelijkige va de e orde Rekekudige rije Het voorschrift va ee rekekudige rij ka gegeve wordt met de volgede recursievergelijkig: u = u + b Idie we deze vergelijkig i de vorm u = u u = b otere

Nadere informatie

Periodiciteit bij breuken

Periodiciteit bij breuken Periodiciteit bij breuke Keuzeodracht voor wiskude Ee verdieede odracht over eriodieke decimale getalle, riemgetalle Voorkeis: omrekee va ee breuk i ee decimale vorm Ileidig I deze odracht leer je dat

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskude B, (ieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereided Weteschappelijk Oderwijs 0 0 Tijdvak Izede scores Uiterlijk op jui de scores va de alfabetisch eerste vijf kadidate per school op de daartoe

Nadere informatie

Opgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100...

Opgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100... Opgave OPGAVE 1 a. Itereer met F( ) = e als startwaarde 1 e 1. 16 1............... 16 1............... b. Stel de bae grafisch voor i ee tijdgrafiek. c. Formuleer het gedrag va deze bae. (belagrijk is

Nadere informatie

2. Limiet van een rij : convergentie of divergentie

2. Limiet van een rij : convergentie of divergentie 2. Limiet va ee rij : covergetie of divergetie 2. Eigelijke of eidige limiet 2.. Voorbeeld I ee bos staa 4 bome. De diest bosbeheer zal jaarlijks 2% bome kappe e ieuwe aaplate. Zal het bos verdwije? Zal

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame HAVO 2013 tijdvak 2 woesdag 19 jui 13.30-16.30 uur wiskude A Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 21 vrage. Voor dit exame zij maximaal 80 pute te behale. Voor elk vraagummer

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II Eideame wiskude B vwo 200 - II Sijde met ee hoogtelij Op ee cirkel kieze we drie vaste pute, B e C, waarbij lijstuk B gee middellij is e put C op de kortste cirkelboog B ligt. Ee put doorloopt dat deel

Nadere informatie

We kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen:

We kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen: Masteropleidig Fiacial Plaig Kwatitatieve Methode Relevate wiskude We kee i de wiskude de volgede getalleverzamelige: De atuurlijke getalle: N = {0,,,,4, } De gehele getalle: Z = {, -,-,-,0,,,, } (egels:

Nadere informatie

Een toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek.

Een toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek. 006 Wolters-Noordhoff bv Groige/Houte De steekproefomvag Ee toelichtig op het belag e het berekee va de steekproefomvag i marktoderzoek. Ihoud 1 Ileidig Eerst ekele defiities 3 Steekproefomvag e respose

Nadere informatie

Deel A. Breuken vergelijken 4 ----- 12

Deel A. Breuken vergelijken 4 ----- 12 Deel A Breuke vergelijke - - 0 Breuke e brokke (). Kleur va elke figuur deel. Doe het zo auwkeurig mogelijk.. Kleur va elke figuur deel. Doe het telkes aders.. Kleur steeds het deel dat is aagegeve. -

Nadere informatie

Huisstijl en logogebruik Associatie KU Leuven

Huisstijl en logogebruik Associatie KU Leuven Huisstijl e logogebruik Associatie KU Leuve Associatie huisstijlhadboek > Ihoudstafel 1 Ihoudstafel 1. Gebruik va de huisstijl of opame va het associatielogo 3 2. Huisstijl Associatie KU Leuve 4 2.1 Opame

Nadere informatie

Appendix A: De rij van Fibonacci

Appendix A: De rij van Fibonacci ppedix : De rij va Fiboacci Het expliciete voorschrift va de rij va Fiboacci We otere het het e Fiboaccigetal met F De rij va Fiboacci wordt gegeve door: F F F F 4 F F 6 F 7 F De volgede afleidig is gebaseerd

Nadere informatie

Oefeningen op Rijen. Leon Lenders, Bree

Oefeningen op Rijen. Leon Lenders, Bree Oefeige op Rije Leo Leders, Bree I de tekst staa ee aatal oefeige i verbad met rije. De moeilijkere oefeige zij volledig uitgewerkt. Volgede oderwerpe kome aa bod : Plooie va ee blad papier Salaris Het

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2008-II

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2008-II Groepsfoto s Alle mese kippere met hu oge. Daardoor staa op groepsfoto s vaak ekele persoe met geslote oge. Sveso e Bares hebbe oderzocht hoeveel foto s je moet make va ee groep va persoe om 99% kas te

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame VW 007 tijdvak woesdag 6 mei.0-6.0 uur wiskude B Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 0 vrage. Voor dit exame zij maximaal 8 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel

Nadere informatie

PARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens

PARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens PARADOXEN 9 Dr Luc Gheyses LIMIETEN, AFGELEIDEN EN INTEGRALEN: ENKELE MERKWAARDIGE VERHALEN Ileidig: verhale over ifiitesimale Ee ifiitesimaal (of ifiitesimaal kleie waarde) is ee object dat mi of meer

Nadere informatie

Rijen. 6N5p

Rijen. 6N5p Rije 6N5p 0-03 Rije Ileidig I de wiskude werke we vaak met formules e/of fucties die elke mogelijke waarde aa kue eme. Als bijvoorbeeld f( x) = 5x + 5x 3, da ku je voor x (bija) elke waarde ivulle e ka

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame VW 007 tijdvak woesdag 6 mei.0-6.0 uur wiskude B Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 0 vrage. Voor dit exame zij maximaal 8 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel

Nadere informatie

Rijen en reeksen. Mei 2008. Remy van Bergen Peter Mulder

Rijen en reeksen. Mei 2008. Remy van Bergen Peter Mulder Rije e reekse Keuzeoderwerp Atheeum 5 wiskude B e B Mei 008 Remy va Berge Peter Mulder Dit boekje gaat over rije e reekse. Wiskudige rije! Rije worde i de wiskude op verschillede maiere gedefiieerd. Met

Nadere informatie

Iteratie is het steeds herhalen van eenzelfde proces, verwerking op het bekomen resultaat. Verwerking

Iteratie is het steeds herhalen van eenzelfde proces, verwerking op het bekomen resultaat. Verwerking 1. Wat is iteratie? Iteratie is het steeds herhale va eezelfde proces, verwerkig op het bekome resultaat. INPUT Verwerkig OUTPUT Idie de verwerkig gebeurt met ee (reële) fuctie geldt voor ee startwaarde

Nadere informatie

Ongelijkheden. IMO trainingsweekend 2013

Ongelijkheden. IMO trainingsweekend 2013 Ogelijkhede IMO traiigsweeked 0 Deze tekst probeert de basis aa te brege voor het bewijze va ogelijkhede op de IMO. Het is de bedoelig om te bewijze dat ee bepaalde grootheid (ee uitdrukkig met ee aatal

Nadere informatie

RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO CM/EM T212-HCMEM-H7911 Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald.

RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO CM/EM T212-HCMEM-H7911 Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald. RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO CM/EM T1-HCMEM-H7911 Voor elk oderdeel is aagegeve hoeveel pute kue worde behaald. Atwoorde moete altijd zij voorzie va ee berekeig, toelichtig of argumetatie.

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 Rijen en webgrafieken

Hoofdstuk 1 Rijen en webgrafieken Hoofdstuk Rije e wegrafieke Voorkeis: Rije ladzijde V-a u 7 + v +, c De vergelijkig 7 + +, oplosse geeft, e dus 8. Ze hee eide 8 rode gelope. V- u, u met u V-a u + ( ) + + s u + u + u +... + u + + 8 +

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO

Correctievoorschrift VWO Correctievoorschrift VWO 009 tijdvak wiskude B, Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordelig Algemee regels Vakspecifieke regels Beoordeligsmodel 5 Izede scores Regels voor de beoordelig

Nadere informatie

Functies, Rijen, Continuïteit en Limieten

Functies, Rijen, Continuïteit en Limieten Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-0 Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Ihoud 1. Fucties Defiitie e kemerke / bewerkige op fucties Reële fucties va éé reële veraderlijke

Nadere informatie

wiskunde A pilot vwo 2016-I

wiskunde A pilot vwo 2016-I wiskude A pilot vwo 06-I Aalscholvers e vis maximumscore 3 De viscosumptie per dag is 30 0 0,36 + 696 0, 85 ( 788 (kg)) I de maad jui is dit 30 788 (kg) Het atwoord: 38 000 ( 38 duized) (kg) Als ee kadidaat

Nadere informatie

Machtsfuncties en wortelfuncties. Introductie 177. Leerkern 178

Machtsfuncties en wortelfuncties. Introductie 177. Leerkern 178 Ope Ihoud Uiversiteit leereeheid 6 Wiskude voor ilieuweteschappe Machtsfucties e wortelfucties Itroductie 77 Leerker 7 Machtsfucties et ee atuurlijk getal als epoet 7 Machtsfucties et ee egatief geheel

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2007-I

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2007-I Eidexame wiskude B vwo 007-I havovwo.l Podiumverlichtig Ee podium is 6 meter diep. Midde bove het podium hagt ee balk met tl-buize. De verlichtigssterkte op het podium is het kleist aa de rad, bijvoorbeeld

Nadere informatie

HET BELANG VAN. Vragen Tijdens de voordracht op 14 augustus 2007 hebben we de volgende vragen besproken.

HET BELANG VAN. Vragen Tijdens de voordracht op 14 augustus 2007 hebben we de volgende vragen besproken. HET BELANG VAN KP HART Vrage Tijdes de voordracht op augustus 007 hebbe we de volgede vrage besproke. Hoe ku je izie dat ee vierkat, bij gegeve omtrek, de rechthoek met de maximale oppervlakte is? Hoe

Nadere informatie

DE ROL VAN GIS BIJ DE HEDONISCHE WAARDEBEPALING VAN VASTGOED

DE ROL VAN GIS BIJ DE HEDONISCHE WAARDEBEPALING VAN VASTGOED DE ROL VAN GIS BIJ DE HEDONISCHE WAARDEBEPALING VAN VASTGOED Prof. ir. P. Ampe, Prof. dr. ir. A. De Wulf, ig. J. De Corte. 1. Ileidig e probleemstellig. Sedert deceia gebruike schatters zowel i België

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodelle e ormaal verdeelde steekproefgroothede 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1.

Nadere informatie

1. Weten dat in het geval van compressoren rekening moet gehouden worden met thermische effecten

1. Weten dat in het geval van compressoren rekening moet gehouden worden met thermische effecten Hoofdstuk 4 Compressore Doelstellige 1. Wete dat i het geval va compressore rekeig moet gehoude worde met thermische effecte 2. Wete dat er ee gres is aa het verhoge va de druk va ee gas 3. Wete welke

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde A vwo 2010 - I Eidexame wiskude A vwo - I Beoordeligsmodel Maratholoopsters maximumscore 3 uur, 43 miute e 3 secode is 98 secode De selheid is 495 98 (m/s) Het atwoord: 4,3 (m/s) maximumscore 3 Uit x = 5 volgt v 4,4

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3NA10 of 3AA10) Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10)

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3NA10 of 3AA10) Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) TECHISCHE UIVERSITEIT EIDHOVE Tetame Ileidig Experimetele Fysica (3A10 of 3AA10) Tetame OGO Fysisch Experimetere voor mior AP (3M10) d.d. 0 jauari 010 va 9:00 1:00 uur Vul de presetiekaart i blokletters

Nadere informatie

Tabellenrapportage CQ-index Kraamzorg

Tabellenrapportage CQ-index Kraamzorg Tabellerapportage CQ-idex Kraamzorg Jauari 2011 Ihoud Pagia Algemee uitleg 1 Deelame e bevalmaad 1 De itake 2 3 Zorg tijdes de bevallig 3 4 Zorg tijdes de kraamperiode 4 10 Samewerkig e afstemmig 11 Algemee

Nadere informatie

Videoles Discrete dynamische modellen

Videoles Discrete dynamische modellen Videoles Discrete dyamische modelle Discrete dyamische modelle Orietatie Algebraisch Algebraisch/ umeriek Numeriek Maak de volgede rijtjes af: Puzzele met rijtjes a. 2 4 6 8 10 - b. 1 2 4 8 16 - c. 1 2

Nadere informatie

Vuilwaterafvoersystemen voor hoogbouw

Vuilwaterafvoersystemen voor hoogbouw Vuilwaterafvoersysteme voor hoogbouw 1.2 Vuilwaterafvoersysteme voor hoogbouw Nu er steeds hogere e extremere gebouwe otworpe worde, biedt ee ekelvoudig stadleidigsysteem de mogelijkheid om gemakkelijker

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 6. Proporties. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 6. Proporties. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1. Ee ieuwe aam voor ee gekede grootheid...2

Nadere informatie

Inleiding. 1. Rijen. 1.1 De rij van Fibonacci. 2 Zou je deze regelmatigheden kunnen verklaren met wiskunde? déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå=téíéåëåü~éééå=

Inleiding. 1. Rijen. 1.1 De rij van Fibonacci. 2 Zou je deze regelmatigheden kunnen verklaren met wiskunde? déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå=téíéåëåü~éééå= Ileidig Waarom vorme zoebloempitte 2 bochte i de ee richtig e 34 i de adere? E wat heeft ee huisjesslak te make met + 5 2 Zou je deze regelmatighede kue verklare met wiskude? Heeft wiskude cocrete toepassige

Nadere informatie

Een andere kijk op Financiële Rekenkunde Wim Pijls, Erasmus Universiteit Rotterdam

Een andere kijk op Financiële Rekenkunde Wim Pijls, Erasmus Universiteit Rotterdam Ee adere kijk op Fiaciële Rekekude Wim Pijls, Erasmus Uiversiteit Rotterdam. Ileidig Het vak Fiaciële Rekekude levert vawege zij sterk wiskudig karakter ogal wat probleme op i het oderwijs. Veel leerlige

Nadere informatie

7. Betrouwbaarheidsintervallen voor proporties

7. Betrouwbaarheidsintervallen voor proporties VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 7. Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg

Nadere informatie

C p n = C p (2000) Zet op de volgende uitdrukking gelijke noemer. 1 (p + 1)!n! + 1. (n + 1)!p! (a 3 2 a 2 )15

C p n = C p (2000) Zet op de volgende uitdrukking gelijke noemer. 1 (p + 1)!n! + 1. (n + 1)!p! (a 3 2 a 2 )15 Combiatieleer. (99 Op hoeveel maiere kue 8 studete verdeeld worde i groepe als elke groep uit mistes studet moet bestaa.. (99 Hoeveel terme elt ee homogee veelterm va graad 5 i 3 obepaalde x, y e, z? 3.

Nadere informatie

fíéê~íáéi=çóå~ãáëåüé=éêçåéëëéå=éå= åìãéêáéâé=ãéíüççéå=

fíéê~íáéi=çóå~ãáëåüé=éêçåéëëéå=éå= åìãéêáéâé=ãéíüççéå= fíéê~íáéiçóå~ãáëåüééêçåéëëéåéå åìãéêáéâéãéíüççéå oçöéêi~äáé hçéåpíìäéåë Iteratie, dyamische processe e umerieke methode Roger Labie Koe Stules www.scholeetwerk.be 005, UHasselt (België), Scholeetwerk Weteschappe

Nadere informatie

Stochastische loadflow. Beschrijving model belasting.

Stochastische loadflow. Beschrijving model belasting. Stochastische loadflow. eschrijvig model belastig. 95 pmo 5-- Phase to Phase V Utrechtseweg 3 Postbus 68 AC Arhem T: 6 356 38 F: 6 356 36 36 www.phasetophase.l 95 pmo INHOUD Ileidig...3 eschrijvig belastig...

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 - Rijen ) = bladzijde ; voor x = 11 is y = = 55. te rekenen omdat die ook met hele stappen toeneemt.

Hoofdstuk 1 - Rijen ) = bladzijde ; voor x = 11 is y = = 55. te rekenen omdat die ook met hele stappen toeneemt. Hoofdstuk - Rije bladzijde V-a Als x steeds met toeeemt, da eemt y met toe. b Voor x is y + 5 ; voor x is y + 55. c De waarde va x eemt met hele stappe toe. De waarde va y is da makkelijk uit te rekee

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) wiskude A, (ieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereided Weteschappelijk Oderwijs 0 04 Tijdvak izede scores Verwerk de scores va de alfabetisch eerste vijf kadidate per school i het programma Wolf

Nadere informatie

Wijzigingsformulier Ziektekostenverzekering

Wijzigingsformulier Ziektekostenverzekering De Amersfoortse Verzekerige Stadsrig 15, postbus 42 3800 AA Amersfoort Tel. (033) 464 29 11 Fax (033) 464 29 30 Wijzigigsformulier Ziektekosteverzekerig Gegevesverwerkig Bij deze wijzigig worde persoosgegeves

Nadere informatie

Toelichting bij Opbrengstgegevens VAVO 2011-2013

Toelichting bij Opbrengstgegevens VAVO 2011-2013 Toelichtig bij Opbregstgegeves VAVO 2011-2013 Ihoud Ileidig Aatal deelemers exame Kegetalle toezicht exames CE-cijfer alle vakke CE-cijfer alle vakke - tred SE-cijfer mius CE cijfer alle vakke Percetage

Nadere informatie

déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå

déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå téíéåëåü~éééå táëâìåçé oáàéå e~åë=_éâ~éêí oçöéê=i~äáé iéçå=iéåçéêë hçéå=píìäéåë 4, LUC Diepebeek (België), Geboeid door Wiskude e Weteschappe Niets uit deze uitgave mag worde verveelvoudigd

Nadere informatie

Reeksen. Convergente reeksen

Reeksen. Convergente reeksen Reekse Reekse Defiitie, otatie e voorbeelde Defiitie: Eereeks is ee koppel ( ) {u } l, {s } l met s = u k = u l + u l+ + u l+2 +...+ u + u k=l u l = s l, u = s s, = l +, l +2,... {u } l oemt me de termerij,

Nadere informatie

Een samenvatting van de CAO voor Uitzendkrachten 2012-2017

Een samenvatting van de CAO voor Uitzendkrachten 2012-2017 Ee samevattig va de CAO voor Uitzedkrachte 2012-2017 Uitgave juli 2015 Ihoudsopgave 1. Ileidig 5 2. Fasesysteem 5 2.1 Fase A 6 2.2 Fase B 6 2.3 Fase C 6 2.4 Oderbrekigsregels 7 2.5 Overgagsregelig fase

Nadere informatie

Evaluatierapport. Tevredenheidsonderzoek NMV Nederlandse Montessori Vereniging 2005. Eindrapportage. BvPO

Evaluatierapport. Tevredenheidsonderzoek NMV Nederlandse Montessori Vereniging 2005. Eindrapportage. BvPO Evaluatierapport Tevredeheidsoderzoek NMV Nederladse Motessori Vereigig 2005 Eidrapportage BvPO Bureau voor praktijkgericht oderzoek, Groige BvPO BUREAU VOOR PRAKTIJKGERICHT ONDERZOEK POSTBUS 9505, 9703

Nadere informatie

Hoe werkt het? Zelf uw woning aanpassen

Hoe werkt het? Zelf uw woning aanpassen Woig aapasse Hoe werkt het? Zelf uw woig aapasse Prettig woe beteket woe i ee huis aar uw smaak. Om og fijer te kue woe, wille veel huurders kleie of grote veraderige aabrege i hu huis. Thuisvester begrijpt

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 18 juni uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 18 juni uur Eame VW 05 tijdvak doderdag 8 jui.0-6.0 uur wiskude B (pilot) Dit eame bestaat uit 7 vrage. Voor dit eame zij maimaal 79 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel pute met ee goed atwoord behaald

Nadere informatie

STUDIEKEUZESTAPPENPLAN

STUDIEKEUZESTAPPENPLAN STUDIEKEUZESTAPPENPLAN www.uva.l/studie-kieze Hoe kies je ee studie? studiekeuzestappepla Weet je og iet wat je wilt studere? Begeleidig bij het studiekeuzestappepla Misschie ka dit studiekeuzestappepla

Nadere informatie

Betrouwbaarheid. Betrouwbaarheidsinterval

Betrouwbaarheid. Betrouwbaarheidsinterval Betrouwbaarheid Ee simulatie beoogt éé of i.h.a. twee of meerdere sceario s te evaluere e te vergelijke, bij Mote Carlo (MC) simulatie voor ee groot aatal istelwaarde, voor éé of meerdere parameters. Hierbij

Nadere informatie

Regressie, correlatie en modelvorming

Regressie, correlatie en modelvorming Hoofdstuk 9 Regresse, correlate e modelvormg 9. Leare regresse 9.. Ileded voorbeeld De pute (,3), (,) e (3,5) lgge et op éé rechte. Hoe kue we de rechte vde de het best aaslut bj de pute? Plaats de coördate

Nadere informatie

Wijzigingsformulier Ziektekostenverzekering

Wijzigingsformulier Ziektekostenverzekering De Amersfoortse Verzekerige Stadsrig 15, postbus 42 3800 AA Amersfoort Tel. (033) 464 29 11 Fax (033) 464 29 30 Gegevesverwerkig Wijzigigsformulier Ziektekosteverzekerig Bij deze wijzigig worde persoosgegeves

Nadere informatie

Hoe los ik het op, samen met Thuisvester? Ik heb een klacht

Hoe los ik het op, samen met Thuisvester? Ik heb een klacht Klachte? Hoe los ik het op, same met Thuisvester? Ik heb ee klacht Thuisvester doet haar uiterste best de beste service te verlee aa haar huurders. We vide ee goede relatie met oze klate erg belagrijk.

Nadere informatie

Waar moet je aan denken? Verhuizen. Stap 1: Hoe zeg ik de huur op?

Waar moet je aan denken? Verhuizen. Stap 1: Hoe zeg ik de huur op? Verhuize Waar moet je aa deke? Verhuize Bij verhuize komt heel wat kijke. Naast het ipakke va spulle e doorgeve va adreswijzigige, is het ook belagrijk dat u same met Thuisvester ee aatal zake regelt.

Nadere informatie

Eindexamen natuurkunde 1-2 compex havo 2007-I

Eindexamen natuurkunde 1-2 compex havo 2007-I Ogave 1 Kerfusie I de zo fusere waterstofkere tot heliumkere. Bij fusie komt eergie vrij. O deze maier roduceert de zo er secode 3,9 10 26 J. Alle eergiecetrales o aarde roducere same i éé jaar ogeveer

Nadere informatie

www. POspiegel.nl Online Instrument voor CB Het Talent schooljaar februari DigiDoc

www. POspiegel.nl Online Instrument voor CB Het Talent schooljaar februari DigiDoc POspiegel.l Olie Istrumet voor CB Het Talet schooljaar 2009-2010 februari 2010 2010 DigiDoc www. Algemee Algemee. pagia 1 Eigeschappe Equête Nummer ENQ60536 Naam schooljaar 2009-2010 Istellig CB Het Talet

Nadere informatie

imtech Arbodienst (versie 2.0)

imtech Arbodienst (versie 2.0) imtech Arbodiest (versie.0) veilig e gezod werke Wat is beeldschermwerk? Vrijwel alle katoormedewerkers va Imtech verrichte regelmatig beeldschermwerk. Oder ivloed va ee verdere automatiserig va werktake

Nadere informatie

d 25, 35, 47 of27, 43, 69 b 2, 27, 10240, 100, e = 287 u( n) = 243 ( ) n

d 25, 35, 47 of27, 43, 69 b 2, 27, 10240, 100, e = 287 u( n) = 243 ( ) n Netwerk 4-5 vwo wiskude D Hoofdstuk 8 uitwerkige Hoofdstuk 8 Ker a 3, 37, 43 c 5, 3, 49 b, 3, d 5, 35, 47 of7, 43, 9 a,, 3, 5, 7 d 0,,,, 0 b, 7,, 3, 8 e 35, 35, 35, 35, 35 c 5, 0, 0, 40,80 f 0,, 8, 7,

Nadere informatie

we willen graag zelf klussen in onze nieuwe woning.

we willen graag zelf klussen in onze nieuwe woning. ZELF AANGEBRACHTE VOORZIENINGEN we wille graag zelf klusse i oze ieuwe woig. ECHT WEL. Zelf uw woig aar wes veradere De woig die u va os huurt, wilt u atuurlijk aar uw eige smaak irichte. U kiest zelf

Nadere informatie

Examen PC 2 onderdeel 4A

Examen PC 2 onderdeel 4A Exame PC 2 oderdeel 4A Istructieblad Betreft: exame: PC 2 oderdeel 4A leergag 3 oderdeel: Fiaciële Rekekude datum: 30 mei 2012 tijdsduur: 90 miute (09:30-11:00 uur) Deze aawijzige goed leze voor u met

Nadere informatie

HANDLEIDING CONDITIONELE ORDERS

HANDLEIDING CONDITIONELE ORDERS hadleidig coditioele orders HANDLEIDING CONDITIONELE ORDERS Ee coditioele order kut u vergelijke met ee istructie die u geeft aa uw wekkerradio: als het 7.30 uur is, wil ik dat de radio aagaat e ik gewekt

Nadere informatie

RAADS IN FORMATIE BRIE F

RAADS IN FORMATIE BRIE F RAADS IN FORMATIE BRIE F gemeete WOERDEN Va: college va burgemeester e wethouders Datum: 1 december 2011 Portefeuillehouder(s): Titia Cosse Portefeuille(s): portefeuille Moumete e Archeologie Cotactpersoo:

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II Eidexame wiskude B vwo 200 - II Formules Vlakke meetkude Verwijzige aar defiities e stellige die bij ee bewijs moge worde gebruikt zoder adere toelichtig. Hoeke, lije e afstade: gestrekte hoek, rechte

Nadere informatie

Proeftentamen IBK1LOG01

Proeftentamen IBK1LOG01 Proeftetame IBK1LOG01 Opgave 1 ( 20 pute) Beatwoord de oderstaade vrage met waar of iet waar: 1.De bereikbaarheid va iformatie over ee product bij ee iteretwikel is ee voorbeeld va pre-trasactie elemet

Nadere informatie

3 Meetkundige voorstelling van complexe getallen

3 Meetkundige voorstelling van complexe getallen 3 Meetkudige voorstellig va complexe getalle 31 Complexe getalle als pute va ee vlak Complexe getalle zij geïtroduceerd als pute va ee vlak tov ee orthoormaal assestelsel Ee dergelijk assestelsel is odig

Nadere informatie

Mobile Business Efficiënt communiceren met uw zakenrelaties

Mobile Business Efficiënt communiceren met uw zakenrelaties Mobile Busiess Efficiët commuicere met uw zakerelaties Uiek! Exteded Fleet Obeperkt belle aar alle Mobistar-ummers e vaste lije! Ik kies voor mij bedrijf Het geheim achter efficiët zakedoe? De juiste beslissige

Nadere informatie

Ja, ik wil. Trouwen in Vlaardingen

Ja, ik wil. Trouwen in Vlaardingen Ja, ik wil Trouwe i Vlaardige Ihoud Pagia 4 Locatie kieze Pagia 5 Tijdstip kieze Pagia 6 De plechtigheid Pagia 8 I odertrouw Pagia 9 Tot slot Pagia 11 Bijlage Gefeliciteerd met uw voorgeome huwelijk of

Nadere informatie

figuur 2.50 Microscoop

figuur 2.50 Microscoop 07-01-2005 10:20 Pagia 1 Microscoop Ileidig Ee microscoop is bedoeld om kleie voorwerpe beter te kue zie, zie figuur 2.50. De bolle les dicht bij het oog (het oculair) heeft ee grote diameter. De bolle

Nadere informatie

Discrete dynamische systemen: wiskundige modellen met rijen, vectoren en matrices Deel 1: rijen en recursievergelijkingen

Discrete dynamische systemen: wiskundige modellen met rijen, vectoren en matrices Deel 1: rijen en recursievergelijkingen Discrete dyamische systeme: wiskudige modelle met rije, vectore e matrices Deel 1: rije e recursievergelijkige Ihoud 1. Ileidig. Tabelle e grafieke 3. Ee spiewebdiagram 4. Ee ecoomisch probleem 5. Aalytisch

Nadere informatie

Commissie Pensioenhervorming 2020-2040. Nota over de actuariële neutraliteit. Bijlage III

Commissie Pensioenhervorming 2020-2040. Nota over de actuariële neutraliteit. Bijlage III Commissie Pesioehervormig 00-040 Nota over de actuariële eutraliteit Bijlage III. I het kader va de ivoerig va ee «deeltijds pesioe» wordt de kwestie va de actuariële correctie va de uitkerige i geval

Nadere informatie

Rekenen met levensduurkosten

Rekenen met levensduurkosten Colibri Advies www.colibri-advies.l Rekee met levesduurkoste ir. Martie va de Boome MBA Colibri Advies -4-25 Pagia va 5 Rekee met levesduurkoste Auteur: Martie va de Boome - Colibri Advies BV. Materiaal

Nadere informatie

12 Kansrekening. 12.1 Kansruimten WIS12 1

12 Kansrekening. 12.1 Kansruimten WIS12 1 WIS12 1 12 Kasrekeig 12.1 Kasruimte Kasmaat Ee experimet is ee hadelig of serie hadelige met ee of meer mogelijke resultate uitkomste geoemd). De uitkomsteruimte, die we steeds zulle aageve met Ω, is de

Nadere informatie

Schoenen voor diabetes en reuma

Schoenen voor diabetes en reuma Schoee voor diabetes e reuma Comfortschoee gemaakt voor de extra kwetsbare voet Officieel gee vergoedig via zorgverzekeraar. Echter bij ekele zorgverzekeraars is door middel va idividuele aavraag vergoedig

Nadere informatie

Combinatoriek. Nota s in samenwerking met Anja Struyf en Sabine Verboven (Universiteit Antwerpen)

Combinatoriek. Nota s in samenwerking met Anja Struyf en Sabine Verboven (Universiteit Antwerpen) 1 Combiatoriek Nota s i samewerkig met Aja Struyf e Sabie Verbove (Uiversiteit Atwerpe) I het dagelijkse leve worde we vaak gecofroteerd met vraagstukke waarva de oplossig het telle va het aatal elemete

Nadere informatie

Aanvraag voor een woning in de gemeente(n)... 1. Personalia aanvrager huurwoning

Aanvraag voor een woning in de gemeente(n)... 1. Personalia aanvrager huurwoning Aavraagformulier Huurwoig Hoofdkatoor: J.L. va Rijweg 20, Postbus 612 2700 AP Zoetermeer Tel. : 079-329 66 66 Fax : 079-329 66 00 Iteret : www.hof-rijlad.l E-mail : ifo@hof-rijlad.l Regiokatore: Groeewoudsedijk

Nadere informatie

Op zoek naar een betaalbare starterswoning? Koop een eigen huis met korting

Op zoek naar een betaalbare starterswoning? Koop een eigen huis met korting Op zoek aar ee betaalbare starterswoig? Koop ee eige huis met kortig Op zoek aar ee betaalbare starterswoig? Koop ee eige huis met kortig Pagia Ee eige huis waar u zich helemaal thuis voelt. Dat wil iederee!

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 23 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 23 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eame VWO 200 tijdvak 2 woesdag 23 jui 3.30-6.30 uur wiskude B Bij dit eame hoort ee uitwerkbijlage. Dit eame bestaat uit 7 vrage. Voor dit eame zij maimaal 80 pute te behale. Voor elk vraagummer staat

Nadere informatie

Thermodynamica HWTK PROEFTOETS- AT02 - UITWERKING.doc 1/9

Thermodynamica HWTK PROEFTOETS- AT02 - UITWERKING.doc 1/9 VAK: hermodyamica HWK Set Proeftoets A0 hermodyamica HWK PROEFOES- A0 - UIWERKING.doc /9 DI EERS LEZEN EN VOORZIEN VAN NAAM EN LEERLINGNUMMER! Beschikbare tijd: 00 miute Uw aam:... Klas:... Leerligummer:

Nadere informatie

aan de slag met alex plus

aan de slag met alex plus hadleidig aa de slag met alex plus INHOUD Ileidig 4 1 Alex Plus istallere e ilogge 5 Dowloade e istallere va Alex Plus 5 Ilogge 7 2 Alex Plus i vogelvlucht 8 Stadaard schermidelig 8 Koerse 9 Nieuwe watchlist

Nadere informatie

Overlijden: uw rechten in Duitsland en Nederland

Overlijden: uw rechten in Duitsland en Nederland Regelige e voorzieige CODE 1.1.3.46 Overlijde: uw rechte i Duitslad e Nederlad brochure broe Bureau voor Duitse Zake, www.svb.l/bdz Ihoudsopgave Overlijde Uw rechte i Duitslad e Nederlad Deskudig e betrouwbaar

Nadere informatie

Release Notes: IPROX-CMS 4.2

Release Notes: IPROX-CMS 4.2 Release Notes: IPROX-CMS 4.2 (april 2011) Ileidig IPROX-CMS 4.2 bet circa 50 wijzigige e fixes waar ee aatal omgrijk zij e ee grote impact hebbe op de implemetatie. Door IfoProjects zij moduletests, systeemtests,

Nadere informatie

On line studentenbegeleiding

On line studentenbegeleiding VOORBEELDEN & HOGESCHOOL GENT 1 & 1 O lie studetebegeleidig Titel : Bestaat uit : Uitgever : Cotactpersoo : Productiejaar : Kostprijs : http ://docet.hoget.be/~ep786 of de digitale campuspsycholoog ee

Nadere informatie

Cahiers T 3 Europe Vlaanderen nr. 3. Regressie. Een eerste kennismaking. Bieke Van Deyck

Cahiers T 3 Europe Vlaanderen nr. 3. Regressie. Een eerste kennismaking. Bieke Van Deyck Cahiers T 3 Europe Vlaadere r. 3 Regressie Ee eerste keismakig Bieke Va Deyck Regressie Ee eerste keismakig Bieke Va Deyck Ihoudsopgave HOOFDSTUK : DE BIVARIATE VERDELING A. Probleembeschrijvig B. Het

Nadere informatie

PUBAS, een vernieuwd systeem voor arbeidsbegroting In: Agro Informatica 4 (oktober 1999), p. 25 28.

PUBAS, een vernieuwd systeem voor arbeidsbegroting In: Agro Informatica 4 (oktober 1999), p. 25 28. PUBAS, ee verieuwd systeem voor arbeidsbegrotig I: Agro Iformatica 4 (oktober 999), p. 25 28. Aet Vik, tel. 037-476452 Gerrit Kroeze, tel. 037-476459 Istituut voor Milieu- e Agritechiek, Cluster Systeemkude

Nadere informatie

Eindrapport Leerlingtevredenheidsonderzoek Floracollege Eindexamenklassen 2013

Eindrapport Leerlingtevredenheidsonderzoek Floracollege Eindexamenklassen 2013 Eidrapport Leerligtevredeheidsoderzoek Floracollege Eidexameklasse 2013 Juli 2013 Ihoudsopgave Samevattig 3 Vrage over schoolwerk 5 Vrage over jezelf 6 Vrage over docete 8 Vrage over de metor 11 Vrage

Nadere informatie

betreffende het doorgeven van orders via fax en telefoon

betreffende het doorgeven van orders via fax en telefoon Reglemet Tele-Equity betreffede het doorgeve va orders via fax e telefoo (Retail Cliëte) 02541 Om redee va efficiëtie e selheid ka de Cliët wese om zij orders per fax e/of telefoo aa de Bak over te make.

Nadere informatie

2.6 De Fourierintegraal

2.6 De Fourierintegraal 2.6 De Fourieritegraal We vertrekke va de Fourierreeks i complexe vorm: voor g : [ π,π] C kue we schrijve met g(t) α e it, α 1 Z π g(t)e it dt. 2π π We herschrijve deze formules eerst voor ee fuctie f

Nadere informatie

Wiskundige toepassingen bij Thermodynamica - 1 WISKUNDE. toegepast bij THERMODYNAMICA

Wiskundige toepassingen bij Thermodynamica - 1 WISKUNDE. toegepast bij THERMODYNAMICA iskudige toeassige bij Thermodyamia - ISKUNDE toegeast bij THERMODYNAMICA iskudige toeassige bij Thermodyamia - INTEGRATIETECHNIEKEN Toeassigsvoorbeeld - Het ogeome vermoge va ee omressor Beshouw oderstaad

Nadere informatie