Een andere kijk op Financiële Rekenkunde Wim Pijls, Erasmus Universiteit Rotterdam

Transcriptie

1 Ee adere kijk op Fiaciële Rekekude Wim Pijls, Erasmus Uiversiteit Rotterdam. Ileidig Het vak Fiaciële Rekekude levert vawege zij sterk wiskudig karakter ogal wat probleme op i het oderwijs. Veel leerlige (e lerare) zij u eemaal bag voor igewikkelde formules. Dakzij de komst va de computer, i het bijzoder va de spreadsheets, is ee alteratieve beaderig mogelijk, waarbij de wiskudige kat aamerkelijk verlicht wordt. Dit hoeft iet te gaa te koste va het begrip of het izicht. Leerlige die zoder wiskudige formules probleme oplosse met behulp va ee spreadsheet verwerve juist ee beter izicht. We hope i dit artikel ee e ader toe te lichte. I de paragrafe, 5 e 6 behadele we theorie. I paragraaf 3 wordt aagegeve, hoe deze theorie i de lespraktijk behadeld ka worde. Paragraaf 4 is ee uitstapje aar ee aburig vakgebied.. Ee algemee formule I de vak fiaciële rekekude oderscheide we verschillede vorme va spare e lee. We spreke va spare igeval ee particulier ee vorderig heeft op ee bak; i het omgekeerde geval spreke we va lee. Door de tijd hee wijzigt de vorderig als gevolg va stortige e/of aflossige. Verder geldt og dat periodiek de vorderig "vazelf" met ee bepaald percetage verhoogd wordt. Deze verhogig oeme we rete. Spare e lee zij coceptueel gezie eigelijk idetiek, zoals we hieroder zulle zie. Stel ee partij P heeft ee positief of egatief saldo bij ee partij Q. De hoogte va dit saldo a reteperiodes wordt aageduid met. We eme aa dat i periode ee bedrag ter grootte A va P aar Q gaat, waarbij A ook egatief ka zij (feitelijk gaat er i dit laatste geval ee positief bedrag -A de adere kat op). Voor de gedachtevormig ka me het beste voor P ee particulier e voor Q ee bak ivulle. We kue het verloop va beschrijve door middel va de volgede relatie: = + r + A () De waarde r is het reteperuage i de -de periode. Voor het gemak itroducere og ee grootheid V gedefiieerd als: V = = r + A waardoor () de volgede vorm aaeemt: = + V Ee relatie zoals () heet i de wiskude ee recurrete betrekkig. Relatie () beschrijft diverse practische situaties: Spare: >0 e V >0 voor alle ; het saldo is positief e de periodieke rete is groter da ee evetuele opame. Lee: <0 d.w.z. het saldo is egatief; i dat geval geldt ook r <0; idie V >0 da is de betalig A hoger da de verschuldigde rete e is er sprake va aflossig ter grootte V. Reteiere: >0; iemad eemt ee bedrag A <0 op; idie V <0, wordt er igeteerd op het kapitaal. Op deze maier is ee uiforme beschrijvig verkrege va verschillede probleme uit de fiaciële rekekude. I de volgede paragraaf zulle we late zie, dat met behulp va spreadsheets vrijwel alle vraagstukke via dezelfde methodiek kue worde opgelost. 3. Fiaciële rekekude e spreadsheets De leerlig die met fiaciële rekekude aa de slag gaat, moet allereerst izie dat relatie () ee formele beschrijvig is va de drie geoemde situaties. De volgede stap is het vide va de passede rij 0,,., gegeve de groothede r e de looptijd. Dit

2 laatste probleem heeft atuurlijk diverse variate. Tot dusver gebruikte we hier formules e tabelle voor. Vadaag de dag hebbe we echter ee computer met ee spreadsheetprogramma tot oze beschikkig. Alle bekede opgave over spare e lee zij ook op te losse door ee spreadsheet te gebruike. Formulekaarte, tabelle, zakcalculators e zelfs grafische rekemachies kue terzijde geschove worde. Het is vooral de compacte e elegate vorm va de recurrete betrekkig i () die de aapak met ee spreadsheet zo hadig maakt. Ee beked e geschikt spreadsheetprograma is Excel. I dit artikel zulle we de werkig va Excel overiges iet bespreke. Zoals we formulekaarte, calculators, e.d. liks late ligge, zo egere we ook de zogehete fiaciële fucties va Excel (i de Egelse versie FP, NPV, PMT, etc. gehete). Stel we wille de oderstaade stereotiepe vraagstukke oplosse. ) Ee spaarder bregt i 6 achtereevolgede jare respectievelijk de bedrage va 7000, 3000, 4500, 5600, 8000 e 400 aar de bak. De rete is i alle jare 3,4%. a) Als de rete jaarlijks op dezelfde rekeig wordt bijgeschreve, wat is da het eidsaldo? b) Bij welke retevoet zou het eidsaldo precies zij? ) Stel ee klat sluit ee auïteitehypotheek af. De hoogte va de leig is e de jaarlijkse auïteit bedraagt 7000 bij ee retevoet va 4% per jaar. a) Laat zie wat het jaarlijkse rete- e het aflossigsdeel is i de eerste 0 jaar. b) Bij welke jaarlijkse auïteit zou de hypotheek a 0 jaar precies afgelost zij? 3) Bi ee auïteiteleig va met retevoet 4,% bedraagt de jaarlijkse auïteit (misschie met uitzoderig va het laatste jaar) Na hoeveel jare is de leig afgelost? 4) Ee 65-jarige bregt euro aar de bak. Hij spreekt af dat hij (of zij abestaade) jaarlijks gedurede 0 jaar 8000 uitbetaald krijgt. a) Wat is het restsaldo a 0 jaar? b) Bij welke jaarlijkse uitbetalig is het kapitaal volledig verbruikt a 0 jaar? Veroderstel ee vaste retevoet va 3,5%. De werkwijze i Excel voor deze probleme is als volgt. Me reserveert kolomme voor respectievelijk de waarde, A, r e r, =0,,,.. Idie A of r ee vaste waarde hebbe, ka me deze i slechts éé cel opslaa. Recurrete betrekkige worde vertaald i celverwijzige. De faciliteit "slepe" die i Excel voorhade is, maakt het werke met ee variabele idex eevoudig. Door de juiste celverwijzige te defiiëre e vervolges te gaa slepe zij de a)-oderdele va bovestaade vraagstukke sel op te losse. De b)-vrage kue worde opgelost door de goalseek -fuctie i Excel toe te passe. I de opleidig Iformatica & Ecoomie aa de Erasmus Uiversiteit Rotterdam wordt het pakket Excel gebruikt om ecoomische probleme te modellere. I dat kader moete studete vraagstukke va het bovestaade type op de zojuist beschreve maier oplosse. Deze maier va werke is oderdeel va ee bredere filosofie. I vooral bedrijfsecoomische vakke trede veelvuldig algoritme op. Het begrip algoritme is ee begrip uit de iformatica e is daar syoiem met oplossigsmethode. Ee leerlig heeft aagetood dat hij/zij ee algoritme begrepe heeft, idie de leerlig het algoritme geïmplemeteerd heeft, d.w.z. i ee dusdaige vorm geformuleerd heeft, dat het voor de computer iterpreteerbaar e uitvoerbaar is. Implemetere ka dus ihoude het opstelle va ee spreadsheet of het schrijve va Basic-programma. Me ka dus ee leerlig opdrage ee wistbepaligstelsel, ee afschrijvigsmethode, etc. i Excel of i Basic te implemetere. Door dergelijke opdrachte tot ee goed eide te brege toot de leerlig zij/haar izicht i de theorie. Oplossigstechieke (ofwel: trucs) met gebruikmakig va

3 formules, tabelle, e.d.oteme de leerlige het zicht op ee deel va de theorie e bevordere derhalve iet het izicht. De bovestaade visie sluit aa bij de gedachte va "problem solvig" zoals gepropageerd i het artikel [3]. De daar gepreseteerde opgave past aadloos i bovestaade serie. Ee verzamelig voorbeelde va bedrijfsecoomische opgave, op te losse met Excel, is te vide op Iteret, zie []. Deze zij bij het oderdeel Modellere i bovegeoemde opleidig aa de orde geweest. Overiges is er bij dit oderdeel ook ee praktisch tetame. Studete zitte gedurede de tetamesessie achter het beeldscherm (vazelfspreked zoder zoek- e commuicatie-mogelijkhede) e sture hu uitwerkig electroisch i. De beodigde hard- e software moet dus wel beschikbaar zij, maar waarschijlijk is dit op de meeste schole (biekort) het geval. 4. Het verbad met Levesverzekerige Ee vak dat sterk verwat is aa de fiaciële rekekude is de Levesverzekerigswiskude. Ook dit vak leet zich uitsteked voor de i de vorige paragraaf beschreve didactische aapak. We zulle er daarom hier ook aadacht aa bestede. Ee essetieel hulpmiddel bij Levesverzekerige is de zogehete overlevigstafel (vroeger aageduid met de term sterftetafel), die elk jaar door het CBS (Cetraal Bureau Statistiek) wordt gepubliceerd. Deze bestaat uit ee lijst va waarde l die zodaig zij gekoze, dat l j / l j precies gelijk aa de kas dat Nederlader overlijdt i zij j-de levesjaar. I het algemee is l p / l q, p>q, de kas dat iemad va q jaar de leeftijd p haalt. De waarde l 0 is steeds = gekoze. We veroderstelle dat, idie iemad voortijdig overlijdt, de tot da toe betaalde ileg bij de maatschappij blijft. Me ka ook zegge: de overlevede profitere va de ileg va de overledee. Dit is i overeestemmig met het basispricipe va verzekerige: de schadevrije of uitkerigsvrije klate betale mee aa de schades of uitkerige va adere. De recurrete betrekkig va sectie is hier i iets gewijzigde vorm va toepassig. l ( + r ) + A () = l Me ka deze betrekkig als volgt verklare. Op zij (-)-de verjaardag heeft iemad ee tegoed va -. Ee aatal adere klate met dezelfde leeftijd heeft ook ee tegoed. Ee jaar later op zij -de verjaardag is og maar l / l va deze groep i leve. De maatschappij verhoogt dus alle saldi met ee factor l / l. Op zij -de verjaardag betaalt of otvagt de klat verder ee bedrag A. Bij ee levesverzekerig begit e eidigt iedere klat altijd met =0. De oderstaade serie bevat drie stereotiepe vraagstukke. ) Ee spaarder bregt op zij 45-ste aar ee verzekerigsmaatschappij. Welke uitkerig ka hij vaaf zij 65-ste tot aa zij overlijde jaarlijks otvage? De retevoet is 3,6%. ) Meeer X betaalt op zij 50-ste t/m zij 59-ste verjaardag achtereevolges de bedrage va 7000, 3000, 4500,. (vul zelf aa) aa zij verzekerig. Op zij 65-ste wil hij, idie hij da og i leve is, ee uitkerig iees hebbe. Welke uitkerig zal dat zij? (Retevoet 3, %). 3) Ee levesverzekerig i omgekeerde volgorde: ee studet leet op zij 8-de t/m zij 4-ste verjaardag iedere keer Va zij 30-ste t/m zij 39-ste levesjaar moet hij dit geld i 0 jaarlijkse termije terugbetale. Igeval va overlijde wordt alle (resterede) schuld kwijtgescholde. Welk costat bedrag betaalt hij gedurede de 0- jarige aflossigsperiode? (Retevoet 3 %.) j 3

4 I [] zij bovestaade opgave ook te vide. Teves is daar ee voorbeeld va ee reële sterftetabel beschikbaar. 5. Oplossige va de recurrete betrekkig Om ee oplossig i de vorm va getalle te krijge, hebbe we aa Excel (zoder fiaciële fucties) voldoede. Het is echter uttig leerlige, i het bijzoder leerlige va het VWO bij wie ee hoger abstractievermoge wordt verodersteld, iets meer te vertelle over de aalytische oplossig va (). Als we ee oplossig i formulevorm wille hebbe, kue we als volgt te werk gaa. We splitse de waarde i twee deelsaldi, zeg L e M, zodaig dat = L + M. Evezo splitse we de betalig A i deelbedrage die betrekkig hebbe respectievelijk de saldi L e M. We kieze voor ee splitsig waardoor A i zij geheel het saldo M betreft. We moete ook og de costate 0 splitse i waarde L 0 e M 0.. We kieze L 0 = 0 e M 0 =0. We krijge da de volgede recurrete betrekkige: L met L 0 = 0, e ( ) = + r L M ( + A met M 0 =0. = + r ) M Zodra we de rije L e M afzoderlijk bepaald hebbe, hebbe we daarmee ook de rij. Voor het geval r costat is met r =r zij L e M eevoudig te vide. Voor L hebbe we da: L = L0 ( = 0 ( Ecoome herkee dit metee: als gee rete betaald wordt, is L gelijk aa de eidwaarde va L 0 a periodes. Voor M kue we het volgede schema opstelle: M = A M = A ( + r + A ) 3 = A + r) + A ( M ( + A3. 3 M A + A ( + A ( A ( + A = ( 3 De vorm voor =L + M. is derhalve: 3 = 0 ( + A( + A ( + A3( A ( + A (3) De ecoomische iterpretatie va het rechterlid is duidelijk: de eidwaarde va 0 plus de eidwaarde va de betalige i periode i, wier looptijd zich dus maar over -i periodes uitstrekt. Het blijkt i (3) dat er wiskudig gezie gee oderscheid is tusse spare e/of storte eerzijds e retebetalig aderzijds. Per saldo maakt het iet uit of ee betalig als stortig of als rete wordt gezie. Veroderstelle we dat bovedie og A =A geldt, da kue we met gebruikmakig va de wiskudige formule voor ee meetkudige reeks formule (3) omvorme tot: ( = 0( + A (4) r De breuk rechts is gelijk aa s r. De lezer wordt uitgeodigd a te gaa dat substitutie va A=-r 0 het resultaat = 0 oplevert. 4

5 6.. Opmerkige Naar aaleidig va de i de vorige paragraaf afgeleide wiskudige theorie make we og ee aatal opmerkige. Deze diee als achtergrodiformatie voor de docet (e mogelijk de leerlig). Opmerkig. Als =0 a ee bepaald aatal periode, zeg voor = 0, da leide we uit (3) af: = A + A + r A + A (5) ( ( ( Als A i costat is met A i =A voor alle i, da kue we A i =A buite haakjes hale e wordt (5) gelijkwaardig aa 0 =A a r. Deze laatste relatie is ook gemakkelijk direct uit (4) af te leide. Als we a k i Excel zoude wille berekee, da ka dit het beste gebeure door uitgaade va de het getal, ee aatal kere door (+r) te dele; de tussetijdse uitkomste worde vervolges opgeteld. Opmerkig Als A costat is e er is ee vaste rete r, da geldt de volgede relatie: V = = ( + r)( ) = ( V Het bedrag dat afgelost of igeteerd wordt (afame va de schuld resp. tegoed), wordt dus elke keer met ee vaste factor (+r) verhoogd. I ecoomische literatuur wordt deze eigeschap gebruikt voor de afleidig va de formule va ee auïteit. Me ka deze eigeschap algemeer gebruike. Met behulp va deze eigeschap ka me amelijk vauit relatie () aar (4) kome. Zie [], ook opgeome i [], voor details va deze afleidig. Opmerkig 3. Bij ee zogehete spaarhypotheek wordt om belastigtechische redee de schuld kustmatig hoog gehoude. De periodieke betalige (of ee deel daarva) worde da tege dezelfde rete op ee afzoderlijke spaarrekeig gezet. Me ka het saldo zie als ee optellig va twee deelsaldi op dezelfde maier als dat i paragraaf 5 gebeurd is. De resterede hypotheekschuld oeme we L. Het deel va de periodieke betalig A, dat aa L te goede komt (als rete e misschie og ee stukje aflossig) oeme B. De recurrete betrekkig voor L luidt da: L ( ) = + r L + B met L 0 = 0, Met het restat A - B va de periodieke betalige wordt ee spaartegoed opgebouwd. Dit tegoed, aageduid met M, voldoet aa de recurrete betrekkig M = ( + r ) M + A B met M 0 =0. Per saldo heeft de klat ee schuld va = L + M.De grootheid voldoet aa de relatie: = L + M = ( + r ) L + B + ( + r ) M + A B = ( + r ) + A. Deze grootheid voldoet dus aa de recurrete betrekkig i (). De spaarhypotheek heeft dus per saldo dezelfde recurrete betrekkig als ee gewoe hypotheek. Het verloop va de schuld is voor beide hypotheekvorme da ook hetzelfde. We zie hier teves, hoe krachtig de recurrete formulerig i paragraaf eigelijk is. Het probleem va de spaarhypotheke heeft er ee simpele oplossig door gekrege.. 7. Slot De i paragraaf e 5 gepreseteerde stof omvat feitelijk de volledige theorie die odig om de probleme uit de Fiaciële rekekude op te losse. I paragraaf 3 hebbe we ee ieuwe didactische visie op de behadelig va de stof otwikkeld. I paragraaf (e 4 voor ee ader gebied) werde alle probleme samegevat i éé ekele korte formule. Deze formule zorgt ervoor dat alle probleme sel aar ee spreadsheet zij te trasformere. 5

6 Het oderwerp cotiue rete is hier iet besproke. Ee wiskudig veratwoorde behadelig vraagt keis va de ifiitesimaalrekeig. I [] (ook opgeome i []) wordt dit oderwerp op wiskudige maier behadeld. Het begrip effectieve rete wordt daar ook aa ee adere beschouwig oderworpe. Refeceties [] Webpgia: [] Wim Pijls, Fiaciële Rekekude voor Wiskudige, Euclides (orgaa va de Nederladse Vereigig va Wiskudelerare) jaargag 78, r. 7, pp , mei 003. [3] Fred Spajerberg, Schoolwerk: problem-solvig, Tijdschrift voor het ecoomisch oderwijs, jaargag 03, r. 3, pp. 7-8, jui 003. Wim Pijls werkte va 973 tot 984 als docet wiskude e iformatica aa de Lerareopleidig Zuidwest-Nederlad te Delft, thas Hogeschool Rotterdam. Hij was daar verbode aa de secties wiskude e ecoomie. Sids 984 is hij docet iformatica aa de Faculteit Ecoomische Weteschappe va de Erasmus Uiversiteit Rotterdam. 6