Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek

Transcriptie

1 Vrije Uiversiteit Brussel Faculteit Toegepaste Weteschappe Waarschijlijkheidsrekeig e Statistiek S. Caeepeel e P. de Groe Syllabus bij de cursus Waarschijlijkheidsrekeig e Statistiek Tweede Kadidatuur Burgerlijk Igeieur Tweede Kadidatuur Burgerlijk Igeieur-Architect 99-

2 Ihoudsopgave Ileidig 4. Waarschijlijkheidsrekeig versus statistiek Beschrijvede statistiek Histogramme Percetiele Ileidig tot de Kastheorie. Rekee met kase Ileidig Het verzameligsmodel Voorwaardelijke waarschijlijkheid De formule va Bayes Aavullige: Ee oeidige uitslageruimte e σ-additiviteit Stochastische variabele e hu kasverdelig Stochastische variabele Eigeschappe va ee verdeligsfuctie Cotiue e discrete verdelige Percetiele Kasvectore e oafhakelijke stochastische variabele Verwachtigswaarde e stadaardafwijkig Ketalle va lokatie, schaal e vorm Ketalle va lokatie Ketalle va schaal Ketalle va vorm Covariatie e correlatiecoëfficiët De karakteristieke fuctie va ee stochastische variabele De complexe expoetiële fuctie De karakteristieke fuctie Belagrijke Verdelige De Biomiaalverdelig Beroulli-experimete Permutaties e de formule va Stirlig Combiaties

3 3..4 De Biomiaalverdelig De wet va de grote getalle (de Moivre 78) De hypergeometrische verdelig De Geometrische verdelig De Poissoverdelig e Poissoicidetestrome De Poissoverdelig Poissoicidetestrome De expoetiële verdelig De expoetiële verdelig De risico verhoudig De Gamma-verdelig Uiforme verdelige e radom getalle De discrete uiforme verdelig De cotiue uiforme verdelig Radom getalle De Normale Verdelig Ileidig De stadaard-ormale verdelig N(,) De algemee ormale verdelig N(µ,σ) Beaderige met de ormale verdelig Trasformatie va de dichtheidsfuctie va ee kasvector Normaal verdeelde radom getalle De ormale verdelig i verscheidee dimesies De Chi-kwadraat, Studet-t e Fisher-Sedecor Verdelige De Chi-kwadraat verdelig De t-verdelig De F m, -verdelig Ileidig tot de Statistiek Parameterschattige e betrouwbaarheidsitervalle Het schatte va de verwachtigswaarde va ee ormale verdelig als σ beked is Het schatte va de variatie va ee ormale verdelig Het schatte va het gemiddelde va ee ormale verdelig Het schatte va ee percetage Hypothesetoetse De t-toets De χ -toets De F-toets, het vergelijke va variaties De t-toets voor het vergelijke va gemiddelde Verbode steekproeve De macht va ee toets voorbeeld : de tweezijdige t-toets Voorbeeld : paraormale begaafdheid

4 4.4 De Chi-kwadraattoets op ee kasverdelig e kruistabelle De Chi-kwadraattoets op ee kasverdelig Toets op ee verdelig met geschatte parameters Kruistabelle Correlatie- e regressieaalyse

5 Hoofdstuk Ileidig. Waarschijlijkheidsrekeig versus statistiek Waarschijlijkheidsrekeig is ee wiskudige disciplie, otwikkeld als abstract model e gebaseerd op axioma s; coclusies worde deductief afgeleid uit de basispricipes. I de statistiek gaa we iductief a of ee zeker kastheoretisch model toepasbaar is op oze waaremige; absolute zekerheid hierbij kue we ooit bereike. Als we bijvoorbeeld oze wistkase berekee voor ee dobbelspel met eerlijke stee (iedere uitkomst heeft kas 6 ) zij we bezig met waarschijlijkheidsrekeig. Als we echter tijdes het spel merke dat de zes te vaak uitkomt e gaa twijfele aa de eerlijkheid va ee dobbelstee, behadele we ee statistisch probleem. Kasrekeig geeft atwoorde op vrage als: wat is de kas dat ik ee zes gooi bij het dobbele? wat is de kas dat ik met ee mut de elfde maal kop gooi als ik al tie maal kop gegooid heb? wat is de kas dat ik slaag voor mij exame statistiek (= als ik goed studeer)? De volgede vrage zij va meer statistische aard: ik heb maal met ee mut gegooid e vod 6 maal kop. Is die mut eerlijk (kas op kop of mut is )? ee met kustmest behadelde akker bregt 5.8 to per hectare op e ee zoder maar 4.9 to/ha. Is dit verschil sigificat? zij de gecostateerde leukemiegevalle i de dorpe rod Sellafield (GB) e La Hague (F) te wijte aa toevallige (overal voorkomede) oorzake of is er daar sprake va ee statistisch sigificat groter risico op deze ziekte? Voor ee degelijk atwoord op ee statistische vraag is het oodzakelijk ee goed kastheoretisch model ter beschikkig te hebbe voor het berekee va ee atwoord e voor het ischatte va de mate va relevatie erva, zoals blijkt uit het volgede voorbeeld. Twee docete, Stef e Pieter, beoordele beide oafhakelijk va elkaar hetzelfde statistiekexame va twaalf studete met het volgede resultaat: 4

6 Pieter Stef Pieter Stef Ja 7 8 Rudger 6 8 Veerle 9 Eva 4 6 Wim 6 8 Herwig Moique 3 Ivo 3 Kees 4 3 Fred Taja 3 Dirk 4 6 Bij het zie va deze uitslage komt de vraag op of Pieter (gemiddeld) eve hoge cijfers geeft als Stef. We kue iet verwachte dat de beoordelig va ieder exame apart ee gelijk resultaat zal oplevere als beide eve streg zij. We kue wel verwachte dat (i dat geval) de kase op ee positief of egatief verschil gelijk zulle zij. M.a.w. het experimet, Laat Pieter e Stef ieder het exame va ee studet beoordele e kijk of het verschil da wel < is, is te modellere met het werpe va ee eerlijke mut met kas op kop. De kas op de gebeurteis Pieter geeft bij exames driemaal of mider ee cijfer groter of gelijk aa dat va Stef is da gelijk aa de kas op het gooie va drie of mider maal kop bij twaalf worpe met ee mut. De kas hierop is (zoals we later zulle zie): ( ) = = 7.3% We cocludere dat keelijk de kas, dat Pieter exames eve streg als of milder da Stef beoordeelt, 7.3% is. Met vrij grote zekerheid (9.7%) geeft hij dus lagere cijfers. I dit voorbeeld hebbe we allee gekeke aar de kere dat het cijfer groter of gelijk da wel kleier was e daarop os model gebouwd zoder te lette op de grootte va de verschille; we hebbe ee zogeaamde verdeligsvrije statistiek gebruikt. We zoude ook kue kijke aar de grootte va de verschille e ee uitspraak probere te doe over het gemiddelde verschil maar da moete we veroderstellige gaa make over de kase op alle mogelijke verschille. De statistische uitsprake kue da veel preciezer worde, maar misschie zij ze gebouwd op los zad doordat de veroderstellige iet kloppe! Dit voorbeeld laat zie dat ee statistische uitspraak gedaa wordt aa de had va ee (abstract) model uit de waarschijlijkheidsrekeig. De geldigheid va va de uitspraak staat of valt met de toepasbaarheid va het model, maar zoder model zij er helemaal gee uitsprake te doe. Het gevolg is dat ee groot deel va deze syllabus (tweederde) gewijd is aa modelle uit de kasrekeig die we odig hebbe i statistische toepassige uit het laatste deel. 5

7 . Beschrijvede statistiek.. Histogramme Stel, we hebbe de legte va persoe gemete e de resultate, afgerod tot op hele cetimeters, afgedrukt i Tabel.. We hebbe dus ee steekproef uit de verzamelig va legte (b.v. va volwasse maelijke iwoers va België) met ee steekproefomvag = Tabel.: Hoderd legtemetige Erg veel iformatie geeft zo tabel va ruwe gegeves iet; met ame is het uit deze tabel moeilijk af te leze wat de meest voorkomede legte is e waar de uiterste ligge. Dezelfde gegeves, maar u gesorteerd op grootte zoals i Tabel., geeft veel meer iformatie. We zie omiddellijk dat alle metige i het iterval [.4,.5] ligge e dat waarde i de buurt va.75 het meest voorkome Tabel.: Dezelfde hoderd legtemetige gesorteerd Voor ee overzicht is het beter de gegeves i ee aatal klasse (meestal 5 tot 3) i te dele. Hiertoe kieze we ee klassebreedte, b.v.., we verdele het relevate iterval i halfope deelitervalle va deze legte, b.v. [.4,.5) ;[.5,.6) ;... e we telle de frequeties, d.w.z. het aatal kere dat ee metig i ee bepaald deeliterval valt, zie Tabel.3. 6

8 Klasse Odergres ( ) Bovegres (<) Frequetie Percetage % % % % modale klasse % % 7.. % 8.. % Tabel.3: legtemetige verdeeld i 8 klasse, klassebreedte. Grafisch kue we deze klasseidelig weergeve i ee histogram. Op ieder deeliterval richte we ee rechthoek op waarva het oppervlak everedig is met de frequetie va de betreffede klasse. I fig. e zij histogramme afgebeeld, behored bij de data va tabel. I fig. is klassebreedte. gekoze e i fig. is de klassebreedte.5. Zoals U ziet ka de vorm va het histogram vrij sterk va de keuze va de klassebreedte afhage. 3 klassebreedte. 5 klassebreedte.5 5 * * * * * * * * *.5 Fig. : histogram va legtemetige * * * * * * * * * * * * * * * * *.5 Fig. : histogram va legtemetige Voor de gegeve dataset va Tabel. kue we ook de empirische verdeligsfuctie tekee. Bij gegeve dataset {x,x,...,x } va metige wordt deze gedefiieerd door F (x) := #{x i x i x} (.) i woorde : het aatal metige x gedeeld door het totale aatal. I fig. 3 is deze weergegeve voor de data va Tabel.. Deze fuctie is ee trapfuctie die i de pute x i ee sprog maakt. Als we alle metige op ee briefje schrijve, alle briefjes i ee hoed stoppe e er (ogezie) ee uit trekke, da is F (x) de kas dat het briefje ee getal bevat x. 7

9 Fig. 3: De empirische verdeligsfuktie voor de legtemetige.. Percetiele I de praktijk wille we vaak ee atwoord op de omgekeerde vraag: voor welke waarde va x is 5% (of 5% of 9%) va de metige kleier da of gelijk aa x. We make bijvoorbeeld deure zo hoog dat (mistes) 99.9% va de mese zij hoofd iet zal stote e we moete dus wete waar die gres ligt. Bij gegeve α zoude we het α%-percetiel met < α < wille defiiëre als het put ξ α waarbeede α% va de metige ligge; we zoeke dus de iverse fuktie va de fuktie F uit (.). Omdat we maar ee eidig aatal metige hebbe e F costat is tusse ieder tweetal opeevolgede metige, bestaat zo iverse fuktie echter iet (of mistes iet overal). Als we bijvoorbeeld de mediaa (dit is het 5%-percetiel) va de metige va Tabel. wille bepale, da vide we x 5 =.73 e x 5 =.74, zodat voor iedere x tusse deze twee waarde het percetage metige ter liker zijde gelijk is aa 5%. Voor ee eeduidige waarde kieze we i dit geval het midde tusse deze twee pute als mediaa. Als we echter i deze dataset de laatste metig x =.5 schrappe, omdat deze legte zeer uitzoderlijk is e het getal i deze tabel dus waarschijlijk ee meet- of typefout is, da houde we 99 metige over; 5% erva geeft aaleidig tot het beschouwe va schimmige halve metige. Bovedie is er gee put ξ te vide zo, dat precies 5% va de metige kleier da of gelijk aa ξ is e ook 5% groter da ξ. I dit geval defiiëre we de mediaa da als het put waar de sprog va kleier da 5% aar groter gemaakt wordt: Dus, als x x... x da defiiëre we { x + als oeve med := (x + x + ) als eve De mediaa is dus i feite de middelste waaremig, waarbij we dit begrip middelste iterpretere als het gemiddelde va de twee middelste als het aatal waaremige eve is. Voor ee defiitie va het (empirische) α%-percetiel ξ α doe we i feite hetzelfde. We defiiëre dit als de α ( + )-de waaremig. Als p := α ( + ) geheel is, is dit dus x p. Als dit getal iet geheel is kue we er het gehele deel p := α (+) e het overschot ρ := α (+) p va bepale. Het put ξ α zal da erges tusse x p e x p+ i ligge e wel zo dat de afstad tusse deze (.) 8

10 pute eerlijk verdeeld wordt aar rato va het overschot ρ. We defiiëre het α%-percetiel ξ α dus als ξ α := x p + ρ(x p+ x p ), met p := α ( + ) e ρ := α ( + ) p. merk op, dat het gee zi heeft om te spreke va ee α%-percetiel met α + of α +. De meest gebruikte empirische percetiele zij die op 5% (de mediaa), 5% e 75% (het likerresp. rechter kwartiel). Grafisch kue we deze tesame met het totale bereik va de metige samevatte i ee box-plot. Hierbij wordt (horizotaal of vertikaal) ee as geteked gaade va de kleiste metig aar de grootste (dit is de totale variatiebreedte), op deze as worde de mediaa e de 5%- e 75%-percetiele aagegeve met ee dwarse streep e va het stuk tusse de 5%- e 75%-percetiel wordt ee doosje gemaakt, zie fig. 4. Hiermee geve we op zeer compacte wijze visueel weer wat de totale variatiebreedte is tegeover de breedte va de middelste 5% (het empirische iterkwartiel). Vooral als we verscheidee datasets met elkaar wille vergelijke, ka dit ee goed visueel hulpmiddel zij voor het weergeve va plaats e schaal va de verschillede datasets Fig. 4: Boxplot voor de data va tabel. Mediaa e iterkwartiel geve dus compacte iformatie over de liggig va de data e de schaal erva. Adere veelgebruikte ketalle zij het gemiddelde e de modus voor de liggig e de spreidig (of stadaarddeviatie) voor de schaal. Naderhad zulle we zie dat de meest gebruikte verdelig, de ormale verdelig volledig gekarakteriseerd is door gemiddelde e spreidig. Het gemiddelde (steekproefgemiddelde) va de gegeves {x,x,...,x } is x := i= x i (.3) De modus va ee steekproef is de meest voorkomede waaremig. I het voorbeeld va Tabel. is de modus.6, de mediaa.735 e het gemiddelde.74. De modus behoeft iet eeduidig te zij; het ka voorkome dat verscheidee waarde eve vaak voorkome. Het gemiddelde is het gemakkelijkst te berekee maar erg gevoelig voor foute of uitschieters. Voor het bepale va de mediaa moete we oze gegeves sortere, maar deze grootheid is wel het meest robuust. Als we bijvoorbeeld i Tabel. ee fout make e de decimale put i de laatste waaremig vergete, da verschuift het gemiddelde omiddelijk aar terwijl de mediaa iet veradert. 9

11 Om de schaal va de gegeves (of de grootte va de putewolk rod gemiddelde of mediaa) weer te geve gebruike we meestal de variatie (of de wortel daarva, de stadaardafwijkig). De (empirische) variatie va ee steekproef {x,x,...,x } is s := i=(x i x), x = i= x i (.4) waarbij x het steekproefgemiddelde is zoals gedefiieerd i (.3). Om ee grootheid te hebbe, die ee gelijke dimesie heeft als de gegeves zelf gebruike we vaak de spreidig of stadaardafwijkig s, welke de wortel is uit de variatie s. Als bijvoorbeeld oze gegeves legte zij, uitgedrukt i ich, da wordt s (de stadaardafwijkig) ee legte eveees uitgedrukt i ich terwijl de variatie da ee oppervlak is; als we de gegeves vervolges herschale aar cm door ze te vermeigvuldige met.54 moete we s met dezelfde factor vermeigvuldige, terwijl de variatie met het kwadraat va.54 vermeigvuldigd moet worde. Ee ader ketal va schaal is de mediae absolute afwijkig ( Media Absolute Deviatio of Mad). Dit is de mediaa va de (absolute) afwijkige t.o.v. de steekproefmediaa: MAD := mediaa{ x i med } i=. (.5) Ga a dat de helft va de waaremige tusse med MAD e med+mad ligt e dat ook de Mad dezelfde dimesies heeft als de data.

12 Hoofdstuk Ileidig tot de Kastheorie. Rekee met kase.. Ileidig U heeft ee ituïtief idee va het begrip kas. De weerma zegt dat de kas dat het morge reget 5% is; de sportjouralist zegt dat wij (of osëlftal) 4% kas hebbe om va de Holladers te wie; u gooit met ee dobbelstee e zegt dat de kas op ee 6 gelijk is aa /6; u trekt ee kikker uit ee hoed met vijf witte e zwarte kikkers e zegt dat de kas op ee witte 5/6 is. I de hoed va het laatste voorbeeld kue we kikkers toevoege tot we er W witte, R rode, Z zwarte, etc... hebbe. Als N = W + R + Z da kue we uitrekee dat de kas om ee witte kikker te trekke gelijk is aa W /N e de kas op ee rode R /N. Het trekke va ee rode kikker is ee gebeurteis die plaats grijpt met kas R /N e evezo voor zwart e wit met resp. kase Z /N e W /N. De kas op ee witte of zwarte kikker is keelijk W + Z N = W N + Z N e dus gelijk aa de som va de kase afzoderlijk. Het optelle va kase mag iet altijd: i ee groep va 5 studete, waarva er 5 biologie e 35 scheikude studere, zij er meisjes; wat is de kas dat ee (willekeurig gekoze) studet uit deze groep vrouwelijk is of biologie studeert? Het eige wat we kue zegge is, dat deze kas mistes /5 e hoogstes 7/ is; zomaar optelle va de kas op ee biologiestudet e de kas op ee meisje is er iet meer bij omdat vrouwelijke biologiestudete (de doorsede va beide groepe) da dubbel geteld zoude worde. We kue hier de termiologie va de verzameligeleer toepasse. Als Ω de betreffede groep studete is met M e V de verzamelige va maelijke e vrouwelijke studete e met S e B resp. de scheikude- e biologiestudete, da geldt S B = M V = Ω Als x Ω ee willekeurig gekoze studet is, da is de kas, dat x ee scheikude studet is, gelijk aa 35/5; we otere de kas dat x S (dus, dat x ee scheikude studet is) met: P(S) =.7 (.)

13 e evezo: P(M) =.6, P(V) =.4, P(B) =.3 De kas uit Ω ee studet te trekke is keelijk e de kas op ee iet-studet ul (wat is de kas dat x Ω iet studeert?), zodat P(Ω) =, P(/) = (.) De deelverzamelige M e V zij elkaars complemet (eveals S e B) e we zie P(M) = P(V) (.3) Om de kas P(x V B) uit te rekee moete we het aatal studete i deze verzamelig kue bepale: dit hagt af va het aatal vrouwelijke biologiestudete N V B : Hieruit volgt de algemee optelregel N V B = N V + N B N V B. P(x V B) = P(x V ) + P(x B) P(x V B) (.4) I het bijzodere geval (.) hebbe W e Z ee lege doorsede... Het verzameligsmodel Zoals bove gesuggereerd kue we het rekee met kase modellere met verzamelige waarop ee kasfuctie P is gedefiieerd. Laat Ω de verzamelig va uitkomste of elemetaire gebeurteisse zij va ee experimet (b.v. bij het werpe met ee dobbelstee: Ω = {,,3,4,5,6}), da is ee gebeurteis A ee deelverzamelig va Ω, A Ω. Voor iedere gebeurteis A is er ee kas(fuctie) P(A) gedefiieerd met waarde tusse e. We hebbe de volgede eigeschappe (axioma s) odig:. Er is ee collectie gebeurteisse A (ee collectie deelverzamelige va Ω) zo, dat a. / e Ω zij gebeurteisse: / A e Ω A, b. als A ee gebeurteis is, da is ook zij complemet ee gebeurteis, A A A c = Ω \ A A c. A e B gebeurteisse, da is ook A B ee gebeurteis, A,B A A B A. Er is ee kasfuctie P op A gedefiieerd met de eigeschappe: a. P(A) voor alle A A, b. P(/) = e P(Ω) =, c. A,B A e A B = / P(A B) = P(A) + P(B).

14 Voorbeeld.. Bij ee worp met ee dobbelstee is de verzamelig uitkomste Ω = {,,3,4,5,6} e de kas op ee elemetaire gebeurteis, b.v. P({3}), gelijk aa /6. Ga zelf a dat dit model voldoet aa de bove gegeve regels. Opmerkig.. Als Ω oeidig veel elemete bevat zal de collectie A i het algemee iet alle mogelijke deelverzamelige va Ω bevatte (zie..5). We moete da uitbreide tot aftelbare vereigige: c. A i A (i =,,3,...) i= A i A, c. A i A e A i A j = / (i, j =,,..., i j) P( Uit geoemde eigeschappe of axioma s volgt: i= A i. Als A e B gebeurteisse zij, da ook A B = (A c B c ) c,. Ee bewijs va de optelregel gaat als volgt: zodat 3. Ee bewijs va de complemetregel gaat als volgt: ) = i= P(A i ). A = (A B) (A \ B) met (A B) (A \ B) = / A B = (A \ B) B met (A \ B) B = / P(A B) = P(A \ B) + P(B) = P(A) + P(B) P(A B) Ω = A A c e A A c = / zodat = P(Ω) = P(A) + P(A c ) Voorbeelde..3 ) Ee kaart trekke uit ee kaartspel: P({aas}) = 5 4 = 3, P({harte of boer}) = P({harte}) + P({boer}) P({harteboer}) = 3 ) Werpe met twee dobbelstee: Ω = {(,),(,),(,),...,(6,6)} e bevat 36 elemete. P({som der oge = 6}) = P({(,5),(,4),(3,3),(4,),(5,)}) = P({som der oge is eve of ee drievoud}) =?..3 Voorwaardelijke waarschijlijkheid = 4 Hoe groot is de kas dat ee studet uit de reeds vermelde groep va 5 biologie- e scheikudestudete ee meisje is als ik al weet dat ze biologie studeert? Keelijk moet ik mij telwerk u beperke tot de (deel-)groep va 5 biologiestudete. Om de kas te wete moet ik het aatal vrouwelijke biologiestudete dele door het totale aatal; we otere: 3. P(V B) := P(V B) P(B) = aatal vrouwelijke biologiestudete totale aatal biologiestudete (.5) We oeme dit de voorwaardelijke kas op het optrede va gebeurteis V als de gebeurteis B plaats heeft gevode (e P(B) ). 3

15 Voorbeeld..4 We werpe met twee dobbelstee; wat is de kas op ee eve aatal oge als ee va beide dobbelstee ee toot? Atwoord: P(ee va beide dobbelstee toot ee ) = /36 P(ee stee toot ee e de som is eve) = P({(,),(,3),(3,),(,5),(5,)}) = 5/36 zodat P(aatal oge eve ee stee toot ) = 5/ Bij ee voorwaardelijke kas P(A B) = P(A B)/P(B) beperke we de verzamelig va gebeurteisse i feite tot de deelverzamelig B. Aagezie weer moet gelde P(B B) = moete we alle kase herormalisere door te dele door P(B). Defiitie..5 Twee gebeurteisse A e B hete (stochastisch) oafhakelijk als het voor de kas op A iet uitmaakt of B al da iet gebeurd is: A e B oafhakelijk P(A B) = P(A) P(B) (.6) Bewijs zelf dat A e B oafhakelijk zij als e allee als P(A) = P(A B) = P(A B c ) (.7) Let wel, dat afhakelijkheid i pricipe géé oorzakelijk verbad impliceert: b.v. - I het begi va deze eeuw (toe er og veel ooievaars ware i de Lage Lade) estelde de meeste ooievaars op het plattelad, waar ook de gemiddelde gezisgrootte het grootst was. - De kas dat ee willekeurig gekoze getal uit {,,...,} deelbaar is door 4 is 4 ; de kas dat het deelbaar is door is. De kas dat het deelbaar is door 4 e is ; er is dus afhakelijkheid, waarom? Voorbeeld..6 I ee hoed stop ik drie idetiek gevormde kaarte, waarva de eerste aa beide zijde rood is, de tweede aa beide zijde wit e de derde aa ee zijde rood e aa de adere wit is. Vervolges trekke we er ee willekeurige kaart uit e legge deze op tafel. Als de bovekat rood is, wat is da de kas dat de oderkat ook rood is? Atwoord : De kas op het trekke va de witte (ww), de wit-rode (wr) of de rode kaart (rr) is 3. De kas dat rood bove ligt is. Volges (.5) vide we de voorwaardelijke kas P(rr rood bove) = P(rr e rood bove) P(rood bove) = /3 / = 3 (.8) Atwoord : Ee alteratieve maier is de volgede beschouwigswijze: we trekke uit de hoed iet allee ee kaart maar ook ee zijde die bove komt te ligge. Als we dus de voor- e achterzijde va iedere kaart ummere met e moete we willekeurig trekke uit de volgede verzamelig: 4

16 bove oder r r r r r w w r w w w w Als er ee rode zijde bove ligt, beperke we os tot de eerste drie elemete e we zie dat er met kas 3 ook rood oder ligt. Opmerkig: Ee ituïtief acceptabele maar misleidede redeerig is de volgede: omdat rood bove ligt, ligt de rode of de roodwitte kaart op tafel, ieder met kas e dus is de kas dat de achterzijde rood is, slechts! Waar zit de fout? Voorbeeld..7 Wat is de kas dat twee of meer persoe i ee groep va N dezelfde verjaardag hebbe? Atwoord: Draai de vraagstellig om e defiieer p als de kas dat géé twee persoe i ee groep va dezelfde verjaardag hebbe. Keelijk geldt p = ; de eerste heeft alle dage va het jaar tot zij beschikkig voor zij verjaardag. De tweede heeft alle dage mi ee tot zij beschikkig e dus p = Voege we ee derde aa de groep toe, da heeft deze alle dage mi twee tot zij beschikkig zodat p 3 = p. Voege we aa ee groep va persoe, met oderlig verschillede verjaardage ( < 365), er ee toe, da zij er og 365 dage obezet, zodat 365 p + = p e dus p 3 = =.497 (.9) De kas dat er i ee groep va 3 persoe mistes twee dezelfde verjaardag hebbe is dus p 3 =.573 e is groter da ee half!..4 De formule va Bayes Met het toeeme va de medische diagose-techieke keert herhaaldelijk de discussie terug of het houde va ee globaal bevolkigsoderzoek, b.v. aar baarmoederhalskaker, aar seropositiviteit,..., uttig, kosteffectief e/of sociaal aavaardbaar is. De gebruikelijke HIV-teste zij zeer betrouwbaar met P(positief geïfecteerd) =.999 (.) P(positief iet geïfecteerd) =. Naar schattig is / va de Belgische bevolkig geïfecteerd. Bij ee bevolkigsoderzoek is het va belag te wete hoe vaak ee vals positieve diagose gesteld wordt; immers ee persoo, bij wie ee vals positieve diagose wordt gesteld, wordt zoder rede opgezadeld met ee immes sociaal probleem. We wille dus berekee P(iet geïfecteerd positief). Uit (.) kue we berekee: P(positief e geïfecteerd) = P(positief geïfecteerd)p(geïfecteerd) =.999. (.) Aaloog rekeed voor de adere drie mogelijkhede geeft dit de tabel: positief egatief geïfecteerd.999. iet geïfecteerd

17 We leide hieruit af: P(positief) = =.989, zodat P(iet geïfecteerd positief) = % We kue dit resultaat ook afleide door herhaald gebruik te make va (.5): P(A B) = P(B A) P(B) = = P(B A)P(A) P(B A) + P(B A c ) P(B A)P(A) P(B A)P(A) + P(B A c )P(A c ) (.) Dit resultaat heet de regel va Bayes. Voor ee geeralisatie gebruike we het theorema va de totale waarschijlijkheid : laat A,A,... ee partitie va Ω zij, d.w.z. A i A j = / voor i j e i= A i = Ω (.3) Da geldt voor iedere gebeurteis B Ω dat ) P(B) = P( (B A i) = i= i= P(B A i ) = i= P(B A i )P(A i ) (.4) Als Ω opgesplitst wordt i ee aatal disjukte dele, da is de totale kas op B gelijk aa de som va de kase op B bie zo deel vermeigvuldigd met de kas op zo deel. Nu kue we ook eevoudig de geeralisatie va (.) eerschrijve: P(A i B) = P(A i B) P(B) = P(A i)p(b A i ) j= P(A j)p(b A j ) (.5)..5 Aavullige: Ee oeidige uitslageruimte e σ-additiviteit I het voorgaade hebbe we gesproke over ee uitslageruimte Ω e ee kasfuctie P op de deelverzamelige va Ω. Zolag Ω eidig veel elemete bevat heeft Ω ook eidig veel deelverzamelige e is er gee probleem met het defiiëre va P. Als Ω aftelbaar oeidig is, is ook het aatal deelverzamelige va Ω oeidig e moete we i oze axioma s iets zegge over aftelbare vereigige, maar ook da og is er gee probleem om P te defiiëre voor alle deelverzamelige va Ω. Als Ω og groter is, bv. (ee deel va) de reële rechte, da is het iet meer mogelijk ee zivolle kasmaat te defiiëre op de collectie va alle deelverzamelige va Ω (deze is te groot!) e moete we os beperke tot ee deelcollectie, de zogeaamde Borelstam. I deze meer wiskudige gerichte paragraaf zulle we de odige defiities geve e ee tegevoorbeeld. Defiitie..8 Ee collectie deelverzamelige A va Ω heet ee σ-algebra als. / A 6

18 . A A A c = Ω \ A A 3. A i A (i =,,...) i= A i A Opmerkig: e implicere Ω A e met 3 erbij volgt ook i= A i A. Defiitie..9 P is ee σ-additieve kasmaat op ee σ-algebra A als. P(/) =, P(Ω) =.. P(A), A A. 3. A i A e A i A j = / i, j =,,... P( i= A i ) = P(A i ). i= Opmerkig: De toevoegig σ- duidt op ee eigeschap voor aftelbare rije. Uit de volgede stellig blijkt dat de voorwaarde va sigma-additiviteit ee atuurlijke voorwaarde is: Stellig.. Als A ee σ-algebra is, e P : A [,] ee kasverdelig, da zij volgede eigeschappe equivalet:. P is σ-additief; (. A A A 3 i A lim P(A ) = P ( 3. A A A 3 i A lim P(A ) = P = A = A ) ) (.6) (.7) 4. A A A 3 i A e = A = / lim P(A ) = (.8) Bewijs. () (): Stel A = /, B = A \A. Da zij de B paarsgewijze disjuct e dus geldt: P( A ) = P( B ) = = = P(B ). = Hieruit volgt: Nu is e dus geldt e het gestelde volgt. ε >, N : m N : P( A ) = m i= P(B i ) = P( m i= B i m i= ) = P(A m ), P(B i ) < ε. ε >, N : m N : P( = A ) P(A m ) < ε 7

19 () (3): Pas () toe op A c (3) (4): (4) is ee speciaal geval va (3). (4) (): Veroderstel A,A, paarsgewijze disjuct. Stel A m = m = A, A = = A e B m = A \ A m. da is ( B m = ( A \ A ) ( m = A (A m )c) = A m= m= m= Dus vide we Bijgevolg geldt: m= (A m )c ) ( = A lim P(B ( m) =, zodat lim P(A ) P(A m m m) ) =. ) ( ) m P( A = lim P A = lim = m = m m = P(A ) = P(A ) = m= A m ) c = /. We besluite deze paragraaf met ee voorbeeld dat vooral va theoretisch belag is. Het wordt vooral voor de volledigheid vermeld, e om te illustrere welke probleme er optrede als we ee wiskudig streg oderbouwde behadelig va de kastheorie wese te geve. Het hieravolgede voorbeeld behoort da ook iet tot de leerstof, e is ekel bestemd voor de leergierige studet. Voorbeeld.. Beschouw ee experimet met uitslagruimte Ω. Me is geeigd om voor de gebeurteisseverzamelig A = Ω te eme (d.w.z. alle deelverzamelige va Ω). Dit is iet altijd mogelijk! Als voorbeeld beschouwe we het volgede experimet: me eemt ee willekeurig reëel getal gelege i [, ]. Klaarblijkelijk is Ω = [, ]. Duidelijk geldt: e ook: P([α,β]) = β α, als α β (.9) P(A) = P(x + A), als A e x + A [,] (.) Stellig.. Er bestaat gee σ-additieve kasverdelig P op [,] (dit is de collectie va alle deelverzamelige va [,]), die aa de eise (.9) e (.) voldoet. Bewijs. Oderstel dat P bestaat. We zulle aatoe dat dit tot ee tegestrijdigheid leidt. Beschouw op R de volgede equivaletierelatie : x y x y Q. Ee equivaletieklasse is steeds va de vorm x + Q, waarbij x R. I elke equivaletieklasse kue we ee elemet vide dat gelege is tusse e. Iderdaad, voor elke x R is x [x] of x + [x] (x + Q) [,]. Dus ligt x [x] of x + [x] tusse e. Kies u voor elke equivaletieklasse ee ekele represetat a tusse e, e eem de verzamelig A va al deze represetate, da geldt: 8

20 . x Q, y Q e x y (x + A) (y + A) = /, immers, veroderstel dat a,a A e x + a = y + a, da is a a = y x Q, zodat a a. Dus geldt a = a e dus ook x = y, hetgee strijdig is met de aaame.. P(A) = P(x + A). 3. x Q [,] (x + A) [,], immers, x [,], a A [, ] x + a [,]. 4. [, ] x Q [,] (x + A), immers, kies y [, ] e laat a de represetat zij va de equivaletieklasse waartoe y behoort. Da is y = x + a met x Q. Dus x = y a [,], daar y, e a. Vawege 3. e 4. geldt Nu is 4 P( x Q [,] x + A). P( x Q [,] x + A) = { als P(A) = P(x + A) = P(A) = x Q [,] x Q [,] + als P(A) > Deze twee uitkomste zij strijdig, zodat de aaame, dat er zo P bestaat iet waar ka zij. Me ka aatoe dat er op R ee σ-algebra bestaat, die alle itervalle e eidige dele va R bevat, e waarop me ee σ-additieve fuctie ka defiiëre zodat µ([a,b]) = b a Deze σ-algebra wordt de Borelstam op R geoemd. De elemete va deze σ-algebra oemt me meetbare verzamelige. De verzamelig A, die we i bovestaade stellig costrueerde, is dus iet meetbaar.. Stochastische variabele e hu kasverdelig.. Stochastische variabele Me ka aa elk elemet va de steekproefruimte Ω ee (reële) getalwaarde toekee, bv. - bij het werpe met ee dobbelstee het aatal oge dat we gooie, - bij het werpe va ee mut, voor kop e voor mut, - bij ee oderzoek va de iwoers va België, de legte of het gewicht of het jaarikome ez... va iedere persoo. 9

21 Zo getalwaarde is ee reële fuctie op Ω e we oeme zo fuctie X va Ω aar R ee stochastiek (of ee stochastische variabele of toevalsveraderlijke) als deze afbeeldig compatibel is met de struktuur va de collectie A va deelverzamelige i Ω: voor ieder reëel getal a is de verzamelig {ω Ω X(ω) a} A (.) ee deelverzamelig va Ω. Voor de geoemde compatibiliteit wordt geëist dat dit ee deelverzamelig is va de collectie A. Als Ω eidig is e A de collectie va alle deelverzamelige is, is hieraa automatisch voldaa. Ee stochastiek X op Ω projecteert de klasse A dus op ee klasse va deelverzamelige va R. De kase, gedefiieerd op de elemete va A projectere gewoo mee: P(X a) = P({ω Ω X(ω) a}) (.) Meestal iteressere we os meer voor de getalwaarde X(ω) da voor de elemete ω va de oderliggede verzamelig Ω. Als ik schoee wil verkope i dit lad, is de verdelig va voetlegte (e breedte) het eige wat ik va zij iwoers wil wete om de goede hoeveelhede va de verschillede mate te kue ikope; ik wil dus iets wete over de getalle X(ω) voor iedere iwoer ω Ω. Defiitie.. Als X ee stochastische variabele is, da heet de fuctie F X, F X (a) = P(X a) (.3) de verdeligsfuctie va x (ook wel cumulatieve verdeligsfuctie geoemd). Voorbeeld.. : de dobbelstee Ω =,,,, X =, X =, etc..., P = 6, etc... Voor de kase P(X a) vide we P(X < ) = P(X ) = /6 = P(X < ) P(X ) = /6 = P(X < 3) etc... e we vide ee verdeligsfuctie F X zoals geschetst i Figuur.. Dit is ee trapfuctie die i de pute,, 3, 4, 5 e 6 ee sprog va /6 maakt. Deze verdelig is duidelijk discreet.

22 Figuur.: De verdeligsfuctie va ee dobbelstee, e de verdeligsfuctie va de legteverdelig va mae Voorbeeld..3 De verdelig va lichaamslegte va volwasse maelijke iwoers va België is geschetst i Figuur.. Neem ee willekeurige volwasse maelijke iwoer X e lees i de tabel de kas af dat deze kleier is da 9 cm. I theorie is ook deze verdelig discreet, maar de groep mae (e dus Ω) is zo groot dat we doe alsof deze cotiu is... Eigeschappe va ee verdeligsfuctie Vooreerst merke we op dat F X (a) (.4) Alle kase ligge immers tusse ul e ee. Bovedie is F X mootoo iet daled: a b F X (a) F X (b) (.5) Immers, bij vergrotig va de verzamelig gebeurteisse ka de kas iet afeme. De kas op ee half-ope iterval wordt gegeve door P(a < X b) = P(X b) P(X a) = F X (b) F X (a) (.6) P(X > a) = P(X a) = F X (a) (.7) De volgede eigeschappe verdiee wel ee serieus bewijs. Eerst oderzoeke we de cotiuïteit va F X. Stellig..4 F X is rechts cotiu: lim ε F X (a + ε) = F X (a) Bewijs. Kies ee rij {ε } die aar ul daalt. Da is zodat, vawege de σ-additiviteit : (,a] = = (,a + ε ], F X (a) = P(X (,a]) = lim P(X (,a + ε ]) = lim F X (a + ε )

23 Stellig..5 F X is iet oodzakelijk overal likscotiu: bij aderig va liks kue we tege ee sprog oplope. Als P(X = a) =, da is F X wel cotiu i a. Algemee hebbe we lim F X(a ε) + P(X = a) = F X (a) (.8) ε Bewijs. Neem (ε ) ee aar ul dalede rij zoals i het vorige bewijs. Da is zodat (,a) = = (,a ε ], F X (a) P(X = a) = P ( X (,a) ) = lim P(X (,a ε ]) = lim F X (a ε ) Stellig..6 De limiete aar + e zij: lim F X(x) = e x + lim F X(x) = (.9) x Bewijs. Neem ee stijgede rij M zodaig dat lim M = +, da is R = = (,M ], zodat lim x + F X(x) = P(R) =. De adere bewerig wordt op aaloge maier beweze. Stellig..7 Als we ee lieaire (eigelijk affiee) trasformatie uitvoere op ee stochastiek X, da trasformeert de verdeligsfuctie mee: als Y = ax + b, da geldt met a > : ( F Y (y) = P(Y y) = P(aX + b y) = P X y b ) ( ) y b = F X (.3) a a Als a <, da draait de ogelijkheid om: ( F Y (y) = P X y b ) ( = P X < y b ) a a ( ) ( y b = F X + P X = y b ) a a (.3) Opmerkig: Voor het vervolg va deze syllabus zulle we bij het gebruik va het begrip stochastische variabele abstrahere va de oderliggede verzamelig gebeurteisse Ω. Ee stochastiek X staat voor ee reële variabele (zoals x i de defiitie f (x) := xsix); als we i ee experimet voor X ee willekeurige waarde x trekke, is de kas, dat de getrokke waarde kleier da of gelijk aa a is, gegeve door F X (a).

24 ..3 Cotiue e discrete verdelige Bij ee diepgaade mathematische behadelig va verdeligsfucties zoude we gee verschil hoeve te make tusse diskrete e cotiue verdeligsfucties, voor de eevoud zulle we dit wel doe. Defiitie..8 We oeme ee stochastiek X discreet als X slechts ee eidig of aftelbaar oeidig aatal verschillede waarde ka aaeme. Dat wil zegge dat er ee verzamelig (reële) getalle {x i i =,,...} is, zo dat P(X = x i ) = p i e p i = (.3) i= We kue de kase da grafisch weergeve door ee staafdiagram; op het put x i richte we ee staafje op va legte p i. De verdeligsfuctie F X is da stuksgewijs costat met sproge i de pute x i (i =,,...) va grootte p i. Als voorbeeld is i fig. 3 ee staafdiagram op pute geschetst met de bijbehorede verdelig i fig. 4: Figuur.: Ee staafdiagram op pute e de bijhorede verdeligsfuctie Defiitie..9 We oeme ee stochastische variabele X cotiu als de verdeligsfuctie F X ee overal differetieerbare fuctie is (behalve evetueel i ee eidig aatal pute). Dit is ee vrij zware eis, maar zij maakt het os wel mogelijk om de kasdichtheid f X te defiiëre als de afgeleide va F X, f X (x) := d dx F X(x) e dus ook F X (x) = Z x f X (t)dt (.33) Omdat F X mootoo is, moet gelde f X (x) x e moet het oppervlak oder de staarte va f X aar ul gaa: Z A Z + lim f X (t)dt = e lim f X (t)dt = (.34) A B + B Voorbeeld va ee cotiue verdelig: zie Figuur.3. Dit is ee vrij sterke beperkig, maar verdelige die hieraa iet voldoe e ook iet diskreet zij, zij vooramelijk va wiskudig belag. 3

25 Figuur.3: Grafiek va ee vrij kustmatige cotiue verdelig met haar kasdichtheid Opmerkig: f X ka ee vrij wild gedrag hebbe, maar door de eis va differetieerbaarheid (e dus cotiuïteit) va F X voor cotiue verdelige sluite we de sproge i F X expliciet uit, zodat P(X a) = P(X < a) voor alle beschouwde cotiue verdelige. fucties va stochastieke e hu verdeligsfuctie kue we defiiëre aaloog aa (.). Als g ee reële cotiue fuctie is e X ee stochastiek (cotiu of diskreet), da is g(x) de stochastiek met de verdeligsfuctie F g(x) (a) := P(g(X) a) = P({ω Ω g(x(ω)) a}) (.35) Ga zelf a, wat de kasdichtheid va F g(x) is, als X cotiu e g mootoo stijged e differetieerbaar is...4 Percetiele I de praktijk wille we voor ee stochastiek X vaak ee atwoord op de omgekeerde vraag: voor welke waarde va x is 5% (of 5% of 9%) va de uitkomste kleier da of gelijk aa x? (zie ook.). De algemee vraag luidt dus: gegeve ee percetage α ( α ) of ee kas p := α, voor welke x geldt F X (x) = P(X x) = p?. I de figuur beteket dit dat we grafiek va F X op zij kat moete zette, d.w.z. dat we abcis e ordiaat moete verwissele, oftewel het plaatje moete spiegele om de lij y = x, zoals i Figuur.4, waar de percetiele (d.i. de iverse fuctie) va de (vrij kustmatige) cotiue kasverdelig va Figuur. wordt geschetst. De itervalle waar de verdelig costat is, geve ee sprog i de iverse fuktie. Als i ee put x met p := F X (x) geldt p > F X (y) als x > y e p < F X (y) als x < y, d.w.z. dat F X strikt stijged is i x, da is x het eige put met F X (x) = p e da defiiëre we x als het p%-percetiel va X. Dit percetiel is dus gewoo de waarde va de iverse fuktie FX (p) i p. Als er gee put x is waarvoor F X (x) = p, da is F X discotiu e maakt deze erges ee sprog va ee waarder kleier da p aar ee waarde groter da p. Het p%-percetiel va X is da het put waari F X deze sprog maakt. 4

26 Figuur.4: Percetiele Als echter F X (x) = p costat is voor alle x i ee iterval [a,b], da zoude we ieder elemet va dat iterval het p-de percetiel va X kue oeme. Voor e eeduidige defiitie make we da de volgede afspraak: o. Als F X (x) = voor alle x a e F X (x) > voor alle x > a, da heet a het %-percetiel va X; a is dus het put vaaf waar F X iet triviaal is. o. Als F X (x) = voor alle x b e F X (x) < voor alle x < b, da heet b het %-percetiel va X; b is dus het put vaaf waar F X weer triviaal is. 3 o. Als F X (x) = p voor alle x [c,d], F X (x) < p voor alle x < c e F X (x) > p voor alle x > d, da kieze we het midde (c + d) als het p%-percetiel va X. Deze defiitie lijkt iet cosistet met die va empirische percetiele i.. Dit is echter maar schij, omdat de empirische percetiele gebaseerd zij op slechts eidig veel waaremige. Op grod va de wet va de grote getalle kue we het volgede late zie: Als {x, x,, x } oafhakelijke waaremige zij va ee stochastiek X, da covergeert de empirische verdeligsfuktie va deze waaremige aar F X voor e covergere de empirische percetiele aar de hierbove gedefiieerde percetiele va X..3 Kasvectore e oafhakelijke stochastische variabele I vele gevalle ka me aa ee elemet va ee steekproefruimte Ω meer da éé reële getalwaarde toekee. Bijvoorbeeld, bij ee oderzoek va de iwoers va België is me zowel geïteresseerd i de legte als het gewicht va elke iwoer. Als we eigeschappe gelijktijdig beschouwe, hebbe we ee vectorfuctie Z : Ω R. Idie de compoete X,X,...,X va deze vectorfuctie stochastische variabele zij, da oeme we Z ee -dimesioale stochastische variabele, of kasvector. Voor de eevoud zulle we os i wat volgt beperke tot het geval =. 5

27 De verdeligsfuctie F Z va ee tweedimesioale kasvector Z = (X,Y) wordt gedefiieerd als volgt: F Z (a,b) = P(X a e Y b) = P{ω Ω : X(ω) a e Y (ω) b} (.36) Net zoals i het voorgaade hoofdstuk zulle we oderscheid make tusse cotiue e diskrete kasvectore. We oeme Z diskreet, idie er ee eidig of aftelbaar aatal pute z = (x,y ), z = (x,y ), z 3 = (x 3,y 3 ), i R bestaat, zodat P( Z = z i ) = p i, voor zekere p i [,], met i p i = e P( Z = z) = voor alle adere pute z = (x,y) R. Aa cotiue kasvectore zulle we i deze syllabus steeds de extra eis oplegge, dat alle tweede (-de i dimesies) gemegde partiële afgeleide va de verdeligsfuctie cotiu moete zij. De dichtheidsfuctie f Z wordt da gegeve door de tweede partiële afgeleide: f Z = F Z x y (.37) Idie f Z beked is, kue we de verdeligsfuctie F Z terugvide door itegratie: Z x Z y F Z (x,y) = du f Z (u,v) dv; bijgevolg kue we voor iedere (meetbare) deelverzamelig A R de kas bepale, dat Z A: Z Z P( Z A) = f Z (x,y) dx dy (.38) Veroderstel u dat Z = (X,Y) ee kasvector is, e dat de verdeligsfuctie F Z beked is. Da kue we voor a R de kas op X a ogeacht de waarde va Y uitrekee als de limiet: A F X (a) = P(X a) = P(X a e Y < + ) = lim F y + Z (a,y) (.39) De verkrege verdelig heet de margiale kasverdelig va X. Aaloog vide we voor b R de margiale kasverdelig va Y : F Y (b) = lim x + F Z (x,b) Voor ee cotiue verdelig kue we de dichtheidsfucties va de margiale verdelig gemakkelijk terugvide: Z x Z + F X (x) = lim F y + Z (x,y) = du f Z (u,v) dv e dus is f X (x) = d dx F X(x) = Z + f Z (x,v) dv (.4) 6

28 Voorbeeld.3. We werpe met twee dobbelstee e beschouwe de volgede stochastische variabele: X: het aatal ee dat gegooid wordt; Y : het aatal zesse dat gegooid wordt. Z = (X,Y) is da ee kasvector, die ekel pare gehele waarde (i, j) met i + j ka aaeme. Verifieer, dat P{(,)} = 4 6 = 6 36 P{(,)} = P{(,)} = = 8 36 P{(,)} = 36 P{(,)} = P{(,)} = 36 De grafiek va de verdeligsfuctie wordt gegeve i Figuur /36 4/36 35/36 34/36 F = F = 35/36 6/36 4/36 F = 5/36 F = 4 Figuur.5: Driedimesioale tekeig e hoogtelije va de kasverdelig Voorbeeld.3. We hereme voorbeeld, maar we werpe u met drie dobbelstee i plaats va twee. Z = (X,Y) is u ee kasvector, die ekel pare gehele waarde (i, j) met i + j 3 ka aaeme. Verifieer dat P{(,)} = P{(,)} = P{(,)} = = P{(,)} = P{(,)} = P{(,)} = = 6 3 P{(,)} = P{(,)} = = P{(3,)} = P{(,3)} = 6 3 7

29 Aawijzig: het aatal mogelijke gevalle is steeds 6 3 ; zoek met behulp va kombiatieleer steeds het aatal gustige gevalle geve. Voorbeeld.3.3 Me kiest willekeurig e oafhakelijk va elkaar twee getalle tusse e. Laat X het eerste getal, Y het tweede e Z de kasvector (X,Y) zij. Da is duidelijk f Z (x,y) = { 4 als x,y aders De verdeligsfuctie wordt gegeve door de formules als x of y xy 4 als x, y F Z (x,y) = x als x e y y als y e x als x e y Figuur.6: Dichtheidsfuctie e verdeligsfuctie va de uiforme verdelig I bovestaad voorbeeld liete we het woord oafhakelijk valle. I formule (.6) defiiëerde we oafhakelijkheid va gebeurteisse. Wat beteket het, dat twee stochastische variabele oafhakelijk zij? Defiitie.3.4 Twee stochastische variabele X e Y hete oafhakelijk als de gebeurteisse (a < X b ) e (a < Y b ) oafhakelijk zij voor alle a i,b i R, of, equivalet, als P((a < X b ) (a < Y b )) = P(a < X b )P(a < Y b ) (.4) De stochastische variabele uit voorbeeld.3.3 hierbove zij oafhakelijk. Die uit voorbeeld.3. iet! Immers, P(X = ) = 75 5, P(Y = ) = maar P(X = e Y = ) =

30 Stellig.3.5 De compoete va ee tweedimesioale kasvector Z = (X,Y) zij oafhakelijk als e slechts als de verdeligsfuctie va Z het product is va de margiale verdeligsfucties. Bewijs. Veroderstel dat X e Y oafhakelijk zij. Door i de defiitie (.4) de limiet te eme voor a e a volgt dat F Z (b,b ) = F X (b )F Y (b ) Omgekeerd, veroderstel dat voor alle b,b R, da geldt (maak zelf ee tekeig om dit te zie) F Z (b,b ) = F X (b )F Y (b ) P(a < X b, a < Y b ) = P(X b,y b ) P(X b,y a ) P(X a,y b ) + P(X a,y a ) = F Z (b,b ) F Z (b,a ) F Z (a,b ) + F Z (a,a ) = F X (b )F Y (b ) F X (b )F Y (a ) F X (a )F Y (b ) + F X (a )F Y (a ) = (F X (b ) F X (a ))(F Y (b ) F Y (a )) = P(a < X b )P(a < Y b ) e X e Y zij dus iderdaad oafhakelijk. I het cotiue geval hebbe we ee gelijkaardige eigeschap va de dichtheidsfucties. Stellig.3.6 De compoete va ee tweedimesioale cotiue kasvector zij oafhakelijk als e slechts als de dichtheidsfuctie het product is va de margiale dichtheidsfucties. Bewijs. Oefeig. Toepassig: De som va twee oafhakelijke stochastische variabele Bij ee tramhalte passeert om de tie miute ee tram. U eemt elke dag deze tram op ee willekeurig tijdstip. De wachttijd T op de eerstvolgede tram bezit da de volgede dichtheidsfuctie: { als t f T (t) = aders We oeme zo T uiform verdeeld over [,], zie 3.6. Als U u tweemaal de tram eemt, hoelag moet U da i het totaal wachte; m.a.w. wat is de dichtheidsfuctie f T +T va de som T + T, als T e T de eerste resp. tweede wachttijd aa de halte zij. Dit probleem is ee speciaal geval va het volgede: veroderstel dat X e Y twee oafhakelijke cotiue stochastische variabele zij, met dichtheidsfucties f X e f Y. Hoe vide we f X+Y? Dit gebeurt als volgt; we bepale eerst de verdeligsfuctie F X+Y va de som: Z Z Z + Z x u F X+Y (x) = P(X +Y x) = f Z (u,v) du dv = du f Z (u,v) dv = Z + f X (u) du u+v x Z x u f Y (v) dv 9

31 (maak ee tekeig va het itegratiegebied). Afleide aar x geeft (i de veroderstellig dat we differetiatie e itegratie moge verwissele): f X+Y (x) = d ( Z + Z x u ) Z + f X (u) du f Y (v) dv = f X (u) f Y (x u) du dx = ( f X f Y )(x) (.4) I deze formule is f X f Y de gebruikelijke otatie voor het covolutieproduct. Hieruit kue we besluite: Stellig.3.7 Als X e Y twee oafhakelijke stochastische variabele zij met cotiue verdelig, da is de dichtheidsfuctie va X +Y de covolutie va de dichthede va X e Y, f X+Y = f X f Y (.43) Kere we u terug aar de toepassig hierbove. Met behulp va bovestaade stellig.3.7 kue we de dichtheidsfuctie va T + T bepale: f T +T (t) = Z + We oderscheide u vier gevalle: f T (u) f T (t u)du = Z f T (t u)du ) t <. Voor u geldt da dat f T (t u) =, zodat f T +T (t) =. Dit is uiteraard wat we verwachte: ee egatieve wachttijd ka ooit optrede. ) t. Da is t u. Voor u gelege tusse e t hebbe we bovedie dat t u, zodat f T +T (t) = Z t du = t. 3) t. Nu is t u, e bovedie geldt voor u gelege tusse t e dat t u, zodat f T +T (t) = Z t du = t. 4) t >. Da is t u >, zodat f T (t u) = voor u tusse e zodat, et als i het eerste geval f T +T (t) =. Iderdaad is het omogelijk dat we ee totale wachttijd hebbe die lager duurt da miute. De grafiek va f T +T wordt gegeve i Figuur.7. Bepaal zelf de verdeligsfuctie F T +T e teke de grafiek. 3

32 Figuur.7:.4 Verwachtigswaarde e stadaardafwijkig Bij ee loterij zij er lote va frak. Het wiede ummer is goed voor 4 frak e er zij 5 troostprijze va frak. Wat is de waarde die U aa zo lot kut toekee? Op voorhad wete we atuurlijk iet op welk lot de hoofdprijs gaat valle e dus welk lot ee grote waarde heeft. We kue wel ee soort gemiddelde waarde va ee lot bepale. Stel, dat we alle lote zoude kope, da zij we. Frak kwijt e we wie 5. Frak aa prijze; het verlies is dus gemiddeld 5 Frak per lot. Aa ieder lot kue we dus ee waarde toekee va 5 Frak. We oeme dit de verwachtigswaarde va ee lot uit de betreffede loterij. Dit voorbeeld suggereert de defiitie: Defiitie.4. Voor ee gegeve stochastische variabele X defiiëre we de verwachtigswaarde E[X] (Eg.: expectatio) door { j x j p j idie X discreet verdeeld E[X] = R + x f (.44) X(x) dx idie X cotiu verdeeld Merk op dat E[X] iet altijd bestaat; het is iderdaad mogelijk dat de reeks of oeigelijke itegraal divergeert. Voorbeelde.4. ) Bij de bove vermelde loterij is Ω de verzamelig va de lote e X(ω) is de wist die U maakt bij het kope va éé erva: 4 voor het wiede lot X(ω) = voor de troostprijze voor de adere lote Bijgevolg is E[X] = x j p j = (4 ) j= + ( ) = 5 3

33 e vide we ee egatieve verwachtigswaarde. ) Me werpt ee dobbelstee. X is het aatal oge dat boveaa komt te ligge. Da is E[X] = 6 j= j 6 = 6 = 3.5 Neem u ee (cotiue) fuctie g : R R, da kue we ee ieuwe stochastische variabele g(x) defiiëre voor ee gegeve stochastiek X als de stochastiek met de verdeligsfuctie F g(x) (z) := P(g(X) z), zie formule (.35). Voor X diskreet vidt me gemakkelijk dat Iderdaad, voor y R heeft me E[g(X)] = g(x j ) p j (.45) j P(g(X) = y) = {p j : g(x j ) = y} j Sommatie over alle verschillede g(x j ) geeft het resultaat. Voor ee cotiu verdeelde stochastische variabele X heeft me, op aaloge maier E[g(X)] = Z + Opgave: Bewijs zelf de volgede eigeschappe:. E[aX] = a E[X], voor elke a R met a ;. E[X + b] = E[X] + b, voor elke b R; 3. E[b] = b, voor elke b R; 4. E[X] E[ X ]. g(x) f X (x) dx (.46) Veroderstel dat we E[X] e E[Y ] kee va twee stochastische variabele X e Y. Wat is da E[X +Y ]? Om hier ee atwoord op te kue geve hebbe we ee veralgemeig va de eigeschappe (.45) e (.46) odig. Veroderstel dat X e Y twee stochastische variabele zij e dat g : R R ee (cotiue) fuctie is. Da is E[g(X,Y)] = E[g(X,Y)] = i Z + Z + j g(x,y) f (X,Y) (x,y) dx dy g(x i,y j ) P(X = x i,y = y j ) (.47) i het cotiue respectievelijk het discrete geval. Net zoals voor (.45) e (.46) is het bewijs eevoudig i het discrete geval. Het bewijs i het cotiue geval late we hier achterwege. Met deze formule (.47) kue we eevoudig late zie, dat de verwachtigswaarde va de som va twee stochastieke altijd de som va de verwachtigswaarde is: 3