HET BELANG VAN. Vragen Tijdens de voordracht op 14 augustus 2007 hebben we de volgende vragen besproken.

Transcriptie

1 HET BELANG VAN KP HART Vrage Tijdes de voordracht op augustus 007 hebbe we de volgede vrage besproke. Hoe ku je izie dat ee vierkat, bij gegeve omtrek, de rechthoek met de maximale oppervlakte is? Hoe ku je izie dat ee vierkat, bij gegeve oppervlakte, de rechthoek met de miimale omtrek is? Waarom is ee kubus, bij gegeve oppervlakte, het blok met de maximale ihoud? Waarom is ee kubus, bij gegeve ihoud, het blok met de miimale oppervlakte? Welke driehoek heeft, bij gegeve omtrek, de maximale oppervlakte e waarom? Je hebt twee weerstade va e 3 Ohm i serie geschakeld; wat is de gemiddelde weerstad? Je hebt ee rechthoek va 3; wat is de gemiddelde legte va ee zijde? Je hebt twee weerstade va e 3 Ohm parallel geschakeld; wat is de gemiddelde weerstad? Wat ku je zegge over het gedrag va de getallerij,, 3 6,,...,!,...? Hoe zit het met,, 3 3,,...,,...? I dit stuk lope we de gevode atwoorde og ees systematisch a e zal ik hier e daar aageve hoe bepaalde uitsprake algemeer geaakt kue worde. Rechthoeke. Atwoorde Vaste omtrek (L = 00). Neem ee rechthoek met omtrek L = 00 e zijde a e b. Da geldt, atuurlijk, a + b = L = 50. Wat kue we va de oppervlakte O = ab zegge? Dat wordt wat duidelijker als we aar de posities va a e b op de getallelij kijke (Figuur ): Midde tusse a e b ligt 5 = (a + b) e we gebruike dat om a e b te schrijve als a = 5 + x e b = 5 x. Nu kue we ab ook herschrijve e er ee coclusie over trekke: O = ab = (5 + x)(5 x) = 65 x 65 ( ) Dus: we wete zeker dat de oppervlakte va ee rechthoek met omtrek 00 ooit groter is da 65. Date: Vierkat: augustus 007.

2 KP HART a b b a Figuur. Ee rechthoek met omtrek 00 b x 5 x a Figuur. Liggig va a e b Is er ook ee rechthoek met omtrek 00 e oppervlakte 65? Daar helpt vergelijkig ( ) ook bij: om O = 65 te krijge moet x = 0 gelde e dat geldt allee als a = b = 5. Dus het vierkat met zijde 5 is de eige rechthoek met omtrek 00 die de maximaal haalbare oppervlakte va 65 ook echt haalt. Het rekekudige feit dat hier de doorslag gaf is: elk kwadraat is groter da of gelijk aa ul e alléé het kwadraat va ul is gelijk aa ul. Vaste omtrek (L willekeurig). We kue de redeerig hierbove voor elke omtrek herhale e telkes vide we dat de oppervlakte va het vierkat met die omtrek maximaal is. Dat wordt a twee of drie keer wat saai e daarom doe we het maar éé keer e wel voor alle mogelijke omtrekke tegelijk. Neem ee rechthoek met omtrek L e zijde a e b, zeg met b < a. Da geldt a + b = L e et als bove ligt u L midde tusse a e b. Nu schrijve we a = L + x e b = L x, da volgt ( ) ( ) ( ) O = ab = L + x L x = L x 6 L ( ) Dus de oppervlakte, O, is kleier da of gelijk aa 6 L e alléé gelijk aa 6 L als x = 0, dat wil zegge als a = b, dus als de rechthoek ee vierkat is. Merk ook op dat de dimesies i ( ) kloppe: O is ee oppervlaktemaat e L is dat ook. De ogelijkheid i ( ) heet de Isoperimetrische Ogelijkheid voor rechthoeke. ( Iso beteket gelijk e perimeter beteket omtrek.) Vaste oppervlakte. Ogelijkheid ( ) werkt twee kate op; je kut hem ook gebruike om bij vaste oppervlakte ee odergres voor de omtrek te bepale. Als O = 00 da volgt dat L 6O = 600, dus L 00 e alléé voor ee vierkat met oppervlakte 00 geldt L = 0. Dus: bij vaste oppervlakte, O, heeft ee vierkat de kleiste omtrek: L = O. Getalle. Als we de getalle O e L eve vergete e os op de getalle a e b cocetrere krijge we ee ogelijkheid waar i de Wiskude ee heleboel mee te doe is. Wat we hierbove hebbe gedaa is het product ab herschrijve; de x die daarbij ee rol speelde was gelijk aa (a b). Als we ook og L vervage door

3 HET BELANG VAN 3 b (a b) (a + b) (a b) a Figuur 3. Twee positieve getalle a e b (a + b) da komt er e dus ( ) ( a + b a b ab = ( a + b ab of ook wel a + b ab ( ) met gelijkheid alléé als a = b. Dit heet de Ogelijkheid va Rekekudig e Meetkudig Gemiddelde. Over de ame va deze gemiddelde kome we later og te spreke. Door a e b hieri slim te kieze ku je sel afschattige make. Opgave. Too aa: 30 < 5. Of je kut og meer optimaliserigsprobleme aapakke. Opgave. Ee boer wil, met meter gaas, ee rechthoekig stukje grod afgreze. Hij gebruik zij schuur als éé va de zijde va de rechthoek. Wat is de maximale oppervlakte die hij ka make? Bij welke legte e breedte? ) Of je kut er weer geheel adere dige mee doe. Opgave. Kies ee vast positief getal a e defiieer ee rij getalle door x 0 = a e telkes x + = (x + a x ). a. Too aa dat a < x + < x voor alle. b. Bewijs: lim x = a c. Experimeteer met je rekemachietje om te zie hoe goed de beaderige va a die je zo krijgt zij. ) Blokke e driehoeke. De vrage over de blokke e de driehoeke blijke hetzelfde gereedschap odig te hebbe; ee ogelijkheid die erg op ( ) lijkt maar da voor meer getalle. Voor drie positieve getalle p, q e r geldt (altijd) 3 pqr p + q + r 3 ( ) met gelijkheid allee als p = q = r; we zulle later zie hoe die formule te bewijze is, et als we ( ) beweze hebbe.

4 KP HART a c b Figuur. Ee blok met zijde a, b e c. Blokke. We hebbe ee rechthoekig blok met zijde a, b e c e oppervlakte 6 (Figuur ). Wat kue we over het volume zegge? Neem, i formule ( ) ees p = ab, q = ac e r = bc. Da geldt p + q + r = O = 08 e dus 3 08 pqr 3 = 36 maar pqr = ab ac bc = (abc), dus volgt e dus (abc) 36 3 abc 36 3 = 36 3 = 6 3 = 6. Hier staat het maximale volume dat ee blok met oppervlakte 6 ka hebbe; de gelijkheidsvoorwaarde is p = q = r, maar daar volgt heel sel uit dat ook a = b = c moet gelde. Als we dit ivulle i de voorwaarde (ab + ac + bc) = 6 vide we 3a = 3b = 3c = 08 e dus is het beste blok ee kubus met zijde 6. Algemee ogelijkheid. We kue et als bij rechthoeke voor blokke ee ogelijkheid afleide tusse O e V. We vulle i de relatie ( ) weer p = ab, q = ac e r = bc i: 3 abacbc ab + ac + bc 3 Hier staat i feite 3 V 6 O of V 6 O3 e er geldt gelijkheid alléé als a = b = c, dat wil zegge als het blok ee kubus is. E hiermee is als tevore het omgekeerde probleem miimale oppervlakte bij vast volume ook weer op te losse. Opgave. Bepaal de miimale oppervlakte va ee blok met volume 000 e de legte va de zijde va het blok met miimale oppervlakte. Ee bewijs. We gaa ( ) bewijze. We doe dat op de maier waarop de wiskudige A.-L. Cauchy dat i 8 deed i zij Cours d Aalyse. We bewijze de ogelijkheid eerst voor vier getalle a, b, c e d door twee keer de relatie ( ) te gebruike. Eerst e da abcd = ab cd (a + b (a ) ( ) + b c + d ( a + b ) ( ) c + d + c + d ) = a + b + c + d

5 HET BELANG VAN 5 of, samegevat a + b + c + d abcd e gelijkheid geldt allee als a = b = c = d. ( ) Als we drie getalle a, b e c hebbe make we daar ee d bij: d = (a + b + c)/3. Pas ( ) toe abcd a + b + c + d = 3d + d = d of abcd d streep liks e rechts ee d weg: abc d 3 maar dat is weer equivalet met 3 a + b + c abc 3 e weer: gelijkheid geldt alléé als a = b = c. ( ) Driehoeke. Voor de oppervlakte va ee driehoek met omtrek L e zijde a, b e c bestaat ee fraaie formule voor de oppervlakte, de Formule va Hero: O = s(s a)(s b)(s c) hieri is s de halve omtrek: s = (a + b + c). Opgave. Too aa dat s a, s b e s c positief zij. Opgave. Zoek ee bewijs va de formule va Hero op of, beter og, bedek zelf ee bewijs. We eme aa dat L = 30 e we zoeke de driehoek met omtrek 30 e maximale oppervlakte. We hebbe vier getalle, s, s a, s b e s c, e passe ( ) toe: s + s a + s b + s c s s s(s a)(s b)(s c) = = s = L = 7 met gelijkheid alléé als s = s a = s b = s c e dat geeft ee probleempje wat dat ka allee als a = b = c = 0 e dat ka iet wat a + b + c = 30. Het put is dat soms gelijkheid iet haalbaar is e dat is hier u et het geval: er is gee driehoek met omtrek 30 e oppervlakte 7. We kijke og ee keer goed aar de formule va Hero e zie dat daar maar drie variabele getalle i zitte, dus passe we ( ) toe: 3 (s a)(s b)(s c) 3 (s a + s b + s c) = 3 (3s s) = 3 s coclusie O = s(s a)(s b)(s c) s 7 s3 = 7 s met gelijkheid alléé als s a = s b = s c. Na worteltrekke komt er O 3 3 s = 3 L = Dus de oppervlakte is, bij omtrek 30, ooit groter da 900 aa 0 zij is de oppervlakte precies zo groot. De ogelijkheid O 3 L 3 e als alle zijde gelijk

6 6 KP HART is de Isoperimetrische Ogelijkheid voor driehoeke. Opgave. Wat heeft de grootste oppervlakte? Ee gelijkzijdige driehoek met omtrek 30 of ee vierkat met omtrek 30? Er is voor elke ee Isoperimetrische Ogelijkheid voor -hoeke. Deze is altijd va de vorm O c L waarbij de costate c allee va afhagt. Opgave. Zoek ee bewijs op va die Isoperimetrische Ogelijkhede of bedek zelf ee bewijs. Wat is c? Wat is de relaties tusse de c oderlig? Voor welke -hoek treedt gelijkheid op? Er is ook ee Isoperimetrische Ogelijkheid voor willekeurige kromme. Deze volgt uit de stellig dat bij gegeve vaste legte ee cirkel de maximale oppervlakte isluit. De ogelijkheid luidt dus O π L. Ee bewijs va de stellig is iet geheel eevoudig. Gemiddelde. De drie vrage over gemiddelde ware, met opzet, iet precies. De bedoelig was als volgt: ik wil de verschillede weerstade/legte door gelijke weerstade/legte vervage e de totale weerstad/oppervlakte gelijk houde. Zo krijge we drie gemiddelde. I serie. Het gemiddelde is 5 wat bij i serie geschakelde weerstade tel je weerstade op, dus twee weerstade va 5 Ohm kue die va e 3 vervage. Oppervlakte. Het gemiddelde is 6: de oppervlakte is 6 e als je gelijke zijde wilt hebbe moet je die 6 lag eme. Parallel. Als je twee weerstade R e R parallel schakelt voldoet de totale weerstad R aa R = + R R I os geval geldt dus R = + 3 = 5 6 ; de gemiddelde weerstad ρ moet dus voldoet aa ρ = 5 6 e dus ρ = 5. Ee formule voor ρ ku je make door R e R i plaats va e 3 te gebruike: ρ = R + R e dus ρ = R + R Drie gemiddelde. Als iemad vraagt: wat is het gemiddelde va a e b? moet je ee tegevraag stelle: wat bedoel je? i serie geschakelde weerstade a e b geve het Rekekudig gemiddelde: R(a, b) = (a + b) de vraag over de oppervlakte geeft os het Meetkudig gemiddelde: M(a, b) = ab. parallel geschakelde weerstade geve os het Harmoisch gemiddelde: H(a, b) = a + b

7 HET BELANG VAN 7 Formule ( ) zegt dat altijd M(a, b) R(a, b); e daarom heet ( ) de ogelijkheid va Rekekudig e Meetkudig gemiddelde. Het Harmoisch gemiddelde past hier ook bij. Opgave. Too aa dat H(a, b) = /R( a, b ) e M( a, b ) = /M(a, b). Uit ( ), toegepast op a e b, volgt u M( a, b ) R( a, b ) e dus ook H(a, b) M(a, b). We zie dat altijd a + b ab a + b Nu kue we 30 ook aa de oderkat afschatte. Opgave. Too aa: Meer getalle. De laatste twee vrage gige over rije. De rij!. De defiitie va! is welbeked:! = 3. Die afkortig komt i de Wiskude heel vaak voor, i de Algebra, de Kasrekeig e Statistiek, e i de Combiatoriek bijvoorbeeld. We gaa iets probere te zegge over de groeiselheid va! e doe dit door aar de -demachtswortel te kijke. We make eerst ee boveschattig. Dat doe we door (!) te schrijve als ( ) ( ) op elk product k( k + ) passe we ( ) toe: k( k + ) (k + k + ) = ( + ) e zo krijge we de volgede afschattig va (!) : ( ) + (!) e daarmee ( ) +! of! ( + ) ee eevoudige afschattig va ee igewikkelde uitdrukkig. Opgave. Zet i (!) de twee -e apart e pas telkes ( ) toe op de producte k( k) e bewijs! of! Is dit ee betere of slechtere afschattig va! da de eerdere? Ee eevoudige oderschattig is ook te make. Bekijk het product k( k + ) og ee keer e trek er va af: k( k + ) = k k + k = (k )( k) 0 wat we bekijke allee k e met k. Coclusie: k( k + ) voor alle k e dus (!)

8 8 KP HART e we vide! Voor! zij veel betere (af)schattige gemaakt. Met behulp va itegrale kue we late zie dat! e waar e het grodtal va de atuurlijke logaritme is. Opgave. (Voor wie wat va itegrale weet.) Schrijf het quotiët!/ als! e eem de atuurlijke logaritme: l! = ( l l ) Too aa dat de som aa de rechterkat groter da of gelijk is aa l x dx, laat 0 zie dat die itegraal gelijk is aa e too zo bovestaade ogelijkheid aa. Opgave. (Voor wie og meer va itegrale weet.) Too aa lim De e uit de ogelijkheid is dus optimaal.! = e. De rij. Als je de waarde va door je rekemachietje late beadere om te kijke wat het gedrag va deze getallerij zou kue zij zul je zie dat de uitkomste kleier zij da, dat de rij eve stijgt < < 3 3 e da weer daalt: 3 3 > = > 5 5 >. De vraag is of het rekemachietje os op het juiste spoor heeft gezet of dat de rij later iees weer gaat stijge. Ee algemee ogelijkheid. Voor het aalysere e afschatte va hebbe we de algemee Ogelijkheid va Rekekudig e Meetkudig Gemiddelde odig. Je kut wel rade hoe die luidt: voor elk -tal positieve getalle (a, a,..., a ) geldt a a a (a + a + + a ) ( ) e er geldt gelijkheid alléé als a = a = = a. Opgave. Bewijs ogelijkheid ( ). Aawijzig: bekijk het bewijs voor = e = 3 og ees goed e doe als Cauchy: bewijs ( ) eerst voor machte va e loop va zo macht aar beede om alle adere getalle af te hadele. Eerste afschattig. Bij het gebruik va ( ) is het zaak de a i slim te kieze; soms is iet altijd duidelijk wat de slimste keuze is maar met wat probere kom je meestal wel op ee goed spoor. I os geval wille we = a a a hebbe; dat ka heel eevoudig: eem maar a = e a = = a =. Pas ( ) toe, da volgt ( + ) = dus <, wat misschie door het rekemachietje gesuggereerd werd maar wat we u vrij goedkoop hebbe kue vaststelle voor alle.

9 HET BELANG VAN 9 Tweede afschattig. We kue = a a a op veel meer maiere voor elkaar krijge: eem maar a = a = e a 3 = = a = (voor ). Da volgt ( + ) = + < + Dit is ee aazielijke verbeterig wat u wete dat de rij iet allee oder de blijft maar zelfs aar covergeert. Nog meer afschattige. Dit idee kue we verder uitbuite. Neem ee k vast e voor k eme we a = = a k = k e a k+ = = a =. Da levert ( ) de volgede afschattig (k k + k) = + k k k < + k k k We kue de expoet va, te koste va ee grotere costate, et zo dicht bij de krijge als we wille. Kue we er zelfs voor zorge dat < + C voor ee of adere costate C? Dat lukt iet. Voor wie wat va de fuctie e x weet is dit verrassed eevoudig aa te toe. Opgave. Too aa dat voor x 0 altijd geldt + x < e x. Aawijzig: y = + x beschrijft de raaklij aa de grafiek va e x i het put (0, ). Opgave. Gebruik de vorige opgave om i te zie dat > + l Aawijzig: herschrijf met behulp va e e l. Literatuur Hieroder ee kleie selectie va boeke over ogelijkhede. Ze zij og allemaal bij Amazo.co.uk te krijge ([], [3] e [] zij vrij goedkoop.) [] Edwi Beckebach ad Richard Bellma, A Itroductio to Iequalities, New Mathematical Library, vol. 3, The Mathematical Associatio of America, Washigto, 96. Ee iet al te moeilijke ileidig. [] G. Hardy, J. E. Littlewood, ad G. Pólya, Iequalities, Secod Editio, Cambridge Mathematical Library, Cambridge Uiversity Press, Cambrdige, 95. Ee klassieker. Lastig te leze maar de moeite waard. [3] Nicholas D. Kazarioff, Geometric Iequalities, New Mathematical Library, vol., The Mathematical Associatio of America, Washigto, 96. Ogelijkhede i de meetkude. Met ee hoofdstuk over Isoperimetrische Ogelijkhede. [], Aalytic Iequalities, Dover Publicatios, Ic, Mieola, New York, 00. Ogelijkhede e hu toepassige i de Aalyse. Oorsprokelijk verschee i 96 bij Holt, Riehart ad Wisto. [5] J. Michael Steele, The Cauchy-Schwarz Master Class, MAA Problem Books, Cambridge Uiversity Press e The Mathematical Associatio of America, Cambridge e Washigto, 00. Ee ethousiast geschreve boek met ee heleboel ogelijkhede e iteressate opgave.