De Poisson-verdeling. Doelen

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "De Poisson-verdeling. Doelen"

Transcriptie

1 De Poisso-verdelig = 1,5 4b ( ) P = = Doele Geschiedeis Diagostische toets 4.5 De Poisso-verdelig, ee ileidig De Poisso-verdelig De tabel va de Poisso-verdelig De verwachtigswaarde e de variatie va de Poisso-verdelig De beaderig va de biomiale verdelig door de Poisso-verdelig De beaderig va de Poisso-verdelig door de ormale verdelig Eidtoets Bijlage 1 Bewijs va de formule voor de Poisso-verdelig 2 Tabel Poisso-verdelig voor eelvoudige -waarde 3 Het bewijs voor E() = e Var() = 4 De som va oafhaelije Poisso-verdeelde asvariabele 5 De Poisso-verdelig met Excel 6 De Poisso-verdelig met de TI-83 Uitwerige va de opgave e! Doele Na het bestudere va dit hoofdstu u je: Ee Poisso-verdelig heree. De verschille aageve met ee biomiale verdelig. Kasvraagstue oplosse met de Poisso-verdelig. Kasvraagstue die op te losse zij met de biomiale verdelig beadere met de Poisso-verdelig. Kasvraagstue die op te losse zij met de Poisso-verdelig beadere met de ormale verdelig. Geschiedeis Siméo Poisso ( ) was ee Frase wisudige, gebore i de gemeete Pithiviers i het departemet Loiret. Hij leefde dus i de periode va de Frase revolutie e te tijde va adere grote Frase wisudige als Legedre, Laplace e Fourier. Op jeugdige leeftijd werd hij door zij vader aar Fotaiebleau gestuurd om zich bij zij oom, die chirurg was, te wijde aa de geeesude. Maar omdat zij eerste patiët eele ure a ee door hem uitgevoerde operatie stierf, wilde hij iets meer met geeesude te mae hebbe. Omdat hij eige aaleg i wisude blee te hebbe, werd hij aar de plaatselije École Cetrale gestuurd, * Siméo Deis Poisso Pithiviers i het departemet Loiret

2 2 Statistie voor techici waar hij zich verder bewaamde i de wisude. Als 17-jarige start hij aa de École Polytechique i Parijs. Bie twee jaar wist hij zich door publicatie va twee wisudige documete toegag te verschaffe tot het weteschappelije wereldje met oder adere Laplace, Legedre, bij wie hij colleges volgde, e Fourier. Naast zij aadacht voor het weteschappelije wer hij publiceerde meer da 300 teste over het brede gebied va de zuivere e toegepaste wisude had hij veel iteresse i het lesgeve. Hij blo hieri zo uit dat zij medestudete a ee erg moeilij college va éé va zij collega s vaa aar zij amer gige, om hem het college og ees uit te late legge e toe te lichte. I 1806 volgde hij Fourier, die aar Greoble vertro, op als hoogleraar aa de École Polytechique. Naast het hoogleraarschap aa de École Polytechique was hij astrooom aa het Bureau des Logitudes, hoogleraar aa de Faculté des Scieces i de ratioale mechaica' (professeur de mécaique ratioelle), oderzoeer aa de militaire school (École Militaire) i Sait-Cyr, oderzoeer aa de École Polytechique, raadsma va de uiversiteit, e meetudige bij het Bureau des Logitudes als opvolger va Laplace i Oo i de statistie heeft hij zij spore verdied. De Poisso-verdelig is door hem i 1837 i slechts éé pagia va zij statistisch wer Recherches sur la probabilité des jugemets e matières crimielles et matière civile beschreve. Hij lee zich terauwerood bewust va de grote pratische bruibaarheid va deze asverdelig. Ladislaus Josephowitsch vo Bortiewicz was de eerste die i 1898 de belagrijheid va de verdelig oderede. Hij paste haar toe i zij studie aar het aatal Pruisische soldate dat i de jare 1875 tot e met 1894 de dood vod door ee lap met ee paardehoef, beschreve i zij boe Das Gesetz der leie Zahle. Laplace, Legedre, Fourier, Siméo Deis Poisso, Frase Revolutie, Diagostische toets 1. Voor het aatal patiëte dat per dag i ee zieehuis bieomt tusse 10:00 uur e 10:30 uur eme we als asmodel ee Poisso-verdelig met parameter. I 10 aselect geoze dage blije i totaal 90 patiëte tusse de hiervoor geoemde tijdstippe bie te ome. a. Geef ee schattig va het gemiddelde aatal per dag. b. Bepaal de as dat er per dag precies 6 patiëte bieome tusse 10:00 uur e 10:30 uur. Laat m het aatal patiëte zij dat per dag tusse 10:30 uur e 11:00 uur bieomt met parameter m. Uit ee steeproef is geblee dat m = 5,6. c. Bepaal de as dat er op ee willeeurige dag tusse 10:00 uur e uur mider da 16 patiëte bieome. d. Geef ee schattig va Var( + m). 2. Het aatal uurwere dat per werdag bij ee juwelier verocht wordt, a als ee Poisso-verdelig beschouwd worde. Het aatal werdage per wee is gelij aa vijf. Het gemiddeld aatal uurwere dat verocht wordt bedraagt 4. Ele maadag wordt de voorraad va deze juwelier aagevuld tot 20 uurwere. a. Hoe groot is de as dat de juwelier te weiig voorraad heeft?

3 4.5 De Poisso-verdelig 3 b. Hoe groot moet de voorraad zij om deze as mider te late zij da 13%? 3. I ee productiebedrijf heeft me gedurede ee jaar per werdag bijgehoude hoeveel storige er per dag aa ee machie optrede. De tweede olom i de hieravolgede tabel geeft de waargeome aatalle ere aa met 0, 1, 2, 3, 4 respectievelij meer da 5 storige per dag aa. Het totaal aatal storige is 333. Hier is sprae va ee zeer groot aatal uitvoerige va ee asexperimet (productiehadelige met ee machie) met ee zeer leie as op succes (storig). waargeome aatal aatal storige per dag storige per dag totaal 333 het verwachte aatal storige per dag De verwachtig is da oo dat de waargeome aatalle storige goed beader ue worde met ee Poisso-verdelig a. Beree het gemiddelde aatal storige per dag i éé cijfer auweurig achter de omma. b. Beree i olom drie het verwachte aatal ere met 0, 1, 2, 3, 4 respectievelij meer da 5 storige per dag. c. Wat vid je va de mate waari de Poisso-verdelig de waargeome aatalle storige beadert? 4.5 De Poisso-verdelig, ee ileidig I hoofdstu 4 wordt het oderwerp asreeig behadeld. Kasreeig gebruie we bij het bestudere va uitomste waarbij toeval ee belagrije rol speelt. Bij die uitomste a de as uitgereed worde. Deze uitomste vorme same met hu bijbehorede ase ee asverdelig. Met ee asverdelig wordt ee asmodel vastgelegd. Er wordt oderscheid gemaat i discrete e cotiue asmodelle. I deze aavullig va geoemd hoofdstu, e wel op paragraaf 4.4, wordt óg ee discrete asverdelig besproe die gebruit wordt voor allerlei pratische toepassige e die i de techie bijvoorbeeld bij productieprocesse va toepassig is. Voorbeeld 1 Dodelije bedrijfsogevalle: recete otwielige 1 Wim va de Berg I 2005 zij 74 persoe overlede als gevolg va ee dodelij bedrijfsogeval. Dit is het laagste aatal i de afgelope tie jaar. Het aatal persoe dat jaarlijs door ee bedrijfsogeval overlijdt, schommelde i de periode tusse 74 e 126. Bija alle slachtoffers zij mae. Het aatal 55-plussers oder he is relatief hoog. Beeld rae is de meest vooromede oorzaa va 1 Vrij bewert aar ee oderwerp op de website 8CB5-6D078F2CC3C1/0/20064b15p58art.pdf

4 4 Statistie voor techici ee dodelij ogeval, gevolgd door valle. Ruim ee wart va de slachtoffers (26) werte i de bouwijverheid; per hoderdduized werede valle de meeste slachtoffers echter i de agrarische sector. a. Beree de as op 2 dodelije bedrijfsogevalle i de bouwijverheid i ee bepaalde wee va het jaar b. Beree de as op meer da 1 dodelij bedrijfsogeval i de bouwijverheid i ee bepaalde wee va het jaar We gaa deze situatie ees ader beije. Als we het aatal dodelije bedrijfsogevalle i de bouwijverheid per twee wee bijhoude, da zal i werelijheid het aatal dodelije bedrijfsogevalle per twee wee gemiddeld 1 persoo zij. Mer op dat er wee ue zij dat er iet éé dodelij bedrijfsogeval te bespeure valt, terwijl er oo wee ue voorome met 1, 2, 3 e zelfs meer dodelije bedrijfsogevalle. Het gemiddelde aatal dodelije bedrijfsogevalle is 1. We verdele u de twee wee i = 336 gelije itervalle va éé uur. Stel u dat als er ee dodelij bedrijfsogeval plaatsvidt dit i precies éé uur gebeurt. Laat het aatal dodelije bedrijfsogevalle i de bouwijverheid zij dat i ee tijdsiterval va precies éé uur plaatsvidt. Dat beteet dus dat er i twee wee 336 Beroulli experimete zij, met de as dat er i ee zo tijdsiterval va éé uur ee dodelij bedrijfsogeval i 1 de bouwijverheid plaatsvidt 336 0, 0030 bedraagt. De as dat er gee dodelij bedrijfsogeval i dat tijdsiterval gebeurt, is da gelij aa 1 0,0030 = 0,9970. Omdat de experimete oafhaelij zij va elaar e el experimet eezelfde as op succes P ( = ) = heeft va 0,0030 is het aatal ere dat er ee p ( 1 p) bedrijfsogeval per uur plaatsvidt dus biomiaal verdeeld met p = 0,0030. Volges deze biomiale verdelig met = 336 e p = 0,0030 vide we voor de ase = 0, 1, 2 3 e 3: P ( = 0) = 0, ,9970 0, = P ( = 1) = 0, ,9970 = 0, P ( = 2) = 0, , , = P ( = 3) = 0, , 9970 = 0, Repetitie: Gegeve ee Beroulli experimet met succesas p. De asvariabele is het totale aatal successe i oafhaelije uitvoerige va dat Beroulli experimet. Da hebbe we geleerd dat de asvariabele biomiaal verdeel is met

5 4.5 De Poisso-verdelig 5 Verdele we u ee etmaal i miute da zij er = gelije itervalle va éé miuut. Stel dat als er ee dodelij bedrijfsogeval plaatsvidt dit i precies éé miuut gebeurt. Laat het aatal dodelije bedrijfsogevalle i de bouwijverheid zij dat i ee tijdsiterval va precies éé miuut plaatsvidt. Dat beteet dus dat er i twee wee Beroulli experimete zij, met de as dat er i ee zo tijdsiterval va éé miuut ee 1 dodelij bedrijfsogeval i de bouwijverheid plaatsvidt , bedraagt. De as dat er gee dodelij bedrijfsogeval i dat tijdsiterval gebeurt, is da gelij aa 1 0,00005 = 0, Omdat de experimete oafhaelij zij va elaar e el experimet eezelfde as op succes heeft va 0,00005 is het aatal ere dat er ee bedrijfsogeval per miuut plaatsvidt dus biomiaal verdeeld met p = 0, Volges deze biomiale verdelig met = e p = 0,00005 vide we voor de ase = 0, 1, 2 3 e 3: P ( = 0) = 0, , = 0, P ( = 1) = 0, , = 0, P ( = 2) = 0, , , = P ( = 3) = 0, ,99995 = 0, Dit levert vier ase op die verschilled zij va de vorige vier. Wat u? Uit het voorgaade blijt echter dat er ee verdelig te bedee is die het limietgeval va de biomiale verdelig is waarbij het aatal asexperimete aar oeidig gaat, wisudig geoteerd met, e de as op succes p aar 0 gaat, geoteerd als p 0 zodat P ( = ) = lim p ( 1 p) = e!. Voor ee bewijs raadpleeg bijlage 1., p 0 Mer op dat de Poisso-verdelig ee model is voor het optrede va zeldzame gebeurteisse. Daarmee wordt het volgede bedoeld. Als het om gebeurteisse i de tijd gaat, da bedoele we met zeldzame gebeurteis dat de tijd die de gebeurteis duurt ort is i vergelijig met de hoeveelheid tijd tusse twee opeevolgede gebeurteisse. I voorgaad voorbeeld over het aatal dodelije bedrijfsogevalle i de bouwijverheid da gebeurt zo ogelu i ee fractie va ee secode e dus erg lei i vergelijig met de tijd die verloopt tusse twee dodelije bedrijfsogevalle De Poisso-verdelig Als de stochastische variabele het totale aatal successe aageeft i ee zeer groot aatal oafhaelije uitvoerige va ee asexperimet met ee zeer leie succesas p da is de as op successe P( = ) gelij aa e 2!, met = 0, 1, 2,,. 2 Voor het bewijs va de formule wordt verweze aar de bijlage

6 6 Statistie voor techici De verzamelig uitomste met de bijbehorede ase P( = ) vormt de asverdelig die de Poisso-verdelig heet. Kemere: 1. Het experimet bestaat uit het telle va het telle va het aatal eer dat ee zeere gebeurteis vooromt gedurede ee gegeve tijdsiterval of ee legte-eeheid of ee volume-eeheid (of gewicht, afstad of eige adere meeteeheid). 2. de as dat ee gebeurteis vooromt i ee gegeve tijds-, oppervlate- of volumeeeheid is voor ele eeheid gelij 3. het aatal gebeurteisse dat vooromt i ee tijds-, oppervlate- of volume-eeheid is oafhaelij va het aatal dat vooromt i adere eehede. 4. het gemiddelde aatal gebeurteisse i ele meeteeheid wordt aagegeve met de Griese letter. I voorgaade formule is e het grodtal va de atuurlije logaritme met e 2, Mer op dat uit de formule va de asfuctie f() = P( = ) blijt dat de ase i de Poissoverdelig odubbelziig zij vastgelegd door de waarde va. Je hoeft dus iet het aatal asexperimete e de succesas p te wete. Ee Poisso-verdelig vidt haar toepassig i situaties waar het gaat om het aatal voorvalle per tijdseeheid zoals het aatal storige per uur, het aatal vereersogevalle per jaar, het aatal late dat zich meldt aa het loet, het aatal bradmeldige per maad, het aatal telefoogespree per dag, het aatal tie op de geigerteller per miuut bij metig va radioactiviteit, het aatal auto s dat per miuut ee bepaald put va ee selweg passeert. Maar oo het aatal voorvalle per oppervlate-eeheid of per ihoudseeheid: het aatal weeffoute per m 2, het aatal paardebloeme per are weilad, het aatal voltreffers tijdes bombardemete op Lode i de tweede wereldoorlog, het aatal bacterië i ee liter water, het aatal molecule va stof X i ee liter verotreiigde vloeistof We gaa u ee atwoord geve op de vrage a e b uit de ileidig. a. Beree de as op 2 dodelije bedrijfsogevalle i de bouwijverheid i ee bepaalde wee va het jaar De stochastische variabele is het aatal dodelije bedrijfsogevalle i 2005 i de bouwijverheid i ee wee. Deze is Poisso verdeeld met = = 2. Gevraagd 1 wordt P ( 2 ) = = 2 = e 0,0758 = 7,58%. Het aatal experimete is iet 2! belagrij, wel de waarde va. b. Beree de as op meer da 1 dodelij bedrijfsogeval i de bouwijverheid i ee bepaalde wee va het jaar Het gevraagde is hier P > 1 = 1 = 1 P 1 = 1 = 1 P = 0 = 1 P = 1 = 1 = ( ) ( ) ( ) ( ) e e = 1 0, , , 0902 = 9,02%. 0! 1! Deze waarde ue oo met behulp va de tabelle i bijlage 2 gevode worde. Nog ee voorbeeld:

7 4.5 De Poisso-verdelig 7 Voorbeeld 2 Ee receptioiste va ee bedrijf otvagt gemiddeld per uur twitig telefootjes. Wat is de as dat ze i ee wartier mider da vijf telefootjes otvagt. Uitwerig Het aatal telefootjes dat de receptioiste i ee wartier otvagt mag als Poisso verdeeld beschouwd worde met = 5. Gevraagd wordt P ( < 5 = 5) = P ( = 0) + P ( = 1 ) P ( = 4 ) = e + e e 0,4405 0! 1! 4! Met de tabel uit bijlage 2 vide we de uitomst direct De tabel va de Poisso-verdelig Met de formule voor de Poisso-verdelig is de tabel voor verschillede - e -waarde te mae. Deze is i bijlage 2 terug te vide, éé voor de eelvoudige -waarde e éé voorde cumulatieve waarde va. Het opzoee va P ( 3 2) = = gaat als volgt. Raadpleeg de tabel met de verdelig voor eelvoudige waarde va, zie de hier avolgede tabel. 0,3000 0,2500 0,2000 0,1500 0,1000 0,0500 0, P ( = 3 = 2) = 2 2 e 3 3! 0, = = 0,1 = 0,2 = 0,3 = 0,4 = 0,5 = 0,6 0 0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0, ,0905 0,1637 0,2222 0,2681 0,3033 0, ,0045 0,0164 0,0333 0,0536 0,0758 0, ,0002 0,0011 0,0033 0,0072 0,0126 0, ,0000 0,0001 0,0003 0,0007 0,0016 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0004 = = 0,7 = 0,8 = 0,9 = 1,0 = 1,5 = 2 0 0,4966 0,4493 0,4066 0,3679 0,2231 0, ,3476 0,3595 0,3659 0,3679 0,3347 0, ,1217 0,1438 0,1647 0,1839 0,2510 0, ,0284 0,0383 0,0494 0,0613 0,1255 0, ,0050 0,0077 0,0111 0,0153 0,0471 0, ,0007 0,0012 0,0020 0,0031 0,0141 0, ,0001 0,0002 0,0003 0,0005 0,0035 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0008 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 Zo zoe je P ( 3 2) = = op! Zoe op = 2 e hetzelfde deel va de tabel = 3. Op het ruisput va beide waarde vid P = 3 = 2 = 0,1804. je ( )

8 8 Statistie voor techici Voor de uitomst va P ( 3 2) = raadpleeg je de tabel met de verdelig voor cumulatieve waarde va. I de hieravolgede figuur staat ee deel va de tabel die aageeft hoe je de bijbehorede waarde vidt: 0,8571. = = 0,9 = 1,0 = 1,5 = 2,0 = 2,5 = 3,0 = 3,5 = 4,0 0 0,4066 0,3679 0,2231 0,1353 0,0821 0,0498 0,0302 0, ,7725 0,7358 0,5578 0,4060 0,2873 0,1991 0,1359 0, ,9371 0,9197 0,8088 0,6767 0,5438 0,4232 0,3208 0, ,9865 0,9810 0,9344 0,8571 0,7576 0,6472 0,5366 0, ,9977 0,9963 0,9814 0,9473 0,8912 0,8153 0,7254 0, ,9997 0,9994 0,9955 0,9834 0,9580 0,9161 0,8576 0, ,0000 0,9999 0,9991 0,9955 0,9858 0,9665 0,9347 0, ,0000 1,0000 0,9998 0,9989 0,9958 0,9881 0,9733 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9989 0,9962 0,9901 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9989 0,9967 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9990 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 Zo zoe je P ( 3 2) = op! De as a oo bereed worde met de tabel va de verdelig voor eelvoudige waarde va : P 3 = 2 = P = 0 + P = P = 3 = 0, , ,1804 = 0,8571. ( ) ( ) ( ) ( ) Oo a de as bereed worde door toepassig va de formule P ( ) e = =.! P ( 3 = 2 ) = e + e e 0,8571 0! 1! 3! Opgave 1. Het aatal computerstorige va éé computer per wee is ee stochastische variabele die ee Poisso-verdelig volgt. Het gemiddeld aatal storige per wee is gelij aa 3. Wat is de as dat deze computer gedurede twee wee gee eele storig vertoot? 2. Het aatal ogevalle per dag op ee bepaald wegva is Poisso verdeeld met ee gemiddelde va 2 per maad. a. Beree de as dat er precies 4 ogevalle plaatsvide i ee maad. b. Beree de as dat er meer da 2 ogevalle plaatsvide i ee maad. c. Beree de as dat er mider da 3 ogevalle plaatsvide i ee periode va twee made. 3. I ee productiebedrijf worde metale plate bewert, waarbij foute ue optrede. Geblee is dat bij dit bewerigsproces éé fout optreedt per m 2. Wat is de as dat ee bewerte plaat va 1,5 bij 2 m maximaal éé fout heeft.

9 4.5 De Poisso-verdelig De verwachtigswaarde e de variatie va de Poisso verdelig We hebbe al gezie dat de Poisso-verdelig de plezierige eigeschap heeft dat je iet precies hoeft te wete hoe groot het aatal experimete is e hoe groot de succesas is. Daaraast heeft de Poisso-verdelig og twee opvallede eigeschappe: Als Poisso verdeeld is met parameter, da is de verwachtigswaarde va ee Poisso-verdelig is gelij aa, E() = e de variatie is eveees gelij aa, Var() =. Voor de stadaardafwijig geldt da σ = Opmerig: Omdat de verwachtigswaarde, het theoretische gemiddelde, bij de Poissoverdelig gelij is wordt i de literatuur het symbool vaa vervage door het symbool µ. Voor ee bewijs va de formules voor E() e Var() verwijze we je aar bijlage 3. I opgave 1 e 3 is zoder dat we het wete gebrui gemaat va ee belagrije eigeschap va asvariabele die Poisso verdeeld zij e wel de volgede eigeschap: Als e l twee oderlig oafhaelije asvariabele zij die Poisso verdeeld zij met parameters 1 e 2 da is de som va de beide asvariabele s = + l weer ee Poisso verdeelde asvariabele met parameter s = ; bewijs, zie bijlage 4. I opgave 1 was het aatal computerstorige va éé computer per wee met parameter = 3. Het gevraagde had betreig op het aatal storige i twee wee dus s = met parameter s = 6. I opgave 3 was sprae va = het aatal foute per m 2 met parameter = 1. Het gevraagde had betreig op ee plaat va 1,5 bij 2 m. Deze plaat is opgebouwd uit 12 plate va ¼ m 2 met el ee gemiddelde va ¼ fout. Da s = met parameter s = 3. I het u volgede voorbeeld omt ee adere situatie aa de orde waari eveees gebrui gemaat wordt va de hiervoor geoemde eigeschap. Voorbeeld 3 Twee persoe gebruie ee lasapparaat va hetzelfde mer e va hetzelfde type. Beide persoe moete statisch belaste costructies lasse. Bidigsfoute zij da iet toegestaa. Uit ervarig gebaseerd op de techie va ultrasoo oderzoe is geblee dat persoo A gemiddeld 0,05 foute per uur maat terwijl persoo B 0,1 foute per uur maat. Als beide persoe gedurede acht werure aa ee costructie were, bepaal da de as dat ze same meer da 2 foute gedurede die acht uur mae. Aalyse: A = het aatal lasfoute dat persoo A per uur maat ~ Poisso ( = 0,1) verdeeld; B = het aatal lasfoute dat persoo B per uur maat ~ Poisso ( = 0,2) verdeeld; A+B = het aatal lasfoute dat beide persoe same i 8 uur mae ~ Poisso ( = 8 (0,05 + 0,1) = 1,4) verdeeld. Gevraagd: P( A+B > 2)

10 10 Statistie voor techici Oplossig: P( A+B > 2) = 1 P( A+B 1) = 1 0,5918 = 0,4082. Opgave 4. Op het bedrijfsterrei va ee bedrijf staa drie fabriee aageduid met A, B e C. I alle drie fabriee staat ee volledig geautomatiseerde productiestraat. I fabrie A treedt per 4 uur gemiddeld 1 storig op i de productiestraat, terwijl dat i fabrie B e C gemiddeld respectievelij 2 e 3 storige zij. a. Hoe groot is de as dat op ee dag (= 8 werure) meer da 3 storige optrede i fabrie A? b. Hoe groot is de as dat i fabrie A e B same precies 8 storige optrede gedurede ee werdag? Beree deze as op twee maiere e wel: b1. door alle mogelije combiaties te bepale die same 8 storige oplevere e daarva de ase te bepale; b2. door gebrui te mae va de hiervoor geoemde eigeschap voor de som va oafhaelije Poisso verdeelde asvariabele. c. Hoe groot is de as op temiste 8 storige i fabrie A, B e C same op ee dag? De beaderig va de biomiale verdelig door de Poissoverdelig I het begi va deze paragraaf is al opgemert dat de Poisso-verdelig gezie a worde als ee biomiale verdelig met zeer grote steeproefomvag e zeer leie succesas p. Zoder bewijs melde we hier dat zeer grote steeproefomvag beteet 20 e zeer leie succesas beteet p < 5. Omdat de grafisch reeapparate e de softwarepaette voldoede rachtig zij, hoeft er mider va beaderige gebrui gemaat te worde. Ee goede rede echter om ee discrete asverdelig te beadere met ee adere discrete asverdelig is het reewer. Het a ee aazielije besparig aa reewer geve e toch ee redelij auweurig resultaat oplevere. Opgave 5. Het zaa i eletroische apparatuur veroopt TV toestelle va ee bepaald type. Het aatal dat me dagelijs veroopt mag als ee Poisso-verdelig beschouwd worde met parameter 1,8. Op maadagmiddag vidt de bevoorradig plaats terwijl de zaa op zodag sluit. Hoeveel toestelle moet me steeds op maadag i voorraad brege om de omede wee met 95% zeerheid direct te ue levere? De beaderig va de Poisso-verdelig door de ormale verdelig We lope hier vast vooruit op de theorie va hoofdstu 5, de ormale verdelig, ee asverdelig die behoort tot de verzamelig va cotiue verdelige. Op basis va ee belagrije stellig, de cetrale limietstellig, a ee discrete verdelig, i dit geval de Poisso-verdelig, beaderd worde door de ormale verdelig, zoals opgemert ee cotiue verdelig. De voorwaarde die hiervoor geldt is: µ 10.

11 4.5 De Poisso-verdelig 11 Schematisch ue we de verschillede beaderige va de ee verdelig door de adere als volgt weergeve: Hypergeometrische verdelig < p < 0,10 0,10 Biomiale Poisso N 20 verdelig verdelig 20 p 5 (1 p) 5 Normale verdelig µ 10 Eidtoets 1. De telefoooproepe die i ee telefoocetrale aaome gedurede éé miuut volge ee Poisso-verdelig met parameter = 6. Beree i vier cijfers auweurig achter de omma de as dat i éé miuut: a. Gee oproepe aaome. b. Precies 6 oproepe aaome. c. Mistes 7 oproepe aaome. 2. I ee zeer gebied trede aardbevige bij beaderig op volges ee Poisso-verdelig met ee gemiddelde va 2 aardbevige per maad. a. Beree i vier cijfers auweurig achter de omma de as dat er de omede twee maade mistes drie aardbevige optrede. b. Wat is de as i vier cijfers auweurig achter de omma dat de eerstvolgede aardbevig mistes drie maade op zich laat wachte? c. Beree de as i vier cijfers auweurig achter de omma dat er de eerstomede 4 maade gee eele aardbevig plaatsvidt. 3. I ee bedrijf worde aa ee lopede bad bierflesjes gevuld. Daarbij gaat er zo u e da wel ees iets mis e valt er ee flesje va de bad. Me heeft geaalyseerd dat er gemiddeld 3 flesjes per dag va de bad valle. a. Bede ee geschit model waarmee het aatal flesjes beschreve dat per dag va de bad valt beschreve a worde. b. Beree i het geval va vraag a de as dat er op zeere dag gee flesje va de bad valt. c. We wete dat er per dag flesse over de bad gaa. Bede i dit geval ee geschit model voor het aatal gevalle flesse per dag e beree op basis va dit model de variatie e het verwachtigswaarde va het aatal gevalle flesjes op ee dag. d. Beader door gebrui te mae va de cetrale limietstellig zo goed mogelij de as dat er i ee maad met 20 werdage maximaal 60 flesse va de bad valle.

12 12 Statistie voor techici Bijlage 1 Bewijs va de formule voor de Poisso-verdelig Gegeve de biomiale verdelig met oafhaelije uitvoerige va ee asexperimet met twee mogelije uitomste aagegeve met succes e gee succes, waarva de as op succes gelij is aa p e de as op gee succes gelij is aa (1 p). De as op eer succes is da gelij aa P ( = ) = p ( 1 p), met = 0, 1, 2,,. formule 1 Als het aatal asexperimete zeer groot wordt e de as op succes p erg lei e p, de verwachtigswaarde of het theoretische gemiddelde va de biomiale verdelig, is gelij aa, da geldt: lim p ( 1 p ) e =!., p 0 Het bewijs verloopt als volgt. Omdat p = is p te schrijve als p = e is formule 1 te 1 = 1! ( 1 ) e 1 = =! ( )! ( 1 ) schrijve als p ( p) ( 1 ) ( 1 ) ( )!! = = 1 1! ( )!!! zit i de factor * Poisso formule! Omdat ee vast geheel getal is, geldt voor factor * ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ). formule 2 factore ( )( ) ( )! = =! = =... = = Als da gaat factor * aar 1. Oo de factor 1 Voor de factor lim 1 gaat aar 1 voor. geldt het volgede. I de wisude is aagetood dat lim 1+ = e met e 2,71828; e is het getal va Euler, die ee ei was i het bewere va oeidige somme, producte e breue; va hem wordt wel gezegd dat hij reede zoals adere ademhaalde. Dus lim 1 = lim 1+ = e. lim p 1 p = e, p 0 Ui t het voorgaade blijt ( )!

13 4.5 De Poisso-verdelig 13 Bijlage 2 Tabel Poisso-verdelig voor eelvoudige -waarde: P( = ) =!. e 0,3000 0,2500 0,2000 0,1500 0,1000 0,0500 0, P ( = 3 = 2) = 2 2 e 3 3! 0,1804 = = 0,1 = 0,2 = 0,3 = 0,4 = 0,5 = 0,6 0 0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0, ,0905 0,1637 0,2222 0,2681 0,3033 0, ,0045 0,0164 0,0333 0,0536 0,0758 0, ,0002 0,0011 0,0033 0,0072 0,0126 0, ,0000 0,0001 0,0003 0,0007 0,0016 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0004 = = 0,7 = 0,8 = 0,9 = 1,0 = 1,5 = 2 0 0,4966 0,4493 0,4066 0,3679 0,2231 0, ,3476 0,3595 0,3659 0,3679 0,3347 0, ,1217 0,1438 0,1647 0,1839 0,2510 0, ,0284 0,0383 0,0494 0,0613 0,1255 0, ,0050 0,0077 0,0111 0,0153 0,0471 0, ,0007 0,0012 0,0020 0,0031 0,0141 0, ,0001 0,0002 0,0003 0,0005 0,0035 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0008 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 = = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 = 8 0 0,0498 0,0183 0,0067 0,0025 0,0009 0, ,1494 0,0733 0,0337 0,0149 0,0064 0, ,2240 0,1465 0,0842 0,0446 0,0223 0, ,2240 0,1954 0,1404 0,0892 0,0521 0, ,1680 0,1954 0,1755 0,1339 0,0912 0, ,1008 0,1563 0,1755 0,1606 0,1277 0, ,0504 0,1042 0,1462 0,1606 0,1490 0, ,0216 0,0595 0,1044 0,1377 0,1490 0, ,0081 0,0298 0,0653 0,1033 0,1304 0, ,0027 0,0132 0,0363 0,0688 0,1014 0, ,0008 0,0053 0,0181 0,0413 0,0710 0, ,0002 0,0019 0,0082 0,0225 0,0452 0, ,0001 0,0006 0,0034 0,0113 0,0263 0, ,0000 0,0002 0,0013 0,0052 0,0142 0, ,0000 0,0001 0,0005 0,0022 0,0071 0, ,0000 0,0000 0,0002 0,0009 0,0033 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0014 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0006 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0009 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,

14 14 Statistie voor techici Tabel Poisso-verdelig voor cumulatieve -waarde: P( ) = e = 0!. 0,2 0,15 0,1 0, ( ) P 6 = 5 = 0,7622 = = 0,1 = 0,2 = 0,3 = 0,4 = 0,5 = 0,6 = 0,7 = 0,8 0 0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,5488 0,4966 0, ,9953 0,9825 0,9631 0,9384 0,9098 0,8781 0,8442 0, ,9998 0,9989 0,9964 0,9921 0,9856 0,9769 0,9659 0, ,0000 0,9999 0,9997 0,9992 0,9982 0,9966 0,9942 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9996 0,9992 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 = = 0,9 = 1,0 = 1,5 = 2,0 = 2,5 = 3,0 = 3,5 = 4,0 0 0,4066 0,3679 0,2231 0,1353 0,0821 0,0498 0,0302 0, ,7725 0,7358 0,5578 0,4060 0,2873 0,1991 0,1359 0, ,9371 0,9197 0,8088 0,6767 0,5438 0,4232 0,3208 0, ,9865 0,9810 0,9344 0,8571 0,7576 0,6472 0,5366 0, ,9977 0,9963 0,9814 0,9473 0,8912 0,8153 0,7254 0, ,9997 0,9994 0,9955 0,9834 0,9580 0,9161 0,8576 0, ,0000 0,9999 0,9991 0,9955 0,9858 0,9665 0,9347 0, ,0000 0,9998 0,9989 0,9958 0,9881 0,9733 0, ,0000 0,9998 0,9989 0,9962 0,9901 0, ,0000 0,9997 0,9989 0,9967 0, ,9999 0,9997 0,9990 0, ,0000 0,9999 0,9997 0, ,0000 0,9999 0, ,0000 0, ,0000 = = 5,0 = 5,5 = 6,0 = 6,5 = 7,0 = 8,0 = 9,0 = 10,0 0 0,0067 0,0041 0,0025 0,0015 0,0009 0,0003 0,0001 0, ,0404 0,0266 0,0174 0,0113 0,0073 0,0030 0,0012 0, ,1247 0,0884 0,0620 0,0430 0,0296 0,0138 0,0062 0, ,2650 0,2017 0,1512 0,1118 0,0818 0,0424 0,0212 0, ,4405 0,3575 0,2851 0,2237 0,1730 0,0996 0,0550 0, ,6160 0,5289 0,4457 0,3690 0,3007 0,1912 0,1157 0, ,7622 0,6860 0,6063 0,5265 0,4497 0,3134 0,2068 0, ,8666 0,8095 0,7440 0,6728 0,5987 0,4530 0,3239 0, ,9319 0,8944 0,8472 0,7916 0,7291 0,5925 0,4557 0, ,9682 0,9462 0,9161 0,8774 0,8305 0,7166 0,5874 0, ,9863 0,9747 0,9574 0,9332 0,9015 0,8159 0,7060 0, ,9945 0,9890 0,9799 0,9661 0,9467 0,8881 0,8030 0, ,9980 0,9955 0,9912 0,9840 0,9730 0,9362 0,8758 0, ,9993 0,9983 0,9964 0,9929 0,9872 0,9658 0,9261 0, ,9998 0,9994 0,9986 0,9970 0,9943 0,9827 0,9585 0, ,9999 0,9998 0,9995 0,9988 0,9976 0,9918 0,9780 0, ,0000 0,9999 0,9998 0,9996 0,9990 0,9963 0,9889 0, ,0000 0,9999 0,9998 0,9996 0,9984 0,9947 0, ,0000 0,9999 0,9999 0,9993 0,9976 0, ,0000 1,0000 0,9997 0,9989 0, ,9999 0,9996 0, ,0000 0,9998 0, ,9999 0, ,0000 0, ,

15 4.5 De Poisso-verdelig 15 Bijlage 3 Het bewijs voor E() = e Var() = E() = E ( ) = P ( = ) = e! = 0 = 0 = e = e 1! 1! = e ( ) ( ) = 0 = 1 = 1 1 ( ) 1! Met reesotwielig, ee oderwerp uit de wisude waarbij ee fuctie beaderd wordt door de som va ee aatal terme, heeft me aagetood dat ( ) E = e e =. Var() = ( ) 2 2 We wete Var ( ) E ( ) E ( ) Uit voorgaade volgt E ( ) ( ) ( ) =. ( ) E P e = 0 = 0 =. Verder geldt: = = =! 2 = e = e 1! 1! ( ) ( ) = 0 = = e = e + 1! 1! ( ) = 1 = 1 = 1 ( 1) ( ) = ( 1 1) ( ) 1 1 = e ( 1) + e 1 = 1 ( 1 )! = 1 ( 1 )! 1 = e + e e 1! 2 = e + 1 2! = 1 ( 1) ( )( ) = e = e + = e e + = + = 2 ( 2 )! = e ( ) 2 Dus ( ) ( ) ( ) = Var = E E = + =. 1 = e 1 1! ( ), zodat

16 16 Statistie voor techici Bijlage 4 De som va oafhaelije Poisso-verdeelde asvariabele Gegeve zij de oafhaelije Poisso verdeelde asvariabele e l met respectievelij de parameters 1 e 2. Laat s de som zij va beide asvariabele met s = + l. Da is s opieuw Poisso verdeeld met parameter Bewijs: Voor ele willeeurige gaa we P ( s ) da uit alle mogelije combiaties va e l. Dus =, l = 0; = 1, l = 1;...; = 1, l = 1; = 0, l =. Da = bepale. De uitomste va s bestaa ( ) ( ; 0) ( 1; 1 )... ( 1; 1) ( 0; ) P s = = P = l = + P = l = + + P = l = + P = l = = i= 0 ( = ; = ) P i l i ( ) ( ) = P = i P l = i =. Vawege de oafhaelijheid va e l is dit te schrijve als: i= 0 - i i 1! i i e e = e e 1 2 i= 0 = 0 i! i!! ( - i)! i! i ( ) ( ) e e! i= 0 i! 1 2 i i 1 2 = ( ). Dit is precies P ( s = = ) Opmerig: er is ee wisudige formule die beed staat als het biomium va Newto, die luidt ( ) x + y = x y i= 0 i i i :

17 4.5 De Poisso-verdelig 17 Bijlage 5 De Poisso-verdelig met Excel 1. Bepaal P( ) = 2 = 5 = 0,0842 We gaa erva uit dat i cel B2 e B3 de getalle 2 respectievelij 5 zij igevuld voor achtereevolges het aatal gustige gebeurteisse e de verwachtigswaarde. Kies fuctie ivoege f x e vervolges uit de optie Statistisch de fuctie POISSON. De afbeeldige hiera geve aa wat je vervolges moet ivulle. Uit de eerste afbeeldig blijt dat gebrui is gemaat va de celverwijzige B2 e B3 voor X e het gemiddelde. I plaats daarva u je oo i de ivoervajes 2 respectievelij 5 ivulle. Da vidt de bereeig echter iet plaats met de ihoud va de celle, maar met de harde getalle 2 e 5.

18 18 Statistie voor techici 2. Bepaal P( ) 2 = 5 = 0,1247 Dit gaat op vrijwel dezelfde maier:

19 4.5 De Poisso-verdelig 19 Bijlage 6 De Poisso-verdelig met de TI-83 Om P( = ) te bepale met de TI-83 gebrui je het commado poissopdf (, ) (=poisso cumulative probality desity fuctio) oder <2ND> <DISTR>. Voorbeeld: P( = 5 = 2,6). Dru op <2ND> <DISTR>; ies B:poissopdf; dru op <ENTER>; er verschijt poissopdf(; type i 2.6, 5 e ) e dru op <ENTER); uitomst POISSONPDF(2.6, 5) Om P( ) te bepale met de TI-83 gebrui je het commado poissocdf (, ) (=poisso probability desity fuctio) oder <2ND> <DISTR>. Voorbeeld: P( 5 = 2,6). Dru op <2ND> <DISTR>; ies C:poissocdf; dru op <ENTER>; er verschijt poissocdf(; type i 2.6, 5 e ) e dru op <ENTER); uitomst Dit zie je i het scherm va je TI-83 i het geval va poissopdf POISSONCDF(2.6, 5) Dit zie je i het scherm va je TI-83 i het geval va poissocdf

20 20 Statistie voor techici Uitwerige va de opgave Diagostische toets Opgave 1 a. = het aatal patiëte dat per dag i ee zieehuis bieomt tusse 10:00 e 10:30 90 uur. De bijbehorede parameter = = b. Gevraagd: P( = 6 = 9) = 0,0911. c. m = het aatal patiëte dat per dag i dat zieehuis bieomt tusse 10:30 e 11:00 uur, met m = 5,6. Gevraagd P(s < 16 s = 9 + 5,6) = 0,6090, met s = het aatal patiëte dat per dag i dat zieehuis bieomt tusse 10:00 e 11:00 uur. d. Var( + m). = 9 + 5,6 = 14,6. Opgave 2 a. = het aatal uurwere dat per werdag verocht wordt ~ Poisso ( = 4) verdeeld. Het probleem a als volgt vertaald worde: P( 5 > 20) = 1 P( 5 20) = 1 0,5591 = 0,4409. Hierbij is 5 = het aatal uurwere dat per 5 dage verocht wordt ~ Poisso ( = 5 4 = 20) verdeeld. b. We oeme de voorraad g. Da moet gelde P( 5 > g ) < 0,1300. We mae ee tabel g P ( 5 > g ) 21 0, , , , , Uit de tabel blijt dat g gelij moet zij aa 25. Opgave 3 a. Het gemiddeld aatal storige is gelij aa ( ) / 333 = 0,9. b. aatal storige per dag waargeome aatal storige per dag het verwachte aatal storige per dag , , , , , ,8 totaal ,0 c. De waargeome aatalle storige worde goed beaderd door ee Poisso-verdelig.

Hoeveel getallen van 2 verschillende cijfers kan je vormen met de cijfers 1,4,7,8? tweede cijfer 4 7 8 1 7 8 1 4 8 1 4 7

Hoeveel getallen van 2 verschillende cijfers kan je vormen met de cijfers 1,4,7,8? tweede cijfer 4 7 8 1 7 8 1 4 8 1 4 7 Hoofdstu Combiatorie. Basisregels Combiatorie is de studie va telprobleme. De ust va het telle bestaat vaa uit het codere of aders voorstelle va het telprobleem, zodat het uiteidelij volstaat om de volgede

Nadere informatie

Een toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek.

Een toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek. 006 Wolters-Noordhoff bv Groige/Houte De steekproefomvag Ee toelichtig op het belag e het berekee va de steekproefomvag i marktoderzoek. Ihoud 1 Ileidig Eerst ekele defiities 3 Steekproefomvag e respose

Nadere informatie

Het andere binomium van Newton Edward Omey

Het andere binomium van Newton Edward Omey Ileidig Het adere biomium va Newto Edward Omey Bija iederee heeft tijdes ij studies eis gemaat met de biomiale coëf- ciëte of getalle Dee worde diwijls voorgesteld oder de vorm die door Blaise Pascal (6-66)

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2008-II

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2008-II Groepsfoto s Alle mese kippere met hu oge. Daardoor staa op groepsfoto s vaak ekele persoe met geslote oge. Sveso e Bares hebbe oderzocht hoeveel foto s je moet make va ee groep va persoe om 99% kas te

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame HAVO 2013 tijdvak 2 woesdag 19 jui 13.30-16.30 uur wiskude A Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 21 vrage. Voor dit exame zij maximaal 80 pute te behale. Voor elk vraagummer

Nadere informatie

Tentamen - Informatietheorie ( ) 22 augustus u

Tentamen - Informatietheorie ( ) 22 augustus u Tetame - Iformatietheorie (473) augustus 995 9. -.3 u Bij de opgave is het maximaal aatal te behale pute vermeld. Het aatal pute is. Het tetame bestaat uit 6 opgave. Bij de tetame is het gebrui va ee reemachie

Nadere informatie

Betrouwbaarheid. Betrouwbaarheidsinterval

Betrouwbaarheid. Betrouwbaarheidsinterval Betrouwbaarheid Ee simulatie beoogt éé of i.h.a. twee of meerdere sceario s te evaluere e te vergelijke, bij Mote Carlo (MC) simulatie voor ee groot aatal istelwaarde, voor éé of meerdere parameters. Hierbij

Nadere informatie

Rijen. 6N5p

Rijen. 6N5p Rije 6N5p 0-03 Rije Ileidig I de wiskude werke we vaak met formules e/of fucties die elke mogelijke waarde aa kue eme. Als bijvoorbeeld f( x) = 5x + 5x 3, da ku je voor x (bija) elke waarde ivulle e ka

Nadere informatie

Periodiciteit bij breuken

Periodiciteit bij breuken Periodiciteit bij breuke Keuzeodracht voor wiskude Ee verdieede odracht over eriodieke decimale getalle, riemgetalle Voorkeis: omrekee va ee breuk i ee decimale vorm Ileidig I deze odracht leer je dat

Nadere informatie

Effectief document- en risicobeheer

Effectief document- en risicobeheer Tekee voor efficiecy Effectief documet- e risicobeheer Met KOVO s techisch iformatiecetrum (TIC) altijd toegag tot actuele tekeige e documete é voldoe aa de eise va wet- e regelgevig. Succesvol documetbeheer

Nadere informatie

Deel A. Breuken vergelijken 4 ----- 12

Deel A. Breuken vergelijken 4 ----- 12 Deel A Breuke vergelijke - - 0 Breuke e brokke (). Kleur va elke figuur deel. Doe het zo auwkeurig mogelijk.. Kleur va elke figuur deel. Doe het telkes aders.. Kleur steeds het deel dat is aagegeve. -

Nadere informatie

Praktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling

Praktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling Praktische opdracht: Complexe getalle e de Julia-verzamelig Auteur: Wiebe K. Goodijk, Zerike College Hare Beodigde Voorkeis: 1 = i Het complexe vlak. Notatie: z = a + bi of z = r(cosϕ + i si ϕ) Regel va

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde A vwo 2010 - I Eidexame wiskude A vwo - I Beoordeligsmodel Maratholoopsters maximumscore 3 uur, 43 miute e 3 secode is 98 secode De selheid is 495 98 (m/s) Het atwoord: 4,3 (m/s) maximumscore 3 Uit x = 5 volgt v 4,4

Nadere informatie

Combinatoriek-mix groep 2

Combinatoriek-mix groep 2 Combatore-mx groep Tragsweeed, ovember 0 Theore De opgave deze hadout hebbe allemaal wat te mae met éé of meer va oderstaade oderwerpe Belagrj bj het mae va opgave s om et allee de theore de je et goed

Nadere informatie

Rijen met de TI-nspire vii

Rijen met de TI-nspire vii Rije met de TI-spire vii De tore va Pisa Me laat ee bal valle vaaf de tore va Pisa(63m hoog) Na elke keer stuitere haalt de bal og ee vijfde va de voorgaade hoogte. Gevraagd zij: a) De hoogte a de e keer

Nadere informatie

Toelichting bij Opbrengstgegevens VAVO 2011-2013

Toelichting bij Opbrengstgegevens VAVO 2011-2013 Toelichtig bij Opbregstgegeves VAVO 2011-2013 Ihoud Ileidig Aatal deelemers exame Kegetalle toezicht exames CE-cijfer alle vakke CE-cijfer alle vakke - tred SE-cijfer mius CE cijfer alle vakke Percetage

Nadere informatie

Combinatoriek groep 2

Combinatoriek groep 2 Combatore groep Mx: ducte, ladeprcpe, bomaalcoëffcëte, paaseereprcpe Tragsweeed ovember 015 Theore De opgave deze hadout hebbe allemaal wat te mae met éé of meer va oderstaade oderwerpe Belagrj bj het

Nadere informatie

Hoe los ik het op, samen met Thuisvester? Ik heb een klacht

Hoe los ik het op, samen met Thuisvester? Ik heb een klacht Klachte? Hoe los ik het op, same met Thuisvester? Ik heb ee klacht Thuisvester doet haar uiterste best de beste service te verlee aa haar huurders. We vide ee goede relatie met oze klate erg belagrijk.

Nadere informatie

Appendix A: De rij van Fibonacci

Appendix A: De rij van Fibonacci ppedix : De rij va Fiboacci Het expliciete voorschrift va de rij va Fiboacci We otere het het e Fiboaccigetal met F De rij va Fiboacci wordt gegeve door: F F F F 4 F F 6 F 7 F De volgede afleidig is gebaseerd

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame VW 007 tijdvak woesdag 6 mei.0-6.0 uur wiskude B Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 0 vrage. Voor dit exame zij maximaal 8 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel

Nadere informatie

Evaluatierapport. Tevredenheidsonderzoek NMV Nederlandse Montessori Vereniging 2005. Eindrapportage. BvPO

Evaluatierapport. Tevredenheidsonderzoek NMV Nederlandse Montessori Vereniging 2005. Eindrapportage. BvPO Evaluatierapport Tevredeheidsoderzoek NMV Nederladse Motessori Vereigig 2005 Eidrapportage BvPO Bureau voor praktijkgericht oderzoek, Groige BvPO BUREAU VOOR PRAKTIJKGERICHT ONDERZOEK POSTBUS 9505, 9703

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame VW 007 tijdvak woesdag 6 mei.0-6.0 uur wiskude B Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 0 vrage. Voor dit exame zij maximaal 8 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel

Nadere informatie

Ja, ik wil. Trouwen in Vlaardingen

Ja, ik wil. Trouwen in Vlaardingen Ja, ik wil Trouwe i Vlaardige Ihoud Pagia 4 Locatie kieze Pagia 5 Tijdstip kieze Pagia 6 De plechtigheid Pagia 8 I odertrouw Pagia 9 Tot slot Pagia 11 Bijlage Gefeliciteerd met uw voorgeome huwelijk of

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodelle e ormaal verdeelde steekproefgroothede 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1.

Nadere informatie

Opgeloste Oefeningen Hoofdstuk 5: Wet van de grote aantallen en Centrale limietstelling

Opgeloste Oefeningen Hoofdstuk 5: Wet van de grote aantallen en Centrale limietstelling Opgeloste Oefeige Hoofdstuk 5: Wet va de grote aatalle e Cetrale limietstellig 5.. Ee toevalsveraderlijke X is oisso-verdeeld met parameter λ = 00. Bepaal ee odergres voor de waarschijlijkheid (75 X 5).

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II Eideame wiskude B vwo 200 - II Sijde met ee hoogtelij Op ee cirkel kieze we drie vaste pute, B e C, waarbij lijstuk B gee middellij is e put C op de kortste cirkelboog B ligt. Ee put doorloopt dat deel

Nadere informatie

Convergentie, divergentie en limieten van rijen

Convergentie, divergentie en limieten van rijen Covergetie, divergetie e limiete va rije TI-spire e rije 7N5p GGHM 22-23 Eigeschappe rekekudige rij b = begiwaarde v = verschil tusse twee opeevolgede terme recursieve formule: u = u + v met u = b directe

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 6. Proporties. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 6. Proporties. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1. Ee ieuwe aam voor ee gekede grootheid...2

Nadere informatie

Evaluatie pilot ipad onder docenten

Evaluatie pilot ipad onder docenten Evaluatie pilot ipad oder docete Oderwerp equête Geëquêteerde Istellig Evaluatie pilot ipad Docete OSG Sigellad locatie Drachtster Lyceum Datum aamake equête 19-06-2012 Datum uitzette equête 21-06-2012

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3NA10 of 3AA10) Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10)

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3NA10 of 3AA10) Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) TECHISCHE UIVERSITEIT EIDHOVE Tetame Ileidig Experimetele Fysica (3A10 of 3AA10) Tetame OGO Fysisch Experimetere voor mior AP (3M10) d.d. 0 jauari 010 va 9:00 1:00 uur Vul de presetiekaart i blokletters

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskude B, (ieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereided Weteschappelijk Oderwijs 0 0 Tijdvak Izede scores Uiterlijk op jui de scores va de alfabetisch eerste vijf kadidate per school op de daartoe

Nadere informatie

2de bach TEW. Statistiek 2. Van Driessen. uickprinter Koningstraat Antwerpen ,00

2de bach TEW. Statistiek 2. Van Driessen. uickprinter Koningstraat Antwerpen ,00 de bach TEW Statistiek Va Driesse Q www.quickpriter.be uickpriter Koigstraat 3 000 Atwerpe 46 5,00 Nieuw!!! Olie samevattige kope via www.quickpritershop.be Hoofdstuk : Het schatte va populatieparameters.

Nadere informatie

Een samenvatting van de CAO voor Uitzendkrachten 2012-2017

Een samenvatting van de CAO voor Uitzendkrachten 2012-2017 Ee samevattig va de CAO voor Uitzedkrachte 2012-2017 Uitgave juli 2015 Ihoudsopgave 1. Ileidig 5 2. Fasesysteem 5 2.1 Fase A 6 2.2 Fase B 6 2.3 Fase C 6 2.4 Oderbrekigsregels 7 2.5 Overgagsregelig fase

Nadere informatie

HOOFDSTUK III. SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen. Theorie Statistiek Les 6

HOOFDSTUK III. SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen. Theorie Statistiek Les 6 HOOFDSTUK III SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters e Betrouwbaarheidsitervalle 3. HET GEMIDDELDE VAN EEN NV Steekproef uit ee ormaal verdeelde populatie De kasveraderlijke X, X, X 3,..., X zij N(µ, σ) verdeeld

Nadere informatie

Overlijden: uw rechten in Duitsland en Nederland

Overlijden: uw rechten in Duitsland en Nederland Regelige e voorzieige CODE 1.1.3.46 Overlijde: uw rechte i Duitslad e Nederlad brochure broe Bureau voor Duitse Zake, www.svb.l/bdz Ihoudsopgave Overlijde Uw rechte i Duitslad e Nederlad Deskudig e betrouwbaar

Nadere informatie

Tabellenrapportage CQ-index Kraamzorg

Tabellenrapportage CQ-index Kraamzorg Tabellerapportage CQ-idex Kraamzorg Jauari 2011 Ihoud Pagia Algemee uitleg 1 Deelame e bevalmaad 1 De itake 2 3 Zorg tijdes de bevallig 3 4 Zorg tijdes de kraamperiode 4 10 Samewerkig e afstemmig 11 Algemee

Nadere informatie

We kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen:

We kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen: Masteropleidig Fiacial Plaig Kwatitatieve Methode Relevate wiskude We kee i de wiskude de volgede getalleverzamelige: De atuurlijke getalle: N = {0,,,,4, } De gehele getalle: Z = {, -,-,-,0,,,, } (egels:

Nadere informatie

1. Weten dat in het geval van compressoren rekening moet gehouden worden met thermische effecten

1. Weten dat in het geval van compressoren rekening moet gehouden worden met thermische effecten Hoofdstuk 4 Compressore Doelstellige 1. Wete dat i het geval va compressore rekeig moet gehoude worde met thermische effecte 2. Wete dat er ee gres is aa het verhoge va de druk va ee gas 3. Wete welke

Nadere informatie

Opgave 5 Onderzoek aan β -straling

Opgave 5 Onderzoek aan β -straling Eidexame vwo atuurkude 214-I - havovwo.l Opgave 5 Oderzoek aa β -stralig Zoals beked bestaat β -stralig uit elektroe. Om ee oderzoek aa β -stralig te doe heeft Harald ee radioactieve bro met P-32 late

Nadere informatie

www.rocspiegel.nl Zadkine dienstverlening bij Zadkine Zadkine Online Evaluatie Instrument locatie: Marconistraat april 2014

www.rocspiegel.nl Zadkine dienstverlening bij Zadkine Zadkine Online Evaluatie Instrument locatie: Marconistraat april 2014 diestverleig bij Zadkie Pagia 1 va 10 www.rocspiegel.l Olie Evaluatie Istrumet Zadkie Zadkie diestverleig bij Zadkie locatie: Marcoistraat april 2014 Alle rechte voorbehoude. CopyRight 2014 DigiDoc ROCspiegel.l

Nadere informatie

Stochastische loadflow. Beschrijving model belasting.

Stochastische loadflow. Beschrijving model belasting. Stochastische loadflow. eschrijvig model belastig. 95 pmo 5-- Phase to Phase V Utrechtseweg 3 Postbus 68 AC Arhem T: 6 356 38 F: 6 356 36 36 www.phasetophase.l 95 pmo INHOUD Ileidig...3 eschrijvig belastig...

Nadere informatie

www.hbospiegel.nl Hogeschool Utrecht Enquete project Cross Your Borders Faculteit Educatie Online Evaluatie Instrument juli 2014

www.hbospiegel.nl Hogeschool Utrecht Enquete project Cross Your Borders Faculteit Educatie Online Evaluatie Instrument juli 2014 Equete project Cross Your Borders Pagia 1 va 7 www.hbospiegel.l Olie Evaluatie Istrumet Hogeschool Utrecht Faculteit Educatie Equete project Cross Your Borders juli 2014 Alle rechte voorbehoude. CopyRight

Nadere informatie

Opgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100...

Opgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100... Opgave OPGAVE 1 a. Itereer met F( ) = e als startwaarde 1 e 1. 16 1............... 16 1............... b. Stel de bae grafisch voor i ee tijdgrafiek. c. Formuleer het gedrag va deze bae. (belagrijk is

Nadere informatie

Statistiek Voor studenten Bouwkunde College 4

Statistiek Voor studenten Bouwkunde College 4 Statistie Voor studete Bouwude College reee met ase Programma voor vadaag Terugbli Kase Optelle va ase Vermeigvuldige va ase Oafhaelijheid De biomiale verdelig Prof. dr. ir. G. Jogbloed Istituut Vermeldig

Nadere informatie

Op zoek naar een betaalbare starterswoning? Koop een eigen huis met korting

Op zoek naar een betaalbare starterswoning? Koop een eigen huis met korting Op zoek aar ee betaalbare starterswoig? Koop ee eige huis met kortig Op zoek aar ee betaalbare starterswoig? Koop ee eige huis met kortig Pagia Ee eige huis waar u zich helemaal thuis voelt. Dat wil iederee!

Nadere informatie

Werktekst 1: Een bos beheren

Werktekst 1: Een bos beheren Werktekst : Ee bos behere Berekeige met rije op het basisscherm Op ee perceel staa 3000 kerstbome. Ee boomkweker moet beslisse hoeveel bome er jaarlijks gekapt kue worde e hoeveel ieuwe aaplat er odig

Nadere informatie

PARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens

PARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens PARADOXEN 9 Dr Luc Gheyses LIMIETEN, AFGELEIDEN EN INTEGRALEN: ENKELE MERKWAARDIGE VERHALEN Ileidig: verhale over ifiitesimale Ee ifiitesimaal (of ifiitesimaal kleie waarde) is ee object dat mi of meer

Nadere informatie

Combinatoriek. Nota s in samenwerking met Anja Struyf en Sabine Verboven (Universiteit Antwerpen)

Combinatoriek. Nota s in samenwerking met Anja Struyf en Sabine Verboven (Universiteit Antwerpen) 1 Combiatoriek Nota s i samewerkig met Aja Struyf e Sabie Verbove (Uiversiteit Atwerpe) I het dagelijkse leve worde we vaak gecofroteerd met vraagstukke waarva de oplossig het telle va het aatal elemete

Nadere informatie

Statistiek 2 voor TeMa. Statistiek 2 voor TeMa. Statistiek 2 voor TeMa. Statistiek 2 voor TeMa Inleiding. Studiemateriaal

Statistiek 2 voor TeMa. Statistiek 2 voor TeMa. Statistiek 2 voor TeMa. Statistiek 2 voor TeMa Inleiding. Studiemateriaal Algemee iformatie http://www.wi.tue.l/wsk/oderwijs/s95 College e istructies College: woesdag uur - HG6.96 Istructies maadag uur 5-6 HG6.09 Auditorium oodgebouw, uit Opdrachte: opgave uit boek e dictaat

Nadere informatie

Waar moet je aan denken? Verhuizen. Stap 1: Hoe zeg ik de huur op?

Waar moet je aan denken? Verhuizen. Stap 1: Hoe zeg ik de huur op? Verhuize Waar moet je aa deke? Verhuize Bij verhuize komt heel wat kijke. Naast het ipakke va spulle e doorgeve va adreswijzigige, is het ook belagrijk dat u same met Thuisvester ee aatal zake regelt.

Nadere informatie

7. Betrouwbaarheidsintervallen voor proporties

7. Betrouwbaarheidsintervallen voor proporties VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 7. Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg

Nadere informatie

7.1 Recursieve formules [1]

7.1 Recursieve formules [1] 7.1 Recursieve formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is ee getallerij. De getalle i de rij zij de terme. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is de vijfde term (u

Nadere informatie

Eindexamen natuurkunde 1-2 compex havo 2007-I

Eindexamen natuurkunde 1-2 compex havo 2007-I Ogave 1 Kerfusie I de zo fusere waterstofkere tot heliumkere. Bij fusie komt eergie vrij. O deze maier roduceert de zo er secode 3,9 10 26 J. Alle eergiecetrales o aarde roducere same i éé jaar ogeveer

Nadere informatie

Vuilwaterafvoersystemen voor hoogbouw

Vuilwaterafvoersystemen voor hoogbouw Vuilwaterafvoersysteme voor hoogbouw 1.2 Vuilwaterafvoersysteme voor hoogbouw Nu er steeds hogere e extremere gebouwe otworpe worde, biedt ee ekelvoudig stadleidigsysteem de mogelijkheid om gemakkelijker

Nadere informatie

imtech Arbodienst (versie 2.1)

imtech Arbodienst (versie 2.1) imtech Arbodiest Vervoer va gevaarlijke stoffe (versie 2.1) veilig e gezod werke imtech arbodiest Wat verstaa we oder het vervoer va gevaarlijke stoffe? Gevaarlijke stoffe zij stoffe die op éé of adere

Nadere informatie

Eindrapport Leerlingtevredenheidsonderzoek Floracollege Eindexamenklassen 2013

Eindrapport Leerlingtevredenheidsonderzoek Floracollege Eindexamenklassen 2013 Eidrapport Leerligtevredeheidsoderzoek Floracollege Eidexameklasse 2013 Juli 2013 Ihoudsopgave Samevattig 3 Vrage over schoolwerk 5 Vrage over jezelf 6 Vrage over docete 8 Vrage over de metor 11 Vrage

Nadere informatie

Kwaliteit van de persoonsgegevens. Resultaten Gemeente Alpen aan den Rijn

Kwaliteit van de persoonsgegevens. Resultaten Gemeente Alpen aan den Rijn Kwaliteit va de persoosgegeves Resultate Gemeete Alpe aa de Rij Klik Ted om Dicks, de titelstijl Hek-Ja va Wieseekker het model te bewerke Ageda Doel va het oderzoek Irichtig va het oderzoek Resultate

Nadere informatie

Commissie Pensioenhervorming 2020-2040. Nota over de actuariële neutraliteit. Bijlage III

Commissie Pensioenhervorming 2020-2040. Nota over de actuariële neutraliteit. Bijlage III Commissie Pesioehervormig 00-040 Nota over de actuariële eutraliteit Bijlage III. I het kader va de ivoerig va ee «deeltijds pesioe» wordt de kwestie va de actuariële correctie va de uitkerige i geval

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 18 juni uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 18 juni uur Eame VW 05 tijdvak doderdag 8 jui.0-6.0 uur wiskude B (pilot) Dit eame bestaat uit 7 vrage. Voor dit eame zij maimaal 79 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel pute met ee goed atwoord behaald

Nadere informatie

Formaliteiten bij overlijden Informatie voor nabestaanden

Formaliteiten bij overlijden Informatie voor nabestaanden Formaliteite bij overlijde Iformatie voor abestaade NFOINFOINFOIN FOINFOINFOINF 2 Ileidig Omdat ee aaste uit uw familie of vriedekrig is overlede e het u moeilijk valt u uw aadacht te richte op de formaliteite

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2007-I

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2007-I Eidexame wiskude B vwo 007-I havovwo.l Podiumverlichtig Ee podium is 6 meter diep. Midde bove het podium hagt ee balk met tl-buize. De verlichtigssterkte op het podium is het kleist aa de rad, bijvoorbeeld

Nadere informatie

Ongelijkheden. IMO trainingsweekend 2013

Ongelijkheden. IMO trainingsweekend 2013 Ogelijkhede IMO traiigsweeked 0 Deze tekst probeert de basis aa te brege voor het bewijze va ogelijkhede op de IMO. Het is de bedoelig om te bewijze dat ee bepaalde grootheid (ee uitdrukkig met ee aatal

Nadere informatie

Videoles Discrete dynamische modellen

Videoles Discrete dynamische modellen Videoles Discrete dyamische modelle Discrete dyamische modelle Orietatie Algebraisch Algebraisch/ umeriek Numeriek Maak de volgede rijtjes af: Puzzele met rijtjes a. 2 4 6 8 10 - b. 1 2 4 8 16 - c. 1 2

Nadere informatie

Wijzigingsformulier Ziektekostenverzekering

Wijzigingsformulier Ziektekostenverzekering De Amersfoortse Verzekerige Stadsrig 15, postbus 42 3800 AA Amersfoort Tel. (033) 464 29 11 Fax (033) 464 29 30 Wijzigigsformulier Ziektekosteverzekerig Gegevesverwerkig Bij deze wijzigig worde persoosgegeves

Nadere informatie

Enquête social media gebruik ROC West-Brabant

Enquête social media gebruik ROC West-Brabant Equête social media gebruik ROC West-Brabat Jauari / februari 2012 I jauari 2012 is ee studeteequête geoped, met als thema social media i het oderwijs. De equête is door 514 mbo-studete igevuld. Afhakelijk

Nadere informatie

Kansrekenen [B-KUL-G0W66A]

Kansrekenen [B-KUL-G0W66A] KU Leuve Kasrekee [B-KUL-G0W66A] Notities Tom Sydey Kerckhove Gestart 8 februari 2015 Gecompileerd 9 februari 2015 Docet: Prof. Tim Verdock Ihoudsopgave 1 Combiatoriek 2 1.1 Variaties..........................................

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) wiskude A, (ieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereided Weteschappelijk Oderwijs 0 04 Tijdvak izede scores Verwerk de scores va de alfabetisch eerste vijf kadidate per school i het programma Wolf

Nadere informatie

Steekproeftrekking Onderzoekspopulatie Steekproef

Steekproeftrekking Onderzoekspopulatie Steekproef Steekproeftrekkig I dit artikel worde twee begrippe beschreve die va belag zij voor het uitvoere va ee oderzoek. Het gaat om de populatie va het oderzoek e de steekproef. Voor wat betreft steekproeve lichte

Nadere informatie

Een andere kijk op Financiële Rekenkunde Wim Pijls, Erasmus Universiteit Rotterdam

Een andere kijk op Financiële Rekenkunde Wim Pijls, Erasmus Universiteit Rotterdam Ee adere kijk op Fiaciële Rekekude Wim Pijls, Erasmus Uiversiteit Rotterdam. Ileidig Het vak Fiaciële Rekekude levert vawege zij sterk wiskudig karakter ogal wat probleme op i het oderwijs. Veel leerlige

Nadere informatie

Levende Statistiek, een module voor VWO wiskunde D

Levende Statistiek, een module voor VWO wiskunde D Op het Stedelijk Gymasium te Leide is de module Levede Statistiek uitgeprobeerd, Ee verslag va Jacob va Eeghe e Liesbeth de Wreede. Levede Statistiek, ee module voor VWO wiskude D Statistiek is typisch

Nadere informatie

RAADS IN FORMATIE BRIE F

RAADS IN FORMATIE BRIE F RAADS IN FORMATIE BRIE F gemeete WOERDEN Va: college va burgemeester e wethouders Datum: 1 december 2011 Portefeuillehouder(s): Titia Cosse Portefeuille(s): portefeuille Moumete e Archeologie Cotactpersoo:

Nadere informatie

Mexicaanse griep: A/H1N1 griep

Mexicaanse griep: A/H1N1 griep Mexicaase griep: A/H1N1 griep Wat is de Mexicaase griep? De zogeaamde Mexicaase of varkesgriep is ee ieuwe variat va het griepvirus, met ame A/H1N1. Weiig mese hebbe immuiteit voor dit virus. Hierdoor

Nadere informatie

Verbeterbeleid. Avonturijn

Verbeterbeleid. Avonturijn Verbeterbeleid Avoturij 2 Als u ee keer mider tevrede over os bet... Ee verbeterput Odaks dat wij os best doe de opvag va uw kid zo goed mogelijk te verzorge, ka het voorkome dat u ees wat mider tevrede

Nadere informatie

De vernieuwing van Slotjes-Midden. Sociaal Statuut

De vernieuwing van Slotjes-Midden. Sociaal Statuut De verieuwig va Slotjes-Midde Sociaal Statuut Ihoudsopgave Sociaal Statuut voor de verieuwig va Slotjes-Midde 3 Artikel 1: Overwegige 4 Artikel 2: Algemee 4 Artikel 3: Procedure bij sloop 4 Artikel 4:

Nadere informatie

HET BELANG VAN. Vragen Tijdens de voordracht op 14 augustus 2007 hebben we de volgende vragen besproken.

HET BELANG VAN. Vragen Tijdens de voordracht op 14 augustus 2007 hebben we de volgende vragen besproken. HET BELANG VAN KP HART Vrage Tijdes de voordracht op augustus 007 hebbe we de volgede vrage besproke. Hoe ku je izie dat ee vierkat, bij gegeve omtrek, de rechthoek met de maximale oppervlakte is? Hoe

Nadere informatie

Thermodynamica HWTK PROEFTOETS- AT02 - UITWERKING.doc 1/9

Thermodynamica HWTK PROEFTOETS- AT02 - UITWERKING.doc 1/9 VAK: hermodyamica HWK Set Proeftoets A0 hermodyamica HWK PROEFOES- A0 - UIWERKING.doc /9 DI EERS LEZEN EN VOORZIEN VAN NAAM EN LEERLINGNUMMER! Beschikbare tijd: 00 miute Uw aam:... Klas:... Leerligummer:

Nadere informatie

Analyse wijze en stimuleren van invullen Nationale Studenten Enquête 2012. Pascal Brenders 19 juni 2013

Analyse wijze en stimuleren van invullen Nationale Studenten Enquête 2012. Pascal Brenders 19 juni 2013 Aalyse wijze e stimulere va ivulle atioale Studete Equête 20. Pascal Breders 19 jui 2013 Aaleidig Studiekeuze3 is veratwoordelijk voor de uitvoerig va de atioale Studete Equête (SE). De atioale Studete

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO

Correctievoorschrift VWO Correctievoorschrift VWO 009 tijdvak wiskude B, Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordelig Algemee regels Vakspecifieke regels Beoordeligsmodel 5 Izede scores Regels voor de beoordelig

Nadere informatie

Hogeschool Utrecht. Standaard Rapport. Online Rapport. Faculteit Educatie. HBOspiegel.nl 10-9-2013

Hogeschool Utrecht. Standaard Rapport. Online Rapport. Faculteit Educatie. HBOspiegel.nl 10-9-2013 Olie Rapport Hogeschool Utrecht Faculteit Educatie Stadaard Rapport HBOspiegel.l 10-9-2013 Dit rapport is automatisch gegeereerd: 11-9-2013 14:0:03 DigiDoc Web Hostig Aalyse: Aalyse: ROCMN - Tech College

Nadere informatie

PUBAS, een vernieuwd systeem voor arbeidsbegroting In: Agro Informatica 4 (oktober 1999), p. 25 28.

PUBAS, een vernieuwd systeem voor arbeidsbegroting In: Agro Informatica 4 (oktober 1999), p. 25 28. PUBAS, ee verieuwd systeem voor arbeidsbegrotig I: Agro Iformatica 4 (oktober 999), p. 25 28. Aet Vik, tel. 037-476452 Gerrit Kroeze, tel. 037-476459 Istituut voor Milieu- e Agritechiek, Cluster Systeemkude

Nadere informatie

G0N34a Statistiek: Examen 7 juni 2010 (review)

G0N34a Statistiek: Examen 7 juni 2010 (review) G0N34a Statistiek: Exame 7 jui 00 review Vraag Beoordeel de volgede uitsprake. Als ee uitspraak iet juist is of ovolledig, leg da uit waarom e verbeter de uitspraak.. Bij het teste va hypotheses is de

Nadere informatie

betreffende het doorgeven van orders via fax en telefoon

betreffende het doorgeven van orders via fax en telefoon Reglemet Tele-Equity betreffede het doorgeve va orders via fax e telefoo (Retail Cliëte) 02541 Om redee va efficiëtie e selheid ka de Cliët wese om zij orders per fax e/of telefoo aa de Bak over te make.

Nadere informatie

Inleiding. 1. Rijen. 1.1 De rij van Fibonacci. 2 Zou je deze regelmatigheden kunnen verklaren met wiskunde? déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå=téíéåëåü~éééå=

Inleiding. 1. Rijen. 1.1 De rij van Fibonacci. 2 Zou je deze regelmatigheden kunnen verklaren met wiskunde? déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå=téíéåëåü~éééå= Ileidig Waarom vorme zoebloempitte 2 bochte i de ee richtig e 34 i de adere? E wat heeft ee huisjesslak te make met + 5 2 Zou je deze regelmatighede kue verklare met wiskude? Heeft wiskude cocrete toepassige

Nadere informatie

Mobile Business Efficiënt communiceren met uw zakenrelaties

Mobile Business Efficiënt communiceren met uw zakenrelaties Mobile Busiess Efficiët commuicere met uw zakerelaties Uiek! Exteded Fleet Obeperkt belle aar alle Mobistar-ummers e vaste lije! Ik kies voor mij bedrijf Het geheim achter efficiët zakedoe? De juiste beslissige

Nadere informatie

Rekenen met levensduurkosten

Rekenen met levensduurkosten Colibri Advies www.colibri-advies.l Rekee met levesduurkoste ir. Martie va de Boome MBA Colibri Advies -4-25 Pagia va 5 Rekee met levesduurkoste Auteur: Martie va de Boome - Colibri Advies BV. Materiaal

Nadere informatie

C p n = C p (2000) Zet op de volgende uitdrukking gelijke noemer. 1 (p + 1)!n! + 1. (n + 1)!p! (a 3 2 a 2 )15

C p n = C p (2000) Zet op de volgende uitdrukking gelijke noemer. 1 (p + 1)!n! + 1. (n + 1)!p! (a 3 2 a 2 )15 Combiatieleer. (99 Op hoeveel maiere kue 8 studete verdeeld worde i groepe als elke groep uit mistes studet moet bestaa.. (99 Hoeveel terme elt ee homogee veelterm va graad 5 i 3 obepaalde x, y e, z? 3.

Nadere informatie

www. POspiegel.nl Online Instrument voor CB Het Talent schooljaar februari DigiDoc

www. POspiegel.nl Online Instrument voor CB Het Talent schooljaar februari DigiDoc POspiegel.l Olie Istrumet voor CB Het Talet schooljaar 2009-2010 februari 2010 2010 DigiDoc www. Algemee Algemee. pagia 1 Eigeschappe Equête Nummer ENQ60536 Naam schooljaar 2009-2010 Istellig CB Het Talet

Nadere informatie

is de verzameling van de natuurlijke getallen, bevat de gehele getallen en { x x m / n voor zekere gehele getallen m en n met n 0} bevat de rationale

is de verzameling van de natuurlijke getallen, bevat de gehele getallen en { x x m / n voor zekere gehele getallen m en n met n 0} bevat de rationale 1 Basisbegrippe 11 Verzamelige De getalle waarmee we op school hebbe lere were, zij de reële getalle De verzamelig va alle reële getalle wordt aageduid met Belagrije deelverzamelige va zij, e {0,1,,3,

Nadere informatie

Kanstheorie. 2de bachelor wiskunde Vrije Universiteit Brussel. U. Einmahl

Kanstheorie. 2de bachelor wiskunde Vrije Universiteit Brussel. U. Einmahl Kastheorie 2de bachelor wiskude Vrije Uiversiteit Brussel U. Eimahl Academiejaar 2011/2012 Ihoudsopgave 1 Kasruimte 1 1.1 Toevallige experimete................................. 1 1.2 De axioma s va Kolmogorov.............................

Nadere informatie

imtech Arbodienst (versie 2.0)

imtech Arbodienst (versie 2.0) imtech Arbodiest (versie 2.0) veilig e gezod werke (Gezodheids)risico s bij autorijde Buite de verkeersveiligheid e de oderhoudsstaat va de auto ka ook het lagdurig zitte i de auto tot (gezodheids)klachte

Nadere informatie

Examen PC 2 onderdeel 4A

Examen PC 2 onderdeel 4A Exame PC 2 oderdeel 4A Istructieblad Betreft: exame: PC 2 oderdeel 4A leergag 3 oderdeel: Fiaciële Rekekude datum: 30 mei 2012 tijdsduur: 90 miute (09:30-11:00 uur) Deze aawijzige goed leze voor u met

Nadere informatie

Combinatoriek groep 2

Combinatoriek groep 2 Combatorek groep Tragsweeked ovember 013 Theore De opgave deze hadout hebbe allemaal wat te make met éé of meer va oderstaade oderwerpe Belagrjk bj het make va opgave s om et allee de theore de je ket

Nadere informatie

Efficiënt communiceren met uw zakenrelaties 09/2012

Efficiënt communiceren met uw zakenrelaties 09/2012 Mobile Busiess Mobile Busiess Efficiët commuicere met uw zakerelaties 9040413 09/2012 Ik kies voor mij bedrijf Het geheim achter efficiët zakedoe? De juiste beslissige eme, odersteud door ee optimale commuicatie.

Nadere informatie

www.hbospiegel.nl Hogeschool Utrecht Enquete studenten op ROC Midden Nederland. Faculteit Educatie Online Evaluatie Instrument IO: Gitta.

www.hbospiegel.nl Hogeschool Utrecht Enquete studenten op ROC Midden Nederland. Faculteit Educatie Online Evaluatie Instrument IO: Gitta. Equete studete op ROC Midde Nederlad. Pagia 1 va 1 www.hbospiegel.l Olie Evaluatie Istrumet Hogeschool Utrecht Faculteit Educatie Equete studete op ROC Midde Nederlad. IO: Gitta.verhoeve juli 214 Alle

Nadere informatie

HANDLEIDING CONDITIONELE ORDERS

HANDLEIDING CONDITIONELE ORDERS hadleidig coditioele orders HANDLEIDING CONDITIONELE ORDERS Ee coditioele order kut u vergelijke met ee istructie die u geeft aa uw wekkerradio: als het 7.30 uur is, wil ik dat de radio aagaat e ik gewekt

Nadere informatie

9. Testen van meetresultaten.

9. Testen van meetresultaten. Uitwerkige hoofdstuk 9 9. Teste va meetresultate. Opgave 9. Teste va het uit de steekproef geschatte gemiddelde t.o.v. µ a x 4,5 kg e -,0 kg 5 b t ( µ x) 5 4,5, -,0 c,5 % d v 5 4 tabel: t kritisch,78.

Nadere informatie

1 Het trekken van ballen uit een vaas

1 Het trekken van ballen uit een vaas Het trekke va balle uit ee vaas Combiatorische kasprobleme moete worde aagepakt met ee kasmodel dat bestaat uit ee eidige uitkomsteverzamelig Ω va gelijkwaarschijlijke uitkomste Dit wil zegge dat de kas

Nadere informatie

Wiskundige toepassingen bij Thermodynamica - 1 WISKUNDE. toegepast bij THERMODYNAMICA

Wiskundige toepassingen bij Thermodynamica - 1 WISKUNDE. toegepast bij THERMODYNAMICA iskudige toeassige bij Thermodyamia - ISKUNDE toegeast bij THERMODYNAMICA iskudige toeassige bij Thermodyamia - INTEGRATIETECHNIEKEN Toeassigsvoorbeeld - Het ogeome vermoge va ee omressor Beshouw oderstaad

Nadere informatie

Oefeningen op Rijen. Leon Lenders, Bree

Oefeningen op Rijen. Leon Lenders, Bree Oefeige op Rije Leo Leders, Bree I de tekst staa ee aatal oefeige i verbad met rije. De moeilijkere oefeige zij volledig uitgewerkt. Volgede oderwerpe kome aa bod : Plooie va ee blad papier Salaris Het

Nadere informatie

Naar SKOFV GMR 2.0! eindrapport GMR werkgroep 8 Mei 2012

Naar SKOFV GMR 2.0! eindrapport GMR werkgroep 8 Mei 2012 Naar SKOFV GMR 2.0! eidrapport GMR werkgroep 8 Mei 2012 Pagia 1 va 22 Ihoudsopgave 1. Ileidig... 3 2. Equêtes... 4 2.1 Aalyse equête GMR lede... 4 2.2 Aalyse equête school MR-e... 4 3. Voorbeelde uit de

Nadere informatie