1. Recursievergelijkingen van de 1 e orde

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "1. Recursievergelijkingen van de 1 e orde"

Transcriptie

1 Recursievergelijkige va de e orde Rekekudige rije Het voorschrift va ee rekekudige rij ka gegeve wordt met de volgede recursievergelijkig: u = u + b Idie we deze vergelijkig i de vorm u = u u = b otere spreke we over ee differetievergelijkig u oemt met de toeame Uit het recursief voorschrift kue we het volgede expliciete voorschrift afleide: expliciet voorschrift: u= u + b= ( u + b) + b= u + b = ( u 3+ b) + b= u 3+ 3b = = u0 + b Rekekudige rije kue opgebouwd worde met de iteratiefucite F: x F( x) = x+ b Meetkudige rije Het recursieve voorschrift va ee meetkudige rij is: u = a u Dit geeft als differetievergelijkig: u = u u = a u u = ( a ) u Het expliciete voorschrift is: u= a u = a( au ) = a u 3 = a ( a u 3) = a u 3 = = a u Voor meetkudige rije gebruike we als iteratiefuctie F( x) Het vast put va F is: ax = x x = 0 E Voorbeeld 0 F ' ( x) = a = ax We belegge ee kapitaal va 000 euro tege % samegestelde itrest per jaar Noem u het kapitaal a jaar recursievergelijkig: u = u + u =, 0u 00 differetievergelijkig: u = u = 0,0u 00 expliciet voorschrift: u = (,0) 000 De oplossig va de recursievergelijkig is de rij u = (, 0) u0 met als begivoorwaarde u 0 = 000 Zoder begivoorwaarde heeft de recursievergelijkig oeidig veel oplossige maar voor iedere begiwaarde is er ee uieke oplossig die me ee particuliere oplossig oemt

2 Hieroder volgt ee grafische voorstellig va de recursievergelijkig TIJDGRAFIEK WEBGRAFIEK 0 is het eige vast put e bovedie afstoted, F '(0) =,0 > 3 Ekele adere voorbeelde Voorbeeld We passe het vorige voorbeeld als volgt aa: 000 belegge tege % samegestelde itrest per jaar e op het eide va elk jaar 00 toevoege u is het kapitaal a jaar Wat komt er het e jaar bij? u0= u u0 = 00u + 00 Wat komt er het e jaar bij? u= u u = 00u + 00 Algemee: u = u u 0,0 00 = u + zodat u =,0 u Voor deze tweede beleggig bekome we de iteratiefuctie F: x,0x Ook hier kue we het vast put berekee: F( x) = x x= 0000 Wat betreft os voorbeeld heeft dit vast put gee realistische betekeis Voorbeeld De begidosis va ee bepaalde medicatie bedraagt 00 mg Per dag wordt 30% door het lichaam afgebroke e dagelijks wordt 0 mg i éé keer extra toegedied u = 0,7u + 0 De recursievergelijkig bij dit voorbeeld is met als vast put: u0 = x 0 = = 0,7 3 Ga a dat i dit geval het expliciete voorschrift u = 0, 7 (00 ) + is 3 3

3 GRAFISCHE ANALYSE TIJDGRAFIEK WEBGRAFIEK Wat stel je vast idie je met ee grafische aalyse verschillede startwaarde bestudeert Neem bijvoorbeeld 0 e 300 mg BESLUIT De dosis 00 mg is ee stabiel evewicht daar, oafhakelijk va de begiwaarde, het 3 proces steeds aar dit evewicht evolueert Het is ee dyamisch evewicht wat elke dag wordt 0 mg afgebroke e vervage door ee ieuwe hoeveelheid va 0 mg Veroderstel dat 00 mg ovoldoede is voor de bestrijdig va ee ziekte e dat 00 mg 3 vereist is Hoe ka me deze dosis opbouwe met ee miimale iame per dag? Opdat 00 mg het ieuwe evewicht zal zij, moet: F(00) = 0,700 + b= 00 b= 60 Maw ee dagelijkse dosis va 60 mg eme leidt tot ee evewicht va 00 mg Het ka ook als volgt: F(00) = a = 00 a= 0,7, maw ee gelijkaardig medicamet met % afbraak per dag 4 De recursievergelijkig u = a u + b Bij de recursievergelijkig: u = a u + b met ab, e begivoorwaarde u 0 hore: de differetievergelijkig: u = ( a ) u, de iteratieve fuctie: F( x) = ax+ b, het vast put: b ax + b = x x =, a 3

4 het expliciet voorschrift: = + = ( + ) + = = a au 3+ b + ab+ b= a u 3+ b + a+ a u au b a au b b a u ab b ( ) ( ) = = au + b( + a+ a + + a ) a b b = au + b = a u + a a a b Merk op dat de evewichtswaarde gelijk is aa a Oefeige a Op jui 004 zij er 30 karpers i ee kweekvijver Elk jaar worde op jui 0% karpers gevage e 0 karpers bijgezet Me eemt aa dat per jaar eveveel karpers sterve als gebore worde (i) Stel ee recursievergelijkig op (ii) Maak ee tijd e ee webgrafiek (iii) Is er ee stabiel dyamisch evewicht? b We sluite ee leig af va 000 euro (leig is spaarpla met egatieve startwaarde) We betale maadelijks 0 euro e de bak reket % samegestelde itrest per maad (i) Stel ee recursievergelijkig op (ii) Maak ee tijdgrafiek (iii) Na hoeveel maade is de leig afbetaald? 6 Meervoudige lieaire recursie Bij recursie va de e orde wordt elke term bereked i fuctie va de voorgager Maar ee term ka ook bereked worde uit meerdere voorafgaade terme De rij va Fiboacci,,,, 3,, 8, 3,, 34,, is ee voorbeeld va de e orde: u = u + u met u0 = u = Het i detail bestudere va dergelijke recursievergelijkige gaat verder da de bedoelig va deze tekst We toe eve dat het afleide va ee expliciteit voorschrift voor de rij va Fiboacci iet zo evidet is De volgede afleidig is gebaseerd op het artikel Ekele eevoudige toepassige va groepe e rige va Prof dr Foy Ooms (UHasselt) We otere het het e Fiboaccigetal met F e beschouwe de matrix A = 0 4

5 Je ka met de grafische rekemachie agaa dat: A = 0 = 0 Zo otdek je dat de machte va A als volgt opgebouwd worde met de getalle va F+ F Fiboacci: A = F F voor We bepale de oplossige va de karakteristieke veelterm va A, de eigewaarde, als volgt: λ PA ( λ) = 0 det( λ I A) = 0 = 0 λ λ = 0 λ De discrimiat is zodat de eigewaarde va A gelijk zij aa: λ Opmerkig + ϕ = oemt met ook het goude getal of de gulde sede F Bovedie geldt: lim + = ϕ F = + e λ = De Euclidische delig va λ door PA ( λ ) geeft ee quotiët Q( λ) e ee rest R( λ) zodat λ = PA ( λ) Q( λ) + R( λ) Uit de berekeig voor PA ( λ ) volgt dat de graad va R( λ ) kleier moet zij da twee, R( λ) = b λ + c, zodat λ = P ( λ) Q( λ) + b λ+ c (*) Uit de stellig va Hamilto-Cayley, die zegt dat iedere matrix A voldoet aa zij karakteristieke veelterm ( PA ( A ) = 0) volgt voor uitdrukkig (*) : 0 b+ c b A = PA ( A) Q( A) + b A+ c I = b A+ c= b c 0 + = 0 b c F+ F E vermits A = F F geldt dat b= F A A A A = = 0 A 3 3 = = = 3 = = 3 = 0 8

6 Het ivulle va de eigewaarde λ e λ i vergelijkig (*) geeft het volgede stelsel: λ = 0 Q( λ) + b λ+ c λ = b λ+ c λ = 0 Q( λ) + b λ + c λ = b λ + c λ λ Uit dit stelsel berekee we b: b = λ λ Ee expliciet voorschrift voor de rij va Fiboacci is: F + = Merk op dat uit dit expliciet voorschrift volgt dat + : 7 Samehagede lieaire recursie 7 Ee bevolkigsmodel Elk jaar verhuize % iwoers va stad A aar de buitewijke B va de stad e 0% iwoers va de rad B gaa i stad A woe De begisituatie bestaat uit mese i de stad e i de rad We veroderstelle dat het totaal aatal iwoers costat blijft Bovestaad probleem geeft lieaire recursievergelijkige waarbij de iwoers va de stad, u, e va de rad, v, afhage va de iwoers va de stad e de rad éé jaar eerder: u = 0,8u + 0,v u0 = met v = 0,u + 0,9v v0 = I matrixotatie bekome we: u 0,8 0, u v = 0, 0,9 v Er geldt duidelijk: u 0,8 0, 0,8 0, u 0,8 0, u 0,8 0, u0 v = 0, 0,9 0, 0,9 v = = = 0, 0,9 v 0, 0,9 v 0 Met ee tijdsgrafiek verkrijge we al ee eerste idee va de evolutie va dit bevolkigsmodel Met ee tabel kue we de toestad jaar a jaar afleze Het aatal iwoers va de stad e va de rad evolueert aar ee evewicht 6

7 Dit is ee dyamisch evewicht dat stabiel is Adere begiwaarde evoluere weer aar hetzelfde evewicht Ee uv-diagram (u-waarde op de x-as e v-waarde op de y-as) verduidelijkt ook mooi de evolutie va dit bevolkigsmodel Bepaal, gebruikmaked va de tabel, de grootste e de kleiste waarde va u e v om de vesteristellige te kee e verhoog Max om de evolutie grafisch te explorere Bepale va het expliciet voorschrift Grafisch otdekte we dat het aatal iwoers va de stad evolueert va aar ee evewicht va Gebruikmaked va de resultate va lieaire recursievergelijkige va de e orde formulere we het volgede model u = a ( ) = a () Daar u + v = is v = u = a () We vulle () e () i de eerste recursievergelijkig i e bekome zo: 40000a = 0,8(40000a ) + 0,( a ) E a vereevoudigig: 8 3 a = a a= = 0,7 4 4 Het expliciet voorschrift voor dit bevolkigsmodel is: u = 40000, v = ,7 Vazelfspreked ka dit expliciet voorschrift ook algebraïsch exact afgeleid worde door de voorwaarde u + v = rechtstreeks i de recursievergelijkige i te vulle Deze uitdrukkig geeft amelijk de samehag weer tusse u e v 7

8 7 Ee prooi- roofdiermodel Veroderstel dat het aatal koije i ee bepaald gebied afhakelijk is va het geboortepercetage va de koije e va het aatal dat door de aawezige vosse wordt gevage Het aatal vosse hagt af va het aatal koije e va het sterftepercetage va de vosse Ekele vrage als itro: (i) Als het aatal vosse zal toeeme, wat zal er da met het aatal koije gebeure? Toeame of afame? (ii) Wat is de ivloed va je eerste atwoord op het voedsel voor de vosse? Toeame of afame? (iii) Welke ivloed heeft dit weer op het aatal vosse? Toeame of afame? (iv) E wat beteket dit voor de koije, het voedsel voor de vosse? Toeame of afame? (v) Wat zal er da weer gebeure met het aatal vosse? Toeame of afame? We gaa ee wiskudig prooi-roofdiermodel opstelle Stel dat gk = 0,0 Per jaar worde koije op 00 koije gebore, maw op u zij dat 0,0u koije sk = 0,00 Per jaar e per aawezige vos wordt koij op 000 opgegete, maw op u koije zij er dat 0,00u e op v vosse 0,00u v gv = 0,000 Per per jaar e per koij worde op 0000 vosse gebore, maw op v vosse zij er dat 0,000v e op u koije 0,000v u sv = 0,03 Per jaar sterve 3 op 00 vosse e op v vosse 0,03v Dit resulteert i de volgede recursievergelijkige u = u + 0,0u 0,00 u v u = u (,0 0,00 v ) v = v 0,03v + 0,000 v u v = v (0,97 + 0,000 u ) Ook zoude we os de vraag kue stelle of er ee evewichtstoestad, u = v= 0, bestaat I geval va ee evewichtstoestad speelt de tijdidex gee belag De bovestaade recursievergelijkige bepale de volgede voorwaarde voor evewicht: u = 0,0u 0,00uv= 0 (0,0 0,00 v) u = 0 v= 0, 03v+ 0, 000vu = 0 ( 0, 03+ 0, 000 u) v= 0 u = 0, v = 0 is ee oplossig maar duidelijk gee zivolle situatie om te bestudere De adere oplossig u = 0, v = 0 is voor dit model ee evewichtstoestad 8

9 Het grafisch bestudere va dit model, toot ee goed beeld va de evolutie va het prooiroofdiermodel We plotte ee uv-diagram e ee tijdsdiagram voor de begisituatie u0 = 00 e v0 = 0 uv-diagram Tijdgrafiek Bestudeer grafisch het effect va de variatie va de begivoorwaarde op de evolutie va dit model 8 Logistisch groeimodel De eevoudigste maier om de evolutie va ee populatie te voorspelle is het expoetiële groeimodel P = ap P = ap = a P P = ap = a P P = ap = a P waarbij a > 0 ee costate is die afhagt va ecologische factore zoals voedselvoorraad, water, roofdiere, jagers, Voor dit expoetieel groeimodel geldt: a > steeds sellere toeame va de populatie, ee vlucht aar oeidig 0< a < uitsterve va de populatie a = populatie veradert iet Zo expoetieel model is echter iet realistisch 8 Opstelle logistisch model Beschouw ee populatie fruitvliegjes die gebore worde e sterve i hetzelfde jaar Bij ee te sterke groei va de fruitvliegjes zal er voedseltekort optrede of zulle vogels meer fruitvliegjes vage De groei zal oorsprokelijk expoetieel toeeme e vaaf ee bepaald momet ombuige e afgeremd worde aar ee evewichtswaarde Als ee leefgebied teveel vliegjes bevat zorgt voedseltekort e adere factore voor die afremmig I het volgede model houde we hiermee rekeig met de term bp : P = ap bp Voor kleie waarde va P is er gee voedseltekort e als b veel kleier is da a, is bp relatief klei Voor grote waarde va P wordt de term steeds belagrijker 9

10 De populatiegrootte blijft iet stijge, zoals bij expoetiële groei, maar ka i ee begresd gebied ee maximale waarde iet overschrijde De maximale populatiegrootte otere we met P max e op elk tijdstip geldt P < Pmax We schrijve het kwadratisch model i de vorm P = mp ( Pmax P ) Dit model heeft veel iteressate toepassige i oa de biologie e het ostaa gaat terug tot het werk va de Belgische wiskudige Pierre Fraçois Verhulst ( ) rod 84 a P = ap bp = P ( a bp ) = bp ( P ) b Idie we veroderstelle dat beide modelle hetzelfde proces voorstelle, vide we dat a Pmax = waarbij de parameters a e b e P max afhakelijk zij va ecologische factore b P Idie we bovedie stelle dat x =, ee fractie va P max, kue we os model als Pmax volgt schrijve: P P max P P P = b P P = b P P P P ( max ) max max max max het volgede model x = λx ( x ) met λ > 0 e 0 x De iteratiefuctie behorede bij dit model is F( x) = λx( x), maw bekome we Voor x = 0 e x = is de populatie 0, bijvoorbeeld bij x = treedt verzadigig va de ruimte op waari de populatie leeft Ee adere aapak We kue os model ook als volgt otere: P = P + P = P + g r P met P de toeame, g de groeivoet e r de remfactor We veroderstelle weer dat de toeame va de populatie wordt afgeremd met ee factor P Pmax Dit geeft als model: waarbij P max de verzadigigswaarde va de populatie is P P = P + g P P Het overgaa aar relatieve getalle met x max P = resulteert i: x x g x x Pmax = + ( ) 0

11 8 Grafische aalyse va het logistisch groeimodel De fuctie F( x) = ax( x) heeft vaste pute als: ax( x) = x x = 0 of a ax= x= 0 of a x = a I de situatie va het groeimodel geldt dat 0 x Voor 0< a < is er éé vast put l x = 0 F'( x) = a ax zodat F'(0) = a< e het vast put aatrekked is Voor iedere startwaarde voor de populatie zal i dit geval de populatie uitsterve De startwaarde va 07 op de bovestaade figuur beteket 70% va P max Voor a > heeft het model twee vaste pute x = 0 e a x = a Het evewichtput x = 0 wordt vaaf a > afstoted Voor het tweede vast put geldt dat a F' = a a zodat het aatrekked is voor < a < 3 De begipopulatie va 0, ( max 0 P ) evolueert aar ee evewichtstoestad va 3 Voor a > 3 worde beide vaste pute afstoted Grafische aalyse toot dat voor a = 33 de populatie ee periodiek gedrag, periode, vertoot De - cyclus is i dit geval aatrekked Algemee zal er voor 3< a < 34 steeds ee aatrekkede -cyclus bestaa Voor a > 34 zal de twee cyclus afstoted worde Voor bijvoorbeeld a = 3 bestaat er ee aatrekkede 4-cylus

12 Het verder zette va de grafische aalyse leidt tot ee c 34 zodat voor 34 < a < 34 het dyamisch systeem wordt aagetrokke door ee 4-cyclus Het steeds verder zette va deze procedure geereert ee rij getalle c0 = < c = 3 < c = 34 < zodat voor c < a< c + geldt dat het systeem wordt aagetrokke door ee -cyclus Al deze c -waarde zij kleier da , ee Feigebaum-getal geoemd De studie va het gedrag va het systeem voor < a < 4 valt ver buite de greze va deze tekst Voor heel wat va deze a -waarde vertoot het systeem ee chaotisch gedrag Zelfs het complete gedrag voor < a < 4 is og iet geked Voor de bovestaade aalyse is computeralgebra opieuw ee hulpmiddel bij uitstek om alles aalytisch a te gaa We late deze uitdagig over aa de lezer e beperke os hier tot de grafische aalyses Het Feigebaum-diagram voor het logistisch groeimodel F( x) = ax( x) ziet er als volgt uit Ook hier ka je spreke va ee periode-verdubbeligs-weg tot chaos

13 83 Voorbeelde va ee logistisch groeimodel VOORBEELD We starte met ee begipopulatie harige va x = i ee leefomgevig waarvoor a = 3 Dit beteket ee populatie va 3 va de verzadigigswaarde P max a De vaste pute zij 0 e = waarbij 0 afstoted is e 0, aatrekked Maw elke a begipopulatie, tusse 0 e, evolueert aar de evewichtswaarde 0, max 3 P evolueert aar max P, de begipopulatie stijgt, e P max evolueert ook aar 3 P max maar de begipopulatie daalt Idie de leefomgevig va de harige veradert, veradert ook de voorspellig Voor a = 3 toot ee tijdsgrafiek dat de populatiegrootte steeds hee e weer sprigt tusse 4 pute De evolutie is periodiek met periode 4 Maar voor a -waarde dicht bij 4 is het iet altijd zo eevoudig om voorspellige te doe VOORBEELD Om de verspreidig va AIDS af te remme is het belagrijk dat de bevolkig weet wat veilig vrije is We veroderstelle dat bij het begi va de verspreidig va de ziekte slechts % va de gezie weet wat dit beteket De overheid beslist om ee voorlichtigscampage te voere Uit ervarig met eerdere gelijkaardige campages weet me dat hierdoor per jaar 80% toeame is tov va het vorige jaar va gezie met keis va zake Ee eerste idee is het volgede model, uitgedrukt i percetages: P = 08* P of P P P P 08P = + = + Dit model, expoetiële groei, ka i de praktijk iet daar a ekele jare me meer da 00% gezie zou bereike e uit ervarig weet me dat waeer ogeveer de helft geïformeerd is het proces steeds lagzamer verloopt We voere ee remfactor ( P = 08* P * remfactor) i met hoe groter de populatie, hoe kleier de remfactor 3

14 Het model wordt 08 = 80% P P = P + 08* P *( ) met begiwaarde P 0 = (%) e groeivoet 00 Ee tijdsgrafiek va dit model toot dat a +/- jare alle gezie zij igelicht De grafiek op de oderstaade plot oemt me ee S-kromme VOORBEELD 3 Het aatal aidsslachtoffers i ee Afrikaase streek bedraagt i: , , Hoe zal dit verder evoluere idie we veroderstelle dat de evolutie zich gedraagt volges ee logistisch model? We bepale a e b voor het logistisch model u = au + bu Daar u0 = 8, u = e u = 8 (i duizedtalle) bekome we het volgede stelsel: = 8a+ 64b 8 = a+ b met als oplossige a =, 9 e b = 0,00 Ee tijdsgrafiek toot dat het dyamisch systeem covergeert aar aidsslachtoffers, ee expoetiële groei afgeremd aar de verzadigigswaarde 70 (duized) De vergelijkig als,9 0, 00 u = u u of u = 0,9u 0, 00u kue we og volgt herschrijve: 0, 00 u u 0,9 0,9 u u u = = 0,9 70 4

Opgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100...

Opgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100... Opgave OPGAVE 1 a. Itereer met F( ) = e als startwaarde 1 e 1. 16 1............... 16 1............... b. Stel de bae grafisch voor i ee tijdgrafiek. c. Formuleer het gedrag va deze bae. (belagrijk is

Nadere informatie

fíéê~íáéi=çóå~ãáëåüé=éêçåéëëéå=éå= åìãéêáéâé=ãéíüççéå=

fíéê~íáéi=çóå~ãáëåüé=éêçåéëëéå=éå= åìãéêáéâé=ãéíüççéå= fíéê~íáéiçóå~ãáëåüééêçåéëëéåéå åìãéêáéâéãéíüççéå oçöéêi~äáé hçéåpíìäéåë Iteratie, dyamische processe e umerieke methode Roger Labie Koe Stules www.scholeetwerk.be 005, UHasselt (België), Scholeetwerk Weteschappe

Nadere informatie

Appendix A: De rij van Fibonacci

Appendix A: De rij van Fibonacci ppedix : De rij va Fiboacci Het expliciete voorschrift va de rij va Fiboacci We otere het het e Fiboaccigetal met F De rij va Fiboacci wordt gegeve door: F F F F 4 F F 6 F 7 F De volgede afleidig is gebaseerd

Nadere informatie

7.1 Recursieve formules [1]

7.1 Recursieve formules [1] 7.1 Recursieve formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is ee getallerij. De getalle i de rij zij de terme. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is de vijfde term (u

Nadere informatie

Iteratie is het steeds herhalen van eenzelfde proces, verwerking op het bekomen resultaat. Verwerking

Iteratie is het steeds herhalen van eenzelfde proces, verwerking op het bekomen resultaat. Verwerking 1. Wat is iteratie? Iteratie is het steeds herhale va eezelfde proces, verwerkig op het bekome resultaat. INPUT Verwerkig OUTPUT Idie de verwerkig gebeurt met ee (reële) fuctie geldt voor ee startwaarde

Nadere informatie

2. Limiet van een rij : convergentie of divergentie

2. Limiet van een rij : convergentie of divergentie 2. Limiet va ee rij : covergetie of divergetie 2. Eigelijke of eidige limiet 2.. Voorbeeld I ee bos staa 4 bome. De diest bosbeheer zal jaarlijks 2% bome kappe e ieuwe aaplate. Zal het bos verdwije? Zal

Nadere informatie

We kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen:

We kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen: Masteropleidig Fiacial Plaig Kwatitatieve Methode Relevate wiskude We kee i de wiskude de volgede getalleverzamelige: De atuurlijke getalle: N = {0,,,,4, } De gehele getalle: Z = {, -,-,-,0,,,, } (egels:

Nadere informatie

Praktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling

Praktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling Praktische opdracht: Complexe getalle e de Julia-verzamelig Auteur: Wiebe K. Goodijk, Zerike College Hare Beodigde Voorkeis: 1 = i Het complexe vlak. Notatie: z = a + bi of z = r(cosϕ + i si ϕ) Regel va

Nadere informatie

1. Weten dat in het geval van compressoren rekening moet gehouden worden met thermische effecten

1. Weten dat in het geval van compressoren rekening moet gehouden worden met thermische effecten Hoofdstuk 4 Compressore Doelstellige 1. Wete dat i het geval va compressore rekeig moet gehoude worde met thermische effecte 2. Wete dat er ee gres is aa het verhoge va de druk va ee gas 3. Wete welke

Nadere informatie

Werktekst 1: Een bos beheren

Werktekst 1: Een bos beheren Werktekst : Ee bos behere Berekeige met rije op het basisscherm Op ee perceel staa 3000 kerstbome. Ee boomkweker moet beslisse hoeveel bome er jaarlijks gekapt kue worde e hoeveel ieuwe aaplat er odig

Nadere informatie

Convergentie, divergentie en limieten van rijen

Convergentie, divergentie en limieten van rijen Covergetie, divergetie e limiete va rije TI-spire e rije 7N5p GGHM 22-23 Eigeschappe rekekudige rij b = begiwaarde v = verschil tusse twee opeevolgede terme recursieve formule: u = u + v met u = b directe

Nadere informatie

Rijen. 6N5p

Rijen. 6N5p Rije 6N5p 0-03 Rije Ileidig I de wiskude werke we vaak met formules e/of fucties die elke mogelijke waarde aa kue eme. Als bijvoorbeeld f( x) = 5x + 5x 3, da ku je voor x (bija) elke waarde ivulle e ka

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame HAVO 2013 tijdvak 2 woesdag 19 jui 13.30-16.30 uur wiskude A Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 21 vrage. Voor dit exame zij maximaal 80 pute te behale. Voor elk vraagummer

Nadere informatie

Videoles Discrete dynamische modellen

Videoles Discrete dynamische modellen Videoles Discrete dyamische modelle Discrete dyamische modelle Orietatie Algebraisch Algebraisch/ umeriek Numeriek Maak de volgede rijtjes af: Puzzele met rijtjes a. 2 4 6 8 10 - b. 1 2 4 8 16 - c. 1 2

Nadere informatie

Complexe getallen. c(a+ib)=ca+i(cb) id(a+ib)=i(ad)+i 2 (bd)=(-bd)+i(ad) (a+ib)(c+id)=ac+i(ad)+i(bc)+i 2 (bd)= ac-bd+i(ad+bc)

Complexe getallen. c(a+ib)=ca+i(cb) id(a+ib)=i(ad)+i 2 (bd)=(-bd)+i(ad) (a+ib)(c+id)=ac+i(ad)+i(bc)+i 2 (bd)= ac-bd+i(ad+bc) . Ileidig: Complexe getalle I de wiskude stelt zich het probleem dat iet bestaat voor de reële getalle of dat de vergelijkig x + 0 gee reële ulpute heeft. Om dit euvel op te losse werd het getal i igevoerd

Nadere informatie

Periodiciteit bij breuken

Periodiciteit bij breuken Periodiciteit bij breuke Keuzeodracht voor wiskude Ee verdieede odracht over eriodieke decimale getalle, riemgetalle Voorkeis: omrekee va ee breuk i ee decimale vorm Ileidig I deze odracht leer je dat

Nadere informatie

Discrete dynamische systemen

Discrete dynamische systemen Cahiers T 3 Europe Vlaadere r. 19 Discrete dyamische systeme Recursievergelijkige met de TI-84 Joha Deprez Discrete dyamische systeme Joha Deprez HUBrussel, Uiversiteit Atwerpe, Katholieke Uiversiteit

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2008-II

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2008-II Groepsfoto s Alle mese kippere met hu oge. Daardoor staa op groepsfoto s vaak ekele persoe met geslote oge. Sveso e Bares hebbe oderzocht hoeveel foto s je moet make va ee groep va persoe om 99% kas te

Nadere informatie

Inleiding. 1. Rijen. 1.1 De rij van Fibonacci. 2 Zou je deze regelmatigheden kunnen verklaren met wiskunde? déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå=téíéåëåü~éééå=

Inleiding. 1. Rijen. 1.1 De rij van Fibonacci. 2 Zou je deze regelmatigheden kunnen verklaren met wiskunde? déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå=téíéåëåü~éééå= Ileidig Waarom vorme zoebloempitte 2 bochte i de ee richtig e 34 i de adere? E wat heeft ee huisjesslak te make met + 5 2 Zou je deze regelmatighede kue verklare met wiskude? Heeft wiskude cocrete toepassige

Nadere informatie

déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå

déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå téíéåëåü~éééå táëâìåçé oáàéå e~åë=_éâ~éêí oçöéê=i~äáé iéçå=iéåçéêë hçéå=píìäéåë 4, LUC Diepebeek (België), Geboeid door Wiskude e Weteschappe Niets uit deze uitgave mag worde verveelvoudigd

Nadere informatie

Ongelijkheden. IMO trainingsweekend 2013

Ongelijkheden. IMO trainingsweekend 2013 Ogelijkhede IMO traiigsweeked 0 Deze tekst probeert de basis aa te brege voor het bewijze va ogelijkhede op de IMO. Het is de bedoelig om te bewijze dat ee bepaalde grootheid (ee uitdrukkig met ee aatal

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde A vwo 2010 - I Eidexame wiskude A vwo - I Beoordeligsmodel Maratholoopsters maximumscore 3 uur, 43 miute e 3 secode is 98 secode De selheid is 495 98 (m/s) Het atwoord: 4,3 (m/s) maximumscore 3 Uit x = 5 volgt v 4,4

Nadere informatie

Rijen met de TI-nspire vii

Rijen met de TI-nspire vii Rije met de TI-spire vii De tore va Pisa Me laat ee bal valle vaaf de tore va Pisa(63m hoog) Na elke keer stuitere haalt de bal og ee vijfde va de voorgaade hoogte. Gevraagd zij: a) De hoogte a de e keer

Nadere informatie

PARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens

PARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens PARADOXEN 9 Dr Luc Gheyses LIMIETEN, AFGELEIDEN EN INTEGRALEN: ENKELE MERKWAARDIGE VERHALEN Ileidig: verhale over ifiitesimale Ee ifiitesimaal (of ifiitesimaal kleie waarde) is ee object dat mi of meer

Nadere informatie

Rijen en reeksen. Mei 2008. Remy van Bergen Peter Mulder

Rijen en reeksen. Mei 2008. Remy van Bergen Peter Mulder Rije e reekse Keuzeoderwerp Atheeum 5 wiskude B e B Mei 008 Remy va Berge Peter Mulder Dit boekje gaat over rije e reekse. Wiskudige rije! Rije worde i de wiskude op verschillede maiere gedefiieerd. Met

Nadere informatie

Betrouwbaarheid. Betrouwbaarheidsinterval

Betrouwbaarheid. Betrouwbaarheidsinterval Betrouwbaarheid Ee simulatie beoogt éé of i.h.a. twee of meerdere sceario s te evaluere e te vergelijke, bij Mote Carlo (MC) simulatie voor ee groot aatal istelwaarde, voor éé of meerdere parameters. Hierbij

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 - Rijen ) = bladzijde ; voor x = 11 is y = = 55. te rekenen omdat die ook met hele stappen toeneemt.

Hoofdstuk 1 - Rijen ) = bladzijde ; voor x = 11 is y = = 55. te rekenen omdat die ook met hele stappen toeneemt. Hoofdstuk - Rije bladzijde V-a Als x steeds met toeeemt, da eemt y met toe. b Voor x is y + 5 ; voor x is y + 55. c De waarde va x eemt met hele stappe toe. De waarde va y is da makkelijk uit te rekee

Nadere informatie

Dit geeft ee voorwaarde die slechts afhagt va de begiwaarde va de `basisoplossige' (bij (3) is die voorwaarde a b a b 0). Hoe ka me twee lieair oafhak

Dit geeft ee voorwaarde die slechts afhagt va de begiwaarde va de `basisoplossige' (bij (3) is die voorwaarde a b a b 0). Hoe ka me twee lieair oafhak Lesbrief 5 Recurreties e ogelijkhede Recursief gedefiieerde rije Er zij getallerije {a } die voldoe aa ee recurrete betrekkig va de vorm a +k = f(a +k ;a +k ;:::;a ) voor = ; ;:::, waardoor de + k-de term

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 Rijen en webgrafieken

Hoofdstuk 1 Rijen en webgrafieken Hoofdstuk Rije e wegrafieke Voorkeis: Rije ladzijde V-a u 7 + v +, c De vergelijkig 7 + +, oplosse geeft, e dus 8. Ze hee eide 8 rode gelope. V- u, u met u V-a u + ( ) + + s u + u + u +... + u + + 8 +

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskude B, (ieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereided Weteschappelijk Oderwijs 0 0 Tijdvak Izede scores Uiterlijk op jui de scores va de alfabetisch eerste vijf kadidate per school op de daartoe

Nadere informatie

Een meetkundige constructie van de som van een meetkundige rij

Een meetkundige constructie van de som van een meetkundige rij Ee meetkudige costructie va de som va ee meetkudige rij [ Dick Kliges ] Iets verder da Euclides deed Er wordt door sommige og wel ees gedacht dat Euclides (hij leefde rod 300 v. Chr.) allee over meetkude

Nadere informatie

Functies, Rijen, Continuïteit en Limieten

Functies, Rijen, Continuïteit en Limieten Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-0 Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Ihoud 1. Fucties Defiitie e kemerke / bewerkige op fucties Reële fucties va éé reële veraderlijke

Nadere informatie

Commissie Pensioenhervorming 2020-2040. Nota over de actuariële neutraliteit. Bijlage III

Commissie Pensioenhervorming 2020-2040. Nota over de actuariële neutraliteit. Bijlage III Commissie Pesioehervormig 00-040 Nota over de actuariële eutraliteit Bijlage III. I het kader va de ivoerig va ee «deeltijds pesioe» wordt de kwestie va de actuariële correctie va de uitkerige i geval

Nadere informatie

Bevolkingsevolutie en prijsevolutie: rijen en de TI-89

Bevolkingsevolutie en prijsevolutie: rijen en de TI-89 Bevolkigsevolutie e prijsevolutie: rije e de TI-89 Joha Deprez, EHSAL Brussel - K.U. Leuve. Ileidig Deze tekst is bedoeld als keismakig met de symbolische rekemachie TI-89 va Texas Istrumets. We geve gee

Nadere informatie

Vuilwaterafvoersystemen voor hoogbouw

Vuilwaterafvoersystemen voor hoogbouw Vuilwaterafvoersysteme voor hoogbouw 1.2 Vuilwaterafvoersysteme voor hoogbouw Nu er steeds hogere e extremere gebouwe otworpe worde, biedt ee ekelvoudig stadleidigsysteem de mogelijkheid om gemakkelijker

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO

Correctievoorschrift VWO Correctievoorschrift VWO 009 tijdvak wiskude B, Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordelig Algemee regels Vakspecifieke regels Beoordeligsmodel 5 Izede scores Regels voor de beoordelig

Nadere informatie

DE ROL VAN GIS BIJ DE HEDONISCHE WAARDEBEPALING VAN VASTGOED

DE ROL VAN GIS BIJ DE HEDONISCHE WAARDEBEPALING VAN VASTGOED DE ROL VAN GIS BIJ DE HEDONISCHE WAARDEBEPALING VAN VASTGOED Prof. ir. P. Ampe, Prof. dr. ir. A. De Wulf, ig. J. De Corte. 1. Ileidig e probleemstellig. Sedert deceia gebruike schatters zowel i België

Nadere informatie

HET BELANG VAN. Vragen Tijdens de voordracht op 14 augustus 2007 hebben we de volgende vragen besproken.

HET BELANG VAN. Vragen Tijdens de voordracht op 14 augustus 2007 hebben we de volgende vragen besproken. HET BELANG VAN KP HART Vrage Tijdes de voordracht op augustus 007 hebbe we de volgede vrage besproke. Hoe ku je izie dat ee vierkat, bij gegeve omtrek, de rechthoek met de maximale oppervlakte is? Hoe

Nadere informatie

Oefeningen op Rijen. Leon Lenders, Bree

Oefeningen op Rijen. Leon Lenders, Bree Oefeige op Rije Leo Leders, Bree I de tekst staa ee aatal oefeige i verbad met rije. De moeilijkere oefeige zij volledig uitgewerkt. Volgede oderwerpe kome aa bod : Plooie va ee blad papier Salaris Het

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodelle e ormaal verdeelde steekproefgroothede 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1.

Nadere informatie

Deel A. Breuken vergelijken 4 ----- 12

Deel A. Breuken vergelijken 4 ----- 12 Deel A Breuke vergelijke - - 0 Breuke e brokke (). Kleur va elke figuur deel. Doe het zo auwkeurig mogelijk.. Kleur va elke figuur deel. Doe het telkes aders.. Kleur steeds het deel dat is aagegeve. -

Nadere informatie

1. Symmetrische Functies

1. Symmetrische Functies Algebra III 1 1. Symmetrische Fucties permutatios sot la metaphysique des équatios Lagrage*, 1771 I dit hoofdstuk bestudere we de ivariate va de werkig va de symmetrische groep S op polyoomrige i variabele.

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 6. Proporties. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 6. Proporties. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1. Ee ieuwe aam voor ee gekede grootheid...2

Nadere informatie

Machtsfuncties en wortelfuncties. Introductie 177. Leerkern 178

Machtsfuncties en wortelfuncties. Introductie 177. Leerkern 178 Ope Ihoud Uiversiteit leereeheid 6 Wiskude voor ilieuweteschappe Machtsfucties e wortelfucties Itroductie 77 Leerker 7 Machtsfucties et ee atuurlijk getal als epoet 7 Machtsfucties et ee egatief geheel

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame VW 007 tijdvak woesdag 6 mei.0-6.0 uur wiskude B Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 0 vrage. Voor dit exame zij maximaal 8 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel

Nadere informatie

G0N34a Statistiek: Examen 7 juni 2010 (review)

G0N34a Statistiek: Examen 7 juni 2010 (review) G0N34a Statistiek: Exame 7 jui 00 review Vraag Beoordeel de volgede uitsprake. Als ee uitspraak iet juist is of ovolledig, leg da uit waarom e verbeter de uitspraak.. Bij het teste va hypotheses is de

Nadere informatie

Stochastische loadflow. Beschrijving model belasting.

Stochastische loadflow. Beschrijving model belasting. Stochastische loadflow. eschrijvig model belastig. 95 pmo 5-- Phase to Phase V Utrechtseweg 3 Postbus 68 AC Arhem T: 6 356 38 F: 6 356 36 36 www.phasetophase.l 95 pmo INHOUD Ileidig...3 eschrijvig belastig...

Nadere informatie

Reeksen. Convergente reeksen

Reeksen. Convergente reeksen Reekse Reekse Defiitie, otatie e voorbeelde Defiitie: Eereeks is ee koppel ( ) {u } l, {s } l met s = u k = u l + u l+ + u l+2 +...+ u + u k=l u l = s l, u = s s, = l +, l +2,... {u } l oemt me de termerij,

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame VW 007 tijdvak woesdag 6 mei.0-6.0 uur wiskude B Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 0 vrage. Voor dit exame zij maximaal 8 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel

Nadere informatie

Een toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek.

Een toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek. 006 Wolters-Noordhoff bv Groige/Houte De steekproefomvag Ee toelichtig op het belag e het berekee va de steekproefomvag i marktoderzoek. Ihoud 1 Ileidig Eerst ekele defiities 3 Steekproefomvag e respose

Nadere informatie

TAF GoedGezekerd AOV. De eerste AOV waarmee u zelf de touwtjes in handen heeft

TAF GoedGezekerd AOV. De eerste AOV waarmee u zelf de touwtjes in handen heeft TAF GoedGezekerd AOV De eerste AOV waarmee u zelf de touwtjes i hade heeft Als zelfstadig oderemer bet u gewed aa het eme va risico s. Daarbij beoordeelt u per situatie hoe groot het risico is dat u wilt

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3NA10 of 3AA10) Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10)

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3NA10 of 3AA10) Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) TECHISCHE UIVERSITEIT EIDHOVE Tetame Ileidig Experimetele Fysica (3A10 of 3AA10) Tetame OGO Fysisch Experimetere voor mior AP (3M10) d.d. 0 jauari 010 va 9:00 1:00 uur Vul de presetiekaart i blokletters

Nadere informatie

RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO CM/EM T212-HCMEM-H7911 Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald.

RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO CM/EM T212-HCMEM-H7911 Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald. RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO CM/EM T1-HCMEM-H7911 Voor elk oderdeel is aagegeve hoeveel pute kue worde behaald. Atwoorde moete altijd zij voorzie va ee berekeig, toelichtig of argumetatie.

Nadere informatie

Examen PC 2 onderdeel 4A

Examen PC 2 onderdeel 4A Exame PC 2 oderdeel 4A Istructieblad Betreft: exame: PC 2 oderdeel 4A leergag 1 oderdeel: Fiaciële Rekekude datum: 27 mei 2011 tijdsduur: 90 miute (10.00-11.30 uur) Deze aawijzige goed leze voor u met

Nadere informatie

1) Complexe getallen - definitie

1) Complexe getallen - definitie Complexe getalle ) Complexe getalle - defiitie a) Meetkudige betekeis va het getal i Als je ee reëel getal met ee ader reëel getal vermeigvuldigt, wordt zij afstad tot de oorsprog met dit getal vermeigvuldigd

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II Eideame wiskude B vwo 200 - II Sijde met ee hoogtelij Op ee cirkel kieze we drie vaste pute, B e C, waarbij lijstuk B gee middellij is e put C op de kortste cirkelboog B ligt. Ee put doorloopt dat deel

Nadere informatie

1 Het trekken van ballen uit een vaas

1 Het trekken van ballen uit een vaas Het trekke va balle uit ee vaas Combiatorische kasprobleme moete worde aagepakt met ee kasmodel dat bestaat uit ee eidige uitkomsteverzamelig Ω va gelijkwaarschijlijke uitkomste Dit wil zegge dat de kas

Nadere informatie

HOOFDSTUK III. SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen. Theorie Statistiek Les 6

HOOFDSTUK III. SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen. Theorie Statistiek Les 6 HOOFDSTUK III SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters e Betrouwbaarheidsitervalle 3. HET GEMIDDELDE VAN EEN NV Steekproef uit ee ormaal verdeelde populatie De kasveraderlijke X, X, X 3,..., X zij N(µ, σ) verdeeld

Nadere informatie

3 Meetkundige voorstelling van complexe getallen

3 Meetkundige voorstelling van complexe getallen 3 Meetkudige voorstellig va complexe getalle 31 Complexe getalle als pute va ee vlak Complexe getalle zij geïtroduceerd als pute va ee vlak tov ee orthoormaal assestelsel Ee dergelijk assestelsel is odig

Nadere informatie

Wijzigingsformulier Ziektekostenverzekering

Wijzigingsformulier Ziektekostenverzekering De Amersfoortse Verzekerige Stadsrig 15, postbus 42 3800 AA Amersfoort Tel. (033) 464 29 11 Fax (033) 464 29 30 Wijzigigsformulier Ziektekosteverzekerig Gegevesverwerkig Bij deze wijzigig worde persoosgegeves

Nadere informatie

Steekproeftrekking Onderzoekspopulatie Steekproef

Steekproeftrekking Onderzoekspopulatie Steekproef Steekproeftrekkig I dit artikel worde twee begrippe beschreve die va belag zij voor het uitvoere va ee oderzoek. Het gaat om de populatie va het oderzoek e de steekproef. Voor wat betreft steekproeve lichte

Nadere informatie

wiskunde A pilot vwo 2016-I

wiskunde A pilot vwo 2016-I wiskude A pilot vwo 06-I Aalscholvers e vis maximumscore 3 De viscosumptie per dag is 30 0 0,36 + 696 0, 85 ( 788 (kg)) I de maad jui is dit 30 788 (kg) Het atwoord: 38 000 ( 38 duized) (kg) Als ee kadidaat

Nadere informatie

RAADS IN FORMATIE BRIE F

RAADS IN FORMATIE BRIE F RAADS IN FORMATIE BRIE F gemeete WOERDEN Va: college va burgemeester e wethouders Datum: 1 december 2011 Portefeuillehouder(s): Titia Cosse Portefeuille(s): portefeuille Moumete e Archeologie Cotactpersoo:

Nadere informatie

2.6 De Fourierintegraal

2.6 De Fourierintegraal 2.6 De Fourieritegraal We vertrekke va de Fourierreeks i complexe vorm: voor g : [ π,π] C kue we schrijve met g(t) α e it, α 1 Z π g(t)e it dt. 2π π We herschrijve deze formules eerst voor ee fuctie f

Nadere informatie

Op zoek naar een betaalbare starterswoning? Koop een eigen huis met korting

Op zoek naar een betaalbare starterswoning? Koop een eigen huis met korting Op zoek aar ee betaalbare starterswoig? Koop ee eige huis met kortig Op zoek aar ee betaalbare starterswoig? Koop ee eige huis met kortig Pagia Ee eige huis waar u zich helemaal thuis voelt. Dat wil iederee!

Nadere informatie

Overlijden: uw rechten in Duitsland en Nederland

Overlijden: uw rechten in Duitsland en Nederland Regelige e voorzieige CODE 1.1.3.46 Overlijde: uw rechte i Duitslad e Nederlad brochure broe Bureau voor Duitse Zake, www.svb.l/bdz Ihoudsopgave Overlijde Uw rechte i Duitslad e Nederlad Deskudig e betrouwbaar

Nadere informatie

7. Betrouwbaarheidsintervallen voor proporties

7. Betrouwbaarheidsintervallen voor proporties VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 7. Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg

Nadere informatie

Analyse wijze en stimuleren van invullen Nationale Studenten Enquête 2012. Pascal Brenders 19 juni 2013

Analyse wijze en stimuleren van invullen Nationale Studenten Enquête 2012. Pascal Brenders 19 juni 2013 Aalyse wijze e stimulere va ivulle atioale Studete Equête 20. Pascal Breders 19 jui 2013 Aaleidig Studiekeuze3 is veratwoordelijk voor de uitvoerig va de atioale Studete Equête (SE). De atioale Studete

Nadere informatie

Regressie, correlatie en modelvorming

Regressie, correlatie en modelvorming Hoofdstuk 9 Regresse, correlate e modelvormg 9. Leare regresse 9.. Ileded voorbeeld De pute (,3), (,) e (3,5) lgge et op éé rechte. Hoe kue we de rechte vde de het best aaslut bj de pute? Plaats de coördate

Nadere informatie

Op het internet is heel wat bijkomend materiaal te vinden over dit onderwerp. We vermelden een tweetal URL s:

Op het internet is heel wat bijkomend materiaal te vinden over dit onderwerp. We vermelden een tweetal URL s: Fiboacci: joger da je dekt! -- Ileidig Het documet dat voorligt is opgesteld door ere-pedagogisch begeleider Walter De Volder. Oze bijzodere dak e waarderig gaa da ook volledig aar hem: va zij vele ure

Nadere informatie

Spelen met vormen. Tim Neefjes Bryan Tong Minh

Spelen met vormen. Tim Neefjes Bryan Tong Minh Spele met vorme Tim Neefjes Brya Tog Mih Ileidig Toe ee plei i Stockholm, Sergel s Square aa heraaleg toe was stode de architecte voor ee probleem. Het was ee rechthoekig plei e i het midde moest ee wikelcetrum

Nadere informatie

Financiële Wiskunde. 1

Financiële Wiskunde. 1 1. BRIGGSE LOGARITMEN... 3 DEFINITIES EN EIGENSCHAPPEN VAN MACHTEN...3 DEFINITIE VAN LOGARITME...5 DE BRIGGSE LOGARITME...6 Omiddellijke eigeschappe...6 Eigeschappe va (Briggse) logaritme...7 DE EXPONENTIËLE

Nadere informatie

Waar moet je aan denken? Verhuizen. Stap 1: Hoe zeg ik de huur op?

Waar moet je aan denken? Verhuizen. Stap 1: Hoe zeg ik de huur op? Verhuize Waar moet je aa deke? Verhuize Bij verhuize komt heel wat kijke. Naast het ipakke va spulle e doorgeve va adreswijzigige, is het ook belagrijk dat u same met Thuisvester ee aatal zake regelt.

Nadere informatie

Schoenen voor diabetes en reuma

Schoenen voor diabetes en reuma Schoee voor diabetes e reuma Comfortschoee gemaakt voor de extra kwetsbare voet Officieel gee vergoedig via zorgverzekeraar. Echter bij ekele zorgverzekeraars is door middel va idividuele aavraag vergoedig

Nadere informatie

Huisstijl en logogebruik Associatie KU Leuven

Huisstijl en logogebruik Associatie KU Leuven Huisstijl e logogebruik Associatie KU Leuve Associatie huisstijlhadboek > Ihoudstafel 1 Ihoudstafel 1. Gebruik va de huisstijl of opame va het associatielogo 3 2. Huisstijl Associatie KU Leuve 4 2.1 Opame

Nadere informatie

Cahiers T 3 Europe Vlaanderen nr. 3. Regressie. Een eerste kennismaking. Bieke Van Deyck

Cahiers T 3 Europe Vlaanderen nr. 3. Regressie. Een eerste kennismaking. Bieke Van Deyck Cahiers T 3 Europe Vlaadere r. 3 Regressie Ee eerste keismakig Bieke Va Deyck Regressie Ee eerste keismakig Bieke Va Deyck Ihoudsopgave HOOFDSTUK : DE BIVARIATE VERDELING A. Probleembeschrijvig B. Het

Nadere informatie

Tabellenrapportage CQ-index Kraamzorg

Tabellenrapportage CQ-index Kraamzorg Tabellerapportage CQ-idex Kraamzorg Jauari 2011 Ihoud Pagia Algemee uitleg 1 Deelame e bevalmaad 1 De itake 2 3 Zorg tijdes de bevallig 3 4 Zorg tijdes de kraamperiode 4 10 Samewerkig e afstemmig 11 Algemee

Nadere informatie

Rekenen met levensduurkosten

Rekenen met levensduurkosten Colibri Advies www.colibri-advies.l Rekee met levesduurkoste ir. Martie va de Boome MBA Colibri Advies -4-25 Pagia va 5 Rekee met levesduurkoste Auteur: Martie va de Boome - Colibri Advies BV. Materiaal

Nadere informatie

Handout bij de workshop Wortels van Binomen

Handout bij de workshop Wortels van Binomen Hadout bij de workshop Wortels va Biome Steve Wepster NWD 014 Verbeterde versie 1 Historische achtergrod Klassieke Griekse meetkude: I de klassieke Griekse meetkude zoals we die bijvoorbeeld bij Euclides

Nadere informatie

Kanstheorie. 2de bachelor wiskunde Vrije Universiteit Brussel. U. Einmahl

Kanstheorie. 2de bachelor wiskunde Vrije Universiteit Brussel. U. Einmahl Kastheorie 2de bachelor wiskude Vrije Uiversiteit Brussel U. Eimahl Academiejaar 2011/2012 Ihoudsopgave 1 Kasruimte 1 1.1 Toevallige experimete................................. 1 1.2 De axioma s va Kolmogorov.............................

Nadere informatie

Een andere kijk op Financiële Rekenkunde Wim Pijls, Erasmus Universiteit Rotterdam

Een andere kijk op Financiële Rekenkunde Wim Pijls, Erasmus Universiteit Rotterdam Ee adere kijk op Fiaciële Rekekude Wim Pijls, Erasmus Uiversiteit Rotterdam. Ileidig Het vak Fiaciële Rekekude levert vawege zij sterk wiskudig karakter ogal wat probleme op i het oderwijs. Veel leerlige

Nadere informatie

Toelichting bij Opbrengstgegevens VAVO 2011-2013

Toelichting bij Opbrengstgegevens VAVO 2011-2013 Toelichtig bij Opbregstgegeves VAVO 2011-2013 Ihoud Ileidig Aatal deelemers exame Kegetalle toezicht exames CE-cijfer alle vakke CE-cijfer alle vakke - tred SE-cijfer mius CE cijfer alle vakke Percetage

Nadere informatie

2de bach TEW. Statistiek 2. Van Driessen. uickprinter Koningstraat Antwerpen ,00

2de bach TEW. Statistiek 2. Van Driessen. uickprinter Koningstraat Antwerpen ,00 de bach TEW Statistiek Va Driesse Q www.quickpriter.be uickpriter Koigstraat 3 000 Atwerpe 46 5,00 Nieuw!!! Olie samevattige kope via www.quickpritershop.be Hoofdstuk : Het schatte va populatieparameters.

Nadere informatie

Wijzigingsformulier Ziektekostenverzekering

Wijzigingsformulier Ziektekostenverzekering De Amersfoortse Verzekerige Stadsrig 15, postbus 42 3800 AA Amersfoort Tel. (033) 464 29 11 Fax (033) 464 29 30 Gegevesverwerkig Wijzigigsformulier Ziektekosteverzekerig Bij deze wijzigig worde persoosgegeves

Nadere informatie

Evaluatie pilot ipad onder docenten

Evaluatie pilot ipad onder docenten Evaluatie pilot ipad oder docete Oderwerp equête Geëquêteerde Istellig Evaluatie pilot ipad Docete OSG Sigellad locatie Drachtster Lyceum Datum aamake equête 19-06-2012 Datum uitzette equête 21-06-2012

Nadere informatie

Examen PC 2 onderdeel 4A

Examen PC 2 onderdeel 4A Exame PC 2 oderdeel 4A Istructieblad Betreft: exame: PC 2 oderdeel 4A leergag 3 oderdeel: Fiaciële Rekekude datum: 30 mei 2012 tijdsduur: 90 miute (09:30-11:00 uur) Deze aawijzige goed leze voor u met

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) wiskude A, (ieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereided Weteschappelijk Oderwijs 0 04 Tijdvak izede scores Verwerk de scores va de alfabetisch eerste vijf kadidate per school i het programma Wolf

Nadere informatie

Discrete dynamische systemen: wiskundige modellen met rijen, vectoren en matrices Deel 1: rijen en recursievergelijkingen

Discrete dynamische systemen: wiskundige modellen met rijen, vectoren en matrices Deel 1: rijen en recursievergelijkingen Discrete dyamische systeme: wiskudige modelle met rije, vectore e matrices Deel 1: rije e recursievergelijkige Ihoud 1. Ileidig. Tabelle e grafieke 3. Ee spiewebdiagram 4. Ee ecoomisch probleem 5. Aalytisch

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Wiskude B (ieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereided Weteschappelijk Oderwijs 0 0 Tijdvak Izede scores Uiterlijk op jui de scores va de alfabetisch eerste vijf kadidate per school op de daartoe

Nadere informatie

Het beste scenario voor uw belegging

Het beste scenario voor uw belegging belegge Best Strategy 2012 Het beste sceario voor uw beleggig Gediversifieerde beleggig Eemalige coupo va 0% tot 50% bruto* op vervaldag Korte looptijd: 4,5 jaar 100% kapitaalbeschermig De voordele voor

Nadere informatie

Combinatoriek. Nota s in samenwerking met Anja Struyf en Sabine Verboven (Universiteit Antwerpen)

Combinatoriek. Nota s in samenwerking met Anja Struyf en Sabine Verboven (Universiteit Antwerpen) 1 Combiatoriek Nota s i samewerkig met Aja Struyf e Sabie Verbove (Uiversiteit Atwerpe) I het dagelijkse leve worde we vaak gecofroteerd met vraagstukke waarva de oplossig het telle va het aatal elemete

Nadere informatie

d 25, 35, 47 of27, 43, 69 b 2, 27, 10240, 100, e = 287 u( n) = 243 ( ) n

d 25, 35, 47 of27, 43, 69 b 2, 27, 10240, 100, e = 287 u( n) = 243 ( ) n Netwerk 4-5 vwo wiskude D Hoofdstuk 8 uitwerkige Hoofdstuk 8 Ker a 3, 37, 43 c 5, 3, 49 b, 3, d 5, 35, 47 of7, 43, 9 a,, 3, 5, 7 d 0,,,, 0 b, 7,, 3, 8 e 35, 35, 35, 35, 35 c 5, 0, 0, 40,80 f 0,, 8, 7,

Nadere informatie

Hoeveel getallen van 2 verschillende cijfers kan je vormen met de cijfers 1,4,7,8? tweede cijfer 4 7 8 1 7 8 1 4 8 1 4 7

Hoeveel getallen van 2 verschillende cijfers kan je vormen met de cijfers 1,4,7,8? tweede cijfer 4 7 8 1 7 8 1 4 8 1 4 7 Hoofdstu Combiatorie. Basisregels Combiatorie is de studie va telprobleme. De ust va het telle bestaat vaa uit het codere of aders voorstelle va het telprobleem, zodat het uiteidelij volstaat om de volgede

Nadere informatie

Hoe werkt het? Zelf uw woning aanpassen

Hoe werkt het? Zelf uw woning aanpassen Woig aapasse Hoe werkt het? Zelf uw woig aapasse Prettig woe beteket woe i ee huis aar uw smaak. Om og fijer te kue woe, wille veel huurders kleie of grote veraderige aabrege i hu huis. Thuisvester begrijpt

Nadere informatie

Buren en overlast. waar je thuis bent...

Buren en overlast. waar je thuis bent... Bure e overlast waar je thuis bet... Goed wooklimaat HEEMwoe vidt het belagrijk dat bewoers prettig woe i ee fije buurt. De meeste buurtbewoers kue het goed met elkaar vide. Soms gaat het sameleve i ee

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Wiskude B (ieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereided Weteschappelijk Oderwijs 0 0 Tijdvak Izede scores Uiterlijk op jui de scores va de alfabetisch eerste vijf kadidate per school op de daartoe

Nadere informatie

consultancy ontwerp project management exploitatie onderhoud audits optimalisatie opleidingen Uw bedrijfswater in ervaren handen

consultancy ontwerp project management exploitatie onderhoud audits optimalisatie opleidingen Uw bedrijfswater in ervaren handen cosultacy otwerp project maagemet exploitatie oderhoud audits optimalisatie opleidige Uw bedrijfswater i ervare hade Over Aquaplus cosultacy otwerp project maagemet exploitatie oderhoud audits optimalisatie

Nadere informatie

Aanvraag voor een woning in de gemeente(n)... 1. Personalia aanvrager huurwoning

Aanvraag voor een woning in de gemeente(n)... 1. Personalia aanvrager huurwoning Aavraagformulier Huurwoig Hoofdkatoor: J.L. va Rijweg 20, Postbus 612 2700 AP Zoetermeer Tel. : 079-329 66 66 Fax : 079-329 66 00 Iteret : www.hof-rijlad.l E-mail : ifo@hof-rijlad.l Regiokatore: Groeewoudsedijk

Nadere informatie

B C D E Welke rij is noch een Rekenkundige. noch een Meetkundige Rij? A B C D E

B C D E Welke rij is noch een Rekenkundige. noch een Meetkundige Rij? A B C D E Naam : Klas:.Datum: Ma 0 sept. 00 Rechterkat als kladblad gebruike A. 5067 De rij x, x+, x+,... is rekekudig als x gelijk is aa ) ) ) 4) 4 5) 0 6) 4 7) 8) ee getal tusse e 0 B. 57 80 De legtes a, b e c

Nadere informatie

Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Rijen

Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Rijen Uitwerkige ij _0 Voorkeis: Rije V_ a U = 7 + U = +,5 7 + = +,5 0,5 = 4 = 8 Na 8 rode krijge ze elk,-. V_ U() =, 06 U( ) met U(0) = 500 e U() het eidedrag a jaar. V_ a u 458 8 r u 8 9 4 = = = dus 5 u5 8

Nadere informatie