Telproblemen & kansrekenen

Transcriptie

1 Telrobleme & asreee La théorie des robabilités est, au fod, que le bo ses réduit au calcul Pierre Simo Lalace Beaumot-e-Auge, 3 maart 749 Parijs, maart 87

2 ) Telrobleme Hadig telle vereist ee systematische aaa Door robleme met elaar te vergelije stuit je vaa o allerlei overeeomste e regelmatighede De ust is vaa die regelmaat te otdee We herhale eerst eele basisregels e afsrae die we al ee uit het vierde jaar a) Basisregels I de meest abstracte zi gaat het bij telrobleme altijd over het telle va elemete va ee gebeurteis G die ee deelverzamelig is va ee uitomsteverzamelig U (oo wel uiversum geoemd) Het aatal elemete va die gebeurteis otere we met #G De roductregel Bestaat ee gebeurteis G uit ee aatal oeevolgede deelgebeurteisse G, G,, G (die oafhaelij zij va elaar) da geldt: # G # G # G # G Voorbeeld: Hoeveel codes a je mae bestaade uit twee letters gevolgd door ee cijfer? Eele voorbeelde zij AJ, KB4, ZZ7, De gebeurteis G ies ee code a dus ogeslitst worde i drie oeevolgede oafhaelije gebeurteisse: G ies de eerste letter, G ies de tweede letter e G 3 ies het cijfer # G # G # G # G Dus 3 De somregels Disjucte gebeurteisse Bestaat ee gebeurteis G uit twee verschillede mogelije gebeurteisse G of G die elaar iet overlae (die disjuct zij, dus G G ) da geldt: # G # G + # G Voorbeeld: O hoeveel maiere a je ee dame of ee heer tree uit ee boe aarte? Deze gebeurteis G valt duidelij uitee i twee disjucte gebeurteisse G tre ee heer e G tre ee dame Dus # G # G + # G Niet-disjucte gebeurteisse Overlae de gebeurteisse (dus G G ), da geldt # G # G # G #( G G ) + Dit is eevoudig i te zie wat als je de som eemt va #G e #G da tel je de doorsede dubbel Voorbeeld: O hoeveel maiere a je ee harteaart of ee aas tree uit ee boe aarte? Hier zij de gebeurteisse G tre ee harteaart e G tre ee aas duidelij iet disjuct, wat G G tre harteaas Dus G G G ( G G ) # # + # # De comlemetregel Is ee gebeurteis bija gelij aa de volledige uitomsteverzamelig da is het soms hadiger om de comlemetaire gebeurteis te beije We oeme G de comlemetaire gebeurteis va G als e slechts als G G e G G U (Dit a oo geoteerd worde als G U \ G ) Cursus telrobleme & asreeig S Metteeige

3 Hierbij geldt # G # U # G Voorbeeld: O hoeveel mogelije dage a iemad iet i jauari verjare? De gebeurteis G iet i jauari verjare is uiteraard het comlemet va G i jauari verjare Dus # G # U # G b) Permutaties Variaties Combiaties (euzes zoder herhalig) I het vierde jaar zage we oo reeds iets lastigere telrobleme Deze ode vaa worde voorgesteld met behul va ee hadige visualisatie zoals ee boom of ee wegediagram Dit is zeer iet voor alle telrobleme oortuu We robere daartoe eele verschillede telricies te categorisere Permutaties Bij heel veel telrobleme is het va belag om i te zie of de volgorde va verschillede elemete ee rol seelt of iet Zo is het bij aartsele meestal iet belagrij i wele volgorde je je aarte rijgt toegedeeld, maar de volgorde va loege i ee ragschiig uiteraard wel Voorbeeld Hoeveel mogelije ragschiige zij er i ee cometitie va 6 loege? Voor de eerste laats zij er 6 mogelijhede, voor de tweede laats og mogelijhede, voor de derde laats og 4 mogelijhede, ez I totaal zij er dus 6! 643 mogelije ragschiige Algemee Het aatal maiere waaro we elemete ue ragschie otere we met P Dit heet ee ermutatie va elemete Er geldt: P! Variaties Bij gebeurteisse waarbij de volgorde belagrij is e waarbij er gee herhalig mogelij is sree we va variaties Voorbeeld: Er ame i Rio 6 3 atletes deel aa de zeveam Hoeveel verschillede odia (to drie) zij er da mogelij? Voor goud zij er 3 mogelijhede, voor zilver og 3 mogelijhede e voor bros 9 mogelijhede I totaal zij er dus mogelije odia Algemee Het aatal maiere waaro we i volgorde verschillede elemete ue ieze uit ee verzamelig va elemete otere we met V Dit heet ee variatie va uit elemete Er geldt: V ( )( + ), of orter geschreve: V ( ) factore!! Cursus telrobleme & asreeig 3 S Metteeige

4 Omerig Ee ermutatie ue we dus oo beschouwe als ee variatie va uit elemete P V Combiaties Bij gebeurteisse waarbij de volgorde iet belagrij is e waarbij er gee herhalig mogelij is sree we va combiaties Voorbeeld O hoeveel a je aarte uitgedeeld rijge uit ee boe va aarte Mocht de volgorde hier wel ee rol sele da was dit V Maar de volgorde waari je de aarte rijgt seelt uiteraard gee rol We zage reeds dat het aatal mogelije volgordes waari je de aarte a rijge gegeve wordt door P! Ele mogelije aartecombiatie omt dus i de bovestaade bewerig eer voor Het gezochte aatal 387 aartecombiaties is dus 9896 Algemee Het aatal maiere waaro we zoder volgorde elemete ue ieze uit ee verzamelig va elemete otere we met Er geldt: C Eigescha Stellig: C Bewijs: C V, of directer: P C C Dit heet ee combiatie va uit elemete C ( ) ( )!!! ( )!! C!!!! ( ) ( ) Alteratief bewijs: Om te telle o hoeveel maiere je zoder volgorde elemete uit ee verzamelig va elemete a ieze, a je evegoed ieze wele elemete je iet zal ieze Dus C C c) Keuzes met herhalig Herhaligsermutaties Aaloog aa ermutaties gaat het hier om ee aatal mogelije volgordes maar u zij er dus ee aatal elemete die herhaald worde Eerste voorbeeld Hoeveel aagramme bestaa er va TOM MARVOLO RIDDLE? Saties sele hierbij gee rol Dit is ee woord va 6 letters Er bestaa dus 6! Mogelije volgordes Maar daarbij moge we de 3 letters m oderlig va laats wissele (3! mogelije maiere) Oo de adere gelije letters moge oderlig va laats wissele (teles! mogelije maiere) Cursus telrobleme & asreeig 4 S Metteeige

5 Het totale aatal aagramme is dus 6! !!!!! 3 o m r l d Tweede voorbeeld Ja maat ee multile choice toets waarvoor hij totaal iet gestudeerd heeft De toets bestaat uit vrage e ele vraag heeft drie atwoordmogelijhede Hij besluit te goe maar wel zo dat hij ele mogelijheid eve vaa atwoordt O hoeveel maiere a Ja zij toets ivulle? Dit omt eer o het aatal aagramme zoee va het woord AAAAABBBBBCCCCC Het atwoord! is dus: 7676 mogelijhede!!! Algemee Het aatal maiere waaro je elemete a ragschie, waarbij er idetiee elemete zij va ee eerste soort, idetiee elemete va ee tweede soort, ez (met + + ) is gelij aa P Omerig,,! We oeme dit ee herhaligsermutatie!! Ele herhaligsermutatie a oo bereed worde met combiaties Hereme we het tweede voorbeeld da zij er va de mogelije vrage waar Ja A a ivulle, da og va de mogelijhede waar hij B a ivulle Alle overige vrage beatwoordt hij met C O deze maier vide we dat het atwoord gelij is aa: C C Herhaligsvariaties Bij gebeurteisse waarbij de volgorde belagrij is e waarbij er herhalig mogelij is sree we va herhaligsvariaties Voorbeeld: I ee las va leerlige moet ele leerlig ee sort ieze voor sortdag Er is euze uit 4 sorte O hoeveel verschillede maiere a deze las ieze voor hu sortdag? De eerste leerlig heeft 4 euzes, de tweede leerlig heeft 4 euzes, ez I totaal zij er dus mogelijhede Algemee Het aatal maiere waaro we i volgorde al da iet verschillede elemete ue ieze uit ee verzamelig va elemete otere we met elemete V Dit heet ee herhaligsvariatie va uit Er geldt: V Cursus telrobleme & asreeig S Metteeige

6 Herhaligscombiaties Bij gebeurteisse waarbij de volgorde iet belagrij is e waarbij er herhalig mogelij is sree we va herhaligscombiaties Voorbeeld Ee leerracht besluit voor zij verjaardag zij las va leerlige te tratere o boteroee Er is euze uit 4 verschillede boteroee Hoeveel mogelije verschillede bestellige a hij bij zij baer doe? Dit robleem is eevoudig visueel voor te stelle (e te herleide tot ee gewoe combiatie): De leerracht moet boteroee bestelle uit 4 soorte We stelle de boteroee voor door bolletjes (o) e laatse hiertusse 3 streejes ( ) om de verschillede soorte aa te duide Stel dat de boteroee va tye A, B, C of D zij We herschrijve twee bestellige o deze maier: AAABBBBBBBCDDDD ooo ooooooo o oooo BBBBBBBBBBDDDDD oooooooooo ooooo Het omt er dus o eer dat hij 3 (4-) streejes moet laatse o 8 (+4-) mogelije laatse, of dat hij bolletjes moet laatse o 8 mogelije laatse Dit is ee combiatie va uit 8 elemete Het aatal mogelije bestellige is dus C Algemee 3 8 C8 86 Het aatal maiere waaro we zoder volgorde al da iet verschillede elemete ue ieze uit ee verzamelig va elemete otere we met va uit elemete Er geldt: C C C, of directer: + + C ( + )! ( )! C Dit heet ee herhaligscombiatie! Cursus telrobleme & asreeig 6 S Metteeige

7 ) Het biomium va Newto We ee al de formules voor de merwaardige roducte ( x+ y) e ( x y) 3 + We robere dit u te veralgemee aar ee formule voor ( x+ y), met N We mere het volgede o: ( x+ y) ( x+ y) x+ y ( x+ y) ( x+ y) 3 ( x+ y) 4 x x + xy+ y + 3x y+ 3xy + y x + 4x y+ 6x y + 4xy + y Os vermoede is dus dat: ( x y) C C C C C C 3 C3 C3 C3 C C4 C4 C4 C4 C 4 + C x y We bewijze deze stellig i twee stae: Lemma:, N : C C + C (de formule va Stifel-Pascal) Bewijs: + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!!! +! C + C + +!!! +!! +!! +! C + C ( )! + + +! C! +!! +! ( ) + Stellig:,, :( ) ( ) ( ) x y R N x y C x y (het biomium va Newto) Bewijs: De formule lot voor, wat ( x y) + + C x y C x y + C x y x+ y We eme u aa dat de formule lot voor, e leide hieruit af dat ze lot voor + + x+ y x+ y x+ y x+ y Cx y ( ) ( )( ) ( ) + ( x+ y) ( x+ y) ( Cx + Cx y+ Cx y + + C xy + C y ) ( x+ y) ( x+ y) ( x y) C x + C x y+ C x y + + C x y + C xy + + C x y+ C x y + C x y + + C xy + C y 3 + ( ) ( ) ( ) ( ) x + C + C x y+ C + C x y + + C + C x y + C + C xy + y C x + C x y+ C x y + + C x y + C xy + C y C x y Alteratief bewijs: ( x y) ( x y)( x y) ( x y) Om dit roduct uit te reee moet je uit el va de factore ofwel de x ieze ofwel de y, deze vermeigvuldige e da daara al deze factore otelle (distributiviteit) Als je eer y iest, ies je dus automatisch oo eer x Het aatal maiere dat je eer y a ieze uit de factore is gee rol e er is gee herhalig) Er geldt dus wel degelij dat ( x y) C (wat de volgorde seelt + C x y Cursus telrobleme & asreeig 7 S Metteeige

8 Omerige De coëfficiëte C oeme we biomiaalcoëfficiëte Vervage we y door y, da wordt de formule: ( ) ( + ( )) ( ) + ± x y x y C x y C x C x y C x y C xy C y (De lustees e mitees i deze som wissele elaar af dit heet alterered) Voorbeeldoefeig Beaal de term i x i de otwielig va We wete dat 3x C ( 3x ) 3x x x x De terme zij ( ) 3 3 ( ) 3 ( ) C x C x x C x x De term i x wordt dus bereit als De coëfficiët is da ( ) C , dus de term i x is 8x Cursus telrobleme & asreeig 8 S Metteeige

9 3) Kasreee a) Ileidede begrie e defiities Kase Wisudig gezie is as ee getal tusse e dat aageeft hoe (o)waarschijlij ee beaalde gebeurteis is Ee beteet dat het omogelij gebeurt e ee beteet dat het zeer gebeurt I de ratij u je alle waarde tusse e tegeome Ee voorbeeld va ee as va : De as dat Waaslad Bevere dit jaar de Chamios League wit Ee voorbeeld va ee as va : De as dat uw leraar wisude ouder wordt da 3 jaar Notatie: De meest algemee defiitie va as hateert het begri gebeurteis Je a ee gebeurteis A defiiëre als ee deelverzamelig va alle mogelije gebeurteisse bie die cotext die we da de uitomsteverzamelig U oeme De as o ee gebeurteis A U otere we da met P( A ) Er geldt dus altijd P( A) De omogelije gebeurteis wordt met geoteerd, zodat geldt P( ) De zeere gebeurteis is het uiversum zelf, e daarvoor geldt uiteraard dat P( U ) Ee elemetaire gebeurteis is ee deelverzamelig va U die slechts uit éé elemet bestaat Voorbeeld: Bij het tree va ee aart uit ee aartsel is U {,, 3,, } gebeurteisse zij da de idividuele aarte die getroe worde Bijvoorbeeld A { } Bewerige met gebeurteisse Κ De elemetaire Met gebeurteisse ue we ee aatal elemetaire bewerige uitvoere We zulle dit illustrere aa de had va het aartsel Het is oo eevoudig om gebeurteisse e bewerige met gebeurteisse grafisch voor te stelle met behul va Vediagramme De uie va twee gebeurteisse { x B} A B x U x A De uie va twee gebeurteisse doet zich dus voor als ee va beide gebeurteisse zich voordoet (of allebei mag oo) De doorsede va twee gebeurteisse { x B} A B x U x A De doorsede va twee gebeurteisse doet zich eel voor als beide gebeurteisse zich voordoe Het verschil va twee gebeurteisse { x B} A\ B x U x A Het verschil va twee gebeurteisse doet zich eel voor als de eerste gebeurteis zich voordoet maar de tweede iet Cursus telrobleme & asreeig 9 S Metteeige

10 Het comlemet va ee gebeurteis { } A x U x A Het comlemet va ee gebeurteis doet zich eel voor als de gebeurteis zich iet voordoet Uit de defiitie volgt omiddellij dat A A U e A A Voorbeeld: Noem bij het tree va ee aart uit ee aartsel gebeurteis A het tree va ee aas e gebeurteis B het tree va ee harteaart Als deelverzamelig geoteerd geeft dit da: A {,,, } B {,, 3, 4,, 6, 7, 8, 9,, J, Q, K } De uie is da het tree va ee aas of ee harteaart: {,,,,,,,,,,,,,, Q, } A B J K De doorsede is het tree va harteaas Dit is teves ee elemetaire gebeurteis: { } A B Het verschil is het tree va ee aas die gee harteaart is: A\ B {,, } Emirische e theoretische ase I de realiteit maat me oderscheid tusse exerimetele e theoretische ase Theoretische ase a je (i ricie) uitreee Exerimetele ase u je te wete ome door exerimete uit te voere of door het verzamele va statistisch materiaal Ee exerimetele as is dus de relatieve frequetie va het otrede va ee gebeurteis bij ee beaald exerimet Voorbeeld: De theoretische as om met éé dobbelstee 6 te gooie is 6 Als je echter eer met ee zuivere dobbelstee gooit a best blije dat je 8 eer ee 6 gooit De exerimetele as is da de relatieve frequetie 8 /,8 (dit wordt oo wel de emirische as geoemd) Hoe meer ee exerimet wordt herhaald, hoe dichter de emirische e de theoretische as elaar beadere Formule va Lalace: Uit de ituïtie volgt voor ee as de volgede formule: aatal gustige mogelijhede Kas P totaal aatal mogelijhede Hierbij ga je er uiteraard va uit dat alle elemetaire gebeurteisse ee gelije as hebbe!! We oeme dit ee uiforme asverdelig Notere we het aatal elemetaire gebeurteisse waaruit ee gebeurteis A bestaat met #A da # A wordt de formule va Lalace: P( A) # U O deze maier herleide we het bereee va ee as tot het olosse va twee telrobleme Cursus telrobleme & asreeig S Metteeige

11 Kasbome Eevoudige robleme i de asreeig ue vaa worde ogelost door gebrui te mae va ee asboom We illustrere dit met ee voorbeeld: Voorbeeld: I ee vaas zitte 3 rode, witte e gele iers Je tret blideligs uit deze vaas twee iers (zoder de eerste terug te legge) Beree de as dat beide iers rood zij De ase bij deze oefeig a je eevoudig voorstelle met ee asboom: I verbad met ee asboom othoude we het volgede: De som va de ase die uit ee zelfde vertaigsut vertree, is altijd Waeer we verder gaa lags éé ta, moete we de ase vermeigvuldige Waeer verschillede tae gustig zij, moete we de relevate ase otelle (Zo is bijvoorbeeld de as o gelije iers bij deze robleemstellig 6/9 + /9 + /9 8/9) 4) De wette va de asreeig I het vorige hoofdstu werd er ogal ituïtief omgegaa met asreeig Deze beaderig is juist maar i de wisude vrage we toch om ee auweurigere beschrijvig va deze regels We vertree hierbij va ee aatal axioma s waaruit we da weer adere regels ue afleide a) De axioma s va Kolmogorov Met behul va de volgede drie axioma s bouwe we os hele systeem o: Axioma A : A U P( A) Axioma A : P( U ) Axioma 3 : A : A, B U : A B P( A B) P( A) + P( B) Cursus telrobleme & asreeig S Metteeige

12 b) Comlemetaire ase Stellig (de comlemetregel) CR : A U : P( A) P( A) def A Bewijs: Eerzijds wete we dat P( A A) P( U) Aderzijds is def A A A3, zodat P( A A) P( A) + P( A) + Dus P( A) P( A) P( A) P( A) Gevolg (de as o de omogelije gebeurteis) P : P( ) CR A P P U P U Bewijs: Aagezie U geldt ( ) ( ) ( ) Gevolg (asgreze) KG : A U P( A) : Bewijs: We wete we dat P( A) e P( A) (weges A ) CR Dus geldt oo P( A) P( A) c) De somregel Stellig (de verschilregel) P : A, B U : P( A\ B) P( A) P( A B) Bewijs: Het is duidelij dat voor de gebeurteisse A\ B e A B geldt: ( A\ B) ( A B) A e ( A\ B) ( A B) A3 Dus P( A) P( A\ B) + ( A B) P( A\ B) P( A) P( A B) Stellig (de somregel) P+ : A, B U : P( A B) P( A) + P( B) P( A B) Bewijs: Het is duidelij dat voor de gebeurteisse A\ B e B geldt: ( A\ B) B A B e ( A\ B) A3 B Dus P( A B) P( A\ B) ( B) P( A) P( A B) P( B) P + + (Deze stellig is ee rechtstreese uitbreidig va axioma A 3 voor iet-disjucte gebeurteisse) d) De wette va De Morga Stellig (de wette va De Morga) DM : P( A B) P( A B) e P( A B) P( A B) Bewijs: O ee Vediagram is omiddellij duidelij dat A B A B e A B A B e) Productregel (voor oafhaelije gebeurteisse) Defiitie: Twee gebeurteisse worde oafhaelij geoemd als het al da iet voorome va de ee gebeurteis gee ivloed heeft o de as o het voorome va de adere gebeurteis Stellig (roductregel voor oafhaelije gebeurteisse P : P( A B) P( A) P( B) o Cursus telrobleme & asreeig S Metteeige

13 Bewijs: Dit is heel eevoudig i te zie als je de as i twee dimesies weergeeft Zette we P( A ) o de x -as e ( ) P B o de y -as da is metee i te zie dat de as o de doorsede gegeve wordt door de oervlate va de rechthoe beaald door de doorsede va deze ase Dit is uiteraard P( A) P( B) Voorbeeld: Je gooit twee eer a elaar met ee (eerlije, 6-zijdige) dobbelstee Wat is de as dat je de eerste eer meer da 3 gooit, e de tweede eer meer da 4? De eerste wor heeft gee ivloed o de tweede, de gebeurteisse zij dus duidelij oafhaelij We gebruie dus bovestaade formule: P( D >3 e D >4) P( D > 3 ) P( D >4 ) 3 6 ) Voorwaardelije ase Defiitie va voorwaardelije as Defiitie: De as o ee gebeurteis B als ee gebeurteis A zich heeft voorgedaa oeme we ee voorwaardelije as die we otere met P( B A ) P( A B) Stellig VWK : Als P( A), da geldt P( B A) P( A) Bewijs: We gebruie dezelfde methode als bij de roductwet voor oafhaelije gebeurteisse Omdat we u uitgaa dat gebeurteis A zich heeft voorgedaa, valt het stu va het vierat waar A zich iet heeft voorgedaa weg (aageduid i rood) De gezochte as is da de oervlate va de doorsede P( A B) gedeeld door de oervlate va de rechthoe P( A ) De roductwet Stellig P : P( A B) P( A) P( B A) e P( A B) P( B) P( A B) Bewijs: Dit volgt omiddellij uit de formule voor voorwaardelije ase Voorbeeld: Je eemt twee aarte uit ee aartsel Wat is de as dat dit allebei harteaarte zij? 3 P( K K ) P( K ) P( K K ) 7 (Je a dit atuurlij oo gewoo bereee met combiaties: P( ) De wet va de totale as C 78 ) C 36 7 Ileided voorbeeld: O maadag, woesdag e vrijdag moet Robbe de yjama s weglegge s ochteds De adere dage moet Kato het doe Robbe vergeet dit echter 4% va de tijd, Kato vergeet dit slechts % va de tijd Paa omt o ee werdag thuis Wat is de as dat de yjama s og i de zetel ligge? 3 Cursus telrobleme & asreeig 3 S Metteeige

14 ( ) ( ) + ( ) ( ) P( Robbe) P( vergete Robbe) + P( Kato) P( vergete Kato) P vergete P vergete Robbe P vergete Kato P vergete ( ) P vergete 3 4% + % 3% Stellig (wet va de totale as) WTK : Als we ee uitomsteverzamelig U ue odele i allemaal verschillede disjucte gebeurteisse E, E,, E, da geldt voor ele gebeurteis A U i i i de wet va de totale as: P( A) P( E ) P( A E ) Bewijs: Uit het Ve diagram volgt omiddellij: ( ) ( ) ( ) A A E A E A E A3 P ( ) ( ) ( ) P A A E P E P A E i i i i i De regel va Bayes Ileided voorbeeld (bis): O maadag, woesdag e vrijdag moet Robbe de yjama s weglegge s ochteds De adere dage moet Kato het doe Robbe vergeet dit echter 4% va de tijd, Kato vergeet dit slechts % va de tijd Paa omt o ee werdag thuis e ziet dat de yjama s og i de zetel ligge Wat is de as dat het eigelij aa Robbe was om ze weg te legge? P( Robbe vergete) P( Robbe vergete) P vergete ( ) P Robbe vergete ( gete) P Robbe ver ( ) P( Robbe) P( vergete Robbe) ( ) P( vergete Robbe) + P( Kato) P( vergete Kato) P Robbe 3 4% 4% 8% 3 4% + % 3% Stellig (de regel va Bayes) RvB : Als we ee uitomsteverzamelig U ue odele i allemaal verschillede disjucte gebeurteisse E, E,, E, da geldt voor ele iet-lege gebeurteis A U de regel va Bayes: P( E A) Bewijs: P( E A) ( ) P( A) i i ( ) ( ) P E P A E ( ) ( ) P E P A E i ( ) ( ) P E P A P E P A E WTK P E P A E Oafhaelijheid va gebeurteisse ( ) ( ) i Gebeurteisse A e B zij oafhaelij als e slechts als P( A B) P( A) e P( B A) P( B) of aders gezegd (met P ) als e slechts als P( A B) P( A) P( B) i i Cursus telrobleme & asreeig 4 S Metteeige