Het andere binomium van Newton Edward Omey

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Het andere binomium van Newton Edward Omey"

Katrien van de Veen
7 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Ileidig Het adere biomium va Newto Edward Omey Bija iederee heeft tijdes ij studies eis gemaat met de biomiale coëf- ciëte of getalle Dee worde diwijls voorgesteld oder de vorm die door Blaise Pascal (6-66) werd bedacht: De rije worde geummerd met ; ; ; :::De getalle worde soms voorgesteld door middel va het symbool C waarbij ; ; ; ::: e ; ; :::; Ele volgede rij i dee tabel is opgebouwd door de som te eme va bure uit de vorige rij e da aa te vulle met ee eerste e ee laatste getal "" Met C telle we hoeveel deelveramelige va grootte ue gevode worde i ee veramelig met elemete Het is beed dat de getalle i dee driehoe steeds va de volgede vorm ij: C!,,,!( )! waarbij! e! ( ) ::: als Dee getalle ome te pas e te opas voor i vele tae va de wisude, astheorie e statistie I dee bijdrage geve we eele gebruielije toepassige va dee biomiaal coë ciëte Teves presetere we ee veralgemeig va het biomium va Newto e ee toepassig Het biomium va Newto Ee merwaardig product Bij de studie va merwaardige producte vide we odermeer: (x + y) (x + y) x + y (x + y) x + xy + y (x + y) x + x y + xy + y eovoort

2 We mere dat de coë ciëte de getalle ij die we oo terugie i de driehoe va Pascal Dee formules illustrere het beroemde biomium va Isaac Newto (64-77): (x + y) X x y, () Dee formule omt geregeld voor bij puels e competities! Teves vormt dee formule de basis va vele adere techiee e toepassige Voorbeelde e oefeige Bepaal de coë ciët va x 6 i ( + x) Bepaal de coë ciët va x 6 i (x + x) (Noot 6, Wisude e Oderwijs N 67, pp 8-8, 6) "Vier opeevolgede terme i de biomiaalotwielig va (x + y) ij: 96; 486; 4 e 6 Vid x; y e " Bepaal ( + i) 6 ( i) 6 (i de complexe getalle) Als A e B vierate matrices ij waarvoor AB BA, da is (A + B) X Als f e g a eidbare fucties ij, da geldt (fg) f g + fg A B (fg) f g + f g + fg X (fg) () f () g ( ) Dit is de beroemde formule va Leibi (646-76) Eele speciale gevalle a) I de formule va Newto iee we x y e da vide we: X Dit beteet dat de rijsomme i de driehoe va Pascal gelij ij aa de opeevolgede machte va

3 b) Kiee we x e y, da vide we: X ( ), Waeer we de getalle i ee rij va de driehoe va Pascal afwisseled voorie va ee positief e egatief tee, da is de resulterede som gelij aa c) Kiee we x e y, da vide we: X, Waeer we i ee rij va de driehoe va Pascal de getalle vermeigvuldige met ee macht va,da is de resulterede som gelij aa d) Op deelfde wije stelle we met x e y vast dat X ( ), Ee veralgemeig De veelterme va Newto We vertree va de formule e! ( ) ::: ( + )!( )!! I dee formule gaat me er gewoolij va uit dat de getalle e atuurlije getalle ij Newto veralgemeede dee formule e de ieerde voor ee atuurlij getal e voor reële getalle (owel positieve als egatieve reële getalle) de veralgemeede biomiaal coë ciëte: ( ) ::: ( + ),, ()! Waeer ee atuurlij getal is, da vide we de gewoe biomiaalcoëf- ciëte terug Voorbeelde a) Voor vide we via () dat: ( ) ( )!, ( ) ( ) ( )! e

4 We vide dus dat ( ), b) Voor vide we via () dat:, ( ) ( )! ( ) ( ) ( 4) 4! We vide dat ( ) ( + ), c) Voor vide we ( )! ( )( ) 4!! 4 4 ( )( )( 5) 5!! 8 e 6 4 We vide i het algemee dat ( ) 4, () d) Too aa dat + + Veralgemeede formule va Newto Oo met dee veralgemeede coë ciëte blijft het biomium va Newto geldig: voor jxj < geldt dat ( + x) X x, < (4) I dee formule a owel ee atuurlij getal ij als ee reëel (positief of egatief) getal Soms oemt me dee formule de egatief biomiale formule Voorbeelde a) Voor e vide we respectievelij: ( + x) X x x + x x + ::: 4

5 e ( + x) X x x + x 4x + ::: Waeer we x vervage door x vide we de volgede welbeede formules terug: ( x) + x + x + x + ::: e b) Voor vide we ( + x) 4 Toepassig 4 Haajes? ( x) + x + x + 4x + ::: X X x ( ) 4 x (5) Bij het bereee va a+b+c is er gee verwarrig mogelij We vide immers dat a + b + c (a + b) + c a + (b + c) Bij het bereee va a b+c is het aagewee om haajes te gebruie e hier ij mogelijhede om de bereeig te mae: a (b + c) of (a b) + c Bij het bereee va a b c (waarbij ee bewerig is oals +; ; ; :) ij er precies C verschillede maiere om haajes rod twee getalle te plaatse: (a b) c e a (b c) Bij het bereee va a b c d ij er C 4 5 mogelijhede: a (b (c d)) a ((b c) d) (a b) (b + c) (a (b c)) d ((a b) c) d Bij het bereee va ab ue we maar op C maier de bereeig mae We iee u oo C e vide voorlopig de rij (; ; ; 5; :::) 4 Algemee formule We oee u ee algemee formule voor C Ter illustratie beije we eerst het geval waarbij 5 e we beije a b c d e Er ij verschillede mogelijhede: - we plaatse a allee e plaatse haajes rod de rest: a (b c d e) Voor dee laatste haajes ij er C 4 mogelijhede om verder haajes te plaatse Er ij i totaal C C 4 mogelijhede om haajes te plaatse 5

6 - we iee (a b) e plaatse haajes rod de rest: (a b) (c d e) I de eerste term ue we haajes plaatse op C maier e voor de tweede term ue we haajes plaatse op C maiere Er ij i totaal C C mogelijhede om haajes te plaatse - we iee voor (a b c) (d e) e ue haajes plaatse op C C maiere - we iee voor (a b c d) e e ue haajes plaatse op C 4 C maiere We vide dus C 5 C C 4 + C C + C C + C 4 C I het algemee vide we C C C + C C + ::: + C C I ee meer compacte otatie vide we X C C i C i, (6) i Met dee formule vide we de opeevolgede term va de rij (C ): Bemer dat ::: C We herbeije eveees C 5 4 e vide: C De voorbeelde hierbove suggerere dat de volgede formule geldt: C + + We bewije dee formule i de volgede paragraaf 4 Bewijs va de algemee formule I dee paragraaf bewije we de bovestaade formule We gaa te wer i verschillede stappe 6

7 4 Stap : de geererede fuctie De geererede fuctie va de rij (C ) is per de itie gelij aa C() X C C + C + ::: + C + ::: (7) Bij ee gegeve rij ue we i pricipe de geererede fuctie bepale via dee de itie Omgeeerd, waeer we de geererede fuctie ee, da ue we de rij (C ) als volgt recostruere: C(), C () C, C ()!C, ::: C () ()!C We ie dus dat (7) de rees va Taylor is va de fuctie C() Door i (7) de relatie (6) te gebruie vide we: C() C + X C (6) + X X C i C i i I de laatste som geldt dat < e i Dee ogelijhede ij equivalet met de ogelijhede i < e i + < We vide dus dat X X C() + C i i C i i i i+ I de tweede som vervage we door m C() + + X i m i e we vide X C m m C i i X C i i i + C () X m C m m Er volgt dus dat C () C() + e dus dat C() p 4 Omdat C() ee stijgede fuctie is besluite we dat C() p 4 7

8 Bemer dat C() e dat 4 Stap C () p 4, C() Z C ()d We bepale u de rees va Taylor va de fuctie f() ( vorige paragraaf (formule (5)) vode we dat: ( + x) We vervage i (8) u x door ( 4) Formule (9) toot os dat 4) I de X X x ( ) 4 x (8) C () f() + 4 e we vide X ( ) 4 ( 4) + Voor de itegraal ( R C (t)dt) vide we C() ::: + + ::: + + X (9) + ::: + + ::: We besluite dat C Opmerige Als fuctie va worde de veelterme de veelterme va Newto geoemd: :, :, ( ) :, : +, e 6 8

9 Soms worde de getalle de cetrale biomiale coë ciëte geoemd De getalle C worde diwijls de Catala getalle geoemd aar de beroemde wisudige Eugèe Charles Catala (84-898) Dee getalle hebbe meerdere meetudige e combiatorische beteeisse! Hier volgt ee orte lijst met eigeschappe va de getalle va Catala: a) Er geldt b) Er geldt c) Er geldt C + C + C + + d) Waeer! geldt dat C s + ( + ) C + X i i 4 p i 5 Refereties Hilto, P ad Pederso, J "The ballot problem ad Catala umbers" Nieuw Archief voor wisude 8, 9-6, 99 Hilto, P ad Pederso, J "Catala umbers, their geeralisatio ad their uses" Math Itel, 64-65, Staley, Richard ad Weisstei, Eric W "Catala Number" From Math- World - A Wolfram Web Resource 7 Weisstei, Eric W "Biomial Theorem" From MathWorld - A Wolfram Web Resource Edward Omey <edwardomey@uleuvebe> Campus Brussel Warmoesberg 6 (6A) Brussel 9

Vergelijkbare documenten

Dus n n (a + b) n = a n + a n 1 b + heet een binomiaalcoëfficiënt (uitspraak n boven k ). Newton vond de

Dus n n (a + b) n = a n + a n 1 b + heet een binomiaalcoëfficiënt (uitspraak n boven k ). Newton vond de CONTINUE WISKUNDE: BINOMIUM VAN NEWTON EN RECURRENTE BETREKKINGEN Het Biomium va Newto Het Biomium va Newto is ee uitdruig voor a + b), waarbij a e b willeeurige getalle zij, e ee atuurlij getal I deze