Levende Statistiek, een module voor VWO wiskunde D

Transcriptie

1 Op het Stedelijk Gymasium te Leide is de module Levede Statistiek uitgeprobeerd, Ee verslag va Jacob va Eeghe e Liesbeth de Wreede. Levede Statistiek, ee module voor VWO wiskude D Statistiek is typisch wiskude A e dus eigelijk gee wiskude. Statistiek is saai. Je hebt iets aa statistiek, de voorbeelde op school hebbe iets met de praktijk te make. Veel wiskudelerare zulle deze opvattige va leerlige of collega s herkee e het er soms mee ees zij. Toe oze izedig voor ee workshop Levede Statistiek tot de prijswiaars voor de Natioale Wiskudedage 200 bleek te behore, ware wij iet allee vereerd, maar zage we hieri ook ee kas om tege deze opvattige te strijde te trekke. Met eige uitbreidig va de gebruikelijke stof is statistiek amelijk om te vorme tot éé va de mooiste voorbeelde va toegepaste wiskude op de middelbare school. De toepassige worde vooral door leerlige die met hu profielwerkstuk bezig zij, uiterst relevat gevode. Oze workshop was gebaseerd op de door os geschreve module Levede Statistiek voor wiskude D op het VWO. Destijds was deze module og i otwikkelig e ware we dele erva aa het uitteste met leerlige. Imiddels is de module af e beschikbaar op iteret. Het belag va statistiek, ook op school Statistiek is éé va de meest toegepaste oderdele va de wiskude. Statistiek is ee verplicht e dikwijls omvagrijk oderdeel bij talloze uiversitaire studies: bij vrijwel alle gammavakke, bij studies i de biomedische sfeer e soms ook, maar mider frequet, bij de harde bètavakke. Voor veel leerlige is statistiek het eige oderdeel va de wiskude dat expliciet aa de orde komt i hu vervolgstudie. Statistiek vide we ook terug i os dagelijks leve e via de media: Is Lucia de B. terecht veroordeeld? Is ee mediterraa dieet gezoder da Holladse kost? Is het ee goed idee om alle meisjes te vacciere tege baarmoederhalskaker? Om berichte over dergelijke probleme op waarde te kue schatte, is eige keis over de opzet va oderzoek e de rol va statistiek hieri ootbeerlijk. Ook op school worde leerlige vaak rechtstreeks gecofroteerd met het belag va statistiek als ze voor hu profielwerkstuk aa het experimetere of equêtere slaa e ze vervolges de data probere te aalysere. Kortom: het belag va statistiek is overduidelijk e daarmee is het oderwerp ee uitsteked voorbeeld voor cotextrijke wiskude. Toch maakt statistiek, et als kasrekeig, imiddels gee deel meer uit va het wiskude-b-curriculum. Bij wiskude A e D zij kasrekeig e statistiek wél verplicht; de ihoud va deze oderdele is ageoeg ogewijzigd te opzichte va die va de oude wiskude A2, B e B2. De stof gaat echter et iet ver geoeg om de geleerde statistiek i de praktijk toepasbaar te make. Dit wordt ieder jaar weer duidelijk als leerlige voor hu profielwerkstuk de verzamelde gegeves uit hu experimet of equête moete verwerke. I het beste geval beseffe ze dat ze statistiek odig hebbe om tot ee goede coclusie te kome, maar het komt maar zelde voor dat ze i staat zij om de oodzakelijke aalyse zelf uit te voere. Dat is jammer. Wiskudelerare steke veel eergie i het motivere va leerlige door te wijze op de relevatie va hu vak. Bij veel profielwerkstukke diet zich ee cocrete vraag aa die met wiskude moet worde opgelost e wordt de leerlig met ee kluitje i het riet gestuurd. ( Dat zul je later og wel lere.) Als de leerlig geluk heeft, schrijft de wiskudeleraar de statistische paragraaf. Dit ka ook aders. I de module Levede Statistiek wordt het aatal statistische techieke dat de leerlig tot zij beschikkig heeft, zodaig uitgebreid dat op veel vrage uit de praktijk direct atwoord ka worde gegeve. Op het Stedelijk Gymasium Leide krijge leerlige die wiskude D i hu pakket hebbe, de mogelijkheid om i plaats va het schrijve va ee eige profielwerkstuk de statistiek te verzor- 4 Levede Statistiek, ee module voor VWO vwo wiskude dd

2 ge va ee aatal profielwerkstukke va adere e zo als cosultat op te trede. Tot dusver kode alle aagedrage praktijkgevalle adequaat door de leerlig worde behadeld. Verderop worde twee eevoudige voorbeelde gepreseteerd. Ihoud va de module Levede Statistiek Zoals gezegd behadelt de module de meest gagbare statistische oderwerpe, waarbij de verplichte oderdele va het wiskude D-curriculum beked worde verodersteld. Deze oderwerpe zij, a eige herhalig e uitbreidig va de pricipes va de kasrekeig: de chi-kwadraat- e de t -verdelig, betrouwbaarheidsitervalle, t -toetse (ekelvoudig, gepaard e ogepaard), verdeligsvrije toetse, het vergelijke va populatiepercetages, ekelvoudige lieaire regressie, correlatie e meervoudige lieaire regressie. De i de module aagebode statistische techieke kome iet uit de lucht valle, maar worde alle wiskudig afgeleid. Over het algemee geldt: gee bewerig zoder bewijs, waarbij ee uitzoderig wordt gemaakt voor oderdele waari met kasdichthede moet worde gemaipuleerd. Voor deze oderdele wete de leerlige og te weiig va itegraalrekeig. De wiskudige fuderig zorgt ervoor dat de leerlige statistiek iet als trukedoos zie. Zo heeft de module belagrijke eveeffecte: de leerlige oefee hu algebraïsche vaardighede, het levere va bewijze e het toepasse va de pricipes uit de kasrekeig. De meeste berekeige kue op de GR worde uitgevoerd. Voor grotere gegevesverzamelige e voor lieaire regressie met meer da éé verklarede variabele is gebruik va statistische software op ee computer omisbaar. Wij koze voor het gebruik va de software R. R is gratis e relatief eevoudig te dowloade, zodat leerlige ook thuis kue oefee. R wordt veel gebruikt door professioele statistici omdat er imiddels talloze gespecialiseerde fucties i geschreve zij. R is ee commadotaal, maar er bestaat ee meu-gestuurde schil, RCommader, waarmee de meeste stadaardaalyses (waaroder alles wat i de module Levede Statistiek voorkomt) eevoudig kue worde uitgevoerd. Oze ervarig is dat leerlige er makkelijk mee overweg kue. De meeste praktijkvoorbeelde uit de module zij afkomstig va het Leids Uiversitair Medisch Cetrum e zij gebaseerd op medisch oderzoek. Het is oze ervarig dat dit toepassigsgebied de meeste leerlige aaspreekt, zeker omdat de gekoze voorbeelde dicht bij echte oderzoeksvrage ligge. Leerlige rake door deze voorbeelde vertrouwd met de pricipes va het gebruik va wiskudige modelle. De praktische situatie wordt vertaald i ee model waar je statistische techieke op kut loslate, maar je moet je steeds blijve afvrage of het model de essetie va de werkelijkheid adequaat weergeeft. Het woord levede uit Levede Statistiek krijgt zo ee dubbele betekeis: de statistiek is leved omdat je er probleme uit het echte leve mee aakut e de meeste voorbeelde kome uit de bio- oftewel de levesweteschappe. Twee voorbeelde YOGA De oderzoeksvraag uit dit profielwerkstuk luidde: Vermidert yoga stress?. Stress werd gemete door de proefpersoo ee formulier te late ivulle, adat hem of haar ee aatal stressverhogede vrage was gesteld. De atwoorde op het formulier worde omgezet i ee score. Hoe hoger de score, hoe meer stress. De proefpersoe werde aselect oderverdeeld i twee groepe. Bij beide groepe werd de stress gemete. Vervolges krege de lede va éé va de groepe de opdracht om gedurede éé week dagelijks ee aatal voorgeschreve yoga-oefeige uit te voere. De adere groep kreeg gee opdracht. Na deze week werde beide groepe weer blootgesteld aa stressverhogede vrage e moeste ze opieuw het formulier ivulle. Zij de gevode scoreverschille sigificat? ESPERANTO De oderzoeksvraag uit dit profielwerkstuk luidde: Is Esperato makkelijker te lere da Spaas?. De proefpersoe, die bij aavag vertrouwd ware met Spaas och Esperato, krege lesse i Spaas gevolgd door ee toets e eveveel lesse Esperato, gevolgd door ee qua moeilijkheidsgraad vergelijkbare toets. Ee deel va de proefpersoe werd eerst aa Spaas e da aa Esperato blootgesteld, bij de rest was de volgorde omgekeerd. Zij de gevode scoreverschille sigificat? I de kaders hierbove is het oderzoek va twee profielwerkstukke kort beschreve. Uiteraard roepe deze korte beschrijvige allerlei vrage op: over vergelijkbaarheid va scores, samestellig va groepe va proefpersoe etcetera. Deze vrage zij gerechtvaardigd e make zeker deel uit va ee traiig i statistiek, maar i dit artikel gaa we er kortheidshalve aa voorbij. We cocetrere os op de vraag of de gevode verschille i scores sigificat zij. We Nieuwe Wiskrat 30-3/april 20 5

3 gaa erva uit dat de waargeome scores afkomstig zij uit ee ormale verdelig. I de praktijk levert deze aaame doorgaas gee probleme op. Als dit wel het geval is, da ka gebruik worde gemaakt va ee zogeaamde verdeligsvrije methode. I de eerste plaats costatere we dat de statistiek zoals geleerd bij wiskude A ovoldoede is om deze situaties te aalysere. Het eerste probleem is dat op school altijd wordt verodersteld dat, de stadaardafwijkig va de betreffede verdelig, beked is. I deze voorbeelde is, zoals gebruikelijk i de praktijk, obeked. Het tweede probleem is dat op school meestal allee de toets wordt behadeld waari, het gemiddelde va de betreffede verdelig, wordt vergeleke met ee va buiteaf gegeve waarde. I deze voorbeelde moete de s uit twee populaties worde vergeleke, hetgee eveees ee situatie is die i de praktijk veelvuldig voorkomt. I de volgede paragraaf wordt i het kort de theorie behadeld, waarmee zowel YOGA als ESPERANTO succesvol kue worde behadeld. Het pricipe va de t-toets We cocetrere os eerst op het probleem va de obekede. Gegeve is de steekproef X X 2 X uit ee populatie die ormaal verdeeld is met gemiddelde e variatie 2. Het steekproefgemiddelde X = -- X i i = is ormaal verdeeld met gemiddelde e variatie X Hieruit volgt dat de variabele Z = stadaardormaal verdeeld is. Als we, bij gegeve 0, de hypothese H 0 : = 0 toetse tege ee ee- of tweezijdig alteratief, kue we, als beked is, Z gebruike als toetsigsgrootheid. Oder H 0 kue we Z immers berekee. Als obeked is, ligt het voor de had dat we (of 2 ) uit de gegeves probere te schatte. 2 is gedefiieerd als EX 2, dus ee logische keuze voor de schatter va 2 is S 2 = -- X. i 2 i = Deze schatter heeft als prettige eigeschap dat hij zuiver is, dat wil zegge dat zij verwachtigswaarde gelijk is aa de parameter die hij schat. Immers, ES 2 = -- 2 = 2. 2 heeft ook ee oprettige eigeschap: hij is i de praktijk obruikbaar omdat obeked is. Het is verleidelijk om u i de formule voor S 2 te vervage door zij schatter X. We zoude da S 2 vervage door -- X. i X 2 Dit is echter iet oproblematisch, zoals duidelijk moge worde uit de volgede berekeig. X i 2 = X i X+ X 2 = X i X 2 + 2X i XX + X 2 = X i X 2 + 2X X i X + X 2 = X i X 2 + X 2 Uit deze gelijkheid volgt dat -- X i X 2 altijd kleier of gelijk is aa de zuivere schatter S 2 e dus zelf iet zuiver is. Eevoudig valt echter aa te toe (ook door leerlige) dat s 2 = X i X 2 wél zuiver is e dit is da ook de grootheid die we als schatter va 2 zulle gebruike. X We kue u de toetsigsgrootheid Z = vervage door X. T = s Om T te kue gebruike voor het toetse va H 0 : = 0 is het odig om de verdelig va T te bepale. Bovestaade afleidig is, met ee beetje extra uitleg, goed te volge voor wiskude D-leerlige. De afleidig va de verdelig va T vergt echter te veel keis va itegraalrekeig. We volstaa hier da ook met de mededelig dat de verdelig va T allee afhagt va de parameter ; deze verdelig wordt de t -verdelig met vrijheidsgrade geoemd. De t -verdelig lijkt sterk op de stadaardormale verdelig, maar de staarte zij dikker, vooral bij ee klei aatal vrijheidsgrade, zie figuur op de volgede bladzijde. Op de GR kue berekeige met de t -verdelig eevoudig worde uitgevoerd via de fucties tcdf e ivt, te vergelijke met ormalcdf e ivnorm. Gepaarde e ogepaarde t -toetse Voor het vergelijke va de gemiddelde va twee populaties, zoals i het voorbeeld YOGA, gebruike we de volgede otatie. X i i = is de stressvermiderig (stressscore i de eerste metig mius stressscore i de tweede metig) va elk va de proefpersoe uit de groep die aa yoga deed. 6 Levede Statistiek, ee module voor vwo VWO wiskude d D

4 X 2i i = 2 is de stressvermiderig voor de proefpersoe uit de adere groep. We veroderstelle dat alle waaremige oafhakelijk va elkaar zij e ormaal verdeeld. is het gemiddelde va de X i s e 2 het gemiddelde va de X 2i s. Verder veroderstelle we dat de X i s e de X 2i s dezelfde variatie hebbe: 2. We toetse H 0 : = 2 tege H : 2, omdat we probere aa te toe dat yoga leidt tot meer stressvermiderig. Het ligt voor de had om deze hypothese te verwerpe als X X 2 groot is. Je kut aatoe (e leerlige doe dat via ee opgave) dat X X 2 T = , s + 2 waari 2 2 s 2 s + 2 s 2 = het gewoge gemiddelde is va de geschatte variaties uit beide steekproeve, ee t -verdelig heeft met vrijheidsgrade e daarmee is het probleem opgelost. Het voorbeeld ESPERANTO lijkt weliswaar op YOGA, maar ka iet op precies dezelfde maier worde aagepakt. I dezelfde otatie als bij YOGA gebruike we het subscript voor de score behaald bij de toets over Esperato e het subscript 2 voor de score bij Spaas. Ook hier toetse we H 0 : = 2 tege H : 2. De veroderstellige die we maakte bij YOGA kue alle worde overgeome op éé a: de X i s e de X 2i s zij iet oafhakelijk, wat het zij de scores va dezelfde proefpersoo. We zegge daarom dat de steekproef bij ESPERANTO uit gepaarde waaremige bestaat e die bij YOGA uit ogepaarde waaremige. Voor ee correcte aapak va ESPERANTO defiiëre we voor proefpersoo i : X i = X i X 2i als het verschil tusse de score voor Esperato mius de score voor Spaas. De X i s zij oafhakelijk e ormaal verdeeld met gemiddelde = 2. De te toetse hypothese is te herschrijve als H 0 : = 0 tege H : 0. Hiermee is de vergelijkig va twee populaties teruggebracht tot ee ekelvoudige t -toets. I beide voorbeelde zij we erva uitgegaa dat de geobserveerde scores afkomstig zij uit ee ormale verdelig. Als deze veroderstellig iet ka worde gerechtvaardigd, bestaat voor elk va de gebruikte t - toetse ee zogeaamde verdeligsvrije variat, die ook i de module Levede Statistiek wordt behadeld. De uit wiskude A bekede teketoets is ee voorbeeld va ee verdeligsvrije toets. Deze zou i pricipe gebruikt kue worde voor ESPERANTO, maar het oderscheidigsvermoge va deze toets is klei. I deze situatie is Wilcoxos ragteketoets beter geschikt. fig. Verschillede verdelige. Ervarige i de klas De module Levede Statistiek is door drie klasse va het Stedelijk Gymasium Leide afgerod. De module is gesplitst i twee dele aagebode, het eerste deel aa het eid va klas 5, het tweede aa het begi va klas 6. Per saldo am de stof va Levede Statistiek, iclusief het R-computerpracticum, dertig lesse va 50 miute i beslag. De leerlige ware vooral ethousiast over het realiteitsgehalte va de stof ( we lere iets echts ). Aa het begi va klas 6 begit het profielwerkstuk va de leerlige vorm te krijge. Voor veel leerlige beteket dit oder adere dat ee eige oderzoek moet worde verricht: data worde verzameld e deze moete worde geaalyseerd. Dit leidde tot veel gesprekjes a de les of tijdes pauzes. Meeer, wilt u eve kijke? Hier moete we toch de xyz-toets toepasse? Leerlige lijke verbaasd als blijkt dat het wiskudig istrumetarium dat odig is voor de oplossig va ee praktisch probleem bie hadbereik ligt. Vervolges is de voldoeig groot als ze zelf de oplossig kue vide. Nieuwe Wiskrat 30-3/april 20 7

5 Voor vele is het de eerste keer dat ze wiskude toepasse i ee situatie die iet is verzoe door de leraar ter illustratie va de leerstof. De wiskude achter de statistiek wordt door de meeste leerlige als lastig ervare. Dit geldt met ame voor de theoretische afleidige; het toepasse va resultate i ee cocreet voorbeeld wordt makkelijker gevode. Voor wiskudelerare is dit ee beked feomee. Er zij maar weiig leerlige die de productregel bij differetiëre kue afleide, ook adat deze afleidig ee keer is voorgedaa. Er zij er vele die de regel kue toepasse. Bij statistiek komt daar de complicatie va de otatie bij. Bij berekeige over steekproeve va legte moet veelvuldig gebruik worde gemaakt va het sommatie-symbool e de bijbehorede algebra. Ook moet er steeds ee duidelijk oderscheid worde gemaakt tusse (populatie)parameters, waarva de waarde i de praktijk obeked is, maar waar we kasuitsprake over wille kue doe, e hu schatters, die kasvariabele zij omdat ze gebaseerd zij op de steekproef. I Levede Statistiek hebbe wij deze moeilijkhede iet omzeild. Door middel va opgave waari ze zelf (kleie) theoretische resultate moete afleide, worde leerlige getraid om tot op zekere hoogte abstract te deke. Deze traiig verloopt iet zoder dat dikwijls de vraag wordt gesteld: Moete we dit wete voor de toets?. Het atwoord Ja houdt ze i ieder geval aa het werk. Het is oze ervarig dat leerlige juist bij dit oderdeel (formele wiskude e kasrekeig toepasse om statistische resultate af te leide) het meest de hulp va de docet odig hebbe. Die hulp bestaat da vooral uit het vertale va abstracte begrippe e symbole i cocrete voorbeelde. Opmerkelijk is dat het ut va de theoretische achtergrod op ee gegeve momet wel wordt igezie. Zo vertelde ee leerlig aar aaleidig va het bezoek aa ee ope dag va ee uiversiteit dat zij de eige was die begreep wat er met de gepreseteerde formules (met veel s) bedoeld werd. Wij wille hier wel beadrukke dat oze doelgroep bestod uit leerlige met wiskude D, ee groep die zich iet sel door wiskudige moeilijkhede uit het veld laat slaa. Bij ee adere doelgroep is het raadzaam om wat mider de adruk te legge op de wiskudige achtergrod va de statistiek. Het computerpracticum werd gewaardeerd e de leerlige hadde weiig moeite met de software. Dat is prettig, wat zo ko de aadacht vooral uitgaa aar de iterpretatie va de resultate. Deze iterpretatie is iet iets vazelfsprekeds. Leerlige moete er af e toe aa worde herierd dat ze hu gezode verstad iet moete uitschakele. Als bie ee populatie va studete het kemerk lichaamslegte sterk (e sigificat) gecorreleerd blijkt te zij met gemiddeld aatal alcoholische cosumpties per week moete ze zelf op het idee kome dat het kemerk geslacht wel ees va belag zou kue zij. Bij de praktische opdracht, ee aalyse va ee gegevesverzamelig va ruim 200 patiëte met ierprobleme, speelde de combiatie va gezod verstad e keis va statistische techieke ee grote rol. Uiteidelijk wordt de tevredeheid va leerlige voor ee belagrijk deel bepaald door de behaalde cijfers. Deze ware bevrediged. Coclusie Aa het begi va dit artikel hebbe wij ekele opvattige geciteerd die illustratief zij voor het egatieve imago dat statistiek bij sommige heeft. Wij hope dat de lezer met os iziet dat, zeker als je iets verder kijkt da op school meestal gedaa wordt, het vak statistiek dit imago iet verdiet e dat de volgede opvattige eerder va toepassig zij: Statistiek is iet het makkelijkste maar wel het mooiste voorbeeld va toegepaste wiskude waar ee middelbare scholier mee i aarakig ka kome. Statistiek is leuk. De meeste oderzoekers kue iet zoder statistiek e dat begit al op school. Meer wete? De module Levede Statistiek, waaroder de istructies voor het dowloade va het software pakket R, zij te vide op de site va ctwo ( MateriaalDomeieWiskudeD/welcome.html) oder VWO, Domei B. Voor verdere vrage kut u cotact opeme met Liesbeth de Wreede, l.c.de_wreede@lumc.l (zie ook ?setlaguage=Dutch& setcoutry=l). Jacob va Eeghe, docet wiskude Stedelijk Gymasium Leide Liesbeth de Wreede, biostatistisch oderzoeker Leids Uiversitair Medisch Cetrum 8 Levede Statistiek, ee module voor vwo VWO wiskude dd