We kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "We kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen:"

Transcriptie

1 Masteropleidig Fiacial Plaig Kwatitatieve Methode Relevate wiskude We kee i de wiskude de volgede getalleverzamelige: De atuurlijke getalle: N = {0,,,,4, } De gehele getalle: Z = {, -,-,-,0,,,, } (egels: "itegers") p De ratioale getalle: Q = {, metpeqgeheel, q¹ 0}, dus de breuke q De reële getalle: R Dat zij de ratioale getalle e de irratioale getalle, dat zij getalle die iet als ee breuk va gehele getalle te schrijve zij (Bijv e p ) We kue met (reële) getalle de volgede bewerkige uitvoere: Optelle: + 4 = 7 De getalle e 4 hete da de terme va ee som Vermeigvuldige: 4 = De getalle e 4 hete da: de factore va ee product Machtsverheffe: 5 = = 5 De uitdrukkig 5 heet ee macht 5 heet het grodtal (egels: base) e heet de expoet Let op: + 4 = 4 + e 4 = 4 Optelle e vermeigvuldige zij commutatief 5 Maar 5 ¹ : machtsverheffe is iet commutatief Bij ee combiatie va verschillede bewerkige gelde i de wiskude voorragsregels: Machtsverheffe gaat vóór vermeigvuldige e vermeigvuldige gaat vóór optelle: + 4 5= (e iet 5) 5 00 (,06) =,8 (e iet , ee getal dat hoderd-miljoe keer te groot is!) Variabele zij letters (vaak x of y ) die getalwaarde kue aaeme Idie er gee speciale opmerkige over de variabele gemaakt worde, eme we aa dat de variabele reële getalwaarde kue aaeme Notatie: Het product va twee variabele x e y ka geoteerd worde door: x y Meestal schrijft me x y of kortweg: xy Krijgt ee va beide variabele ee getalwaarde toegeked, da wordt dit getal altijd liks geschreve Krijgt i de uitdrukkig xy de variabele y de waarde, da otere we dit met: x (liever da x ) Haakjes De voorragsregels zij odergeschikt aa het gebruik va haakjes: (+ 4) 5 = 7 5= 5

2 Wille we tóch eerst vermeigvuldige e da pas optelle da moete we de factor 5 "bie haakjes hale": 5 ( + 4) = = = 5 Algemee: a ( b + c) = ab ( + c) = ab + ac Deze formule wordt de "distributieve eigeschap" geoemd, de factor a moet "gedistribueerd" (=verdeeld) worde over beide terme b e c Passe we bovestaade formule i omgekeerde richtig toe, dus: ab+ ac = ab ( + c) da zegge we: we hebbe de gemeeschappelijke factor a "buite haakjes gehaald" Ook geldt: ab- ac = ab ( - c) Voorbeelde: x - xy = x( - y) a + a = a + aa = a + a ( ) (,06) = 00 (-,06) I de algebra gelde de volgede belagrijke idetiteite (merkwaardige producte): ( a + b) = a + ab + b ( a- b) = a - ab + b ( a + b)( a- b) = a -b Ga a dat geldt: (+ 4) = = = 49 Merk op: (+ 4) ¹ + 4 Negatieve gehele expoete Voor a ¹ 0 defiiëre we: Voorbeelde: 5 - = = = 0, æö ç = = çè ø ( 0,007) 0 = Rekeregels voor machte: a - 0 = e a = a m m a a = a + ( ab) = ab a -m = a m a ( a ) m = a m æaö a ç = çè b ø b

3 Let op: * met 9 wordt bedoeld: 5 = e ( ) * Er is verschil tusse x e ( x) = x = 8x * - =- 4 e (- ) = 4 6 is: = 64 Wortels Defiitie: Met a (de wortel uit a ) wordt bedoeld: het iet - egatieve getal waarvoor geldt: a a = a Zo is 9 = (e iet - ) De rekeregels va expoete blijve geldig idie we a otere met a Voor positieve getalle kue we i het algemee gebroke expoete als volgt defiiëre: Defiitie: a p q q p = a voor 0 a > e q ¹ 0 Voorbeelde: 000 = 000 = 0 ( ) 5 = 5 = 5 = 5 = = = = Let op: ¹ De wortel uit de som va twee (of meer) terme is iet de som va de wortels!! Rekemachies hebbe ee kopje om machte e wortels te berekee y Machte: x e wortels: y y x of x (vaak is hier eerst de kop SHIFT odig) Cotroleer met uw rekemachie: (,005) =,0668 e,06 =,00487 beide berekeige afgerod op 5 decimale Rije Ee rij is ee geordede verzamelig getalle, die de "terme" va de rij geoemd worde Het eerste getal uit de rij heet de "eerste term", geoteerd met t, het tweede getal heet tweede term, geoteerd met t ez De -de term wordt geoteerd met t De letter heet idex of ragummer Vaak wordt ee rij gegeve door de -de term te schrijve als ee formule met deze Voorbeelde: t = + geeft de rij:, 6,, 0, We vide dit door voor i te vulle:,,, ez

4 4 - æ ö t = ç çè ø geeft de rij:,, 4, 8, 6, Het is duidelijk dat de terme va deze rij steeds dichter bij 0 kome te ligge, aarmate we verder i de rij kome Het getal 0 wordt i dit geval de "limietwaarde" va de rij geoemd 7 Voor de som va de eerste vier terme geldt: t + t + t + t = = 8 We otere de som va de eerste vier terme met s 4 Dus s 4 = t + + t 4 e i het algemee: s = t + + t Soms wordt hiervoor het sigma-teke ( å ) gebruikt: s = t + + t t =å i i= Twee speciale rije spele i de fiaciële rekekude ee rol, de rekekudige e de meetkudige rij Rekekudige rije Ee rekekudige rij is ee rij waarbij elke term otstaat door bij de eraa voorafgaade term telkes hetzelfde getal op te telle,, 5, 7, 9, de rij der oeve getalle De eerste term t is e door hierbij op te telle vide we de tweede term Door hierbij weer op te telle vide we de derde term, ez Dit getal wordt het verschil va de rekekudige rij geoemd e geoteerd met v Dus hier geldt: v = Wete we va ee rekekudige rij t e v da is de rij volledig beked Het verschil mag ook egatief zij 0, 7, 4,, -, -5, Dit is ee rekekudige rij met t = 0 e v =- Voor rekekudige rije gelde de volgede (eevoudig te cotrolere) formules: t = t + ( - ) v () s = t ( + t ) () Voorbeelde: * Va ee rekekudige rij is gegeve: t = e v = Bereke t 6 e s 6 Formule geeft: t = t + 5v = + 5 = 6 6 Formule geeft: s = 6 6 (+ 6) = 5 * Va ee rekekudige rij is gegeve: t = 7 e t 4 = 5 Bereke t e s t + v = 7 Formule geeft: t + v = 5 Trekke we deze vergelijkige va elkaar af da vide we: v = 8 dus v = 4 waaruit volgt: t = Formule geeft da: t = + 4= 47

5 5 Formule geeft: s = (+ 47) = 00 * Lieaire leig Ee hypotheek va (euro's, dollars of wat da ook) wordt afgelost door gedurede 0 jaar telkes aa het eid va elk kwartaal hetzelfde bedrag te betale voor aflossig Daaraast moet iterest betaald worde Het iterestpercetage is % per kwartaal Elk kwartaal wordt dus afgelost: = 50 0 Aa het eid va het eerste kwartaal moet i totaal betaald worde: Aa aflossig 50 plus aa iterest % va = 000 I totaal dus te betale: 450 De schuld gedurede het tweede kwartaal is 50 mider, e dus: Aa het eid va het tweede kwartaal moet i totaal betaald worde: Aa aflossig 50 plus aa iterest % va = 975, dus i totaal: 45 Aa iterest hoeft dus u 5 mider betaald te worde, dat is % va 50 We kue u ee "aflossigsschema" va de schuld make: kwartaal schuld aflossig itere st De schuld eemt elk kwartaal af met 50 De iterest eemt elk kwartaal af met 5 De iterestbedrage vorme ee rekekudige rij Hoeveel is u i totaal aa iterest betaald, a het aflosse va de schuld? Dat is: 0 ( ) = 8500 Meetkudige rije Ee meetkudige rij is ee rij waarbij elke term otstaat uit de eraa voorafgaade term, door telkes met hetzelfde getal te vermeigvuldige Deze costate vermeigvuldigigsfactor heet de "rede", otatie: r Voorbeelde:,, 4, 8, 6,, 64, is ee meetkudige rij met eerste term e rede r =,, 4, 8, 6, is ee meetkudige rij met eerste term e rede r = ½ Zij va ee meetkudige rij de eerste term e de rede gegeve da gelde voor de -de term e de som va de eerste terme de volgede (eevoudig te verifiëre) formules: t t r - = ()

6 6 - r s = t - r De somformule is geldig voor r ¹ (4) Va ee meetkudige rij is gegeve: t = e r = Bereke t 5 e s 5 t 5 4 = ( ) = 6 5 -( ) s = = = 5 = = 6-5 Dit laatste ka atuurlijk ook eevoudig bereked worde door: = 6 maar als ee groot aatal terme moet worde gesommeerd is de formule hadiger Fiaciële rekekude We zulle eerst het begrip iterest wat ader bekijke Stel ee (begi)kapitaal va 000,- ($ of of wat da ook) wordt op ee spaarrekeig gezet met ee iterestpercetage va 7% per jaar Na éé jaar is dat kapitaal gegroeid tot: % va 000 = ,07x000 = 070 Het kapitaal is met 7% vermeerderd e dat wil zegge: vermeigvuldigd met,07 We otere het iterestpercetage gewoolijk met p, dus i dit voorbeeld geldt: p = 7% De p grootheid met weglatig va het % teke wordt het (iterest)peruage geoemd e meestal 00 geoteerd met i, dus hier: i = 0,07 We otere het begikapitaal met K e het kapitaal a jare met K 0 Dus: K = 000 (,07) = 070 K K 5 = = 000 (,07) 44,90 = = (,07) 40,55 I het algemee geldt de formule: K = K ( + i) (5) 0 K wordt dus het begikapitaal geoemd, maar ook wel "begiwaarde" of "preset value" (PV) 0 K heet slot- of eidkapitaal, of eidwaarde of future value (FV) i is hier het jaarlijkse iterestperuage e stelt het aatal jare voor We kue bovestaade formule atuurlijk ook gebruike als er ee adere tijdseeheid da jaar wordt gebruikt, maar da moet ook het iterestperuage gegeve worde voor de betreffede tijdseeheid Ee begikapitaal va 000 dat uitstaat tege 0,4 % iterest per maad is a éé jaar gegroeid tot: K = 000 (,004) = 098,4

7 Idie ee bak ee klat ee leig aabiedt, tege ee iterestpercetage va 8 % per jaar, maar i de praktijk de klat belast met ee iterest va 8/4 = % per kwartaal, is het werkelijke 4 jaarlijkse iterestpercetage iets hoger da 8 % Omdat geldt: (,0) =,084 is het werkelijk i rekeig gebrachte jaarlijkse iterestpercete dus 8,4 % Dit heet da het effectieve jaarlijkse iterestpercetage Het voorgespiegelde percetage va 8% per jaar heet i dat geval het schijbare of omiale iterestpercetage Tegewoordig zij de bake verplicht om i hu offertes altijd het effectieve jaarlijkse iterestpercetage te vermelde Formule (5) ka ook gebruikt worde om bij ee gegeve eidwaarde de begiwaarde te berekee Hoeveel geld moet ik u op ee rekeig zette om over 0 jaar de beschikkig te hebbe over $ 4000,- bij ee iterestpercetage va 5 % pj? We moete oplosse: 4000 = K (,05), dus: 0 K = 0 0 = 4000 (,05) = 455,65 (,05) Deze begiwaarde va $ 455,65 wordt ook wel de cotate waarde geoemd 7 Voor het berekee va cotate waarde wordt formule (5) meestal geschreve als: K = K ( ) 0 + i - (6) Cash flow Ee ivesterig levert volges de progose a ee jaar $ 0000 op, a twee jaar $ 5000 e a vier jaar $ 0000 Wat is de totale cotate waarde va de kasstrome (cash flow) bij ee iterestpercetage va 0 % per jaar? De som va de cotate waarde (Total Preset Value, TPV) is gelijk aa: TPV = + + = (,) 5000 (,) 0000 (,) $547,87 De som va de slotwaarde (Total Future Value, TFP) a vier jaar is gelijk aa: TFV = 0000 (,) (,) = $5460,00 Merk op dat dit precies de opgeiterest waarde is va de TPV over vier jaar: ,00= 547,87 (,) Auïteite We kue ook de totale cotate waarde (TPV) berekee va telkes hetzelfde bedrag aa het eid va elk jaar Dergelijke jaarlijks gelijkblijvede bedrage worde auïteite geoemd Wat is de totale cotate waarde (TPV) va tie bedrage va 00 die gedurede tie jaar telkes aa het eid va elk jaar gestort worde bij ee iterestpercetage va 6%? De 00 die

8 8 aa het eid va het eerste jaar gestort wordt, moet over éé jaar cotat gemaakt worde e wordt dus: 00 (,06) - De cotate waarde va 00 aa het eid va het tweede jaar is: 00 (,06) - ez De totale cotate waarde va de tie bedrage wordt dus: TPV = 00 (,06) + 00 (,06) (,06) Vermeigvuldige we deze vergelijkig aa beide zijde met,06 da komt er: - -9,06 TPV = (,06) (,06) Trekke we deze twee vergelijkige va elkaar af da levert dit op: ,06 TPV = (,06) = 00 (-,06 ) Hieruit kue we, door beide kate te dele door 0,06 ee formule voor TPV afleide: TPV -0 -,06 = 00 (7) 0,06 Met ee rekemachie is dit verder te bepale: TPV = 00 7, = 88,0-0 -,06 De uitdrukkig: wordt i de fiaciële rekekude geoteerd met: a e werd 0,06 06 vroeger bepaald door de waarde erva op te zoeke i tabelleboeke Tegewoordig volstaat ee rekemachie Formule (7) kue we als volgt geeralisere: Telkes aa het eid va elk jaar wordt gedurede jare hetzelfde bedrag A gestort bij ee iterestpercetage va p % per jaar De totale cotate waarde va deze auïteite is: - -( + i) TPV = A = Aa (8) p i Hierbij geldt uiteraard: p i =, p = 00 i e 00 a p - -( + i) = i Formule (8) wordt gebruikt bij de zogeaamde auïteiteleig, dat is ee leig die meestal wordt afgeslote voor de aaschaf va ee huis (hypothecaire leig) e waarbij wordt afgesproke dat de leig wordt terugbetaald door telkes aa het eid va elk jaar hetzelfde bedrag te betale voor iterest e aflossig same De totale cotate waarde (TPV) is de prijs va het huis De looptijd va de leig (het aatal jare gedurede welke moet worde terugbetaald) e het iterestpercetage worde door de bak e de klat overeegekome auïteiteleig Iemad leet ee bedrag va voor de aaschaf va ee woig De terugbetalig vidt plaats door gedurede 0 jaar telkes aa het eid va ieder jaar hetzelfde bedrag te betale voor iterest e aflossig same (auïteite) Het iterestpercetage is 7 % De hoogte va de jaarlijkse auïteit is met formule (8) te bepale: -0 - (,07) 00000= A = A, ,07

9 Het getal, (= a ) moet iet worde afgerod Bij zeer grote leige (miljoee) 07 kue ook de 7e e 8ste decimaal ivloed hebbe Voor de auïteit geldt: A = = 475,9, Dit laatste is ee geldbedrag e moet worde afgerod op decimale (= cete) Gedurede 0 jaar moet er dus door de klat aa het eid va elk jaar steeds hetzelfde bedrag va 475,9 worde betaald (eve aaemede dat het iterestpercetage gedurede deze 0 jaar 7 % blijft, wat i werkelijkheid bija ooit zo is, er kue periodiek iterest-aapassige plaatsvide) Het iterestbestaddeel e het aflossigsbestaddeel va deze auïteit verschille echter va jaar tot jaar: Aa het eid va het eerste jaar moet aa iterest betaald worde: 7% va = 000 Voor aflossig blijft er dus og over: 4 75,9-000 = 75,9 (otatie: a ) Hiermee vermidert de schuld aa het begi va het tweede jaar: ,9 = 96 84,08 Allee hierover moet aa het eid va het tweede jaar 7% iterest worde betaald, dat is: 0 777,69 Voor aflossig blijft er da over: 4 75, ,69 = 98, (otatie: a ) Merk op dat geldt: a = a (,07) We kue zo verder gaa Het is iet moeilijk om aa te toe dat geldt: a = a (,07), a = a (,07) ez 4 9 Stellig: De aflossigsbestaddele va ee auïteiteleig vorme ee meetkudige rij De eerste term is het aflossigsbestaddeel va de eerste auïteit a De rede is ( + i) Formule: - = + ( k,,, a a ( i) k k = ) (9) Voor de auïteiteleig va os voorbeeld kue we ee aflossigsschema make: jaar schuld aflossig iterest ,08 945,85 594,4 75,9 98, 66, 594, ,69 059,8 58,6 I dit aflossigsschema is er a 0 jaar i totaal afgelost: ,90 dus 0,0 (éé dubbeltje) te weiig Dit is atuurlijk te wijte aa afrodige Daarom werkt me bij tusseberekeige meestal met meer decimale voor de waarde va a (= 75,905) Hoeveel is er a 5 jaar i totaal afgelost? We moete da de eerste 5 aflossigsgedeelte sommere: 5 4 -( + i) a + a + + a = a + a ( + i) + + a ( + i) = a (formule (4) ) 5 -( + i)

10 0 5 -,07 Dat is: 75,905 = 79807,79 (dit is weer afgerod op decimale) -,07 Hiervoor is de somformule (4) gebruikt va ee meetkudige rij I de praktijk werkt me vaak met betalige over kortere periode da ee heel jaar, bijvoorbeeld halfjaarlijkse betalige, of elk kwartaal of elke maad Iemad sluit ee hypothecaire leig af va met ee looptijd va 5 jaar De terugbetalig vidt plaats door telkes aa het eid va elke maad hetzelfde bedrag te betale voor iterest e aflossig same (maadelijkse auïteite) De omiale iterest bedraagt 9% per jaar e wordt door de bak gereked als 9/=0,75% per maad a) Bereke het effectieve jaarlijkse iterestpercetage op decimale auwkeurig b) Bereke de hoogte va de maadelijkse auïteit c) Bereke het aflossigsgedeelte va de tiede betalig d) Bereke hoeveel er i totaal a 0 jaar is afgelost Oplossig: a) Omdat (,0075) =,098 komt 0,75% per maad dus overee met 9,8 % jaarlijks effectief b) I de looptijd va 5 jaar zitte 00 maade Formule (8) geeft: (,0075) 60000= A = A 9,66 0,0075 Hieruit volgt: A = 0, c) Aa het eid va de eerste maad moet aa iterest worde betaald: 0,75 % va , dat is: 700 Da blijft er dus voor aflossig over: a = 0,- 700 =, 9 Formule (9) geeft: a =, (,0075) = 4,45, dat is dus het aflossigsgedeelte va de 0 tiede betalig (Aa iterest wordt i de tiede betalig dus 0,- 4,45 = 677,66 betaald) d) Na 0 jaar zij er 0 termije betaald I totaal is er afgelost: 0 0 -(,0075) (,0075) -, =, =, 9,5477= 69,7 -,0075 0,0075 Ee belagrijk kemerk va de auïteiteleig is dat er i de eerste jare zeer weiig wordt afgelost, e veel iterest betaald I de laatste jare va de looptijd betaalt me og maar weiig iterest e veel aflossig Dit heeft i de begifase va de looptijd fiscale voordele We kue ook de totale slotwaarde (Total Future Value, TFV) va ee auïteit berekee: Wat is de totale slotwaarde va 0 auïteite va 00 die gedurede 0 jaar telkes aa het eid va elk jaar worde gestort bij ee iterestpercetage va 6 % per jaar?

11 De eerste stortig, dus aa het eid va het eerste jaar moet og 9 jaar worde opgeret: 9 00 (,06) De tweede stortig, aa het eid va het tweede jaar, moet 8 jaar worde opgeret: 8 00 (,06) ez De laatste stortig, aa het eid va het tiede jaar moet iet worde opgeret: blijft 00 De totale slotwaarde wordt dus: 9 8 TFV = 00 (,06) + 00 (,06) Vermeigvuldige we deze uitdrukkig aa beide kate met,06 da komt er: 0 9,06 TFV = 00 (,06) + 00 (,06) (,06) Trekke we beide uitdrukkige va elkaar af, da levert dit op: 0 0 0,06 TFV = 00 (,06) - 00 = 00 (,06 - ) Dele we door 0,06 da vide we ee expliciete uitdrukkig voor de TFV: TFV 0 (,06) - = 00 (0) 0,06 0 (,06) De uitdrukkig: wordt i de fiaciële rekekude geoteerd met s e werd 0,06-06 vroeger bepaald door dit i speciaal hiervoor vervaardigde tabelleboeke op te zoeke Tegewoordig doe we dit met ee rekemachie Cotroleer met ee rekemachie dat i dit voorbeeld geldt: TFV = 00, = 586,95 ( De tie stortige va 00 hebbe dus i totaal 86,95 (= 5 86, ) aa iterest opgebracht ) Het bovestaade voorbeeld e de uitdrukkig (0) kue we als volgt tot geeralisere: De totale slotwaarde va auïteite va A geldeehede ( dollars, euro's ez) die gedurede jaar telkes aa het eid va elk jaar worde gestort, bij ee iterestperuage va i is gelijk aa: TFV ( + i) - = A () i Deze formule is atuurlijk ook geldig, als er adere tijdsperiode da jare worde gebruikt (bijv kwartale of maade) Da moet staa voor het aatal kwartale of maade e i voor het iterestperuage per kwartaal of maad Spaarhypotheek Iemad leet ee bedrag va voor de fiacierig va ee eige woig De looptijd va de leig bedraagt 5 jaar Gedurede deze 5 jaar wordt er iets afgelost Wel wordt er aa het eid va elk kwartaal ee ee gelijkblijved bedrag (spaarpremie) op ee spaarrekeig gestort waarmee aa het eid va 5 jaar precíes het bedrag va de leig bereikt is e waarmee de leig da i éé keer wordt afgelost Het iterestpercetage bedraagt,5 % per kwartaal a) Bereke het effectieve jaarlijkse iterestpercetage i decimale auwkeurig b) Bereke de hoogte va het kwartaal-spaarbedrag c) Hoeveel moet er ieder kwartaal aa iterest worde betaald? d) Bereke hoeveel iterest er op de spaarrekeig i totaal is verdied aa het eid va 5 jaar

12 Oplossig: 4 a) (,05) =,064, afgerod op 4 decimale, zodat het jaarlijkse effectieve iterestpercetage wordt: 6,4 %, op decimale auwkeurig b) Formule () geeft 00 (,05) = A = A 8,8004 0,05 e hieruit volgt: A =,0 c) Omdat er gedurede de looptijd va de leig iets wordt afgelost, blijft de schuld gedurede de gehele looptijd Ieder kwartaal diet daar,5 % iterest over betaald te worde, dat is: 4575 Het totale bedrag dat elk kwartaal betaald moet worde is: iterest plus spaarpremie: ,0 = 5908,0 d) Omdat deze 00 bedrage va,0 a 5 jaar iclusief iterest zij geaccumuleerd tot is er totaal aa iterest verdied: ,0 = 7698 (afgerod op gehele euro's) Opmerkige: De iterest die de leer moet betale is voor de ikomstebelastig (vooralsog) aftrekbaar va het belastbaar ikome De iterest die bij ee spaarhypotheek op de spaarrekeig wordt verdied, is belastigvrij Dit is ee politieke maatregel om het huizebezit te bevordere Me diet goed i de gate te houde ihoeverre deze regelig i de toekomst gaat veradere Zoude we de leig va va os laatste voorbeeld aflosse als auïteiteleig i 00 kwartale, da wordt de auïteit: (,05) 05000= A = A 5, waaruit volgt: A = 5908,0 e dit is precies 0,05 het totale kwartaalbedrag dat bij de spaarhypotheek aa iterest e spaarpremie moet worde betaald De maier waarop fiscaal gezie met de iterestbedrage wordt omgesproge is verschilled Bij ee spaarhypotheek geiet me over de volle looptijd va de leig va de aftrek va vier keer 4575 per jaar va het belastbaar ikome Bij de auïteiteleig wordt het aftrekbare iterestbedrag elk jaar kleier We hebbe dus drie verschillede soorte (hypothecaire) leige besproke: * De lieaire leig Hierbij wordt gedurede de looptijd telkes aa het eid va elke periode (jaar, kwartaal, maad) hetzelfde bedrag gestort, alléé voor aflossig Daaraast moet iterest betaald worde Omdat de schuld iedere periode met hetzelfde bedrag afeemt (lieair!) eme ook de verschuldigde iterestbedrage lieair af i de tijd * De auïteiteleig

13 Hierbij wordt gedurede de looptijd telkes aa het eid va elke periode hetzelfde bedrag gestort, voor iterest e aflossig same I het begi wordt veel iterest betaald e weiig aflossig De aflossigsbestaddele vorme ee meetkudige rij met rede ( + i) * De spaarhypotheek Hierbij wordt gedurede de looptijd iets afgelost, maar op ee spaarrekeig periodiek telkes hetzelfde bedrag gestort dat zó groot is, dat aa het eid va de looptijd precies het geleede bedrag bijeegespaard is, waarmee de leig da i ee keer wordt afgelost Op deze wijze wordt er maximaal va iterestaftrek geprofiteerd

Periodiciteit bij breuken

Periodiciteit bij breuken Periodiciteit bij breuke Keuzeodracht voor wiskude Ee verdieede odracht over eriodieke decimale getalle, riemgetalle Voorkeis: omrekee va ee breuk i ee decimale vorm Ileidig I deze odracht leer je dat

Nadere informatie

Examen PC 2 onderdeel 4A

Examen PC 2 onderdeel 4A Exame PC 2 oderdeel 4A Istructieblad Betreft: exame: PC 2 oderdeel 4A leergag 3 oderdeel: Fiaciële Rekekude datum: 30 mei 2012 tijdsduur: 90 miute (09:30-11:00 uur) Deze aawijzige goed leze voor u met

Nadere informatie

Praktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling

Praktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling Praktische opdracht: Complexe getalle e de Julia-verzamelig Auteur: Wiebe K. Goodijk, Zerike College Hare Beodigde Voorkeis: 1 = i Het complexe vlak. Notatie: z = a + bi of z = r(cosϕ + i si ϕ) Regel va

Nadere informatie

Examen PC 2 onderdeel 4A

Examen PC 2 onderdeel 4A Exame PC 2 oderdeel 4A Istructieblad Betreft: exame: PC 2 oderdeel 4A leergag 1 oderdeel: Fiaciële Rekekude datum: 27 mei 2011 tijdsduur: 90 miute (10.00-11.30 uur) Deze aawijzige goed leze voor u met

Nadere informatie

Appendix A: De rij van Fibonacci

Appendix A: De rij van Fibonacci ppedix : De rij va Fiboacci Het expliciete voorschrift va de rij va Fiboacci We otere het het e Fiboaccigetal met F De rij va Fiboacci wordt gegeve door: F F F F 4 F F 6 F 7 F De volgede afleidig is gebaseerd

Nadere informatie

1. Recursievergelijkingen van de 1 e orde

1. Recursievergelijkingen van de 1 e orde Recursievergelijkige va de e orde Rekekudige rije Het voorschrift va ee rekekudige rij ka gegeve wordt met de volgede recursievergelijkig: u = u + b Idie we deze vergelijkig i de vorm u = u u = b otere

Nadere informatie

Werktekst 1: Een bos beheren

Werktekst 1: Een bos beheren Werktekst : Ee bos behere Berekeige met rije op het basisscherm Op ee perceel staa 3000 kerstbome. Ee boomkweker moet beslisse hoeveel bome er jaarlijks gekapt kue worde e hoeveel ieuwe aaplat er odig

Nadere informatie

Ongelijkheden. IMO trainingsweekend 2013

Ongelijkheden. IMO trainingsweekend 2013 Ogelijkhede IMO traiigsweeked 0 Deze tekst probeert de basis aa te brege voor het bewijze va ogelijkhede op de IMO. Het is de bedoelig om te bewijze dat ee bepaalde grootheid (ee uitdrukkig met ee aatal

Nadere informatie

Een toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek.

Een toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek. 006 Wolters-Noordhoff bv Groige/Houte De steekproefomvag Ee toelichtig op het belag e het berekee va de steekproefomvag i marktoderzoek. Ihoud 1 Ileidig Eerst ekele defiities 3 Steekproefomvag e respose

Nadere informatie

Rekenen met levensduurkosten

Rekenen met levensduurkosten Colibri Advies www.colibri-advies.l Rekee met levesduurkoste ir. Martie va de Boome MBA Colibri Advies -4-25 Pagia va 5 Rekee met levesduurkoste Auteur: Martie va de Boome - Colibri Advies BV. Materiaal

Nadere informatie

Levensverzekerings wiskunde

Levensverzekerings wiskunde Levesverzekerigs wiskude e pesioecalculaties D.P.G. va As, J. Klouwe, L.J. va de Leur Derde druk LEVENSVERZEKERINGSWISKUNDE EN PENSIOENCALCULATIES D.P.G. va As J. Klouwe L.J. va de Leur derde druk Meer

Nadere informatie

Het beste scenario voor uw belegging

Het beste scenario voor uw belegging belegge Best Strategy 2012 Het beste sceario voor uw beleggig Gediversifieerde beleggig Eemalige coupo va 0% tot 50% bruto* op vervaldag Korte looptijd: 4,5 jaar 100% kapitaalbeschermig De voordele voor

Nadere informatie

Deel A. Breuken vergelijken 4 ----- 12

Deel A. Breuken vergelijken 4 ----- 12 Deel A Breuke vergelijke - - 0 Breuke e brokke (). Kleur va elke figuur deel. Doe het zo auwkeurig mogelijk.. Kleur va elke figuur deel. Doe het telkes aders.. Kleur steeds het deel dat is aagegeve. -

Nadere informatie

Op zoek naar een betaalbare starterswoning? Koop een eigen huis met korting

Op zoek naar een betaalbare starterswoning? Koop een eigen huis met korting Op zoek aar ee betaalbare starterswoig? Koop ee eige huis met kortig Op zoek aar ee betaalbare starterswoig? Koop ee eige huis met kortig Pagia Ee eige huis waar u zich helemaal thuis voelt. Dat wil iederee!

Nadere informatie

Inleiding. 1. Rijen. 1.1 De rij van Fibonacci. 2 Zou je deze regelmatigheden kunnen verklaren met wiskunde? déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå=téíéåëåü~éééå=

Inleiding. 1. Rijen. 1.1 De rij van Fibonacci. 2 Zou je deze regelmatigheden kunnen verklaren met wiskunde? déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå=téíéåëåü~éééå= Ileidig Waarom vorme zoebloempitte 2 bochte i de ee richtig e 34 i de adere? E wat heeft ee huisjesslak te make met + 5 2 Zou je deze regelmatighede kue verklare met wiskude? Heeft wiskude cocrete toepassige

Nadere informatie

Rijen en reeksen. Mei 2008. Remy van Bergen Peter Mulder

Rijen en reeksen. Mei 2008. Remy van Bergen Peter Mulder Rije e reekse Keuzeoderwerp Atheeum 5 wiskude B e B Mei 008 Remy va Berge Peter Mulder Dit boekje gaat over rije e reekse. Wiskudige rije! Rije worde i de wiskude op verschillede maiere gedefiieerd. Met

Nadere informatie

Toelichting bij Opbrengstgegevens VAVO 2011-2013

Toelichting bij Opbrengstgegevens VAVO 2011-2013 Toelichtig bij Opbregstgegeves VAVO 2011-2013 Ihoud Ileidig Aatal deelemers exame Kegetalle toezicht exames CE-cijfer alle vakke CE-cijfer alle vakke - tred SE-cijfer mius CE cijfer alle vakke Percetage

Nadere informatie

Commissie Pensioenhervorming 2020-2040. Nota over de actuariële neutraliteit. Bijlage III

Commissie Pensioenhervorming 2020-2040. Nota over de actuariële neutraliteit. Bijlage III Commissie Pesioehervormig 00-040 Nota over de actuariële eutraliteit Bijlage III. I het kader va de ivoerig va ee «deeltijds pesioe» wordt de kwestie va de actuariële correctie va de uitkerige i geval

Nadere informatie

Een andere kijk op Financiële Rekenkunde Wim Pijls, Erasmus Universiteit Rotterdam

Een andere kijk op Financiële Rekenkunde Wim Pijls, Erasmus Universiteit Rotterdam Ee adere kijk op Fiaciële Rekekude Wim Pijls, Erasmus Uiversiteit Rotterdam. Ileidig Het vak Fiaciële Rekekude levert vawege zij sterk wiskudig karakter ogal wat probleme op i het oderwijs. Veel leerlige

Nadere informatie

Waar moet je aan denken? Verhuizen. Stap 1: Hoe zeg ik de huur op?

Waar moet je aan denken? Verhuizen. Stap 1: Hoe zeg ik de huur op? Verhuize Waar moet je aa deke? Verhuize Bij verhuize komt heel wat kijke. Naast het ipakke va spulle e doorgeve va adreswijzigige, is het ook belagrijk dat u same met Thuisvester ee aatal zake regelt.

Nadere informatie

Discrete dynamische systemen

Discrete dynamische systemen Cahiers T 3 Europe Vlaadere r. 19 Discrete dyamische systeme Recursievergelijkige met de TI-84 Joha Deprez Discrete dyamische systeme Joha Deprez HUBrussel, Uiversiteit Atwerpe, Katholieke Uiversiteit

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskude B, (ieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereided Weteschappelijk Oderwijs 0 0 Tijdvak Izede scores Uiterlijk op jui de scores va de alfabetisch eerste vijf kadidate per school op de daartoe

Nadere informatie

TAF GoedGezekerd AOV. De eerste AOV waarmee u zelf de touwtjes in handen heeft

TAF GoedGezekerd AOV. De eerste AOV waarmee u zelf de touwtjes in handen heeft TAF GoedGezekerd AOV De eerste AOV waarmee u zelf de touwtjes i hade heeft Als zelfstadig oderemer bet u gewed aa het eme va risico s. Daarbij beoordeelt u per situatie hoe groot het risico is dat u wilt

Nadere informatie

consultancy ontwerp project management exploitatie onderhoud audits optimalisatie opleidingen Uw bedrijfswater in ervaren handen

consultancy ontwerp project management exploitatie onderhoud audits optimalisatie opleidingen Uw bedrijfswater in ervaren handen cosultacy otwerp project maagemet exploitatie oderhoud audits optimalisatie opleidige Uw bedrijfswater i ervare hade Over Aquaplus cosultacy otwerp project maagemet exploitatie oderhoud audits optimalisatie

Nadere informatie

1. Weten dat in het geval van compressoren rekening moet gehouden worden met thermische effecten

1. Weten dat in het geval van compressoren rekening moet gehouden worden met thermische effecten Hoofdstuk 4 Compressore Doelstellige 1. Wete dat i het geval va compressore rekeig moet gehoude worde met thermische effecte 2. Wete dat er ee gres is aa het verhoge va de druk va ee gas 3. Wete welke

Nadere informatie

Kansrekenen [B-KUL-G0W66A]

Kansrekenen [B-KUL-G0W66A] KU Leuve Kasrekee [B-KUL-G0W66A] Notities Tom Sydey Kerckhove Gestart 8 februari 2015 Gecompileerd 9 februari 2015 Docet: Prof. Tim Verdock Ihoudsopgave 1 Combiatoriek 2 1.1 Variaties..........................................

Nadere informatie

Financiële Wiskunde. 1

Financiële Wiskunde. 1 1. BRIGGSE LOGARITMEN... 3 DEFINITIES EN EIGENSCHAPPEN VAN MACHTEN...3 DEFINITIE VAN LOGARITME...5 DE BRIGGSE LOGARITME...6 Omiddellijke eigeschappe...6 Eigeschappe va (Briggse) logaritme...7 DE EXPONENTIËLE

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame VW 007 tijdvak woesdag 6 mei.0-6.0 uur wiskude B Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 0 vrage. Voor dit exame zij maximaal 8 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel

Nadere informatie

Hoe los ik het op, samen met Thuisvester? Ik heb een klacht

Hoe los ik het op, samen met Thuisvester? Ik heb een klacht Klachte? Hoe los ik het op, same met Thuisvester? Ik heb ee klacht Thuisvester doet haar uiterste best de beste service te verlee aa haar huurders. We vide ee goede relatie met oze klate erg belagrijk.

Nadere informatie

Bevolkingsevolutie en prijsevolutie: rijen en de TI-89

Bevolkingsevolutie en prijsevolutie: rijen en de TI-89 Bevolkigsevolutie e prijsevolutie: rije e de TI-89 Joha Deprez, EHSAL Brussel - K.U. Leuve. Ileidig Deze tekst is bedoeld als keismakig met de symbolische rekemachie TI-89 va Texas Istrumets. We geve gee

Nadere informatie

Op het internet is heel wat bijkomend materiaal te vinden over dit onderwerp. We vermelden een tweetal URL s:

Op het internet is heel wat bijkomend materiaal te vinden over dit onderwerp. We vermelden een tweetal URL s: Fiboacci: joger da je dekt! -- Ileidig Het documet dat voorligt is opgesteld door ere-pedagogisch begeleider Walter De Volder. Oze bijzodere dak e waarderig gaa da ook volledig aar hem: va zij vele ure

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO

Correctievoorschrift VWO Correctievoorschrift VWO 009 tijdvak wiskude B, Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordelig Algemee regels Vakspecifieke regels Beoordeligsmodel 5 Izede scores Regels voor de beoordelig

Nadere informatie

Vuilwaterafvoersystemen voor hoogbouw

Vuilwaterafvoersystemen voor hoogbouw Vuilwaterafvoersysteme voor hoogbouw 1.2 Vuilwaterafvoersysteme voor hoogbouw Nu er steeds hogere e extremere gebouwe otworpe worde, biedt ee ekelvoudig stadleidigsysteem de mogelijkheid om gemakkelijker

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame VW 007 tijdvak woesdag 6 mei.0-6.0 uur wiskude B Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 0 vrage. Voor dit exame zij maximaal 8 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel

Nadere informatie

Machtsfuncties en wortelfuncties. Introductie 177. Leerkern 178

Machtsfuncties en wortelfuncties. Introductie 177. Leerkern 178 Ope Ihoud Uiversiteit leereeheid 6 Wiskude voor ilieuweteschappe Machtsfucties e wortelfucties Itroductie 77 Leerker 7 Machtsfucties et ee atuurlijk getal als epoet 7 Machtsfucties et ee egatief geheel

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde A vwo 2010 - I Eidexame wiskude A vwo - I Beoordeligsmodel Maratholoopsters maximumscore 3 uur, 43 miute e 3 secode is 98 secode De selheid is 495 98 (m/s) Het atwoord: 4,3 (m/s) maximumscore 3 Uit x = 5 volgt v 4,4

Nadere informatie

Oefeningen op Rijen. Leon Lenders, Bree

Oefeningen op Rijen. Leon Lenders, Bree Oefeige op Rije Leo Leders, Bree I de tekst staa ee aatal oefeige i verbad met rije. De moeilijkere oefeige zij volledig uitgewerkt. Volgede oderwerpe kome aa bod : Plooie va ee blad papier Salaris Het

Nadere informatie

déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå

déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå téíéåëåü~éééå táëâìåçé oáàéå e~åë=_éâ~éêí oçöéê=i~äáé iéçå=iéåçéêë hçéå=píìäéåë 4, LUC Diepebeek (België), Geboeid door Wiskude e Weteschappe Niets uit deze uitgave mag worde verveelvoudigd

Nadere informatie

Sloopbesluit en verhuizen

Sloopbesluit en verhuizen Sloopbesluit e verhuize waar je thuis bet... Wat kut u verwachte als uw woig wordt gesloopt Op verschillede plaatse werkt HEEMwoe aa de verbeterig va de wijk. Soms heeft dat grote gevolge voor u als huurder.

Nadere informatie

Hoeveel getallen van 2 verschillende cijfers kan je vormen met de cijfers 1,4,7,8? tweede cijfer 4 7 8 1 7 8 1 4 8 1 4 7

Hoeveel getallen van 2 verschillende cijfers kan je vormen met de cijfers 1,4,7,8? tweede cijfer 4 7 8 1 7 8 1 4 8 1 4 7 Hoofdstu Combiatorie. Basisregels Combiatorie is de studie va telprobleme. De ust va het telle bestaat vaa uit het codere of aders voorstelle va het telprobleem, zodat het uiteidelij volstaat om de volgede

Nadere informatie

DE ROL VAN GIS BIJ DE HEDONISCHE WAARDEBEPALING VAN VASTGOED

DE ROL VAN GIS BIJ DE HEDONISCHE WAARDEBEPALING VAN VASTGOED DE ROL VAN GIS BIJ DE HEDONISCHE WAARDEBEPALING VAN VASTGOED Prof. ir. P. Ampe, Prof. dr. ir. A. De Wulf, ig. J. De Corte. 1. Ileidig e probleemstellig. Sedert deceia gebruike schatters zowel i België

Nadere informatie

betreffende het doorgeven van orders via fax en telefoon

betreffende het doorgeven van orders via fax en telefoon Reglemet Tele-Equity betreffede het doorgeve va orders via fax e telefoo (Retail Cliëte) 02541 Om redee va efficiëtie e selheid ka de Cliët wese om zij orders per fax e/of telefoo aa de Bak over te make.

Nadere informatie

Betrouwbaarheid. Betrouwbaarheidsinterval

Betrouwbaarheid. Betrouwbaarheidsinterval Betrouwbaarheid Ee simulatie beoogt éé of i.h.a. twee of meerdere sceario s te evaluere e te vergelijke, bij Mote Carlo (MC) simulatie voor ee groot aatal istelwaarde, voor éé of meerdere parameters. Hierbij

Nadere informatie

Eindrapport Leerlingtevredenheidsonderzoek Floracollege Eindexamenklassen 2013

Eindrapport Leerlingtevredenheidsonderzoek Floracollege Eindexamenklassen 2013 Eidrapport Leerligtevredeheidsoderzoek Floracollege Eidexameklasse 2013 Juli 2013 Ihoudsopgave Samevattig 3 Vrage over schoolwerk 5 Vrage over jezelf 6 Vrage over docete 8 Vrage over de metor 11 Vrage

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II Eideame wiskude B vwo 200 - II Sijde met ee hoogtelij Op ee cirkel kieze we drie vaste pute, B e C, waarbij lijstuk B gee middellij is e put C op de kortste cirkelboog B ligt. Ee put doorloopt dat deel

Nadere informatie

Efficiënt communiceren met uw zakenrelaties 09/2012

Efficiënt communiceren met uw zakenrelaties 09/2012 Mobile Busiess Mobile Busiess Efficiët commuicere met uw zakerelaties 9040413 09/2012 Ik kies voor mij bedrijf Het geheim achter efficiët zakedoe? De juiste beslissige eme, odersteud door ee optimale commuicatie.

Nadere informatie

Evaluatierapport. Tevredenheidsonderzoek NMV Nederlandse Montessori Vereniging 2005. Eindrapportage. BvPO

Evaluatierapport. Tevredenheidsonderzoek NMV Nederlandse Montessori Vereniging 2005. Eindrapportage. BvPO Evaluatierapport Tevredeheidsoderzoek NMV Nederladse Motessori Vereigig 2005 Eidrapportage BvPO Bureau voor praktijkgericht oderzoek, Groige BvPO BUREAU VOOR PRAKTIJKGERICHT ONDERZOEK POSTBUS 9505, 9703

Nadere informatie

7. Betrouwbaarheidsintervallen voor proporties

7. Betrouwbaarheidsintervallen voor proporties VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 7. Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg

Nadere informatie

Stochastische loadflow. Beschrijving model belasting.

Stochastische loadflow. Beschrijving model belasting. Stochastische loadflow. eschrijvig model belastig. 95 pmo 5-- Phase to Phase V Utrechtseweg 3 Postbus 68 AC Arhem T: 6 356 38 F: 6 356 36 36 www.phasetophase.l 95 pmo INHOUD Ileidig...3 eschrijvig belastig...

Nadere informatie

1 Bewerkingen met matrices invoeren via voorbeelden. , is een commutatieve groep.

1 Bewerkingen met matrices invoeren via voorbeelden. , is een commutatieve groep. 1 Bewerkige met mtrices ivoere vi voorbeelde 11 -tlle e de bewerkige ( 1, 2, 3,, ) is ee -tl met i De verzmelig v reële -tlle otere we met Defiieer de som ls ( 1, 2, 3,, ) + (b 1,b 2,b 3,,b ) = ( 1 +b

Nadere informatie

Schoenen voor diabetes en reuma

Schoenen voor diabetes en reuma Schoee voor diabetes e reuma Comfortschoee gemaakt voor de extra kwetsbare voet Officieel gee vergoedig via zorgverzekeraar. Echter bij ekele zorgverzekeraars is door middel va idividuele aavraag vergoedig

Nadere informatie

REAAL GOED GEREGELD PAKKET UW WOONHUISVERZEKERING

REAAL GOED GEREGELD PAKKET UW WOONHUISVERZEKERING REAAL GOED GEREGELD PAKKET UW WOONHUISVERZEKERING I de voorwaarde va de REAAL Woohuisverzekerig leest u: Wat u va os mag verwachte e wat wij va u verwachte (pagia 2). Voor welke schade wij wel e iet betale

Nadere informatie

Overlijden: uw rechten in Duitsland en Nederland

Overlijden: uw rechten in Duitsland en Nederland Regelige e voorzieige CODE 1.1.3.46 Overlijde: uw rechte i Duitslad e Nederlad brochure broe Bureau voor Duitse Zake, www.svb.l/bdz Ihoudsopgave Overlijde Uw rechte i Duitslad e Nederlad Deskudig e betrouwbaar

Nadere informatie

WOONHUISVERZEKERING. In de voorwaarden van de Thomas Assuradeuren Woonhuisverzekering

WOONHUISVERZEKERING. In de voorwaarden van de Thomas Assuradeuren Woonhuisverzekering Cambuur Fapolis Pakket Uw Woohuisverzekerig I de voorwaarde va de Thomas Assuradeure Woohuisverzekerig leest u: Wat u va os mag verwachte e wat wij va u verwachte (pagia 2). Voor welke schade wij wel e

Nadere informatie

www.hbospiegel.nl Hogeschool Utrecht Enquete project Cross Your Borders Faculteit Educatie Online Evaluatie Instrument juli 2014

www.hbospiegel.nl Hogeschool Utrecht Enquete project Cross Your Borders Faculteit Educatie Online Evaluatie Instrument juli 2014 Equete project Cross Your Borders Pagia 1 va 7 www.hbospiegel.l Olie Evaluatie Istrumet Hogeschool Utrecht Faculteit Educatie Equete project Cross Your Borders juli 2014 Alle rechte voorbehoude. CopyRight

Nadere informatie

Aanvraag voor een woning in de gemeente(n)... 1. Personalia aanvrager huurwoning

Aanvraag voor een woning in de gemeente(n)... 1. Personalia aanvrager huurwoning Aavraagformulier Huurwoig Hoofdkatoor: J.L. va Rijweg 20, Postbus 612 2700 AP Zoetermeer Tel. : 079-329 66 66 Fax : 079-329 66 00 Iteret : www.hof-rijlad.l E-mail : ifo@hof-rijlad.l Regiokatore: Groeewoudsedijk

Nadere informatie

we willen graag zelf klussen in onze nieuwe woning.

we willen graag zelf klussen in onze nieuwe woning. ZELF AANGEBRACHTE VOORZIENINGEN we wille graag zelf klusse i oze ieuwe woig. ECHT WEL. Zelf uw woig aar wes veradere De woig die u va os huurt, wilt u atuurlijk aar uw eige smaak irichte. U kiest zelf

Nadere informatie

Eindexamen natuurkunde 1-2 compex havo 2007-I

Eindexamen natuurkunde 1-2 compex havo 2007-I Ogave 1 Kerfusie I de zo fusere waterstofkere tot heliumkere. Bij fusie komt eergie vrij. O deze maier roduceert de zo er secode 3,9 10 26 J. Alle eergiecetrales o aarde roducere same i éé jaar ogeveer

Nadere informatie

De vernieuwing van Slotjes-Midden. Sociaal Statuut

De vernieuwing van Slotjes-Midden. Sociaal Statuut De verieuwig va Slotjes-Midde Sociaal Statuut Ihoudsopgave Sociaal Statuut voor de verieuwig va Slotjes-Midde 3 Artikel 1: Overwegige 4 Artikel 2: Algemee 4 Artikel 3: Procedure bij sloop 4 Artikel 4:

Nadere informatie

Enquête social media gebruik ROC West-Brabant

Enquête social media gebruik ROC West-Brabant Equête social media gebruik ROC West-Brabat Jauari / februari 2012 I jauari 2012 is ee studeteequête geoped, met als thema social media i het oderwijs. De equête is door 514 mbo-studete igevuld. Afhakelijk

Nadere informatie

Mobile Business Efficiënt communiceren met uw zakenrelaties

Mobile Business Efficiënt communiceren met uw zakenrelaties Mobile Busiess Efficiët commuicere met uw zakerelaties Uiek! Exteded Fleet Obeperkt belle aar alle Mobistar-ummers e vaste lije! Ik kies voor mij bedrijf Het geheim achter efficiët zakedoe? De juiste beslissige

Nadere informatie

RAADS IN FORMATIE BRIE F

RAADS IN FORMATIE BRIE F RAADS IN FORMATIE BRIE F gemeete WOERDEN Va: college va burgemeester e wethouders Datum: 1 december 2011 Portefeuillehouder(s): Titia Cosse Portefeuille(s): portefeuille Moumete e Archeologie Cotactpersoo:

Nadere informatie

Reeksen. Convergente reeksen

Reeksen. Convergente reeksen Reekse Reekse Defiitie, otatie e voorbeelde Defiitie: Eereeks is ee koppel ( ) {u } l, {s } l met s = u k = u l + u l+ + u l+2 +...+ u + u k=l u l = s l, u = s s, = l +, l +2,... {u } l oemt me de termerij,

Nadere informatie

Levende Statistiek, een module voor VWO wiskunde D

Levende Statistiek, een module voor VWO wiskunde D Op het Stedelijk Gymasium te Leide is de module Levede Statistiek uitgeprobeerd, Ee verslag va Jacob va Eeghe e Liesbeth de Wreede. Levede Statistiek, ee module voor VWO wiskude D Statistiek is typisch

Nadere informatie

Combinatoriek. Nota s in samenwerking met Anja Struyf en Sabine Verboven (Universiteit Antwerpen)

Combinatoriek. Nota s in samenwerking met Anja Struyf en Sabine Verboven (Universiteit Antwerpen) 1 Combiatoriek Nota s i samewerkig met Aja Struyf e Sabie Verbove (Uiversiteit Atwerpe) I het dagelijkse leve worde we vaak gecofroteerd met vraagstukke waarva de oplossig het telle va het aatal elemete

Nadere informatie

REAAL GOED GEREGELD PAKKET UW WOONHUISVERZEKERING

REAAL GOED GEREGELD PAKKET UW WOONHUISVERZEKERING REAAL GOED GEREGELD PAKKET UW WOONHUISVERZEKERING I de voorwaarde va de REAAL Woohuisverzekerig leest u: Wat u va os mag verwachte e wat wij va u verwachte (pagia 2). Voor welke schade wij wel e iet betale

Nadere informatie

PUBAS, een vernieuwd systeem voor arbeidsbegroting In: Agro Informatica 4 (oktober 1999), p. 25 28.

PUBAS, een vernieuwd systeem voor arbeidsbegroting In: Agro Informatica 4 (oktober 1999), p. 25 28. PUBAS, ee verieuwd systeem voor arbeidsbegrotig I: Agro Iformatica 4 (oktober 999), p. 25 28. Aet Vik, tel. 037-476452 Gerrit Kroeze, tel. 037-476459 Istituut voor Milieu- e Agritechiek, Cluster Systeemkude

Nadere informatie

BovenIJ ziekenhuis Postadres : Postbus 37610, 1030 BD Amsterdam Bezoekadres: Statenjachtstraat 1, Amsterdam Telefoon : (020) 634 6346

BovenIJ ziekenhuis Postadres : Postbus 37610, 1030 BD Amsterdam Bezoekadres: Statenjachtstraat 1, Amsterdam Telefoon : (020) 634 6346 118552 107229 BoveIJ ziekehuis Postadres : Postbus 37610, 1030 BD Amsterdam Bezoekadres: Statejachtstraat 1, Amsterdam Telefoo : (020) 634 6346 Vragelijst Hoofdpij Hoofdpijpoli BoveIJ Ziekehuis Naam: M/V

Nadere informatie

De nieuwsbrief van uw accountant

De nieuwsbrief van uw accountant De ieuwsbrief va uw accoutat 4e kwartaal 2010 Postbus 81167, 3009 GD Rotterdam Tel.: 010-456 46 77 www.stees.l G E A C H T E R E L AT I E I deze ieuwsbrief worde de volgede oderwerpe behadeld: Odereme

Nadere informatie

One Office Voice Pack Vaste en mobiele telefonie in één pack

One Office Voice Pack Vaste en mobiele telefonie in één pack Oe Office Voice Pack Vaste e mobiele telefoie i éé pack I alle vrijheid commuicere e zakedoe Mobistar biedt geïtegreerde oplossige die uw zaak mobieler e productiever make. U ka overal e altijd i de beste

Nadere informatie

Statistiek 2 voor TeMa. Statistiek 2 voor TeMa. Statistiek 2 voor TeMa. Statistiek 2 voor TeMa Inleiding. Studiemateriaal

Statistiek 2 voor TeMa. Statistiek 2 voor TeMa. Statistiek 2 voor TeMa. Statistiek 2 voor TeMa Inleiding. Studiemateriaal Algemee iformatie http://www.wi.tue.l/wsk/oderwijs/s95 College e istructies College: woesdag uur - HG6.96 Istructies maadag uur 5-6 HG6.09 Auditorium oodgebouw, uit Opdrachte: opgave uit boek e dictaat

Nadere informatie

1) Levenscyclus kosten

1) Levenscyclus kosten Titel va de presetatie 7-6- 10:08 Eergie e koste i de tijd. Doel va de presetatie sta klerks Izicht e vaardighede bijbrege over eergiebesparig, meerivesterig e terugverdiee. idelig 1) Levescyclus koste

Nadere informatie

Financial accounting:

Financial accounting: Fiacial accoutig: DE PENSIOENVERPLICHTING VAN DE ONDERNEMING I dit artikel wordt de stellig uitgewerkt dat Iteratioal Accoutig Stadard 19, Employee Beefits, i het algemee, maar i de huidige volatiele omgevig

Nadere informatie

imtech Arbodienst (versie 2.0)

imtech Arbodienst (versie 2.0) imtech Arbodiest (versie 2.0) veilig e gezod werke (Gezodheids)risico s bij autorijde Buite de verkeersveiligheid e de oderhoudsstaat va de auto ka ook het lagdurig zitte i de auto tot (gezodheids)klachte

Nadere informatie

Tabellenrapportage CQ-index Kraamzorg

Tabellenrapportage CQ-index Kraamzorg Tabellerapportage CQ-idex Kraamzorg Jauari 2011 Ihoud Pagia Algemee uitleg 1 Deelame e bevalmaad 1 De itake 2 3 Zorg tijdes de bevallig 3 4 Zorg tijdes de kraamperiode 4 10 Samewerkig e afstemmig 11 Algemee

Nadere informatie

www.rocspiegel.nl Zadkine dienstverlening bij Zadkine Zadkine Online Evaluatie Instrument locatie: Marconistraat april 2014

www.rocspiegel.nl Zadkine dienstverlening bij Zadkine Zadkine Online Evaluatie Instrument locatie: Marconistraat april 2014 diestverleig bij Zadkie Pagia 1 va 10 www.rocspiegel.l Olie Evaluatie Istrumet Zadkie Zadkie diestverleig bij Zadkie locatie: Marcoistraat april 2014 Alle rechte voorbehoude. CopyRight 2014 DigiDoc ROCspiegel.l

Nadere informatie

1 Het trekken van ballen uit een vaas

1 Het trekken van ballen uit een vaas Het trekke va balle uit ee vaas Combiatorische kasprobleme moete worde aagepakt met ee kasmodel dat bestaat uit ee eidige uitkomsteverzamelig Ω va gelijkwaarschijlijke uitkomste Dit wil zegge dat de kas

Nadere informatie

Meewind paraplufonds & Aanvullend prospectus Subfonds Zeewind 1

Meewind paraplufonds & Aanvullend prospectus Subfonds Zeewind 1 Meewid paraplufods duurzame eergieprojecte Prospectus Meewid paraplufods & Aavulled prospectus Subfods Zeewid 1 Datum 28 juli 2014 Beheerder: Seawid Capital Parters B.V. Bewaarder: SGG Depositary B.V.

Nadere informatie

Effectief document- en risicobeheer

Effectief document- en risicobeheer Tekee voor efficiecy Effectief documet- e risicobeheer Met KOVO s techisch iformatiecetrum (TIC) altijd toegag tot actuele tekeige e documete é voldoe aa de eise va wet- e regelgevig. Succesvol documetbeheer

Nadere informatie

m n Mijn uitvaarttestament n Naam n Geboorteplaats n n n Ziektekostenverzekering n Burgerservicenummer n Naam bank en rekeningnummer

m n Mijn uitvaarttestament n Naam n Geboorteplaats n n n Ziektekostenverzekering n Burgerservicenummer n Naam bank en rekeningnummer Mij uitvaarttestamet m Mij gegeves Naam Geboorteplaats Mij geboortedatum Mij huidige adres Ziektekosteverzekerig Burgerserviceummer Naam bak e rekeigummer Pesioefods Verzekerige, polisummers Begrafeisverzekerig

Nadere informatie

Warmtebehandelingen. Deel 2 - Harden, ontlaten en veredelen v. Materialenkennis. voor de laspraktijk 9

Warmtebehandelingen. Deel 2 - Harden, ontlaten en veredelen v. Materialenkennis. voor de laspraktijk 9 Materialekeis voor de laspraktijk 9 Geri va Krieke Warmtebehadelige Deel 2 - Harde, otlate e veredele v Voordat er ka worde gelast, zal er eige voorkeis moete zij va het te lasse basismateriaal e hoe dit

Nadere informatie

imtech Arbodienst asbestregelgeving (versie 2.1)

imtech Arbodienst asbestregelgeving (versie 2.1) imtech Arbodiest asbestregelgevig (versie 2.1) veilig e gezod werke Wat is asbest? Asbest is de verzamelaam voor ee zestal vezelachtige stoffe. Veel toegepaste soorte zij chrysotiel (wit asbest), crocidoliet

Nadere informatie

Thermodynamica HWTK PROEFTOETS- AT02 - UITWERKING.doc 1/9

Thermodynamica HWTK PROEFTOETS- AT02 - UITWERKING.doc 1/9 VAK: hermodyamica HWK Set Proeftoets A0 hermodyamica HWK PROEFOES- A0 - UIWERKING.doc /9 DI EERS LEZEN EN VOORZIEN VAN NAAM EN LEERLINGNUMMER! Beschikbare tijd: 00 miute Uw aam:... Klas:... Leerligummer:

Nadere informatie

Het onderhoud. Elke woning heeft onderhoud nodig. Wie precies. welk onderhoud uitvoert leest u in deze folder.

Het onderhoud. Elke woning heeft onderhoud nodig. Wie precies. welk onderhoud uitvoert leest u in deze folder. Het oderhoud Het oderhoud Elke woig heeft oderhoud odig. Wie precies welk oderhoud uitvoert leest u i deze folder. Wat doet ProWoe? Groot oderhoud Reovatie e groot oderhoud bregt veel overlast voor u met

Nadere informatie

Wijzigingsformulier Ziektekostenverzekering

Wijzigingsformulier Ziektekostenverzekering De Amersfoortse Verzekerige Stadsrig 15, postbus 42 3800 AA Amersfoort Tel. (033) 464 29 11 Fax (033) 464 29 30 Wijzigigsformulier Ziektekosteverzekerig Gegevesverwerkig Bij deze wijzigig worde persoosgegeves

Nadere informatie

OV-Taxi Noord-Holland Noord

OV-Taxi Noord-Holland Noord P r o v i c i e N o o r d - H o l l a d jaarverslag OV-Taxi Noord-Hollad Noord 2006 jaarverslag OV-Taxi Noord-Hollad Noord 2006 September 2007 P R O V I N C I E N O O R D - H O L L A N D Ihoudsopgave

Nadere informatie

imtech Arbodienst (versie 2.0)

imtech Arbodienst (versie 2.0) imtech Arbodiest (versie.0) veilig e gezod werke Wat is lichamelijke belastig? Oder lichamelijke of fysieke belastig verstaa we het aaeme va houdige, het make va bewegige e het zette va kracht. Alle medewerkers,

Nadere informatie

Formaliteiten bij overlijden Informatie voor nabestaanden

Formaliteiten bij overlijden Informatie voor nabestaanden Formaliteite bij overlijde Iformatie voor abestaade NFOINFOINFOIN FOINFOINFOINF 2 Ileidig Omdat ee aaste uit uw familie of vriedekrig is overlede e het u moeilijk valt u uw aadacht te richte op de formaliteite

Nadere informatie

One Office Voice Pack Vaste en mobiele telefonie in één pack

One Office Voice Pack Vaste en mobiele telefonie in één pack Uiek! Exteded Fleet Obeperkt belle aar alle Mobistar-ummers e vaste lije! Oe Office Voice Pack Vaste e mobiele telefoie i éé pack I alle vrijheid commuicere e zakedoe Mobistar biedt geïtegreerde oplossige

Nadere informatie

Deel I. Kenmerken van ADHD. Hoofdstuk 1. Wat we weten over de stoornis ADHD. 1.1 De basiskenmerken

Deel I. Kenmerken van ADHD. Hoofdstuk 1. Wat we weten over de stoornis ADHD. 1.1 De basiskenmerken Deel I hoofdstuk 1 Deel I Wat we wete over de stooris ADHD Hoofdstuk 1 Kemerke va ADHD Altijd druk? De letters ADHD staa volges sommige vooral voor: Alle Dage Heel Druk. Dat klopt lag iet altijd. Niet

Nadere informatie

ZUIVEREN EN HERGEBRUIK. Het water dat we in onze productievestigingen gebruiken, wordt gezuiverd voordat we het teruggeven aan de natuur.

ZUIVEREN EN HERGEBRUIK. Het water dat we in onze productievestigingen gebruiken, wordt gezuiverd voordat we het teruggeven aan de natuur. Water is éé va de meest kostbare grodstoffe é het belagrijkste igrediët i oze producte. Bovedie gebruike we het tijdes oze productieprocesse om te koele, te wasse e te spoele. Logisch dus dat Coca-Cola

Nadere informatie

Proeftentamen IBK1LOG01

Proeftentamen IBK1LOG01 Proeftetame IBK1LOG01 Opgave 1 ( 20 pute) Beatwoord de oderstaade vrage met waar of iet waar: 1.De bereikbaarheid va iformatie over ee product bij ee iteretwikel is ee voorbeeld va pre-trasactie elemet

Nadere informatie

Een samenvatting van de CAO voor Uitzendkrachten 2012-2017

Een samenvatting van de CAO voor Uitzendkrachten 2012-2017 Ee samevattig va de CAO voor Uitzedkrachte 2012-2017 Uitgave juli 2015 Ihoudsopgave 1. Ileidig 5 2. Fasesysteem 5 2.1 Fase A 6 2.2 Fase B 6 2.3 Fase C 6 2.4 Oderbrekigsregels 7 2.5 Overgagsregelig fase

Nadere informatie

Wijzigingsformulier Ziektekostenverzekering

Wijzigingsformulier Ziektekostenverzekering De Amersfoortse Verzekerige Stadsrig 15, postbus 42 3800 AA Amersfoort Tel. (033) 464 29 11 Fax (033) 464 29 30 Gegevesverwerkig Wijzigigsformulier Ziektekosteverzekerig Bij deze wijzigig worde persoosgegeves

Nadere informatie

Statistiek 2 voor TeMa Associaties tussen kwalitatieve variabelen. Statistiek 2 voor TeMa Associaties tussen kwalitatieve variabelen

Statistiek 2 voor TeMa Associaties tussen kwalitatieve variabelen. Statistiek 2 voor TeMa Associaties tussen kwalitatieve variabelen Statistiek voor TeMa Associatiemate Is er ee verbad (associatie) tusse variabele? atwoord: -value -toets Ka ee evetuele afhakelijkheid i ee steekroef ook daadelijk worde gedetecteerd? atwoord: oderscheidigsvermoge

Nadere informatie

Rekenen aan hypotheken

Rekenen aan hypotheken 42 NAW 5/3 r. 1 maart 22 Rekee aa hypotheke Fras Boshuize, Peter Spreij Fras Boshuize Divisie Wiskude e Iformatica, Vrije Uiversiteit ING Group, Corporate Reisurace Postbus 81, 1 AV Amsterdam fras.boshuize@ig-re.l

Nadere informatie

Opgave 5 Onderzoek aan β -straling

Opgave 5 Onderzoek aan β -straling Eidexame vwo atuurkude 214-I - havovwo.l Opgave 5 Oderzoek aa β -stralig Zoals beked bestaat β -stralig uit elektroe. Om ee oderzoek aa β -stralig te doe heeft Harald ee radioactieve bro met P-32 late

Nadere informatie

Huisstijl en logogebruik Associatie KU Leuven

Huisstijl en logogebruik Associatie KU Leuven Huisstijl e logogebruik Associatie KU Leuve Associatie huisstijlhadboek > Ihoudstafel 1 Ihoudstafel 1. Gebruik va de huisstijl of opame va het associatielogo 3 2. Huisstijl Associatie KU Leuve 4 2.1 Opame

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

bewaarexemplaar Alles over ophogen Informatie voor als uw wijk wordt opgehoogd

bewaarexemplaar Alles over ophogen Informatie voor als uw wijk wordt opgehoogd bewaarexemplaar Alles over ophoge Iformatie voor als uw wijk wordt opgehoogd Wat doet de gemeete? Ihoudsopgave Pagia 2 Ileidig Alles over ophoge Ophoogprogramma Pagia 3/4 Wat doet de gemeete? Samewerkig

Nadere informatie