Dion Coumans en Mieke Janssen. Introductie didactiek van de wiskunde

Transcriptie

1 Dio Coumas e Mieke Jasse Itroductie didactiek va de wiskude

2 Ihoudsopgave blz. 1. Itroductie i magische vierkate f-magische vierkate α-magische vierkate 4 2. α-magische vierkate Methode om semi-α-magische vierkate te make Algoritme voor het vide va α-magische vierkate 8 3. p-magische vierkate p is ee costate fuctie p is ee lieaire fuctie p is ee polyoom va graad p is ee polyoom va graad 3 of hoger [getal]-magische vierkate Ratioale getalle Normale getalle π-magische vierkate Bijlage Bijlage

3 1. Itroductie i magische vierkate Bija 5000 jaar gelede werd Chia getroffe door zware overstromige. Veel riviere trade buite hu oevers, éé va deze riviere was de Lo. De mese brachte offers aar de Lo Shu rivier i de hoop dat de overstromige zoude stoppe, maar dit gebeurde iet. Wel kwam er iedere keer als er ee offer werd gebracht ee schildpad uit de rivier de Lo gelope met ee bijzodere tekeig op zij rug. Als we de stippe i ieder vakje telle e het aatal opschrijve, da verkrijge we het vierkat liks. Het magische aa dit vierkat is dat de getalle 1, 2,...,9 zo geragschikt zij dat de som va de getalle i iedere kolom, rij e op de twee diagoale steeds hetzelfde is, amelijk 15. Me bedacht dat dit het teke was va de riviergod, dat hij 15 offers wilde e dat de overstromige da zoude stoppe. E iderdaad, zo geschiedde het. Dit magische vierkat is beked geworde oder de aam Lo Shu. Ee magisch vierkat is ee vierkat waari de som va de getalle i elke rij, elke kolom e op de twee diagoale hetzelfde is. Deze som oeme we de magische som. Als i ee magisch vierkat allee de getalle 1 tot e met 2 voorkome da oeme we dit vierkat zuiver magisch. De Lo Shu is ee zuiver magisch vierkat met magische som 15. Magische vierkate zij al duizede jare oud e me dacht vroeger, zoals de aam doet vermoede, dat deze vierkate magische krachte hadde. Zo zou je, als je ee amulet met ee magisch vierkat erop zou drage, beschermd worde tege boze geeste e ook zoude ziekte kue worde geeze met behulp va magische vierkate. Tegewoordig is va de ideeë over de magische krachte va deze vierkate iet veel meer overgebleve, alhoewel i Idia de gedraaide Lo Shu og steeds gebruikt wordt om vermiste persoe mee terug te vide Me hagt dit vierkat aa ee boom e hoopt dat de vermiste persoo weer aar huis komt. Magische vierkate zij oafhakelijk va elkaar i verschillede beschavige gevode e door de eeuwe hee is me veel over deze vierkate te wete gekome. Veel va de otdekkige zij gedaa door puzzelde amateurs. Door de eeuwe hee is me op zoek gegaa aar steeds magischere vierkate. Wij zulle os bezighoude met de zogeaamde f-magische vierkate. 3

4 1.1 f-magische vierkate Zij f ee fuctie 1. M is ee f-magisch vierkat als zowel M als f(m) magische vierkate zij. Hierbij is f(m) het vierkat dat je verkrijgt door f toe te passe op alle getalle i M. Dus als f ee fuctie is e a b c M = d e g e f(m) = h i j f(a) f(b) f(c) f(d) f(e) f(g) f(h) f(i) f(j) beide magische vierkate zij, da is M ee f-magisch vierkat. 1.2 α-magische vierkate Ee speciaal geval va de f-magische vierkate zij de α-magische vierkate. De fuctie α voegt aa elk atuurlijk getal het aatal letters toe va het telwoord. Zo is i het Egels: α (5) = 4, wat 5 uitgeschreve i het Egels is five e dit woord telt 4 letters. We oeme M ee α-magisch vierkat als zowel M als α(m) magisch zij. Het is duidelijk dat als ee vierkat α-magisch is i de ee taal, het og iet α-magisch hoeft te zij i ee ader taal. Ee voorbeeld va ee α-magisch vierkat i de Egelse taal is het volgede vierkat: Dit is ee magisch vierkat met magische som 45. Na uitschrijve va de getalle i het Egels e het telle va de letters krijge we het volgede vierkat: Dit is ee magisch vierkat met magische som 11. I hoofdstuk 2 gaa we dieper i op α-magisch vierkate. I hoofdstuk 3 bekijke we de polyome. We vrage os af of er voor elk polyoom p (met coëfficiëte i de gehele getalle) ee p-magisch vierkat bestaat. Tot slot gebruike we i hoofdstuk 4 de decimale otwikkelig om voor elk reëel getal x ee fuctie f x te defiiëre e oderzoeke we voor welke x er ee f x -magisch vierkat bestaat. 1 We late hier bewust het domei e bereik va f i het midde. Dit is iet echt va belag, zolag f maar gedefiieerd is voor alle getalle i M. I dit werkstuk zal f veelal ee trasformatie va de atuurlijke getalle zij. 4

5 2. α-magische vierkate I dit hoofdstuk bekijke we α-magische vierkate. We zulle eerst ee maier beschrijve om vierkate te make die i ee groot aatal tale semi-α-magisch zij. Daara zie we hoe je alle α-magische vierkate kut vide i ee bepaalde taal als je ee bovegres stelt aa de getalle die i het vierkat voorkome. Merk allereerst op dat we op eevoudige wijze oeidig veel α-magisch vierkate kue vide. Bekijk amelijk het volgede vierkat: Alle kolomme, rije e de diagoale hebbe dezelfde som. Als we dit vierkat i het Nederlads uitschrijve krijge we: éé éé éé éé éé éé éé éé éé E alle letters i de woorde telle levert: Dit is weer ee magisch vierkat is. Op eezelfde wijze is ee vierkat vol met tweeë, drieë, viere, α-magisch. Deze vierkate wille we echter iet beschouwe. We spreke af dat we allee aar vierkate kijke waari alle getalle verschilled zij. We eise iet dat de getalle i het beeldvierkat, het vierkat dat je hebt verkrege a uitschrijve e telle, verschilled zij. We beschouwe vierkate i verschillede tale. Om wat makkelijker over dit oderwerp te kue prate, defiiëre we ee fuctie α x : door: α x () = de legte va het woord dat je krijgt als je uitschrijft i de taal x. Da geldt bijvoorbeeld α egels (6) = Methode om semi-α-magische vierkate te make Ee semi-magisch vierkat is ee vierkat waari alle rijsomme e kolomsomme gelijk zij. Hieri eis je dus iets over de diagoale. We oeme ee vierkat M semi-α x -magisch als zowel M als α x (M) semi-magisch zij. Voordat we semi-α x -magische vierkate kue make, hebbe we wat theorie odig over Latijse vierkate. Dit is het oderwerp va de volgede paragraaf. 5

6 2.1.1 Latijse vierkate We oeme ee vierkat M ee Latijse vierkat als i elke rij e i elke kolom va M de getalle 0 tot e met - 1 voorkome. Voorbeeld Zo is het vierkat: ee 3 3 Latijs vierkat Ee Latijs vierkat is semi-magisch, aagezie elke kolomsom e elke rijsom gelijk is aa: = ½ ( 1 ) Zij ook og alle getalle op de diagoaal e op de ati-diagoaal verschilled, da is ee Latijs vierkat zelfs ee magisch vierkat. We zulle zo vierkat ee diagoaal Latijs vierkat oeme. Defiitie Zij N, M twee vierkate. We oeme N e M orthogoaal als alle elemete uit het vierkat der pare (het vierkat dat je krijgt door N e M op elkaar te schuive e i elk hokje het paar (, m) op te schrijve) verschilled zij. Voorbeeld Bekijk de vierkate: M = e N = Da is het vierkat der pare P(N, M): (0,0) (1,1) (2,2) (1,2) (2,0) (0,1) (2,1) (0,2) (1,0) Alle pare zij verschilled, dus de vierkate M e N zij orthogoaal. Merk op dat N (op permutaties va de cijfers a) het eige Latijse vierkat is zodat N e M orthogoaal zij. Heb je amelijk de eerste va N rij gekoze, da ligt de rest va het vierkat vast..1.2 Het make va ee semi-α-magisch vierkat Met behulp de vierkate N, M uit de vorige paragraaf make we ee semi-α egels -magisch vierkat. Hiertoe vervage we i M elke 0 door 20, elke 1 door 30 e elke 2 door 40. Noem het ieuwe vierkat M. 6

7 Bekijk M + N: M + N = = M + N is ee semi-magisch vierkat, wat elke kolom- e rijsom is gelijk aa: = 93. Doordat M e N orthogoaal zij, bestaat M +N uit allemaal verschillede getalle. M + N i het Egels uitschrijve levert: twety thirty-oe forty-two thirty-two forty twety-oe forty-oe twety-two thirty Dus α egels (M + N) = Je ziet dat elke kolomsom e elke rijsom gelijk is aa: = 22. Dus M +N is ee semi- α egels -magisch vierkat. Dit vierkat is ook semi-α-magisch i het Nederlads. Uitschrijve levert amelijk: twitig ééedertig tweeëveertig tweeëdertig veertig ééetwitig ééeveertig tweeëtwitig dertig Dus α ederlads (M + N) = Elke rij e elke kolom heeft als som: = 30. I ee groot aatal tale is er ee soortgelijke systematiek i de telwoorde. I al deze tale, bijvoorbeeld i het Fras e i het Duits, is dit vierkat semi-α-magisch. I plaats va 20, 30 e 40 e 0, 1 e 2 hadde we ook adere tietalle (tusse 20 e 100) e eehede kue eme. De keuze is iet helemaal vrij. Zo wijkt bijvoorbeeld i het Fras de systematiek i de telwoorde af bij getalle vaaf 70. Hier ku je dus allee tietalle tusse 20 e 60 kieze. 7

8 Merk op dat je met deze methode bij twee orthogoale diagoaal Latijse vierkate ee α- magisch vierkat verkrijgt. Helaas bestaa er gee 3 3 diagoaal Latijse vierkate. We hebbe amelijk de volgede twee 3 3 Latijse vierkate: Alle adere 3 3 Latijse vierkate otstaa door ee permutaties va de cijfers. Dit zie je als volgt: je kut de eerste rij vrij ivulle (aagezie we cijfers 0,1 e 2 slecht ame zij, maakt het iet uit welke object je op welke plaats eerzet). Voor de eerste kolom heb je da og twee mogelijkhede: e Hiera ligt het hele vierkat vast. Bovestaade vierkate hebbe beide ee diagoaal waarop drie keer hetzelfde cijfer voorkomt. Dit blijft het geval a ee permutatie va de cijfers. Hieruit volgt dat er gee 3 3 diagoaal Latijse vierkate bestaa. Er bestaa wel 4 4 orthogoale diagoaal Latijse vierkat. Hiermee kue we 4 4 α- magische vierkate costruere. Zo vide we bijvoorbeeld het volgede vierkat dat α-magisch is i ee groot aatal tale: Algoritme voor het vide va α-magische vierkate I deze paragraaf zie we hoe je alle 3 3 α ederlads -magische vierkate (we schrijve vaaf u α ed ) kut vide waari allee getalle voorkome die hoogstes hoderd zij. Hetzelfde algoritme werkt voor elke adere bovegres e elke adere taal Eigeschappe va magische vierkate We zij op zoek aar 3 3-vierkate M, zodat zowel M als α ed (M) magisch zij. Je kut alle 3 3-vierkate M, waari alle getalle hooguit hoderd zij, aflope e cotrolere of M e α ed (M) magisch zij. Deze werkwijze is echter erg tijdroved aagezie er ee triljoe (100 9 = ) va zulke vierkate zij. We zoeke ee efficiëtere methode om al α ed -magische vierkate te vide. Hiervoor probere we ee aatal eigeschappe va magische vierkate te vide die het zoekproces vergemakkelijke. Allereerst hebbe we geëist dat alle getalle i het vierkat verschilled zij. Dit beperkt het aatal mogelijk hede tot Verder zulle we vierkat die uit elkaar kue worde verkrege door draaie e spiegele als gelijk beschouwe. Zo kue we alle vierkate met verschillede getalle verdele over groepjes va acht gelijke vierkate : a b c d e f g h i g d a h e b i f c i h g f e d c b a c f i b e h a d g 8

9 c b a f e d i h g a d g b e h c f i g h i d e f a b c i f c h e b g d a We hebbe u og ⅛ wezelijk verschillede vierkate over. Late we u wat specifieker aar magische vierkate kijke. Zij M ee 3 3 magisch vierkat, zeg: M = a b c d e f g h i Da is de kolomsom, rijsom e de som va diagoale va M gelijk aa de magische som va M, deze otere we als s(m). Er geldt: a + e + i = s(m) b + e + h = s(m) c + e + g = s(m) d + e + f = s(m) Optelle va deze gelijkhede levert: a + b + c + d + e + f + g + h + i + 3e = 4s(M) 3s(M) + 3e = 4s(M) 3e = s(m) Dus de magische som is gelijk aa drie keer het middelste getal. Wat levert dit os op? We wete u: a + e + i = 3e Aa beide kate va de vergelijkig 2e - a aftrekke levert os: e a = i e Hieruit volgt dat a, e, i ee rekekudige rij is. We wille dat ook α ed (M) magisch is. Dus ook α ed (a), α ed (e), α ed (i) moet ee rekekudige rij vorme. Hetzelfde geldt voor de rijtjes: b, e, h e d, e, f e g, e, c. Merk op dat het vierkat M helemaal vast als je a, c, g e i ket. Elke rij e elke kolom heeft amelijk als som s(m). Zo geldt bijvoorbeeld a + b + c = s(m). Dus b = s(m) a c. Het vierkat M is dus va de volgede vorm: e - x 1 s(m) - (e - x 1 ) - (e + x 2 ) e + x 2 s(m) - (e - x 1 ) - (e - x 2 ) e s(m) - (e + x 1 ) - (e + x 2 ) e - x 2 s(m) - (e + x 1 ) - (e - x 2 ) e + x 1 Hierbij zij x 1 e x 2 de redes va de rekekudige rijtjes: a, e, i e g, e, c. 9

10 2.2.2 Het bepale va alle α ed -magische vierkate We hebbe geëist dat alle getalle i het vierkate kleier of gelijk zij aa hoderd. I bijzoder geldt: e = 1, 2, 3, 4,. of 100. We bepale voor elke mogelijke keuze voor e de α ed -magische vierkate met e i het midde. We late aa de had va ee voorbeeld zie hoe dit werkt. We bekijke e = 55. Uit paragraaf blijkt dat we op zoek moete aar rijtjes 55 - x, 55, 55 + x waarvoor ook α ed (55 - x), α ed (55), α ed (55 + x) ee rekekudige rij is. We kue aaeme dat x ee positief getal is. Zoude we voor x ook egatieve getalle toelate, da draait allee de volgorde va het rijtje om, maar krijge we gee wezelijk ieuwe rijtjes. Dit correspodeert met ee draaiig va het vierkat over 180 grade. We hebbe afgesproke dat we zo vierkat als gelijk beschouwe aa het origiele vierkat. Aagezie alle getalle i het vierkat hoogstes hoderd zij, geldt x 45. Verder wille we dat alle getalle i het vierkat verschilled zij, dus x 1. Deze mogelijkhede gaa we éé voor éé af: x = 1: Rijtje: Uitgeschreve: vierevijftig vijfevijftig zesevijftig Geteld: x = 2: Rijtje: Uitgeschreve: drieëvijftig vijfevijftig zeveevijftig Geteld: x = 3: Rijtje: Uitgeschreve: tweeëvijftig vijfevijftig achtevijftig Geteld: Ezovoorts. Uiteidelijk blijkt dat x = 3, 4, 8, 12, 16, 17, 20, 23, 24, 26, 27, 30, 33 e 34 voldoe. Elk paar (x 1, x 2 ), waarbij x 1 e x 2 mogelijke redes zij va de rekekudige rijtjes zij, levert os ee mogelijkheid voor ee α-magisch vierkat. De magische som va het vierkat is gelijk aa 3 55 = 165 Dit vierkat ziet er als volgt uit: 55 - x (55 - x 1 ) - (55 + x 2 ) 55 + x (55 - x 1 ) - (55 - x 2 ) (55 + x 1 ) - (55 + x 2 ) 55 - x (55 + x 1 ) - (55 - x 2 ) 55 + x 1 Merk op dat het vierkat dat je verkrijgt bij (x 1,x 2 ), op verticaal spiegele a, hetzelfde is als het vierkat bij (x 2,x 1 ). Deze twee vierkate zij dus gelijk. Verder wille we dat alle 10

11 getalle i het vierkat verschilled zij, dus x 1 x 2. Er zij veertie mogelijkhede voor x. Het aatal pare dat we moete agaa is dus gelijk aa: ½ ( ) = 91. Voor al deze mogelijkhede cotrolere we of alle getalle i M verschilled zij e of α ed (M) ook ee magisch vierkat is. We wete al dat de diagoale va α ed (M) de juiste som hebbe (zo hebbe we de mogelijke rijtjes gevode). We hoeve dus allee og a te gaa of de rije e kolomme va α ed (M) de juiste som hebbe. Bekijk bijvoorbeeld (3,4): M = Da geldt: α ed (M) = α ed (M) is gee magisch vierkat. Dus (3,4) levert os gee α ed -magisch vierkat. Late we u (3,30) probere: M = Da geldt: α ed (M) = α ed (M) is ee magisch vierkat. Dus (3,30) levert os ee α ed -magisch vierkat. Bovestaad algoritme ku je implemetere i magma. I de bijlage 1 vid je de code die we hiervoor gebruikt hebbe. Er blijke tie α ed -magische vierkate te bestaa met getalle tot 100:

12 Zoals gezegd ka hetzelfde algoritme worde toegepast i ee willekeurige adere taal e bij ee willekeurige adere bovegres. I het Egels zij er zeve α-magische vierkate met getalle tot e met hoderd. We zie dat i het Nederlad de mogelijkhede voor het middelste getal erg dicht bij elkaar ligge: allee 53, 54 e 55 levere magische vierkate. I het Egels blijke 15, 45 e 54 magische op te levere. 12

13 3. p-magische vierkate I dit hoofdstuk bekijke we p-magische vierkate. Hierbij is p ee polyoom (over de gehele getalle). Dus p(x) = a x + a -1 x a 0 We kijke eerst aar costate fucties, da aar lieaire fucties, daara aar fucties va graad twee e te slotte aar fucties va graad drie e hoger. Merk op dat we bij iedere rare e igewikkelde fuctie ee f-magisch vierkat kue vide. Bekijk amelijk het volgede vierkat: Alle kolomme, rije e de diagoale hebbe dezelfde som. Als we op dit vierkat de fuctie f loslate da krijge we: f(1) f(1) f(1) f(1) f(1) f(1) f(1) f(1) f(1) Dit vierkat is magisch voor iedere fuctie f. Je zou zelfs kue eme f(x) = si 2 (x) + x + ta 3 (x 2 ), of je eige favoriete fuctie. Net als i het vorige hoofdstuk spreke we da ook af dat we allee aar vierkate kijke waari alle getalle verschilled zij. Verder eise we dat het origiele vierkat uit positieve atuurlijke getalle bestaat. De bewijze i de eerste twee paragrafe zij ook juist voor willekeurige magische vierkate. 3.1 p is ee costate fuctie We kijke eerst aar costate fucties, dus fucties va de vorm p(x) = c waarbij c ee costate is. We zie eevoudig i dat als p va deze vorm is, elk willekeurig magisch vierkat ee p-magisch vierkat is. Neem maar ee willekeurig magisch vierkat: a 11 a a 1 a 21 a a a 1 a 2... a Als we op dit vierkat de fuctie p(x) = c toepasse da krijge we het volgede vierkat: c c... c c c... c c c... c Dit is ee magisch vierkat (met magische som c). Dus als p ee costate fuctie is da zij alle magische vierkate p-magisch. 13

14 3.2 p is ee lieaire fuctie We gaa ee graad hoger e beschouwe de lieaire fucties, dus fucties va de vorm: p(x) = ax + b. We bewijze eerst: als we ee magisch vierkat hebbe e we vermeigvuldige ieder getal uit dat vierkat met ee vast getal, da vorme deze getalle weer ee magisch vierkat. Stellig Zij A ee magisch vierkat e a ee costate. Da is a A ee magisch vierkat. Bewijs Zij A ee magisch vierkat: A = a 11 a a 1 a 21 a a a 1 a 2... a De som va de getalle i elke rij e i elke kolom va A is gelijk aa de magisch som. Hetzelfde geldt voor de twee diagoale. I formule: Magische som = s(a) = a 1i =... = a i = a i1 = = a i = a ii = a (-i)i i 0 Nu vermeigvuldige we alle getalle uit het magische vierkat A met a. Dit levert het volgede vierkat: 1 a A = a a 11 a a a a 1 a a 21 a a a a a a 1 a a 2... a a Da zij de somme va de getalle per rij, kolomme e diagoale va vierkat a A: a a 1i,..., Omdat a a i, a a i1,, a a i, 1 a a ii, i a a ji = a a ji voor alle j, geldt voor elke rij j: a a ji = a a ji = a s(a) 0 a a (-i)i. Op dezelfde wijze heeft elke kolom va a A som a s(a) e ook de twee diagoale hebbe deze som. Dus som va de getalle i elke rij, elke kolom e elke diagoaal va vierkat a A is hetzelfde. Dus a A is ee magisch vierkat. Dus als A ee magisch vierkat is da is a A weer ee magisch vierkat. Als we ee magisch vierkat hebbe e we telle bij ieder getal uit het vierkat ee vast getal op da krijge we weer ee magisch vierkat. 14

15 Stellig Zij A ee magisch vierkat e b costate. Da is ook A + b ee magisch vierkat. Bewijs Zij A zoals i het bewijs va de vorige stellig Nu telle we bij ieder getal i het vierkat b op. We krijge da het volgede vierkat: A+b = Da zij de somme va de getalle per rij, kolomme e diagoale va vierkat A+b: (a 1i + b),..., Omdat (a i + b), (a i1 + b),, (a i + b), (a ji + b) = a ji + b voor alle j, geldt voor elke rij j: (a ji + b) = a ji + b = s(a) + b 1 (a ii + b), i 0 (a (-i)i + b) Ook is de som va de getalle per kolom e per diagoaal s(a) + b. Dus A+b is ee magisch vierkat, met magische som s A + b Dus als A ee magisch vierkat is da is B = A + b weer ee magisch vierkat. Uit deze twee stellige volgt: als A ee magisch vierkat is, da is a A + b weer ee magisch vierkat. Dus als p ee lieaire fuctie is, da zij alle magische vierkate p-magisch. 3.3 p is ee polyoom va graad 2 We kijke u aar polyome va graad 2, dus fucties va de vorm p(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0. We bekijke eerst ee speciaal geval va deze fucties, amelijk het geval p(x) = x x 2 - magische vierkate We bewijze dat er gee 3 3 magische vierkate, met allemaal verschillede getalle er i, bestaa die x 2 - magisch zij. Stel A = is ee bimagisch vierkat e a, b, c, d, e, g, h, i, j zij allemaal verschilled. Da is ook: A 2 = ee magisch vierkat. a 11 + b a 12 + b... a 1 + b a 21 + b a 22 + b... a 2 + b a 1 + b a 2 + b... a + b a b c d e g h i j a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 g 2 h 2 i 2 j 2 15

16 Aagezie A ee magisch vierkat is, geldt: e dus ook a + b + c = a + d + h b + c = d + h b d = h c Omdat A 2 ee magisch vierkat is, geldt: a 2 + b 2 + c 2 = a 2 + d 2 + h 2 e dus ook: b 2 + c 2 = d 2 + h 2 b 2 - d 2 = h 2 - c 2 (b - d)(b + d) = (h - c)(h + c) We hebbe gezie: b d = h c, dus: (h - c)(b + d) = (h - c)(h + c) Aagezie a, b,..., j verschilled zij, is h - c 0. Dus: b + d = h + c (1) Verder wete we: b - d = h - c (2) Telle we (1) e (2) op, da levert dit: 2b = 2h b = h Maar alle getalle ware verschilled. Tegespraak! Dus er bestaat gee 3 3 x 2 -magische vierkate, bestaade uit verschillede getalle. Ee x 2 -magische vierkat dat ook og zuiver magisch zij, wordt ook wel bimagisch of 2- multimagisch geoemd. I 1891 werd, door G. Pfefferma, het eerste bimagisch vierkat gevode. Het was het volgede 8 8 bimagisch vierkat: De magische som is 260 e de magische som va de kwadrate va het vierkat is I 2002 hebbe C. Boyer e W. Trump beweze dat er gee bimagisch vierkat va lagere orde (dus met ee kleiere afmetig) bestaat. I februari 2006 heeft J. Wroblewski ee 6 6 x 2 -magisch vierkat gevode (i tegestellig tot ee bimagisch vierkat eis je hierbij iet dat het vierkat zuiver magisch is). L. Pebody e J. Rosa hebbe i 2004 beweze dat er gee 4 4 x 2 -magisch vierkat bestaat. Het bewijs gaat op soortgelijke wijze als het 3 3 geval. De vraag of er ee 5 5 x 2 -magisch vierkat bestaat is tot u toe oopgelost. 16

17 3.3.2 Algemee geval Hierbove is beweze dat er gee 3 3 x 2 -magisch vierkat bestaat. Dit leidt tot de vraag: Zij er gehele getalle a 0, a 1 e a 2 zodat er ee 3 3 p-magisch vierkat bestaat, waarbij p(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0? We eme aa a 2 0 (aders is p ee lieaire fuctie, deze zij al i paragraaf 3.2 besproke). Stel dat zulke a 0, a 1 e a 2 bestaa. Zij A ee 3 3 p-magische vierkat. We wete uit paragraaf 3.2 dat voor elke lieaire fuctie g, alle magische vierkate g- magisch zij. Bekijk g(x) = - a 1 x - a 0. g(a) is ee magisch vierkat. De som va twee magische vierkat is weer ee magisch vierkat (zie bijlage 2). Dus: p(x) + g(x) = a 2 X 2 is ee magisch vierkat. 1 Maar da is ook a a 2X 2 = X 2 ee magisch vierkat is 2. 2 Dus X is ee 3 3 x 2 - magische vierkat. Tegespraak, wat we hebbe hierbove beweze dat er gee 3 3 x 2 -magische vierkate bestaa. Dus er zij gee a 0, a 1 e a 2 met a 2 0 zodat er ee 3 3 p-magische vierkat bestaat, waarbij p(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a p is ee polyoom va graad 3 of hoger Nu er gee 3 3 x 2 -magische vierkate bestaat, rijst de vraagt: Bestaat er ee atuurlijk getal 3 zodat er ee 3 3 x -magische vierkat is? Late we het geval = 3 bekijke. Stel dat A ee x 3 -magische vierkat is, zeg A = Da geldt: E dus ook: a b c d e g h i j b - d = h c (b - d) 2 = (h - c) 2 b 2-2bd + d 2 = h 2-2hc + c 2 (1) Aagezie ook A 3 magisch is, geldt: b 3 d 3 = h 3 c 3 (b - d)(b 2 + bd + d 2 ) = (h-c)(h 2 + bd + d 2 ) We wete: b - d = h - c 0, dus: b 2 + bd + d 2 = h 2 + bd + d 2 (2) Telle vergelijkig (2) twee keer bij (1) op da zie we: 3b 2 + 3d 2 = 3h 2 + 3c 2 b 2 - h 2 = c 2 - d 2 (b - h)(b + h) = (c - d)(c + d) (3) A is magisch dus geldt: 2 Het bewijs dat a A ee magisch vierkat is voor alle magische vierkate A gaat op voor elk reëel getal a. 17

18 b + c = d + h b h = d c (4) Aagezie b h 0, levert dit same met (3): b + h = -(c + d) (5) Telle we u (4) e (5) op: 2b = -2c b = -c Maar b e c zij verschillede atuurlijke getalle. Tegespraak! Ook voor grotere waarde va kue we door puzzele tot ee tegespraak kome. Hierbij eemt het rekewerk echter wel toe. Het werk va Adrew Wiles aa het stellig va Fermat helpt os het probleem i het algemee voor alle 3 tegelijk op te losse. De laatste stellig va Fermat luidt: De vergelijkig: x + y = z, met x, y e z verschillede positieve atuurlijke getalle, heeft gee oplossig. I 1995 gaf Adrew Wiles ee bewijs va deze stellig. Met de techieke die hij hierbij gebruikt, ku je ook bewijze dat de vergelijkig x + y = 2z gee oplossig heeft i de positieve atuurlijke getalle. Met dit gegeve bewijze we dat er gee 3 3 x -magische vierkate bestaa. Stellig Er bestaa gee 3 3 x -magische vierkate voor alle 3 Bewijs Stel dat A ee 3 3 x -magisch vierkat is. We gebruike voor A dezelfde otatie als bove. Da is ook A ee magisch vierkat. I paragraaf hebbe we beweze: Zij M ee magisch vierkat. De magische som is gelijk aa drie keer het middelste getal. Dus de magische som va A is gelijk aa 3e. I het bijzoder is de som va de getalle op de diagoaal va A gelijk aa 3e. Dus: a + e + j = 3e a + j = 2e Waarbij a, j e e verschillede positieve atuurlijke getalle zij. Tegespraak! Uit paragraaf 3.2 e 3.3 volgt dat er gee 3 3 x -magisch vierkat bestaat voor alle atuurlijke getalle 2. Rest u og de vraag: Bestaat er ee polyoom p va graad 3 zodat er e 3 3 p-magisch vierkat bestaat? Met wat rekewerk ku je izie dat iet zo p bestaat va graad 3. Of er zo polyoom bestaat va graad groter da 3 is os iet beked. 18

19 4. [getal]-magische vierkate I hoofdstuk 2 hebbe we de α-magische vierkate bekeke. Hierbij hebbe we voor elke taal ee fuctie α taal : gedefiieerd. I dit hoofdstuk gebruike we de decimale otwikkelig va ee getal om ee fuctie te defiiëre. Zij x, we defiiëre f x : door: f x () = de -de decimaal va x We spreke af: f x (1) is het getal voor de komma, f x (2) is het eerste cijfer achter de komma, ezovoort. Zo geldt f π (1) = 3, f π (2) = 1, f π (3) = 4, We oeme M ee x-magisch vierkat als zowel M als f x (M) magisch zij. We vrage os af: Bestaat voor elke x ee 3 3 x-magisch vierkat? We bekijke eerst de ratioale getalle. Vervolges oderzoeke we de zogeaamde ormale getalle. Tot slot vrage we os af of er ee π-magisch vierkat bestaat. We houde os i dit hoofdstuk uitsluited bezig met 3 3 vierkate e late i het vervolg het voorvoegsel 3 3 weg. 4.1 Ratioale getalle Ratioale getalle kue we schrijve als ba waarbij a e b gehele getalle zij e b > 0. Alle ratioale getalle hebbe ee repeterede decimale otwikkelig. Deze eigeschap gebruike we om te bewijze dat er voor elk ratioaal getal q ee q-magisch vierkat bestaat. We bekijke eerst ee voorbeeld. Voorbeeld 1 1 De decimale otwikkelig va 7 is : 0, We zie dat de decimale otwikkelig va 7 periode 6 heeft. Hieruit volgt dat op plaats 6, 12, 18, 24, i de decimale otwikkelig va 1 7 hetzelfde getal (5) staat. Als we ee magisch vierkat M hebbe dat uit allemaal zesvoude (>0) bestaat, da bestaat f (M) uit allemaal vijve. Ee vierkat bestaade uit allemaal vijve is ee magisch 1 7 vierkat, dus i dat geval is vierkat gevode. f 1 (M) ee magisch vierkat e hebbe we ee 71 -magisch 7 Hoe vide we ee magisch vierkat bestaade uit allemaal zesvoude? We kue begie met de Lo Shu (zie hoofdstuk 1): Vermeigvuldige we alle getalle uit het vierkat met zes, da krijge we: M =

20 M is ee magisch vierkat (met magische som 6 15 = 90) e dit vierkat bestaat uit allemaal zesvoude. Dus we hebbe ee 71 -magisch vierkat gevode! Merk op dat we op deze wijze oeidig veel 71 -magisch vierkate kue make. We kue het vierkat amelijk ook met 12 of 18 of 24 of. vermeigvuldige. Verder kue we bij alle getalle i M ee costate c (uit de atuurlijke getalle) optelle. Het ieuwe vierkat M is magisch ( met magische som c ). I de decimale otwikkelig va 7 1 staat op plaats 6 + c, 12 + c, 18 + c, hetzelfde getal, dus ook magisch. f (M ) is Door dit voorbeeld otstaat ee idee voor het bewijs va het algemee geval. Zij q ee ratioaal getal. We otere periode(q) voor de (miimale) periode va de decimale otwikkelig va q. Ee eerste idee is: vermeigvuldig de Lo Shu met de periode(q) e je vidt ee q-magisch vierkat. 3 3 Bekijke echter 22 da werkt deze methode iet. De decimale otwikkelig va 22 is: 0,136 Dus periode( 223 ) = 2. De tweede decimaal va 22 3 (1) is iet gelijk aa de vierde (= de zesde = de achtste =. ) decimaal (6). De Lo Shu met twee vermeigvuldige levert gee magisch vierkat gaat repetere vaaf de derde decimaal (we zie het cijfer voor de komma ook als decimaal). We zoeke ee lieaire fuctie g: met: - g () 3 voor g () - g (m) voor 1, m 9 De Lo Shu is ee magisch vierkat. Uit hoofdstuk 3 volgt dat ook g (Lo Shu) ee magisch vierkat is. Aagezie alle getalle i g (Lo Shu) mistes drie zij, zitte we i het repeterede deel va 223 e bestaat g (Lo Shu) uit allemaal dezelfde getalle (wat alle getalle verschille ee tweevoud). Bijvoorbeeld de fuctie g(x) = 2x + 2 voldoet. Dus 2 Lo Shu + 2 is ee 223 -magisch vierkat. Nu het algemee geval. Zij q ee ratioaal getal. Da schrijve we q = ba. De decimale a otwikkelig va b gaat a hooguit da b decimale repetere. We zoeke ee lieaire fuctie g: met: - g () b + 1 voor periode(q) g () - g (m) voor 1, m 9 Bijvoorbeeld de fuctie g(x) = periode( ba ) x + b voldoet. Dus periode( ba ) Lo Shu + b levert ee ba -magisch vierkat oplevert. Dus voor elk ratioaal getal q bestaat er ee q-magisch vierkat (er zij er zelfs oeidig veel)

21 4.2 Normale getalle Ee reëel getal x heet ormaal als voor elke atuurlijk getal, voor elke eidige rijtje w va cijfers geldt: aatal keer dat w voorkomt i de eerste m decimale va x 1 lim m m 10 Wat vertelt dit os over x? Uit de defiitie volgt dat elk cijfer (ee rijtje va legte éé ) uiteidelijk met ee frequetie va 101 voorkomt. Dus elk cijfer komt eve vaak voor i de decimale otwikkelig va x. Ook komt elk rijtjes va twee cijfer eve vaak voor i de decimale otwikkelig va x. Ezovoort. 3 Ee voorbeeld va ee ormaal getal is: 0, I het bijzoder komt elk willekeurig rijtje cijfers voor i de decimale otwikkelig va x. 4 Het is precies deze eigeschap die we odig hebbe om te bewijze dat er voor elk ormaal getal x ee x-magisch vierkat bestaat. Voor het make va ee x-magisch vierkat begie we weer vauit de Lo Shu e we telle bij alle getalle ee costate c op. Dit levert os: M c = 8 + c 1 + c 6 + c 3 + c 5 + c 7 + c 4 + c 9 + c 2 + c M c is ee magisch vierkat voor elk atuurlijk getal c (zie paragraaf 3.2). We bewijze dat er ee atuurlijk getal c bestaat zodat ook f x (M c ) magisch. Aagezie x ee ormaal getal is, kue we elk eidig rijtje cijfers i de decimale otwikkelig va x vide. I het bijzoder komt erges i de decimale otwikkelig va x het blok voor, zeg op plaats tot e met +8. Dit blok komt zelfs vaker da éé keer voor (aders is dat limiet uit de defiitie va ee ormaal getal voor ul), dus we kue aaeme dat > 1. Er geldt f x () = 1, f x (+1) = 2,, f x (+8) = 9 Dus er geldt: f x (M -1 ) = Dus f x (M -1 ) is ee magisch vierkat. 3 I de officiële defiitie va ee ormaal getal moet wordt iet allee gekeke aar de 10-tallige otwikkelig va x, maar i het algemee aar de g-tallige otwikkelig. Dit late we hier buite beschouwig aagezie we ook voor het make va ee x-magisch vierkat allee aar de 10-tallige otwikkelig kijke. 4 Stel dat ee bepaald rijtje helemaal iet voorkomt. Da zou de limiet voor dit rijtje ul zij. 21

22 4. 3 π-magische vierkate π is ee irratioaal getal e heeft gee repeterede decimale otwikkelig. De vraag of π ee ormaal getal is, is tot u toe obeatwoord. Er rest os weiig aders da door uitprobere op zoek gaa aar ee π-magisch vierkat. Hierbij kue we dezelfde methode gebruike als voor het vide va α-magische vierkate. I plaats va de fuctie α taal gebruike we de fuctie f π. We kue hetzelfde computerprogramma late werke als bij de α-magische vierkate. Pas als we 555 probere als middelste getal, vide we ee π-magische vierkat e wel het volgede: f Bij 843 vide we ee vierkat M zodat f π (M) uit allemaal verschillede getalle bestaat: f E bij 1259 is er voor het eerst ee vierkat M zodat f π (M) uit allemaal dezelfde getalle bestaat: f I plaats va π kue we het programma op elk ader reëel getal x loslate e zo op zoek gaa aar x-magische vierkate. Totdat we meer keis hebbe over de decimale otwikkelig va reële getalle, kue we iet i het algemee bewijze dat er voor elke x ee x-magisch vierkat bestaat e kue we slecht per geval op zoek gaa aar x-magische vierkate. 22

23 Bijlage 1 Algoritme voor het vide va α ed -magische vierkate Hieroder volgt de code die is geïmplemeteerd i Magma om alle α ed -magische vierkate te vide. /* I het volgede rijtje staa de woordlegte va de eerste hoderd Nederladse telwoorde */ woordlegte := [3,4,4,4,4,3,5,4,5,4,3,6,7,8,8,7,9,8,9,7,12,13,13,13,13,12,1 4,13,14,6, 11, 12, 12, 12, 12, 11, 13, 12, 13, 7, 12, 13, 13, 13, 13, 12, 14, 13, 14, 7, 12, 13, 13, 13, 13, 12, 14, 13, 14, 6, 11, 12, 12, 12, 12, 11, 13, 12, 11, 8, 13, 14, 14, 14, 14, 13, 15, 14, 15, 7, 12, 13, 13, 13, 13, 12, 14, 13, 14, 8, 13, 14, 14, 14, 14, 13, 15, 14, 15, 7]; /* De volgede fuctie cotroleert of ee gegeve x vierkat magisch is e of het vierkat uit allemaal verschillede getalle bestaat. Je voert i deze fuctie ee vierkat M i e het aatal rije (= aatal kolomme) va M. */ checkmagisch := fuctio(m,); // Bepaal eerst de som va de eerste rij va M. Som := 0; for i i [1..] do som := som + M[1,i]; ed for; goed := 1; /* Bekijk voor elke rij, elke kolom e de diagoale of zij som gelijk is aa de som va de eerste rij. Zo ja, da late we goed 1. Kome we ee rij tege met ee afwijkede som, da veradere we goed i 0. */ for i i [1..] do rsom := 0; ksom := 0; for j i [1..] do rsom := rsom + M[i,j]; ksom := ksom + M[j,i]; ed for; ed for; if (rsom e som) or (ksom e som) the goed := 0; ed if; dsom := 0; adsom := 0; 23

24 for i i [1..] do dsom := dsom + M[i,i]; adsom := adsom + M[i, -i+1]; ed for; if (dsom e som) or (adsom e som) the goed := 0; ed if; retur goed; ed fuctio; // De volgede fuctie maakt bij ee gegeve vierkat M het vierkat α ed (M) maakalpha := fuctio(m,); // Maak eerst ee x vierkat bestaade uit allee ulle alphavierkat := ZeroMatrix(Itegers(),,); // Vul vervolges de juiste getalle i. For i i [1..] do ed for; for j i [1..] do alphavierkat[i,j] := woordlegte[m[i,j]]; ed for; retur alphavierkat; ed fuctio; 24

25 /* De volgede fuctie geeft bij ee gegeve alle α ed -magische vierkate Bestaade uit getalle kleier of gelijk aa. */ alphamagisch := fuctio(); // I de verzamelige vierkate slaa we alle α ed -magische vierkate op vierkate := {}; // We lope alle mogelijkhede voor het middelste getal af. For midde i [1..] do som := 3*midde; Mogelijkeredes := []; /* We bekijke voor welke redes α ed (midde-rede), α ed (midde), α ed (midde + rede) ee rekekudige rij is e slaa deze redes op. */ for rede i [1..Mi((midde-1), (-midde))] do ed for; if (woordlegte[midde] woordlegte[midde-rede]) eq (woordlegte[midde + rede] woordlegte[midde]) the Mogelijkeredes := Mogelijkeredes cat [rede]; ed if; /* Ga alle mogelijke combiaties va redes af e kijk of ze ee α ed -magisch vierkat oplevere. */ // Maak eerst het vierkat M for i i [1..#Mogelijkeredes] do for j i [i+1..#mogelijkeredes] do; vierkat := ZeroMatrix(Itegers(),3,3); vierkat[2,2] := midde; vierkat[1,1] := midde Mogelijkeredes[i]; vierkat[3,3] := midde + Mogelijkeredes[i]; vierkat[3,1] := midde Mogelijkeredes[j]; vierkat[1,3] := midde + Mogelijkeredes[j]; vierkat[1,2] := som vierkat[1,1] vierkat[1,3]; vierkat[2,1] := som vierkat[1,1] vierkat[3,1]; vierkat[2,3] := som vierkat[1,3] vierkat[3,3]; vierkat[3,2] := som vierkat[3,1] vierkat[3,3]; 25

26 // Cotroleer of alle getalle mistes 1 e hoogstes 100 zij. bovegres := 1; for h i [1..3] do for g i [1..3] do if (vierkat[h,g] gt ) or (vierkat[h,g] lt 1) the bovegres := 0; ed if; ed for; ed for; // Cotroleer of alle getalle i het vierkat verschilled zij. verschilled := 1; if goed eq 1 the for i i [1..] do for j i [1..] do for k i [1..] do for l i [1..] do the if (M[i,j] eq M[k,l]) ad (( e k) or (j e l)) verschilled := 2; ed if; ed for; ed for; ed for; ed for; ed if; /* Is aa alle eise voldaa? Maak da α ed (vierkat) e cotroleer of dit ee magisch vierkat is. Zo ja, da voege we dit vierkat toe aa oze verzamelig vierkate. */ ed if; ed for; ed for; if bovegres eq 1 ad verschilled eq 1 the alphavierkat := maakalpha(vierkat,3); if checkmagisch(alphavierkat,3) eq 1 the vierkate := vierkate joi {vierkat}; ed if; ed for; retur vierkate; ed fuctio; 26

27 Bijlage 2 Stellig Als A e B magische vierkate zij, da is A+B ee magisch vierkat. Bewijs We gaa u bewijze dat de som va twee magische vierkate weer ee magisch vierkat is. Zij A ee magisch vierkat A = De som va de getalle i elke rij e i elke kolom va A is gelijk aa de magisch som s(a). Hetzelfde geldt voor de twee diagoale. I formule: Magische som = s(a) = a 1i =... = a i = a i1 = = a i = a ii = i E B is ee magisch vierkat. B = a 11 a a 1 a 21 a a a 1 a 2... a b 11 b b 1 b 21 b b b 1 b 2... b 1 a (-i). 0 De som va de getalle i elke rij e i elke kolom va B is gelijk aa de magisch som. Hetzelfde geldt voor de twee diagoale. I formule: Magische som = s(b) = b 1i =... = b i = b i1 = = b i = b ii = i 0 We telle de vierkate A e B bij elkaar op. We krijge da het volgede vierkat: 1 b (-i). A + B = a 11 + b 11 a 12 + b a 1 + b 1 a 21 + b 21 a 22 + b a 2 + b a 1 + b 1 a 2 + b 2... a + b De somme va de getalle per rij, kolomme e diagoale va vierkat A + B zij: Omdat a 1i + b 1i,..., a i + b i, a ji + b ji = a ji + b ji = a i1 + b i1,, a i + b i, a ji + b ji voor alle j, geldt voor elke rij j: a ji + b ji = s(a) + s(b) 1 a ii + b ii, i 0 a (-i)i + b (-i)i. Op dezelfde wijze heeft elke kolom va A + B som s(a) + s(b) e ook de twee diagoale hebbe deze som. De som va de getalle i elke rij, elke kolom e elke diagoaal va vierkat A + B is hetzelfde. Dus A + B is ee magisch vierkat. Dus als A e B magische vierkate zij da is A + B weer ee magisch vierkat. 27