Differentiequotiënten en Getallenrijen
|
|
- Julia Bauwens
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Lesbrief 4 Binomiaalcoëfficiënten, Differentiequotiënten en Getallenrijen Binomiaalcoëfficiënten Het is beend dat (a + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 en dat (a + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3. In het algemeen geldt (a + b n = a n + C a n b + + C n ab n + b n voor zeere gehele coëfficiënten C, C 2,..., C n. Deze zogenaamde binomiaalcoëfficiënten ( (binomium = tweeterm hangen af van n. De notatie voor C is meestal n (, spree uit n boven. Aangevuld met n ( 0 = n n = geldt dus Omdat geldt (a + b n = a n + 0 a n b + + b n = n (a + b n = (a + b(a + b n ( n n = (a + b a n + a n 2 b ( n n n = a n + a n b + + ab n 0 n ( ( n n + a n b + + ab n + 0 n 2 =0 a n b. ( ( n b n n b n n an men de n-de binomiaalcoëfficiënten uitdruen in de n -ste: ( n n n = + (2 Hierbij wordt ( ( p q = 0 gesteld als q < 0 of als q > p. Samen met ( 0 = = legt (2 de binomiaalcoëfficiënten volledig vast. Men bereent ze gemaelij met behulp van de driehoe van Pascal, waarin el getal behalve de bovenste twee de som is van de twee getallen er schuin boven: n = 0 n = n = 2 n = 3 n = 4 n =
2 Omdat a en b in (a + b n symmetrisch vooromen, geldt n n = n (3 De getallen ( n unnen oo als volgt bereend worden: (a + b n = (a + b(a + b (a + b }{{} n maal Een term a n b ontstaat bij het haajes wegweren telens als men in factoren een b neemt en in de overige n een a. ( n is dus gelij aan het aantal manieren waarop men uit n elementen elementen an iezen. Voor het eerste element an men iezen uit n mogelijheden, voor het tweede uit n, enzovoorts. Dit geeft n(n (n + mogelijheden. Maar omdat de volgorde waarin het euzeresultaat tot stand is geomen niet van belang is, moet nog gedeeld worden door het aantal mogelije permutaties van de geozen elementen, dit is!. Er geldt dus: n(n (n + n! = =!!(n!. (4. Opgave. Bewijs (4 met volledige inductie naar n door formule (2 te gebruien. Enige eenvoudige identiteiten: (i Kies in ( a = b = : 2 n =. =0 (ii Kies in ( a =, b = : 0 = (. =0 n + i n n + i n + + i (iii = + = + = i 0 i 0 i i=0 i= i= + 2 n + i n = = door herhaald toepassen van (2. i i=2 Toepassing. Onder p personen moet men n guldens verdelen (n p zo, dat el minstens één gulden rijgt. Op hoeveel manieren is dit mogelij? Oplossing. Leg de n guldens op een rij. Er zijn dan n tussenruimten. Vult men hiervan n p tussenruimten door schaels op, dan ontstaat een rij van p ettingen, voor el persoon één. Het aantal mogelije verdelingen is dus gelij aan het aantal mogelijheden om uit de n tussenruimten er n p te iezen: ( ( n n p = n p. Toepassing. Bewijs dat voor geen enel niet-negatief geheel getal n geldt dat =0 ( 2n een vijfvoud is. (IWO 974 Oplossing. Reen modulo 5. Dan geldt 2 3 (2 3 3 mod 5. We proberen de binomiaalcoëfficiënten met behulp van (2 af te breen. Pas (2 twee maal toe, dan volgt ( 2n + = 2 + ( 2n ( 2n 2 + ( 2n. 2 2
3 Noem S n = n ( 2n+ = en T n = n lagere S-en en T -en uitdruen. S n = T n = ( ( ( 2n 2n =0 + ( 2n 2n =0 =0 ( 2n+ 2 3, dan an men S n en T n in de ( 2n 3 = S n + 2T n + 3S n. 2 ( 2n 3 = T n + 6S n + 3T n. 2 2 Er geldt dus S n = 4S n + 2T n en T n = 6S n + 4T n. Er zijn twee manieren om het bewijs te voltooien. (a Er zijn modulo 5 voor S n en T n el vijf mogelijheden, dus er zijn hoogstens vijfentwintig mogelije paren (S n, T n. (S 0, T 0 = (, en met de hierboven afgeleide formules an men de volgende paren bereenen. Na hoogstens vijfentwintig stappen moet periodiciteit optreden. Geldt dus voor geen enele n < 25 dat S n 0 mod 5, dan is het bewijs geleverd. (b We reenen steeds modulo 5: S n = 4S n + 2T n S n + 2T n en T n = 6S n + 4T n S n T n. Daarom S n S n + 2T n S n 2 2T n 2 + 2S n 2 2T n 2 3S n 2 4T n 2 3S n 2 + T n 2 3S n 3 + 6T n 3 3S n 3 +6T n 3 +S n 3 T n 3 2S n 3. Men bereent dan S 0 =, S mod 5, S 2 mod 5 en aangezien ( 2 0 mod 5 voor alle, is oo S n 0 mod 5 voor alle. 2 Differentiequotiënten Laat gegeven zijn het n-de graads polynoom P (x = a n x n + + a 0, a n 0. Het differentiequotiënt h P (x := P (x + h P (x h = (a n(x + h n + + a 0 (a n x n + + a 0 h = a n nx n + behorende bij een vaste toename h 0, is een (n e -graads polynoom met a n n als coëfficiënt van de hoogste macht van x. (Verifieer dit door uitweren. Van dit polynoom vormt men het differentiequotiënt bij een toename h 2 0: h2 ( h P (x = h P (x + h 2 h P (x h 2 = a n n(n x n 2 +. Dit differentiequotiënt wordt genoteerd als h2h P (x. Het is een polynoom van graad n 2 in x. In het algemeen wordt het -de differentiequotiënt behorende bij de toenames h, h 2,..., h gedefinieerd door h h h P (x := h h P (x + h h h P (x h. Het is een polynoom in x van de vorm a n n(n (n + x n +. In het bijzonder geldt voor = n hn h P (x = a n n!. Dit is dus een constante, die afhanelij is van de waarden van h, h 2,..., h n. Er geldt daarom 3
4 Stelling 2. Van een n-de graads polynoom met opcoëfficiënt a n is het n-de differentiequotiënt gelij aan a n n!. De hogere differentiequotiënten zijn nul. Kies h = h 2 = = h n = en schrijf i in plaats van }{{, dan volgt } i maal P (x = P (x + P (x, 2 P (x = P (x + 2 P (x + (P (x + P (x = P (x + 2 2P (x + + P (x, 3 ( 3 3 P (x = P (x + 3 3P (x P (x + P (x = ( P (x + 3. Zo voortgaande ontstaat ten slotte a n n! = n P (x = =0 =0 ( P (x + n. Door de substitutie x = x + c ontstaat uit een polynoom in x a n x n + + a 0 = a n ( x + c n + = a n x n + een polynoom in x van dezelfde graad en met dezelfde opcoëfficiënt. (De andere coëfficiënten zijn in het algemeen anders. Op grond hiervan an men bovenstaande formule nog iets vereenvoudigen door x + n in plaats van x als variabele te nemen. Stelling 2.2 Voor el polynoom Q(x = a n x n + + a 0 geldt ( Q(x = a n n!. =0 Opgave 2. Verifieer dat stelling (2.2 oo geldt als a n = 0. Opgave 2.2 Bewijs de volgende identiteiten: ( ( (x n = n!. =0 (2 ( (2 n+ n n = n!. =0 (3 ( n (A + B p = B n n!alsp=n.0als0 p < n, p geheel. (4 (5 =0 2m ( ( m 2m ( 2m = (2m! 2 2 m. ( p ( n = p n als p een positief geheel getal is. n =0 =0 3 Getallenrijen Een rij reële getallen a, a 2, a 3,... wordt vaa genoteerd als {a i } i= of, als er geen verwarring mogelij is, ortweg {a i }. 4
5 Definitie 3. De rij {a i } convergeert naar het getal (oo wel: heeft limiet als er bij el positief getal ε een getal I gevonden an worden zo, dat voor alle termen a i uit de rij met i > I geldt a i < ε. Notatie: lim i a i = (oo wel: a i als i. Ele rij die niet convergeert heet divergent. Er zijn bijzondere divergente rijen: Definitie 3.2 De rij {a i } divergeert naar plus oneindig (oo wel: heeft limiet plus oneindig als er bij el getal M een getal I is zo, dat voor alle i > I geldt dat a i > M. Notatie: lim i a i = + (of: a i + als i. De rij {a i } divergeert naar min oneindig (of: heeft limiet min oneindig als de rij { a i } naar plus oneindig divergeert. Notatie: lim i a i = (of: a i als i. Opmering: plus oneindig en min oneindig zijn dus geen reële getallen, maar uitdruingen om het gedrag van bepaalde rijen ort te unnen beschrijven. Voorbeelden:. a i = i. De rij { i } convergeert naar a i = i+ i. De rij { i+ i } convergeert naar. 3. a i = i 2. De rij {i 2 } divergeert naar a i = ( i. De rij {( i } divergeert zonder limiet. 3. Reenundige rijen Een rij van de vorm a, a +, a + 2, a + 3,... heet een reenundige rij. De som van de eerste n + termen bepaalt men als volgt: a + (a + n = 2a + n, (a + + (a + (n = 2a + n,...,(a + n + a = 2a + n. Daarom 2 ( a + (a (a + n = (a + (a + n + ((a + + (a + (n + + ((a + n + a = (2a + n + (2a + n + + (2a + n. Hieruit blijt dat }{{} n+ maal a + (a (a + n = 2 (n + (2a + n. 3.2 Meetundige rijen Een rij van de vorm a, ar, ar 2, ar 3,... heet een meetundige rij met reden (ratio r. r is de verhouding tussen twee opeenvolgende termen. De som S n van de eerste n termen bepaalt men als volgt: S n = a + ar + + ar n rs n = ar + + ar n + ar n ( rs n = a( r n Hieruit volgt dat als r, dan geldt S n = rn r. (5 In het algemeen noemt men de som S n = a + a a n = n i= a i de n-de partiële som van de rij {a i }. De rij {S n } n= van partiële sommen noemt men een 5
6 rees. Heeft de rij van partiële sommen een limiet S, dan heet S de som van de rees. Men schrijft voor S vaa i= a i of a + a 2 + a 3 +, waarmee we dan n bedoelen lim n S n = lim n i= a i. Beschouw de meetundige rees a + ar + ar 2 + ar 3 +. Het geval a = 0 sluiten we uit. Aangezien geldt voor r > : r n + als n, voor r = : r n = voor alle n, voor < r < : r n 0 als n, voor r : {r n } divergeert zonder limiet als n, volgt uit (5 dat een meetundige rees convergeert dan en slechts dan als r <. In dat geval volgt voor de som S: S = a r. Voorbeeld: voor alle natuurlije getallen m en n met m < n geldt ( n n n n n + + ( m = ( m. 0 2 m m Bewijs. Het linerlid is de coëfficiënt van x n in het polynoom x n ( x n +x n ( x n + +x n m ( x n = (x n +x n + +n n m ( x n. Volgens formule (5 is dit laatste gelij aan n m xm+ x x ( xn = x n m ( x m+ ( x n = x n m ( x n x n+ ( x n. De coëfficiënt van x n in dit polynoom is ( m( n m. 3.3 De harmonische en de hyperharmonische rees De rees heet de harmonische rees. We gaan aantonen dat deze rees divergeert naar plus oneindig. Allereerst is het duidelij dat de partiële sommen een stijgende rij vormen. We moeten dus nog bewijzen dat ze boven ele grens uit stijgen. Daartoe noemen we de n-de partiële som weer even S n. We unnen opmeren dat S 4 = > = 2, S 8 = > ( ( = 5 2, S 6 > = 3. In het algemeen geldt S 2 n > + n 2 en als n naar oneindig gaat stijgt dit boven ele grens. De hyperharmonische rees = = daarentegen convergeert. Beschouw namelij S n = n =. Omdat 2 < 2 ( = als 2, geldt n 2 < (n n = + ( 2 + ( ( n n = 2 n < 2. 6
7 Alle termen van de stijgende rij van partiële sommen zijn dus leiner dan 2. De rees moet daarom een eindige som hebben. Men an bewijzen dat deze som gelij is aan π2 6. Opmeringen:. Omdat p als p, is = oo divergent als p. Omdat p p 2 als p 2, is = oo convergent als p 2. Met een andere methode an men p aantonen dat deze rees oo convergeert voor alle p met < p < 2. Conclusie: = convergeert voor p > en divergeert naar + voor p. p 2. De identiteit ( = stelde ons in staat de n-de partiële som van de hyperharmonische rees als een telescoop in elaar te schuiven. Dat laatste principe an men vaer gebruien! Opgave 3. Bereen (a ( 2 (b ( + 2 = = (c = ( + ( + 2 (d log = ( Opgave 3.2 Onderzoe of de volgende reesen convergent zijn: ( (a 2 (b (c sin log 2 = =2 =0 (aanwijzing voor (c: voor x > 0 geldt sin x < x Opgave 3.3 Bewijs dat ( ( 2n n = n 2 ( 0 + n 2 ( + + n 2. n Opgave 3.4 Bewijs dat ( ( n + n+ ( + + n+m ( = n+m+ ( + n + als < n. Opgave 3.5 Bewijs dat er een convergente rees ontstaat als men uit de harmonische rees alle termen n verwijdert waarvoor de decimale schrijfwijze van n minstens één cijfer 9 bevat. 4 Gemengde opgaven Opgave 4. Kan men 93 punten onderling zo verbinden, dat el punt met precies 23 andere verbonden is? (NWO e ronde 967 Opgave 4.2 Er zijn zes steden en twee luchtvaartmaatschappijen zo, dat tussen el paar steden door precies één van beide maatschappijen een verbinding wordt onderhouden. Bewijs dat het luchtnet van minstens één maatschappij een driehoe bevat, en bewijs dan dat er in de twee luchtnetten zelfs twee driehoeen zijn. (NWO 970 Opgave scholieren staan opgesteld in 0 rijen van el 20 scholieren. Uit el van de 20 zo gevormde olommen wordt de leinste scholier bepaald, en de grootste van deze 20 leinsten rijgt een rode vlag. Vervolgens bepaalt men uit ele rij de grootste, en de leinste van deze 0 grootsten rijgt een groene vlag. Als dit een ander is dan de drager van de rode vlag, wie van de twee is dan de grootste? Opgave 4.4 El van 7 geleerden correspondeert met alle 6 andere. Ze schrijven slechts over drie onderwerpen, en el paar geleerden schrijft elaar slechts over één onderwerp. Bewijs dat er minstens drie geleerden zijn die onder elaar over hetzelfde 7
8 onderwerp corresponderen. (IWO 963 Opgave 4.5 m en n zijn positieve gehele getallen. Bewijs dat oo een positief geheel getal is. (2m!(2n! m!n!(m + n! Opgave 4.6 Op vier opeenvolgende hoepunten van een regelmatige twaalfhoe staan achtereenvolgens een rode, gele, witte en blauwe pion. Men mag een pion verplaatsen over vier hoepunten heen naar een vijfde hoepunt, als dat tenminste onbezet is. (Men mag zowel linsom als rechtsom gaan. Na een aantal van deze zetten staan de vier pionnen weer op de vier oorspronelije hoepunten, maar in een andere volgorde. Hoeveel verschillende herschiingen van de vier pionnen unnen op deze wijze verregen worden? Opgave 4.7 Ele zijde van een gegeven driehoe wordt door m punten in m + lijnstuen verdeeld. Daarna wordt el hoepunt verbonden met el van de m deelpunten op de tegenoverliggende zijde. In hoeveel stuen wordt de driehoe dan door die 3m lijnen hoogstens verdeeld? (NWO 974 Opgave 4.8 Hoeveel rijtjes van 0 cijfers bestaan er waarin er minstens 3 gelije cijfers naast elaar staan? 8
Universiteit Leiden, 2015 Wiskundewedstrijdtraining, week 14
Universiteit Leiden, 0 Wisundewedstrijdtraining, wee Wee : reesen Een rees is een speciaal soort rij, dus: den altijd eerst na over convergentie! bijzonder: monotone, begrensde rijen convergeren In het
Nadere informatieNATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN
II NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN Iedereen ent getallen: de natuurlije getallen, N = {0,1,2,3,...}, gebruien we om te tellen, om getallen van elaar af te unnen treen hebben we de gehele getallen,
Nadere informatie4.1 Rijen. Inhoud. Convergentie van een reeks. Reeksen. a k. a k = lim. a k = s. s n = a 1 + a 2 + + a n = k=1
Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-0 Reesen en Machtreesen Inhoud. Rijen 2. Reesen Definities en enmeren Reesen met niet-negatieve termen Reesen met positieve en negatieve termen 3. Machtreesen
Nadere informatieUitwerkingen Tentamen Wat is Wiskunde (WISB101) Donderdag 10 november 2016, 9:00-12:00
Uitweringen Tentamen Wat is Wisunde (WISB101) Donderdag 10 november 2016, 9:00-12:00 Docenten: Barbara van den Berg & Carel Faber & Arjen Baarsma & Ralph Klaasse & Vitor Blåsjö & Guido Terra-Bleeer Opgave
Nadere informatieExamen G0U13 - Bewijzen en Redeneren,
Examen G0U13 - Bewijzen en Redeneren, 2010-2011 bachelor in de Wisunde, bachelor in de Fysica, bachelor in de Economische Wetenschappen en bachelor in de Wijsbegeerte Vrijdag 4 februari 2011, 8u30 Naam:
Nadere informatieGetaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
Nadere informatieOplossen van lineaire differentiaalvergelijkingen met behulp van de methode van Leibniz-MacLaurin
Oplossen van lineaire differentiaalvergelijingen met behulp van de methode van Leibniz-MacLaurin Calculus II voor S, F, MNW 7 november 2005 1 De n-de afgeleide van het product van twee functies Voor we
Nadere informatieOEFENOPGAVEN OVER REEKSEN
OEFENOPGAVEN OVER REEKSEN Opgave. Bereen n=0 ( 3 n + 6n 7 n ) (antwoord 0). Opgave. Ga voor de volgende reesen na of ze convergent of divergent zijn: a) (convergent); (ln ) b) c) d) e) f) g) h) 5 5 3 +
Nadere informatieMeetkundige berekeningen
Meetundige bereeningen 0. voorennis Sinus, cosinus en tangens De sinusregel In ele driehoe ABC geldt de sinusregel: sin cos B = c b B = c a tan B = a b Afspraa Bij het bereenen van een hoe geef je het
Nadere informatie2.0 Voorkennis. Rekenregels machten: 5) a 0 = 1. p p q p q a p q q. p q pq p p p. Willem-Jan van der Zanden
2.0 Voorkennis Voorbeeld: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = (a +b)(a2 + 2ab + b2) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b +2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Rekenregels machten: p p q pq a pq 1) a a
Nadere informatie102 < 11. Je kunt ook snel na 102 < 10, 5 ( = 110, 25).
DE FORMULE VAN MACLAURIN. Inleiding: de wortel uit 0. Als je nou eens geen reenmachine had, hoe bereen je dan de wortel uit 0? Met proberen om je een heel eind. 0 > 0 omdat 0 > 0 en 0 < omdat reenen dat
Nadere informatie1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3
HOOFDSTUK 6: RIJEN 1 Limiet van een rij 2 1.1 Het begrip rij 2 1.2 Bepaling van een rij 2 1.2.1 Expliciet voorschrift 2 1.2.2 Recursief voorschrift 3 1.2.3 Andere gevallen 3 1.2.4 Rijen met de grafische
Nadere informatie1. Toon aan dat de rij (e n := (1 + 1 n )n ) monotoon stijgend en naar boven begrensd is. Conclusie i.v.m. convergentie? 13. Toon aan dat er voor elk
Rijen en reeksen Oefeningen Wiskundige Analyse I 1. Toon aan dat de limiet van een convergente rij uniek is.. Toon aan dat elke deelrij van een convergente rij, convergeert naar dezelfde limiet als de
Nadere informatiePolynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2
Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van
Nadere informatieConvexe functies op R (niet in het boek)
Convee uncties op R (niet in het boe Een unctie : R R heet conve, als voor alle, R en ele λ [0,] geldt dat (λ + (-λ λ( + (-λ(. Voor een unctie op R beteent dit dat als je twee willeeurige punten op de
Nadere informatieOpgaven Bewijzen en Inductie 1 mei 2019, Datastructuren, Werkcollege.
Opgaven Bewijzen en Inductie mei 09, Datastructuren, Wercollege. Gebrui deze opgaven, naast die uit het boe, om de stof te oefenen op het wercollege. Cijfer: Op een toets rijg je meestal zes tot acht opgaven..
Nadere informatieTelproblemen. K. P. Hart
Telproblemen K. P. Hart 1. Theorie en opgaven voor zelfstudie Inleiding Iedereen weet wat tellen is. Hoeveel studenten zijn er in de collegezaal? Even tellen: één, twee, drie,..., éénenvijftig,... Wat
Nadere informatie-- III De variatiemethode berust voor de grondtoestand op het volgende theorema:
-- III - 1 - HOOFDSTUK III VARIATIEREKENING Alleen voor enele zeer eenvoudige systemen an de Schrödinger Vergeliing exact worden opgelost, in alle andere gevallen moeten benaderingen worden toegepast.
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 30 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 33 Outline 1 2 Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 21 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 32 Outline 1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Nadere informatieCombinatoriek groep 1
Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsweek, juni 009 Stappenplan homogene lineaire recurrente betrekkingen Even herhalen: het stappenplan om een recurrente betrekking van orde op te lossen: Stap 1. Bepaal
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.
Nadere informatieOverzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Nadere informatieGenererende Functies K. P. Hart
genererende_functies.te 27--205 Z Hoe kun je een rij getallen zo efficiënt mogelijk coderen? Met behulp van functies. Genererende Functies K. P. Hart Je kunt rijen getallen op diverse manieren weergeven
Nadere informatieThe bouncing balls and pi
The bouncing balls and pi naar een idee van Dir Dancaert 9 september 05 Samenvatting Wisundecollega Dir Dancaert ontdete onlangs een merwaardig filmpje op het internet (https://wwwyoutubecom/user/numberphile
Nadere informatieCombinatoriek groep 1
Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Getallenrijen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een directe formule geeft a n in
Nadere informatieDe partitieformule van Euler
De partitieformule van Euler Een kennismaking met zuivere wiskunde J.H. Aalberts-Bakker 29 augustus 2008 Doctoraalscriptie wiskunde, variant Communicatie en Educatie Afstudeerdocent: Dr. H. Finkelnberg
Nadere informatieTentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur
Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.
Nadere informatieV.4 Eigenschappen van continue functies
V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt
Nadere informatie9.1 Recursieve en directe formules [1]
9.1 Recrsieve en directe formles [1] 8, 12, 16, 20, 24, is een getallenrij. De getallen in de rij zijn de termen. 8 is de eerste term (startwaarde, 0 ) 12 is de tweede term ( 1 ) 24 is de vijfde term (
Nadere informatieIII (vervolg) Lineaire Transformaties in R
III (vervolg) Lineaire Transformaties in R III.7 a Opmeringen over dit hoofdstu Oorspronelij waren de volgende paragrafen deel van hoofdstu III. De bedoeling ervan is om na te gaan hoe binnen het ader
Nadere informatie(b) Formuleer het verband tussen f en U(P, f), en tussen f en L(P, f). Bewijs de eerste. (c) Geef de definitie van Riemann integreerbaarheid van f.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 2 juli 2015, 08:30 11:30 (12:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek Analysis
Nadere informatieIII.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Nadere informatieUitwerkingen Rekenen met cijfers en letters
Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatieZ.O.Z. Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 16 juni 2016, 12:30 15:30 (16:30)
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 16 juni 016, 1:30 15:30 (16:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van aantekeningen
Nadere informatieOpgaven Kansrekening Datastructuren, 29 mei 2019, Werkgroep.
Opgaven Kansreening Datastructuren, 9 mei 019, Wergroep. Gebrui deze opgaven, naast die uit het boe, om de stof te oefenen op het wercollege. Cijfer: Op een toets rijg je meestal zes tot acht opgaven.
Nadere informatieNumerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.
Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk
Nadere informatieKettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1
Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking
Nadere informatieGetaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)
Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen
Nadere informatieInleiding Analyse 2009
Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn
Nadere informatieFaculteit, Binomium van Newton en Driehoek van Pascal
Faculteit, Binomium van Newton en Driehoek van Pascal 1 Faculteit Definitie van de faculteit Wisnet-hbo update aug. 2007 (spreek uit k-faculteit) is: k Dit geldt voor elk geheel getal k groter dan 0 en
Nadere informatieConvexe Analyse en Optimalisering
Convexe Analyse en Optimalisering Bernd Heidergott Vrije Universiteit Amsterdam en Tinbergen Institute WEB: http://staff.feweb.vu.nl/bheidergott Overzicht Literatuur Calculus, a complete course, Robert
Nadere informatieDus n n (a + b) n = a n + a n 1 b + heet een binomiaalcoëfficiënt (uitspraak n boven k ). Newton vond de
CONTINUE WISKUNDE: BINOMIUM VAN NEWTON EN RECURRENTE BETREKKINGEN Het Biomium va Newto Het Biomium va Newto is ee uitdruig voor a + b), waarbij a e b willeeurige getalle zij, e ee atuurlij getal I deze
Nadere informatieeerste en laatste cijfers Jaap Top
eerste en laatste cijfers Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 3-10 april 2013 (Collegecarrousel, Groningen) 1 laatste, eerste?! over getallen 2,..., 101,..., 2014,...... laatste cijfers hiervan: 2,...,
Nadere informatie2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.
Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt
Nadere informatieConvexe Analyse en Optimalisering
Convexe Analyse en Optimalisering Bernd Heidergott Vrije Universiteit Amsterdam and Tinbergen Institute WEB: http://staff.feweb.vu.nl/bheidergott.htm Overzicht Boek: Optimization: Insights and Applications,
Nadere informatieTentamen Functies en Reeksen
Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy
Nadere informatiePUNTSGEWIJZE EN UNIFORME CONVERGENTIE
IX PUNTSGEWIJZE EN UNIFORME CONVERGENTIE In vorige hoofdstkken hebben we convergentie van getallenrijen bestdeerd. In de Analyse zijn echter rijen die fncties als termen hebben van groot belang. Zlke fnctierijen
Nadere informatieGetallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte
Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal
Nadere informatieHints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H17
Hints en uitwerkingen huiswerk 013 Analyse 1 H17 Rocco van Vreumingen augustus 014 1 Inhoudsopgave 1 Hints 1 3 Hints 4 3 Hints 3 4 4 Hints 4 5 5 Hints 5 5 6 Hints 6 6 7 Hints 7 6 8 Hints 8 6 9 Hints 9
Nadere informatieInhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen
Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt
Nadere informatieMet passer en liniaal
Met passer en liniaal Deze opdracht gaan over het teenen met passer en liniaal, oo wel construeren genoemd. Een liniaal gebrui je om rechte lijnen te teenen, dat an dus een recht latje zijn. Je mag daarvoor
Nadere informatie(x x 1 ) + y 1. x x k+1 x k x k+1
Les Talor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Nadere informatieCombinatoriek groep 1 & 2: Recursie
Combinatoriek groep 1 & : Recursie Trainingsweek juni 008 Inleiding Bij een recursieve definitie van een rij wordt elke volgende term berekend uit de vorige. Een voorbeeld van zo n recursieve definitie
Nadere informatieBijzondere kettingbreuken
Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar
Nadere informatieToegepaste wiskunde. voor het hoger beroepsonderwijs. Deel 2 Derde, herziene druk. Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 5 augustus 2009
Drs. J.H. Blanespoor Drs. C. de Joode Ir. A. Sluijter Toegepaste wisunde voor het hoger beroepsonderwijs Deel Derde, herziene dru Uitwering herhalingsopgaven hoofdstu 5 augustus 009 HBuitgevers, Baarn
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus C (2WCB1) op zaterdag 25 januari 2014, 9:00 12:00 uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Calculus C (WCB) op zaterdag 5 januari 04, 9:00 :00 uur Maak dit vel los van de rest van het tentamen. Vul uw naam etc. in op
Nadere informatieCombinatoriek groep 2
Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 26 augustus 2010, , Examenzaal
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 26 augustus 2010, 14.00 17.00, Examenzaal Het gebruik van een rekenmachine en/of telefoon is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek
Nadere informatie4 B-splines. 4.a Definities en elementaire eigenschappen 4 B-SPLINES 40
4 B-SPLINES 4 4 B-splines 4.a Definities en elementaire eigenschappen In plaats van de bereening van een spline-benadering via een loale-polynoomrepresentatie per deelinterval, unnen we oo een basis iezen
Nadere informatieopgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal
Nadere informatieOefeningen Analyse I
Oefeningen Analyse I Hoofdstuk 2: Rijen en Reeksen Inleiding Opmerking: In deze tekst kunnen fouten staan. Het zijn meestal oefeningen opgeschreven vanuit de lest, met eventueel zelf gemaakte oefeningen
Nadere informatieTentamen Discrete Wiskunde
Discrete Wiskunde (WB011C) 22 januari 2016 Tentamen Discrete Wiskunde Schrijf op ieder ingeleverd blad duidelijk leesbaar je naam en studentnummer. De opgaven 1 t/m 6 tellen alle even zwaar. Je hoeft slechts
Nadere informatieII.3 Equivalentierelaties en quotiënten
II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde
Nadere informatieGetaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
Nadere informatieVolledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen.
Hoofdstuk 7 Volledige inductie Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen we het volgende: (i) 0 V (ii) k N k V k + 1 V Dan is V = N. Men ziet dit als
Nadere informatiex x y y Omdat de som van twee kwadraten niet negatief kan zijn, is er geen enkel punt van het oppervlak dat in het grondvlak ligt.
Hoofdstu 4 Functies van twee of meer variabelen 4.13 Herhalingsopgaven 1a z x y 4x y 6 Doorsnijden met grondvla geeft 0 x y 4x y 6 x 4x y y 6 0 x x y y 4 4 4 11 6 0 x y x y 4 1 1 6 0 1 1 Omdat de som van
Nadere informatie6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1
WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We
Nadere informatieOplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren
Oplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren Goeroen Maaruf 20 augustus 202 Hoofdstuk 3: Relaties. Oefening 3..2 (a) Persoon p is grootouder van persoon q. (b) (p, q) O o O r P : [ (p, r) O (r, q) O ]
Nadere informatie8.0 Voorkennis ,93 NIEUW
8.0 Voorkennis Voorbeeld: In 2014 waren er 12.500 speciaalzaken. Sinds 2012 is het aantal speciaalzaken afgenomen met 7%. Bereken hoeveel speciaalzaken er in 2012 waren. Aantal 2014 = 0,93 Aantal 2012
Nadere informatieOpgaven Inleiding Analyse
Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van iet dat y 0 y = 0. (b) Bewijs y 0 y 3 = 0 uit de definitie van iet. (c) Bewijs y 0 y 3
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2, Vrijdag 23 januari 25, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatieIn het vervolg gaan we steeds uit van een verzameling A bestaande uit n verschillende objecten. We geven de elementen van A een naam door ze te
Tellen 1. Telproblemen Tussen sommige objecten maken we onderscheid (die beschouwen we dus allemaal als verschillend), bijvoorbeeld tussen de 26 letters van het alfabet, tussen een peer, een appel en een
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.10, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 23 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline 1 2 3 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Nadere informatieAntwoorden Differentievergelijkingen 1
Opgave 1. a) 0,4 10 + 6 = 10. Dus u 0 = u 1 + u = = 10 b) 0,4 u + 6 = 10 kan alleen als u = 10. Dus voor u 0 = 6 komt 10 niet in de reeks voor. c) u 0 = 11; u 1 = 10,4; u = 10,16; u 3 = 10,064. De reeks
Nadere informatieV.2 Limieten van functies
V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de
Nadere informatieVlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk
Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en
Nadere informatie(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1
Les Taylor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Nadere informatieHet oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Nadere informatieBestaat er dan toch een wortel uit 1?
Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn
Nadere informatieIMO-selectietoets I donderdag 1 juni 2017
IMO-selectietoets I donderdag 1 juni 2017 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Zij n een positief geheel getal. Gegeven zijn cirkelvormige schijven met stralen 1, 2,..., n. Van
Nadere informatie7.1 Het aantal inverteerbare restklassen
Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo
Nadere informatieI.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.
I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk
Nadere informatieSelectietoets vrijdag 10 maart 2017
Selectietoets vrijdag 10 maart 2017 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Zij n een even positief geheel getal. Een rijtje van n reële getallen noemen we volledig als voor elke gehele
Nadere informatieVI.2 Reeksen met positieve termen
VI.2 Reeksen met positieve termen In deze paragraaf kiken we naar reeksen =0 a met a 0 voor alle N. Merk op dat in dit geval voor de ri van partiële sommen s n = n =0 a met n 0, geldt dat s 0 s s 2...
Nadere informatiePrimitieve functie Als f : R --> R continu is op een interval, dan noemt men F : R --> R een primiteive functie of
Enkelvoudige integralen Kernbegrippen Onbepaalde integralen Van onbepaalde naar bepaalde integraal Bepaalde integralen Integratiemethoden Standaardintegralen Integratie door splitsing Integratie door substitutie
Nadere informatieIV Eigenvectoren en Eigenwaarden bij Lineaire
IV Eigenvectoren en Eigenwaarden bij Lineaire Transformaties in R IV0 Meetundige inleiding: delijnen en eigenvectoren Bij veel toepassingen van de Gauss-Jordan methode gaat men uit van de delijnen van
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 22 februari 2009 INDUCTIE & RECURSIE Paragrafen 4.3-4.6 Discrete Structuren Week 3:
Nadere informatieExamen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30 Auditorium L.00.07 Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Nadere informatieNulpunten op een lijn?
Nulpunten op een lijn? Jan van de Craats leadtekst Het belangrijkste open probleem in de wiskunde is het vermoeden van Riemann. Het is één van de millennium problems waarmee je een miljoen dollar kunt
Nadere informatieInhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie
Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft
Nadere informatieKorte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde
Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde 3 voor B. Functies van twee variabelen.. Een functie fx, y) van twee variabelen kan analoog aan een functie van één variabele in Maple
Nadere informatieIntroductie Coach-modelleren
Inhoud Introductie Coach-modelleren... Coach-modelleren versus Excel...4 Opgave: Kennismaing met Coach-Modelleren...4 Satellietbanen in COACH-Modelleren...5 Opgave: GPS-satelliet...5 Alleen voor de geïnteresseerden...7
Nadere informatieLineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014
Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:
Nadere informatieOplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave.
Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Opgave 6 Lesbrief, opgave 4.5 De getallen m en n zijn verschillende positieve gehele getallen zo, dat de laatste drie cijfers van 1978 m en 1978 n overeenstemmen.
Nadere informatieConvergentie van een rij
Hoofdstuk Convergentie van een rij. Basis. Bepaal de som van de volgende oneindige meetkundige rijen a) + 0. + 0.0 + 0.00 + 0.000 +... b) 6 + 8 + + 2 +, +... c) 8 + 2 + 2 + 8 +... 2. Schrijf de volgende
Nadere informatieBijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica
Bijzondere getallen Oneindig (als getal) TomVerhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica T.Verhoeff@TUE.NL http://www.win.tue.nl/~wstomv/ Oneindig ... Oneindig 2 Top tien
Nadere informatieHet uitwendig product van twee vectoren
Het uitwendig product van twee vectoren Als u, v R 3, u = u 1, u 2, u 3 en v = v 1, v 2, v 3 dan is het uitwendig product van u en v gelijk aan een vector in R 3 en wel u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3,
Nadere informatieTweede college complexiteit. 12 februari Wiskundige achtergrond
College 2 Tweede college complexiteit 12 februari 2019 Wiskundige achtergrond 1 Agenda vanmiddag Floor, Ceiling Rekenregels logaritmen Tellen Formele definitie O, Ω, Θ met voorbeelden Stellingen over faculteiten
Nadere informatie