151 Universele eigenschappen voor algebra 3; 2015/02/08

Transcriptie

1 151 Uiversele eigeschappe voor algebra 3; 2015/02/08 I het dagelijks leve make we vaak gebruik va apparate, zoals bijvoorbeeld auto s e computers, zoder dat we wete hoe die precies i elkaar zitte e hoe ze werke. Dat hoeve we ook iet te wete, wat het is voldoede om er wat eigeschappe va te kee die os i staat stelle het apparaat te gebruike. Bijvoorbeeld hebbe alle auto s ee stuur, ee gaspedaal e ee rem, e vaak ook ee verselligspook e ee koppelig. Als we ee computer programmere da gaa we ook uit va eigeschappe va de computer, va de programmeertaal e de al aawezige programmatuur. Deze maier va doe maakt os leve veel eevoudiger. I de wiskude is het iet aders. Bijvoorbeeld is de verzamelig R va reële getalle met de elemete 0 e 1, de operaties + e, e de ordeig apple axiomatisch volledig gekarakteriseerd. Iederee mag daarom zij/haar favoriete implemetatie va R i de verzameligetheorie gebruike: elk tweetal realisaties zij uiek isomorf (bie het model va ZFC waari me werkt). Ee volgede stap die i de wiskude gezet wordt is het karakterisere va objecte of costructies va objecte door eigeschappe. Deze eigeschappe gelde uiverseel (d.w.z., voor alle objecte va ee bepaald soort), e hete daarom uiversele eigeschappe. Ee cruciaal gevolg va ee uiversele eigeschap is dat het object dat eraa voldoet er op uiek isomorfisme a door bepaald wordt. Deze stap is ook ee goede stap i de richtig va het gebruik va de taal va categorieë, maar daarover hopelijk later meer i dit college. Op dit momet zij voorbeelde uttiger. Het is ook uttig om i bewijze zoveel mogelijk uiversele eigeschappe te gebruike; bewijze worde daar vaak beter (korter, eevoudiger) va Quotiëte va verzamelige Het eerste voorbeeld dat me tege zou moete kome is het quotiët va ee verzamelig X aar ee equivaletierelatie. We spelle het uit. Ee afbeeldig q : X! Q heet ee quotiët voor als q surjectief is e de vezels va q de equivaletieklasse voor zij. Stel u dat q : X! Q ee quotiët voor is. Stel dat f : X! Y ee afbeeldig is die compatibel met is: voor alle x 1 e x 2 i X met x 1 x 2 geldt dat f(x 1 )=f(x 2 ). Da is er ee uieke afbeeldig f : Q! Y met f = f q. (Lezer: teke vooral het diagram.) Deze eigeschap va q (voor alle dergelijke f bestaat zo uieke f) heet de uiversele eigeschap va het quotiët q voor. Als u q 1 : X! Q 1 e q 2 : X! Q 2 allebei deze uiversele eigeschap hebbe, da is er ee uieke afbeeldig q 2 : Q 1! Q 2 met q 2 = q 2 q 1, e ook ee uieke afbeeldig q 1 : Q 2! Q 1 met q 1 = q 1 q 2. Maar da geldt q 1 q 2 q 1 = q 1 q 2 = q 1, e dus (vawege de uiversele eigeschap va q 1 toegepast op q 1 q 2 ) dat q 1 q 2 =id Q1. Net zo hebbe we q 2 q 1 =id Q2. De coclusie is dus dat q 2 e q 1 iverse va elkaar zij. Zoals beloofd: de uiversele eigeschap 309

2 bepaalt het object op uiek isomorfisme a Breukelichaam va ee domei Laat D ee domei zij (dus D is ee commutatieve rig met 1, waari geldt dat 1 6= 0e (ab =0)) ((a =0)_ (b =0))). Laat K het breukelichaam va D zij. De costructie daarva geeft ee ijectief homomorfisme va rige i: D! K dat de volgede uiversele eigeschap heeft: voor ieder ijectief homomorfisme va rige f : D! L met L ee lichaam is er ee uiek homomorfisme va rige f : K! L zodat f = f i Quotiët va ee rig aar ee ideaal Laat R ee rig zij, e I R ee ideaal. Da heeft het quotiët-homomorfisme q : R! R/I de volgede uiversele eigeschap: voor ieder homomorfisme va rige f : R! A met f(i) ={0} is er ee uiek homomorfisme va rige f : R/I! A met f = f q De rig va polyome over ee rig Laar R ee rig zij. De polyoomrig i éé variabele e met coëfficiëte i R, R[X], wordt gecostrueerd met ee homomorfisme va rige c: R! R[X] (c voor costat ) e ee elemet X i R[X], die same de volgede uiversele eigeschap hebbe. Voor ieder paar (f,a) met f : R! A ee homomorfisme va rige, e a i A, is er ee uiek homomorfisme va rige f : R[X]! A met f c = f e f(x) =a. Het is ee iet-triviaal feit (ee stellig, met ee bewijs, iet zo moeilijk) dat zo paar (c, X) dat voldoet aa de uiverele eigeschap bestaat, e dat da bovedie R[X] vrij is alsrmoduul, met (geummerde) basis (X ) 2N. Eigelijk gebeurt het meer adersom: me eemt dit moduul als startput e defiieert er ee rigstructuur op e bewijst vervolges dat de uiversele eigeschap geldt. Laat u R ee rig e S ee verzamelig zij, e R[S] de polyoomrig met coëfficiëte i R e met variabele de elemete va S. Deze rig R[S] wordt door de aaemer opgeleverd met ee homomorfisme va rige c: R! R[S] e ee afbeeldig v : S! R[S] (v staat voor variabele ). Da heeft het paar (c, v) de uiversele eigeschap: voor ieder paar (f,a) met f : R! A ee homomorfisme va rige, e a: S! A ee afbeeldig, is er ee uiek homomorfisme va rige f : R[S]! A met f c = f e f v = a. Ook hier is het bestaa va ee paar (c, v) dat voldoet aa de uiversele eigeschap iet triviaal. Als R-moduul is R[S] vrij, met basis de moome i S, d.w.z., de fucties m: S! N 310

3 met eidige support (de verzamelig va s i S met m(s) 6= 0is eidig). Voor wie deze zake i meer detail wil leze: zie de boeke Basic Algebra I e II va Jacobso, of Algebra va Lag, of Bourbaki. Of probeer ee algebra-dictaat va Be Mooe, als die al zover is dat hij dit heeft opgeschreve. Of aders Wikipedia Opgave: vrije module Laat R ee rig zij, e S ee verzamelig. Geef zelf ee defiitie va wat ee vrij R-moduul met basis S moet zij, door middel va ee uiversele eigeschap, e laat vervolges zie dat zo object bestaat. 152 Costructie va splijtlichame e algebraïsche afsluitige voor algebra 3; 2015/02/ Adjuctie va éé ulput va ee irreducibel polyoom Laat K ee lichaam, e f i K[X], irreducibel. Da is L := K[X]/(f) ee lichaam, e het elemet := q(x) (met q : K[X]! L het quotiëthomomorfisme) is ee ulput va f i L[X], e L = K( ). Merk op: dit is potetieel zeer verwarred. Late we de situatie otwarre i plaats va haar te egere). De verwarrig otstaat uit het feit dat er u twee verschillede righomomorfisme va K[X] aar L[X] zij. Het eerste is c q: eerst quotiët va K[X] aar L, gevolgd door L! L[X]. Het tweede is : g = P g X 7! P (g )X, waar = q c: K! L. De verwarrig verdwijt als seeuw voor de zo als me de uitspraak preciseert tot: is ee ulput va (f). Late we dit arekee (alle gelijkhede i de berekeig vide plaats i L): ( (f))( ) = X! (f )X ( ) = X (f ) = X (f )q(x) = = X q(c(f ))q(x) = X q(c(f )X )=q(f) = Costructie va ee splijtlichaam va éé polyoom Laat K ee lichaam zij e f i K[X] moisch e va graad > 0. Laat d de graad va f. Da f = X d +f d 1 X d 1 + +f 0. Laat g ee irreducibele factor i K[X] va f zij. De costructie hierbove geeft os ee uitbreidig K! K 1 e ee 1 i K 1 zodat f( 1 )=0, e K 1 = K( 1 ). 311

4 Da hebbe we i K 1 [X] ee factorisatie f =(X 1 ) f 1, met f 1 i K 1 [X] moisch va graad d 1. Herhalig geeft uiteidelijk ee uitbreidig K! K d e elemete 1,..., d i K d, zodat K d = K( 1,..., d ), e f = dy (X i ). i= Costructie va ee splijtlichaam va ee verzamelig polyome Laat K ee lichaam zij, e laat F ee deelverzamelig va K[X] zij, bestaad uit moische polyome. Laat S = {(f,i) :f 2 F, i 2 N, i<deg(f)}, R = K[S]. We otere het elemet (f,i) i R als r f,i (r voor root ). Laat I het ideaal i R zij dat voortgebracht wordt door de coëfficiëte i R va de elemete f Y (X r f,i ), f i F, i i N e i<deg(f) i va R[X]. Laat q : R! R/I het quotiët-homomorfisme zij. Het homomorfisme va rige K! R e de afbeeldig S! R/I, (f,i) 7! q(r f,i ) hebbe same de volgede uiversele eigeschap. Voor ieder righomomorfisme : K! A e iedere afbeeldig S! A, (f,i) 7! rf,i 0 zodat voor alle f i F i A[X] geldt dat f = Q i (X r0 f,i ), is er ee uiek homomorfisme va rige : R/I! A zodat voor voor alle (f,i) i S geldt dat r 0 f,i = (r f,i). We claime dat R/I iet de ulrig is. We bewijze het uit het ogerijmde. Neem aa dat R/I =0. Da is het eeheidselemet 1 va R ee elemet va I. Maar da is 1 ee (eidige!) lieaire combiatie P j h jg j met h j i K[S] e g j i de gegeve verzamelig va voortbregers va I. Dit beteket dat er ee eidige deelverzamelig F 0 va F is, zodat de aaloog gecostrueerde rig K[S 0 ]/I 0 de ulrig is. Laat u f het product va de elemete va F 0 zij, K! L ee splijtlichaam voor f, e 1,..., deg(f) i L zodat f =(X 1 ) (X deg(f) ) i L[X]. Da splijt elk elemet va F 0 i L[X] (L[X] is ee uiek factorisatie domei). Na ummerig va de ulpute va alle elemete va F 0 krijge we ee uiek righomomorfisme R 0 /I 0! L dat compatibel is met de ummerig. Maar da is R 0 /I 0 iet de ulrig, wat de ulrig heeft gee righomomorfisme aar ee lichaam. 312

5 Laat u m R/I ee maximaal ideaal zij (existetie volgt uit het iet ul zij va R/I e het lemma va Zor). Laat L := (R/I)/m. Da is K! L ee lichaamsuitbreidig. Voor alle f i F hebbe we f = Q i (X r f,i) i L[X], e L is voortgebracht door K e de ulpute i L va de f i F Costructie va ee algebraïsche afsluitig va ee lichaam Laat K ee lichaam zij. Laat K! L ee splijtlichaam zij voor de verzamelig va alle moische elemete va K[X]. Claim: K! L is ee algebraïsche afsluitig. Bewijs. Per defiitie is K! L algebraïsch. Laat L! M ee algebraïsche lichaamsuitbreidig zij. Da is K! M algebraïsch (Stellig 21.9 dictaat). Laat i M. Da splijt fk i L[X], dus alle ulpute va fk i M zitte i L, dus 2 L. Coclusie: L = M. 313