TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN. Afdeling Algemene Wetenschappen. Onderafdeling der Wiskunde. WISKUNDE 17 en 27. Syllabus van het college van

Transcriptie

1 TECHNSCHE HOGESCHOOL ENDHOVEN Afdelig Algemee Weteschappe Oderafdelig der Wiskude WSKUNDE 17 e 7 Syllabus va het college va Prof. Dr. S.T.M. Ackermas voor eerstejaarsstudete va de afdelig Bouwkude Cursusjaar

2 ~ Techische Hogeschool Eidhove Oderafdelig der Wiskude Wiskude 17 e 7 Syllabus va het college voor eerstejaarsstudete va de afdelig Bouwkude. Dictaatr..57 Prijs f 9, 00

3 Oderafdelig der Wiskude WSKUNDE 17 EN 7 Syllabus va het college va Prof.dr. S.T.M. Ackermas voor eerstejaarsstudete va de afdelig Bouwkude, gegeve i het cursusjaar Typewerk: Mej. Th.J.M. va de Hurk Mevr. H.K. va der Put'te-Bosscher

4 houd Hoofdstuk. Bouwstee der wiskude l.. Verzamelige 1.. Getalle. 3. Afstad 1.4. Afbeeldige Hoofdstuk. De grodbegrippe va de aalyse.. Limiete.. CotiuÏteit.3. Differetieerbaarheid Hoofdstuk 3. tegraalrekeig 3.. De bepaalde itegraal 3.. De hoofdstellig der itegraalrekeig; obepaalde itegrale 3.3. Epoetiële e logarithmische fucties 3.4. Oeigelijke itegrale 3.5. Opmerkige over het berekee va itegrale Hoofdstuk 4. Toepassige 4.. Etrema 4.. Differetiaalvergelijkige Hoofdstuk 5. Uitbreidig va de differetiaalrekeig 5.1. Hogere afgeleide 5.. De betekeis va de tweede afgeleide 5.3. Differetiaalvergelijkige (vervolg) Hoofdstuk 6. Fucties va meer da éé veraderlijke 6.1. Hoogtekaart; cotiuïteit 6.. Differetieerbaarheid va fucties va twee veraderlijke 6.3. Toepassige va partieel differetiëre Hoofdstuk 7. Aavullede opmerkige over aalytische meetkude 7.1. Parametervoorstellige 7.. CoÖrdiate blz l~

5 houd (vervolg) Hoofdstuk 8. Uitbreidig va de itegraalrekeig 8.1. Meervoudige itegrale 8.. Herhaalde itegrale 8.3. Ekele formules voor legte e oppervlakte blz Hoofdstuk 9. Reekse Covergetie Reekse met uitsluited iet-egatieve terme Absolute covergetie Machtreekse Numerieke berekeige 135 Hoofdstuk 10. Reeksotwikkelige De formules va Taylor e MacLauri 10.. Toepassig op limiete Numerieke berekeige (vervolg) Machtreekssubstitutie i differetiaalvergelijkige Hoofdstuk 11. teratiemethode De methode va Newto 11.. Cotracties De methode va Picard H~ofdstuk 1. Fourierreekse 1.1. Fouriercoëfficiëte 1.. Fourierreekse met periode Siusreekse, cosiusreekse 1.4. Het isoperimetrisch probleem Aahagsel. Het telle va verzamelige e afbeeldige Formulelijst tetame wiskude

6 Hoofdstuk. Bouwstee der Wiskude.!.1 Verzamelige. ee modere opbouw va de wiskude eemt het begrip verzamelig ee cetrale plaats i. Wat verzamelige zij is iederee ituitief mi of meer beked. We volstaa met ekele kattekeige bij dit ituitieve begrip. Verzamelige bestaa uit elemete. Als we alle elemete va ee verzamelig V kee, is V daardoor volledig bepaald; het is daarbij iet va belag hoe we de elemete aageve. "De verzamelig bestaade uit de getalle 1,,5 e 10" is dezelfde als "de verzamelig va de delers va 10". Als a ee elemet va ee verzamelig V is, otere we dit als: a EV. We zegge: "a behoort tot V", "a ligt i V". We geve met a f_ V aa dat a gee elemet va V is. Wezelijk begrepe i het begrip verzamelig is ook dat er verschil is tusse ee verzamelig e zij elemete. De verzamelig va de clubs speled i de eredivisie is zelf gee club. De verzamelig va de lede va de tweede kamerfractie va D66 is zelf gee lid va de kamer; hetzelfde geldt voor de verzamelig va de lede va de tweede kamerfractie va ee partij die slechts éé vertegewoordiger i de tweede kamer heeft. We zulle twee methodes gebruike om verzamelige aa te geve. De eerste is: alle elemete opschrijve tusse accolades e gescheide door komma's. Voorbeelde: {1,,5,10}; {{1,}}; deze laatste verzamelig heeft slechts éé elemet l. de verzamelig {1,}, dat is de verzamelig bestaade uit de getalle e. De verzamelige {} e{{!}} zij verschilled; dek hierbij aa het voorbeeld va de éémaskamerfractie. De u beschreve methode is erg ohadig als de verzamelig veel elemete bevat, e obruikbaar idie hij oeidig veel elemete bevat. We moete i deze gevalle oze toevlucht eme tot het gebruik va veraderlijke, em da de verzamelig karakterisere met ee of ader kemerk. Zo kue we de verzamelig va de miljoairs uit de gemeete Waalre otere als: { woot i Waalre, is miljoair}. Symbolisch kue we deze schrijfwijze dus aaduide als { P()}, waarbij P() staat voor het kemerk dat de verzamelig defiieert. Ter illustratie va bewerige uit de verzameligeleer gebruikt me vaak plaatjes waarbij iedere verzamelig voorgesteld wordt door het iwedige

7 - - va ee geslote krig op het blad papier. Zulke plaatjes hete Ve-diagrae: Als A de verzamelig va de iwoers va Waalre voorstelt e B die va de miljoairs, da stelt het gearceerde stukje i het bovestaade plaatje voor de verzamelig: { woot i Waalre, is miljoair}. We zulle i de rest va deze paragraaf ekele begrippe uit de verzameligeleer lere kee. Defiitie. Laat A e B verzamelige zij. Als ieder elemet va A ook elemet va B is da heet A deelverzamelig va B. Notatie A c B. We zegge ook: B omvat A, e schrijve B ~ A. Als voorbeeld geldt: De verzamelig va de iwoers va Velo c c de verzamelig va de iwoers va Limburg c c de verzamelig va de iwoers va Nederlad. Dezelfde gedachtegag die os de juistheid va de bewerige i dit voorbeeld laat izie leidt ook tot: De verzamelig va de kolemije i Velo c c de verzamelig va de kolemije i Limburg c c de verzamelig va de kolemije i Nederlad. Hieruit leze we twee dige: Het is verstadig geweest dat we het begrip deelverzamelig zo gedefiieerd hebbe dat voor elke verzamelig A geldt: A c A; we zulle er gemak va hebbe idie we ook zulle beschouwe de verzamelig die gee ekel elemet bevat. Deze laatste verzamelig oeme we de lege verzamelig. Hij wordt steeds geoteerd m.b.v. de scadiavische letter 0. Ook bij het opschrijve va verzamelige als: { woot i Vessem, is multimiljoair} hebbe we gemak va de lege verzamelig. Ook als de zojuist aagegeve verzamelig gee ekel elemet bevat, dus leeg is, is hij og wel ee verzamelig i os systeem, l. 0.

8 - 3 - elke beschouwig waari we verzamelige gebruike, zij steeds alle voorkomede verzamelige deelverzamelig va ee vaste verzamelig, die we het uiversum va die beschouwig oeme. s U het uiversum, A c U da heet { U, i A} het complemet va A, We otere het complemet va A als A * Defiitie. We beschouwe ee collectie deelverzamelige va ee uiversum U. De vereigig va de collectie is de deelverzamelig va U bestaade uit die elemete die i temiste éé verzamelig uit de collectie ligge. De doorsede va de collectie is de deelverzamelig va U bestaade uit die,elemete die tot elke verzamelig uit de collectie behore. De vereigig va de verzamelige A e B otere we A u B. De doorsede va de verzamelige A e B otere we A B u r ,u ,u gearceerd is: A * A u B A B Ee tweetal zeer belagrijke formules uit de verzameligeleer zij de volgede zg. wette va de Morga: (A B) * = A * u B * (A u B) * A * B * Twee verzamelige A e B waarvoor A B = 0 hete disjuct. We defiie.re ook A \ B = { A, ;. B}, A\ B heet verschil va A e B. u A A\B

9 - 4 -, Getalle. We gaa er va uit dat de verzamelig va de (reële)getalle- otatie Ros va de middelbare school beked is. We kue twee getalle steeds optelle, aftrekke e vermeigvuldige; we kue dele idie de oemer iet gelijk is aa 0. De getalle correspodere met de pute op ee rechte: de getallerechte. We kue va ieder getal ee, misschie iet afbrekede, decimale breuk opschrijve. Bekede deelverzamelige vair zij de verzameligln der atuurlijke getalle dat zij 1,,3,. ; de verzamelig 'G der gehele getalle: -3,-,-l,O,l,,3,,,, e de verzamelig Q der breuke met teller e oemer i G, de elemete va Q hete ratioale getalle, Uit de decimale otwikkelige zie we dat tusse elk tweetal reële getalle ee getal uit Q ligt. We drukke dit uit door te zegge dat de ratioale.getalle dicht ligge op de getallerechte. Toch zij er reële getalle die gee elemet va ~zij; Stellig. 1 t Q. Bewijs. Stel 1 E ~;! is zo' getal. da zou 1 =~met p E G, q < G, p e q gee gemeeq schappelijke factor (aders kode we de breuk vereevoudige). Nu is p = q, dus p eve, dus p eve dus p deelbaar door 4, dus q eve, dus q eve, tegespraak. De veroderstellig / E Q is dus ojuist e we hebbe beweze / {_ ~. De verzameligir is georded; dit blijkt l. uit het beeld op de getalle :rechte: als a, b E R da geldt óf a < b, of a = b, óf b < a. a ~ b beteket a < b of a b. Va belag zij de volgede eigeschappe: als a < b da is a+c < b+c als a < b e c > 0, da is ac < bc als a < b e c < 0, da is ac > bc als a < b e b < c, da is a < c. Va ieder reëel getal is gedefiieerd de absolute waarde (of modulus) door: [a[ := { a -a als a ;, 0 als a < 0

10 - 5 - (We gebruike := om aa te geve dat de grootheid staade aa de kat va de dubbele put gedefiieerd wordt als wat aa de adere zijde va het = teke staat), Voorbeelde: 151 = 5; l-31 = 3; a-b = { a-b als a ;, b b-a als a,; b Op de getallerechte stelt la-bi de afstad tusse a e b voor. Va de vele eigeschappe der modulus oeme we slechts: lal ;, 0; l-al = lal; la+bl,; la.bl = lal + lb ; a lb Bekede deelverzamelige va1r zij ook de zg. itervalle; we geve ee lijstje va de type e hu otaties: { a < < b} =: <a,b> { a,; < b} =: [a, b> { a <,; b} =: <a, b] { a,;,; b} =: [a, b] { a < } =: <a,oo> { a,; } =: [a,oo> { < b} =: <-oo,b> {,; b} =: <-oo,b]. De eerste 4 va deze itervalle hete begresd, de adere obegresd, ~a,b>, <a,oo> e <-oo,b> hete ope itervalle; [a,b], [a,oo> e <-oo,b] hete geslote itervalle. Merk op dat de bovestaade otaties iet betekee dat de symbole oo e -oo getalle aageve. Opgebouwd met de reële getalle is ook de verzamelig1r bestaade uit alle geordede pare va reële getalle. Ee paar (= tweetal) heet georded als we wete welke de eerste is e welke de tweede, (met de grootte-ordeig i R heeft dit iets te make), Als we het geordede paar bestaade uit als eerste e y als tweede getal otere als (,y) da hebbe we dus: R := {(,y) E 1R, y E JR}.

11 - 6 - Uit de aalytische meetkude wete we dat ~ teves beschouwd ka worde als de verzamelig va pute i het vlak met twee oderlig loodrechte coördiaatasse. Aaloog gebruike we~ 3 voor de verzamelig va alle geordede drietalle Va ree'"le getalle. lr 3 {( y ) [ ~ R =,, Z E.r., y E, Z E R}. 1R 3 kue we bebeschouwe als de verzamelig va pute i de ruimte. Het is gebruikelijk de drie oderlig loodrechte coördiaatasse zo te kieze als i oderstaade figuur is aagegeve. z V 3 ' '~ ( 1,1,3) \f:z ,(~) : > r-----~ ' 1/ )' / ~~ ~v, \. ".. 1 L_~,. 1.3 Afstad. Ee verzamelig met zij elemete zoder meer is og gee geschikt object voor wiskudige beschouwige. Wille we met vrucht wiskudige gedachte kue aawede, da moet er ee of ader verbad tusse de elemete bestaa. Ee va de wiskudig meest iteressate maiere waarop ee dergelijk verbad tusse de elemete va ee verzamelig gelegd ka worde is door het geve va ee zg. "afstad" tusse elk tweetal elemete. De voorbeelde waar we i eerste istatie mee zulle werke zij afstade i~, ~ elr 3 ; i de geest va de modere wiskude zulle we echter de defiitie algemee geve. Defiitie. Laat V ee.verzamelig zij. We zegge dat i V ee afstad gedefiieerd is, idie aa elk tweetal elemete p e q uit V ee getal d(p,q) is toegevoegd, waarbij deze toevoegig de volgede eigeschappe heeft:

12 - 7 - (al) (a) (a3) (a4) d(p,p) d(p,q) d(p,q) d(p,q) ~ 0; > 0 als p "' q; ~ d(q,p),; d(p,r) + d(r,q) (driehoeksogelijkheid). Het getal d(p,q) heet de afstad va p tot q. Ee verzamelig waari ee afstad gedefiieerd is heet ee metrische ruimte. We bekijke ekele voorbeelde:, Als we ir de afstad va tot y eme l-yl ~: d(,y) wordtirtot ee metrische ruimte.. R is d(( 1,y 1 ), (,y )) :~ l< - ) + (y -y ) ee afstad. (Dek aa 1 1 de stellig va Pythagoras). De afstad va twee pute is de legte va het verbidigslijstuk. 3. Evezo iir 3 : d((,y,z ), (,y,z )) := /c - ) + (y -y ) + (z -z ) Het volgede voorbeeld is iet va veel theoretisch belag; het ka echter diee om os duidelijk te make dat het begrip metrische ruimte veel meer omvat da de gebruikelijke voorbeelde 1, e 3, We deke aa ee stad gebouwd op ee groot aatal eiladjes, oderlig verbode door brugge. Als elemete va oze verzamelig S eme we de eiladjes waar de stad op gebouwd is. Als afstad tusse twee elemete va S, dus tusse twee eiladjes, eme we het kleiste aatal brugge dat me passere moet om va het ee eiladje aar het adere te kome. (We eme aa dat op de brugge tweerichtigsverkeer mogelijk is, aders komt a3 i gevaar). Merk op dat i dit voorbeeld de afstad tusse twee elemete steeds ee geheel getal is. metrische ruimte kue we u de "abijheidsstructuur" (de wiskudige term is "topologie"), bestudere, daarvoor diee we og wel eige begrippe i te voere. Defiitie. We beschouwe ee metrische ruimte V, waari we de afstad voorstelle door d(p,q). Laat ö ee positief getal zij. De ope bol met middelputpe straal ö, otatie B(p,ö), is gedefiieerd door: B(p,ö) := { E V, d(p,) < ö}, i worde: B(p,ö) is de verzamelig va alle pute waarva de afstad tot p kleier da ö is.

13 - 8 - Voorbeelde: R is B(a, S) = <a-s, a+ S>; iedere ope bol i lr is dus ee ope iterval; omgekeerd is ieder ope iterval ee verzamelig die we u.ope bolgeoemd hebbe, l. <a,b> = B(!(a+b),!lb-ai). R met de afstad uit voorbeeld geldt dat B((a,b),ö) is de cirkelschijf zoder rad met mid.delput (a,b) e straal ó. R 3 met de afstad uit voorbeeld 3 (- aa dit voorbeeld is de aam ope bol otleed-) is B((a,b,c),ö) de volle bol zoder rad met middelput (a,b,c) e straal S, Laatpee eiladjees uit voorbeeld 4 zij. We hebbe da dat B(p,j) = = B(p,l) = {p}. Terwijl B(p,tj) = B(p,7/4) = B(p,) de verzamelig is bestaade uit p e alle eiladjes die direct, d.w.z. met éé brug, met p verbode zij. Het bewijs va de volgede twee belagrijke eigeschappe va ope bolle i ee metrische ruimte is zo eevoudig dat we het iet zulle uitschrijve:.eigeschappe: 1. Als ö 1 < ö da is B(p,ö 1 ) c B(p,o ). Als p + q da zij er bolle B(p,o 1 ) e B(q,ó ) zodat B(p,o 1 ) B(q,o ) = ~. het bewijs va kue we eme o 1 = a =!d(p,q). We kue u kome tot het uiterst belagrijke begrip ope verzamelig. Defiitie. Ee verzamelig ~ i ee metrische ruimte heet ope idie er voor elke p B(p,ó) c o'. Ó ee ope bol met p als middelput, B(p,o), is zodat s o' ope e is q E r:f da heet rf ee omgevig va q. Stellig. edere ope bol ~s ope. (Dakzij deze stellig zij we iet i termiologische moeilijkhede hoewel we het woord ope op verschillede wijze geïtroduceerd hebbe).

14 - 9 - Bewijs. Laat q E B(p,o). We moete late zie dat er ee ope bol met middelput q bestaat die geheel bie B(p,o) ligt. Nu is d(p,q) < 8, e dus is o 1 := 8-d(p,q) > 0. B(q,o 1 ) ligt u geheel bie B(p,o), is l. ree willekeurig elemet uit B(q,o 1 ) da is d(r,p) ~ d(r,q) + + d(q,p) < o 1 + d(p,q) = 8; derhalver E B(p,o) e B(q,o 1 ) c B(p,o). Voorbeelde. lr (voorbeeld ) is de rig {(,y) < +y < 4} ee ope verzamelig. S (voorbeeld 4)" is iedere deelverzamelig ee ope verzamelig. R is het complemet va ee geslote iterval ee ope verzamelig. De belagrijkste eigeschappe va ope verzamelige worde uitgedrukt i de volgede stellig. Stellig. Laat V ee metrische ruimte zij. Da geldt: () V is ee ope verzamelig, ~ is eveees ope. () De doorsede va twee ope verzamelige is ope. (3) De vereigig va ee willekeurige collectie ope verzamelige is ope. (4) Twee verschillede pute hebbe disjucte omgevige. De bewijze zij iet moeilijk; we volstaa met ekele opmerkige. Ad(). Als a E A B(a,ó) Ad(3). c A Als a elemet is va de vereigig va ee collectie ope verzamelige, da is a zeker elemet va ee ope verzamelig uit die collectie; er is da ee B(a,o) die geheel bie die ope verzamelig ligt, deze B(a,ó) is da ook zeker deelverzamelig va de vereigig. Opmerkig. Uit bewerig () va bovestaade stellig volgt dat ook de doorsede va 3 of 4 of eidig veel ope verzamelige ope is. De doorsede va ee willekeurige collectie ope verzamelige hoeft echter iet ope te Late we als voorbeeld bekijke de collectie ope itervalle i~ z~j.. <~-,+~voor= 1,,3, De doorsede va deze collectie is {0} e deze verzamelig is iet ope. Opmerkig. We besluite deze paragraaf over afstade met vast te stelle dat we soms bij verschillede afstadsbegrippe toch dezelfde ope verzamelige kue hebbe. We bestudere dit aa de had va ee voorbeeld.

15 JR voere we verschillede afstade i: (e<) (S) dl ((l,yl)' (,y)) := ~l-) + (yl-y) d ( (l y 1) (,y)) := ma{ [ 1 - [, Y1 7 zll (y) d3((l,yl)' (,y)) = [ - [ + [y -y [ 1 1 Ope bolle t.o.v. deze drie afstade (verifieer dat i alle drie gevalle aa (al) t/m (a4) voldaa is) geve we aa met B ((,y),ê), B ((,y),ê), 1 B ((,y),o). 3 de oderstaade figuur staat B ((0,0),), B ((0,0),1), B ((0,0),1). 1 3 V V V ----~--+---~~~-- Dit illustreert og ees dat de drie afstade verschilled zij. Toch zij met elke soort ope bolle precies dezelfde ope. Dit komt omdat elke ope bol va de ee soort ee ope bol va de adere soort bevat e teves zelf bevat is i ee bol va de adere soort. Zoals i oderstaade figuur geïllustreerd is geldt: Me beredeere zorgvuldig dat we te opzichte va elke afstad dezelfde ope verzamelige aatreffe. Bovestaade schakel iug va ope bolle laat os zie dat elke ope bol ook te opzichte va de adere afstade ee ope verzamelig is. 1.4 Afbeeldige. Het fudametele begrip afbeeldig is ee geeralisatie va het fuctiebegrip.

16 -J- Defiitie. Laat A e B verzamelige zij. We zegge dat F ee afbeeldig va A i B is - otatie: F: A + B - idie F ee voorschrift is volges het welk aa elk elemet va A precies éé elemet va B wordt toegevoegd. s b( B) het elemet dat aa a( A) wordt toegevoegd da schrijve we b = F(a); we oeme b het beeld va a. Merk op dat het begrip voorschrift veel ruimer is da formule of tabel o.i.d. We geve slechts ee ekel voorbeeld. Laat N de verzamelig zij va de iwoers va Nederlad; G de verzamelig va de gemeete i Nederlad. Nu zij f: N + G gedefiieerd door: f() := de gemeete va iwoig va, e h: G + N gedefiieerd door: h(g) := de burgemeester va g, afbeeldige. Nog ekele begrippe. Zij F: A + B. s A c A da heet de deelverzamelig 0 va B bestaade uit alle beelde va ee elemet uit A het beeld va A ; 0 0 otatie F(A ). 0 s b Bof B c B da hete de deelverzamelige va A: 0 F+(b) := { F() = b}e het volledig origieel va b resp. B 0 Laat i os voorbeeld M zij de verzamelig va alle ederladse igezetee die miljoair zij: M c N; e laat Z zij de verzamelig va de gemeete i de provicie Zeelad; Z c G, da is: f(m): de verzamelig der gemeete die ee miljoair als igezetee hebbe. f+(eidhove): de verzamelig va de iwoers va Eidhove. f+(z): de verzamelig va de iwoers va Zeelad. h(g): de verzamelig va alle burgemeesters. h"'"(m): de verzamelig va de gemeete waarva de burgemeester miljoair is.

17 - 1 - Samegestelde afbeeldige, Laat A,B, e C verzamelige zij F: A+ B, G: B + C da is G F ee afbeeldig va A i C gedefiieerd door := G(F(a)). GoF heet de _F.._ samegestelde afbeeldig vag e F....--G-... A B c (Go F)(a) := G(F(a)) G(F{a)) os voorbeeld: h o f() = de burgel)leester va de wooplaats va. f o h(g) = de gemeete waarva de burgemeester va g iwoer is. Defiitie: F : A + B heet ee afbeeldig va A ~ B idie elk elemet vabals beeld va ee elemet va A optreedt, dus idie B = F(A). F: A + B heet ee-eeduidig idie verschillede elemete va A ook verschillede beelde hebbe; dus idie ieder elemet va B beeld is va hoogstes éé elemet va A. F F F: A+B is gee afbeeldig~ B F: A+B is iet éé-ééduidig os voorbeeld geldt: f is ee afbeeldig va N ~ G; f is iet éé-eeduidig. h is gee afbeeldig va G ~ N, h is wel éé-ééduidig. h o f is iet éé-ééduidig e iet ~ f o h is zowel éé~ééduidig als op. Als ee afbeeldig F: A + B eé-eeduidig e ~ is, da is het voorschrift: "zoek bij b het elemet a waarvoor b = F(a)", ee afbeeldig va B i A die de iverse va F heet. Voorbeeld. De afbeeldig f{z := is

18 ee êê-êêduidige afbeeldig va de positieve getalle op de positieve getalle. De iverse is g(y) = /:r. V ~~ Als het over fucties ( R + R afbeeldige) e hu iverse gaat realisere me zich dat de grafiek f+ uit die va f otstaat door spiegelig aa de lij y =. V / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / " / / / / / /

19 Hoofdstuk. De grodbegrippe va de aalyse..1 Limiete. Met behulp va het afstamisbegrip uit 1.3 kue we u ee preciese ihoud geve aa het begrip: "adere tot". We moete hierbij steeds i het oog houde dat we om te beschrijve_hoe de "abijheidsstructuur" rod ee put i ee metrische ruimte er uit ~iet, alle omgevige va dat put i de beschouwig moet!' betrekke. We zulle het begrip ~adere i drie verscliillede maa.r zeer verwate situaties..1.1 Rije pute i ee metrische ruimte. tot" bestudere We bestudere oeidige rije pute p 1,p,p 3, i ee metrische ruimter (de afstad heet d). Het is iet uitgeslote dat oder p 1,p, eezelfde put met verschillede ame voorkomt; het is.. zelfs iet uitgeslote dat pi= p = We geve eerst ee preciese ihóud aa het begrip~ de duur (afgekort o.d.d.): we zegge l. dat de pute p 1,p,. op de duur ee of adere eigeschap hebbe idie slechts eidig veel pute die eigeschap misse. Omdat er oder die eidig veel_uitzoderigspute éé is dat het grootste ragummer heeft kue we ook zegge: "p 1,p,... hebbe op de duur de eigeschap Au beteket: uer is ee iude N zodat voer elke die groter da N is p de eigeschap A heeft. Voorbeelde. (alle rije zij rije i JR met de gewoe afstad). Voor p := 00-3 geldt p < 0 o.d.d. omdat voor elke > 33 geldt p = = -. Voor p :=-geldt p E < - ö, ö > o.d.d. voor elk getal ö > 0. Het is iet waar dat p := (-l) > 0 o.d.d. Defiitie. ZijpER e p 1,p, ee rij va pute uit R. We zegge dat de rij p 1, p,... adert tot p idie voor elke omgevig 11, va p geldt dat p o.d.d. i (,'ligt. Adere zegswijze e otaties die hetzelfde betekee: p adert tot p (als adert aar oeidig-); p.. ->- p ( + oo); de rij p adert tot p; lim p = p; p is de limiet va p als + oo, + oo

20 Voorbeelde: lim.!. = 0. +~ lim = 0; om dit laatste te bewijze moete we late zie dat voor ee "* oo willekeurige omgevig va 0 i lr geldt dat o.d.d. i die omgevig ligt; omdat iedere omgevig ee ope bol (= iterval) bevat is het echter. voldoe de om te late zie dat voor ee willekeurige 6 > 0 geldt:--< 6 o.d.d.: 10 dit u is het geval als > /li, e dus idie > -"..;.:::.c:_i...!:.l_~ log 1/ö 10 log Voor ee rij i de metrische ruimtes der eiladjes (zie 1.3) geldt p + p da e slechts da idie p p o.d.d., immers {p} is ee omgevig va p.. We legde i oze voorbeelde ee sterke voorkeur voor R aa de dag. Dit wordt gemotiveerd door de volgede eigeschap: De rij p i R adert tot p da e slechts da idie d(p,p) adert tot 0 i R. Ee rij die ee limiet heefsheet coverget. De rij verget. De rij (-l) is iet coverget (merk bijv. iterval met legte is waar (-l) i ligt o.d.d.)., Ï' 3'... is dus coop dat er gee ekel.1.. lim + a f() L. Laat p + p ee covergete rij pute zij. Laat f: R + R ee afbeeldig zij va R i ee adere metrische ruimte. We kue u vrage of de rij f(p ) covergeert. Nu beteket f(p ) + L dat voor elke omgevig cr* va L i R* geldt dat f{p ) o.d.d. i ~ ligt. Hieraa u is voldaa idie er bij elke omgevig * * ~ va L i R te vide is ee omgevig ~va pi R met de eigeschap: als p E a' da f(p) Er:/. R * P 1 P \fp'\... ';..) f... fl~,l.. CfJ Dit geeft os u i hade hoe ee algemeer limietbegrip te defiiere:

21 Defiitie: Zij V c R f: V+R; * zij a E R zodaig dat elke omgevig va a pute va V bevat. Zij L * E R. We zegge: lim -> a f() = L (of "f() +L als + a") idie er bij iedere omgevig o( va L i R* ee omgevig ~va a i R bestaat zodat f () E rf* voor elke uit 0" V met <# a. * Voorbeelde. We eme R = R =R. lim = 4; + lim /;; = 0, om i herierig te houde dat de fuctie + 0 ; allee gedefiieerd is als ~ 0 schrijve we ook wel lim X= het algemee beteket lim f(), resp. lim f() dat we spreke over de + a t a fuctie f gedefiieerd op zij oorsprokelijke defiitieverzamelig doorse- de met [a,~> resp. <-~,aj. lim +3 ( +_) 10 =-g Eigeschap: Als R R * = R kue we zegge: lim f() = L da e slechts + a da idie er bij elke e > 0 bestaat ee ö > 0 zódat lf() - Ll < e voor alle waarvoor 0 < l-al < ó e waarvoor f gedefiieerd is. Zie figuur. y Nog twee voorbeelde: 3 3 li~ = a, wat: -+.a 3 y =

22 als we alvast JJ $ JaJ eme; (dit argumet werk~ Ader bewijs: lim = a e de oderstaade stellig, +a iet als a= O!). lim + 0 si _!_ V bestaat iet. r---r- ' kx Bij het berekee va limiete va reëelwaardige fucties make we vaak met vrucht gebruik va de volgede stellig: Stellif!i Als lim f() = L, lim + a + a lim (f()+g()) = L+M, lim + a + a g() = M, da is f()g() = LM, lim _,. a --= f () L mits L # lim f() = L e lim f() ~. +a deze paragraaf is steeds R = R* =R. We kue het limietbegrip og verder uitbreide door ook te zegge wat het beteket dat iets aar +«~ of -~ adert. Dit doe we door de formele afspraak: Ee omgevig va +o> is ee ope verzamelig die ee iterval <a,oo> bevat; ee omgevig va _., is ee ope verzamelig die ee iterval <-oo,b> bevat. De verdere defiities zij u vazelfspreked. We geve voorbeelde (zie figuur) lim - = 0, lim - = ~. lim - = -~. +., + 0 t 0 lim - = + -~ o, lim _!_ bestaat iet! + 0 JO 10 lim log (omdat de log voor $ 0 iet gedefiieerd is hoeve we + 0 iet + 0 te schrijve). 10 lim log oo _,.., lim X -+ -oo lim _,.~

23 V y = V ~r-----~ y = 10 1og.1.4. sluitstellig. De oderstaade stellig geldt voor alle drie de limietbegrippe mits R* = JR. We formulere e bewijze hem voor het tweede. Stellig. Zij lim + a e lim +a terwij 1 i ee omgevig rf va a geldt voor <f a dat Da is lim h() = L. + a Bewijs. Zij ef ee omgevig va L; zoder beperkig moge we aaeme dat ~ = < L-, L+ > voor zekere > 0. Nu zij er omgevige cr; e rf va a zodat voor alle i aamerkig komede, <f a geldt: als als E 0' 1 da is f 1 () 0' da is f () L < ; Ll <.

24 Als u E cri cr cr (wat og steeds ee omgevig va a is) e ~ is: h () - 1 < E (zie figuurtje) a da R ----~r~-~ ~~~ r~--~--~~~+~ ---- f 1 () t h() Voorbeeld: lim +oo si = 0 omdat :::;; si ::;; _!_ Voorbeeld (zeer belagrijk!) lim + 0 si = 1. Bewijs. Door vergelijkig va de oppervlakte va (zie figuur) lloab, sector. Tf DAB e llobc vide we voor 0 < < ( uitgedrukt i radiale) de ogelijkheid: si < < ta Hieruit volgt: < <.;_~ sj. cos welke ogelijkheid ook geldt voor Tf - < < o. Teves zie we dat lsi l 5 reële!). We hebbe dus i ee omgevig va 0 dat: si cos < < 1. ll (dit laatste is zelfs goed voor alle

25 - 0 - Nu is lim + 0 lim cos =. + 0 = e het bewijs is voltooid als we hebbe late zie dat y V Nu is lcos - 11 = lcos - cos O = 1- si (+O) si (-O)= = ( s1. ) ' D 0 ' _ 1 ~ aar < cos - ~ e 1m = 0 is lim + 0 \cos - tl 0, e dus lim... 0 cos = 1... CotiuÏteit. Defiitie. Ee fuctie f: V + R~ waarbij V c R e R, zowel als R* metrische ruimte zij, heet cotiu i ee put a E V idie er bij elke omgevig &* va f (a) i R* ee omgevîg 1:1 va a i R bestaat zódat: f(!y" V) c ~- Ruw gesproke kue we dus zegge dat f i a cotiu is als alle waarde va f i ee geschikt gekoze omgevig va a dicht bij f(a) kome te ligge. Als elke omgevig va a ook va a verschillede pute va V bevat, beteket cotiuïteit i a dat: lim + a f{) = f(a). Deze formulerig spreekt dus impliciet uit dat f{a) gedefiieerd is e dat lim + a f() bestaat.

26 - 1 - Defiitie. Ee fuctie f heet cotiu op V idie f cotiu is i elk put va V. Voor ee afbeeldig f: R + R* beteket cotiuïteit dus dat voor iedere ope verzamelig ~ i R* de verzamelig f+(~) ope i R is. Voor de fucties met waarde i R beteket cotiuïteit i = a dat er bij elke E > 0 ee omgevig va a bestaat zódat voor alle uit die omgevig waarvoor f() gedefiieerd is geldt: lf()- f(all < E, Voor fucties gedefiieerd ilr e met waarde ir beteket cotiuïteit dat we de grafiek kue tekee als ee doorlopede kromme zoder gate e sproge. Later (blz. 69) zulle we og auwkeurig cotiuïteit va fucties i R em 3 moete bestudere. We volstaa thas met ekele voorbeelde va reële fucties i JR. 3 De fucties: y =,,, si, cos zij cotiu voor alle reële. is iet cotiu i = 0 (iet ees gedefiieerd) V f () :=!. o als 0 $ < als :> :> is iet cotiu i =.. We bewijze als voorbeeld dat si cotiu is. Daartoe moete we late zie dat voor iedere reële a geldt lim si = si a. + a Nu is echter \si si al = lsi t (-all lcos t (+all :> l-al, zodat \si - si al < e is idie!-a\ < E: is.

27 - - Veel va de fucties die we gebruike voor de beschrijvig va techische processe zij cotiu, maar iet alle.,discotiuiteite trede vaak op bij beschrijvige va gebeurteisse waari ee drempelwaarde optreedt of waarbij verschillede media aa elkaar greze..3. Differetieerbaarheid Het begrip afgeleide. We zulle thas ee va de belagrijkste begrippe uit de wiskudige aalyse lere kee: de afgeleide. Het zal blijke dat deze afgeleide ee limiet ib va de soort besproke i.1.. Allereerst ekele voorbeelde. Uit de mechaica. Als ee deeltje beweegt lags ee baa e de afgelegde weglegte gegeve wordt als fuctie va de tijd door f(t) da is de weglegte afgelegd tusse de tijdstippe t e t +h (we eme h > 0) gelijk 0 0 aa: De gemiddelde selheid over het tijdvak [t 0,t 0 +h] is u Merk op dat we f(t +h) - f(t ) moete uitdrukke i eehede va legte, h 0 0 i eehede va tijd. De zorg voor de keuze va zulke eehede, is de taak v... L de beoefeaars va het vakgebied i.c. de atuurkude e iet va de 1iskude. Wij zulle oze aadacht slechts richte op getalwaarde e iet op het gekoze stelsel va eehede. Me defiieert u de selheid te tijde t als: 0 lim h-+ 0 Dit is ee grootheid die va het grootste belag is voor ee wiskudige beschrijvig va het proces: de bewegig va het deeltje. Het is ee theoretische grootheid; wat gemete ka worde is allee ee gemiddelde selheid!

28 - 3 - Bevolkigstoeame. dit voorbeeld zulle we wederom ee limiet va ee gemiddelde beschouwe. Laat y(t) de bevolkig va ee lad op tijdstip t voorstelle, da is de gemiddelde bevolkigstoeame over het tijdsiterval [t,t +h] gelijk aa: 0 0 We defiiëre de toeame te tijde t 0 door: lim h -+ 0 Ee goede beschrijvig va ee bevolkigsgroei wordt gegeve door de aaame dat de toeame te tijde t 0 dus y'(t 0 ) everedig is met de bevolkigsgrootte te tijde t 0 dus: y' (to) y(to) = k, k ee costate oafhakelijk va t 0. die deze everedigheidscostate beked is (bijv. doordat k bereked is uit het gemete gedrag va de fuctie y(t) tusse de jare 1950 e 1970) da stelt de vergelijkig: y' (t) = k y(t) os i staat de waarde va y(t) voor de verre toekomst te berekee (mits zich gee wijzigige i het sociale patroo zulle voordoe die de aaame dat koafhakelijk va de tijd is op losse schroeve zette). Wij zulle spoedig oze keis zover uitgebreid hebbe dat we dit probleem kue aapakke. Soortelijke warmte. Als Q(T) de warmte is, odig om ee eeheid va massa va ee zeker materiaal va temperatuur 0 op temperatuur T te brege, da is de warmte odig om de temperatuur va r op T +h te brege: 0 0 Q(T +h) - Q(T ). De limiet va de gemiddelde beodigde warmte: 0 0 lim h -+ 0 Q(T 0 +h) - Q(T 0 ) h soortelijke warmte bij temperatuur r 0

29 - 4 - Defiitie. Laat f gedefiieerd e reëelwaardig zij i ee omgevig va a e: lr.. De fuctie heet differetieerbaar i = a idie lim h -+ 0 f(a+h) - f(a) h bestaat. Deze limiet heet de afgeleide vafi a; otatie f'(a). die de afgeleide bestaat i elk put va ee verzamelig V da heet f differetieerbaar i V; de afgeleide f'() is da ee fuctie gedefiieerd op V. De afgeleide heeft ee heel belagrijke meetkudige iterpretatie: f'(a) is de richtigscoëfficiet va de raaklij i het put (a,f(a)) aa de grafiek va de fuctie f. Q a a+h 'Zij h > 0. P = (a,f(a)), Q = (a+h,f(a+h)), R = (a+h,f(a)) f(a+h) - f(a) = ta ~(h) h a+h a f(a+h)-f(a) = h < Ö h ta ~(h)

30 - 5 - "f is differetieerbaar i = a" is dus gelijkwaardig met: de grafiek va f heeft ee iet-verticale raaklij i (a,f(a)). De volgede stellig geeft os ee hadzamere karakteriserig va de afgeleide Stellig. Zij f() gedefiieerd i ee omgevig va a. f is da e slechts da differetieerbaar i = a idie er bestaat ee getal A e ee fuctie e(h) gedefiieerd voor h ~ e f(a+h) - f(a) = Ah + h e(h) lim e(h) = 0. h ~ 0 Er geldt: A= f'(a). 0 zódat: Bewijs (i) Laat f differetieerbaar i = a zij. Defiieer e(h) := f(a+h)h- f(a)- f'(a) da geldt lim e(h) = 0, zodat aa de voorwaarde va de stellig voldaa h ~ 0 is. (ii). Als aa de voorwaarde va de stellig voldaa is geldt: lim h + 0.=.f..>:( a::.:+c.:;h~),.- :f'-'(=a"-) = h lim (A + e(h)) = A, h ~ 0 zodat f differetieerbaar is i = a met afgeleide A. tuïtief drukt deze stellig uit dat differetieerbaarheid beteket dat f() i eerste beaderig ee lieaire fuctie is: f(a) + (-a) f'(a) ~ f(). Gevolg. Als f differetieerbaar is i = a, is f cotiu i = a. r,,wijs. 1im + a f() = lim ~ a (f(a) + (-a) f'(a) + (-a) e(-a)) f (a). '>eeld. f() = ll is i = 0 wel cotiu maar iet differetieerbaar.

31 - 6 - V Me bekijke de volgede figure die illustrere dat si l wel cotiu maar iet differetieerbaar is i = 0 e dat s1 - cot1u e differetieerbaar is i = 0. (We zage reeds dat si liet ~otiu is ~ ~ = o.) V /v.. / / / / / V.3.. De techiek va het differetiëre. We bespreke i deze paragraaf twee reekse stellige die os i staat zulle stelle va vele fucties de afgeleide te berekee. De eerste reeks leert os hoe de afgeleide te berekee va,somme, producte, quotiëte,

32 - 7 - samegestelde e iverse va differetieerbare fucties; deze formules hete de regels va Leibiz ( ). de tweede reeks staa de afgeleide va ee aatal bekede fucties. Regels va Leibiz.. Als f() e g() differetieerbaar zij i = a, da is ook f()+g() differetieerbaar i = a met afgeleide f'(a)+g'(a). Dus (f+g)' = f'+g'. Bewijs. f(a+h)- f(a) = hf'(a) + h~ 1 (h) e ~ 1 Maar da ook e (h) + 0 als h + 0 g(a+h)- g(a) = hg'(a) + h~ (h) e ~ (h) + 0 als h + 0. f(a+h) + g(a+h)~ (f(a) + g(a)) = h(f'(a)+g'(a)) + h(~ 1 (h) + ~ (h)) lim <~ 1 (h) + ~ h + 0 (h)) = 0.. Oder dezelfde aaame als i geldt f()g() is differetieerbaar i = a met afgeleide f'(a)g(a) + f(a)g'(a). Dus (fg)' = f'g + fg'. Bewijs. waarbij f(a+h)g(a+h)- f(a)g(a) = h(f'(a)g(a) + g'(a)f(a)) + he(h) E(h) = e 1 (h)g(a) + e (h)f(a) + hf'(a)g'(a) + h~ 1 (h)g'(a) + derhalve lim ~(h) = 0. h + 0 Gevolg. (fgh)' = f'gh + fg'h + fgh' ez. Als f differetieerbaar is i = a e f( a ) r ~ 0 d a LS. f() d"ff L eretleer-. f' (a) aar i = a met afgeleide: - Dus (f(a))

33 - 8 - Bewijs e lim h... 0 f(a)-f(a+h) -hf'(a)-hcl (h) f(a+h) - f(a) = f(a+h)f(a) = ---;; --...!. (f(a)) +hf'(a)f(a)+hc (h)f(a) 1 -~ (h) (f(a)) +hf'(a)f(a)+h~ 1 (h)f(a) = - f' (a) (f(a)) 4. Kettigregel. Zij g() differetieerbaar i = a; g(a) =: b; zij f() differetieerbaar i = bdais (f o g)() differetieerbaar i = a met afgeleide f' (b)g' (a). Dus (f o g)'() = (f' o g)().g'(). Bewijs. Zij g(a+h) = g(a) + hg' (a) + hc (h) 1 c (h) + 0 als h + 0 f(b+k) f(b) + kf' (b) + ke (k} ~(k) + 0 als k + 0. Defiieer Dus k(h) := g(a+h) - g(a) da is lim k(h) = k(o) = 0. h -+ 0 k(h) = hg'(a) + hc 1 (h) e f(g(a+h)) - f(g(a)) = f(b+k(h)) - f(b) = k(h) f'(b) + k(h) c (k(h)) = hf'(b) g'(a) + h~(h) waarbij zodat lim c(h) = 0. h s f() differetieerbaar i = a, f'(a) ~ 0 e bestaat f da geldt +. (met b := f(a)): f () LS differetieerbaar i = b met afgeleide f' (a) Het bewijs va de differetieerbaarheid va f+ late we achterwege. De afgeleide bepale we met de kettigregel uit = (f+ o + da = (f )'(b) f'(a). f)(). We vide

34 - 9 - Omdat de grafieke va f e f+ uit elkaar otstaa door spiegelig t.o.v. de lij y = geldt, idie h e k = f(a+h) - f(a) of h = f+(b+k) complemet zij dus dat tas(k) = taa(h) k samehage via de relatie + - f (b) dat: de hoeke a(h) e S(k) elkaars a a+h De afgeleide va ekele bekede fucties. 6. Als f (-) idie a ~ a a-1 = (a E ~)da f 1 () = a (we moete teves eise > 0 0; i het volgede hoofdstuk zulle we lere dat deze eigeschap geldt voor a E JR) Bewijs: (i) (i i) (iii) (iv) ) a = E JN: herhaalde toepassig va, (alle!), a = 0: f() = l,f 1 () = o... a = -, ln, " 0: f() = pas 3 toe 1 a = E N, > 0: f() = l/ da f () = e (f ) (b) = b e dus - -1 f 1 (a) =---=T= a als a = b b m a =, m E G, EJN, >.!. -1!!: -1 ( ) ( f = m )m-1 - =- m m 0: f() = = ()m; pas 4 toe:

35 Als f() =si is f'() =cos. Bewijs si(+h) - si (cos h- 1) si h ====.,-h-=:.:.:...:! = si h + cos --h- Nu volgt het gestelde uit: lim h -> 0 cos h - h si h -h- = 1 e lim h -+ 0 = -(si jh) 8. Als f() =cos is f'() -si. Bewijs 9. (ta ) = h cos h - 1 ~~~--~ = 0, daar h = - È.(si jh) {h. f() = cos = si(~ - ) dus (weges 7 e 4) 1f f'() = -cos( 1 (cos ) - )= -si. Bewijs: ta si =-----e,3,7,8. cos Door combiere va de regels 1 t/m 9 zij va zeer veel - ook igewikkelde fucties - de afgeleide te berekee. Me moet routie i het bepale va afgeleide verkrijge door het make va ee iet te klei aatal vraagstukke. Zie bijv. de collectie istructievraagstukke. Helaas is de klasse va fucties die we thas kue differetiere og iet voldoede; zo is er gee bij waarvoor de verhoudig va f e f' ee costate is (zie.3.1). Ook de fucties 10 e 10 log kue we og iet differetiere. het volgede hoofdstuk zulle we echter og ekele fucties ader lere kee (zie 3.3).

36 Hoofdstuk 3. tegraalrekeig De bepaalde itegraal. We zulle het begrip bepaalde itegraal itroducere aa de had va ee voorbeeld. Ee fabriek loost afvalwater i ee meer; i het afvalwater bevidt zich ee verotreiigede stof. De hoeveelheid geloosd te tijde t va deze verotreiiger is f(t). Hoeveel heeft de fabriek i totaal aa afvalstof geloosd tusse de tijdstippe t = a e t = b, (a< b)? Het is pricipeel omogelijk cotiu metige te verrichte. Wat me zal doe is het tijdsbestek verdele i ee aatal itervalle door keuze va deelpute: t 0 = a< t 1 < t < < t = b, i ieder tijdsitervalletje éémaal ee metig verrichte, e vervolges aaeme dat de afvallozig over het gehele itervalletje gelijk is aa de ee gemete waarde. Stel dat de meettijde va de zij ~ 1.~,...,~ met ti- totale hoeveelheid geloosd $ ~. 1 vuil s t. (i =,.. ). Als beaderig 1 zal me da opgeve: f(;)(tl - to) + f(~z)(t- ti) f(l;)(t- t-1) =: ): f(l;i)(ti- ti-). 1=1 We zulle dit otere als S(D,~)(f)espreke va de Riema-som va f bij de verdelig D: a= t 0 < t 1 < < t =be tussepute ~: s 1,.. ~ met t. 1,; ~.st. (i=,,). De diameter va Dis: o(d) := ma (t.-t. 1 ). 1-1 l.. 1 J.. J..=l,., S(D,~)(f}zal ee~etere beaderig worde va de gezochte totale hoeveelheid afval als we verdelige beschouwe die fijer e fijer worde, d.w.z. o (D) + 0. Als u "lim S (D,~) (f)" bestaat oafhakelijk va de gekoze verdelige e tusse~~rt~& over [a, b]g otatie: J f(t)dt. a Y da heet deze limiet de bepaalde itegraal va f 7 f- V /î ' /i )'fit) T

37 - 3 - b Als de itegraal af f(t)dt bestaat oeme we f itegreerbaar over [a,b]. Zoder bewijs merke we op dat als f cotiu is op [a,h] de itegraal bestaat. Bovedie vermelde we dat iedere itegreerbare fuctie begresd is, d.w.z. dat er ee getalm bestaat zodat /f(t) / ~ M voor alle t < [a,b]. Als umerieke beaderig va de itegraal kue we steeds ee Riema-som eme. het figuurtje zie we dat (f(t) is hier > 0) de Riema-som ee b som va oppervlakte va ee aatal rechthoekjes is, zodat we f f(t)dt a de "oppervlakte" tusse de t-as, de grafiek va f(t) e de lije t a e b t b kue oeme. s f(t) ~ 0 op Ca,b] da is f f(t)dt juist het tegea b gestelde va deze oppervlakte: het hier getekede geval is f f(t)dt a = Q 1 - Q waari 0 e 1 Q de oppervlakte va de beide gearceerde vlakdele zij. y t We oeme og ee tweetal voorbeelde: De kracht werked op ee put varieert met de afgelegde rechte weg: K = K(s). Da is de arbeid, verricht bij de bewegig va A aar B:

38 Het volume verkrege door wetelig va de grafiek va f() om de -as is b a 1T(f()) d. We zulle u berekee: b tdt. a ~ ~ '"~ ~ ~rz [7~ a b Verdeel [a,b] i gelijke dele. We kue u gemakkelijk de grootste e kleiste Riema-som opschrijve e zie dat beide aar dezelfde limiet adere als + oo, Op grod va de isluitstellig is dit da ook de limiet voor elke rij Riemau-somme behored bij verdelige va [a,b] i gelijke dele. We gebruike het feit dat. we wete dat de itegraal bestaat omdat de fuctie f(t) =. t cotiu is, e we kieze oze tussepute hadig, d.w.z. i het midde va ieder iterval. (b,b) l!i (a, a) (a,o) b,o) Nu is i;. (t. - t. ) juist gelijk aa de oppervlakte va het trapezium met "hoogte" t.-t. e middeparallel i;. Voor elke verdeligdis de Rie ma-som met tussepute midde tusse de deelpute dus gelijk aa de op- ~ <'rvlakte va het trapezium met hoekpute: (a,o), (b,o), (b,b) e (a,a). JS b tdt =!( a+b )( b-a ) - lbz- laz. a

39 (_,'.,.., We geve u bodig ee opsommig va ee aatal eigeschappe va (we eme steeds aa dat alle opgeschreve itegrale bestaa). b b a a Jbf(t)dt J f(t)dt = f()d, ("het doet er iet toe hoe de veraderlijke heet"). b a f(t)dt heeft allee zi als a,; b,.b. f a b a a We defiiere voor b < a: b c c f(t)dt + f f(t)dt = f f(t)dt := - f f(t)dt. a b a f(!,dt = 0. f(t)dt voor alle a,b e c. a b a b b b f (t)dt +~ g(t)dt (À,~ costat), a a a V (Àf(t) + ~g(t))dt À V Als a,; b e f(t),; g(t) voor alle t E [a,b] da is f(t)dt " N.B. dit is allee goed als a,; b! V Voor de fuctie f(t) - vide we J dt = b-a. a b a b b g(t)dt. a V Door combiatie va V, V e V vide we uit lf(t)l,; M voor t E [a,b] dat voor a,; b geldt -M(b-a),; b f(t)dt,; M(b-a) a e dus b a f(t)dtl,; Mlb-al welke laatste ogelijkheid ook goed is als b < a.

40 de volgede paragraaf zulle we ee methode lere om bepaalde itegrale te berekee die heel veel eevoudiger is da het bepale va limiete va Riema-soe. 3.. De hoofdstellig der itegraalrekeig; obepaalde itegrale De hoofdstellig. Zij f(t) itegreerbaar over [a,b], da is voor E [a,b] door!'( ) := f (t)dt a ee fuctie gedefiieerd. Stellig. cr{) is cotiu. Bewijs. Er bestaat ee M zodat lf(t)l ~Mop [a,b] (zie 3.1). Voor ee willekeurige c E Ca,b] geldt ('{()-rf(c) = a a c Dus lim + c o'() = t! (c). Stellig. Als f cotiu is da is rf() differetieerbaar met r/ () = f (). Bewijs. We defiiere +h (h) : = o'(+h) h-!'( ) - f (), da is c(h) =i (f(t) - f())dt. Bij ieder getal 1 > 0 bestaat er ee omge 'va zodat lf(t)- f()l < 1 voor elketi die omgevig. Als we lhl ::,.-lei eme dat het iterval [-lhl, +lhl] geheel bie die omgevig lig'- da is (h) ~ -rkr 1 h = E 1 dus lim E(h) = 0. 1"1 h + 0

41 Hoofdstellig. Als f cotiu is e F' = f da is a b J f(t)dt F(b) - F(a). Bewijs. ~'()= f() = F'(). Dus (~-F)'() = 0, maar da is ~F costat: het is ee cotiue fuctie waarva de raaklij aa de grafiek overal horizotaal is. (zie 4.1) Derhalve Voorbeeld. a 0 b J 0 f rr 1T f(t)dt = Ó(b) = ~(b) -!Y'(a) = F(b) - F(a). si tdt. We eme als E() = -cos, da zie J si tdt = [-cos ]=1T = =O (-cos rr) - (-cos 0) =. we 3... De obepaalde itegraal. zij f ee cotiue fuctie. We vrage aar {F F' f}. Deze verzamelig is iet leeg immers ~() = J f(t)dt is er ee elemet va. Alle pare a fucties uit deze verzamelig hebbe ee costat verschil; me krijgt uitgaade. va ee elemet alle adere door optellig va costate. Defiitie. De obepaalde itegraal (otatie J f(t)dt) is ee fuctie met F'() = f().:et behulp va de regels 6 t/m 9 uit.3.. ziet me omiddellijk: J a. a+ + c d=-- a+ (a E G!, a# -1) J cos d = si + c J J si d = -cos + C d = ta + C cos

42 al deze voorbeelde is C ee of adere costate. De volgede eigeschappe volge direct uit de overeekomede regels va Leibiz J (Àf() + ~g())d = À J f()d + ~ J g()d l J (f()g'() + f'()g())d = f()g() + C We kue deze formule ook schrijve als J f()g'()d = f()g()- J f'()g()d Deze is beked als de formule der partiële itegratie ll J f'(g())g'()d = ~(g()) + C Deze formule is aaleidig tot de methode der substitutie bij het bepale va obepaalde itegrale. Voorbeelde.(Merk op de hadige otaties otstaa door g'()d als dg() te schrijve.) 4 ;; d = J ( )d = J 71 d + -/ d = / / + C. J cos d = t J (si )'d =: t -d si := =- si -t J si d = si = + 4 cos + c lil r--'! d J = r--'! ()' d,11--,j-- = -!t- + c. J d =: P =- J ' lette op dat bij substitutie i bepaalde itegrale ook de greze mee,lome moete worde: 3 J (t+5) dt = t 7 11 g dg als g(t) = t+5.

43 - 38 ~ Eveals voor het differetiëre e elke adere wiskudige vaardigheid, geldt voor itegrere dat me de techiek slechts oder de kie ka krijge door oefeig. Bij het berekee va obepaalde itegrale komt als plezierige bijkomstigheid, dat er ee steeds werkede meestal tamelijk eevoudige cotrolemogelijkheid is. Me ka l. het gevode resultaat differetiëre e moet da de fuctie oder de itegraal terugvide Epoetiële e logarithmische fucties. We kee og gee formulefuctie waarva de afgeleide gelijk is aa - Ee fuctie met deze afgeleide is atuurlijk L() := J d~ gedefiieerd voor alle > 0, e daar cotiu weges de eerste stellig uit 3.. We bestudere u deze fuctie. Ee aatal eigeschappe va L() zij u metee duidelijk: L'() = l; L(l) = 0; L() > 0 als >, ~() < 0 als <. L() is éé-ééduidig e stijged, wat als 1 < da is L( 1 ) < L( ). De grafiek ziet er i eerste beaderig zó uit: y Stellig: L(ab)= L(a) + L(b).

44 ab dt Bewijs. (b = J ( dt + dt Nu vide we t t t a laatste itegraal va az (b dt dz = t dat -= ( t z a Gevolge. L(a ) = L(a) als E :N door substitutie i de L(a) + L(l) = L(l) = 0 dus L(a- 1 ) = -L(a) a L(a ) = L(a) als geheel. Als ra= a is L(a) = L(a.) e dus l L(a) gaad vide we: e teslotte L(am/) =.!!!: L(a) L(ar) = rl ( a ) voor a ll e r E,. " L(a ). Stap voor stap verder Omdat L() = L() e L() cotiu is gaat L() + oo als + oo, L(l/) = = -L() dus L() + -oo als ~ 0. We zij u i staat de grafiek beter te tekee. Merk op dat de stijgig voor grote steeds mider wordt omdat de afgeleide l aar 0 adert als + oo, De y-as is ee verticale asymptoot. Omdat de fuctie L ee éé-ééduidige afbeeldig is va <O,oo> op <-oo,oo> is de iverse L+ ee afbeeldig va <-oo,oo> op <O,oo>, We duide L+ voorlopig aa met E. Dus y L() e = E(y) zij gelijkwaardig. De grafiek va E is u zo te tekee Y=E X / / / Y=X ---- Y LX / / / ' / ' / / / / / / /

45 ~ Eigeschappe va E(): 1 E(O) = 1, E'(b) = L'(a) als a E(b) dus: E' (b) 1 = = a= E(b). (op grod va regel 5 va.3..) a Hiermede hebbe we beweze dat E'() = E(); E() is dus ee fuctie waarvoor E'()/E() costat is e wel= 1. Stellig. E(a) E(8) = E(a+S) Bewijs: E(a) =: a,e(8) =: bdais L(ab) = L(a) + L(b) dus ab = E(a+S). E(L(a)+L(b)) = Gevolg: E(ra)=(E(a))r (re a)). Als we defiiëre: E(1) =: e da zie we dat E() = e E() is dus ee epoetiële fuctie. Op grod va het gevolg wete we i eerste istatie E() = e voor ratioale, maar omdat E() cotiu is e omdat e cotiu is (dit hebbe we iet beweze, we eme het maar over va de middelbare school) geldt de relatie E() e voor alle. Na de vaststellig dat E() = e e volgt dat L() = log. We oeme logarithme met grodtal e: atuurlijke logarithme. Afwijked va oze vroegee re gewoote zulle we va u af log := log eme e adere grodtalle steeds vermelde. We hebbe: = e ; (log )' = Voor adere grodtalle volge de afgeleide met behulp va de kettigreg~l e bekede formules: a loga d = e us b l<> " b log =~ dus (log )' = log b De bepalig va het getale geschiedt bijv. uit L(e) = 1. (Teke de grafiek 1 va- heel auwkeurig op millimeter papier e tel rechts vaéé i verti cale rije et zo lag vierkate mm tot je er 100 hebt, zo vidt me ee beaderig voor e). Met We zulle er i 4. op uit ~{~~) = k volgt dat auwkeurig rekee vidt me e =, terugkome maar we kue u reeds vaststelle log[y(t)[ = kt+c e dus dat y(t) = De kt waar b.. 1J

46 D := y(o). 1-le besluite dit hoofdstuk met ekele belagrijke limiete. Nu is log(+h) -log = l log(!+~) h h ' late we h + 0 da adert het likerlid aar- (defiitie va af&eleide!). Dus h lim t log(! + -) = - h + 0 Vervage we - door z da blijkt dat we hebbe: lim t log(! + zh) = z. h + 0 () 1-le verifiëre dat ( ) goed is voor alle z ER. Gebruikmaked va () e de cotiuïteit va e vide we: Specialisered z = lo~:~(l+zh) z h e lim e = lim h+ 0 h+ 0 lim _,. oo ( +zh) /h. e h beperked tot,, 3,... vide we () (3) Dit levert ee ieuwe mogelijkheid om het getal e te berekee: ( ) 9 ( + l) 3 = 64 = (1+1) = ; +i =i=,5; 3 7,37,... (1,001) 1000 =,718.

47 r,, Oeigelijke itegrale Behalve dit lim k- b J f()d a k J f()d. a gelijke itegraal Voorbeelde: gebruike we ook vaak a 00 J f()d. Per defiitie beteket 00 f a f()d covergeert. We zegge da ook i.p.v. J f()d bestaat, dat de oeia 00 J --z= d lim k-+oo k ~= lim ( k- - -) k d~ = lim k->o<> k -= d lim log k k- bestaat iet. Terloops vermelde we dat me op aaloge wijze te werk gaat als f() iet begresd mocht zij op <a,b>. Ee voorbeeld: ) d -= lim d -= lim (1 - /8) = 6+0

48 Opmerkige over het berekee va itegrale Herhaalde partiële itegratie ~ J a := e J a cos bd = (e )'cos bd = a a b b J a. bd =-e cos +a e 810 Dus: dus J a := e si bd = (ea) 'si bd = a J J a a = e si b- ~ J e cos bd. a a b a. bz =- e cos b +-ze s1 b - a a a J a e cos bd = a e a + bz (a cos b + b si b) + c J J a si bd = e = a e (a si b - b cos b) + c. a + bz Ratioale fucties We beperke os tot oemers die i éé of twee lieaire factore te otbide zij: J P() Q () d, waarbij P() ee veelterm is e Q() = - a of Q() (- a)(- b)

49 Deel eerst uit totdat de graad va de teller lager is da die va de oemer: P() Q() = P () A a P() = P () + A + B Q() (- a)(- b) Nu zij P 1 ()d, P ()d e ~ a d direct te berekee. Voor f A + B ~~~~~~~b~) d oderscheide we twee gevalle: ( - a) ( ) a b. A + B d = A( - a~ d + B + Aa d ( - a) ( - a) ( - a) = = A logl- al - B + Aa + c. a -".. A+B ) ar b, De u1tdrukk1g (_ a)( _ b) sp 11tse. we u i zg. partiële breuke, d.w.z. we probere p e q te vide zó dat A+B =_i,_+ q (- a)(- b) - a b ' Zulke p e q zij te vide: _i,_ + g = (p + q) - pb - aq - a - b (- a)(- b) dus p e q moete voldoe aa: { p + q = A bp + aq = -B e deze vergelijkige zij oplosbaar (p = Vvorbeelde: -aa- B b - a b ~.A~+_.::.B q =..., ) b - a ) d - ) d = ""<"'3 --..:::.,.1.,.) ""(.:.._+"""'"") d + S - d + =! logl- 11 -! logl + + C

50 Stel - - p +_s_ -1/ da moet p( + ) + q( 1/3) - l/3(- ) Derhalve: {p+ p q = 3-3q = -.!. p = - /1, q = 3/7. 3 J S - d = - ; J ~X/3 t + J d it+ = 3 =- T logl- 1/ logl C tegrale met goiometrische fucties i de itegrad Voor het berekee va zulke itegrale bestaa talrijke recepte. Me heeft echter vaak al succes door toepassig va de goiometrische formules. De volgede serie voorbeelde is va groot belag voor hoofdstuk 1. Ze beruste op de formules: cos = w + cos ) si = - cos Hl ) cos si m =!(si( + m) - si( - m)) cos cos m = ~(cos( + m) + cos( - m)) si si m =!{cos( m) cos( + m)) Toepassig va deze formules levert: -rr 1T J (cos ) d = 1T ( ;, ) 1T J (si ) d = 1T ( ;, ) -rr

51 rr f 1f cos cos m d = 0 ( ~, m ~, m #o ) -rr J 1f si si m d = 0 ( ~, m ~ 1, m.f ) -rr f 1f si cos m d = 0 ( ~, m "' 1) De formule va Wallis Dit is ee formule voor: m, rr/ := (cos )m(si )d 0 waarbij m e iet egatieve gehele getalle zij. Door gebruik te make va (cos ) +(si ) =; (cos )'=- si, (si )'= cos e partiële itegratie bewijst me (ga a!) m, (m-1 )(m-3) (m-5)... (-1) (-3)(-5) = (m+)(m+-)(m+-4),,, { rr / als me eve zij 1 aders (elk va de drie rije factore eidigt met of ). Voorbeelde: 7f/ 0 6 (cos ) d = 5.3.1rr - =- 5 7f r/ f (si ) d = = f/ ) ( )5( )4d s1 cos =