Ringen en Galoistheorie, 1e deel, 19 april 2012

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Ringen en Galoistheorie, 1e deel, 19 april 2012"

Transcriptie

1 Ringen en Galoistheorie, 1e deel, 19 april 2012 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider. Laat bij elke opgave zien hoe je aan je antwoord komt!! Veel succes! 1. Stel P (X) = X 3 + X 3. OPGAVEN (a) (1/2 pt) Ontbindt P (X) in irreducibele factoren in Q[X]. (b) (1/2 pt) Ontbindt P (X) in irreducibele factoren in (Z/5Z)[X]. (c) (1/2 pt) Bewijs dat voor elke n Z 1 dat het polynoom X n + Y 4 1 irreducibel is in C[X, Y ]. (d) (1/2 pt) Bewijs dat Q[X]/(X 3 5) een lichaam is. 2. Zij R 1, R 2 een tweetal ringen enbeschouw de productring R 1 R 2. Met R 1, R 2 geven we de éénhedengroepen van R 1 respectievelijk R 2 aan. (a) (1/2 pt) Bewijs dat de éénhedengroep in R 1 R 2 gegeven wordt door R 1 R 2. (b) (1/2 pt) Stel in dit onderdeel dat R 1, R 2 domeinen zijn. Bepaal de nuldelers van R 1 R 2. (c) (1/2 pt) Stel dat I 1 een ideaal is in R 1 en I 2 een ideaal in R 2. Bewijs dat I 1 I 2 een ideaal in R 1 R 2 is. (d) (1/2 pt) Bewijs dat elk ideaal in R 1 R 2 van de vorm I 1 I 2 is, met I 1, I 2 idealen in R 1 resp. R 2. (e) (1 pt) Bewijs dat R[X]/(X 2 4) = R R. 3. Beschouw de afbeelding ϕ : R[X, Y ] R[T ] R[T ] gegeven door ϕ : F (X, Y ) (F (T, 0), F (0, T )). (a) (1/2 pt) Bewijs dat ϕ een ringhomomorfisme is. (b) (1/2 pt) Geef een voortbrenger van de kern van ϕ. Zij R de deelring van R[T ] R[T ] bestaande uit alle paren (P (T ), Q(T )) met P (0) = Q(0). (c) (1/2 pt) Bewijs dat R het beeld van ϕ is. (d) (1/2 pt) Bewijs dat R = R[X, Y ]/(XY ). (e) (1/2 pt) Bewijs dat R[X, Y ]/(XY ) niet isomorf is met R[T ] R[T ] door de vergelijking a 2 = 1 in a op te lossen in elk van de twee ringen. Z.O.Z.

2 4. Gegeven is een ring R, een ideaal I in R en een deelring R van R. (a) (1/2 pt) Laat zien dat I R een ideaal in R is. Beschouw nu de ring Z[1/3] := {a/3 k a Z, k Z 0 }, dat wil zeggen de ring Z samen met de rationale getallen waarvan de noemer een macht van 3 is. (b) (1 pt) Bepaal de éénheden in Z[1/3]. (c) (1 pt) Bewijs dat Z[1/3] een hoofdideaalring is. (je mag gebruiken dat Z een hoofdideaalring is). UITWERKINGEN zie volgende bladzijde

3 UITWERKINGEN 1. (a) Om P in Q[X] te ontbinden is het voldoende irreducibele factoren in Z[X] te vinden. Als P reducibel is dan moet er een factor van graad 1 zijn, in het bijzonder van de vorm X a met a Z. In het bijzonder geldt dat a een deler van de constante term van P, dus 3, is. Blijft over, a = ±1, ±3. Geen van deze getallen is nulpunt van P, dus P is irreducibel. (b) Net als in het vorige onderdeel zoeken we een factor van graag 1, dat wil zeggen van de vorm X a. We hoeven nu alleen a 0, ±1, ±2, ±3(mod 7) te proberen. We vinden dat a = 2 een nulpunt is en geen andere. Dus wordt onze ontbinding P (X) = (X 1)(X 2 + X + 3) (c) Beschouw het polynoom als polynoom in R[X] met als coëfficientenring R = C[Y ], een uniek ontbindingsdomein. Het polynoom is nu een Eisensteinpolynoom met betrekking tot het irreducibele element Y 1. Het gegeven polynoom is dus irreducibel. (d) Het polynoom X 3 5 is irreducibel in Q[X], want het is een Eisenstein polynoom met betrekking tot de priem 5. In een hoofdideaalring vallen idealen voortgebracht door irreducibelen, priemidealen (0) en maximale idealen samen. In het bijzonder is (X 3 5) hoofdideaal in Q[X] en dus is Q[X]/(X 3 5) een lichaam. 2. (a) Merk op: (r 1, r 2 ) (R 1 R 2 ) s 1 R 1, s 2 R 2 : (r 1, r 2 )(s 1, s 2 ) = (1, 1) s 1 R 1, s 2 R 2 : r 1 s 1 = 1, r 2 s 2 = 1 r 1 R 1, r 2 R 2. (b) Merk op dat (r 1, r 2 ) R 1 R 2 een nuldeler is als r 1, r 2 niet beide nul zijn en er s 1 R 1, s 2 R 2 bestaan, niet beide nul, zó dat (r 1, r 2 )(s 1, s 2 ) = (0, 0). Ofwel, er bestaan s 1 R 1, s 2 R 2, niet beide nul, zó dat r 1 s 1 = 0 en r 2 s 2 = 0. Stel dat r 1 0. Omdat R 1 domein is volgt hieruit dat s 1 = 0. Omdat s 1, s 2 niet beide nul zijn, moet gelden dat s 2 0. Maar dan volgt uit r 2 s 2 = 0 dat r 2 = 0. Dus ons element heeft de vorm (r 1, 0). Stel nu dat r 1 = 0. Dan heeft ons element de vorm (0, r 2 ). We hebben dus bewezen dat als (r 1, r 2 ) nuldeler is, dan r 1 = 0 of r 2 = 0. Omgekeerd, elk element van de vorm (r 1, 0) is nuldeler, want (r 1, 0)(0, 1) = (0, 0) evenzo voor elementen van de vorm (0, r 2 ). (c) We moeten het volgende bewijzen: i. (0, 0) I 1 I 2. Dit is OK omdat 0 bevat in zowel I 1 als I 2. ii. (a 1, a 2 ), (b 1, b 2 ) I 1 I 2 (a 1 + b 1, a 2 + b 2 ) I 1 I 2. Omdat I 1, I 2 ideaal zijn, geldt dat a 1 + b 1 I 1 en a 2 + b 2 I 2. Dus (a 1 + b 1, a 2 + b 2 ) I 1 I 2.

4 iii. (a 1, a 2 ) I 1 I 2, (r 1, r 2 ) R 1 R 2 (r 1 a 1, r 2 a 2 ) I 1 I 2. Omdat I 1, I 2 idealen zijn geldt dat r 1 a 1 R 1 en r 2 a 2 R 2 Dus (r 1 a 1, r 2 a 2 ) I 1 I 2. (d) Voor I 1 nemen we het beeld van de projectie van I op de eerste coördinaat in R 1 R 2 en voor I 2 de projectie op de tweede coördinaat. Dan is het duidelijk dat I I 1 I 2. Kies omgekeerd een element (i, j) I 1 I 2. Dan is er een element a I van de vorm a = (i, a 2 ) met a 2 R 2. Evenzo is er een element van de vorm b = (b 1, j) I. Merk nu op, (i, j) = (i, 0) + (0, j) = (1, 0)a + (0, 1)b I omdat a, b I en I een ideaal in R 1 R 2 is. I 1 I 2 I en dus I = I 1 I 2. We concluderen dat (e) We passen de Chinese reststelling toe met de idealen (X 2) en (X+2) in R[X]. Omdat (X+2) (X 2) = 4 R geldt (X+2)+(X 2) = R[X]. De chinese reststelling geeft R[X]/(X 2 4) = Rx/(X 2) R[X]/(X + 2). Omdat R[X]/(X a) = R voor elke a R volgt onze bewering. 3. (a) We moeten het volgende controleren: i. ϕ : 1 (1, 1). Dit volgt meteen uit de definitie van ϕ. ii. ϕ : F + G ϕ(f ) + ϕ(g) voor elke F, G R[X, Y ]. Merk op: ϕ(f + G) = (F (T, 0) + G(T, 0), F (0, T ) + G(0, T )) = (F (T, 0), F (0, T )) + (G(T, 0), G(0, T )) = ϕ(f ) + ϕ(g). iii. ϕ : F G ϕ(f ) ϕ(g) voor elke F, G R[X, Y ]. Merk op: ϕ(f G) = (F (T, 0) G(T, 0), F (0, T ) G(0, T )) = (F (T, 0), F (0, T )) (G(T, 0), G(0, T )) = ϕ(f ) ϕ(g). (b) Stel dat F (X, Y ) in de kern van ϕ zit. Dan geldt dat F (T, 0) het nulpolynoom is. Of, wat hetzelfde is, F (X, 0) is het nulpolynoom. En dat betekent dat F (X, Y ) deelbaar is door Y. Op dezelfde manier impliceert F (0, T ) 0 dat F (X, Y ) deelbaar is door X. Conclusie F (X, Y ) is deelbaar door XY. Omgekeerd geldt dat ϕ(xy ) = (0, 0). Dus (XY ) is de kern van ϕ. (c) Het beeld van ϕ bestaat uit paren (F (T, 0), F (0, T )). Vullen we in beide coördinaten T = 0 in, dan krijgen we F (0, 0) = F (0, 0). Dus het beeld van ϕ zit in R. Kies omgekeerd een element (P (T ), Q(T )) R. Wij beweren dat P (X) + Q(Y ) P (0) in het inverse beeld zit. Immers, ϕ(p (X)+Q(Y ) P (0)) = (P (T )+Q(0) P (0), P (0)+Q(T ) P (0)) = (P (T ), Q(T )). Dus R zit in het beeld van ϕ.

5 (d) We passen met de voorgaande onderdelen de isomorfiestelling toe en vinden R = R[X, Y ]/(XY ). (e) Na het voorgaande onderdeel is het voldoende aan te tonen dat R en R[T ] R[T ] niet isomorf zijn. Los a 2 = 1 in R[T ] R[T ] op. we krijgen de oplossingen (1, 1), (1, 1), ( 1, 1), ( 1, 1). De deelring R bevat slechts de oplossingen (1, 1) en ( 1, 1). De eerste ring heeft vier oplossingen, de tweede slechts twee. Dat kan nooit als de ringen isomorf zouden zijn. 4. (a) We moeten controleren: i. 0 I R. Dit klopt omdat 0 I (I is ideaal) en 0 R (R is ring). ii. a, b I R a+b I R. Dit klopt ook, want a, b I impliceert a + b I en a, b R impliceert a + b R. Dus a + b I R. iii. a I R, r R ra I R. Dit klopt ook, want a I, r R R impliceert ra I en r, a R impliceert ra R. Dus ra I R. (b) Omdat 3, 1/3 Z[1/3] is 3 een éénheid. Kies nu een willekeurig element u Z[1/3]. Kies k Z zó dat u = 3 k u geen factoren 3 meer in teller en noemer heeft. Dat betekent dat u een geheel getal is dat niet deelbaar door 3 is. Omdat u een éénheid is geldt hetzelfde voor 1/u. Conclusie, u = ±1. De éénheden worden gegeven door {±3 k k Z}. (c) Zij I Z[1/3] een ideaal. Dan is I Z een ideaal in Z en dus een hoofdideaal, zeg I Z = (a) met a Z. Wij beweren dat I in Z[1/3] wordt voortgebracht door a. Stel namelijk b I. Na vermenigvuldiging met een geschikte macht 3 k kunnen we ervoor zorgen dat 3 k b Z. Dus 3 k b I Z. Dan is er een geheel getal c Z zó dat 3 k b = ca en dus b = (c/3 k )a. Omdat c/3 k Z[1/3] zien we hieruit dat b (a). Conclusie, I (a) in Z[1/3]. Omdat ook a I concluderen we dat I = (a).

Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur

Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur Geef een goede onderbouwing van je antwoorden. Succes! 1. (a) (10 pt) Ontbindt het polynoom X 3 3X+3 in irreducibele factoren in Q[X] en in

Nadere informatie

Tentamen Ringen en Galoistheorie, , uur

Tentamen Ringen en Galoistheorie, , uur Tentamen Ringen en Galoistheorie, 30-6-2008, 14-17 uur Dit is een open boek tentamen. Dat wil zeggen, de dictaten mogen gebruikt worden maar geen andere zaken zoals aantekeningen, uitwerkingen, etc. Geef

Nadere informatie

RINGEN EN LICHAMEN. Aanvullende opgaven met uitwerkingen

RINGEN EN LICHAMEN. Aanvullende opgaven met uitwerkingen RINGEN EN LICHAMEN Aanvullende opgaven met uitwerkingen Hierna volgen een aantal aanvullende opgaven die gaan over kernbegrippen uit de eerste hoofdstukken van Ringen en Lichamen. Probeer deze opgaven

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 2017, 14:00 17:00

Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 2017, 14:00 17:00 Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 207, 4:00 7:00 Je mocht zoals gezegd niet zonder uitleg naar opgaven verwijzen. Sommige berekeningen zijn hier weggelaten. Die moest je op je tentamen wel laten zien.

Nadere informatie

Gehelen van Gauss. Hector Mommaerts

Gehelen van Gauss. Hector Mommaerts Gehelen van Gauss Hector Mommaerts 2 Hoofdstuk 1 Definities Gehelen van Gauss zijn complexe getallen van de vorm a + bi waarbij a, b Z. De verzameling van alle gehelen van Gauss noteren we met Z(i). Dus

Nadere informatie

Het karakteristieke polynoom

Het karakteristieke polynoom Hoofdstuk 6 Het karakteristieke polynoom We herhalen eerst kort de definities van eigenwaarde en eigenvector, nu in een algemene vectorruimte Definitie 6 Een eigenvector voor een lineaire transformatie

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets) Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N

Nadere informatie

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal

Nadere informatie

Combinatoriek groep 2

Combinatoriek groep 2 Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een

Nadere informatie

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 8 november 2011, 13u30-16u30 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider (Victor Blasjo, Esther

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra

Tentamen Lineaire Algebra Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische

Nadere informatie

7.1 Het aantal inverteerbare restklassen

7.1 Het aantal inverteerbare restklassen Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo

Nadere informatie

Uitwerkingen toets 9 juni 2012

Uitwerkingen toets 9 juni 2012 Uitwerkingen toets 9 juni 0 Opgave. Voor positieve gehele getallen a en b definiëren we a b = a b ggd(a, b). Bewijs dat voor elk geheel getal n > geldt: n is een priemmacht (d.w.z. dat n te schrijven is

Nadere informatie

Combinatoriek groep 1

Combinatoriek groep 1 Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Getallenrijen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een directe formule geeft a n in

Nadere informatie

1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE

1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Uiterste inleverdatum dinsdag oktober, voor het begin van het college N.B. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je moet het huiswerk

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Complexe e-macht en complexe polynomen

Complexe e-macht en complexe polynomen Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra B

Tentamen Lineaire Algebra B Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een

Nadere informatie

er zijn (p 2 p)/2 irreducibele polynomen van de graad 2 over F p het minimaal polynoom van a deelt ieder polynoom f(x) met f(a) = 0

er zijn (p 2 p)/2 irreducibele polynomen van de graad 2 over F p het minimaal polynoom van a deelt ieder polynoom f(x) met f(a) = 0 Laatste nieuws van Algebra and Discrete Wiskunde (2WF50) College 8.b: Vragenuur Opgaven 11 en 12 van Test 4 op Oncourse Opgaven 2 en 3 van tentamen van april 2015 Opgaven 16 en 19 van 14.8 College 8.a:

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

1 Kettingbreuken van rationale getallen

1 Kettingbreuken van rationale getallen Kettingbreuken van rationale getallen Laten we eens starten met een breuk bijvoorbeeld 37/3 Laten we hier ons kettingbreuk algoritme op los, We concluderen hieruit dat 37 3 3 + 3 + + 37 3 + + + hetgeen

Nadere informatie

Uitwerkingen toets 12 juni 2010

Uitwerkingen toets 12 juni 2010 Uitwerkingen toets 12 juni 2010 Opgave 1. Bekijk rijen a 1, a 2, a 3,... van positieve gehele getallen. Bepaal de kleinst mogelijke waarde van a 2010 als gegeven is: (i) a n < a n+1 voor alle n 1, (ii)

Nadere informatie

6 Ringen, lichamen, velden

6 Ringen, lichamen, velden 6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x 2 + 2x + 2 irreducibel is in Z 3 [x]. Oplossing 6.1 Aangezien de veelterm van graad 3 is,

Nadere informatie

3 Modulorekenen. 3.1 De eulerfunctie en de kleine stelling van Fermat. Oefening 3.1. Bepaal Φ(1992), Φ(2011) en Φ(2048) (83 en 2011 zijn priem).

3 Modulorekenen. 3.1 De eulerfunctie en de kleine stelling van Fermat. Oefening 3.1. Bepaal Φ(1992), Φ(2011) en Φ(2048) (83 en 2011 zijn priem). 3 Modulorekenen 3.1 De eulerfunctie en de kleine stelling van Fermat Oefening 3.1. Bepaal Φ(1992), Φ(2011) en Φ(2048) (83 en 2011 zijn priem). Oplossing 3.1 1992 = 2 3 3 83. Φ(1992) = 2 2 2 82 = 656. 2048

Nadere informatie

Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave.

Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Opgave 6 Lesbrief, opgave 4.5 De getallen m en n zijn verschillende positieve gehele getallen zo, dat de laatste drie cijfers van 1978 m en 1978 n overeenstemmen.

Nadere informatie

2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE

2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE 2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Inleverdatum maandag 8 oktober 2017 voor het college Niet losse velletjes aan elkaar vast. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven.

Nadere informatie

Algebra and discrete wiskunde

Algebra and discrete wiskunde Algebra and discrete wiskunde dr. G.R. Pellikaan Studiewijzer voor het studiejaar 2016/2017 College 2WF50 Contents 1 Algemeen 2 2 Inhoud van het vak 2 3 Leerdoelen 3 4 Berekening tijdsplanning 3 5 Onderwijs-

Nadere informatie

Algebra and discrete wiskunde

Algebra and discrete wiskunde Algebra and discrete wiskunde dr. G.R. Pellikaan Studiewijzer voor het studiejaar 2015/2016 College 2WF50 Contents 1 Algemeen 2 2 Inhoud van het vak 2 3 Leerdoelen 3 4 Berekening tijdsplanning 3 5 Onderwijs-

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De

Nadere informatie

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2 Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van

Nadere informatie

Combinatoriek groep 1 & 2: Recursie

Combinatoriek groep 1 & 2: Recursie Combinatoriek groep 1 & : Recursie Trainingsweek juni 008 Inleiding Bij een recursieve definitie van een rij wordt elke volgende term berekend uit de vorige. Een voorbeeld van zo n recursieve definitie

Nadere informatie

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen 46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

G Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie. K Geologie, Informatica, Schakelprogramma s

G Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie. K Geologie, Informatica, Schakelprogramma s Tussentijdse Toets Wiskunde I ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, Master Chemie donderdag 3 november 06, :00-3:00

Nadere informatie

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen. Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk

Nadere informatie

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;

Nadere informatie

Lineaire Algebra 3 en 4. Wieb Bosma

Lineaire Algebra 3 en 4. Wieb Bosma Lineaire Algebra 3 en 4 Wieb Bosma juni 2000/juni 2001 Inhoudsopgave 1 Vectorruimten 3 1.1 Inleiding........................................ 3 1.2 Lichamen....................................... 3 1.2.1

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

Week 22: De macht van het spoor en het spoor van de macht

Week 22: De macht van het spoor en het spoor van de macht Week 22: De macht van het spoor en het spoor van de macht Een belangrijke invariant van een lineaire afbeelding is het spoor. Als we een basis kiezen dan is het spoor simpelweg de som van de elementen

Nadere informatie

5.2.4 Varia in groepentheorie

5.2.4 Varia in groepentheorie Oefeningen op hoofdstuk 5 Algebra 5.2 Groepentheorie 5.2.1 Cayleytabellen van groepen van orde 8 Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze

Nadere informatie

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A. De opgaven

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A. De opgaven Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 3 november 9, 3-6 uur Bij dit tentamen mogen dictaat en/of rekenmachine niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, collegekaartnummer en naam van de practicumleider

Nadere informatie

Verzameling die door PlotPar maar niet door PlotZer geplot kan worden:

Verzameling die door PlotPar maar niet door PlotZer geplot kan worden: Oplossingen It s a plot! Verzameling die door PlotZer maar niet door PlotPar geplot kan worden: Merk op dat elke niet-constante veelterm willekeurig grote (absolute) waarden bereikt De enige begrensde

Nadere informatie

Algebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies

Algebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies Algebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies Trainingsweek juni 2008 Kwadraat afsplitsen Een kwadratische functie oftewel tweedegraads polynoom) px) = ax 2 + bx + c a 0) kan in verschillende

Nadere informatie

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Trainingsweek juni 2008 Inleiding Voor a relatief priem met m hebben we de orde van a modulo m gedefinieerd als ord m (a) = min { n Z + a n 1 (mod m) }. De verzameling

Nadere informatie

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015 Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen

Nadere informatie

Inverse limieten en de A-dèle ring. Pim van der Hoorn

Inverse limieten en de A-dèle ring. Pim van der Hoorn Inverse limieten en de A-dèle ring Pim van der Hoorn 29 augustus 2008 Voorwoord Deze scriptie is gebaseerd op onderzoek gedaan in het eerste halfjaar van het jaar 2008 door Marcel de Reus en Pim van der

Nadere informatie

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen. Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.

Nadere informatie

Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015

Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015 Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen

Nadere informatie

Algebra. Oefeningen op hoofdstuk Groepentheorie Cayleytabellen van groepen van orde Cyclische groepen

Algebra. Oefeningen op hoofdstuk Groepentheorie Cayleytabellen van groepen van orde Cyclische groepen Oefeningen op hoofdstuk 5 Algebra 5.2 Groepentheorie 5.2.1 Cayleytabellen van groepen van orde 8 Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze

Nadere informatie

TENTAMEN ANALYSE 1. dinsdag 3 april 2007,

TENTAMEN ANALYSE 1. dinsdag 3 april 2007, TENTAMEN ANALYSE. dinsdag april 2007, 4.00-7.00. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste vijf opgaven gaan over de stof van het eerste gedeelte van het college. De laatste vijf opgaven gaan

Nadere informatie

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

1 Groepen van orde 24.

1 Groepen van orde 24. 1 1 Groepen van orde 24. Als G een groep van orde 24 is, dan zeggen de stellingen van Sylov: Het aantal 2-Sylow-groepen van G is 1 modulo 2 en bovendien een deler van 24, dus bedraagt 1 of 3. Het aantal

Nadere informatie

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H17

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H17 Hints en uitwerkingen huiswerk 013 Analyse 1 H17 Rocco van Vreumingen augustus 014 1 Inhoudsopgave 1 Hints 1 3 Hints 4 3 Hints 3 4 4 Hints 4 5 5 Hints 5 5 6 Hints 6 6 7 Hints 7 6 8 Hints 8 6 9 Hints 9

Nadere informatie

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde

Nadere informatie

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 = UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De

Nadere informatie

III.2 De ordening op R en ongelijkheden

III.2 De ordening op R en ongelijkheden III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00 Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus

Nadere informatie

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n

Nadere informatie

Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen

Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen

Nadere informatie

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 3 De Nullstellensatz 1. De zwakke Nullstellensatz Stelling 1.1. Zij K een algebraïsch gesloten lichaam en zij I een ideaal in K[x] = K[x 1,...,

Nadere informatie

Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312

Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312 Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312 Je mag de syllabus en aantekeningen gebruiken, maar geen rekenmachine. Je mag opgaven 2.46, 2.49 en 8.13

Nadere informatie

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b, UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht

Nadere informatie

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1) Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Analyse A, deeltentamen Uitwerkingen maandag 1 november 2010, 9 11 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels. 16 september dr.

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels. 16 september dr. Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

Priemontbinding in kwadratische lichamen

Priemontbinding in kwadratische lichamen Priemontbinding in kwadratische lichamen Auteur: Marieke van der Wegen Begeleider: Dr. J. Stienstra Bachelorscriptie Universiteit Utrecht Datum: April-Juni 015 Studentnummer: 399951 Inhoudsopgave Inleiding

Nadere informatie

= (antwoord )

= (antwoord ) Rekenkunde Nadruk verboden 1 Opgaven 1. 2. 3. 4. = (antwoord 10.) 10 10 10 = (antwoord: 10.) 10 10 = (antwoord: 10.).,,, = (antwoord 15. 10.),,, 5. 7 7 7 7 7 = (antwoord: 7.) 6. 10 10 10 10 10 10 = 7.

Nadere informatie

Combinatoriek groep 1

Combinatoriek groep 1 Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsweek, juni 009 Stappenplan homogene lineaire recurrente betrekkingen Even herhalen: het stappenplan om een recurrente betrekking van orde op te lossen: Stap 1. Bepaal

Nadere informatie

Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen

Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen Opmerking TI1300 Redeneren en Logica College 2: Bewijstechnieken Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor alle duidelijkheid: Het is verre van triviaal om definities te leren hanteren, beweringen op te lossen,

Nadere informatie

cyclotomische polynomen

cyclotomische polynomen Coëfficiënten van cyclotomische polynomen Joris Luijsterburg Studentnummer: 0314137 Maart 2009 Bachelorscriptie Onder begeleiding van Dr. W. Bosma Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN

Tentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen

Nadere informatie

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B = Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt

Nadere informatie

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D020. Datum: vrijdag 17 maart 2006. Tijd: 14:00 17:00. Plaats: SC C. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je

Nadere informatie

Wanneer zijn veelvouden van proniks proniks?

Wanneer zijn veelvouden van proniks proniks? 1 Uitwerking puzzel 92-1 Wanneer zijn veelvouden van proniks proniks? Harm Bakker noemde het: pro-niks voor-niks De puzzel was voor een groot deel afkomstig van Frits Göbel. Een pronik is een getal dat

Nadere informatie

Rekenen met letters. RGO-Middelharnis 1. 1 c RGO-wiskunde

Rekenen met letters. RGO-Middelharnis 1. 1 c RGO-wiskunde Rekenen met letters RGO-Middelharnis 1 1 c RGO-wiskunde 1 Inhoudsopgave 2 1 Korter schrijven 1 Korter schrijven 7 + 7 + 7 + 7 = 4 7 8 + 8 + 8 + 8 = 4 8 9 + 9 + 9 + 9 = 4 9 Zoals de drie regels hierboven

Nadere informatie

Selectietoets vrijdag 10 maart 2017

Selectietoets vrijdag 10 maart 2017 Selectietoets vrijdag 10 maart 2017 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Zij n een even positief geheel getal. Een rijtje van n reële getallen noemen we volledig als voor elke gehele

Nadere informatie

I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.

I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules. I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Irreducibele polynomen

Irreducibele polynomen Irreducibele polynomen Peter Koymans Student nummer: 0748876 p.h.koymans@student.tue.nl Begeleid door Aart Blokhuis 12 augustus 2013 Department of Mathematics and Computer Science 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding

Nadere informatie

ALGEBRA II. P. Stevenhagen

ALGEBRA II. P. Stevenhagen ALGEBRA II P. Stevenhagen 2010 INHOUDSOPGAVE ALGEBRA II 11. Ringen 5 Eenheden Voorbeelden van ringen Nuldelers Domeinen Homomorfismen en idealen Isomorfie- en homomorfiestellingen Chinese reststelling

Nadere informatie

Hoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties

Hoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties Hoofdstuk 6 Congruentierekening 6.1 Congruenties We hebben waarschijnlijk allemaal wel eens opgemerkt dat bij vermenigvuldigen van twee getallen de laatste cijfers als het ware meevermenigvuldigen. Stel

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

E.T.G. Schlebusch. Het Hasse-principe. Bachelorscriptie, 20 juni Scriptiebegeleider: dr. R.M. van Luijk

E.T.G. Schlebusch. Het Hasse-principe. Bachelorscriptie, 20 juni Scriptiebegeleider: dr. R.M. van Luijk E.T.G. Schlebusch Het Hasse-principe Bachelorscriptie, 20 juni 2012 Scriptiebegeleider: dr. R.M. van Luijk Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave 1. Inleiding 2 2. Het lichaam van p-adische

Nadere informatie

Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking

Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking 10 december 2013, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is

Nadere informatie

Syllabus Algebra IIa. Prof. Dr G. van der Geer

Syllabus Algebra IIa. Prof. Dr G. van der Geer Algebra II -1 Syllabus Algebra IIa voorlopige versie Prof. Dr G. van der Geer Faculteit Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam Plantage Muidergracht 24 1018 TV Amsterdam Versie: 2002 Algebra

Nadere informatie

Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A

Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B = Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt

Nadere informatie

Perfecte getallen en Leinster groepen

Perfecte getallen en Leinster groepen Faculteit Wetenschappen Departement Wiskunde Perfecte getallen en Leinster groepen Bachelorproef 1 Lukas Boelens Promotor: Dr. Andreas Bächle 29 januari 2015 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Perfecte getallen

Nadere informatie

3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.

3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. 3.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je

Nadere informatie

Inleiding Analyse 2009

Inleiding Analyse 2009 Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002 RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven

Nadere informatie

Opgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep.

Opgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep. Opgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht

Nadere informatie

opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.

opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2. opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal

Nadere informatie

Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 1) Inleverdatum: 28 februari 2002

Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 1) Inleverdatum: 28 februari 2002 Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 1) Inleverdatum: 28 februari 2002 1. We vatten {0, 1} op als het lichaam F 2. Een schuifregisterrij is een rij {s n } n=0 in F 2 gegeven door r startwaarden s

Nadere informatie