Studiehandleiding Calculus 2 voor SFM (Scheikunde, Farmo, MNW) deel 1

Transcriptie

1 Studiehadleidig Calculus 2 voor SFM (Scheikude, Farmo, MNW) deel 1 docet deel 1 Joost Hulshof, docet deel 2 C.M. Quat kamerummer: R340, S jhulshof@few.vu.l, quat@few.vu.l September 4, 2006

2 1 Ileidig Het vak Calculus II is odersteued voor de meer theoretische vakke i de doctoraalfase va de scheikudestudie. Eé va de doelstellige is om izicht te krijge i hoe ekele simpele partiële differetiaalvergelijkige kue worde opgelost middels de methode va scheidig va variabele. Om dat te bereike is ogal wat wiskude odig, e voor zover die iet bij Calculus I al behadeld is wordt dat i het vak Calculus II behadeld. De voorkeis is Calculus I. Bij het college wordt gebruik gemaakt va het boek Calculus: Early Tracedetals Matrix Versio va C.H. Edwards e D.E. Peey. Welke dele uit het boek worde gebruikt wordt per college hieroder beschreve. Er is gee dictaat. Wel wordt regelmatig stof aagebode die iet i het boek staat; de studete moete daarva zelf dictaat opeme. Naast het college is er bij het vak Calculus II éé adere oderwijsactiviteit, amelijk ee practicummiddag, waar het huiswerk kort wordt besproke, e waara ee aatal, meestal wat moeilijkere opgave wordt gemaakt. De tijd die je aast deze activiteite aa het vak zult moete bestede wordt vooramelijk igeome door het make va het huiswerk. I tegestellig tot bij het vak Calculus I is er gee huiswerkbegeleidig. Het loot verder weer de moeite om de colleges voor te bereide. Hoe je dat het beste kut doe vid je per college verderop i deze hadleidig uitgelegd. Daarmee be je misschie ee of aderhalf uur kwijt. Verder moet je het tetame voorbereide. Bij ee actieve deelame aa het college e practicum moet het ruim voldoede zij om gedurede vijf dage elke dag ee oud tetame te make e daaraast de stof door te eme. Oude tetames ku je krijge bij VCSVU. Net als bij Calculus I bestaat het tetame uit ee aatal opgave, va hetzelfde type als i de practica zij gemaakt. Alle cijfers worde i tiede uitgereked, e vervolges afgerod op halve, met uitzoderig va cijfers tusse 5,3 e 5,7, die worde afgerod aar ee 5 of ee 6. Nadat het is agekeke ka het gemaakte werk worde igezie bij het studiesecretariaat wiskude, S 303. Je kut daar ook ee kopie krijge va je werk. 1

3 2 College Er zij dertie colleges, waarva zeve i het eerste blok. College 1. Oderwerp: Fucties va meer variabele: limiete, cotiuiteit e partiële afgeleide. Voorwaarde voor verwisselig va x e y. Voor de liefhebbers ee voorbeeld waarbij dat mis gaat. Opdracht: lees i het dictaat Wiskude I og ees a hoe dat ook alweer zat met partiële afgeleide. Voorbereidigstijd: circa ee half uurtje. Doelstellig: de studet ka partiële afgeleide uitrekee, e heeft eig gevoel voor de probleme die er zij met limiete e cotiuiteit. Literatuur: Edwards & Peey, Hoofdstuk 13, paragraaf 1-4. College 2. Oderwerp: Fucties va meer variabele: de afgeleide, de kettigregel, speciale gevalle va de kettigregel. Opdracht: Lees i het dictaat Wiskude I de kettigregel og ees a, e zorg er voor dat je weet hoe dat i elkaar zit. Lees ook og ees a hoe matrixvermeigvuldigig werkt. Bekijk ook de stof va vorige week. I ee paar va de somme heb je (meestal zoder daar overiges veel bij stil te staa) de kettigregel gebruikt. Ga a dat dat zo is. Voorbereidigstijd: circa ee uurtje Doelstellig: de studet leert dat de afgeleide ee matrix is, e dat de kettigregel er da et zo uitziet als i het geval va fucties va éé variabele. Hij/zij leert ee paar veel voorkomede gevalle va de kettigregel kee (coördiatetrasformatie i twee dimesies, bijvoorbeeld). Literatuur: Edwards & Peey, Hoofdstuk 13, paragraaf 6-8. Welke dele relevat zij wordt op college duidelijk. Het is verstadig zelf dictaat op te eme. College 3. Oderwerp: Fucties va meer variabele: maxima e miima, impliciet differetiëre, extreme oder evevoorwaarde (methode va Euler-Lagrage). Opdracht: lees i het dictaat Wiskude I a hoe de stellig over maxima e miima va fucties va éé variabele i elkaar zit (dat is middelbare-schoolstof!). Lees ook de stof va de voorgaade weke a. Voorbereidigstijd: ee klei uurtje Doelstellig: de studet leert wat zadelpute e extreme zij e hoe ze te bepale, e ka eevoudige voorbeelde aa va het bepale va extreme oder evevoorwaarde. Literatuur: Edwards & Peey Hoofdstuk 13, paragraaf 8-9; 2

4 College 4. Oderwerp: Itegratie va fucties va meer variabele. Eerst over ee rechthoek, daara over ormaalgebiede. Stellig over verwisselig va de itegratievolgorde. Opdracht: Lees de hoofdstukke over primitivere e itegrere uit het Wiskude I dictaat og ees a. Maak ook og ees ee paar sommetjes. Het is belagrijk dat je goed kut primitivere e itegrere om de stof va de volgede twee weke goed te kue volge, dus het advies om sommetjes te make is zeer serieus. De voorbereidigstijd is daar ook op afgestemd. Voorbereidigstijd: mistes aderhalf uur Doelstellig: de studet leert fucties va twee variable over eevoudige gebiede te itegrere. Literatuur: Edwards & Peey, Hoofdstuk 14 paragraaf 1-4 College 5. Oderwerp: Itegratie va fucties va meer variabele: overgag op poolcoördiate. Algemee stellig over overgag op adere coördiate. Opdracht: lees de stof va vorige week door. Lees uit het dictaat Wiskude I het gedeelte dat gaat over substituties bij itegrale (eerste e tweede substitutieregel). Voorbereidigstijd: ee klei uurtje Doelstellig: de studet begrijpt hoe i het algemee substituties bij meervoudige itegrale werke, e ka dat voor eevoudige gevalle zelf. Literatuur: Edwards & Peey, Hoofdstuk 14 paragraaf 7-9. College 6. Oderwerp: Rije va getalle. Limiete daarva, i het bijzoder ekele stadaardlimiete. Reekse va positieve getalle, de begrippe covergetie e divergetie. De harmoische reeks wordt behadeld e de meetkudige reeks. Daara worde ekele covergetiecriteria gegeve. Opdracht: lees uit het dictaat Wiskude I og ees het stuk over limiete. Bekijk met ame de stadaardlimiete. Voorbereidigstijd: circa ee half uurtje Doelstellig: de studet moet overweg kue met de begrippe covergetie e divergetie va ee reeks. Literatuur: Edwards & Peey, Hoofdstuk 10, paragraaf 1-3,5,7. College 7. Oderwerp: Reekse: de begrippe absolute e relatieve covergetie. Covergetiecriteria. Herschikkig va de getalle i ee relatief covergete reeks levert ee adere uitkomst (dat is verrassed!). Machtreekse Opdracht: lees de stof va vorige week. Voorbereidigstijd: circa ee uurtje 3

5 Doelstellig: de studet overtuige va de probleme bij het sommere va oeidig veel terme. Het stukje over machtreekse is ee belagrijke voorbereidig op de stof va de volgede twee weke. Literatuur: Edwards & Peey, Hoofdstuk 10, paragraaf Practicum Het practicum is misschie wel het meest belagrijke deel va de hele cursus. Wiskude is immers ee vak dat je het beste leert door het zelf te doe. De vaardighede die je hier opdoet zij essetieel voor het vervolg va je studie. De somme die hier behadeld worde zij vaak wat lastiger da de somme va het huiswerk. Er loopt ook iet voor iets ee docet(e) rod. Die geeft aawijzige, e vertelt je waeer je op de verkeerde weg zit. De tetameopgave zulle va dezelfde moeilijkheidsgraad zij als de practicumopgave. Voor het practicum moet je het huiswerk al gemaakt hebbe. Je hebt iet zoveel aa het practicum als dat iet het geval is. Het huiswerk ku je atuurlijk rustig thuis make (als je dat prettiger vidt), maar het loot ook de moeite om dat met ee groepje same te make. Op de maadagmiddag is er tijd vrij om dat te doe. Hieroder volgt per week ee lijst met de opgave voor het huiswerk e het practicum. 4 Huiswerk Week 1: Huiswerk: Aavullige 9: 9.1, 9.2, 9.3. Practicum: Aavullige 9: 9.4, 9.5, 9.6. Week 2: Huiswerk:Aavullige 9: 9.7, 9.8, 9.9; 7: 2d, 3a Practicum: Aavullige 7: 2a, g, 3b, c. Week 3: Huiswerk: Aavullige 7: 4a, d, 5a, c, 6a, b. Practicum: Aavullige 9: 9.10, 9.11; 7: 5g, h, evetueel f. Week 4: Huiswerk: Aavullige 10: 10.1; 8: 1, 2a. Practicum: Aavullige 8: 2 b, c, 3 b, c, evetueel 2d. Week 5: Huiswerk: Aavullige 10: 10.2, 10.3; 8: 4 a, e. Practicum: Aavullige 10: 10.4, 10.5; 8: 4 b. Week 6: Huiswerk: Aavullige 11: : 1 a, d, 4 a, c, g. Practicum: Aavullige 6: 2 g, 3 a, b, f, 4 rest. 4

6 Week 7: Huiswerk: Aavullige 6: 5, a, b, c, d, 7 b, c, e, g; 11: 11,2. Practicum: Aavullige 6: 5 afmake, 7 a, d,. 5 Aavullede literatuur De oderstaade boeke zij op het zelfde iveau als het college, e behadele i ieder geval ruwweg de oderwerpe uit het college (e veel meer). Ze bevatte ee schat aa extra oefemateriaal. J. Grasma: Wiskudige methode toegepast, Epsilo uitgave 22, Utrecht, 1992 D.W. Jorda e P. Smith: Mathematical Techiques, Oxford Uiversity Press, 1994 Gly James: Advaced Moder Egieerig Mathematics, Addiso Wesley, 1993 Gly James: Moder Egieerig Mathematics, Addiso Wesley, 1993 A.Croft, R. Daviso, M. Hargreaves: Egieerig Mathematics, Addiso Wesley, 1996 M.H. Protter e C.B. Morrey, Jr.: College Calculus with aalytic geometry, Addiso Wesley, 1971 (secod editio) Meer gespecialiseerde literatuur is atuurlijk volop voor hade. Het volgede boekje bijvoorbeeld, behadeld veel wat i de colleges Wiskude I e Wiskude II over (partiële) differetiaalvergelijkige ter sprake is gekome vauit ee wat hoger stadput. J.J. Duistermaat e W. Eckhaus: aalyse va gewoe differetiaalvergelijkige, Epsilo uitgave 33, Utrecht, Ee boek dat de stof va de tweede helft va het college behadeld vauit ee wat hoger perspectief is het volgede. J.W. Brow ad R.V. Churchill: Fourier series ad boudary value problems, McGraw-Hill, 1993 (fifth editio) 5

7 Aavullede opgave 6 Reekse 6.1 Sombepalig. Bepaal de som: 1 a 3 b ( + 1)! =2 =3 c l(1 1 2 ) d 1 ( + 1)( + 3) =2 =1 e u, =1 als gegeve is dat de reeks covergeert e de algemee term voldoet aa de recursierelatie: f g u +2 = au +1 + bu, met a + b 1 +1 u, waari u = e x dx =1 =0 e (+ 1 2 )hν kt 6.2 Reekse met iet-egatieve terme (majoratie). Oderzoek de covergetie va de volgede reekse: a c e g i b d ( 2 1) l 2 f 2+si x 2 h j 1 2 l 6

8 6.3 Reekse met iet-egatieve terme (limiet-criterium). Oderzoek de de covergetie va de volgede reekse: a si 1 2 b ta 1 c e g si( +1 ) d l(1 + 1 ) ( ) l( 2 + 1) l 2 f arcta e 1 h 1 e 1 2 si Reekse met iet-egatieve terme (wortel- e quotiet criterium). Oderzoek de de covergetie va de volgede reekse: a ( 1)! b 3 ( ) c e (2)! d ( +1! 100 f (+1) 2 g ( 2 + 2)e h 1 ( 2 ) 6.5 Absolute e relatieve covergetie. ) ( 1) Oderzoek de covergetie va de volgede reekse. Geef bij covergetie aa of deze absoluut da wel relatief is. a c e g i ( 1) b si π +2 ( 1) 1 ( 1) ( 1)!+1 (+1)! d f ( 1) l ( 1) ( 1) h ( 1) +1 ( 1) cos π j ( 1) 2 +1 l( ) 7

9 6.6 Machtreekse: covergetiestraal Bepaal de covergetiestraal va de volgede machtreekse: a!z b! (2)! z c e 3 z 2 d 2 z l ( i 3 ) z 3 1 f 6.7 Reële machtreekse (i+1) z +2 Bepaal va de volgede reële machtreekse de covergetiestraal, het gedrag i de radpute va het covergetie-iterval, e de som voor alle x waarvoor de reeks covergeert. a c e g i k m 1 x ( + 1) b 1 x + 1 x +1 x 1 d 1 1 x f ( + 2)x x! + 1 x! x 5 x 2 2(2 1) h j l 1 +1 x2+1 ( 1) x x x +1 ( + 1) Ga a voor welke waarde va x de volgede reekse covergere, e bepaal voor die waarde va x de som: e x o 2 p ( ) l(1 x) 1 1 8

10 6.8 Machtreeksotwikkelig. Otwikkel de volgede fucties i ee machtreeks (Taylor-reeks) i de buurt va x = 0. Geef aa voor welke (reële) x de otwikkelig geldig is: 1 1 a b 1 + 2x 1 + x x x c d 1 x (1 x)(1 + 2x) (Breuksplitsig) e x e 1 x 1 f x si x2 (!) g Bewijs dat de fuctie, gedefiieerd door f(x) = si x2 x 2 (x 0), f(0) = 1 obeperkt vaak differetieerbaar is i x=0. Bereke f (0) e f (0). h Bewijs dat de fuctie, voor 0 gedefiieerd door: f(x) = cos x cos 2x x 2 cotiu voortzetbaar is i x = 0, e dat die voortzettig da obeperkt differetieerbaar is op IR. i Zij f(x) = { e x 1 x 2 x, voor x < 1, x 0 1, voor x = 0 Bewijs dat f differetieerbaar is i x = 0 e bereke f (0). 9

11 6.9 Machtreekse e differetiaalvergelijkige a Laat y = y(x) = a x =0 voldoe aa de d.v. (1 x 2 )y 2xy = 0, met y(0) = 1. Bepaal alle a (oderscheid eve e oeve). Verifieer het gevodee door de d.v. op te losse. b Laat y = y(x) = a x =0 voldoe aa de d.v. 4(1 + x)y + 2y + y = 0, met y(0) = 0, y (0) = 1. Bereke a 0, a 1, a 2, a 3 e a 4. 10

12 7 Differetiere 7.1 Jacobi-matrix. Bereke de Jacobi-matrix e -determiat va de volgede afbeeldige: ( ) r cos φ a Φ(r, φ) = r si φ Welke lije correspodere met de rechte r = costat, resp. φ = costat? ( ) x y b Φ(x, y) = 2x + y Welke lije correspodere met de rechte x = costat, resp. y = costat? ρ cos φ c Φ(ρ, φ, z) = ρ si φ z r si θ cos φ d Φ(r, φ, θ) = r si θ cos φ r cos θ 7.2 Kettigregels. Differetieer (partiëel), oder aaame dat f : IR 2 IR, e g : IR IR cotiu differetieerbare fucties zij. a g(x 2 + y 2 ) b g( 1 x y ) c f( 1 t, arcsi t) d f(t, g(t)) e l si f(x, y) f 1 f(x,y) g f(u + v, u l v) h f(uv, g(u v)) 11

13 7.3 Substituties: differetiaaluitdrukkige va eerste orde. Gegeve is ee cotiu differetieerbare fuctie z = f(x, y). a Substitueer x = l u + v, y = u + v l v. Druk x uit i u, v, u e v. b Substitueer x = uv, y = u + v. Druk y x + 2 y uit i u, v, u e v. c Substitueer x = e u cos v, y = e u si v. Druk (x y) x + (x + y) y uit i u, v, u d Substitueer x = cos φ { r Druk (x 2 + y 2 ), y = si φ r. ( x )2 + ( y )2 } uit i u, v, r e v. e φ 7.4 Substituties: differetiaaluitdrukkige va hogere orde. Gegeve is ee 2-maal cotiu differetieerbare fuctie z = f(x, y). a Substitueer x = uv, y = u v. Druk 2 z x y uit i z, u, v, u e v. b Substitueer x = uv, y = u + 1 ( ) v. Druk y 2 2 z uit i z, u, v, x 2 u e v. c Substitueer x = u 2 + v 2, y = u + v. Druk (2x y 2 ) 2 z + x 2 x uit i z, u, v, u d Veroderstel dat z = f(x, y) voldoet aa x 2 2 z x 2 + 2xy 2 z x y + y2 2 z y 2 = 0 e v. Substitueer x = e u cos v, y = e u si v.. Too aa dat z da als fuctie va u e v voldoet aa 2 z u 2 u = 0. 12

14 7.5 Uiterste waarde (vrije extreme). Bepaal de plaats va de statioaire pute va f, e geef aa i welke daarva f ee lokaal maximum of miimum aaeemt: a f(x, y) = y 2 x 3 b f(x, y) = y 2 + x 2 y + x 4 c f(x, y) = x 2 y + xy 2 xy d f(x, y) = x 3 + y 3 xy e f(x, y) = x 2 xy + y 2 2x + y f f(x, y) = e 2x+3y (8x 2 6xy + 3y ) g f(x, y) = (x 1) 4 + (x y) 4 h f(x, y) = 2x 4 x 2 2y 2 + y Extreme oder evevoorwaarde. Gebruik i de volgede opgave de multiplicatiemethode va Euler- Lagrage. a Bepaal de extreme va x + y op de cirkel x 2 + y 2 = 1. b Idem va x 2 + y 2 op de rechte x + y = 1. c Idem va x 3 y + xy 3 2xy x 2 y op de crikel x 2 + y 2 = 1. d Idem va x(x 2 + y 2 2x) op de cirkelschijf x 2 + y 2 4. e Bepaal de extreme va (xyz) 2 op de bol x 2 + y 2 + z 2 = 3. U mag aaeme dat max. e mi. bestaa! f Idem voor x 2 y 3 z 4 op het vlakdeel x + y + z = 9 met x 0, y 0, z 0. g Bepaal de kortste afstad va (0, 0) tot de hyperbool 2x 2 + 4xy y = 0. h Bepaal de afstad va het put (3, 2, 1) tot het vlak 2x 3y 4z =

15 8 Itegrere 8.1 Veradere va itegratievolgorde. Verader de itegratievolgorde i de volgede itegrale: a b c ( y y ( x 2 ) f(x, y) dx dy x 2 ) f(x, y) dy dx ( 6 x ) f(x, y) dy dx 2x 8.2 Itegrere over ee deel va IR 2. Bereke de volgede gebiedsitegrale: a D x3 y 2 dx dy, waari D = {(x, y) x 2 + y 2 R 2, x 0}. b D (x2 +y) dx dy, waari D het gebied is, begresd door de parabole y = x 2 e y 2 = x. c x 2 D dx dy, waari D het gebied is, begresd door de rechte y 2 x = 2, y = x e de hyperbool xy = 1. d D x2 y 2 1 x 3 y 3 dx dy, waari D het gebied is, begresd door de positieve coördiaatasse e de curve x 3 + y 3 = 1. e D y x 2 dx dy, waari D = [1, 1] [0, 2]. f D cos(x + y) dx dy, waari D = [0, π] [0, π]. g D [x + y] dx dy, waari D = [0, 2] [0, 2] e [a] de etier va a voorstelt: [a] = max{ Z, a}. 14

16 8.3 Herhaalde itegrale. a Zij f : IR IR ee cotiue fuctie. Too aa dat a ( y ) a e a x f(x) dx dy = te t f(a t) dt (a > 0) 0 b Bereke a 0 c Bereke ( x ( 1 y 2 e y2 1 2 x 8.4 Trasformaties i IR 2. y ) dy dx + si x x dx ) dy 2a a 0 ( a y 2 e y2 1 2 x ) dy dx Bereke de volgede itegrale: a D arcta y x dx dy, waari D = {(x, y) IR 2 1 x 2 + y 2 9, 1 3 x 3 y x 3}. b D 4 x2 y2 dx dy, waari D de elliptische rig is, begresd a 2 b 2 door de ellipse x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 resp. x 2 4a 2 + y2 4b 2 = 1 c D (x y)2 si 2 (x + y) dx dy, waari D het vierkat is met hoekpute (π, 0), (2π, π), (π, 2π) e (0, π). d D ex+y dx dy, waari D = {(x, y) IR 2 x + y 1}. e D x 2 + y 2 dx dy, waari D de halve cirkel met cetrum (1, 0), straal 1 i het positieve kwadrat. (Gebruik poolcoördiate. De cirkel wordt daari beschreve door r = 2 cos φ) f D y2 dx dy, waari D het rechter maatje is tusse de cirkels met straal 2 om (0, 0) e (2, 0). 15