Elementaire speciale functies
|
|
- Bram Christiaens
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 ANALYSE 1A, Ivoerig Elemetaire Speciale Fucties p.1 Elemetaire speciale fucties 1. Differetieerbaarheid zie syll. Calculus Ia, II.1.1 of Browder, Ch. 4). Zij I ee iterval, a ee iwedig put va I e f: I R ee fuctie op I. Da heet f differetieerbaar i a met afgeleide f a) als oderstaade limiet bestaat: f fx) fa) a) : lim. x a x a We brege ee paar resultate i herierig die al behadeld zij i syll. Calculus Ia. 2. Propositie syll. Calculus Ia, II.1.2 of Browder, 4.3) Als f differetieerbaar is i a da is f cotiu i a. 3. Stellig Middelwaardestellig) zie syll. Calculus Ia, II.3.1, II.3.2 of Browder, Theorem 4.22) Laat f: [a, b] R cotiu zo dat f differetieerbaar is op a, b). Da is er ee ξ a, b) zo dat fb) fa) b a) f ξ). 4. Gevolg zie syll. Calculus Ia, II.3.1 of Browder, Corollary 4.23) Laat f: [a, b] R cotiu zo dat f differetieerbaar is op a, b) e f x) 0 voor alle x a, b). Da is f costat op [a, b]. Stellig 3 volgt vrij sel uit de stellig dat ee cotiue fuctie op ee geslote begresd iterval ee absoluut maximum e ee absoluut miimum aaeemt zie Browder, Theorem 3.14). 5. Machtreekse Zij a ) 0 ee rij i R zo dat R : 1/ lim sup a 1/ > 0. Als de lim sup gelijk aa 0 is, da eme we R :.) Da is R de covergetiestraal va oderstaade reeks: fx) : a k x k x < R). 1) De reeks covergeert dus absoluut voor x < R e de fuctie x fx) is dus goed gedefiieerd voor x < R. We probere u de afgeleide va f uit te rekee. Daartoe moete we de reeks aa de rechterkat va 1) aar x differetiëre. Als probeersel doe we dit termsgewijs we verwissele dus oeidige sommatie e differetiatie; dit is iet zodermeer gerechtvaardigd). De termsgewijze differetiatie va de machtreeks i 1) levert ee ieuwe machtreeks gx) : k a k x k 1 k1 l + 1) a l+1 x l. 2) Omdat lim sup + 1) a +1 1/ ) ) lim + 1)1/ lim sup a +1 1/ 1 R 1 R 1,
2 ANALYSE 1A, Ivoerig Elemetaire Speciale Fucties p.2 zie we dat de ieuwe machtreeks dezelfde covergetiestraal heeft als de oude machtreeks. Dus de fuctie x gx) i 2) is goed gedefiieerd voor x < R. Er ka beweze worde zie Browder, Theorem 4.36) dat g x) fx) als x < R. Dus f is differetieerbaar e i het bijzoder cotiu als x < R. Nu kue we de termsgewijze differetiatie herhale voor de machtreeks i 2), e dit willekeurig vaak. Zo zie we i dat de fuctie f willekeurig vaak differetieerbaar is op R, R) e dat alle afgeleide f j) dus ook cotiu zij. Hiermee is f ee zogeaamde C -fuctie op R, R). Samevatted: 6. Stellig Laat de fuctie f op ee iterval R, R) gedefiieerd zij door ee machtreeks 1) met covergetiestraal R. Da is f willekeurig vaak differetieerbaar op R, R) e f e al zij afgeleide f j) j N) zij cotiu op R, R) m.a.w., f is C op R, R)). Verder is voor elke j N de afgeleide f j) gegeve door de machtreeks f j) x) kk 1)...k j + 1) a k x k j kj l + j)l + j 1)...l + 1) a l+j x l 3) met covergetiestraal R. 7. Verbad met Taylor-beaderige Laat f weer gegeve door de machtreeks 1) met covergetiestraal R. Da volgt uit 3) dat f j) 0) j! a j. 4) Dus de -de orde Taylor-beaderig f va f om 0 zie syll. Calculus Ia, II.4.1) wordt gegeve door f k) 0) f x) : x k a k x k, 5) dus juist het begistuk tot/met de -de graads term va de machtreeks va f. I syll. Calculus Ia, II.5.1 werd opgemerkt dat we algemee bij ee Taylor-beaderig) f f kue afschatte door fx) f x) Ox +1 ), x 0, d.w.z. dat er ee C > 0 e ρ > 0 zij zo dat fx) f x) C x +1 als 0 < x < ρ. I os geval va ee machtreeks kue we dit ook izie door fx) f x) als de restsom va de machtreeks 1) schrijve: fx) f x) a k x k x +1 a +1+l x l x +1 h x) k+1 x < R), waarbij de machtreeks h x) : a +1+l x l weer covergetiestraal R heeft, dus cotiu is op R, R) dus begresd is op elk iterval [ ρ, ρ] met 0 < ρ < R zie Browder, 3.14). Hieruit volgt dat er voor elke ρ met 0 < ρ < R ee C > 0 is zo dat fx) f x) C x +1 als x < ρ. 8. De expoetiële reeks We defiiëre de expoetiële reeks door expx) : x k x R). 6)
3 ANALYSE 1A, Ivoerig Elemetaire Speciale Fucties p.3 Omdat voor a : 1/! geldt dat lim a +1 / a 0, heeft de machtreeks i 6) covergetiestraal. Met behulp va Stellig 6 zie we dat de fuctie exp ee C - fuctie is e dat zij afgeleide exp door dezelfde machtreeks i 6) gegeve wordt, dus exp x) expx), dus exp j) x) expx) voor alle j N 7) Er volgt uit 7) dat de afgeleide aar x va expx) exp x) gelijk aa 0 is. Dus weges Gevolg 4 is expx) exp x) costat, dus idetiek gelijk aa zij waarde 1 voor x 0, dus: exp0) 1, expx) exp x) 1, expx)) 1 exp x). 8) Uit 6) zie we dat expx) > 0 als x 0. Combiatie met 8) geeft da dat expx) > 0 voor alle x R. 9. Fuctioaalvergelijkig voor exp We wille u ee formule afleide voor expx + y) x, y R). Merk op dat er uit 6) e de biomiaalformule volgt dat x + y) expx + y)! 0 1!! k)! xk y k x k y k k)! 0 x k y l ) l! x k ) y l expx) expy). l! 0 k, Dus expx + y) expx) expy) 9) Bovegeoemde afleidig is iet rigoureus e ka daarom iet als bewijs gelde voor 9). I het bijzoder zoude we preciezer moete zegge wat we met de dubbelsom k, xk x l l! bedoele e zoude we de overgag va deze dubbelsom aar het product va twee ekelsomme moete motivere. Ee rigoureus bewijs va 9) ka verkrege worde met behulp va Defiitio 2.59 e Theorem 2.60 i Browder. Ee tweede bewijs va 9) gaat als volgt. Neem y vast e schrijf fx) : expx + y), gx) : expx) expy). Da: f x) fx), f0) y; g x) gx), g0) y. 10) Dus f e g zij oplossige va dezelfde differetiaalvergelijkig va orde 1 met dezelfde begiwaarde bij x 0. Uit de uiciteitsstellig voor oplossige va zulke differetiaalvergelijkige zie syll. Calculus Ib, VI.1.1) volgt da dat fx) gx) om te begie i ee voldoede kleie omgevig va 0, maar dit ka worde voortgezet tot alle x R). Ee elemetair bewijs uitgaade va 10) is als volgt. Merk op dat d dx ) fx) f x)gx) fx)g x) gx) gx) 2 fx)gx) fx)gx) gx) 2 0 we gebruikte dat gx) 0 voor alle x R) e dat f0)/g0) 1. Dus weges Gevolg 4 is fx)/gx) 1 voor alle x R.
4 ANALYSE 1A, Ivoerig Elemetaire Speciale Fucties p We zage i 8 dat expx) > 0 voor alle x R. I combiatie met 7) levert dit dat exp x) > 0 x R), dus dat de fuctie exp strikt stijged is op R. Er volgt uit 6) dat voor elke N geldt dat expx) > x /! als x > 0, dus expx) lim expx) e algemeer lim x x x 0, 1, 2,...). 11) Dus expx) stijgt seller da elke positieve macht va x als x. Combiatie va de eerste limiet i 11) met 8) levert dat lim x expx) 0. Same met de cotiuïteit va exp levert dit met gebruik va Browder, Theorem 3.16 het volgede. 11. Stellig De strikt stijgede cotiue fuctie exp: R R is ee bijectieve afbeeldig exp: R 0, ). Schrijf log : exp 1 voor de iverse afbeeldig. Da is de afbeeldig log: 0, ) R bijectief e log is ee strikt stijgede cotiue fuctie op 0, ). De formules 9) e 8) voor exp leide u tot formules voor log: logxy) logx) + logy) x, y > 0); log1) 0; logx 1 ) logx) x > 0); logx) < x 1 x > 1). 12) Als we, als aavullig op het vermelde i Stellig 11 ook gebruike dat exp x) > 0 voor alle x R, da kue we cocludere dat log ook differetieerbaar is door gebruik te make va Browder, Theorem 4.26: 12. Stellig Late I e J ope itervalle zij e laat f: I J bijectief e differetieerbaar op I zo dat f x) > 0 voor allle x I. Schrijf g : f 1 voor de iverse afbeeldig va f. Da is g: J I differetieerbaar op J e g y) 1 f gy)) y J). 13) Formule 13) volgt door gfx)) x aar x te differetiëre e de kettigregel toe te passe zie syll. Calculus Ia, II.2.1). Waeer we f : exp, g : log substituere i 13), vide we dat log x) 1 x. 14) 13. De machtreeks va log1 + x) Uit 14) volgt dat fx) : log1 + x) als j-de afgeleide heeft: f j) x) 1) j 1 j 1)! 1+x) j, dus fj) 0) j! 1)j j machtreeks. Dus als log1 + x) als machtreeks te schrijve is, da moet dit de gx) : 1) k 1 x k 15) k k1
5 ANALYSE 1A, Ivoerig Elemetaire Speciale Fucties p.5 zij dit volgt uit 4)). De machtreeks i 15) heeft covergetiestraal 1 ga a), dus de fuctie g is goed gedefiieerd door 15) op 1, 1). Uit Stellig 6 volgt dat g ee C -fuctie is op 1, 1) e dat g x) 1) l x l x f x) x < 1). Bovedie is f0) 0 g0). Da volgt uit Gevolg 4 dat fx) gx) voor alle x 1, 1). We hebbe dus beweze dat 1) k 1 log1 + x) x k x < 1). 16) k k1 14. Ee limietformule voor expx). We wete dat e : lim ) exp1) 17) zie Browder, Example 2.12 e Propositio 3.29 e syll. Abstracte Aalyse). We bewijze u algemeer: lim 1 + x ) expx) x R). 18) Bewijs Het geval x 0 is eveidet. Laat u x > 0. Da geve we ee bewijs aaloog aa dat voor 17). Uit de biomiaalformule volgt dat ) 1 + x x k ) ) 1 + x k 1 x k < < expx). 19) k2 Hieruit zie we dat de rij 1+ x )) stijged e aar bove begresd is, dus ee limiet 1 heeft e dat lim 1 + x ) expx). Ook zie we uit 19) dat voor elke vaste m 2 geldt: ) m 1 + x x Dus geldt voor elke m dat k2 lim x k 1 1 ) 1 + x m ) )... 1 k 1 x k. m). De ogelijkheid blijft ) behoude als we i het rechter lid de limiet eme voor m, dus lim 1 + x expx). We hadde al gezie dat lim 1 + x ) expx), dus 18) geldt voor x 0. Om 18) voor x < 0 te bewijze, vervage we x door x e schrijve we voor x > 0 dat 1 x ) 1 x2 ) /1 + x 2 ) e 1 x2 1 x2 2 ) 1 > x 2 ). 20) Hierbij gebruikte we dat 1 + t) 1 + t als t > 1 oefeig i Browder, Lemma 2.5). Nu volgt uit 20) dat 1 x2 1 + x ) 1 x ) x ) > x 2, x > 0). 21) Het liker lid e het rechter lid va 21) covergere aar 1/ expx) voor, dus met de kijpstellig covergeert ook 1 x ) aar deze limiet als.
6 ANALYSE 1A, Ivoerig Elemetaire Speciale Fucties p expx) als ee macht va e. We late u zie dat expx) e x x Q), d.w.z. exp p q) e p ) 1 q p Z, q N). 22) Bewijs Er volgt uit 9) e 8) dat exppx) expx)) p p Z), dus expx/q) expx)) 1/q q N), dus expp/q) exp1)) p/q e p/q p Z, q N). Formule 22) suggereert om e x u te defiiëre als expx) voor willekeurige x R iet oodzakelijk i Q). Met deze defiitie volgt uit de cotiuïteit e mootoie va de fuctie exp dat e x sup e y. 23) y Q; y<x 16. Reële machte va willekeurig positief grodtal Laat a > 0. Voor p Z, q N hebbe we a p q explog a)) p q exp p q Dit suggereert voor a > 0 e x R de defiitie log a). a x : expx loga), dus a x sup a y als a > 1. 24) y<x; y Q 17. expz) voor complexe z. De theorie va machtreekse fz) : a k z k 25) gaat door als de coëfficiëte a k e het argumet z i C ligge. De covergetiestraal wordt ook da gegeve door R : 1/ lim sup a 1/, 26) e de machtreeks 25) covergeert da absoluut voor z C met z < R, d.w.z. a k z k a k z k < z < R). Absolute covergetie impliceert gewoe covergetie va de reeks i 25) voor z < R, d.w.z. dat de reële reekse Re fz) : Re a k z k ) e Im fz) : Im a k z k ) covergere als z < R. I het bijzoder covergeert de expoetiële reeks expz) : voor alle z C. We defiiëre e z : expz) voor alle z C. z k
7 ANALYSE 1A, Ivoerig Elemetaire Speciale Fucties p De trigoometrische fucties We zulle u de trigoometrische fucties op ee rigoureuze maier ivoere i terme va de fuctie e iz i ) )! z 1 z2 2! + z4 z 4! + i 1! z3 3! + z5 5!. 27) We defiiëre: 0 cos z : 1 2 eiz + e iz ) si z : 1 2i eiz e iz ) 1) k 2k)! z2k 1 z2 2! + z4 4! 1) k 2k + 1)! z2k+1 z z3 3! + z5 5! z C), 28) z C). 29) Merk op dat de machtreekse i 28) e 29) covergetiestraal hebbe. Dit volgt bijv. omdat de reeks i 27) absoluut covergeert voor alle z. Er volgt omiddellijk uit 27), 28) e 29) dat Waeer we z reëel eme i 28), 29) volgt er dat Ook is het evidet dat e iz cos z + i si z. 30) cos x Re e ix ), si x Im e ix ) x R). 31) cos z) cos z, si z) si z z C), cos 0 1, si Opgave Bewijs, uitgaade va de defiities 28), 29), e gebruik maked va de eerder beweze formules voor de expoetiële fuctie, de volgede formules voor de cosius- e sius-fucties: cosz + w) cos z cos w si z si w z, w C), 32) siz + w) si z cos w + cos z si w z, w C), 33) si 2 z + cos 2 z 1 z C), 34) 1 six 1, 1 cos x 1 x R), 35) d dx eix ) i e ix x R), 36) d si x cos x x R), 37) dx d dx lim x 0 cos x si x x R), 38) si x x 1. 39) Vreemd als het lijkt, zal u beweze moete worde dat cos x de waarde 0 aaeemt voor zekere reële waarde va x. Dit resultaat zal vervolges leide tot de rigoureuze defiitie va het getal π tot u toe slechts meetkudig gedefiieerd) e tot ee bewijs dat de sius- e cosiusfucties periodiek zij.
8 ANALYSE 1A, Ivoerig Elemetaire Speciale Fucties p Propositie Er bestaat ee x > 0 zo dat cos x 0. Bewijs Stel dat cos x 0 voor alle x > 0. Omdat cos 0 1, volgt er met behulp va de cotiuïteit va cos e de tussewaardestellig dat cos x > 0 voor alle x > 0. Dit resultaat, same met 37), laat zie dat de fuctie x si x strikt stijged is op [0, ). Aagezie si 0 0, is si x > 0 als x > 0. Laat u 0 < x < y. Da volgt er uit de middelwaardestellig Stellig 3) same met 38) dat er ee z x, y) bestaat zo dat cos x cos y y x) si z, dus weges geoemde eigeschappe va de sius-fuctie e weges 35) volgt er dat 0 < y x) si x < y x) siz cos x cos y 2. Neem x > 0 vast. Da geldt er voor alle y > x dat 0 < si x < 2/y x). Dit is omogelijk. 21. Defiitie Laat x 0 het ifimum zij va de iet-lege e aar beede begresde) verzamelig va positieve ulpute va cos. Da is cosx 0 0 waarom?), dus x 0 > 0. Defiieer π : 2x 0. Weges 34) geldt u dat siπ/2) ±1. Echter, omdat si 0 0 e si mootoo stijged is op [0, π/2] zie het bewijs va Propositie 20), zal siπ/2) > 0, dus 1. Dus er volgt met behulp va 30) dat e 1 2 πi i. 40) 22. Opgave Bewijs, door gebruik te make va 40), 9), 28) e 29), het volgede: e πi 1, e 2πi 1, 41) e z+2πi e z z C), 42) siz + π) si z, cosz + π) cos z z C), 43) si 1 2 π z) cos z, cos1 2π z) siz z C). 44) 23. Opgave a) Zij x R. Bewijs dat cos x 0 desda x k )π voor zekere k Z e dat six 0 desda x kπ voor zekere k Z. b) Zij a R. Bewijs dat cosx + a) cos x voor alle x R desda a 2kπ voor zekere k Z. Bewijs dat evezo six+a) si x voor alle x R desda a 2kπ voor zekere k Z. 24. Opgave Bewijs dat de afbeeldig θ e iθ : [0, 2π) {z C z 1} bijectief is.
Trigonometrische functies
Trigoometrische fucties Ileidig De meest gebruikelijke defiitie va de trigoometrische fucties cos e si berust op meetkudige cocepte (cirkel, hoek, driehoeke etc.) die buite het bestek va de aalyse valle.
Nadere informatieFourierreeksen. Calculus II voor S, F, MNW. 14 november 2005
Fourierreekse Calculus II voor S, F, MNW. 14 ovember 2005 Deze tekst is gedeeltelijk gebaseerd op het Aalyse BWI I dictaat e op aatekeige va Alistair Vardy. 1 Ileidig Het is vaak belagrijk ee gegeve fuctie
Nadere informatieAnalyse 2 - SAMENVATTING
Aalyse 2 - SAMENVATTING willem va ravestei ihoudsopgave 01. Rije, eigeschappe e stellige 02. Deelrije, Cauchy, meetkudige e telescopische rij 03. Coverget of diverget? 04. Altererede rije e het wortelcriterium
Nadere informatieopgave Opgave Bepaal de convergentiestralen van de volgende machtreeksen: (n + 1)! n! = lim n = lim (n + 1)!/(2n + 2)! n!/(2n)!
opgave 7 7 Bepaal de covergetiestrale va de volgede machtreekse: a!z ; b! (! z ; c 3 z! ; d z! a Zij a!, da lim ( +!! ( +, dus R 0 b Zij a!, da (! lim ( +!/( +!!/(! ( + 0, dus R c Zij a 3, da! lim 3 +
Nadere informatien n n bedoelen we uiteraard dat n N : 0 f x divergeert naar + of.
Limiete Defiities a Limiet voor a I het hoofdstuk ratioale fucties i het begi va dit schooljaar zage we reeds dat zulke fucties soms perforatiepute hebbe De fuctiewaarde i zo put bestaat iet, maar de grafiek
Nadere informatie1. Gegeven is het polynoom P (z) = z 4 + 4z 3 + 6z 2 + 4z + 5 met z C.
Radboud Uiversiteit Tetame Calculus A NWI-WP5 ovember 7, 5.45 8.45 Het gebruik va ee rekemachie/gr, telefoo, boek, aatekeige e.d. is iet toegestaa. Geef precieze argumete e atwoorde. Zorg dat uw redeerige
Nadere informatieSamenvatting. Fouriertheorie en distributies. Fourier en Schwartz. De warmtevergelijking. De exacte benadering
Samevattig Fouriertheorie e distributies De exacte beaderig Ileidig 2 De warmtevergelijkig Ja Wiegerick Korteweg - de Vries Istituut voor Wiskude Uiversiteit va Amsterdam 27 september 22 3 Oplossig door
Nadere informatieOefeningen Analyse II
ste Bachelor Igeieursweteschappe ste Bachelor Natuurkude/Wiskude Academiejaar 27-28 9 jui 28 Oefeige Aalyse II. Ee lichaam bove het xy-vlak met willekeurige hoogte wordt lags oder begresd door de cirkel
Nadere informatie1. Hebben de volgende rijen een limiet, en zo ja, bepaal die dan: (i) u n = sin(πn) (d) u n = cos(2πn) (l) u n = log n
Hoofdstuk 1 Limiet va ee rij 1.1 Basis 1. Hebbe de volgede rije ee iet, e zo ja, bepaal die da: (a) 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... (b) 1, 4, 9, 16, 5, 36, 49,... (c) 1, 8, 7, 64, 15,... (d) u = ( 1) (e) u =
Nadere informatieConvergentie, divergentie en limieten van rijen
Covergetie, divergetie e limiete va rije TI-spire e rije 7N5p GGHM 22-23 Eigeschappe rekekudige rij b = begiwaarde v = verschil tusse twee opeevolgede terme recursieve formule: u = u + v met u = b directe
Nadere informatie2.6 De Fourierintegraal
2.6 De Fourieritegraal We vertrekke va de Fourierreeks i complexe vorm: voor g : [ π,π] C kue we schrijve met g(t) α e it, α 1 Z π g(t)e it dt. 2π π We herschrijve deze formules eerst voor ee fuctie f
Nadere informatieFuncties, Rijen, Continuïteit en Limieten
Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-0 Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Ihoud 1. Fucties Defiitie e kemerke / bewerkige op fucties Reële fucties va éé reële veraderlijke
Nadere informatiePolynomen groep 2. Trainingsweek, juni Complexe nulpunten. Een polynoom is van de vorm P (x) = n
Polyome groep 2 Traiigsweek, jui 2009 Complexe ulpute Ee polyoom is va de vorm P (x) = i=0 a ix i, met coëfficiëte a 0, a 1,..., a, die uit ee gegeve verzamelig kome (meestal Z of R). Als alle coëfficiëte
Nadere informatiePARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens
PARADOXEN 9 Dr Luc Gheyses LIMIETEN, AFGELEIDEN EN INTEGRALEN: ENKELE MERKWAARDIGE VERHALEN Ileidig: verhale over ifiitesimale Ee ifiitesimaal (of ifiitesimaal kleie waarde) is ee object dat mi of meer
Nadere informatieOngelijkheden. IMO trainingsweekend 2013
Ogelijkhede IMO traiigsweeked 0 Deze tekst probeert de basis aa te brege voor het bewijze va ogelijkhede op de IMO. Het is de bedoelig om te bewijze dat ee bepaalde grootheid (ee uitdrukkig met ee aatal
Nadere informatieWPP 5.2: Analyse. Oplossing onderzoeksopdrachten
WPP 5.: Aalyse oderzoeksopdrachte Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 0 Limiet va ee rij : defiities Beschouw de rij u :,,, 4,.... Bepaal de algemee term u. Via PC / GRT bepaal je de tabel e teke je
Nadere informatieDit geeft ee voorwaarde die slechts afhagt va de begiwaarde va de `basisoplossige' (bij (3) is die voorwaarde a b a b 0). Hoe ka me twee lieair oafhak
Lesbrief 5 Recurreties e ogelijkhede Recursief gedefiieerde rije Er zij getallerije {a } die voldoe aa ee recurrete betrekkig va de vorm a +k = f(a +k ;a +k ;:::;a ) voor = ; ;:::, waardoor de + k-de term
Nadere informatie2. Limiet van een rij : convergentie of divergentie
2. Limiet va ee rij : covergetie of divergetie 2. Eigelijke of eidige limiet 2.. Voorbeeld I ee bos staa 4 bome. De diest bosbeheer zal jaarlijks 2% bome kappe e ieuwe aaplate. Zal het bos verdwije? Zal
Nadere informatieEquidistributie en ergodiciteit
Equidistributie e ergodiciteit Michiel Lieftik, Wouter Rieks, Mike Daas 9 december 207 Ileidig Beschouw ee situatie waari me ee grote verzamelig umerieke data tot zij beschikkig heeft Ee vraag die me zich
Nadere informatie4 Differentierekening en reeksen
WIS4 4 Differetierekeig e reekse 4. Delt Differeties Differetierekeig bestudeert de differetie-opertor, gedefiieerd door f(x) = f(x + ) f(x) Vergelijk dit met differetilrekeig: de fgeleide-opertor D is
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 21 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 32 Outline 1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Nadere informatieReeksen. Convergente reeksen
Reekse Reekse Defiitie, otatie e voorbeelde Defiitie: Eereeks is ee koppel ( ) {u } l, {s } l met s = u k = u l + u l+ + u l+2 +...+ u + u k=l u l = s l, u = s s, = l +, l +2,... {u } l oemt me de termerij,
Nadere informatieKanstheorie. 2de bachelor wiskunde Vrije Universiteit Brussel. U. Einmahl
Kastheorie 2de bachelor wiskude Vrije Uiversiteit Brussel U. Eimahl Academiejaar 2011/2012 Ihoudsopgave 1 Kasruimte 1 1.1 Toevallige experimete................................. 1 1.2 De axioma s va Kolmogorov.............................
Nadere informatieComplexe getallen. c(a+ib)=ca+i(cb) id(a+ib)=i(ad)+i 2 (bd)=(-bd)+i(ad) (a+ib)(c+id)=ac+i(ad)+i(bc)+i 2 (bd)= ac-bd+i(ad+bc)
. Ileidig: Complexe getalle I de wiskude stelt zich het probleem dat iet bestaat voor de reële getalle of dat de vergelijkig x + 0 gee reële ulpute heeft. Om dit euvel op te losse werd het getal i igevoerd
Nadere informatieRijen met de TI-nspire vii
Rije met de TI-spire vii De tore va Pisa Me laat ee bal valle vaaf de tore va Pisa(63m hoog) Na elke keer stuitere haalt de bal og ee vijfde va de voorgaade hoogte. Gevraagd zij: a) De hoogte a de e keer
Nadere informatiePraktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling
Praktische opdracht: Complexe getalle e de Julia-verzamelig Auteur: Wiebe K. Goodijk, Zerike College Hare Beodigde Voorkeis: 1 = i Het complexe vlak. Notatie: z = a + bi of z = r(cosϕ + i si ϕ) Regel va
Nadere informatie1. Symmetrische Functies
Algebra III 1 1. Symmetrische Fucties permutatios sot la metaphysique des équatios Lagrage*, 1771 I dit hoofdstuk bestudere we de ivariate va de werkig va de symmetrische groep S op polyoomrige i variabele.
Nadere informatieStudiehandleiding Calculus 2 voor SFM (Scheikunde, Farmo, MNW) deel 1
Studiehadleidig Calculus 2 voor SFM (Scheikude, Farmo, MNW) deel 1 docet deel 1 Joost Hulshof, docet deel 2 C.M. Quat kamerummer: R340, S 232 email: jhulshof@few.vu.l, quat@few.vu.l September 4, 2006 1
Nadere informatieExamen Complexe Analyse (September 2008)
Examen Complexe Analyse (September 2008) De examenvragen vind je op het einde van dit documentje. Omdat het hier over weinig studenten gaat, heb ik geen puntenverdeling meegegeven. Vraag. Je had eerst
Nadere informatieKanstheorie. 2de bachelor wiskunde Vrije Universiteit Brussel. U. Einmahl
Kastheorie 2de bachelor wiskude Vrije Uiversiteit Brussel U. Eimahl Academiejaar 208/209 Ihoudsopgave Kasruimte. Toevallige experimete..................................2 De axioma s va Kolmogorov.............................
Nadere informatieUitwerkingen toets 11 juni 2011
Uitwerkige toets 11 jui 2011 Opgave 1. Laat 2 e k 1 gehele getalle zij. I ee lad zij stede e tusse elk paar stede is ee busverbidig i twee richtige. Laat A e B twee verschillede stede zij. Bewijs dat het
Nadere informatieJulian gooit 20 keer met een dobbelsteen. Bereken de kans dat hij precies 5 keer een zes gooit.
- Test Hfst D kasrekeig - Kase ofwel exact ofwel afgerod op decimale geve. ( x p) Tim gooit drie keer met ee gewoe dobbelstee. Na zij derde worp telt hij het aatal oge va de drie worpe bij elkaar op. Bereke
Nadere informatieHoofdstuk 1 Rijen en webgrafieken
Hoofdstuk Rije e wegrafieke Voorkeis: Rije ladzijde V-a u 7 + v +, c De vergelijkig 7 + +, oplosse geeft, e dus 8. Ze hee eide 8 rode gelope. V- u, u met u V-a u + ( ) + + s u + u + u +... + u + + 8 +
Nadere informatieComplexe functies. 2.1 Benadering door veeltermen
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, Les Complexe functies Nadat we de complexe getallen hebben leren kennen, is het een voor de hand liggende vraag of hiervoor net als voor de reële getallen ook functies
Nadere informatieVideoles Discrete dynamische modellen
Videoles Discrete dyamische modelle Discrete dyamische modelle Orietatie Algebraisch Algebraisch/ umeriek Numeriek Maak de volgede rijtjes af: Puzzele met rijtjes a. 2 4 6 8 10 - b. 1 2 4 8 16 - c. 1 2
Nadere informatieOpgave 1 Zij θ R, n 1 en X 1, X 2,..., X n onafhankelijk, identiek verdeelde stochasten met kansdichtheidsfunctie. f θ (x) =
Opgave 1 Zij θ R, 1 e X 1, X 2,..., X oafhakelijk, idetiek verdeelde stochaste met kasdichtheidsfuctie { 1 als x (θ 2, θ + 2) f θ (x) = als x (θ 2, θ + 2). a pt) Bepaal E(X 1 ) e V ar(x 1 ). ANTWOORD:
Nadere informatie1) Complexe getallen - definitie
Complexe getalle ) Complexe getalle - defiitie a) Meetkudige betekeis va het getal i Als je ee reëel getal met ee ader reëel getal vermeigvuldigt, wordt zij afstad tot de oorsprog met dit getal vermeigvuldigd
Nadere informatieBewijzen voor de AM-GM-ongelijkheid
Bewijze voor de AM-GM-ogelijkheid Prime Ee beroemde olympiadeogelijkheid is de ogelijkheid tusse het rekekudig gemiddelde (AM, arithmetic mea) e het meetkudig gemiddelde (GM, geometric mea). Voor ee gegeve
Nadere informatie12 Kansrekening. 12.1 Kansruimten WIS12 1
WIS12 1 12 Kasrekeig 12.1 Kasruimte Kasmaat Ee experimet is ee hadelig of serie hadelige met ee of meer mogelijke resultate uitkomste geoemd). De uitkomsteruimte, die we steeds zulle aageve met Ω, is de
Nadere informatieDus n n (a + b) n = a n + a n 1 b + heet een binomiaalcoëfficiënt (uitspraak n boven k ). Newton vond de
CONTINUE WISKUNDE: BINOMIUM VAN NEWTON EN RECURRENTE BETREKKINGEN Het Biomium va Newto Het Biomium va Newto is ee uitdruig voor a + b), waarbij a e b willeeurige getalle zij, e ee atuurlij getal I deze
Nadere informatieFormularium Wiskunde
Formulrium Wiskude Te gebruike bij exme Ileidig tot de Hogere Wiskude Trscedete fucties. Goiometrische fucties t x = tg x = si x cos x cot x = cotg x = cos x si x sec x = cos x cosec x = si x cos( ± b)
Nadere informatieRijen. 6N5p
Rije 6N5p 0-03 Rije Ileidig I de wiskude werke we vaak met formules e/of fucties die elke mogelijke waarde aa kue eme. Als bijvoorbeeld f( x) = 5x + 5x 3, da ku je voor x (bija) elke waarde ivulle e ka
Nadere informatieDe Stelling van Lamperti
Y.A. Peeters De Stellig va Lamperti Bachelorscriptie, 24 jui 2015 Begeleider: Dr. M.F.E. de Jeu Mathematisch Istituut, Uiversiteit Leide Ihoudsopgave 1 Voorwoord 2 2 Ileidig 3 2.1 Hoofdstellig.............................
Nadere informatieOngelijkheden groep 2
Ogelijkhede groep 2 Jese e Muirhead Traiigsweek 8 13 jui 2009 1 Jese Defiitie covex) Zij f : R R ee fuctie. We oeme f covex op [a, b] als voor elke x, y [a, b] geldt de koorde met eidpute x, fx)) e y,
Nadere informatieIteratie is het steeds herhalen van eenzelfde proces, verwerking op het bekomen resultaat. Verwerking
1. Wat is iteratie? Iteratie is het steeds herhale va eezelfde proces, verwerkig op het bekome resultaat. INPUT Verwerkig OUTPUT Idie de verwerkig gebeurt met ee (reële) fuctie geldt voor ee startwaarde
Nadere informatieOpgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100...
Opgave OPGAVE 1 a. Itereer met F( ) = e als startwaarde 1 e 1. 16 1............... 16 1............... b. Stel de bae grafisch voor i ee tijdgrafiek. c. Formuleer het gedrag va deze bae. (belagrijk is
Nadere informatieLineaire Algebra en Voortgezette Analyse
Lieaire Algebra e Voortgezette Aalyse Rise Poortiga Lieaire Algebra e Voortgezette Aalyse 01 Rise Poortiga ISBN 978908181518 NUR 918 http://www.risepoortiga.l Niets uit deze uitgave mag worde verveelvoudigd,
Nadere informatie3 Meetkundige voorstelling van complexe getallen
3 Meetkudige voorstellig va complexe getalle 31 Complexe getalle als pute va ee vlak Complexe getalle zij geïtroduceerd als pute va ee vlak tov ee orthoormaal assestelsel Ee dergelijk assestelsel is odig
Nadere informatie151 Universele eigenschappen voor algebra 3; 2015/02/08
151 Uiversele eigeschappe voor algebra 3; 2015/02/08 I het dagelijks leve make we vaak gebruik va apparate, zoals bijvoorbeeld auto s e computers, zoder dat we wete hoe die precies i elkaar zitte e hoe
Nadere informatieUitwerkingen huiswerk week 7
Lieaire algebra ajaar 008 Uitwerkige huiswerk week 7 Opgave 5 Ee -matrix va de vorm 1 a 1 a 1 a 1 a a a A 1 a 3 a 3 a 1 a a a 1 a1 1 a 1 3 a3 1 a 1 heet ee Vadermode matrix Laat zie dat det A 1 i
Nadere informatieNieuwe wiskunde tweede fase Profiel N&T Freudenthal instituut. Eindeloze Regelmaat
Nieuwe wiskude tweede fase Profiel N&T Freudethal istituut Eideloze Regelmaat Eideloze Regelmaat Project: Wiskude voor de tweede fase Profiel: N&T Domei: Voortgezette Aalyse Klas: VWO 6 Staat: Herziee
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 30 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 33 Outline 1 2 Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen
Nadere informatieUitwerkingen huiswerk week 7
Lieaire algebra ajaar 009 Uitwerkige huiswerk week 7 Opgave 19. Ee -matrix va de vorm 1 a 1 a 1 a 1 a a a A = 1 a 3 a 3 a.... 1 a a a 1 a1 1 a 1 3 a3 1. a 1 heet ee Vadermode matrix. Laat zie dat det A
Nadere informatieEen meetkundige constructie van de som van een meetkundige rij
Ee meetkudige costructie va de som va ee meetkudige rij [ Dick Kliges ] Iets verder da Euclides deed Er wordt door sommige og wel ees gedacht dat Euclides (hij leefde rod 300 v. Chr.) allee over meetkude
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 38 Outline 1 Rekenregels 2 K. P. Hart TW2040: Complexe
Nadere informatieHET BELANG VAN. Vragen Tijdens de voordracht op 14 augustus 2007 hebben we de volgende vragen besproken.
HET BELANG VAN KP HART Vrage Tijdes de voordracht op augustus 007 hebbe we de volgede vrage besproke. Hoe ku je izie dat ee vierkat, bij gegeve omtrek, de rechthoek met de maximale oppervlakte is? Hoe
Nadere informatieUITWERKINGEN TOETS TRAININGSKAMP. Valkenswaard, 10 juni 2006
UITWERKINGEN TOETS TRAININGSKAMP Valkeswaard, 0 jui 006 Opgave. Als we ee verzamelig pute i de ruimte hebbe, moge we ee put va de verzamelig spiegele i ee ader put va de verzamelig e het beeld hierva toevoege
Nadere informatieBass eenheden in ZG.
Bass eehede i ZG. 2 Hoofdstuk 1 Bass eehede 1.1 Cyclotoische eehede i Z(ɛ ) Als G ee abelse groep is, da zij de bicyclische eehede i ZG alleaal triviaal. We oete i die situatie dus op zoek gaa aar adere
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, 9.00-12.00 uur. Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven. De uitwerkingen van deze opgaven dienen
Nadere informatieDe wiskunde achter de GR
Domei Keuzeoderwerpe vwo B,D De wiskude achter de GR Ihoud 1.1 Biair rekee 1. Taylor beaderige 1.3 Nulpute, sijpute 1.4 Itegrale beadere 1.5 Overzicht I opdracht va: Stichtig Math4all Math4all, Deveter
Nadere informatieSet 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20)
1 Techische Uiversiteit Eihove Faculteit Wiskue e Iformatica Set 3 Ileveropgave Kasrekeig (2WS20) 2014-2015 1. (Flesjes ie uit e ba sprige) Aa ee lopee ba wore bierflesjes gevul. Helaas gaat er zo u e
Nadere informatieComplexe Analyse - Bespreking Examen Juni 2010
Complexe Analyse - Bespreking Examen Juni 2010 Hier volgt een bespreking van het examen van Complexe Analyse op 18 juni. De bedoeling is je de mogelijkheid te geven na te kijken wat je goed en wat je minder
Nadere informatieG0N34a Statistiek: Examen 7 juni 2010 (review)
G0N34a Statistiek: Exame 7 jui 00 review Vraag Beoordeel de volgede uitsprake. Als ee uitspraak iet juist is of ovolledig, leg da uit waarom e verbeter de uitspraak.. Bij het teste va hypotheses is de
Nadere informatieBetrouwbaarheid. Betrouwbaarheidsinterval
Betrouwbaarheid Ee simulatie beoogt éé of i.h.a. twee of meerdere sceario s te evaluere e te vergelijke, bij Mote Carlo (MC) simulatie voor ee groot aatal istelwaarde, voor éé of meerdere parameters. Hierbij
Nadere informatie3 Opgaven bij Hoofdstuk 3
3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 Opgave 3. Voor k beschouwen we de functie f k : x sin(x/k). Toon aan dat f k 0 uniform op [ R, R] voor iedere R > 0. Opgave 3.2 Zij V een verzameling. Een functie f : V C heet
Nadere informatieWISKUNDE 5 PERIODEN DEEL B
EUROPEES BACCALAUREAAT 2012 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 11 jui 2012, ochted DUUR VAN HET EXAMEN: 3 uur (180 miute) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Exame met techologisch hulpmiddel 1/6 NL VRAAG B1 ANALYSE Blz.
Nadere informatieHoofdstuk 9 : Steekproefstatistieken. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent.
Hoofdstuk 9 : Steekproefstatistieke Marix Va Daele MarixVaDaele@UGetbe Vakgroep Toegepaste Wiskude e Iformatica Uiversiteit Get Steekproefstatistieke p 1/20 Schattige Waeer uit ee steekproef de waarde
Nadere informatieOpgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Nadere informatieComplexe e-macht en complexe polynomen
Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op ,
1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op 25-11-1998, 9.00-12.00 uur Opgave 1 1. Formuleer de Cauchy-Riemann-vergelijkingen.
Nadere informatieUitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Rijen
Uitwerkige ij _0 Voorkeis: Rije V_ a U = 7 + U = +,5 7 + = +,5 0,5 = 4 = 8 Na 8 rode krijge ze elk,-. V_ U() =, 06 U( ) met U(0) = 500 e U() het eidedrag a jaar. V_ a u 458 8 r u 8 9 4 = = = dus 5 u5 8
Nadere informatie1) Definitie, rekenkundige en meetkundige rijen
Rije ) Defiitie, reeudige e meetudige rije ) Defiitie e ottie Ee rij is ee fbeeldig v u : u, u, u,, u, N i R We otere ee rij ls ( ) 3 Hierbij zij u, u, u 3, de terme v die rij, e u is de lgemee term v
Nadere informatieOplossingen extra oefeningen: rijen (leerstof RR, leerstof MR)
Oplossige extra oefeige: rije (leerstof RR, leerstof MR) Beschouw de rij ( u ) = 3,5,9,7,33, () Geef de volgede twee terme uit deze rij ( u e u 7) Defiieer deze rij (je mag kieze tusse ee expliciete of
Nadere informatieINLEIDING FYSISCH-EXPERIMENTELE VAARDIGHEDEN (3A560) , ANTWOORDEN. en y m.b.v. y = n
INLEIDING FYICH-EXEIENTELE VAADIGHEDEN (3A56 3-1-, ANTWOODEN OGAVE 1 (a y wordt bereked mb y ³ e y mb y Uit de laatste ergelijkig ide we y i ³ x1 1 + + x ³ x1 1 + + x ³ + j6i i j xj y + j6i i j xj Omdat
Nadere informatieDoe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle.
De n-de term van de numerieke rij (t n ) (met n = 0,, 2,...) is het rekenkundig gemiddelde van zijn twee voorgangers. (a) Bepaal het Z-beeld F van deze numerieke rij en het bijhorende convergentiegebied.
Nadere informatieHet andere binomium van Newton Edward Omey
Ileidig Het adere biomium va Newto Edward Omey Bija iederee heeft tijdes ij studies eis gemaat met de biomiale coëf- ciëte of getalle Dee worde diwijls voorgesteld oder de vorm die door Blaise Pascal (6-66)
Nadere informatieTECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN. Afdeling Algemene Wetenschappen. Onderafdeling der Wiskunde WISKUNDE IV. Gegeven in het Voorjaarssemester 1964
TECHNSCHE HOGESCHOOL ENDHOVEN Afdelig Algemee Weteschappe Oderafdelig der Wiskude WSKUNDE V Gegeve i het Voorjaarssemester 964 Oderafdelig der Wiskude Wiskude V GEGEVEN N HET VOORJAARSSEMESTER 9 6 4 E
Nadere informatieOefeningen Analyse I
Inleiding Oefeningen Analyse I Wil je de eventuele foutjes melden. Met dank, Yannick Meers e-mail: meers@skynet.be Hoofdstuk 7: Functiereeksen Oefening Gevraagd: We gaan opsplitsen voor x : GEVAL : x
Nadere informatieTentamen Calculus 2 25 januari 2010, 9:00-12:00 uur
Tentamen Calculus 5 januari 00, 9:00 -:00 uur Je mag geen rekenapparaat gebruiken. De opgaven t.e.m. 6 tellen allemaal even zwaar. Vermeld op elk papier dat je inlevert je naam en je studentnummer. Geef
Nadere informatie(2) Bepaal de absolute waarde van (1 + i) 10 + ( x x 1 = 1. (4) Bepaal lim
Tentamen Calculus I, 4 februari 009, 9:00 :00. Schrijf op elk in te leveren blad je naam, en op het eerste blad het aantal ingeleverde bladen. Alle (negen) opgaven tellen even zwaar. Het gebruik van boek(en),
Nadere informatieAanvullingen van de Wiskunde. S. Caenepeel
Aavullige va de Wiskude S. Caeepeel Syllabus 131 bij 1009383BNR Aavullige va de Wiskude Derde Bachelor Igeieursweteschappe Electroica e Iformatietechologie, Derde Bachelor Fysica 2017 Ihoudsopgave 1 Eerste
Nadere informatieLineaire algebra-b (2008)
Laatst veilig gesteld op: 7-Ja-009 6:34 Lieaire algebra-b 508 (008) Samevattig Dit is mij samevattig/hadleidig bij het vak lieaire algebra-b. Dit vak wordt gegeve uit stewart H7 e appedix H e Lay H5 e
Nadere informatieNETWERK B2 UITWERKINGEN VOOR HET VWO. HOOFDSTUK 10 CONVERGENTIE Kern 1 LIMIETEN. u 2 u 1. u 3. u 4. u 5. u 7
UITWERKINGEN VOOR HET VWO NETWERK B a) 7 log 7 7 log 7 7 b) 7 a) Niet b) Wel c) Niet ) HOOFDSTUK CONVERGENTIE Ker LIMIETEN Hee f t Ci j f ers log 7 7 log 7 7 77 ) µ Hee f t Ci j f ers a) µ ; µ ; ; µ ;
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo 2010 - II
Eideame wiskude B vwo 200 - II Sijde met ee hoogtelij Op ee cirkel kieze we drie vaste pute, B e C, waarbij lijstuk B gee middellij is e put C op de kortste cirkelboog B ligt. Ee put doorloopt dat deel
Nadere informatieOpgeloste Oefeningen Hoofdstuk 5: Wet van de grote aantallen en Centrale limietstelling
Opgeloste Oefeige Hoofdstuk 5: Wet va de grote aatalle e Cetrale limietstellig 5.. Ee toevalsveraderlijke X is oisso-verdeeld met parameter λ = 00. Bepaal ee odergres voor de waarschijlijkheid (75 X 5).
Nadere informatie1. Recursievergelijkingen van de 1 e orde
Recursievergelijkige va de e orde Rekekudige rije Het voorschrift va ee rekekudige rij ka gegeve wordt met de volgede recursievergelijkig: u = u + b Idie we deze vergelijkig i de vorm u = u u = b otere
Nadere informatieTECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN. Afdeling Algemene Wetenschappen. Onderafdeling der Wiskunde WISKUNDE I
TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN Afdelig Algemee Weteschappe Oderafdelig der Wiskude WISKUNDE I Syllabus va het College voor Eerstejaarsstudete Najaarssemester 969 ~ i 9 - '" 6 I H Z Qdesafdelig der Wiskude
Nadere informatie1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en
Nadere informatieDiscrete dynamische systemen
Cahiers T 3 Europe Vlaadere r. 19 Discrete dyamische systeme Recursievergelijkige met de TI-84 Joha Deprez Discrete dyamische systeme Joha Deprez HUBrussel, Uiversiteit Atwerpe, Katholieke Uiversiteit
Nadere informatieWaarschijnlijkheidsrekening en Statistiek
Vrije Uiversiteit Brussel Faculteit Toegepaste Weteschappe Waarschijlijkheidsrekeig e Statistiek S. Caeepeel e P. de Groe Syllabus bij de cursus Waarschijlijkheidsrekeig e Statistiek Tweede Kadidatuur
Nadere informatiePeriodiciteit bij breuken
Periodiciteit bij breuke Keuzeodracht voor wiskude Ee verdieede odracht over eriodieke decimale getalle, riemgetalle Voorkeis: omrekee va ee breuk i ee decimale vorm Ileidig I deze odracht leer je dat
Nadere informatieKansrekenen [B-KUL-G0W66A]
KU Leuve Kasrekee [B-KUL-G0W66A] Notities Tom Sydey Kerckhove Gestart 8 februari 2015 Gecompileerd 9 februari 2015 Docet: Prof. Tim Verdock Ihoudsopgave 1 Combiatoriek 2 1.1 Variaties..........................................
Nadere informatieEen andere kijk op Financiële Rekenkunde Wim Pijls, Erasmus Universiteit Rotterdam
Ee adere kijk op Fiaciële Rekekude Wim Pijls, Erasmus Uiversiteit Rotterdam. Ileidig Het vak Fiaciële Rekekude levert vawege zij sterk wiskudig karakter ogal wat probleme op i het oderwijs. Veel leerlige
Nadere informatieLes 1 De formule van Euler
Aatekeig VWO 6 Wis D Hfst 12 : Complee getalle gebruike Les 1 De formule va Euler Je kut complee getalle op 3 maiere schrijve : z = a + bi z = z (cosφ + i si φ) z = r e iφ = e p e iφ = e p+iφ met e iφ
Nadere informatieAanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen
Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk
Nadere informatieTentamen Functies en Reeksen
Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy
Nadere informatieUITWERKINGEN VOOR HET VWO NETWERK VWO B2
UITWERKINGEN VOOR HET VWO NETWERK VWO B HOOFDSTUK 9 KERN RIJEN a) Zie ook plaatje..., wat ieder mes schudt de had va twee adere. Dele door twee, wat bij de worde de pare hade dubbel geteld. b) c) d) ;
Nadere informatiefíéê~íáéi=çóå~ãáëåüé=éêçåéëëéå=éå= åìãéêáéâé=ãéíüççéå=
fíéê~íáéiçóå~ãáëåüééêçåéëëéåéå åìãéêáéâéãéíüççéå oçöéêi~äáé hçéåpíìäéåë Iteratie, dyamische processe e umerieke methode Roger Labie Koe Stules www.scholeetwerk.be 005, UHasselt (België), Scholeetwerk Weteschappe
Nadere informatie3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n.
Radboud Universiteit Tentamen Calculus A NWI-WP025 25 januari 208, 8.30.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieB C D E Welke rij is noch een Rekenkundige. noch een Meetkundige Rij? A B C D E
Naam : Klas:.Datum: Ma 0 sept. 00 Rechterkat als kladblad gebruike A. 5067 De rij x, x+, x+,... is rekekudig als x gelijk is aa ) ) ) 4) 4 5) 0 6) 4 7) 8) ee getal tusse e 0 B. 57 80 De legtes a, b e c
Nadere informatie