Hoeveel getallen van 2 verschillende cijfers kan je vormen met de cijfers 1,4,7,8? tweede cijfer

Transcriptie

1 Hoofdstu Combiatorie. Basisregels Combiatorie is de studie va telprobleme. De ust va het telle bestaat vaa uit het codere of aders voorstelle va het telprobleem, zodat het uiteidelij volstaat om de volgede eevoudige telregels toe te passe... De productregel Voorbeeld Hoeveel getalle va verschillede cijfers a je vorme met de cijfers,,7,8? We geve ee overzicht i oderstaade boom. eerste cijfer 7 8 tweede cijfer getal : 7 getal: 7 Voor het eerste cijfer zij er mogelijhede. Voor het tweede cijfer zij er, oafhaelij va de euze va het eerste cijfer, 3 mogelijhede. 7

2 I het totaal a je 3= mogelije getalle vorme. Ele weg i de boom, die bestaat uit ee opeevolgig va tae started vauit de wortel, levert ee cocreet getal. I ee boom is de volgorde belagrij : de weg 7 is verschilled va de weg 7. Voorbeeld Oderstaade figuur toot stede met hu verbidigswege. a b c d Op hoeveel maiere a me vauit a via b e c aar d rijde? Va a aar b zij er 3 wege. El va deze wege a op maiere voortgezet worde om aar c te rijde zodat er 3 reiswege abc zij. El va deze wege a op 5 maiere ue uitgebreid worde om aar d te rijde. I het totaal zij er 3 5= 6 mogelije reiswege abcd. Algemee formulere we de productregel als volgt. Stel dat ee opdracht a opgesplitst worde i opeevolgede stappe waarbij het aatal mogelijhede bij ele stap oafhaelij is va het resultaat va de voorgaade stappe. Idie er voor stap mogelijhede zij, voor stap mogelijhede,, voor stap mogelijhede a de globale opdracht uitgevoerd worde op maiere... De somregel Me wil het aatal elemete va ee eidige verzamelig A (otatie #A) telle. We ue A opsplitse i ee aatal deelverzamelige A, A,, A die oderlig gee gemeeschappelije elemete bevatte e waarva de uie de verzamelig A is. A A A Er geldt : #A = # A + # A + # A # De figuur hieraast toot ee voorbeeld voor =. A A 3 A 8

3 De regel is uttig als het aatal elemete va de verzamelige telle is. A i eevoudig te Voorbeeld Mevrouw Peters heeft 3 witte (w) e 3 zwarte (z) hoede, 3 witte e zwarte roe, witte e 3 zwarte bloeze. Zoder verdere voorwaarde a zij zich hiermee op 6 5 5= 5maiere lede. Mevrouw Peters draagt echter hoogstes éé zwart ledigstu. Bijgevolg zij er mider mogelijhede. De verschillede mogelije leurecombiaties zij : hoed ro bloes w w w met als aatal mogelijhede 3 3 = 8 z w w 3 3 = 8 w z w 3 = w w z 3 3 3= 7 De somregel levert da dat er i het totaal = 75 mogelijhede zij.. Elemete ieze Op hoeveel maiere a je elemete ieze uit verschillede elemete? Hierbij mae we ee oderscheid tusse ee geordede of ogeordede euze. Is de volgorde va de geoze elemete al da iet belagrij? Va belag is oo of het gaat om ee euze met of zoder herhalig. Mag eezelfde elemet meerdere ere geoze worde of iet?.. Geordede euzes met herhalig. Bij ee voetbalproostie moet de uitslag voorspeld worde va 3 wedstrijde met de volgede code : = de thuisploeg wit, = de bezoeers wie, x = er wordt gelijgespeeld. De productregel levert 3 3 = 5933 mogelijhede.. Er zij 8 = 56 verschillede bytes (rijtjes va acht bits, zoals ). 9

4 3. Hoeveel deelverzamelige heeft de verzamelig A { a, b, c, d} =? Ele deelverzamelig va A a gecodeerd worde met ee rijtje va bits dat aageeft of de elemete a,b,c,d (i die volgorde) al da iet (code of ) tot, b met de deelverzamelig behore. Zo codere we { ad} met, { } e de lege deelverzamelig met. Het telprobleem omt eer op het telle va het aatal rijtjes va bits. Dit zij er = 6. Algemee geldt dat ee verzamelig met elemete heeft. deelverzamelige. Hoeveel ummerplate ue er gevormd worde met 3 letters vooraa e 3 cijfers achteraa? We ieze eerst drie letters, da 3 cijfers, zoals JMB 7. Dit a gebeure op = 7576 maiere. Algemee Er zij geordede euzes met herhalig va elemete uit verschillede elemete... Geordede euzes zoder herhalig. Ee code bestaat uit verschillede letters. Volges de productregel zij er = 3588 dergelije codes. We otere dit aatal met (6) (lees 6 orde ). De code abfe is verschilled va de code fabe. Je bereet (6) met de TI-83 met 6 MATH<PRB> :Pr ! Mer op dat : ( 6) = = =. 3! 3

5 . Hoeveel ummerplate ue er gevormd worde met 3 verschillede letters e 3 verschillede cijfers, idie de letters vooraa moete staa? Er zij (6) 3 () 3 = = 3 mogelijhede. Algemee Het aatal geordede euzes zoder herhalig va elemete uit verschillede! elemete is ( ) = ( )( ) ( + ) =. ( )! Va groot belag is de situatie waarbij =. Er zij laarblijelij ( ) = ( )( ) 3 =! mogelije ragschiige of permutaties va elemete. Zo a je de letters a,b,c op 3! = 6 maiere ragschie : abc, acb, bac, bca, cab e cba...3 Ogeordede euzes zoder herhalig Op hoeveel maiere a je 3 boee ieze uit 5 verschillede boee a,b,c,d,e? Er zij ( 5) 3 = 5 3= 6 geordede euzes. Hieroder bevide zich, va bijvoorbeeld de boee a,b,c, oo de 6 verschillede permutaties abc, acb, bac, bca, cab, cba. De volgorde is hier va gee belag zodat er 6/6= mogelije ogeordede euzes zij. 5 We otere dit aatal met 3, lees 5 ies 3. 5 ( 5) Mer op dat ! 3 = = = 3! 3! 3!! Je bereet 5 3 met de TI-83 met 5 MATH<PRB> 3:Cr 3. 3

6 Algemee Het aatal deelverzamelige va elemete uit ee verzamelig va ( ) ( ) ( ) ( + )! elemete is = = =.!!!( )! Mer op dat! = =!! e! = =.!! Deze aatalle correspodere respectievelij met de deelverzamelige de volledige verzamelig va elemete e de lege verzamelig. Uit de voorgaade plaatjes stel je vast dat = = =. Het is iderdaad zo dat om uit mese 98 mese te ieze je beter a zegge wele mese je iet iest. Algemee geldt voor, met dat =. We geve og ee combiatorische iterpretatie va ee adere eigeschap door op twee maiere het aatal mogelije euzes te telle. Er zij 5 3 mogelije euzes va 3 boee uit 5 verschillede boee. Stel dat er ee bijzoder boe bij is. De euzes va 3 uit 5 boee a je da opsplitse tusse de euzes met of zoder dat bijzodere exemplaar. Daarvoor zij er respectievelij e 3 mogelijhede. De somregel levert 5 da 3 = + 3. Algemee geldt dat = +... Ogeordede euzes met herhalig Ee vader wil 7 stue va Euro verdele oder zij idere Tim, Nic e Joche (verder afgeort door t,, j). Op hoeveel maiere a dat? We ue oze vraag op de volgede maier aders formulere. Hoeveel oplossige heeft de vergelijig x+ y+ z = 7, met xyz,,? 3

7 Ee mogelije verdelig va de mutstue is t j j t t, wat hetzelfde is als t t t j j. Idie we de volgorde t,, j afspree, ue we die euze og verder codere door ee rij va bits. Hierbij diet bit als overgag aar het volgede id. Zo correspodeert t j j j j j met e j met. Zo ue we ee verdelig voorstelle door ee rij va 9 bits (7 eer e eer ). Zo ee rij ligt vast door de positie voor de ee (of de ulle) te ieze. Er zij 9 9 = = 36 7 mogelije verdelige of ogeordede euzes met herhalig va 7 elemete uit 3 elemete t,, j. Algemee zij er uit elemete. + ogeordede euzes met herhalig va elemete..5 Overzicht Hieroder vid je ee overzicht va de verschillede soorte euzes va elemete uit verschillede elemete. I dit overzicht vid je de lassiee beamig va de euzes e het aatal mogelije euzes. ogeorded georded zoder herhalig combiaties ( )! = =!!! ( ) variaties ( ) = ( ) ( + ) met herhalig herhaligscombiaties + herhaligsvariaties 33

8 .3 Het biomium va Newto.3. Het sommatietee We defiiëre a = a+ a + a3+ a. = Hierbij oeme we het sommatietee, de sommatieveraderlije e a de algemee term. We leze = a als sommatie a, voor gaade va tot. De euze va de sommatieveraderlije speelt gee rol : a = a = a. i p = i= p= Voorbeelde i= x = x + x + x + x + x i 3 5 = = = i 3 5 = = = 63 = i= = = + + = 9 36 ( + ) Als x = x = = x = a geldt : x = a of = a= a. = Eigeschappe ( x + y ) = x + y e = = = c x = c x (met c ee costate) = = Deze eigeschappe ue samevatted als volgt geschreve worde ( a e b costate) : ( a x + b y ) = a x + b y = = = Deze eigeschap oemt met de lieariteitseigeschap va. 3

9 .3. Het biomium va Newto Met de eigeschap dat = + costruere met de getalwaarde voor. is het mogelij vrij sel ee tabel te ( a b) ( a b) ( a b) 3 ( a b) ( a b) Deze tabel oeme we de driehoe va Pascal. Ele term is de som va de term erbove e zij lier buur. Ka je de symmetrie i éé rij verlare? De rije levere de coëfficiëte va de uitwerig va ( a+ b) voor =,,. Zo geldt voor = : Algemee geldt voor : ( ) 3 3 a+ b = a + a b+ 6a b + ab + b = a a b a b ab b = a b = 3 3 a+ b = a a b a b a b ab b a b = = ( )... Deze formule oemt me het biomium va Newto. 35

10 We geve ee combiatorisch bewijs voor. ( a+ b) = ( a+ b)( a+ b) ( a+ b) ( factore) () De uitwerig hierva verrijge we door éé term te ieze i el der factore, deze terme te vermeigvuldige e al deze producte (dat zij er ) op te telle. Bijvoorbeeld : ( ) ( )( ) a+ b = a+ b a+ b = aa+ ab+ ba+ bb= a + ab+ b. I de uitwerig va () otstaat ee term va de vorm a b door de euze va a i ( ) factore e b i (adere) factore. Dit a gebeure op maiere. Het volstaat immers om de factore waar je b iest vast te legge zodat het totaal eer optreedt i de uitwerig va (). a b i Je a b ieze uit =,, factore. De somregel levert da het biomium va Newto. Het biomium va Newto suggereert de aam biomiaalcoëfficiët voor. Bovestaade redeerig is eevoudig te veralgemee. Bepaal de coëfficiët va 3 5 x yz i de uitwerig va( x y z) + +. Schrijf i gedachte factore ( x + y+ z) aast elaar. Hieruit moet je x ieze op plaatse, da y op 3 adere plaatse e z omt op de overblijvede 5 plaatse. Het aatal mogelije euzes of de gevraagde coëfficiët is da 8 = 5 3. We hadde echter oo eerst x e da z ue ieze, of eerst y e da z. We vide teles opieuw als atwoord = = Ee adere redeerig is de volgede. Maa ee euze va letters ( eer x, 3 eer y, 5 eer z) maar geef ze eerst ee idex zodat ze oderscheidbaar zij. 36

11 Ee mogelije euze va ragschiig is : x z y x y y3 z z3 z z 5. Er zij! mogelije euzes (permutaties va verschillede elemete). Als we eel x e x verwissele i bovestaade permutatie verrijge we ee adere permutatie, die echter op dezelfde eeromt waeer we de idices va x e x verwijdere. Va het type x z y x y y3 z z3 z z 5 zij er dus! mogelije ragschiige.! I deze laatste ragschiig zij er 3! = 6 mogelijhede om eel de letters y i te verwissele va plaats. Bij het wegvege va de idices ue we oo de y 's iet meer oderscheide. We beome!!3! mogelije ragschiige va het type x z yxyyz z3 z z 5. Teslotte verwijdere we de idices va z i : x zyxyyzzz, zodat we! = 5 mogelijhede overhoude.!3!5! Algemee Gegeve elemete, iet allemaal verschilled : elemete va ee eerste soort, elemete va ee tweede soort,., p elemete va ee p -de e laatste soort. Deze elemete a je op Hierbij is p =.!!!! Me spreet hier oo over herhaligspermutaties. Toepassig p maiere ragschie. De coëfficiët va! 55 5!!3!! = 5 3 abcd i de uitwerig va ( a b c d) is 37

12 . Opdrachte. Op hoeveel maiere a me aarte eme uit ee spel va 5 aarte?. Ee geheime code bestaat uit 6 verschillede letters. Hoeveel mogelijhede zij er voor deze code? 3. I ee vla ligge pute, waarva gee drie op éé rechte. Hoeveel verschillede rechte worde door deze pute bepaald?. I ee firma were 5 arbeiders e bediede. Op hoeveel maiere a me ee comité samestelle dat bestaat uit 3 arbeiders e bediede? 5. Op hoeveel maiere a me studete verdele i twee voetbalploege va el studete? 6. Hoeveel delers heeft het getal? 7. I twee autobusse zij er og 3 respectievelij vrije plaatse. Op hoeveel maiere a me 7 toeriste verdele over deze autobusse? 8. I ee loaal zij er acht lampe, die me oafhaelij va elaar a aadoe. Hoeveel belichtigsmogelijhede zij er, idie (a) juist 5 lampe moete brade? (b) mistes 5 lampe moete brade? 9. Uit 5 Frase, Egelse e 6 Duitsers moete persoe geoze worde va verschillede atioaliteit. Op hoeveel maiere a dat?. Op hoeveel maiere ue gaste zich op de eerste rij va 6 stoele zette?. Va drie persoe weet me dat ze jarig zij i de maad ovember. Iemad moet va alle drie de verjaardag rade. Hoeveel mogelijhede zij er?. Op hoeveel maiere a me 5 hotelgaste verdele over vrije eepersoosamers? 3. Hoeveel diagoale heeft ee covexe -hoe (covex beteet gelege lags éé at va het verlegde va ele zijde)?. Ee hadelaar veroopt stue fruit aa Euro. De stue fruit mag je zelf ieze uit appels, pere e appelsiee. Hoeveel iope zij er mogelij voor Euro? 38

13 5. We beschouwe cijferbloe bestaade uit 5 cijfers, hoeveel bloe zij er : (a) i het totaal? (b) met verschillede cijfers? (c) met éé paar gelije cijfers? Vb. : 3536 e 7 (d) met twee paar gelije cijfers? Vb. : 355 e 575 (e) met drie gelije cijfers? Vb. 777 e 888 (f) met drie e twee gelije cijfers? Vb. 555 e 999 (g) met gelije cijfers? Vb. 5 e 7 (h) met vijf gelije cijfers? Vb. Cotrole : het resultaat uit (a) moet de som zij va de overige resultate. 6. Op hoeveel maiere a me het hieroder afgebeelde tegelveld verve, (a) als el veld wit of zwart mag geverfd worde, (b) als 8 velde zwart e 8 velde wit geverfd worde, (c) als velde wit, zwart e rood geverfd worde, (d) als el veld i ee verschillede leur moet geverfd worde, te ieze uit 6 verschillede leure. 7. Hoeveel ortste wege (eel bewege aar rechts of aar bove) zij er va lisoder aar rechtsbove i het hieraast afgebeelde rooster? 8. Op ee boeere moete ooboee, 5 wisudeboee e 6 romas aast elaar geplaatst worde. Alle boee zij verschilled. Op hoeveel maiere a dat, als boee va dezelfde soort aast elaar moete staa? 9. Uit mae e vrouwe moet me persoe ieze. Beree het aatal mogelijhede op maiere e bewijs zo de formule : =.. Op hoeveel maiere a je uit de getalle,,3,,3 drie getalle ieze waarva de som deelbaar is door 3?. Als 6 x j = e j= 6 x j =, beree da : j= (a) 6 6 (x j + 3) (b) xj( xj ) j= j= (c) 6 j= ( x 5) j 39

14 . Gegeve x =, x = 5, x3 =, x = 8 e y = 3, y = 8, y3 =, y = 6. Beree : (a) i= x i (b) xi (c) i= yi (d) ( xi + yi)( xi yi) i= i= (e) xiyi (f) i= xi yi i= i= (g) i= i i x y 3. Bewijs, met het biomium va Newto, dat het aatal deelverzamelige uit ee verzamelig va elemete is. Hit : + =.. (a) Bepaal de coëfficiët va x. 6 (b) Bepaal de coëfficiët va x i de uitwerig va x +. 3 (c) Bepaal de coëfficiët va x i de uitwerig va x x. 5. Wer uit : ( a+ b) 6 e ( 5 x) x i de uitwerig va ( ) Bepaal de coëfficiët va 3 abc i de uitwerig va ( a+ b c) 9 7. Beree (a) (c) (e).75.5 = (b) x x p q x= x met p+ q= 5 5 = (d) ( ) = = (f) 7 7 ( ) 3 =