1) Complexe getallen - definitie

Transcriptie

1 Complexe getalle

2 ) Complexe getalle - defiitie a) Meetkudige betekeis va het getal i Als je ee reëel getal met ee ader reëel getal vermeigvuldigt, wordt zij afstad tot de oorsprog met dit getal vermeigvuldigd (zo wordt a vermeigvuldigig met 3 het getal 6) Als je ee reëel getal met - vermeigvuldigt, da voer je eigelijk ee draaiig va 8 uit te opzichte va de oorsprog (zo wordt a vermeigvuldigig met - het getal -) I deze cotext ee vierkatswortel eme, wil dus zegge dat je op zoek gaat aar ee meetkudige trasformatie die a tweemaal uitvoere terug de oorsprokelijke trasformatie geeft I het geval va vermeigvuldige met ee positief getal is dit eevoudig i te zie Als je bijvoorbeeld het getal, tweemaal a elkaar met 3 vermeigvuldigt, da krijg je ook 6 We kue de redeerig echter ook doortrekke aar de egatieve getalle Welke trasformatie moet je tweemaal uitvoere om ee draaiig va 8 uit te voere? Juist, ee draaiig va 9 (i welke zi maakt iet uit) Notere we de draaiig va 9 i tegewijzerzi als i, da hebbe we dus dat rii ri r ( ) = =, of dus og i =! Maar waar ligt dit ieuwe getal da? Alleszis iet meer op de reële as We voere daarom ee ieuwe as i, loodrecht op de reële as, die we de imagiaire as I zulle oeme Op de figuur hieraast zie je bijvoorbeeld waar het getal i ligt b) De complexe getalle We gaa u og ee stapje verder e defiiëre de complexe getalle als de getalle va de vorm z = a+ bi, met ab R, De verzamelig va al deze getalle otere we met C I symbole defiiëre we dus = { a+ bi ab, ; i = } Het is hierbij omiddellijk duidelijk dat C R R C (eem i de defiitie b= ) Cursus complexe getalle - - S Mettepeige

3 Ook deze getalle kue we op logische maier afbeelde i het complexe vlak, opgebouwd uit de reële as R e de imagiaire as als I Hieraast zie je ekele voorbeelde Getalle op de reële as oeme we strikt reëel (bvb ) Getalle op de imagiaire as oeme we strikt imagiair (bvb i ) Het reële deel va ee complex getal z otere we met Re( z ) Het imagiaire deel otere we met Im( z ) Zo is bijvoorbeeld Re( 3+ i) = 3 e ( i) Im 3+ = Per defiitie geldt dus : z C : z = Re ( z) + iim( z) ) Bewerkige met complexe getalle a) Defiitie va de basisbewerkige We probere op atuurlijk wijze de 4 basisbewerkige i te voere voor de complexe getalle z = a+ bi e z = c+ di, met dus abcd R,,, We gaa er bij de delig va uit dat z, dus c e d zij da iet beide ul De optellig: ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) a bi c di a c b d i R R ( z + z ) = ( z ) + ( z ) e Im( z z ) Im( z ) Im( z ) Re Re Re De aftrekkig: ( + ) ( + ) = ( ) + ( ) a bi c di a c b d i R R + = + ( z z ) = ( z ) ( z ) e Im( z z ) Im( z ) Im( z ) Re Re Re De vermeigvuldigig: ( )( ) = = ( ) ( ) a+ bi c+ di = ac+ adi+ bci+ bdi = ac bd + ad + bc i ( z z ) = ( z ) ( z ) Im ( z )Im( z ) e Im ( z z ) Re ( z )Im( z ) Im ( z )Re( z ) Re Re Re R R = + De delig: = a+ bi a+ bi c di ac adi+ bci bdi ac+ bd bc ad = = = + i c+ di c+ di c di c d i c + d c + d = R R ( z) ( z) + Im ( z) Im( z) Re( ) + Im z Re Re Re = z z z ( ) ( ( )) e ( z) ( z) Re ( z) Im( z) Re( ) + Im z Im Re Im = z z z ( ) ( ( )) Cursus complexe getalle S Mettepeige

4 Cursus complexe getalle S Mettepeige

5 Dat elk va ul verschilled complex getal ee omgekeerde heeft is ook duidelijk, wat: a bi a bi z C : z = = = = ( z a + b ) z a+ bi a+ bi a bi a + b ( )( ) Met adere woorde: de som, het verschil, het product e het quotiët va twee complexe getalle is og steeds ee complex getal Je hoeft deze rekeregels zeker iet te blokke Rekee met complexe getalle gaat op volledig dezelfde maier als bij reële getalle, waarbij je simpelweg i je achterhoofd houdt dat i = b) De structuur va de complexe getalle Stellig: C,+ is ee commutatieve groep Bewijs: Het is duidelijk dat de vijf kemerkede eigeschappe va ee commutatieve groep gelde: z, z C: z + z C (de complexe optellig is iter) ) ) z, z, z :( z + z ) + z = z + ( z + z ) C (de complexe optellig is associatief) ) z C : z+ = + z = z ( is het eutraal elemet va de complexe optellig) z C: z C : z+ z = z+ z = (elk complex getal heeft ee tegegestelde) 4) ( ) z, z C : z + z = z + z (de complexe optellig is commutatief) 5) Stellig: C, is ee commutatieve groep Bewijs: Ook hier gelde de vijf kemerkede eigeschappe va ee commutatieve groep: z, z C: z z C (de complexe vermeigvuldigig is iter) 6) 7) z, z, z :( z z ) z = z ( z z ) C (de complexe vermeigvuldigig is associatief) ) z C : z= z = z ( is het eutraal elemet va de complexe vermeigvuldigig) 9) z C : z= z = ( is het opslorped elemet va de complexe vermeigvuldigig) ) z C : z C : zz = z z = (elk complex getal heeft ee omgekeerde) z, z C : z z = z z (de complexe vermeigvuldigig is commutatief) ) (merk op dat ekel bij eigeschap 4 de verzamelig moet beperkt worde tot C ) Stellig: C, +, is ee veld Bewijs: We wete al dat C,+ e C, commutatieve groepe zij Daaraast geldt ook og: ) z z z C ( ),, : = z z + z = z z + z z (de complexe vermeigvuldigig is distributief te opzichte va de complexe optellig) Belagrijke opmerkig: Het is omogelijk om op de complexe getalle ee orde te defiiëre Ogelijkhede bij complexe getalle hebbe da ook gee ekele zi Cursus complexe getalle S Mettepeige

6 c) De complex toegevoegde De complex toegevoegde (of gecojugeerde) va ee complex getal z, otere we met z Dit is het complex getal met hetzelfde reële deel, maar tegegesteld imagiair deel, dus a+ bi = a bi Meetkudig komt dit eer op ee spiegelig om de reële as Eigeschap : z C : z = z Bewijs: z = a+ bi = a bi = a+ bi = z Eigeschap : z C : z+ z = z + z z + z = a+ bi+ c+ di= a+ c + b+ d i= a+ c b+ d i = a bi+ c di= z + z Bewijs: ( ) ( ) ( ) ( ) Eigeschap 3: z C : z z = z z Bewijs: z z = ( + )( + ) = ( ) + ( + ) = ( ) ( + ) a bi c di ac bd bc ad i ac bd bc ad i ( a bi) ( c di) z z = = Eigeschap 4: z C: z+ z R Bewijs: z+ z = a+ bi+ a bi = a R Eigeschap 5: z : zz C R Bewijs: ( ) ( ) d) Machte e vierkatswortels va complexe getalle Machte zz = a+ bi a bi = a + b R Ee gehele macht va complexe getalle defiiëre we op dezelfde maier als bij reële getalle: factore z C, N : z = zzz z z C, N : z = z z C : z = Vierkatswortels Defiitie: w C is ee vierkatswortel va z C als e slechts als Voorbeeld: + i is ee vierkatswortel va 3 4i + wat ( i) w = z + = 3+ 4i Stellig: elk complex getal (verschilled va ul) heeft twee tegegestelde vierkatswortels Bewijs: We bepale alle vierkatswortels va het complexe getal z = a+ bi stel b=, da is dus z R Als a >, da heeft z iderdaad twee tegegestelde wortels, amelijk a e a Als a<, da heeft z ook twee tegegestelde wortels, amelijk ai e ai Cursus complexe getalle S Mettepeige

7 stel b, stel da dat w= x+ yi ee vierkatswortel is va z = a+ bi, met x, y R b x = a x y = a x+ yi = a+ bi x y + xyi = a+ bi x xy = b b y = x ( ) De boveste vergelijkig uitwerke geeft: Hiervoor geldt: = 6a + 6b, zodat (het geval x b = a 4x 4ax b = 4x 4 4a+ 6a + 6b a+ a + b x = = 8 4a 6a + 6b a a + b x = = < is omogelijk wat x R ) 8 a a b + + a+ a + b x= x= b b y = y = a+ a + b a a b + + Dus ook z = a+ bi heeft twee tegegestelde vierkatswortels, amelijk: a+ a + b b a+ a + b b w = + i e w = a+ a + b a+ a + b Opmerkig: Je ka de imagiaire dele va de wortels ook aders schrijve, wat: + + a + b + a a a + b a x = y = x a= = De wortels va a+ bi ka je dus ook iets eevoudiger schrijve als: a b a i a + b + a a + b a w=± ± i De twee tekes worde hier gelijk gekoze als b > e verschilled gekoze als b< Voorbeeld: bereke de vierkatswortels va 3i De wortels zij w=± i, of dus og w = i e w = + i Belagrijke opmerkig: Het -symbool heeft bij complexe getalle gee ekele betekeis Bij reële getalle gebruike we het om de positieve vierkatswortel aa te duide, maar bij complexe getalle bestaa positief e egatief iet We spreke dus gewoo altijd va de vierkatswortels va ee complex getal Cursus complexe getalle S Mettepeige

8 e) Complexe vierkatsvergelijkige De formules voor ee vierkatsvergelijkig i de reële getalle blijve uiteraard gelde, allee moge we u iet meer het -symbool gebruike We othoude dus: b+ w b+ w az + bz+ c= z= z =, met w e w de vierkatswortels va de a a complexe discrimiat = b 4ac Voorbeeld: Los op i C: ( + 3i ) z 3iz+ = ( ) ( ) = 3i 4 + 3i = 9i + 4 i = 5 i De wortels va zij Dus z 3i = + ( 3i) ( + 3i) w = i = 3i e w = + 3i ( 6i) 4 i 3 = = = = i, + 6i + 6i 6i ( ) ( ) e ( + 3i) ( + 3i) 3i + + 6i z = = = + 6i V 3 = i, Cursus complexe getalle S Mettepeige

9 3) De goiometrische vorm va ee complex getal We hebbe het complexe vlak al igevoerd i de ileidig Het wordt ook wel ees het vlak va Gauss of het vlak va Argad geoemd, aar haar otdekkers Elk complex getal komt overee met éé put i het complexe vlak e omgekeerd a) Som va twee complexe getalle Op de figuur hieraast staa twee complexe getalle z = + 3i e z = i same met hu som z + z = 3+ i geteked Het is duidelijk dat de pute, z, z + z, z ee parallellogram vorme De optellig va complexe getalle i het complexe vlak gebeurt dus op dezelfde maier als bij vectore b) Modulus e argumet We kue ee complex getal z eeduidig bepale aa de had va zij coördiaat P( ab, ) i het complexe vlak, maar ook aa de had va zij modulus e argumet: De modulus va ee complex getal z is de afstad va dat complex getal tot de oorsprog We otere de modulus va z vaak met r (va radius) e otere og: r = mod( z) = z = a+ bi = OP = a + b Het argumet va ee complex getal z is de georiëteerde hoek θ die de positieve reële as maakt met de halfrechte [OP b Er geldt taθ =, als a Als a= da is θ = 9 (als b> ) of θ = 9 (als b< ) a 3 Voorbeeld: Als z = 3+ i da is r = e θ = 5 (wat taθ =, eθ II ) 3 c) Goiometrische vorm va ee complex getal a b Uit de defiitie va modulus e argumet volgt omiddellijk dat cosθ = e siθ = r r Voor ee complex getal met modulus r e argumet θ geldt dus dat: ( ) z = a+ bi = rcos θ + rsi θ i = r cosθ + isiθ Deze laatste schrijfwijze oeme we de goiometrische gedaate va het complexe getal z Voorbeeld: Voor z = 3+ i geldt ook z = ( cos5 + isi5 ) Om de som e het verschil va goiometrische getalle i goiometrische gedaate te berekee bestaat er gee eevoudige maier Voor het product e het quotiët echter wel, e voor machte e machtswortels is het zelfs veel eevoudiger om i goiometrische gedaate te werke Cursus complexe getalle S Mettepeige

10 d) Bewerkige met complexe getalle i goiometrische vorm Het product Zij gegeve twee complexe getalle z = r ( cosθ + isiθ) e z r ( cosθ isiθ) z z = r ( cosθ + isiθ) r ( cosθ + isiθ) = rr ( ( cosθcosθ siθsiθ) + i( cosθsiθ + siθcosθ) ) = rr ( cos( θ+ θ) + isi( θ+ θ) ) mod( z z) = mod ( z) mod( z) arg( z z ) = arg( z ) + arg( z ) Bij het product va twee complexe getalle moet je dus hu moduli vermeigvuldige e hu argumete optelle Hieraast zie je ee illustratie i het vlak va Gauss, met z = + 3i e z = + i Da is z z z ( 3) ( 3) e = = + i, r = r r = θ = θ + θ = = 95 = +, da geldt: De omgekeerde We berekee de omgekeerde i goiometrische vorm Stel z r( cosθ isiθ) ( cosθ isiθ) = = = cos ( θ) + i si ( θ) z r( cosθ + isiθ) r( cosθ + isiθ)( cosθ isiθ) r = cos + si = θ θ = +, da is: ( ) I woorde: je eemt het omgekeerde va de modulus e het tegegestelde va het argumet Het quotiët Zij gegeve twee complexe getalle z = r ( cosθ + isiθ ) e z r ( cosθ isiθ ) = +, da geldt: z r = z = r + i + i = + i z z r r ( cosθ siθ ) ( cos( θ ) si( θ )) ( cos( θ θ ) si( θ θ )) ( z z) = mod ( z) / mod( z) ( z z ) = ( z ) ( z ) mod / arg / arg arg Machte Ee omiddellijk gevolg va de rekeregel voor ee product is uiteraard, met z r( cosθ isiθ) ( ) ( cos si ) θ θ cos( θ) si( θ) z = r + i = r + i = + : Cursus complexe getalle - - S Mettepeige

11 Voor ee complex getal met modulus r = wordt dit de zogeaamde formule va De Moivre: ( cosθ + isiθ) = ( cos( θ ) + isi( θ )) Voorbeeld: Gegeve is 4 3 4i z = + Bewijs dat z strikt imagiair is e dat z strikt reëel is 4 3 4i 8 = + = cos3 + si We zette eerst z om i goiometrische gedaate: z ( i ) Da is 9 z = z = cos 7 i si 7 i 9 + = = = 9, 8 8 E z = cos 36 i si = = = 9 Stelle we al deze machte voor i het vlak va Gauss da krijge we ee mooie spiraalvorm Machtswortels We beweze reeds dat elk complex getal z twee verschillede vierkatswortels heeft We toe u aa dat dit eevoudig uit te breide is aar adere machtswortels Stellig: Elk complex getal z, heeft verschillede -demachtswortels ( N, ) ( ) ( cos θ si θ ) ( cos ( θ 36 ) si ( θ 36 )) Bewijs: Noem z = r cos ( θ + k36 ) + isi ( θ + k36 ), e w r ( cosθ isiθ ) = ( ) ( ) w z w w w = + w w w r + i = r + k + i + k rw = r θw = θ + k36, k Z rw = r θ + k36 θw =, k Z Voor de waarde k {,,,, } (complexe macht) (Twee complexe getalle zij gelijk als hu moduli gelijk zij e hu argumete gelijke hoeke zij (dus gelijk op ee veelvoud va 36 a)) vid je verschillede argumete, dus heeft elk complex getal iderdaad verschillede -demachtswortels (met allemaal dezelfde modulus) Voorbeeld: Bereke de 9 e machtswortels va 5i Zij er strikt reële e strikt imagiaire wortels? De goiometrische vorm is 5i 5( cos9 isi9 ) w k = +, dus de 9 e machtswortels zij: k k36 = 5 cos + isi 9 9 = ( cos( + k4 ) + isi( + k4 )), met k {,,,,8} Dus w = ( ) + i ( ), w = ( ) + i ( ), ( ) cos si w k is strikt reëel ( ) cos 5 si 5 9m + k4 = m8 k = + Maar met k, m Z is dit omogelijk 4 Cursus complexe getalle - - S Mettepeige

12 De wortel is strikt imagiair als 9m + k4 = 9 + m8 k = + De eige waarde va m Z die ee waarde geeft voor k {,,,,8} is m=, e da is k = ( ) w = cos 9 + isi 9 = i De strikt imagiaire wortel is ( ) ( ) Al deze wortels kue we voorstelle i het complexe vlak Ze vorme ee regelmatige egehoek Beschouwe we de pute als oplossige va de vergelijkig z 9 = 5i da is de voorstellig ee grafische weergave va de oplossigeverzamelig We oeme dit het Argad-diagram dat bij die vergelijkig hoort 4) Complexe veelterme a) Defiities otatie - eigeschappe De verzamelig va de complexe veelterme C [ z] defiiëre we op idetiek dezelfde maier als de reële veelterme R [ x] We zulle ook zie dat zowat alle eigeschappe die we kee va bij reële veelterme ook gelde bij complexe veelterme Ee complexe veelterm i de veraderlijke z is ee uitdrukkig va de vorm: ( ) P z = az + a z + + az + az+ a, met a C; a,, a, a, a C De complexe getalle a, a,, a, a, a oeme we de coëfficiëte va die veelterm De graad va ee veelterm is de hoogst voorkomede expoet (waarva de coëfficiët is) Notatie: ook complexe veelterme worde meestal geoteerd met ee hoofdletter e de variabele tusse haakjes Bijvoorbeeld: ( ) ( ) gr A z = als: ( ) A z = 4z iz+ 5+ 3i De graad va ee veelterm otere we da Getalwaarde - Het algoritme va Horer - Nulwaarde De getalwaarde va ee veelterm P( z ) voor ee getal c C is de waarde die je bekomt door z te vervage door c i de veelterm, e otere we met P( c ) Voorbeeld: Als A( z) = 4z iz+ 5+ 3i da is ( ) ( ) ( ) A i = 4 i i i i = 4 6i Ook het algoritme va Horer werkt uiteraard og steeds bij complexe veelterme 4 -i 5+3i -i 4-4i --9i 4 4-5i 4-6i Ee ulwaarde va ee complexe veelterm is ee complex getal waarvoor de getalwaarde is Voorbeeld: 3i + is ee ulwaarde va P( z) = iz + ( i) z+ 5+ i, wat P( i) + 3 = Cursus complexe getalle - - S Mettepeige

13 b) De Euclidische delig - Deelbaarheid Bewerkige de Euclidische delig Complexe veelterme optelle, aftrekke, vermeigvuldige of tot ee macht verheffe is gee probleem Je past gewoo de gekede rekeregels toe De delig va complexe veelterme doe we op idetiek dezelfde maier als bij reële veelterme We oeme Q( z ) e ( ) deeltal A( z ) door de deler ( ) A( z) = D( z) Q( z) + R( z), met ( ) R z respectievelijk het quotiët e de rest bij Euclidische delig va het D z als e slechts als geldt: ( ) ( ( )) gr R z gr D z < of R( z ) = Veelterme Q( z ) e R( z ) kue we vide met het gekede algoritme va de Euclidische delig Voorbeeld: Bepaal quotiët e rest bij delig va A( z) = iz + ( i) z+ 5+ i door ( ) 3 D z = z i Deelbaarheid iz +(-i)z +5+i z --3i iz² +(3-i)z iz -+i (-+i)z +5+i (-+i)z +5+i We oeme ee veelterm A( z ) deelbaar door D( z ) als e slechts als de rest bij delig va A( z ) door D( z ) gelijk is aa We otere dit met ( ) ( ) Zo geldt bijvoorbeeld iz ( i) D z A z ( : is ee deler va) z 3i + z+ 5+ i (ee gevolg va de delig hierbove) Ook de reststellig die we reeds beweze bij reële veelterme blijft gelde: De reststellig: De rest bij delig va ee veelterm A( z ) door ee deler va de vorm D( z) = z a (met a C) wordt gegeve door de fuctiewaarde A( a ) Omiddellijk gevolg: ( z a) P( z) P( a) = Zoals vroeger kue we ook het algoritme va Horer blijve gebruike om te otbide i factore (als voorbeeld eme we dezelfde delig als i het voorbeeld hierbove): i -i 5+i +3i -3+i -5-i i -+i Met adere woorde: iz + ( i) z+ 5+ i= ( z 3i)( iz + i) Ekele stellige i verbad met deelbaarheid De belagrijkste stellig i verbad met deelbaarheid heet iet voor iks de hoofdstellig va de algebra Stellig: Elke complexe veelterm va graad mistes éé heeft ee complexe ulwaarde Het bewijs va deze stellig valt buite het bestek va deze cursus Cursus complexe getalle S Mettepeige

14 (Voor meer ifo: zie We bewijze wel ee belagrijk gevolg va deze stellig: Stellig: Elke complexe veelterm P( z ) va graad N heeft (al da iet verschillede) ulwaarde Bewijs: We bewijze deze stellig met behulp va iductie op de graad va de veelterm: a = : P( z) = az + a, met a C e a C P( z ) heeft éé ulwaarde, amelijk z = a Iductiestap: Stel u dat de stellig geldt voor N, e beschouw ee veelterm P( z ) va graad + Weges de hoofdstellig va de algebra heeft deze veelterm ee ulwaarde Noem deze ulwaarde We kue de veelterm da otbide als P ( z ) = ( z z ) Q ( z ), waarbij ( ) graad Uit de iductiestap volgt dat ( ) Q z ee veelterm is va Q z al da iet verschillede ulwaarde z, z,, z heeft Dit zij uiteraard ook allemaal ulwaarde va P( z ) We kue dus besluite dat P( z ) iderdaad al da iet verschillede ulwaarde heeft Gevolg: Voor elke complexe veelterm P( z) C [ z] geldt: P( z) a ( z z )( z z ) ( z z ) z, z,, z de ulpute va P( z ) Voor veelterme met reële coëfficiëte gelde ekele speciale eigeschappe: Stellig: Als ee reële veelterm P( x) [ x] ook de complex toegevoegde z ee ulwaarde va P( x ) Bewijs: Noem P( x) i = ax i, met dus i i= =, met R ee complex getal z C als ulwaarde heeft, da is a R, e stel dat z C ee ulwaarde is Da geldt: i i i i i ( ) ( ) P z = az = az = a z = az = P z = i i i i i= i= i= i= Gevolg : Elke reële veelterm P( x) R [ x] ka bie [ x] R otbode worde i veelterme va de eerste e de tweede graad Bewijs: I C[ x ] ka hij otbode worde als P( x) a ( x z )( x z ) ( x z ) = Stel u dat zi = a+ bi ee ulput is, met ab R,, da is dus ook zi = a bi ee ulput e kue we dat stuk va de otbidig herschrijve als: ( x a bi)( x a bi) ( x ax a b ) [ x] + = + + R Doe we dit voor alle complexe ulpute die iet reëel zij da krijge we iderdaad ee otbidig bie R [ x] Gevolg : Elke reële veelterm va oeve graad heeft mistes éé reëel ulput Bewijs: de veelterm heeft sowieso al da iet verschillede complexe ulpute Maar voor elk ulput dat iet reëel is, is ook de complex toegevoegde ee ulput De complexe ulpute kome dus altijd i pare voor Er moet bij ee oeve graad dus altijd mistes éé reëel ulput zij Zelfstudieproject: ) Verwerk zelfstadig de hoofdstukjes a, b, a, b e c (of boek blz -7:, -6) Cursus complexe getalle S Mettepeige

15 Maak oefeige blz 6-3: abimo ag 3f 4df 5aj 7be 8ad ) Verwerk zelfstadig de hoofdstukjes d e e (of boek blz 8-4: 7, 4) Maak oefeige blz 6-3: 9abcg adj d 3c Cursus complexe getalle S Mettepeige

16 5) De Madelbrot verzamelig Juliaverzamelige Gegeve is ee complexe veelterm P( z) [ z] C e ee startwaarde z C, da kue we ee rij fuctiewaarde als volgt defiiëre: ( z) = z, z, z,, met z = P( z), z P( z) =, ez We oeme zo ee complexe rij begresd als e slechts als de reële rij gedefiieerd door de moduli va de complexe terme ook begresd is Dus ( z ) is begresd ( z ) is begresd Stel P( z) = z + c, met c C Da kue we voor alle complexe begiwaarde z ee verschillede complexe rij defiiëre op de maier zoals hierbove Is deze rij begresd da zegge we dat het complexe getal z behoort tot de Julia-verzamelig die hoort bij c Is de rij iet begresd da zegge we dat z er iet toe behoort Grafische voorstellige va deze Julia-verzamelige i het complexe vlak levere os prachtige figure op, die we fractale oeme (de Juliaverzamelig is i het zwart geteked): De Madelbrotverzamelig De Madelbrotverzamelig is gedefiieerd als de verzamelig pute c C waarbij de rij die hoort bij P( z) = z + c begresd zou zij voor de startwaarde z = Cursus complexe getalle S Mettepeige