Bevolkingsevolutie en prijsevolutie: rijen en de TI-89

Transcriptie

1 Bevolkigsevolutie e prijsevolutie: rije e de TI-89 Joha Deprez, EHSAL Brussel - K.U. Leuve. Ileidig Deze tekst is bedoeld als keismakig met de symbolische rekemachie TI-89 va Texas Istrumets. We geve gee dorre opsommig va de capaciteite va deze rekemachie, maar 'verpakke' het grootste deel va deze keismakig i ee serie wiskudige probleme die gecetreerd zij rod bevolkigsevolutie e modelle voor de evolutie va de prijs va ee product aar ee evewichtspositie. We zorge dat hierbij zowel de grafisch-umerieke als de symbolische mogelijkhede va de TI-89 aa bod kome. Pas op het eide verruime we de blik ee beetje e verkee we de symbolische mogelijkhede va de TI-89 los va de cotext va bevolkigsevolutie e prijsevolutie. Het zij precies deze symbolische mogelijkhede die het oderscheid vorme tusse de symbolische rekemachies (zoals de TI-89) e de grafische rekemachies (zoals de TI-83). Natuurlijk is het omogelijk om bie het bestek va ee tekst va ee twitigtal bladzijde ee volledig overzicht te geve va alle mogelijkhede va ee rekemachie als de TI-89. Zo otbreke bijvoorbeeld statistische berekeige e berekeige met matrices helemaal i deze tekst. We gaa er va uit dat de lezer helemaal iet vertrouwd is met de TI-89 of ee adere grafische of symbolische rekemachie. Daarom geve we ook heel gedetailleerde aawijzige voor het gebruik va dit reketoestel (misschie tot ergeris va wie ee dergelijke machie wel reeds ka bediee ). Vauit wiskudig stadput hadelt deze tekst over rije die bepaald worde door ee eevoudige recursievergelijkig. Er wordt ekel gebruik gemaakt va wiskude die i het secudair oderwijs voorkomt (vooral leerstof uit de tweede graad: rekekudige e meetkudige rije, vergelijkig va ee rechte, ), maar de recursievergelijkige die we hier bestudere, worde als dusdaig iet i het secudair oderwijs behadeld. 2. Opdracht : bevolkigsevolutie i Litouwe Pagia 2 is ee afdruk va ee iteretpagia met allerlei gegeves i verbad met de bevolkig va Litouwe.. Bepaal m.b.v. deze iformatie het aatal iwoers begi 998 het geboortecijfer i 998 (= aatal geboorte i de loop va het jaar per 000 iwoers i het begi va het jaar) het sterftecijfer i 998 (= aatal overlijdes i de loop va het jaar per 000 iwoers i het begi va het jaar) het aatal iwijkelige i 998 het aatal uitwijkelige i 998

2 2

3 Voor de (kleie) berekeige kut u gebruik make va de TI-89. De aawijzige hieroder kue u helpe bij het bediee va deze rekemachie. Aawijzige voor het gebruik va de TI-89 I deze tekst gaa we er va uit dat bij het begi het geheuge va de rekemachie leeg is e dat de stadaardistellige va kracht zij. Als u gebruik maakt va uw eige toestel moet u zelf beslisse of u al da iet bereid bet het geheuge te wisse e terug te kere aar de stadaardistellige. Als u beslist om dit iet te doe, is het mogelijk dat u hier e daar wat moet afwijke va de aawijzige die gegeve worde. Als u gebruik maakt va ee toestel dat door TI uitgeleed werd, kut u zoder probleme het geheuge va de rekemachie leeg make e terugkere aar de stadaardistellige. Ga hiervoor als volgt tewerk. Zet het toestel aa m.b.v. de toets [ON] (liksoder). Druk op de oraje toets [2d] (R2K, d.w.z. de toets i de eerste kolom va de tweede rij va het toetsebord) e laat ze terug los (bemerk dat oderaa het scherm aageduid wordt dat u deze toets igedrukt heeft), e daara op [MEM] (R8K4; we geve hier aa wat i het oraje liksbove de toets gedrukt is; MEM verwijst atuurlijk aar het Egelse woord 'memory' voor 'geheuge'). U ziet het dialoogvester met als titel 'MEMORY', dat iformatie geeft over het geheuge va de rekemachie. Druk [F] (RK). Nu ziet u ee keuzelijst verschije. Kies voor mogelijkheid ':All' door de toets [] i te drukke. De machie toot u ee ieuw dialoogvester. Bevestig uw keuze voor het heristelle va de machie door op [ENTER] (de blauwe toets rechtsoderaa het toetsebord) te drukke, zoals aagegeve staat oderaa i het dialoogvester. Nadat deze operatie uitgevoerd is, is het mogelijk dat het scherm helemaal zwart of helemaal leeg geworde is. Om het cotrast va het scherm aa te passe, moet u tegelijk op de toets met de groee ruit (R3K) e de toets [+] (R9K5) of [-] (R8K5) drukke. U ziet u het basisscherm va de rekemachie, met boveaa ee meubalk, i het midde de plaats waar i- e uitvoer bijgehoude zulle worde, daaroder de ivoerregel e helemaal oderaa ee regel waarop allerlei aaduidige voorkome. Om berekeige te make, typt u de berekeig eerst helemaal i op de ivoerregel. Als u op [ENTER] drukt, wordt de berekeig uitgevoerd e wordt de ivoer tezame met het resultaat op het grote middegedeelte va het basisscherm geplaatst. 2. Cotroleer het cijfer dat gegeve wordt voor de bevolkig i het begi va 999. Veroderstel u dat het geboortecijfer, het sterftecijfer, het aatal iwijkelige e het aatal uitwijkelige costat blijve vaaf 998. (De iformatie toot dat dit iet het geval was i het verlede, maar om voorspellige te make, moete we i elk geval bepaalde veroderstellige make ). 3. Voorspel het aatal iwoers begi 2000 e begi 200. Noem u het aatal iwoers bij het begi va het jaar (waarbij ee atuurlijk getal is). Vauit wiskudig oogput vorme de getalle u ee rij. 4. Druk u uit i fuctie va u (i de wiskude wordt zo' formule die ee term va ee rij uitdrukt i fuctie va de voorgaade term(e) ee recursievergelijkig geoemd). Voer deze formule ook i op de rekemachie (de aawijzige hieroder kue u hierbij helpe). Aawijzige voor het gebruik va de TI-89 Stel de machie eerst i op het werke met rije. Druk hiervoor eerst [MODE] (R4K2). Da verschijt het dialoogvester met titel 'MODE'. Op de eerste lij va dit scherm ziet u het veld 3

4 'Graph' met als ihoud 'FUNCTION'. Het pijltje dat uiterst rechts staat, wijst er op dat u ee keuzelijst kut oproepe door op de toets [pijl rechts] (zie het groepje va vier toetse rechtsboveaa het toetsebord) te drukke. Doe dit. Kies hieri de mogelijkheid '4:SEQUENCE' (door [4] te drukke). De keuzelijst verdwijt e de ihoud va het veld 'Graph' is veraderd i 'SEQUENCE'. Bevestig het dialoogvester 'MODE' door op [ENTER] te drukke (cfr. de aawijzige oderaa het dialoogvester). Bemerk dat helemaal oderaa het basisscherm aageduid wordt dat de machie igesteld is op het werke met rije. Ope u de vergelijkigseditor door eerst de toets met de groee ruit i te drukke e daara [Y=] (RK). Druk op [ENTER] om de cursor aar de ivoerregel oderaa het scherm te verplaatse. U ziet dat daar al 'u()=' staat. Vul rechts va het gelijkheidsteke aa met ' *u(-)+576'. De letters 'u' e '' krijgt u door eerst op de paarse toets [alpha] (R3K2) te drukke e vervolges op [U], respectievelijk [N] (aageduid i het paars rechts bove de toets). De meeste letters kome i alfabetische volgorde voor op het klavier, met uitzoderig va ekele (i de wiskude) veel gebruikte letters, amelijk x, y, z e t. Deze letters zij gegroepeerd op de vijfde rij va het toetsebord e voor deze letters is het iet odig de [alfa]-toets te gebruike. Bevestig wat u op de ivoerregel getypt hebt met [ENTER]. De igetypte recursievergelijkig is u i de lijst opgeome als recursievergelijkig voor de rij met aam 'u'. De cursor is aar de tweede lij i de lijst verplaatst, waar 'ui' aagegeve staat. Deze lij hoort dus ook og bij de rij u e moet de begiwaarde va de rij geve (de letter 'i' verwijst aar het Egelse 'iitial value' voor 'begiwaarde'). Verplaats de cursor weer aar de ivoerregel met [ENTER], vul de begiwaarde i e bevestig met [ENTER]. U moet tot slot og aageve dat de begiterm va de rij ragummer 0 e iet heeft. Ope hiervoor de tekevestereditor door eerst op de toets met de groee ruit te drukke e daara op [WINDOW] (RK2). De cursor staat op de lij va de variabele 'mi'. Verader de waarde va deze variabele va i 0 door '0' te type. 5. Cotroleer de gegeve 'begiwaarde' e de atwoorde op de vrage 2 e 3. Bereke het aatal iwoers bij het begi va 2008, va 208, va 2048, Aawijzige voor het gebruik va de TI-89 Keer terug aar het basisscherm door de toets [HOME] i te drukke. U kut u i het basisscherm berekeige make met de rij die u daaret igevoerd hebt. Als u bijvoorbeeld 'u()' typt, krijgt u het aatal iwoers bij het begi va Oderzoek (door berekeige te make, ee grafiek te tekee, ) hoe de bevolkig evolueert. De aawijzige hieroder kue u hierbij helpe. Vertel iet allee iets over het aatal iwoers zelf, maar ook over de verschille tusse opeevolgede iwoersaatalle. Kut u ook iets zegge over het aatal iwoers op zeer lage termij? Aawijzige voor het gebruik va de TI-89 Berekeige kut u make op het basisscherm, maar het is ook mogelijk om de rekemachie ee tabel te late opstelle: druk op de toets met de groee ruit e vervolges op [TABLE] (RK5). Er verschijt ee tabel met waarde voor e de bijbehorede waarde voor u(). Het eerste vakje va de eerste kolom is geselecteerd (u merkt dat het op ee adere maier weergegeve is: witte cijfers op ee dokere achtergrod). Met de pijltjestoetse (rechtsboveaa het toetsebord) kut u de selectie verplaatse. Als u ee vakje uit de tweede kolom selecteert, wordt de ihoud met ee grotere precisie getood op de ivoerregel. U kut de bevolkigsaatalle voor grotere waarde va late berekee 4

5 door de selectie met de pijltjestoets verder aar oder te verplaatse. U kut ee hele 'pagia' iees aar bove of aar oder gaa door eerst op de oraje toets [2d] te drukke e daara op de pijltjestoets. De rekemachie ka ee grafiek va de rij make. Op de horizotale as wordt uitgezet e op de verticale as wordt u uitgezet. U moet eerst ee gepast tekevester istelle (d.w.z. dat u de rechthoek moet afbakee waarbie geteked zal worde) m.b.v. de tekevestereditor (die u al eerder gebruikt heeft om het ragummer va de begiterm i te stelle). Pas desgewest de volgede variabele aa (e wijzig de overige variabele iet): max (het ragummer va de laatste term die bereked zal worde) xmi (geeft de likerrad aa va de 'rechthoek' die getood wordt; omdat hier de rol va x speelt, bepaalt xmi dus de miimale waarde va die geteked zal worde) xmax (geeft de rechterrad aa va de 'rechthoek' die getood wordt e bepaalt hier dus de maximale waarde va die geteked zal worde) xscl (geeft de afstad aa tusse twee opeevolgede 'streepjes' op de horizotale as) ymi (geeft de oderrad aa va de 'rechthoek' die getood wordt) ymax (geeft de boverad aa va de 'rechthoek' die getood wordt) yscl (geeft de afstad aa tusse twee opeevolgede 'streepjes' op de verticale as) Als u geschikte waarde igesteld heeft, drukt u op de toets met de groee ruit, gevolgd door [GRAPH] (RK3). De rekemachie stelt de terme va de rij da grafisch voor. Als u bij ader izie iet tevrede bet met het gekoze tekevester, keert u terug aar de tekevestereditor e past u de bovestaade variabele aa. Om de verschille tusse opeevolgede terme te aalysere, kut u vauit het basisscherm ee ieuwe rij defiiëre. Ga daarbij als volgt tewerk. Kies de optie 'Other' uit de meubalk boveaa het scherm door [F4] (RK4) i te drukke. Er verschijt ee keuzelijst. Kies hieruit ':Defie'. De machie voegt de tekst 'Defie ' i op de ivoerregel. Vul aa met 'v()=u(+)-u()'. Op deze maier defiieert u ee rij v waarva elke term het verschil is tusse twee opeevolgede terme va de rij u (of, zoals de rij door de rekemachie geked is: u). 5

6 3. Opdracht 2: prijsevolutie De prijs va graa veradert va jaar tot jaar. Veroderstel dat de prijs i jaar voorgesteld wordt door p. De getalle p vorme ee rij. We make ee aatal veroderstellige omtret deze rij. De hoeveelheid graa die door de cosumete gevraagd wordt i jaar stelle we voor door v. Hoeveel graa er precies gevraagd wordt, hagt af va de prijs va het graa: hoe hoger de prijs, hoe mider er verkocht zal worde. We veroderstelle dat het verbad tusse de gevraagde hoeveelheid e de prijs gegeve wordt door v = 50 5 p. De hoeveelheid graa die door de producete aagebode wordt i jaar stelle we voor door a. Hoeveel graa er precies aagebode wordt, hagt af va de prijs va het graa: hoe hoger de prijs, hoe meer producete geeigd zulle zij graa te verbouwe. Echter, de producet moet de beslissig om graa te tele reeds eme éé jaar vóór het graa op de markt aagebode ka worde. Dit beteket dat de aagebode hoeveelheid i jaar bepaald wordt door de prijs i jaar. We veroderstelle dat het verbad tusse het aabod e de prijs gegeve wordt door a = p. We veroderstelle verder dat de prijs i het begi (d.w.z. i jaar 0) 30 geldeehede bedraagt.. Bepaal de aagebode hoeveelheid i jaar. We veroderstelle tot slot dat de producete gee voorraad va graa aalegge, maar itegedeel al hu graa wille verkope, desoods tege ee lagere prijs da die va het jaar voordie e, wie weet, misschie zelfs tege ee hogere prijs da het jaar voordie. 2. Bepaal u de prijs va het graa i jaar zo dat de volledige aagebode hoeveelheid ee afemer vidt. 3. Bepaal de aagebode hoeveelheid e de prijs i jaar Druk p uit i fuctie va p e voer de verkrege recursievergelijkig i op de TI-89 voor de rij u2. 5. Oderzoek m.b.v. de rekemachie (door berekeige te make, door de rij grafisch voor te stelle, ) hoe de terme va de rij evoluere. Vertel iet allee iets over de prijze zelf, maar ook over de verschille tusse opeevolgede prijze. Kut u ook iets zegge over de prijs op zeer lage termij? Aawijzige voor het gebruik va de TI-89 I vraag 5 moet u ekel met de rij u2 werke. U kut zorge dat de adere rij u tijdelijk geegeerd wordt. Verplaats (i de vergelijkigseditor) de selectie aar de lij waar u staat e druk op [F4]. Het 'vikje' bij de rij u verdwijt da. Op het ogeblik dat u opieuw met de rij u west te werke, doet u et hetzelfde als daaret om het 'vikje' er terug te plaatse. 6

7 4. Opdracht 3: prijsevolutie (bis) We oderzoeke u ee ader model voor prijsevolutie. Er zij ook producte waarbij de aagebode hoeveelheid iet gebaseerd is op de prijs va het jaar (of de maad, week, dag, ) voordie, maar op de prijs va het ogeblik zelf. Veroderstel dat de gevraagde e de aagebode hoeveelheid i jaar bepaald worde door de prijs i jaar door de volgede vergelijkige: v = 50 5 p e a = p We gaa er weer va uit dat de prijs i jaar 0 gegeve wordt door 30.. Bepaal de gevraagde e de aagebode hoeveelheid i jaar 0. We stelle vast dat er ee serieus overschot is. Om ee evewicht te bereike, zoude we de prijs moete verlage. We zulle de prijs echter iet aapasse i jaar 0, maar i jaar, volges de volgede formule: p = p ( v0 a0 ). Deze formule toot os dat de veraderig i prijs everedig is met het verschil tusse vraag e aabod. Is de vraag hoger da het aabod, da wordt de prijs verhoogd. Is daaretege de vraag lager da het aabod, da wordt de prijs verlaagd. 2. Bereke de prijs i jaar. 3. Bepaal de gevraagde e de aagebode hoeveelheid i jaar. 4. Bereke ee aagepaste prijs voor jaar 2, waarbij je gebruik maakt va ee aaloge formule als hierbove. 5. Druk p uit i fuctie va p e voer deze recursievergelijkig i op de TI-89 als recursievergelijkig voor de rij u3. 6. Oderzoek m.b.v. de rekemachie (door berekeige te make, door de rij grafisch voor te stelle, ) hoe de terme va de rij evoluere. Vertel iet allee iets over de prijze zelf, maak ook over de verschille tusse opeevolgede prijze. Kut u ook iets zegge over de prijs op zeer lage termij? 5. Opdracht 4: bevolkigsevolutie i Vlaadere De volgede figuur is ee kopie uit de brochure 'Profiel Vlaadere 998' (uitgegeve door het miisterie va de Vlaamse Gemeeschap) e toot allerlei gegeves i verbad met de bevolkig va Vlaadere. Maak gebruik va de cijfers va 996 om ee model op te stelle voor de evolutie va de Vlaamse bevolkig, waarbij je rekeig houdt met geboorte, sterfte e i- e uitwijkig e beschrijf de evolutie va de Vlaamse bevolkig volges dat model. 7

8 6. Sythese: lieaire e expoetiële groei gecombieerd Twee heel bekede groeimodelle zij lieaire e expoetiële groei. We bekijke ze eerst og eve va aderbij. Lieaire groei wordt gekemerkt door het feit dat de bestudeerde grootheid over elke tijdseeheid met ee vaste waarde b toeeemt (als b ook egatief mag zij, krijge we aast lieaire toeame ook lieaire afame). We kue dit ook als volgt uitdrukke: de waarde va de bestudeerde grootheid op tijdstip is gelijk aa de waarde erva op tijdstip plus b. Als we de waarde va de bestudeerde grootheid op tijdstip voorstelle door u, geeft dit de recursievergelijkig u = u + b. De rij die gevormd wordt door de opeevolgede waarde va de bestudeerde grootheid is de rekekudige rij u = u 0 + b (waarbij u 0 de begiwaarde va de grootheid is). We kue dezelfde formule ook gebruike als de tijd iet ekel gehele waarde aaeemt. Met t i.p.v. krijge we da de eerstegraadsfuctie u = u 0 + bt. We kue expoetiële groei op ee gelijkaardige maier bekijke. Expoetiële groei wordt gekemerkt door het feit dat de bestudeerde grootheid over elke tijdseeheid vermeigvuldigd wordt met ee vaste factor a. (Als a groter is da, eemt de grootheid toe, als a tusse 0 e gelege is, eemt de grootheid af.) We kue dit ook als volgt uitdrukke: de waarde va de bestudeerde grootheid op tijdstip is gelijk aa de waarde erva op tijdstip maal a. De recursievergelijkig wordt u: u = a u. De rij die gevormd wordt door de opeevolgede waarde va de bestudeerde grootheid is de meetkudige rij u = u 0 a (waarbij u 0 de begiwaarde va de grootheid is). We kue dezelfde formule ook gebruike als de tijd iet ekel gehele waarde aaeemt. Met t i.p.v. t krijge we da de expoetiële fuctie u = u 0 a. De groeiprocesse die we i de voorgaade opdrachte bestudeerd hebbe, worde beschreve door ee recursievergelijkig die i zekere zi ee combiatie is va de recursievergelijkige voor lieaire 8

9 e expoetiële groei: u = a u + b. I de eerste opdracht bijvoorbeeld is er zowel sprake va ee vaste toeame (i- e uitwijkig) als va ee veraderig die everedig is met de waarde va de voorgaade term (geboorte e sterfte). I de tweede opdracht merke we dat het getal a ook egatief ka zij (dit was iet het geval bij expoetiële groei). De voorgaade opdrachte hebbe late zie dat er heel wat mogelijkhede zij voor de evolutie va de terme va de rije die door dergelijke recursievergelijkige beschreve worde: opdracht : vertraagd daled, gee duidelijkheid omtret de limietwaarde opdracht 2: gedempt schommeled, eidige limietwaarde opdracht 3: vertraagd daled, eidige limietwaarde opdracht 4: verseld stijged, oeidige limietwaarde I het vervolg va deze tekst probere we meer izicht te krijge i het verloop va de rije die bepaald worde door ee recursievergelijkig va de vorm u = a u b. + Vauit het oogput va het werke met de rekemachie heeft u i de voorgaade opdrachte gewerkt met de mogelijkhede va de TI-89 die betrekkig hebbe op het defiiëre va recursief bepaalde rije, het rekee ermee (op het basisscherm e m.b.v. tabelle) e het grafisch voorstelle erva. Alles wat aa bod gekome is, ka ook met ee TI-92 uitgevoerd worde e bija alles met ee TI Spiewebdiagramme I de voorgaade paragrafe heeft u wellicht ee grafische voorstellig gemaakt va de rije die bestudeerd werde. Nu make we keis met ee adere grafische voorstellig va ee recursief bepaalde rij. We werke dit uit voor het prijsmodel uit opdracht 2 m.b.v. de TI-89. We opee de vergelijkigseditor e zorge ervoor dat ekel de rij u2 geselecteerd is. We kieze de optie 'Axes' uit de meubalk boveaa door de oraje toets [2d] i te drukke, gevolgd door [F7]. Op het scherm verschijt het dialoogvester 'AXES'. We roepe de keuzelijst op va het veld 'Axes' door op [pijltje aar rechts] te drukke e kieze mogelijkheid '2:WEB'. I het dialoogvester veradert iet allee de ihoud va het veld 'Axes', maar verschijt er ook ee ieuw veld, amelijk 'Build Web'. De ihoud va dit veld ('TRACE') veradere we iet. We bevestige de ihoud va dit dialoogvester met [ENTER]. We stelle u het tekevester i. I oze ieuwe grafische voorstellig zal de grootte va de terme zowel op de horizotale als op de verticale as af te leze zij (dit lijkt ee beetje vreemd, maar het zal verderop duidelijk worde). Dit geeft os ee idicatie voor de miimale e maximale x- e y-waarde. We moete hier bovedie ee assestelsel kieze waarbij de eehede op beide asse eve groot zij. We gaa hier iet i op de maier waarop me dit ka verkrijge. Ee geschikte keuze wordt gegeve door de oderstaade schermafdruk. 9

10 We late de machie met deze gegeves e istellige ee grafiek make e drukke hiervoor eerst op de toets met de groee ruit e vervolges op [GRAPH]. We bemerke dat de TI-89 twee rechte geteked heeft. De ee rechte is de eerste bissectrice. De adere rechte heeft vergelijkig y= 0.8x De vergelijkig va deze rechte is gebaseerd op de recursievergelijkig: u is vervage door y e u is vervage door x! We drukke u de toets [F3] i (op de meubalk boveaa zie we dat dit beteket dat we de TRACE-modus ischakele; het Egelse woord 'trace' beteket 'spoor'). Op het scherm zij u drie getalle verschee e we zie ee kipperede cursor. De getalle die met 'xc' e 'yc' aagegeve zij, zij de x- e y-coördiaat va de cursor. We bemerke dat de x-coördiaat va de cursor de begiwaarde is va de prijs. Het aageduide put heeft dus betrekkig op de begiterm va de rij. Dit verklaart waarom het getal dat met 'c' aagegeve is de waarde 0 heeft. We drukke u op de toets [pijltje aar rechts]. We zie dat de cursor verticaal verplaatst is e u op dalede rechte staat. Er is ee verticaal lijstukje geteked dat de oude e de ieuwe positie va de cursor met elkaar verbidt. De y-coördiaat va de cursor, amelijk 2, is y-waarde die overeekomt met de x- waarde 30 volges de vergelijkig va de dalede rechte. Omdat de vergelijkig va deze 0

11 rechte gebaseerd is op de recursievergelijkig, is 2 teves de prijs op tijdstip. We stelle vast dat 'c' iderdaad gelijk is aa. We drukke u ogmaals op de toets [pijltje aar rechts]. De cursor is u horizotaal verplaatst tot op de eerste bissectrice e de figuur is aagevuld met ee horizotaal lijstukje. De waarde va 'c' is iet veraderd. Beide coördiaatgetalle va de cursor zij u gelijk aa 2, de waarde va de prijs op tijdstip. We drukke ogmaals op de toets met het pijltje aar rechts. De cursor is u weer verticaal verplaatst tot op de dalede rechte. Nu is de y-coördiaat va de cursor gelijk aa de waarde va de prijs op tijdstip 2. Zo blijve we verder gaa. De veelhoekslij die gevormd wordt door de verticale e horizotale lijstukjes is ee soort spiraal. De spiraal e de rechte vorme tezame (met wat fatasie) ee spieweb. Daarom oeme we deze alteratieve grafische voorstellig va de rij ee spiewebdiagram. Met behulp va de toetse [pijltje aar rechts] e [pijltje aar liks] kue we voor- e achteruit gaa i de rij. De x-waarde die overeekome met de verticale lijstukjes geve de terme va de rij aa. (We kue (bija) eve goed zegge dat de y-waarde die overeekome met de horizotale lijstukjes de terme va de rij aageve; we misse op deze maier allee de begiterm.) De kemerke va het

12 verloop va de rij die we i opdracht 2 otmoet hebbe, kue we ook uit het spiewebdiagram afleze: we zie i dat de prijs afwisseled toe- e afeemt omdat de veelhoekslij afwisseled aar liks e aar rechts gaat, m.a.w. de prijs schommelt; we zie i dat de prijsschommelige steeds kleier worde omdat de spiraal zich sluit; we zie i dat de prijs zich op lage termij stabiliseert rod de waarde 20 omdat de spiraal zich sluit rod het put met coördiaat (20, 20), het sijput va de twee rechte. Alles wat i deze paragraaf aa bod gekome is, ka uitgevoerd worde op ee TI-92 of ee TI Opdracht 5: spiewebdiagramme. Maak ee spiewebdiagram voor het eerste prijsmodel (zoals i paragraaf 7), maar eem als begiwaarde voor de prijs 0 i.p.v. 30. Wat stelt u vast i.v.m. de limietwaarde va de prijs? 2. Maak ee spiewebdiagram voor de evolutie va de bevolkig va Litouwe. De aawijzige hieroder kue u helpe bij het gebruik va de TI-89. Verklaar hoe u hier kut zie dat het aatal iwoers vertraagd daalt. Geef u ook ee atwoord op de vraag aar het aatal iwoers op lage termij. Aawijzige voor het gebruik va de TI-89 Ee eerste moeilijkheid ligt i het kieze va ee assestelsel waarbij de eehede op de asse eve groot zij. U kut hierbij bijvoorbeeld als volgt tewerk gaa. Vul voor ymi, ymax e yscl gepaste waarde i (b.v. ymi = , ymax = , yscl = ) e vul voor xmi, xmax e xscl dezelfde waarde i. Omdat het scherm va de rekemachie ee rechthoek is waarva de breedte groter is da de hoogte, zal de eeheid op de horizotale as groter zij da die op de verticale as. We kue de TI-89 het opgegeve tekevester echter automatisch late aapasse zo dat we wel ee assestelsel krijge waarbij de eehede op de asse eve groot zij: druk op [F2: Zoom] e kies i de keuzelijst mogelijkheid '5:ZoomSqr' (de letters 'Sqr' verwijze aar het Egelse woord 'square' voor 'vierkat'). De TI-89 past de waarde va xmi e xmax aa e teket de gevraagde grafiek. (U kut cotrolere dat de waarde va xmi e xmax iderdaad aagepast is door terug te kere aar de tekevestereditor.) Ee volgede moeilijkheid die optreedt, is dat beide rechte hier ageoeg samevalle. Los dit probleem op door i te zoome op het deel va het tekevester dat hier va belag is. Dit beteket dat u ee klei stukje va het aavakelijke tekevester moet uitvergrote. Ga hierbij als volgt tewerk. Pas eerst de uitvergrootfactore aa: druk op [F2: Zoom]; verplaats vervolges de selectie i de keuzelijst aar oder tot u de keuzemogelijkheid 'C:SetFactors ' ziet m.b.v. de toets [pijltje aar oder]; kies da voor deze mogelijkheid door [alpha], [C] te drukke; vul i de velde 'xfact' e 'yfact' 0 i e bevestig m.b.v. [ENTER]. Plaats de cursor vervolges boveaa het eerste verticale lijtje va de veelhoekslij (gebruik [F3: Trace] e de toetse [pijltje aar rechts] e [pijltje aar liks]). Druk u op [F2:Zoom], kies [2:ZoomI] e aavaard het voorstel voor het midde va het ieuwe tekevester door op [ENTER] te drukke. De TI-89 maakt ee ieuwe tekeig. Evetueel moet u het tekevester ogmaals uitvergrote. De uitvergrootfactore hoeft u iet opieuw i te stelle. Plaats de cursor m.b.v. [F3] e de toets [pijltje aar rechts] wel eerst weer boveaa het eerste verticale lijstukje va de veelhoekslij. 2

13 Als u ee geschikt tekevester gevode heeft, kut u het spiewebdiagram opbouwe m.b.v. [F3:Trace] e [pijltje aar rechts]. Om de limietwaarde te bepale, moet u ee stelsel oplosse. Dit kut u als volgt door de TI- 89 late doe. Ga aar het basisscherm. Druk [F2:Algebra] e kies ':solve('. Vul aa met 'y=x ad y= *x+576,{x,y})'. Het gelijkheidsteke vidt u op R6K. Om ee blaco i te voege, moet u gebruik make va het 'gootje' (i het paars rechtsbove R0K4). Laat het commado uitvoere door op [ENTER] te drukke. 9. Opdracht 6. Kut u de gegeves (vraagvergelijkig, aabodvergelijkig, begiwaarde) voor het prijsmodel uit opdracht 2 aapasse zo dat de prijs a. 40 als limietwaarde heeft i.p.v. 20? b. iet meer gedempt schommeled verloopt? 2. Maak ee spiewebdiagram voor het tweede prijsmodel (d.w.z. het prijsmodel uit opdracht 3). 3. Kut u de gegeves uit dit prijsmodel (vraagvergelijkig, aabodvergelijkig, begiwaarde) aapasse zo dat de prijs a. stijged verloopt i.p.v. daled? b. 40 als limietwaarde heeft i.p.v. 20? c. verseld stijged verloopt? 4. Maak ee spiewebdiagram voor de evolutie va de Vlaamse bevolkig. 5. Ee rij met begiwaarde u 0 wordt bepaald door ee recusievergelijkig va de vorm u = a u + b (waarbij a e b getalle zij e a verschilled is va 0). Bespreek de mogelijkhede voor het verloop va de rij. 0. Ee formule voor u i fuctie va Om vrage als i welk jaar zal Litouwe voor het eerst mider da iwoers telle? vaaf waeer zulle de prijsschommelige mider da eeheid bedrage? te beatwoorde, schiete de hulpmiddele uit de voorgaade paragrafe tekort. We stelle u, met de hulp va de TI-89, ee formule op voor de algemee term va de rije die we bestudeerd hebbe. We gaa hierbij heel algemee tewerk: we vertrekke va ee rij met begiwaarde u 0 die bepaald wordt door ee recursievergelijkig va de vorm u = a u + b (waarbij u 0, a e b getalle zij e a verschilled is va 0). We specificere de begiwaarde u 0 e de coëffciëte a e b iet. We defiiëre de rij u aa de had va de volgede recursieve defiitie: u u 0 = a u + b als = 0 als 0 We voere deze defiitie als volgt i via het basisscherm va de TI-89: Defie u()=whe(=0,u0,a*u( )+b) 3

14 (gebruik [F4:Other], [:Defie] om 'Defie ' door de machie te late ivoege). We berekee u(0), u(), u(2) e u(3). We bemerke ee zeker patroo i de resultate e op grod daarva begrijpe we dat u = a u ( a + a a + a + ) b. We late de som die tusse de haakjes staat door de TI-89 berekee. We drukke hiervoor op [F3:Calc], [4:Σ( sum] e vulle aa met 'a^i,i,0, )'. De uitdrukkig die de rekemachie os geeft, is slechts geldig als a (daar moete we dus zelf op lette!). De verkrege uitdrukkig vermeigvuldige we met b e we telle er a u 0 bij. (We type eerst het vermeigvuldigigsteke. De TI-89 voegt vóór het vermeigvuldigigsteke 'as()' i, wat staat voor het laatst verkrege resultaat). Zo krijge we ee formule die u uitdrukt i fuctie va : b = + u a (op voorwaarde dat a ). We aalysere deze formule: u 0 a b a 4

15 Het rechterlid bevat twee terme. Aagezie a e b gegeve getalle zij, is de tweede term costat. Omdat u 0 ee gegeve getal is, is ook de uitdrukkig tusse de haakjes costat. De eerste term bepaalt dus ee meetkudige rij. Als we ee adere begiwaarde eme, veradert allee de costate factor i de eerste term. Alle rije die voldoe aa de recursievergelijkig zij dus va de vorm b u = C a, a waarbij C ee getal is. Alle rije die aa de recursievergelijkig voldoe (dus met de 'obepaalde costate' C eri), vorme de algemee oplossig va de recursievergelijkig. De ee rij die aa de recursievergelijkig voldoet e bovedie de goede begiwaarde heeft, wordt ee particuliere oplossig va de recursievergelijkig geoemd. De berekeige die we i deze paragraaf gemaakt hebbe, zij symbolische berekeige. Ze kue ook met de TI-92 uitgevoerd worde omdat de TI-92 (et als de TI-89) ee symbolische rekemachie is, maar ze kue iet uitgevoerd worde met de TI-83 omdat de TI-83 slechts ee grafische rekemachie is.. Opdracht 7. Stel ee formule op voor het aatal iwoers va Litouwe i fuctie va het ragummer va het jaar. Gebruik de TI-89 om te bepale waeer het aatal iwoers voor het eerst mider da bedraagt. (voor hulp bij het oplosse va ee vergelijkig m.b.v. de TI-89, zie opdracht 5; omdat er u maar éé variabele bepaald moet worde, zij er gee accolades odig). 2. Stel ee formule op voor de prijs i fuctie va het tijdstip voor het eerste prijsmodel (cfr. opdracht 2). Gebruik de TI-89 om te bepale vaaf waeer de prijs mider da eeheid schommelt. Aawijzige voor het gebruik va de TI-89 De fuctie 'absolute waarde' vidt u door eerst het MATH-meu op te roepe (zie de oraje aaduidig liks bove R8K3); hieri ':Number' te kieze e vervolges '2:abs(' te kieze. 2. Opdracht 8: bepaalde itegraal e som De figuur hieroder toot de grafiek va de fuctie y = x e ee grijs gebied dat begresd wordt door de grafiek va deze fuctie, de horizotale as e ee verticale rechte. Bereke m.b.v. de volgede opdrachte de oppervlakte va het grijze gebied. 2 Y X 5