TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN. Afdeling Algemene Wetenschappen. Onderafdeling der Wiskunde WISKUNDE I

Transcriptie

1 TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN Afdelig Algemee Weteschappe Oderafdelig der Wiskude WISKUNDE I Syllabus va het College voor Eerstejaarsstudete Najaarssemester 969

2 ~ i 9 - '" 6 I H Z Qdesafdelig der Wiskude Wiskude I SYLLABUS VAN HET COLLEGE VOOR EERSTEJAARSSTUDENTEN NAJAARSSEMESTER 969 T HOGESCHOOL TECHNISCHE EINDHOVEN DIC'r. NR. 6 -PRIJS f 3,50

3 ENKELE NOTITIES bij WISKUNDE I Het voor alle afdelige (de latere 'faculteite') bestemde le jaars wiskudeoderwijs aa de TH/TUE heeft, ihoudelijk, tusse 956 e f980 ee belagrijke otwikkelig doorgemaakt. Aavakelijk (Wiskude I 959/60) is de opzet og puur 8e eeuws: Aaschouwelijk ambachtelijk gekutsel met grafieke, 'brokjes', 'ifiitesimale aagroeige', etc. Het is dé maier waarop igeieurs e atuurkudige graag tege wiskude e, met ame aalyse, aakijke. Ee mooie illustratie hierva is de itroductie va het getal e i 5.5. Het dictaat Wiskude I (959/960) is t/m 968 mi of meer, op wat kleie herverkavelige a, overaderd i gebruik geweest. De variat Wiskude I (969) bevat al ekele wat fudametelere toevoegige va 9e eeuwse sit, zoals ee echte wiskudige defiitie va de fuctie x ++ ez. JdG, Mei 005.

4 INHOUD blz. Hoofdstuk I Ileidiqq. t/m.8. Ge talle.. Fuctiebegrip.3 3. Limiet e Ekele belagrijke stellige.4 Hoofdstuk I IO... Ifiitesimaalrekeig. t/m.4 Afgeleide De techiek va het differetiëre Extrema De methode va Newto Differetiale De bepaalde itegraai ' Ekele umerieke itegratiemethode De hoofdstellig der itegraalrekeig De obepaalde itegraal Differetiaalvergelijkige Bepaalde itegrale Oeigelijke itegrale Hoofdstuk I Vervolg der differetiaalrekeig III. I t/m Volledige iductie. Het biomium va Newto. Hogere afgeleide.3 Parametervoorstellig va kromme.5 Poolcoördiate.7 Fucties va twee variabele.0 Impliciet gegeve fucties.9 Hogere partiële afgeleide.3 Hoofdstuk IV Meetkude e algebra IV.I t/m m Vectore i ruimte e vlak N. 5. Coördiate IV Afhakelijkheid v Vectorruimte IV Lieaire vorme v.5

5 blz ij 7. 5 B Homogee vergelijkige IV.6 Ihomogee vergelijkige v.9 Matrices IV. De t eiat e IV. 7) Gebruik va determiate bij matrices e vergelijkige IV. 9 Complexe getalle V.I t/m V.IE De iii t ie e Vergelijkige Complexe fucties va ee reële variabele v. v.5 v.0 V.7) Hyperbolische fucties V.6 Appedix Over de ivoerig va het getal e e de expoetiële fuctie e X De kromt es.i;raal LITERATUUR W.I. Smirow, Lehrgag der höhere Mathematik, Teil I, Deutscher Verlag der Wisseschafte. R. Courat, Differetial ad Itegral Calculus, Volume I, Blackie ad So.

6 . IIOOFDSTUK I INLEIDING $. Getalle - N = verzamelig der atuur.jke getalle:, 5,.... Bewerkige: optelle e vermeigvuldige. a,b i N =! a + b i N, ab i N. Voor "a + b i N" schrijft me ook "a + b E N" (spreek uit: a + b is ee elemet va BI). Verschil a - b is het getal x zodat b t x = a. Da N. Opdat aftrekke steeds mogelijk is (opdat b + x = a steeds oplosbaar is) voere wij i de egatieve getalle e het getal O. - G = verzamelig dei, pehele getalle: pos., eg., O. I G is de bewerkig dele iet steeds uitvoerbaar: - 6 G. Quotiët is het getal x zodat bx = a, Opdat dele steeds mogelijk is (opdat bx = a steeds oplosbaar is),behalve dele door O, voere wij i gebroke getalle (breuke). = verzamelig der meetbare (ratioale) getalle (p,q geheel, q f O). 9 a,b E M =) a + b, ab, a - b NI e E E PI voor b # O. Echter: x - = O is iet oplosbaar i M. Bewijs: Stel E voldoet, p e q geheel, E overeevoudigbaar. Da 9 g p = 9, p cotradictie. b eve, p eve, p deelbaar door 4, q 3 eve, q eve, Toch hebbe wij getalle als 6 e odig om de meetkude te beschrij-' ve. M vult de fletallerechte iet op. Voer i omeetbare (irratioale) getalle [wortels, ). - B = verzamelig der pute op de getallerechte. getalle: de getalle die correspodere met de Nog zij we iet tevrede: x + = O is iet oplosbaar i R. Daarom wordt later igevoerd

7 I. - C = verzamelig der complexe getalle: a + ib, a e b reëel, i = complexe eeheid. Wij werke voorlopig met R. Opmerkig. Dele door O is iet gedefiieerd. Opmerkig. Ordeig. Dit ka iet op zivolle wijze geschiede, wat stel = c, O da zou uit de defiitie va ee quotiet op pag.. volge dat 3 = O. c = O, dus 3 = O. Gzi. Uit het beeld op de getallerechte blijkt: als a,b E R, da a < b Òf a = b Òf a > b m.a.w. R is Feorded (de,complexe getalle zij het a). a b beteket a < b of a = b. Eigeschappe: a<b *a+c<b+c a<b, c>o*ac<bc a<b, c<o*ac>bc a<b, b<c*a<c. Uit de e e 3e eigeschap volgt c > O voor c f O. Cpmerkig 5. Absolute waarde = modulus.

8 Ia > (bl is gelijkwaardig met a > b. Opmerkiff 4. Als p > O, da is 6 het positieve reële getal, waarva het kwadraat = p. Verder is fi = O. Uit deze defiitie volgt, da.t Q = x. Opmerkig 5. Als a e h getalle zij, a < b, da kue we de verzamelig der getalle x beschouwe die aa éé der volgede voorwaarde voldoe I a<x<b V a<cx a-cx<b VI a-zx a<x<b VI x=s b Tv a<x<b VI x < b. Elk var. deze verzamelige heet ee iterval. I de gevalle I,,, IV heet het iterval begresd, i de gevalie V, VI, VII, VI obegresd, i de gevalle IV, VI, VI ope (radpute behore iet tot de verzamelig) e i de gevalle I, V, VI geslote (radpute behore tot de verzamelig. Het iterval I heet liks geslote, rechts ope, aaloog heet I liks ope, rechts geslote. Opmerkig 6. Wij make aastods gebruik va de symbole e - m (oeidig e mi oeidig). Deze symbole zij gee getalle: er ka iet op fatsoelijke wijze mee worde gereked. Voor letters, die getalle voorstelle, mag aa ook ooit m of - 00 worde gesubstitueerd, tezij het tegedeel uitdrukkelijk wordt vermeld. 5. Fuctiebegrie A. Costate e variabele groothede bij de beschrijvig va ee (fysisch) verschijsel. Ee costate is ee grootheid die gedurede de beschouwig steeds hetzelfde getal voorstelt. Ee variabele is ee grootheid die verschillede getalle voorstelt../. I

9 ,.. p, - Vb. xrije xal x = afgelegde weg e v = selheid zij variabele g = versellig e m = massa zij costate. - Vb. se@& % zeg &OL I = ihoud, h = hoogte va het segmet zij variabele r = straal va de bol is ee costate. Aatal millimeter rege dat I per dag i 967 valt. a = aatal mm zij beide variabele. d = hoeveelste dag i 967 B. Ee fuctie va de variabele x is ee voorschrift, volges hetwelk a) x bepaalde waarde mag aaeme b) aa elk va deze waarde ee getal wordt toegevoegd. De verzamelig va waarde die x volges voorschrift mag aaeme (voorts geoorloofde waarde geoemd) heet defiitieverzamelig va de fuctie j me zegt ook dat de fuctie op deze verzamelig gedefiieerd is. Waeer de toegevoegde waarde door de variabele y wordt aageduid, da heet y ee fuctie va x; otatie y = f(x). - - Vb. v = f(x), amelijk v = i gx. Vb. I = f(h), amelijk I = - h (5r-h). 3 u a = f( d), amelijk ee tabel. Opm. Uit Vb. 3 blijkt dat ee fuctie iet hetzelfde is als ee formule. Opm. x i Vb., h i Vb., d i Vb. 5 hete oafhakeli.ike variabele, v i Vb., I i Vb., a i Vb. 3 hete afhakeli,ike variabele. Opm. De defiitieverzamelig va ee fuctie, die door ee formule is gegeve, hoeft iet overee te kome met de verzamelig va waar- de, voor welke de formule zivol is. De formule I = - h (3r - h) 3 ka ook gebruikt worde om voor alle h E R ee fuctie te delii- ere. Als i I = - h( 3r - h) zowel h als r variabel zij, da heet I 7 ee fuctie va twee variabele.

10 Opm. 5 Aa het voorschrift dat ee fuctie vastlegt ka ee betekeis worde toegeked los va de betekeis va de eri voorkomede variabele. Het voorschrift y =x heeft betekeis zoder dat me behoeft te wete, wat door de letters x e y wordt voorgesteld: het is het voorschrift, dat aa ieder getal zij kwadraat toevoegt. Deze opvattig va het fuotiebegrip stelt het voorschrift primair: de "variabele" zij da slechts symbole: of me y =x of v =u schrijft is overschillig. I toepassige der wiskude zij de variabele primair; de fuctie legt er ee verbad tusse. I de otatie komt dit verschil va aapak ock tot uitdrukkig; begit me met variabele x e y, da spreekt me over de fuctie y= f(x), stelt me de fuctie voorop, da oemt me deze f. Wij doe hier gee keuze tusse beide opvattige, maar gebrui- ke ze door elkaar. C. De grafiek va ee fuctie v=f(x) is de verzamelig va de pute i het vlak, waarva de coördiate (x,y) voldoe aa het voorschrift va de fuctie. - Vb. y = X. Geoorloofd: x a O. Merk op dat de y-as i O aa de grafiek raakt omdat ta 'p = JZ willekeurig groot is als x dicht geoeg bij O. X = lkx Vb. y = log x. Geoorloofd: x > O. X u y =. Geoorloofd: alle x E R. y = \i - x. Geoorloofd: - G x G. Elk put op de grafiek voldoet aa y' = - x, dus aa x + y ee cirkel. De grafiek is slechts ee halve cirkel daar y a O. =, - Vb. 6 y = Ix-4. Geoorloofd: alle x. Voor x >- 4 staat er y = x - 4. Voor x i 4 staat er y = 4 -xi O < x-( : f(x) =; <: XG : f(x) = I o y = grootste atuurlijke getal G x. Geoorloofd: x. - Vb. 8 f(x) = als x meetbaar f(x) = O als x omeetbaar Afspraak: Als i het vervolg ee fuctie door ee formule gegeve is e als de defiitieverzamelig iet uitdrukkelijk vermeld is, zij alle waar-

11 .b de geoorloofd voor welke de formule zivol is. D. Eve e oeve fucties f(x) heet eve fuctie, als de defiitieverzamelig symmetrisch is t.o.v. O e als voor alle geoorloofde x geldt: f(x) = f( -x). - 6 Vb..x - 3, x, cos x, si x, x - x + 3. f(x) heet oeve fuctie, als de defiitieverzamelig symmetrisch is t.o.v. e als voor alle geoorloofde x geldt: f(-x) = - f(x) Vh. si x, ta x, x - 6x +-. X O Opm. Er zij vele fucties die och eve, och oeve zij. Voorbeelde zij Vb.,, 3, 5, 6, 7 uit C. E. Mootoie f(x) heet mootoo stijged als voor ieder paar geoorloofde getalle x, e x geldt, dat < x * f(xl ) < f(x) x O - Vb. O O - Vh. u y = si x is voor O < x < 90 mootoo stijged, ook voor -90' < x < 90, maar iet voor O < x < 80.. y = x is voor x a O mootoo stijged. f(x) heet mootoo daled als voor ieder paar geoorloofde getalle x x geldt, dat y = x is mootoo stijged. Xi < x * f(x) > fix,). e F. Samegestelde fuctie y = si x ka me verkrijge door eerst u = x te eme e daara y = si u: het is de samegestelde fuctie va de fucties u=x e y = si U. Algemee: u = f(x) e y =q(u) levere de samegestelde fuctie y =?(f(x)). G. Iverse fucties Ee fuctie y = f(x) voegt aa iedere geoorloofde waarde va x (bijvoor- beeld i het iterval a s x b) éé waarde va y toe. Laat u y = f(x) zo zij, dat bovedie bij elke verkrege y éé x hoort, waarvoor geldt y = f(x). De fuctie f heet da ee-ee-duidig. De verzame- lig va deverkregey-waarde is da te beschouwe als de defiitiever-

12 I.7 zamelig va ee fuctie x = g(y). Voorbeeld: y = x voor O S a -s x G b, da is het iterval a geoorloofd voor y. Het voorschrift, dat x als fuctie va y levert is te krijge door uit y = f(x) de x op te losse: x = g(y). De fucties I e g zij verschillede fucties, omdat zij verschillede voorschrifte voorstelle, l. f: bij x de y te verkrijge, g: bij y de x te verkrijge. <y S b Fucties f e g, die zo bijeehore, hete iverse fucties. Wil me de grafieke va beide fucties tekee e schrijft me y = f(x) e x = g(y), da zij de grafieke va beide fucties dezelfde, echter met die ver- stade, dat bij f de x-as de as der Oafhakelijke variabele e de y-as die der afhakelijke variabele voorstelt e bij g juist omgekeerd. Me is vaak gewed om bij de grafiek va ee fuctie de as der oafhakelijke variabele horizotaal e die der afhakelijke variabele verticaal te te- kee. Doet me dit bij x = g(y), da teket me de y-as horizotaal e de x-as verticaal. Noemt me teslotte bij g de variabele aders e schrijft me y = g(x) da ka me de grafieke va beide fucties y = f(x) e y = g(x) weer i éé figuur tekee. De grafieke otstaa da uit elkaar door spiegele i de lij y = x. De samegestelde fuctie va u = f(x) e y = g(u) is y = x (idetieke fuctie) als f e g elkaars iverse zij. Aaloog met verwisselig va f e g. - Vb.l y = x. Beperke wij os tot x 3 O, da hoort ook bij elke y O precies éé,x, amelijk x = i- y. Teeide beide fucties op hetzelfde coördiatestelsel te tekee: verwissel x e y, da y =L op x> O. 3 y=x opx>-o zij iverse fucties. y =G op x> o - Vb. y=x. 3 Voor alle x geldt: bij elke y hoort éé x. Los x op: x = G. l

13 .8 Op hetzelfde coördiatestelsel geteked (verwissel x e y): y = voor alie x. 3 De fucties y = x X y=. Los x op: x = log y. e y = E zij iverse ucties. Voor alle x geldt: bij elke y > O hoort éé X. Op hetzelfde coördiatestelsel geteked (verwissel x e y): y = log x op x > o. X y = e y = log x zij iverse fucties. H. Veelterme. Reststellig 7 y = 3x9 + x - I e y = x + xz - I zij veelterme of polyome. Algemee : f(x) = a. + a x ax. Da is f(0) = a. Hieruit volgt:. Als f(x) ee veelterm is, da is er ee veelterm rp(x), zodat f(x) = f(0) + q(x). Verder geldt:. Als f(x) e g(x) veelterme zij, da is E(g(x)) weer ee veelterm. (Voorbeeld: als a ee costate is e g(x) = x + a, da is f(x + a) weer ee veelterm.) 3. (Reststellig) Als f(x) ee veelterm is e a ee costate, dam is er ee veelterm $(x), zodat f(x) = f(a) + (x - a)+(x). w.. is evidet. Om 3. te bewijze stelle we g(x) = f(x + a), da is g(x) ee veelterm e g(0) = f(a). Pas hierop. toe: g(x) = do) + w, (XI * Vervag x door x-a: f(x) = g(x-a) = g(0) + (x-a)rp,(x-a) = f(a) + (x-a)+(x). Gevolff. Als f(x) ee veelterm is e f(a) = O, da is f(x) deelbaar door x-a.

14 I. Goiometrische fucties Wij mete hoeke i radiale. Eé radiaal is de middelputshoek die zo groot is dat de legte va de bijbehorede cirkelboog gelijk is aa de straal va de cirkel, dus - hoek radiaal rad. O O dus 3 3 = ra, 80 = rad., 5 o = - rad.; 5 Voorts is rad. = j6oo/ N 57" De grafieke va y = si x, y = cos x, y = ta x, y = cot x worde beked verodersteld. De volgede ogelijkhede zij meetkudig i te zie e vide hu iterpretatie i de grafieke: I) voor x > O geldt si x < x, voor alle x geldt [si x/ = x. ) voor O < x < - geldt ta x > x. 3) voor alle x geldt - x G cos x S ; weges ) geldt amelijk X I - cos x = si 3 G - J. Cyclometrische fucties 4 ' Cyclometrische fucties zij de iverse va goiometrische fucties. I) y = si x is mootoo op - - x G :, e heeft daar de eigeschap dat bij elke y tusse - e éé x hoort. fuctie va y = si X. Verwissel x e y (spiegel t.o.v. y = x) da Op - - < x G - (iet op alle x! ) kue wij dus spreke va de iverse krijgt me ae grafiek va y = iverse va si x. Noem deze fuctie y = arcsi xi 7 Geoorloofde waarde: - 4 x <. Fuctiewaarde: - -S arcsi x ) y = cos x is mootoo op O < x S e heeft daar de eigeschap, dat bij elke y tusse - e éé x hoert. Op O S x =s kue we dus spreke va de iverse va y = ces x. Verwissel x e y (spiegel t.e.v. x = y), da krijgt me de grafiek va y = iverse va cos x. Noem deze fuctie y = arccos x. Geoorloofde waarde: - G x -Z. Fuctiewaarde: O S arccos x G.

15 ~,.0 3) y = ta x is mootoo op - - < x < -. Daar hoort bij elke y éé x, e bestaat de iverse. Verwissel x e y, da krijgt me de grafiek va y = iverse va ta x. Noem deze fuctie y = arcta X. Geoorloofd: alle x. Fuctiewaarde: - - i arcta x <-. - Vb. arcsi Q =? Stel arcsi!j. dus p =- (iet p =6 6 = p, da si p = =& e-i=sp<t, u arccos (- 3) =? Stel arccos (- ) = p, da cos p = - dus p = - (iet - -). 7 3 arcsi x + arccos x = -. Eewijs: Stel arcsi x = p e arccos x = q, da is x = si p e -Esp<-, x = cos q e O G q < of aders geschreve x = si(- - q) e - -G G. Hieruit volgt p = - - q. arcta - + arcta - =? 3 Stel arcta - = p e arcta - = q, da 3 O < q <-. 7 ' ta p = - e ta q = - e O < p <- Gevraagd wordt p + q. Nu is. ta P + ta q ta(p + q) = - ta p ta q Omdat O<p+q<volgtp+q=-. 4 e O G p G, ta (arcta x) = x, m aar arcta (ta x) hoeft iet = x (eem bijv. x =, da is arcta (ta ) = arcta O = O f ) Limiete A. Voorbeelde va rije: - Vb. I, 7, -, Vb.,,,,...

16 ., -,, - ).... u,+-, +-+-, f-,.... Me ka de elemete va ee rij ummere met de getalle,, 3, 4,.. e Noemt me het elemet op de plaats a da wordt de rij: a,,a,a3,a4,.... Om de rij vast te legge moet me voor iedere plaats i de rij zegge wat er staat. Deze plaats is aagegeve met ee ummer: aa ieder atuurlijk getal moet ee getal a zij toegevoegd. Dit leidt tot de volgede formele defiitie: Eed is ee fuctie, die gedefiieerd is op de verzamelig der atuurlijke getalle. Me schrijft de oafhakelijke variabele bij ee rij gewoolijk als idex; dus iet f(), maar f of a. I bovestaade vier voorbeelde is resp. a = -.. Als wij de rij va Vb. 4 op de getallerechte voorstelle, da zie wij dat a het midde is va het lijstuk a-, tot. Voldoede ver gaade i de rij kome wij willekeurig dicht bij. Wil me b.v. dat I -a<- 000 da moet me groot geoeg eme, l. - <-, hetgee zo is als -i > 000, hetgee zo is als > IO. -l 000 Bij elke E > 0 bestaat dus ee getal N zodat voor alle > N geldt: -i - a < E (er geldt amelijk - a =,-i < E als >, e aa deze N. voorwaarde is volka als - I N e > - is). E Me zegt dat hier lii a =. -- I Op soortgelijke wijze kome wij bij de rij i Vb. willekeurig dicht bij O e zegge daarom, dat lim a = O, of ook lim- = O. Hetzelfde geldt voor -- -m

17 . de rij, - 7, Y - 4. *. -m B. I plaats va de fuctie f() = i uitsluited voor atuurlijke getalle te beschouwe, kue wij ook f(x) = ; voor reële x f O eme. Deze heeft de eigeschap, dat f(x) willekeurig dicht bij O komt, als x groot geoeg is. Zo is O<;< alsx>-. E Me zegt u ook lim - = O. X X - m C. Alvores ee formele defiitie te geve, beschouwe we og ee ader ge- val. Hierbove gige wij het gedrag a. va ee rij a voor grote e va ee fuctie f(x) voor grote x. We kue ook kijke aar het gedrag va ee fuctie voor x i de buurt va ee getal a.. Als voorbeeld eme we f(x) = - i de buurt va x =. Als x i de buurt X va ligt, da ook -. Cr dit te precisere vrage we, voor welke waarde va x geldt X Dit is zo als I - < - - I < &, X - < - < I + E. X Ais & <, da Dit is ee ope iterval, dat het getal bevat. Als &, da is I -<x I + & voldoede om te bewerkstellige, dat I I -; < E.

18 .; Ook hier vide we vor x ee ope iterval, dat het getal bevat. hr: oeme ee dergelijk iterval ee omgevig va. Defiitie Als a ee getal is, da heet ieder ope iterval dat a bevat, ee omgevig va a. Ieder i.terva va de vorm R <x heel; ee ompevio. va m. Ieder iterval va de vorm x < R heet ee omrevig va - m. Voorbeelde va omgevige va het getal 3: -0 < X; - < x < 000; < x < 3 - i,9995 < x < 3,03;,96 < x < 3,04. I Eet laatste iterval bestaat uit de getalle x, waarvoor {x- 3 < O,04. Wij zulle zegtye da.t f(x) voor x - a tot ee limiet L adert als ) elke omgevig va a og geoorloofde waarde x # a bevat (a heet da verdichtiesput va de defiitieverzamelig va f), e ) me bij elice omgevig va L ee omgevig va a ka kieze zodat de waarde va f i alle geoorloofde pute ui-t deze omgevig va a, i. de omgevig va L ligge. Defiitie lim f(x) = L beteket, dat i elke omgevig va a geoorlooid x-a x f a ligge e dat er bij elke E > O ee omgevig va a be- staat, zodat voor alle geoorloofde x f a i de omgevig geldt lf(x) - LI < E. (Bieri mag a ee getal, m of - m.zij.) I deze defiitie stelt x ee getallevariabele voor; als dus a = m of - w, is de voorwaarde, dat x f a is, overbodig. Ook als a ee getal is, behoeft 0 gee geoorloofde waarde va x te zij e als a dat wel is, behoeft f(a) - iet = L te zij. Voor het geval dat a = levert bovestaade defiitie het volgede: lim x-m f(x) = L beteket, dat i elke omgevig va m geoorloofde x ligge e dat er bij elke E > O ee getal R bestaat, zodat voor alle geoorloofde x > R geldt lf(x) - LI < E.

19 .4 Aaloog voor O: voor rije: = -m. Ee speciaal geval va (I = m is het limietbegrip u lir -m a = a beteket, dat er hij elke E > O ee getal N be staat, zodat voor alle atuurlijke getalle > N geldt Ia - al < E. lim - = O, wat om - < E te krijge ka > - geome worde. E -- - Vb. lim - I - O, wat om - < E te krijge eme me > - I - m G fi E lim -- =, wat om - < E te krijge eme me a. lim bestaat iet. Evemi lim e lim j. -m -ca x-o lim (- = O, wat om (-) < E te krijge moet m log - log - E & volgt (-) < E. log 3 % 3 Hiertoe eme me > -, wat uit > - lim - - O, wat om-< E te krijge eme me x > -. x-wc- G &.im - - O, wat om I-+=( < E te krijge eme me x < - - x--m\ltx - $ ' Vb. 8 lim ('i t =. We probere te voldoe aa x- X & Ix - 4 < EX' (x = O is iet geoorloofd!) x( - 4 E ) < 4 < x( C4E).. Voor E < - is aa de voorwaarde te voldoe door 4 te kieze.

20 .5. Voor E a- < x voldoede. I üeide gevalle vide we voor x ee iterval, dat het getal bevat (ee omgevig va ). &. De uitkomst is i dit voorbeeld eevoudig te verkrijge door D. Stadaardlimiete x = te substituere. Zie "cotiuïteit" oder G. I) p > û,da lim - = O x-axp ) /gl <,da lim g = O -'m 3) a > û,da lim \;.a = I -w Voor het bewijs gebruike wij, behalve de defiitie va limiet, de eige- schap h>o,da ( +h)=l+h+...+hal+h>h. P I Bewijs ) Opdat - < E, ee me x >, dus x > (;y". Er is dus ee R, l. R =, zodat voor alle x > R geldt < E Bewijs ) We wille, door voldoede groot.te eme,, zorge dat Ig - 0 < E, ofwel y - ( I + #)'>E - I gl l + ~ L > ~, d u s a l s > - E.,% X P (g f O). Dit is zo als - g = N. Aldus is - voor elke E > O - ee getal N bepaald, zodat voor alle >. N geldt (g - 0 < E. Hoe kleier E e hoe dichter IgI bij, hoe groter N. (Als g = O, da is lgl < E waar voor alle a I.) Het voorgaade toot aa, dat we bij elke e > O ee getal N Bewi,is 3 kue bepale zodat voor alle > N geldt (I + < a < ( + c)" ofwel

21 i.6 - g: -- E < x - l < E, I + & E. Stellige over limiete Stellig Stel f e g zij gedefiieerd i ee omgevig va a e lim î(x) = L, x-- lim g(x) = M. x-- Da geldt a) lim {f(x) + g(x)} = L + M x-a b) lim f(x)g(x) = LM x-a c) lim $$ =; (mits L + 0) x-a Bewi.is Op grod va het gegeve geldt: Bij iedere E, > O bestaat er ee omgevig U i U, geldt Bij iedere E~ i U, geldt If(x) - LI < El. > O bestaat er ee omgevig U IdX) - Ml < E. va a, zodat voor alle x f a va a, zodat voor alle x f a Als x zowel tot de ee als tot de adere omgevig va a behoort, gelde beide ogelijkhede. Hetgee twee omgevige U, e U va a gemee hebbe (de zg. doorsede va U e U ), is echter ook ee omgevig va a. a) Voor alle x li a i deze doorsede geldt If(x) + g(x) - (L +M)I lf(x) - LI + Ig(x) - Ml < E, + c. = l(f(x) - L) + (g(x) -M)I e

22 ~ I.7 Bij ee willekeurige E > O ka u voor deze waarde va x tot If(x) + g(x) - (L + M)l < E gecocludeerd worde, als E > O e E > O zo gekoze worde dat E + E = E, bijv. E = E = I E. b) Voor alle x f a i de doorsede va U e U geldt If(x)g(x) - ml = l(f(x) - L)(g(x) - M) + (f(d- L)M + L(g(x) - M)I s De laatste som i s kleier da E als E G \f(x) - Lllg(x) - Mi + if(x) - LI ]Ml + IL/ Ig(x) - M / G E. E + E. Ibtl + IL(. E. e E elk der proclukte E E IMI e ELI kleier da E is. ' 3 c) Bij het bewijs make wij' gebruike va twee opmerkige: zo klei zij gekoze dat I. Uit lf(x) - L I < E < I L ~ volgt lf(x)[ > I L I - E > O, immers o c: ILI - E, = IL - f(x) + f(x)l - E, G IL - f(x)l + lf(x)l - E, < lf(x)l.. Het is voldoede om lim mits L,L O) te bewijze e da fo=l ( ' x-oi op e g(x) regel b) toe te passe. Va het begi af aa kieze wij E < ILI. Voor alle x f a i U geldt De laatste term is kleier da E als E wordt gekoze. kleier da e E hl? * d) Omdat f(x) >- O, is ook L O. We beschouwe eerst L > O. Da is A im -6 = m+fi fi voor x f a i U Kiest me u E da kieze we E Jf(x) - LI E (als bove). = cfi, da is lm -GI < E voor deze x. Als L = O, = E ; uit O S f(x) < E volgt da lm < E. I de volgede voorbeelde leidt eerst ee omvormig va de uitdrukkig e da ee toepassig va de stellig zowel tot de coclusie dat de limiet bestaat als ook tot zij berekeig.

23 Vb. lim = lim m- - Vb. Worteltruc. -4. O O. I+I = = lim (G'GTi - = l i m j - i?= +- -m C-I + -+l -- = lim +m Y I =-- I Isluitstellig lim f(x) = L x-a lim h(x) = L x-a * lim g(x) = L. x- a I ee omgevig U va U geldt voor x f a Bewi,is Kies E > O. f(x) G g(x) < h(x) I ee omgevig U va a geldt voor x f a - E < f(x) - L< c. I U geldt voor x f a f(x) - L<g(x) -L. ~ de doorsede va U e u geldt voor x f a -E < g(x) - L. Aaloog: I de doorsede va U e geldt voor x f a g(x)-l<~, dus i de doorsede va U, U e U geldt voor x f a Idx) -LI <E. lim- si = O volgt uit de isluitstellig e - -S-G si -. --, u l im yj=- -m lig e lim 6. dm= -m 6 volgt uit de isluitstei- lim x + si x = lim j si x I +- X = omdat -- O e x-m i7-z x-m I + - X X

24 .9 si x --<-<-. X X X a. lim is door substitutie x = -tte herleide tot lim : x.+- m t -m - Vb. 6 lim f(x) = lim f(-t), wat x < -R correspodeert met R < -x, x-. -m t -- dus met R < t, dus de omgevig x < -R va - m correspodeert met de omgevig El < t vam. lim x + si x x--m + = t - m F. Fucties die aar oeidig gaa - t - si t im = -. - Def. lir f(x) = m beteket dat i elke omgevig va a geoorloofde x f a x-a ligge e dat er bij iedere K ee omgevig va a bestaat, zodat voor alle geoorloofde x f a i die omgevig geldt f(x) > K. Aaloog lim f(x) = - r. x-a u l im = -; lim \r, = m. -m -m - x- o Vb. lim - I XI =ci u (-) heeft gee limiet voor -m, doch gaat ook iet aar oeidig. u f(x) = ; voor x > O geeft f(x) - m voor x - O. Me schrijft wel: G. Cotiuïteit lim - = m. XIOX Aaloog lim - = -m x T O x Ruw gesproke zulle wij ee fuctie f i ee put a va haar defiitie- verzamelig cotiu oeme, ais de waarde f(x) voor alle geoorloofde x i ee geschikt gekoze omgevig va a dicht bij f(a) kome te ligge. - Def. f(x) is cotiu voor x = a, als a tot de defiitieverzamelig va f behoort e als er bij iedere E > O ee omgevig va a bestaat, zo-

25 I. 0 I. dat voor alle geoorloofde x i die omgevig geldt lf(x) - f(a)l < E. Let wel, dat de restrictie x f a u iet optreedt, omdat voor x = a automatisch aa de ogelijkheid is voldaa! Ee vergelijkig met de defiitie va limiet op pag..5 levert de Stellig. Stel elke omgevig va a bevat geoorloofde waarde x f a va de fuctie f(x). De fuctie f(x) is precies da cotiu i a als lim x - a De betrekkig l i m x-a waarde vervuld moete zij:. lim f(x) bestaat (likerlid is gedefiieerd). x-a. a is ee geoorloofde waarde (rechterlid is gedefiieerd). f(x) = f(a f(x) = f(a) beteket daarbij, dat de volgede drie voor- 3. Likerlid = rechterlid.. u y = is iet cotiu voor x = O, wat lim f(x) bestaat iet. O < X < l :f(x)=x G X G Z :f(x)=0 wat f() = O e lim x- is iet cotiu voor x =, f(x) bestaat iet. (N.B. Wel geldt lim f(x) = O e lim f(x) ='I) x l l X T I - Dei. Ee fuctie, die cotiu is voor al haar geoorloofde waarde, heet cotiu. q! u y = x is cotiu. Te bewijze is, dat lim x- a x = a. Dit is triviaal, wat om Ix-al < E te krijge moet me I x - < E eme, hetgee de omgevig a - E < x < + E va is.

26 . 3. u y = x is cotiu Te bewijze is, dat lim x = a. Aa x x-a - a I < E is voldaa, als < x < G, hetgee ee om,yevig va a is. We geve ook og ee ader bewijs. Neem voor het gemak a O. Weges 3 3 lx - a I = Ix-al lx +ax+a I volgt, ais wij alvast x < Za eme, dat 3 3 lx -a I ~ 7 a Ix-al. E 3 Als wij verder Ix - al < - eme, da is /x - a3 < E. 7a Hieruit volgt de bewerig. y = si x is cotiu. Te bewijze is, dat lim si x = si a. Uit x-a Isi x - si al = lsi +(x-a)l /cos +(x+a)l < /x - a/ zie wij, dat Isi x - si al < E als lx - al < E. b. Merk op dat hier gebruik gemaakt is va Isi hl heid die uit ee plaatje is beweze. lhl, ee ogelijk- b X Stellig De fucties x, log x,, de goiometrische e de cyclometrische fucties zij cotiu overal waar zij zij gedefiieerd. Ee bewijs ka bij de huidige opzet iet worde gegeve. De fucties, die u meetkudig of bij overleverig zij gegeve, zoude da beter moete worde gedefiieerd. (Schets de grafiek va deze fucties.) Stellig Stel f(x) e g(x) zij cotiu voor x = a e gedefiieerd i ee omgevig va a. Da zij ook de volgede fucties cotiu i a: a) f(x) + g(d; b) f(x). g(x); d) h(g(x)) mits h(y) cotiu is i g(a) e gedefiieerd i ee omgevig va g(a).

27 I.;';' Bewi,js De bewijze va a), b), c) verlope aaloog als op pag. l..lg,l'(. d) lh(g(x)) - h(g(a)) < E als g(x) i ee voldoed kleie omgevig va g(a) ligt, d.w.z. als Ig(x) - g(a)i < 6. Aa deze laa.lste ogelijkhoid is weges de cotiuiteit va g weer voldaa als x i ee voldoede kleie omgevig va a ligt. a. Eveals d) bewijst me: Stel f(y) is cotiu voor y = gevig va lim g(x). x-a lim g(x) e gedefiieerd i ee om- X-a Da geldt Iim f(g(x)) = i( lim g(x)). x -+ a x-a log(arcsi(x-)). f(x) = 7 is 'cotiu voor < x c 5. 3 lim - x x-' x - 3 x - - Vb. 8 lim -. x = i s iet geoorloofd, dus de fuctie is iet x+l x - cotiu voor x =. Deel u teller e oemer door (x-); dat mag omdat x i I. De opgave wordt dus 3 lim - x - - lii x +xi x- x - x-i x+l De laatste limiet is ', verkrege door x = i te vulle i de ieuwe fuctie, die voor x = cotiu is. lim si x si x COS~X = lim - lim cos x =. ta x si x x- o x- o x- o Voor de oorsprokelijke fuctie is x = O iet geoorloofd. Na delig wordt ee fuctie verkrege, die wel cotiu is voor x = O. Vb.lO lir x- o x' +lx - 8 bestaat iet. X Als lim f(x) bestaat, maar a ee getal is dat iet i de defiitieveraax-a melig va f ligt, ka me de fuctie cotiu voortzette i al d.w.z.

28 I. 3 ee fuctie defiiëre door g(x) = f(x) voor x f a e g(a) = Deze fuctie g is da cotiu voor x = a e heet de cotiue voortzettig va f i a. Zo is (zie Vb. 8) de fuctie g gedefiieerd door 3 x - g(x) = - voor x f I x - exf-i lim x-a f(x). cotiu voor x = H. Ee stadaardlimiet lim - si x -. X x-o Bewi,js Uit ee meetkudige figuur leze wij de volgede belagrijke ogelijkheid af si x < x < ta x (voor O < x <:). Hieruit volgt I<-<si x X cos x welke ogelijkheid ook voor - - < x < O geldt. Uit de cotiuïteit va cos x voor x = O e uit de isluitstellig volgt het gevraagde. -cos x si TX = lim Vb. lim = lir x-o x x-' O X.'. X lim dl +x-i x = lim = lim si x si x * x- O x - o G X + ( G x + ). si x x- o -_ - 4 omdat O S Ix si - S I X I. X

29 i u lim (I - x) ta(: x). x- Substitueer x - = t, da + lim - t ta(- t + -) = lim t cot t = lir.- ta z t t - O t - O t - O = Ekele belagri,ike stellige A. I het vervolg basere wij os op de volgede eigeschap der reële getal- le ("biaire fuik") : II Ee oeidige rij geslote itervalle, waarbij elk de liker of rechterhelft is va het voorafgaade, bevat precies éé reëel getal. B. StelliD va Bolzao (I78-848) I f(x) cotiu op a < x S b f(a) < O, f(b) > O * Er is ee 5 met a < 5 < b,waarvoor f(5) = O. ( a +bl,) > O, de rechter als f( +b, ) < O. Pas deze de likerhelft als f procedure opieuw op het iterval [ a,b toe, ezovoort. : Tezij ee vm de waarde f ia ') = O is, "gaat de fuik dicht" e bie alle itervalle ligt éé getal L. Ware f(s) > O da zou f(x) i ee omgevig va E positief moete zij (aaloog voor f(t)< O), terwijl steeds f(a,) < O, f(b) > O. DUS f(5) = O. Bewi,js Halveer [a,bl = [al,b,]; eem, tezij f = O, voor [a,b I deze stellig ka de voorwaarde, dat f(x) cotiu is, iet worde ge- mist. - Vb. f(x) = -3 op O xg. (x) = 3 op x-(. u f (x)=; op - I < X < O e O < X S I. Me ka ee iet te rare oppervlakte door ee horizotale lij i twee gelijke dele verdele. Immers zij x de hoogte va de rechte e zij y = de oppervlakte bove mius de oppervlakte oder de

30 C. - Def. rechte. Da y = f(x) e als deze fuctie cotiu is, da i s vol- ges Bolzao erges f(x) = O, omdat f(groot) < O e f(kei) > O. Ee fuctie f(x) heet begresd op ee iterval als er ee getal M bestaat, zodat /f(x) G M voor alle geoorloofde x i I. Ee cotiue fuctie hoeft op zij defiitieverzamelig iet bel gresd te zij; bijv. y = - op het (iet geslote!) iterval O<X<l. X Stellig Als f(x) cotiu is op a < x G b, da is f(x) daar begresd. Bewi,js (uit het ogerijmde). Stel f(x) is iet begresd e halveer [a,b] = [al,b. f ka iet op beide helfte begresd zij. Neem als [a,b] de likerhelft als f daarop obegresd is, e aders de rechter- helft. Pas deze procedure opieuw toe op [a,b ], ezovoort. De rij iter- valle bevat éé getal E,. Da is f(e,) - < f(x) < f(5) + voor alle ge- oorloofde x i ee voldoed kleie omgevig I va < e dus f(x) begresd op I. Aderzijds is voor voldoed grote [a,b] bevat i I e f(x) obegresd op [a,,b ]. Deze tegespraak toot aa dat de veroderstellig, dat f(x) obegresd is, ohoudbaar is. D. Hoofdstelliis over ri,je. Het getal e. Ee rij is ee fuctie e daarom zij de begrippe mootoo stijged e mootoo daled voor fucties (zie 5. E) ook op rije va toepassig. Ee rij a,a.,... heet mootoo stijged, als uit m < volgt c( < a. m Klaarblijkelijk is hiervoor voldoede, dat a, < a+, voor alle. Ee rij alla,... is mootoo stijged, als a < voor alle. +i Aaloog: Ee rij al,ü,... is mootoo daled als a > OL voor alle. Eij ee mootoo stijgede rij wordt a steeds groter bij toeemede. Als we behalve groter worde ook gelijkblijve toelate, spreke we va mootoo iet-daled. Me ka dit voor willekeurige fucties formulere. Wij doe het allee voor rije: Ee rij a,a,... is mootoo iet-daled, als a s a+l voor alle. Aaloog: Ee rij al,a,... is mootoo iet-stiiued, als 0: a voor alle. tl Ee rij a,a,...is aar bove begresd, als er ee getal M bestaat, +i

31 :. 6 zodat a < M voor alle. Ee rij,,a,... is aar oder begresd, als er ee getal K bestaat, zodat a K voor alle. Hoofdstellig Elke mootoo iet-dalede rij a,,a,..., die aar bove begresd is, heeft ee limiet a, waarvoor geldt a >a voor alle. Elke mootoo iet-stijgede rij al,a,..., die aar oder begresd is, heeft ee limiet a, waarvoor geldt a ca voor alle. ri Als de rij stijged is geldt zelfs a > a (immers a a + i a). Als de rij daled is geldt zelfs a < a (immers a S a ii < a). Bewijs Stel al u s... < ük <... < p. Halveer [a,,pi = [a,,b,]. Neem voor [a,b de likerhelft, tezij ee ai i de rechterhelft ligt. [a,b] bevat da alle a vaaf ee zekere i.dex. Pas deze procedure o p k ieuw op [a,b toe, ezovoort. Da ligt éé put a i alle itervalle. Zou u ee zekere a. > a zij, da zou elk iterval [a,b behalve a ook, ee ak a. bevatte e b -a 3 a - ü. - CI = p > O moete zij, o- k claks het herhaalde halvere der itervalle. a.t ka iet. Dus zjj alle a. s a Maar voor ee voldoed groot gekoze geldt wel a - E C a S a, hoe klei E ook is, e daarom voor alle k vaaf ee zekere idex a - E < a s a.c. a. C.W.Z. lim a = a. k k k-m Het bewijs voor ee mootoo iet-stijgede rij a,,a is aaloog. - Vb., -,, -I,... is iet mootoo, is wel begresd, heeft gee - Vb.,,3,4,... u T ,... limiet. is iet begresd, is wel mootoo, heeft gee (eidige) limiet. is begresd e mootoo stijged, dus heeft ee limiet, l.. De rij w, met a >, is mootoo daled e aar oder begresd, dus heeft ee limiet, l..

32 De rij (c/a - I), met a >, is aar oder begresd e mootoo daled. Teeide de mootoie te demostrere tekee wij de gra- X fiek va y = a. w ij oeme deze fuctie de expoetiële fuctie of de groeifuctie (everedige groei, samegestelde iterest), x+ X omdat a = aa. Door (0,l) trekke wij de koorde aar resp. Op de verticaal door E = (,I ) bepale deze koorde de stukke A~E = a - I; A E = z(já - I );...; A E = ( s De pute A,A,...,A,... - i);.... adere tot het sijput B va de ver- ticaal met de raaklij i (0,l). De rij (K - ) daalt mootoo aar de limiet b. Dit getal b, de richtigscoëfficiët va de raaklij aa de grafiek i (O,I), hagt op cotiue e mootoo stijgede wijze af va a. Voor a = blijkt b < l (beaderd b = O,7). Voor a = 4 blijkt b > (beaderd b =,4). Volges de stellig va Bolzao is er ee (e weges de mootoie slechts ee) getal a, waarvoor de hellig b =. Dit getal oeme wij het getal e (zie appedix I). Voor dit getal geldt Later zulle wij zelfs bewijze dat e = lim (I + -). +m De rij levert da ; e =.5; 4 7 e = O00 =.37;.00 =.78 II e is de waarde va a waarvoor de grafiek va ax i (O,Il ee raakli,j met richtigscoëfficiët = heeft. u De rij bestaade uit de getalle a =++- +i+...+!,waari! = ,! 3. luidt:

33 a, = a* = a +I = + 0,s =,5 i! a = a + -,5 i 3 3! 0,6667 =,66667 a =u. +-N 4 3 4!, ,0467 =,70834 a5 = a4 +-N, ,0083 =,7667 5! a6 = a +,7667 t 0,OOljg =, Dat de rij mootoo stijgt, is triviaal. Dat de rij begresd is, volgt uit =+[-(~)<3. Dus lim a bestaat e =, Later zal bli,]ke dat deze -m limiet het getal e va Vb. 5 is.

34 . HOOFDSTUK Iï Nl~ INISESIMAALREKENING $. Afgeleide - Def. Als x-a lim f(x) - fis' bestaat, da heet f(x) differetieerbaar voor x - a - x = a. De limiet heet de afgeleide voor x = a; otatie: f (a). Als de afgeleide voor alle geoorloofde x bestaat, heet f(x) differe- 8 tieerbaar; de afgeleide f (x) is weer ee uctie va x. Stelt me x = a + h, h = x - a, da ka me voor de afgeleide ook schrijve: () lim h-o f(a+h) - f(a) h Eet bestaa va de afgeleide ka ook zo worde uitgedrukt, dat als fuctie va h cotiu ka worde Voortgezet voor h = O. f(a+h) - f(a) h We zegge dat f(x) lieair beaderbaar is voor x = a idie er ee costate A e ee fuctie p(h), gedefiieerd i ee omgevig va h = O, bestaa met de eigeschappe: f(a+h) = f(a) +Ah + hp(h) () lii p(h) = O. [h- 0 Ce volgede stellig drukt uit dat lieaire beaderbaarheid gelijkwaardig is met differetieerbaarheid. Stellig Als f(x) lieair beaderbaar is voor x = a door f(a) + Ah, da is f(x) differetieerbaar voor x = a e f (a) = A. Als f(x) differetieerbaar is voor x = a, da is f(x) lieair beaderbaar voor x = a door f(a) + f (a)h. Eewijs Als () gegeve is, da heeft f(a+h) - f(a = A + p(h) ee limiet h voor h -, O, l. A. Omgekeerd: bestaat () iet waarde f (a), da geldt:, terwijl:

35 Stellig Als f(x) difieretieerhaar is voox x = a, aa is (x) cotit v«or x = a. Bewi;is lim f(x) = lim f(a+h) = lim [f(a)+hf'(a)+hp(h)] = x-a h-o h-o = f(a)+o.i'(a)+~.~ = f(a). m. Er zij fucties, die wel cotiu, maar iet differetieerbaar zij. u f(x) = x. lim h- O f(a+h) - f(a = lim I h h -> O h a+h' - ja' = i als a > O - als a < O. Als a = O, da bestaat lim h- O cotiu voor x = O. hd iet; de fuctie is echter wel h Meetkudige iterpretatie: I. f(x) - = ta 'p is de richtigscoëfficiët va de koorde tusse de x-a pute (a,f(a)) e (x,f(x)) va de gra iek. f'(a) = ta a is de richtigscoëfficiët va de raaklij i het put (a:f(a)) aa de grafiek. A ~ S fl(a) > O, da ta a > O, aus O < a < -. BIS ff(a) < O, da ta a: < O, dus - - < CI < O. ~ ì flia) s = O, da ta a = O, aus a = O.. De lieaire beaderig va f(x) = f(a+x-a) door f(a)+(x-a)fl(a) is dus ee beaderig va de grafiek va y = f(x) door de raaklij i (a,f(a)) waarva immers de vergelijkig is: y = f(a) + (x - a)fl(a). De afgeleide wordt ook i de defiitie va zeer vele atuurkudige e techische begrippe gebruikt.

36 VI). Mechaica. Sij (!e bewegig s = f(t) is de &emidd.elde seltieiti ov(~i het tijdvak [to,to + hl per defiitie - [f(to + h) - f(to)]. h Bij eepari(: verselde bewegig, s = v o t z gt, is selheid = vfl(t+h) +*g(t+h)'-vt - ~ g t 0.im h -' O h O = v +ct. u Uitzetti:?scoëff. va ee staaf. Zij de legte va ee st,aaf bij ul. grade L( 0) e bij T grade L = L(T). De mate va uitzettig bij temperatuur T wordt aagegeve door l i m 7-0 L(T+T) - L(T~ 7 3 dit heeft de dhesie va legte gedeeld door temperatuur. De uitzetti.~scoci'i'iciët bij temperatuur T is Vloeistof i ee buis. De druk p is ee fuctie va de plaats i de buis: p = p(x). Het drukverval lags de buis is de veraderig va de x+h) - p(xl druk per legte-eeheid = lir 9' h h- O Soorteli.ike warmte. Als Q(T) de warmte is, odig om ee eeheid va massa va temperatuur Go op temperatuur T te brege, da is Q(T) - Q(T,) de warmte 0di.g om de temperatuur va T op T te bre- ge. De liiiet va de gemiddelde beodigde warmte is de soortelijke warmte bij temperatuur T, e wordt gegeve door iirii Q' T-. o T+T) - Q(T 7 I alle voorbeelde is a.ageome dat de limiet bestaat.

37 . De techiek va he.l differetiëre A. Regels va LeibkL (646-76) Gegeve i s dat f(x) e g(x) differeti.eerbaar zij voor x = a, dus: f(a+h) = f(a) + hf'(a) + hp(h) met p(h) -' O a.s h -> O. g(a jh) = g(a) + hgt(a) + b(h) mei; o(h) -' O al: h - o. Nu gelde de volgede regels:. (x) + g(x) heeft i x = a de afgeleide fl(a) + gt(a). Kortweg: (f +g)' = f' + g'. Bewi,is: f(a+h) + g(a+h) = f(a) + g(a) + h(f'(a) + g'(a)) + hdh), met.i(h) = p(h) + o(h) e dus T(h) -, O als h -> O.. (x)g(x) heeft i x = a de afgeleide f'(a)g(a) + f(a)g'(a). Kortweg: (fg)' = f'g + fg'. Bewijs: f(a+h)g(a+h) = f(a)g(a) + h(f'(a)g(a) + f(a)g'(a)) + ht(h), met 7(h) = h(f'(a) + p(h))(g'(a) + o(h)) + p(h)g(a) + o(h)f(a) + O als h-+ O. 3. Gevolge : (cf)' = cf' (c costat), wat c' = O. (Af+kg)' = Af'fpg' (A e p costat), i het bijzoder (f -g)'=f'-g'. (fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'. & heeft, its f(a) f O, i x = a de afgeleide - \' Kortweg: ($) f' = --. f u f(a) met T(h) = hf'(a)(f'(a) + p(h)) - p(h)f(al_ f(a)f(a + h) hu f(a) 'ft;t- ' + ht(h), O als h -> O. (N.B. f(a+h) f O voor h i ee omgevig va h = O.) Gevolg:

38 - 4. Kettimeisel voor samegestelde ucties Gegeve: f(x) is difieretieerbaar voor x = a e q(u) is differetiëer- baar voor u = b = f(a). q(f(x)) Da geldt: heeft i x = a de afgeleide q'(b)f!(a). Bewi,js: Stel q(b+k) = q(b) + kyp'(b) + ko(i:) met o(k) - O Nu is: y(f(ath)) = rp(b+hf'(a) + hp(h)) = q(b) + hq'(b)f'(a) + h-c(h) met ~(h) = qj(b)p(h) + (ft(a) + p(h))o(hf'(a) t hp(h)) - O 3 Voorbeeld Bij q(u) = u vidt me voor de afgeleide va 'g(f(x)) = (f(x)) 3 i. x = a: S(î(a))'îl(a). 5. Iverse fuctie Als y = f(x) voor a als k -a O. als h -' O. x < b differetieerbaar is met fl(x) f O e ee iverse fuctie x = q(y) heeft, da is V(y) differetieerbaar met af- geleide Bewi.js: Voor x met a < x, < b geldt f(xo t h) = f(xo) t hf'(x,) o Voor voldoed kleie h heeft fl(xo) + p(h) het teke va fl(xo). Stel bijvoorbeeld fl(x,) + P(h) a c > O als Ihl B, da is f(xo - a) < f(x,) = y, < f(xo t 6). + bp(h) Bij elke y, i f(xo - b) <y, < f(xo + 6) is er precies éé x, met y, = f(x ). Nu is voor zo' y, : Y, - Y, = f(x,) - f(xo) = (Xi - x,)[f'(x,) + P(Xl.,)I, e ft(xo) + p(x, - xo) f O. Als u y -y,, We hebbe echter: da gaat ook ~(y,) = x, - x O dy) - dy0) x, - xo - y - yo idie y - y,. = ~(y,). - y, - yo fl(x O ) + p(xl - xo) -.ia; OJJ. Deze regel is i overeestemmig met de kettigregel: qp(f(x)) = x geeft y'(f(x))fl(x) =. îl(x) = I. Ook de meetkudige betekeis is duidelijk: de raaklij aa de grafiek i (x ) maakt complemetaire hoeke met x- e y-as, o 'Yo f'(x ) = ta a, q'(y ) = ta(- - a ) = ~ O O ta a - f'(x,t.

39 B. Dc clerc.i;a-i.re fu,- 6. y = si x; y' = cos x. 7. y = cos x; y' = - si x. 8. y = ta x; y' = - cos x 9. y = cot x; y' = -- si x cos x + si x cos x 0. y = arcsi x; y' = K- voor - -= x<. Bewijs: y = arcsi x is iverse fuctie va x = si y voor -*<y&. Y' :=- - f--7 cos y - si y - x voor -+ cy<-,. = i 7. y = arccos x (-I c x < I); y' = - 4 -x. y = arcta x; y' = +X. voor'- x <, omdat cos y i 0, wat arccos x =.3,, ir - ~r~!~;ix, & Bewijs: y = arcta x is iverse fuctie va x = ta y voor - + < y c. y' = 30s y = Ittay - l + x -i 5. y = x ( geheel); y' = x Bewiis: a ) > ~, y = x =x.x...x; -i y' = x'. x...x + x. x'... x t... + x. x...x' = x (herhaalde toepassig va. ) h ) < ~, = - p, p > ~, x # ~, y = - ; P X (toepassig va 3. )

40 X. X 4.y=e;yi-e. X De groeifimctie (ook expoetiële fuctie geoemd) y = a steiler aarmate a groter is. Voor éé waarde va a, die wij op blz..7 het getal o oemde, zal de grafiel: de y-as oder ee hoek. X. /4 sijde. Voor de i:uctie y = e geldt (ius y'(0) = I. De afgeleide voor willekeurige x volgt uit y'(x) = lii h-o x+h x e -e X e h -- I X X h = e lim li - i' y'(0) = e. h-o verloop y- Afsi,raak Voortaa zulle wij e als grodtal der logarithme eme, waeer er iets bijstaat. De logarithme met grodtal e hete atuurlijke of eperiaase logarithme aar Napier (550-67).

41 ;I,- IO. y = xa (x > O, a reëel, costat); y' = 3x Er geldt dus a a log x x =e a log x 5 - a log x -log x (a-i )log x a-i y' = e - ae e = ae = ax X (De regels 3 e 8 zij gelijkluided; het verschil is dat x voor a x < O e gehele wel gedefiiëerd is, terwijl dat voor x met x < O e a reëel i het algemee iet het geval is.) Bewi,js: W i j bewijze de tweede formule, waaruit de eerste volgt. x is wille- lceiirig maar vast. lim ( + 9 = iog(l + X) lim e = lim e -m -> m -m Stel x/ = h, da komt er log( + X) - log x.x lim h- O log(l+h) - log. x. lim.x h h -> O e = e log.(l+h) - log h De limiet heeft de waarde, wat hij is juist de afgeleide va de logarithme voor x =. Voorbeelde - Vb. - TI y = cos x + cos6 ; y' = - si x. ta x tax - Vb. y = e ; y' = e cos x u y = iog[arcta(x )I; y' = arcta x 3 3 ' 6 + x - - x - x3 + x _-. 3x. _- --x

42 y = lot:[x +{i+,]; y' = x t v + Xe ". [I t 7 ( t xz)-". x = L u y = log x. - Vb. 8 x x log x x log x y = x =e ; y' = e ( + log x). y = arctam ' I I.J_, - x.'; (l-x")-". (-4 X +- -x - x - x x =f-t -x = VX \i w. Dit atwoord krijgt me ook bij het differetiëre va y = arcsi xi ) I ee coisch vat stroomt water met ee costate selheid. Hoogte vat = b = 3 m straal bovecirkel = a = 4 m 3 selheid = s = m per miuut. Gevraagd wordt de selheid, waarmee de waterspiegel stijgt, op het momet dat de hoogte h va het water m is. ) begexec zij a, b, s, e op ee bepaald momet h. - Gexrsagd wordt de stijgselheid, i.e. de afgeleide va de hoogte h op het bepaalde momet, e wel de afgeleide va h aar de tijd t. Gevraagd is dus h'(t) uit te drukke i a, b, s, h. 3) s = V(t) met V = volume water te tijde t. De vraag is dus h' uit te drukke i a, b, V', h.

43 ..0 4) Nu zij V e oderlig afhakelijk, l. als x de straal va de waterspiegel j 3: Differetieer aar t, da V' =-h' a h b e hiermee is h' uit te drukke i a, b, V' e h. 5) Vul de speciale waarde i: =.6.î 9 h', dus h' = m/mi. 3. Extrema - Def. fix) heeft ee maximum voor x = c, als f(x) S f(c) voor alle geoorl.oofde x. f(x) heeft ee locaal maximum voor x = c, als er ee omgevi:: va c bestaat, zodat voor alle geoorloofde x i die omgevig geldt f(x) zs f(c). Opm. Aaloge defiities gelde voor miimum e locaal miimum. I plaats va locaal maximum zegt me ook wel relatief maximum, i plaats va globaal maximum absoluut maximum. stellig va Weierstrass (85-897) Als f(x) cotiu is op a G x G b,da is er ee 5 met a G L < b zodat f(e,) >- f(y) voor elke y i a 4 y G b, m.a.w. f(x) is maximaal i E,. (Evezo is er ee q met a G q G b waar f(x) miimaal is.)

44 . Bcw.i..is: We passe dc stellig va de "biair0 I'irik" toe (blz..4). Verdeel hei iterval 3 c. x S b i twee helfte ( i j l. I (a + b) < x < b). Li,D i de rechterhelft ee pu, a G x c '.!i (a + b); waar de waarde va f (x) Gro.ter is da alle waarde va f(x) i de likerheli'%, da kieze we de recli-terhelft, aders kieze we de likerhelft. (Als f(x) ee maximum ZOIJ heb- be i x = % (a+b), kieze we dus het liker itervd.) We hebbe zo ee helft va het iterval {Tekoze met de eigeschap clal; f(x) i deze helít waar- de aaeemt, die zij da alle waarde buite het gekoze deeliterval. Verdeel u het gekoze iterval i twee helrte e kies volges hetzelfde procédé ee va de twee helfte. Herhaal dit. We verkrijge zo ee fuj.k va itervalle met de eigeschap dat i elk iterval piite ligge waar de waaie va f(x) >- is da alle waarde buite dat iterval. De fuik trekt zich same rod ee put waar de fiictie f(x) ee maximum heeft. Opm. Het iterval moet zij eidpute bevatte, aders behoeft er gee Opm. maximum te bestaa, zoals blijkt uit f(x) = - op O < x G I. De eis dat f(x) cotiiiu is behoort erbij, arders behoeft er gee maximum te bestaa, zoals blijkt uit hei; volgede voorbeeld. Op O < x < is f(x) gedefiieerd door f(x) = x als x irratioaal i.; f(x) = + als x ratioaal is. Ook de fuctie g(x), gedefiieerd door g(x) = x (O heeft op O G x< gee maximum. Opm. 3 L behoeft iet het eige getal op a X x < ); g() = O b te zij, waar f(x) maxi- maal is. Ook ka het maximum op de rad worde aageome. Opm. 4 Wij zulle ee uitbreidig va deze stellig voor'fucties va meer da éé variabele vaak gebruike. Stellig (Fermat, ) Stel f(x) is voor a < x < b differetieerbaar e f(x) heeft ee locaal maximum voor x = c, (a < c < b). Da is fl(c) = O. Bewijs: Uit f(cth) - f(c) h - f(cl < 0 voor h > 0 e O voor h> O e h < O volgt h - f(c)> O voor h< O. -?. De limiet va het quotiët bestaat, e ie i beide gevalle f'(c) t Dus f'(c) < O e fl(c) O, dus ft(c) = O.

45 . h. Ee overeekomstige stellig geldt voor ee locaal miimum va f(x). Stellig va het gemiddelde Als f(x) çotiu is voor a S x < b e differetieerbaar voor a < x < b, da is er ee 5 met a < E, < b zodat f(b) - f(a b - a = f!(e) Er bestaat dus ee put waar de raaklij aa y = f(x) evewijdig is aa de koorde die (a, f(a)) e (b, f(b)) verbidt. (Er kue uiteraard meerdere pute bestaa met deze eigeschap!) Bewi.js: Noem Dm g(x) = f(x) - x-a [f(b) -'f(a)l. g(b) = f(a) e g(a) = f(a) dus g(b) = g(a) e Volges Weierstrass is er ee E, waar g(x) ee maximum e ee q, waar g(x) ee miimum heeft. Als t = q, is g(x) costat, dus g'(x) = O voor alle x. Als g(x) iet costat is, volgt uit g(a) = g(b), dat va 5 e q er mistes éé f a e f b is, bijv. 5. Volges Femat is da g'(e) = O. Daar geldt dus Gevolg Als f'(x) > O voor alle x i ee iterval, da is f(x) mootoo stij- ged i dat iterval. Bewi,js: Stel dat f(x) iet mootoo stijged is, da bestaa er x waarvoor x, < x e i (xi ) f (x ), dus f(q - f(x, ) s O, dus er is ee L waarvoor ît(t) O, x - x e x Gevol Als f!(x) < O voor alle x i ee iterval, da is f(x) mootoo daled i dat iterval.

46 .5 Gevolg Als f'(x) = O voor alle x i ee iterval, da is f(x) costat i dat iterval. X O y ++?++O y' + +? o+ + Voor x = bereikt de fuctie ee miimum, daar f(x) afeemt voor x < e toeeemt voor x > e cotiu is voor x =. u Schetsy = (x-) (x+i)~. Uit y' = (~-)(x+)~(5x-) volgt X - - Y 5 -- o+++++()++ y' ++o ++o - - o + +. Bij x = - treedt gee extreem op, bij x = - ee locaal maximum (groot 456 M,l),bij x = ee locaal miimum Schets y = x - Merk op dat steeds y < x behalve voor x = O. = '&? (s- 3). 5

47 .4 X O 8 7 y - - O ( ) + + y' + t? - - O , Voor x = O heeft f(x) ee extremum omdat f'(x) daar va teke wisselt (hoewel f'(0) iet gedefiieerd is); voor x = O heeft f(x) ee maximum, voor x = 8 ee miimum (grootte = - 4). u Gevraagd die kegel, met grodcirkel op ee gegeve boloppervlak e top i het middelput va de bol, die de grootste ihoud heeft. m. Neem de straal va de bol =. Neem de hoogte h va de kegel als oafiakelijke variabele, da is I = - h. r' = - &(I -hz), geoorloofd: O 5 h s. h 3 3 I' = - 7t - h'. Voor h = 6 is I maximaal weges I ' + O - u Gegeve is de grafiek va y = f(x). Gevraagd de vergelijkige va de raaklij e de ormaal i het put P(xo,f(xo)) va de kromme. Schrijf: f(xo) = yo. a. De vergelijkig va ee willekeurige rechte door P is: y -yo = c(x-x ). O (De rechte x = x die ook door P gaat beschouwe we verder iet; deze O' heeft i P de ormaal y = y,, ) De richtigscoëfficiët va de raaklij i P is ta a = f'(x,), de raaklij heeft de vergelijkig Y - Yo = f'(xo)(x-xo) * De richtigscoëfficiët va de omaal i P is ta p = - l/ta a = - l/fl( "0 Vergelijkig ormaal: y - y = - 7) ( x - x0 ). O "0 We gebruike u oze keis va de samehag tusse het teke va de afgeleide e mootoie va ee fuctie voor de berekeig va eige stadaardlimiete.. dus

48 ~.5 Beschouw f(x) = xpe-x voor x > O (p > O costat). fl(x) -x = pxp-'e-x - = - e (p - x). Dus f'(x) < O voor x > p, dus f(x) is mootoo daled voor x > p. Vervagt me p door p, da vidt me p -x x e mootoo daled voor x > p e cotiu voor x = p, xpe-x < (p)pe-p voor x >- a, Laat u x -, m. De isluitstellig levert da: lim - = O, hetgee ookjuistis voor p < O. X x--e Beschouw u u (q > O costat) e stel t = q log x, x = e t/q X 9 - da correspodeert x + met t -* e -gx -- - t X qe, dus lim X'r x 9 = o. We vide als resultaat twee stadaardlimiete xp lim (p costat) X X-- e =o (p costat > O). lim x-= xp - X De fucties log x, (p > O costat), e gaa alle aar voor x -. m, gaat vlugger aar m, aarmate p groter is. Verder gaat log x lagzaam X aar m, gaat vlugger, zelfs als p klei positief is; e gaat vlugger da, zelfs ais p groot is.