De wiskunde achter de GR

Transcriptie

1 Domei Keuzeoderwerpe vwo B,D De wiskude achter de GR Ihoud 1.1 Biair rekee 1. Taylor beaderige 1.3 Nulpute, sijpute 1.4 Itegrale beadere 1.5 Overzicht I opdracht va: Stichtig Math4all

2 Math4all, Deveter 016 Dit lesmateriaal is otwikkeld i het kader va de keuzeoderwerpe i de exameprogramma s wiskude A, B, C, D voor het vwo. De gebruiker mag het werk kopiëre, verspreide e doorgeve e remixe (afgeleide werke make) oder de volgede voorwaarde: Naamsvermeldig. De gebruiker diet bij het werk de door de maker of de licetiegever aagegeve aam te vermelde (maar iet zodaig dat de idruk gewekt wordt dat zij daarmee istemme met uw werk of uw gebruik va het werk). Niet-commercieel. De gebruiker mag het werk iet voor commerciële doeleide gebruike. Gelijk dele. Idie de gebruiker het werk bewerkt ka het daaruit otstae werk uitsluited krachtes dezelfde licetie als de oderhavige licetie of ee gelijksoortige licetie worde verspreid. Testversie: april 016 Overzicht keuzeoderwerpe wiskude B, D 1 De wiskude achter de GR 1.1 Biair rekee 1. Taylor beaderige 1.3 Nulpute, sijpute 1.4 Itegrale beadere 1.5 Overzicht Lieair programmere.1 Fucties va twee variabele. Beslissigsprobleme.3 De Oplosser i Excel.4 De simplexmethode.5 Overzicht 3 Statistisch oderzoek Math4all vwo wiskude B,D Keuzeoderwerpe Numerieke wiskude

3 1.1 Biair rekee Verkee Opgave 1 Biaire getalle kee maar twee cijfers: 0 e 1. a) Wat stelt 10 da voor? b) Hoe zou je het gewoe (dus decimale) getal 8 weergeve als biair getal? c) E hoe zou je het decimale getal 37 biair weergeve? Opgave Hier zie je twee biaire getalle: e a) Welke twee decimale getalle zij dit? b) Hoe tel je deze twee getalle i het biaire stelsel op? c) Hoe vermeigvuldig je deze twee getalle i het biaire stelsel? Uitleg 1 Stel je voor dat je allee de twee cijfers 0 e 1 kut gebruike (zoals dat voor machies zoals computers het geval is). Je zegt da dat je werkt i het biaire stelsel, met biaire getalle. Hoe zie u de gewoe (decimale) getalle waarmee je reket (to compute is Egels voor rekee) er biair uit? Je begit atuurlijk systematisch: 0 := 0 1 := 1 := 10 3 := 11 4 := := := := := 1000 etc. Misschie zie je wel dat dit werkt met machte va, et zoals het decimale stelsel werkt met machte va 10. Zo is 7 = = := 111 e 13 = 3 + = := 1100 Om sel te bepale wat bijvoorbeeld 37 als biair getal wordt ga je gewoo steeds de rest (0 of 1) opschrijve bij dele door : Math4all vwo wiskude B,D Keuzeoderwerpe Numerieke wiskude 3

4 E iderdaad: := = 37 Nu ka ee computer/rekemachie eigelijk allee sel optelle. E optelle i het biaire stelsel is erg eevoudig: = 0, = 1, = 1 e = 10. Ook vermeigvuldige (herhaald optelle) gaat ook wel goed: 0 x 0 = 0, 0 x 1 = 0, 1 x 0 = 0 e 1 x 1 = 1. Ga er verder i deze paragraaf va uit dat getalle die allee uit ulle e ée bestaa, biair zij. Opgave 3 Schrijf de volgede decimale getalle als biaire getalle: a) 11 b) 1075 c) 000 d) 1345 Opgave 4 Schrijf de volgede biaire getalle als decimale getalle. a) b) c) d) Opgave 5 Neem de biaire getalle e a) Tel ze biair bij elkaar op. b) Cotroleer je atwoord door beide getalle eerst te vertale aar decimale getalle. Opgave 6 Het vermeigvuldige va twee biaire getalle gaat et als het met de had vermeigvuldige va twee decimale getalle. a) Bereke 101 x b) Cotroleer je atwoord door beide getalle eerst te vertale aar decimale getalle. c) Vermeigvuldig e d) Cotroleer weer je atwoord door beide getalle eerst te vertale aar decimale getalle. Math4all vwo wiskude B,D Keuzeoderwerpe Numerieke wiskude 4

5 Uitleg Bij het aftrekke va twee biaire getalle loop je aa tege het probleem dat er gee egatiefteke is, dus 0 1 =??? Hoe maak je het egatieve getal bij bijvoorbeeld 186. I het tietallig stelsel heb je het da over -186, wat = 0. Maar hoe maak je -186 i het biaire stelsel? Om dit probleem op te losse wordt het aatal tekes, i computertaal het aatal bits (ee bit is ee biary digit ), beperkt tot 8, of 16, of 3, of 64. Nadeel daarva is dat je hiermee het aatal getalle dat je kut make, beperkt. Stel je ee 8-bits beperkig voor. Het getal 186 := is zo 8-bits getal. Het bijbehorede egatieve getal is -186 := = Je verwisselt dus de ulle i ée e omgekeerd e telt er 1 bij op. Dit oem je wel het biaire complemet va het (biaire) getal Eve cotrolere: = (1) De overdracht aar de egede bit laat je weg omdat je hebt afgesproke i 8- bits te werke, vadaar dat die tusse haakjes staat. Dus ee getal e zij biaire complemet zij same 0. Het biaire complemet heeft dus dezelfde rol als het egatieve getal i het decimale stelsel. Als je u biair wilt berekee, doe je E = E dele is herhaald aftrekke Opgave 7 Je werkt i ee 8-bits systeem. a) Hoeveel gehele getalle ku je da make? b) Waarom zulle er meestal systeme worde gebruikt met meer bits? c) Geef de biaire versie va 150 e d) Cotroleer dat ook biair geldt dat = 0. e) Bereke biair: f) Bereke biair: Opgave 8 Bereke i ee 8-bits systeem: a) b) c) d) Opgave 9 Het dele va twee biaire getalle gaat et als het met de had dele va twee decimale getalle. Werk weer i ee 8-bits systeem. a) Bereke / Cotroleer je atwoord door beide getalle eerst te vertale aar decimale getalle. b) Hoe zou je 1101 / berekee? Math4all vwo wiskude B,D Keuzeoderwerpe Numerieke wiskude 5

6 Theorie *************************************** I het biaire stelsel oteer je getalle allee met de symbole 0 e 1. Je spreekt va bits. Het biaire getal bijvoorbeeld komt overee met Dus: := = 91 Het rekee met biaire getalle gaat op vergelijkbare wijze als i het decimale stelsel. Voor optelle e vermeigvuldige gebruik je: = 0, = 1, = 1 e = 10; 0 0 = 0, 0 1 = 0, 1 0 = 1 e 1 1 = 1. Bij aftrekke e dele werk je met ee vast aatal bits e het biaire complemet va ee getal. Dat is het getal de je krijgt door de ulle i ée e omgekeerd de ée i ulle te verwissele e er 1 bij op te telle. Bij het aftrekke va twee biaire getalle tel je bij het eerste getal het biaire complemet va het tweede getal op. ********************************************* Voorbeeld 1 Reke 417 e 38 om aar hu biaire vorm e bereke e Ga uit va ee 16-bits biair stelsel. Uitwerkig Je moet beide getalle schrijve als optellig va machte va. Dat bereik je door steeds door te dele e de rest op te schrijve: 417 := := Het biaire complemet va 38 is: = E dus wordt : Ga a dat dit i decimale otatie iderdaad 379 is. E zo gaat : Math4all vwo wiskude B,D Keuzeoderwerpe Numerieke wiskude 6

7 E dit is het biaire complemet va := 379. E dus: := Je ziet dat de voorste (eigelijk de 17 e bit die iet wordt gebruikt) wel moet worde bijgehoude om te bepale of het getal positief (als het ee 1 betreft) of egatief (als het ee 0 betreft) is. Opgave 10 Zet de getalle om aar ee 16 bits biair stelsel e bereke. a) b) c) 35 ( ) Opgave 11 Bereke (idie mogelijk) i ee 8-bits biair stelsel: a) b) c) d) Voorbeeld Reke 7 e 38 om aar ee biaire vorm e bereke 7 / 38. Ga uit va ee 8-bits biair stelsel. Uitwerkig Je weet 7 := := Nu is ee delig iets aders da zoveel mogelijk keer (i dit geval) 38 va de 7 aftrekke e kijke wat je og over houdt. Dek daarbij om het feit dat het biair stelsel gaat met machte va := ka (om te begie) 100 keer va af. Omdat = , houd je over: = = := 75 Vervolges ka og 1 keer (10 keer gaat iet) va af: = = := 37 Nu ku je ee apparaat opdracht geve (programmere heet dat) om de uitkomst ( de rest) op te schrijve als / = rest (Dus bijvoorbeeld als breuk.) Math4all vwo wiskude B,D Keuzeoderwerpe Numerieke wiskude 7

8 Je kut ook op dezelfde maier door blijve dele, allee moet er da ee scheidigsteke kome, et zoals de decimale komma (vaak decimale put) i het decimale stelsel. Opgave 1 Reke 186 e 13 om aar ee biaire vorm e bereke 186 / 13. Ga uit va ee 8-bits biair stelsel e geef je atwoord op de maier va het voorbeeld. Opgave 13 Bereke / Verwerke Opgave 14 Gegeve de getalle 1053 e 317. a) Zet deze getalle om aar het biaire stelsel. b) Tel beide op als biaire getalle. Cotroleer je atwoord i het decimale stelsel. c) Vermeigvuldig beide als biaire getalle. Cotroleer je atwoord i het decimale stelsel. Opgave 15 I ee 8-bits biair stelsel zij de getalle a = e b = gegeve. a) Bereke a + b e a b idie mogelijk. b) Bepaal va beide getalle het biaire complemet. c) Bereke a b e b a. d) Bereke ook a / b. Geef je atwoord als geheel getal met rest. Opgave 16 Je werkt i ee 16-bits biair stelsel. a) Hoe groot is het grootste getal dat je daari kut make? b) Hoe ziet het biaire complemet va dit grootste getal er uit? c) Laat met ee biaire berekeig zie dat de optellig va de getalle bij a e b iderdaad op 0 uitkomt. Opgave 17 Je werkt i ee 8-bits biair stelsel. Je wilt hieri 18 / 17 uitrekee. a) Welke rest houd je over als je op ee geheel getal wilt uitkome? b) Je voert u ee komma i als scheidigsteke e zet de delig voort. Wat wordt de uitkomst i éé decimaal e welk rest heb je da? c) E wat wordt de uitkomst i twee decimale? E welke rest houd je over? Math4all vwo wiskude B,D Keuzeoderwerpe Numerieke wiskude 8

9 1. Taylor beaderige Verkee Opgave 18 Je hebt gezie dat ee machie de basisbewerkige optelle, aftrekke, vermeigvuldige e dele ka uitvoere. a) Waarom hoeft zo machie voor het werke met machte met positieve gehele expoete iks bij te lere? b) E hoe zit het met machte met egatieve gehele expoete? c) E hoe zit het met wortels (e dus met machte met gebroke expoete)? Opgave 19 Hoe dek je dat ee rekemachie si(5) bereket? Uitleg Ee machie ka de basisbewerkige optelle, aftrekke, vermeigvuldige e dele uitvoere. E daarmee ook machte als x 5 = x x x x x e x 5 = 1/(x x x x x). Maar met machte met gebroke expoete ligt dit al metee heel aders. E da heb je og uitdrukkige als x, log (x), e x, l(x), si(x), etc. Nu bestaat er ee stellig waarmee dergelijke fucties willekeurig auwkeurig kue worde beaderd door de som va oplopede machte. Veroderstel ees dat dit ka voor dergelijke fucties f, dus dat: f(x) = c 0 + c 1 x + c x + c 3 x 3 + c 4 x 4 + Zoiets heet ee machtreeks met costate c 0, c 1, c, c 3, ez. Maar hoe zie die costate er da uit? Welu, differetiëre helpt f (x) = c 1 + c x + 3c 3 x + 4c 4 x 3 + 5c 4 x 4 + E dit steeds weer differetiëre geeft Tweede afgeleide: f"(x) = c + 6c 3 x + 1c 4 x + 0c 5 x 3 + Derde afgeleide: f (3) (x) = 6c 3 + 4c 4 x + 60c 5 x + Vul je u hier i x = 0, da vid je c 0 = f(0), c 1 = f (0), c = f"(0), c 3 = f(3) (0), etc. 6 Als je dus aaeemt dat zo fuctie f voor x = 0 oeidig vaak is te differetiëre (wat heel vaak het geval is, maar iet altijd), da geldt: Math4all vwo wiskude B,D Keuzeoderwerpe Numerieke wiskude 9

10 f(x) = f(0) + x f (0) + f"(0)! x + f(3) (0) 3! x 3 + f(4) (0) 4! x 4 + f(5) (0) 5! waari! = e f () (0) de de afgeleide i x = 0 is. x f() (0) x +! Dit is ee eevoudige versie va de stellig va Taylor (Brook Taylor, ). Deze machtreeks heet ee Taylorbeaderig va f(x). Nu eerst eve kijke wat dit beteket. Opgave 0 Neem de fuctie f(x) = x. a) Bereke f (x), f"(x), f (3) (x), ezovoort b) Welke formule ku je afleide voor f () (x)? Bekijk de machtreeks va Taylor. c) Bereke f (0), f"(0), f (3) (0), ezovoort d) Welke beaderig voor f(x) = x ku je make als je de formule va Taylor ivult tot e met de zesde term? e) Vergelijk met je GR de grafiek va f(x) = x met die va de beaderig die je bij d hebt gevode. Hoe goed is de beaderig? Hoe ku je hem verbetere? Opgave 1 Neem de fuctie f(x) = 1 x. a) Bereke f (x), f"(x), f (3) (x), ezovoort b) Welke formule ku je afleide voor f () (x)? c) Waarom ku je gee Taylor beaderig make voor zo fuctie? d) Waarom is dat voor je GR ook iet odig? Theorie *************************************** Ee fuctie die differetieerbaar is i de buurt va x = 0 is te beadere door de formule f(x) = f(0) + x f (0) + f"(0)! x + f(3) (0) 3! x 3 + f(4) (0) 4! x 4 + f(5) (0) 5! x f() (0) x +! Dit is de eevoudige versie va de stellig va Taylor. Je beadert zo ee fuctie i de buurt va x = 0. I de uitgebreide versie ku je ook beaderige vide i de buurt va adere x-waarde. Deze stellig diet vooral om de fucties die iet bestaa uit ee som, verschil, product, quotiët va machte zoals x, x, x 3, x 4, etc., te beadere door ee som/verschil va dergelijke machte, ee zogeaamde machtreeks. Die machtreeks is ee Taylorbeaderig va f. Hoe goed je Taylorbeaderig is hagt sterk af va het aatal terme dat de veelterm krijgt: hoe meer terme, hoe beter de beaderig. ********************************************* Math4all vwo wiskude B,D Keuzeoderwerpe Numerieke wiskude 10

11 Voorbeeld Beader f(x) = e x met behulp va de stellig va Taylor door ee veeltermfuctie. Uitwerkig: Eerst maar eve afgeleide make, dat is hier heel eevoudig: f (x) = e x, f"(x) = e x, f () (x) = e x, f (3) (x) = e x, De stellig va Taylor toepasse: e x e 0 + x e 0 + e0! x + e0 3! x3 + e0 4! x4 + E dit is: e x 1 + x + 1 x x x4 + Eve cotrolere met je GR Opgave Bekijk het voorbeeld. De fuctie f(x) = e x wordt beaderd met behulp va de stellig va Taylor. a) Laat met je GR zie dat y 1 = e x e y =1 + x + 1 x x x4 voor 1,5 x 1,5 vrijwel dezelfde uitkomste hebbe. Je hebt f(x) = e x beaderd met ee vijfterm. b) Beader deze fuctie met ee zeveterm e laat zie dat de beaderig beter wordt. c) Bekijk de beaderig va e op je GR. Hoeveel terme moet je Taylorbeaderig va f(x) = e x hebbe om deze zelfde waarde te krijge voor e 1? Opgave 3 Bekijk de fuctie f(x) = l (x). a) Waarom ku je bij deze fuctie gee beaderigsformule opstelle met behulp va de stellig va Taylor? b) Waarom ka dit wel voor de fuctie g(x) = l (1 + x)? c) Stel ee Taylorbeaderig va vijf terme voor g op. d) Hoe ku je hiermee u toch ee beaderig voor de fuctie f make? e) Ga met behulp va je GR a, hoe goed de beaderig is die je bij d hebt gevode. Opgave 4 Hoe gaat je grafische rekemachie u de fuctiewaarde va bijvoorbeeld de fuctie f(x) = 3e x met behulp va de Taylorbeaderig berekee? Math4all vwo wiskude B,D Keuzeoderwerpe Numerieke wiskude 11

12 Verwerke Opgave 5 Gegeve de fuctie f(x) = si (x). a) Bepaal de eerste, tweede, derde, vierde e vijfde afgeleide va deze fuctie. b) Maak hiermee ee Taylorbeaderig va f i zes terme. c) Je weet dat si( 1 π) = 1. Komt de Taylorbeaderig daar bij i de buurt? d) Hoeveel terme moet je Taylorbeaderig hebbe om si( 1 π) i zes 4 decimale auwkeurig te krijge? e) Beader si(1 ) met behulp va de Taylorbeaderig uit d. Opgave 6 Gegeve de fuctie f(x) = cos (x). a) Stel ee Taylorbeaderig voor deze fuctie op. b) Waarom is ee Taylorbeaderig va f eigelijk overbodig als je die va y = si (x) al hebt? c) E hoe zit het met ta (x)? Is daarvoor ee afzoderlijke Taylorbeaderig odig? Opgave 7 Geef ee Taylorbeaderig va y = x e beader hiermee i zes decimale auwkeurig. Opgave 8 Je hebt i opgave 3 ee Taylorbeaderig gemaakt va f(x) = l(x). a) Stel hiermee ee Taylorbeaderig voor de fuctie g(x) = log (x) op. b) Je weet dat log (0,5) = 1. Ga a, hoe dit met je Taylorbeaderig zit. Hoeveel wijkt je atwoord af va het juiste? Opgave 9 Gegeve de fuctie f(x) = 1 1+x. a) Deze fuctie is met de stellig va Taylor te beadere. Geef zo Taylorbeaderig va mistes vijf terme. b) Beader f(0,0034) i zes decimale auwkeurig met behulp va de Taylorbeaderig. Hoeveel terme zij daar voor odig? Opgave 30 Volges Albert Eistei is de eergie E va ee deeltje met rustmassa m 0 gelijk aa E(v) = m 0c waari v de selheid is. 1 v c a) Stel ee Taylorbeaderig i drie terme voor deze formule op. b) Twee va de bij a bedoelde terme moete de atuurkudige oder jullie beked voorkome. Welke twee e wat stelle ze voor? Math4all vwo wiskude B,D Keuzeoderwerpe Numerieke wiskude 1

13 Opgave 31 De terugrekefuctie va y = si (x) heet y = arcsi (x). De afgeleide va y(x) = arcsi (x) is y (x) = 1 1 x. a) OK, OK, de echte liefhebber gaat dit atuurlijk eve bewijze... b) Maak ee Taylorbeaderig voor y(x) = arcsi (x) va vier terme. c) Je weet dat si( 1 π) = 0,5, dus 1 π = arcsi (0,5). 6 6 Geef hiermee ee beaderig voor het getal π. Math4all vwo wiskude B,D Keuzeoderwerpe Numerieke wiskude 13

14 1.3 Nulpute, sijpute Verkee Opgave 3 Je wilt het sijput berekee va de grafieke va f(x) = x 3 e g(x) = 6 x i drie decimale auwkeurig. Je grafische rekemachie vidt atuurlijk ee goede beaderig, maar hoe doe je dit met de had? a) Eerst maar ees de grafieke bekijke e ee eerste schattig doe. Tusse welke gehele getalle ligt de x-waarde va het sijput? b) Maak vervolges ee tabel met x-waarde i éé decimaal auwkeurig tusse beide gehele waarde bij a i. Tusse welke x-waarde i éé decimaal auwkeurig ligt de x-waarde va het sijput? c) Maak vervolges ee tabel met x-waarde i twee decimale auwkeurig tusse beide waarde bij b i. Tusse welke x-waarde i twee decimale auwkeurig ligt de x-waarde va het sijput? d) Tot hoeveel decimale moet je zo blijve iklemme om het sijput i drie decimale auwkeurig te kue vaststelle? e) Beader zo de x-waarde va het gevraagde sijput i drie decimale auwkeurig. Uitleg 1 Je hebt met behulp va iklemme het sijput va twee grafieke bereked. Maar dit is ee ogal omslachtige maier. Het ka seller Da wordt ee zogeaamd iteratief proces gebruikt. Daarbij gebruik je ee eerste schattig om ee tweede schattig te berekee e da op dezelfde maier vauit de tweede schattig ee derde schattig te berekee, ezovoorts. Het is wel de bedoelig dat die schattige het atwoord steeds beter beadere. Zo procedure ka worde geprogrammeerd i ee machie zoals je GR. Het beadere va het sijput va de grafieke va f(x) = x 3 e g(x) = 6 x komt eer op het beadere va het ulput va y = f(x) g(x) = x 3 + x 6. Dat gaat zo: Aa de grafiek zie je dat dit ulput ligt i het iterval [1, ]. De eerste schattig is x = 1+ = 1,5. Nu is f(1) f(1,5) > 0 e f(1,5) f() < 0, dus het sijput ligt i [1,5; ]. De tweede schattig is daarom x = 1,5+ = 1,75 f(1,5) f(1,75) < 0 (e f(1,75) f() > 0), dus het sijput ligt i [1,5; 1,75]. De derde schattig wordt x = 1,5+1,75 = 1,65. f(1,5) f(1,65) > 0 (e f(1,65) f(1,75) < 0), dus sijput i [1,65; 1,75]. Ezovoort. Met de had kost dit veel tijd, maar het is ee vaste procedure waarbij iet ee mes odig is om te beslisse hoe het verder gaat. Iteratie is programmeerbaar. Math4all vwo wiskude B,D Keuzeoderwerpe Numerieke wiskude 14

15 Opgave 33 Geef met de i uitleg 1 beschreve iteratie ee beaderig va het ulput va y = x 3 + x 6 i drie decimale auwkeurig. Bepaal ook het gevraagde sijput va f(x) = x 3 e g(x) = 6 x i drie decimale auwkeurig e cotroleer het met de GR. Opgave 34 Bereke met behulp va de i uitleg 1 beschreve iteratiemethode het rechter sijput va de grafieke va f(x) = 4 x e g(x) = x i vijf decimale auwkeurig. Opgave 35 Bij de i uitleg 1 beschreve iteratiemethode moet je eerst zelf het zoekiterval bepale. Licht toe dat dit op je GR ook het geval is. Uitleg Ee sellere methode voor het beadere va ee ulput va ee fuctie is de iteratiemethode va Newto-Raphso. Daarbij wordt gewerkt met raaklije aa de grafiek va de fuctie waarva je het ulput wilt bepale. Voor het bepale va het ulput va y(x) = x 3 + x 6 ga je zo te werk: y (x) = 3x + 1 Neem bijvoorbeeld x = 1 als eerste schattig va je ulput. Da is y (1) = 4 e y(1) = 4. De vergelijkig va de raaklij i (1, 4) is y = 4x 8. Deze raaklij sijdt de x-as i (, 0). Da is x = de tweede schattig va het ulput. y () = 13 e y() = 4 geeft als raaklij y = 13x. Deze raaklij sijdt de x-as i (, 0). 13 Derde schattig is x = 13. y ( ) = 161 e y ( ) = geeft als raaklij y = x Deze raaklij sijdt de x-as i (1,636105; 0). Vierde schattig is x = 1, Ezovoorts. Neem aa dat x je de schattig is e x +1 de volgede schattig is. I de figuur zie je dat da geldt: f (x ) = f(x ) x x +1 Hieruit volgt: x +1 = x f(x ) f (x ). Deze formule stelt je i staat om de beschreve procedure sel uit te voere: Math4all vwo wiskude B,D Keuzeoderwerpe Numerieke wiskude 15

16 x 1 = x 0 f(x 0) f (x 0 ) = = x = x 1 f(x 1) f (x 1 ) = 4 13 = = 1, x 3 = x f(x ) f (x ) = 1 9 = 1,6361 ezovoorts. Reke steeds verder met breuke of met alle decimale die je rekemachie toelaat. Hier zie je hoe je dit sel met de GR doet. Opgave 36 Bekijk uitleg. Maak bij de gegeve fucties het beadere va het ulput met de iteratiemethode va Newto-Raphso af tot je het ulput tot op vier decimale auwkeurig hebt gevode. Opgave 37 Beader met de methode va Newto-Raphso het ulput va de fuctie f(x) = 6 x 3 i vijf decimale auwkeurig Opgave 38 Beader met de methode va Newto-Raphso de oplossig va de vergelijkig x 4 4x = 1 + x i vier decimale auwkeurig. Theorie *************************************** Het beadere va ulpute va ee fuctie doe je met iteratie. Er bestaa diverse iteratiemethode: de halverigsmethode waari je het iterval waarbie de oplossig ligt steeds auwkeuriger schat door het te halvere aa de kat waar f(x ) f(x 1 ) < 0 de methode va Newto-Raphso waarbij je de raaklij i het put op de grafiek dat hoort bij je geschatte waarde x gebruikt e het ulput va die raaklij als volgede schattig eemt; er geldt da: x +1 = x f(x ) f (x ) De oplossig(e) va ee vergelijkig zoals f(x) = g(x) ku je bepale door het (de) ulput(e) va y = f(x) g(x) te beadere. ********************************************* Math4all vwo wiskude B,D Keuzeoderwerpe Numerieke wiskude 16

17 Voorbeeld Je wilt door de vergelijkig si(x) = 0,5 op te losse ee beaderig krijge va 1 6 π i drie decimale auwkeurig. Laat zie met welke va beide methode dat het selste lukt. Uitwerkig: Je gaat het ulput va f(x) = si(x) 0,5 bepale. Je weet dat daar x = 1 6 π uitkomt, dus ogeveer x = 3 6 = 0,5. Eerst maar eve de halverigsmethode probere: Eerste stap: x i het iterval [0,4; 0,6], dus eerste schattig x = 0,5. f(0,4) f(0,5) > 0 Tweede stap: x i het iterval [0,5; 0,6], dus tweede schattig x = 0,55. f(0,5) f(0,55) < 0 Derde stap: x i het iterval [0,5; 0,55], dus derde schattig x = 0,55. f(0,5) f(0,55) < 0 Vierde stap: x i het iterval [0,5; 0,55], dus vierde schattig x = 0,515. f(0,5) f(0,515) > 0 Vijfde stap: x i het iterval [0,515; 0,55], dus vijfde schattig x = 0, f(0,515) f(0,51875) > 0 Zesde stap: x i [0,51875; 0,55], dus zesde schattig x = 0, f(0,51875) f(0,51875) > 0 Zevede stap: x i [0,51875; 0,55], dus zevede schattig x = 0, Als je dit vergelijkt met de waarde va 1 π die je GR geeft da zie je dat a 7 6 stappe de eerste drie decimale overee kome met de schattig volges de halverigsmethode. Nu eve kijke of de methode va Newto-Raphso seller gaat: f (x) = cos (x) Eerste schattig: x 0 = 0,5. Tweede schattig: x 1 = 0,5 f(0,5) 0, f (0,5) Hier heb je bij de tweede schattig de eerste drie decimale al op orde. (Wat atuurlijk wel te make heeft met de kwaliteit va je eerste schattig!) Opgave 39 Bekijk het voorbeeld. Voer zelf beide methodes uit. Opgave 40 Je weet dat de oplossig va de vergelijkig x 3 3 = 17 is x = 17. Geef ee beaderig voor deze oplossig i drie decimale auwkeurig, zowel met de halverigsmethode als met de methode va Newto-Raphso. Math4all vwo wiskude B,D Keuzeoderwerpe Numerieke wiskude 17

18 Verwerke Opgave 41 Beader het ulput va de fuctie f(x) = x 5 x 6. a) Gebruik eerst de iklemmethode. b) Gebruik vervolges de halverigsmethode. c) Gebruik als derde de methode va Newto-Raphso. d) Welke va deze drie methodes is het selst? Opgave 4 Het getal 3 ku je beadere als positieve oplossig va de vergelijkig x = 3. a) Geef met behulp va de Newto-Raphso methode ee beaderig va 3 i vijf decimale auwkeurig. b) Je kut ook ee Taylor beaderig va f(x) = x + 1 make. Doe dat e ga a of je daarmee 3 kut beadere. Licht het atwoord toe. Opgave 43 Los de volgede vergelijkige op met de halverigsmethode of de methode va Newto/Raphso. a) 4 x 3 = x b) cos(x) = x c) e x = 8 4x Opgave 44 Voor het geval je goed kut werke met rije e webgrafieke bestaat er og ee fraaie beaderigsmethode voor het oplosse va vergelijkige, of het berekee va ulpute. Stel je wilt x 3 + 3x 3 = 0 oplosse. Dit schrijf je da eerst als x = x3. Met deze vergelijkig bereke je ee mogelijk covergetieput va de rij u() = (u( 1))3 met behulp va bijvoorbeeld ee webgrafiek. a) Voer deze recursieformule va rij i je GR i, eem u(0) = 1 ee eerste schattig va de x-waarde va het sijput va y 1 = x e y = x3. b) Bepaal met de webgrafiek de waarde waar de rij aar toe covergeert i vier decimale auwkeurig. Helaas werkt deze methode i veel gevalle iet, omdat er da gee sprake is va covergetie va de rij. De rij covergeert allee als de hellig va de grafiek va y i het sijput va y 1 e y iligt tusse 1 e 1 e bovedie ogelijk is aa 0. c) Laat zie dat de vergelijkig x 3 + x 6 = 0 iet op deze wijze is op te losse. d) Probeer ee verklarig te vide voor de voorwaarde die aa de hellig i het sijput va y 1 e y wordt gesteld. Math4all vwo wiskude B,D Keuzeoderwerpe Numerieke wiskude 18

19 1.4 Itegrale beadere Verkee Opgave 45 Je rekemachie ka itegrale beadere, berekee ka hij ze iet. Ee itegraal is gedefiieerd met behulp va ee Riema-som zoals deze, waarbij het iterval [a, b] is verdeeld i deelitervalle: S = f(x i ) x i=1 Het getal dat hier uitkomt voor grote is de itegraal op het iterval [a, b]: b a f(x)dx. Neem aa dat f(x) = x. 4 a) Bereke de exacte waarde va x dx. 0 b) Laat je GR deze waarde beadere, hij komt vast heel dicht i de buurt. c) Beader deze itegraal met behulp va ee Riema-som, waarbij je het iterval [0, 4] i tie deelitervalle verdeelt. d) Je GR gebruikt gee Riema-som om ee itegraal te beadere. Eig idee waarom? Uitleg 1 Itegrale ku je beadere met behulp va ee Riema-som. Bijvoorbeeld: b f(x)dx a = lim f(x i ) x i=1 waarbij je [a, b] i eve brede deelitervalle verdeelt. Helaas is ee beaderig door ee Riema-som erg tijdroved, je moet voor gigatisch grote getalle eme om ook maar i de buurt va de werkelijke waarde va de itegraal te kome. Bovedie moet je og werke met ee bovesom (grootste fuctiewaarde op elk iterval) e ee odersom (kleiste fuctiewaarde per iterval) e da kijke of die op hetzelfde uitkome. Nou, daar moet je eve tijd voor eme. Daarom worde meestal adere beaderigsmethode gebruikt. Math4all vwo wiskude B,D Keuzeoderwerpe Numerieke wiskude 19

20 Eé daar va is de trapeziummethode: Hierbij verdeel je het iterval [a, b] i eve brede deelitervalle, waarop je door het tekee va trapezia de oppervlakte schat, zie figuur. De oppervlakte va het trapezium dat bij zo deeliterval hoort is steeds b a (a + k (f b a b a ) + f (a + (k + 1) ) ) Deze oppervlaktes moet je optelle vaaf k = 0 tot e met k =. Dat ku je schrijve als: k=0 b a (a + k (f b a b a ) + f (a + (k + 1) ) ) E vervolges ku je dit herleide tot: b a + f(b) b a (f(a) + f (a + k ) ) 1 k=1 Als de fuctiewaarde iet te veel variëre op elk deeliterval krijg je zo ee b goede beaderig va f(x)dx: b b a f(x)dx a a (f(a) + f(b) b a + f (a + k ) ) 1 k=1 Opgave 46 Bekijk de trapeziummethode om ee itegraal te beadere. a) Waarom heet deze methode zo? b) Hoe kom je aa de oppervlakte va het trapezium op elk va de gelijke deelitervalle? c) Leid zelf de beaderigsformule met de trapeziummethode af. 4 d) Beader x dx met behulp va vier gelijke deelitervalle e de 0 trapeziummethode. Waarom zal je beaderig i dit geval aa de hoge kat zij? 4 e) Beader x dx met behulp va acht gelijke deelitervalle e de 0 trapeziummethode. Opgave 47 Waarom moge om de trapeziummethode te kue gebruike de fuctiewaarde iet te sterk variëre op de deelitervalle? Math4all vwo wiskude B,D Keuzeoderwerpe Numerieke wiskude 0

21 Uitleg Ee og betere beaderigsmethode is de methode va Simpso. Daarbij is de variatie va de fuctiewaarde op ee deeliterval al iets mider belagrijk. De fuctie wordt op elk deeliterval [a, b] beaderd door ee kwadratische fuctie door de pute (a, f(a)), (b, f(b)) e ( a+b, f(a+b)). Door voor die kwadratische fuctie ee voorschrift op te stelle e de itegraal va die kwadratische fuctie uit te rekee, vid je als beaderig: b f(x)dx a b a 6 (f(a) + 4 f ( a+b ) + f(b)) E et zoals je bij de trapeziummethode gelijke deelitervalle maakt e daarop de oppervlakte va het bijbehorede trapezium bereket (die je da allemaal bij elkaar optelt), ku je bij de regel va Simpso vaak beter ook deelitervalle make. Op elk deeliterval pas je da de bovestaade beaderigsformule toe. Opgave 48 4 Bekijk og ees de itegraal x dx. Je kut hier de beaderigsmethode va 0 Simpso gebruike met maar éé deeliterval. a) Waarom is het wat merkwaardig om hier de beaderigsmethode va Simpso te gebruike? b) Ga a, dat die methode het correcte atwoord geeft. Opgave 49 4 Bekijk de itegraal x 3 dx. 0 a) Bereke deze itegraal exact. b) Beader deze itegraal met de methode va Simpso met éé deeliterval. Ka je atwoord u precies correct zij? Bekijk de itegraal x 4 dx. 0 c) Bereke deze itegraal exact. Beader hem daara met de methode va Simpso met éé deeliterval. d) Beader deze itegraal met de methode va Simpso op vier gelijke deelitervalle. Zit je al dicht bij het werkelijke atwoord? e) Vergelijk dit met ee beaderig op vier gelijke deelitervalle met de trapeziummethode. Welke methode is beter? f) Vergelijk teslotte og ees met ee Riemasom met vier deelitervalle. Opgave 50 De echte uitdagig is atuurlijk het afleide va de beaderigsformule va Simpso Math4all vwo wiskude B,D Keuzeoderwerpe Numerieke wiskude 1

22 Theorie *************************************** Waeer je ee itegraal wilt beadere da werk je liever iet met Riemasomme (omdat het erg lag duurt voordat je ee redelijke beaderig krijgt). Liever gebruik je bijvoorbeeld: de trapeziummethode Hierbij verdeel je het itegratie-iterval i gelijke deelitervalle met op elk deeliterval iet teveel variatie i de fuctiewaarde. Elk deeliterval beader je met ee trapezium e va al die trapezia tel je de oppervlakte op. Je krijgt da: b b a f(x)dx a (f(a) + f(b) b a + f (a + k ) ) 1 k=1 de methode va Simpso Hierbij verdeel je het itegratie-iterval i gelijke deelitervalle met op elk deeliterval iet teveel variatie i de fuctiewaarde. Je beadert de fuctie op elk deeliterval door ee kwadratische fuctie. Op elke deeliterval geldt da: b f(x)dx a b a 6 (f(a) + 4 f ( a+b ) + f(b)) De methode va Simpso geeft meestal seller ee goede beaderig va de werkelijke waarde va de itegraal. ********************************************* Verwerke Opgave 51 Je wilt de itegraal (4x x 4 )dx berekee. 0 a) Bereke deze itegraal met behulp va primitivere exact. b) Beader deze itegraal met behulp va ee Riemasom met 4 gelijke deelitervalle. c) Beader deze itegraal met behulp va de trapeziummethode met 4 gelijke deelitervalle. d) Beader deze itegraal met behulp va de methode va Simpso met gelijke deelitervalle. Opgave 5 De itegraal 1 1 π e 1 x dx 1 ku je iet exact berekee. a) Beader deze itegraal met behulp va de trapeziummethode met 4 gelijke deelitervalle. b) Beader deze itegraal met behulp va de methode va Simpso met gelijke deelitervalle. Math4all vwo wiskude B,D Keuzeoderwerpe Numerieke wiskude

23 De itegraal aa het begi va deze opgave heeft te make met de ormale verdelig i de kasrekeig. Het gaat hier om de oppervlakte oder de ormaalkromme met μ = 0 e σ = 1. c) Welke vuistregel heb je dus zojuist gecotroleerd? d) Cotroleer ook dat iderdaad ogeveer 95% va de oppervlakte oder deze ormaalkromme tusse - e zit. Opgave 53 π Beader de itegraal x si(x) dx met je grafische rekemachie. 0 Cotroleer vervolges met welke va de i deze paragraaf geoemde beaderigsmethode deze uitkomst het best ka worde beaderd. Opgave 54 Voor de liefhebbers: Er bestaa og betere beaderigsmethode voor itegrale, zoek maar eve op het iteret. Misschie leuk om eve uit te zoeke welke methode jouw grafische rekemachie gebruikt Math4all vwo wiskude B,D Keuzeoderwerpe Numerieke wiskude 3

24 Overzicht Je hebt u alle theorie va het oderwerp De wiskude achter de GR doorgewerkt. Het is u tijd om ee overzicht over het geheel te krijge. Begrippe 11: biair stelsel biaire complemet biair rekee 1: stellig va Taylor Taylorbeaderig hogere afgeleide 13: ulpute beadere iteratie methode va Newto-Raphso 14: itegrale beadere Riemasomme trapeziummethode methode va Simpso Vaardighede 11: decimale getalle omzette aar biaire getalle e omgekeerd optelle, aftrekke, vermeigvuldige e dele i het biaire stelsel 1: ee fuctie beadere door ee veeltermfuctie met behulp va de stellig va Taylor 13: ulpute va ee fuctie beadere met behulp va iteratie e met behulp va de methode va Newto-Raphso 14: itegrale beadere met behulp va Riemasomme, de trapeziummethode e/of de methode va Simpso Opgave 55 Samevatte Maak ee samevattig va dit oderwerp door bij elk va de geoemde begrippe ee omschrijvig of ee voorbeeld te geve e bij elk va de geoemde vaardighede ee voorbeeld te geve. LET OP: Op ee toets over dit oderwerp zulle de stellig va Taylor e de formules die hore bij de trapeziummethode e de methode va Simpso worde gegeve. Toetse Opgave 56 Reke om aar het biaire stelsel: a) 31 b) -31 Reke om aar het decimale stelsel: c) Opgave 57 Bereke i ee 8-bits biair systeem: a) b) Math4all vwo wiskude B,D Keuzeoderwerpe Numerieke wiskude 4

25 c) d) e) / Opgave 58 Gegeve is de fuctie f(x) = l (x + ). a) Stel va deze fuctie ee Taylorbeaderig op va mistes 5 terme. b) Bepaal l (,5) met behulp va deze Taylorbeaderig. Opgave 59 Beader de oplossig va de vergelijkig 1 + x x 4 = 0 met behulp va de methode va Newto-Raphso i vier decimale auwkeurig. Opgave 60 4 Beader met behulp va de trapeziummethode de itegraal 8xe x dx. Gebruik 0 acht deelitervalle. Math4all vwo wiskude B,D Keuzeoderwerpe Numerieke wiskude 5

26 Atwoorde par a) b) 100 c) a) 3 e 1 b) Gewoo oder elkaar zette e gebruike dat = 10. c) Net als i het decimale stelsel. 3. a) b) c) d) a) 9 b) 33 c) 4 d) a) b) = 71 := wat 71 = a) b) 5 14 = 70 := wat 70 = c) d) 9 4 = a) 8 = 56 b) 56 getalle is iet geoeg. c) 150 := e -150 := d) = e) := = f) := = a) = (10 7 = 3) b) = = (7 10 = -3) c) = (17 1 = 196) d) = = (1 17 = -196) 9. a) / = = b) Ofwel zo late, het atwoord wordt da als breuk weergegeve, ofwel iets als ee biaire komma ivoere. 10. a) = = b) = = c) := Dus: = a) b) c) d) past iet i 8-bits systeem / = rest / = rest a) 1053 := e 317 := b) = ( = 1370) c) (veel werk) 15. a) a + b = e a b lukt iet i ee 8-bits systeem. b) Het biaire complemet va a is Het biaire complemet va b is c) a b = e b a = d) a / b = rest a) 16 1 = := b) c) Optelle geeft a) Rest 14 := b) rest ( is de biaire komma ) c) _ rest Math4all vwo wiskude B,D Keuzeoderwerpe Numerieke wiskude 6

27 Atwoorde par a) Ee macht is ee herhaalde vermeigvuldigig. b) Da krijg je delige e dat lukt ook al. c) Dat ga je u uitzoeke 19. Ook dat ga je u og ader bekijke 0. a) f (x) = x l (), f"(x) = x l (), f (3) (x) = x l 3 () b) f () (x) = x l () c) f (0) = l (), f"(0) = l (), etc. d) x = 1 + x l() + 1 x l () x3 l 3 () x4 l 4 () x5 l 5 () + Neem op je GR y 1 = x e y = 1 + x l() + 1 x l () x3 l 3 () x4 l 4 () x5 l 5 (). Vergelijk beide grafieke. De beaderig wordt beter als je de Taylor-beaderig verder voortzet. 1. a) f (x) = 1, f"(x) =, x x 3 f(3) (x) = 6, x 4 f(4) (x) = 4 b) f () (x) = ( 1)! x +1 c) f () (0) bestaat iet. d) Biair dele lukt wel, zie voorgaade paragraaf.. a) Vergelijk beide grafieke. b) e x 1 + x + 1 x x x x x6 c) e , Dus je hebt meer da 10 terme odig. Na 11 terme krijg je, Na 1 terme krijg je, Na 13 terme krijg je, (Dek iet dat er herhalig gaat optrede!) Je hebt 13 terme odig. 3. a) l (0) bestaat iet. b) g(x) bestaat voor x = 0 e heeft daar ee afgeleide, ee tweede afgeleide, etc. c) g (x) = 1, g"(x) = 1, 1+x (1+x) g(3) (x) =, (1+x) 3 g(4) (x) = 6 (1+x) 4 Dus l(1 + x) = x 1 x x3 1 4 x x5 d) l(x) = x 1 1 (x 1) + 1 (x 3 1)3 1 (x 4 1)4 + 1 (x 5 1)5 e) Vergelijk de grafieke va y 1 = l (x) e y = x 1 1 (x 1) + 1(x 3 1)3 1(x 4 1) Hij bereket eerst x 4 = a (biair rekee), vervolges e a = b (Taylorbeaderig) e da 3 b + 10 (biair rekee). 5. a) f(x) = si (x), f (x) = cos (x), f"(x) = si (x), f (3) (x) = cos (x), f (5) (x) = si (x), etc. b) si(0) = 0, cos(0) = 1 (Dek om radiale!) Dus si(x) = x 1 6 x x x x9 c) si ( 1 π) 0, d) si( 1 π) = 1 0, Taylorbeaderig met vier terme: si( 1 π) 0, Dus ee beaderig met vier terme is geoeg om 6 decimale auwkeurig te krijge. e) si(1 ) = si ( 1 π) 0, (Taylorbeaderig met vier terme) a) cos(x) = 1 1 x x x x8 b) cos(c) = si( 1 π x) = si (x + 1 π), dus de cos-fuctie is ee verschove si-fuctie. si (x) c) Nee, immers ta(x) =, dus dit ka met biair rekee worde opgelost vauit cos (x) Taylorbeaderige va si (x) e cos (x). 7. Omdat x = (e l () ) x = e x l() geldt x = 1 + x l() + 1 x (l()) x3 (l()) x4 (l()) 4 8. a) Omdat log (x) = l(x) is log l() (x) = 1 (x 1 1 (x l () 1) + 1(x 3 1)3 1(x 4 1)4 + 1(x 5 1)5 ) b) Nu is x = 1 e dus x 1 = 1. Voer dit i de Taylorbeaderig i die je bij a hebt gevode. Je krijgt log ( 1 ) 0,99335 e dat wijkt 0,00665 af va de juiste uitkomst. 9. a) f(x) = 1 = 1 x + 1+x x x 3 + x 4 b) Taylorbeaderig met drie terme: f(0,0034) 0, Grafische rekemachie: f(0,0034) 0, Met drie terme heb je al ee beaderig i zes decimale auwkeurig. 30. a) E(v) = m 0 c (1 1 c v ) 1 e da hogere afgeleide berekee. Je krijgt: E(v) = m 0 v + m 0 + 4m 0 c + b) De eerste term is keer de eergie va ee massa die met de lichtselheid beweegt. De tweede term is de rustmassa zelf. x 5 Math4all vwo wiskude B,D Keuzeoderwerpe Numerieke wiskude 7

28 31. a) Uit arcsi(si(x)) = x volgt a beide zijde differetiëre: [arcsi(si(x))] cos(x) = 1 Dit geeft [arcsi(si(x))] = 1 = 1. cos (x) 1 si (x) Vervag u si (x) door x e je krijgt: [arcsi(x)] = 1 1 x. b) arcsi(x) = x + 1 x x x c) π = 6 arcsi ( 1 ) 3, als je de Taylorbeaderig met vier terme bij b gebruikt. Atwoorde par a) Tusse 1 e. b) Tusse 1,6 e 1,7. c) Tusse 1,63 e 1,64. d) Tot vier decimale. e) x 1, Werk u zoals i de uitleg 1. Je vidt als het goed is weer x 1, Los op v(x) = f(x) g(x) = 4 x x = 0. Nulput i [1, ] dus x = 1+ = 1,5 v(1) v(1,5) > 0 e v(1,5) v() < 0 Nulput i [1,5; ] dus x = 1,5+ = 1,75 v(1,5) v(1,75) < 0 Nulput i [1,5; 1,75] dus x = 1,5+ = 1,65 v(1,5) v(1,65) < 0 Nulput i [1,5; 1,65] dus x = 1,565 v(1,5) v(1,565) < 0 Etcetera. Je vidt x 1, Je moet ook op de GR het zoekgebied iklemme: leftborder, rightborder istelle. 36. Gebruik y 1 (x) = x 3 + x 6 e y (x) = 3x + 1. Werk zoals i de GR-figure bove opg.36 staa: x 1, Neem y 1 = 6 x 3 e y = 1 x 3 e loop x +1 = x y 1(x ) y (x ) a. Begi b.v. met x 0 = 10. Je krijgt x 1, als a vier stappe. De exacte uitkomst x = 1 vid je atuurlijk algebraïsch. 38. Neem y 1 = x 4 5x 1 e y = 4x 3 5 e loop x +1 = x y 1(x ) y (x ) a. Begi b.v. met x 0 = voor het rechter sijput (ulput va y 1 ). Je vidt al a drie stappe x, Voor het liker sijput start je b.v. met x 0 =. E je vidt: x 1, Doe. 40. Nulput bepale va y 1 = x Halverigsmethode: - i [, 3]: x =,5 y 1 (,5) y 1 (3) < 0 - i [,5; 3]: x =,75 y 1 (,5) y 1 (,75) < 0 - i [,5;,75]: x =,65 y 1 (,5) y 1 (,65) < 0 - i [,5;,65]: x =,565 y 1 (,565) y 1 (,65) < 0 - etc. Je vidt x,571. De N-R-methode: Neem y 1 = x 3 17 e y = 3x e loop x +1 = x y 1(x ) y (x ) a. Start met b.v. x 0 = 3 e je vidt: x, a) b) c) Gewoo doe: x 1, d) De N-R-methode is het selst, al a 8 stappe heb je de auwkeurigheid va de GR bereikt. 4. a) Neem y 1 = x 3 e y = x e de N-R-methode geeft x 1, b) Taylorbeaderig: x + 1 = x 1 8 x x x x5 Hiermee valt 3 echter iet te beadere, wat deze Taylorbeaderig adert iet aar ee bepaalde waarde. 43. a) y 1 = 4 x x 3 e y = 1 3x geeft met de N-R-methode: x 1, b) y 1 = cos(x) x e y = si(x) 1 geeft met de N-R-methode: x 0, c) y 1 = e x + 4x 8 e y = e x + 4 geeft met de N-R-methode: x 0, Dit is echt ee extra opgave: allee doe als je weet hoe rije e webgrafieke werke. Je moet bij b) x 0, vide. Math4all vwo wiskude B,D Keuzeoderwerpe Numerieke wiskude 8

29 Atwoorde par a) x dx 0 = [ 1 3 x3 ] 4 0 = 64 3 b) GR geeft ogeveer 1, c) Eerst de odersom: 0, ,4 0,4 + 0,4 0,8 + 0,4 1, + + 0,4 3,6 = 18,4. Da de bovesom: 0,4 0,4 + 0,4 0,8 + 0,4 1, + + 0,4 3,6 + 0,4 4 = 4,64. E daar dus erges tussei. d) Veel te veel werk, zelfs voor de selle kaboutertjes i je GR. Je hebt ook pas wat als odersom e bovesom erg dicht bij elkaar i de buurt zitte. 46. a) Je maakt op elk deeliterval ee trapezium m.b.v. de fuctiewaarde va het begi e va het eid va dit iterval. b) Op [a, b] heb je deelitervalle die dus elk ee hoogte hebbe va b a. Va het bijbehorede trapezium met ummer k hebbe de evewijdige zijde de legtes f(a + (k + 1) b a b a ) e f(a + k ). De oppervlakte va elk trapezium is daarom b a (f(a+k c) Je moet daarvoor de zaak helemaal uitschrijve: b a b a (f(a+k )+f(a+(k+1) b a ) k=0 ) = = b a = b a b a (f(a)+f(a+ ) (f(a)+f(b) + f(a+ b a )+f(a+ b a ) + 1 f (a + k b a k=1 ) ) d) Bij vier gelijke deelitervalle is b a = 1. De beaderig wordt da 1 ( ) =. b a )+f(a+(k+1) b a + + f(a+( 1) b a e) Bij acht gelijke deelitervalle is b a = 0,5. De beaderig wordt da 0,5 ( , ,5 ) = 1,5. ). )+f(b) 47. Omdat da de oppervlakte va ee trapezium gee goede beaderig is va de werkelijke oppervlakte oder de grafiek op ee deeliterval. 48. a) De gegeve fuctie y = x is zelf al ee parabool. Hij zal derhalve door zichzelf worde beaderd. b) De regel va Simpso geeft: 4 0 ( ) = E dat komt overee met het exacte atwoord, zie opgave 45a a) x 3 dx = [ 1 4 x4 ] 4 0 = 64 b) De regel va Simpso geeft u: 4 0 ( ) = 64. Dat is al metee het juiste atwoord. 0 c) x 4 dx = [ 1 5 x5 ] 0 = 6,4 De regel va Simso geeft u: 0 ( ) = 6. 3 d) Maak je twee gelijke deelitervalle, da krijg je met de regel va Simpso: 1 0 ( , ) ( , ) = 6 5 6, Dat is al beter da de beaderig bij c). Bij vier gelijke deelitervalle vid je 6, e) Met de trapeziummethode e vier gelijke deelitervalle vid je 0,5 ( , ,5 4 ) = 7,065 E dat is er og behoorlijk ver aast. f) De odersom wordt 3,065 e de bovesom wordt 11,065. De itegraal zit daar erges tussei. 50. Dit wordt veel algebraïsch gekutsel. Je begit met het opstelle va de formule voor ee parabool die eigelijk door de pute (a, f(a)), (b, f(b)) e ( 1 a + 1 b, f(1a + 1 b)) moet gaa. Maar je kut beter eerst de zaak horizotaal verschuive (traslatie t.o.v. de y-as) over ( 1 a + 1 b) = 1 b 1 a. Dat maakt het rekewerk iets prettiger. De drie pute waar de parabool met formule y = px + qx + r doorhee moet, worde da ( 1 a 1 b, f(a)), (1 b 1 a, f(b)) e (0, f(1 a + 1 b)). Druk u p, q e r uit i a e b. ) = Math4all vwo wiskude B,D Keuzeoderwerpe Numerieke wiskude 9

30 De itegraalbeaderig wordt u 0,5b 0,5a 0,5a 0,5b (px + qx + r)dx 0,5b 0,5a = [ 1 3 px3 + 1 qx + rx] 0,5a 0,5b. Hieri moet je da allee og de juiste uitdrukkige voor p, q e r ivulle. Succes! 51. a) [ 4 3 x3 1 5 x5 ] 0 = , b) De odersom wordt 0,5 (0 + 0, ,9375) = 3,9375 De bovesom wordt 0,5 (0, , ,9375) = 7,875 De werkelijke waarde va de itegraal zit daar tussei. c) 0,5 ( , ,9375) = 3,9375, gee beste beaderig. d) ( , ) + ( , ) = 4, a) 0,5 1 (e 0,5 +e 0,5 π 1 π (e 0,5 + 4 e 0,15 + e 0 ) e 0,15 + e 0 + e 0,15 ) 0, b) π (e0 + 4 e 0,15 + e 0,5 ) 0, c) De vuistregel dat ogeveer 68% va de oppervlakte oder de ormaalkromme tusse -1 (- ) e 1 ( ) ligt. d) Nu beader je de itegraal π e 1 x dx GR geeft 3,141597, dat is atuurlijk ee beaderig va. Verder geeft de regel va Simpso de selste beaderig. 54. Veel succes, er is ee heel vakgebied dat umerieke wiskude heet.. Atwoorde Toets 56. a) b) c) a) b) c) d) f(x) = l (x + ), f (x) = 1, f"(x) = 1 x+ (x+),, f() (x) = ( 1) 1 ( 1)! (x+) a) l(x + ) = l() + 1 x 1 8 x x x x5 b) l (,5) 0, Neem y 1 = 1 + x x 4 e y = 4x 3 e loop x +1 = x y 1(x ) a. y (x ) Start met b.v. x 0 = e je vidt: x 1,7113. Start met b.v. x 0 = 1 e je vidt: x =. 60. Je vidt 7,67 Math4all vwo wiskude B,D Keuzeoderwerpe Numerieke wiskude 30