TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN. Afdeling Algemene Wetenschappen. Onderafdeling der Wiskunde WISKUNDE IV. Gegeven in het Voorjaarssemester 1964

Transcriptie

1 TECHNSCHE HOGESCHOOL ENDHOVEN Afdelig Algemee Weteschappe Oderafdelig der Wiskude WSKUNDE V Gegeve i het Voorjaarssemester 964

2 Oderafdelig der Wiskude Wiskude V GEGEVEN N HET VOORJAARSSEMESTER E O B Y E Y o > i- TECHNSCHE HOGESCHOOL ENDHOVEN

3 Aavullede houdsbeschrijvig Wiskude V: Hoofdstuk V STATSTEK V.l t/m V.59 s. leidig. Kasrekeig e statistiek V. 5.2 Permutaties, variaties, combiaties V Grodslage der kasrekeig V.3 s.4 Numerieke populaties of verdelige V Cotiue toevalsvariabele V.38 s.6 Toepassige i de statistiek V.57 (20 Mei 2005, JdG)

4 ., ONDERAFDELNG DER WSKUNDE W S K U N D E V Gegeve i het voorjaarssemester 964 T e c h i s c h e H o g e s c h o o l E i d h o v e

5 NHOUD.' blz. Hoofdstuk V Fucties va meer veraderlijke' V.l t/m V b Vectorotat ie. Fuctioaalmatrix. V. Stellig va het gemiddelde. Formule va Taylor. V. Parametervoorstellige e impiciete.fuctie.s. Afhakelijkheid. v.5 Extrema bij fucties va meer veraderlijke. ' V.29 Trasformatie va meervoudige itegrale. V.4 Hoofdstuk V Ei.4 E.5 Vectoraalyse V. t/m V.38 Lij- e oppervlakte-itegrale. De it egraals tellige. ToeDassiae. De formules va Gree. Trdsformatie va coöräiate. De scalaire potetiaal e de vectorpotetiaal. V. V.8 v.2 V.27 V.32 \ Hoofdstuk V Statistiek volgt og,i

6 V. HOOPDST'K V F'NCTES VAN MEER VEXANDE!iLJKEN û. Vec torotatie. Fuc tioaaïmatrix. We beschouwe ee fuctie f(x,y) va twee veraderlijke. Deze voegt aa ee getallepaar (x,y) ee getal f(x,y) toe. Oataliepare (x,y) kue we opvatte als vectore va R. We kue dus ook zegge, dat de fuctie aa ee vector va R ee ge2aï f(5) toevoegt. Algemeer kue we'bij ee fuctie f(xl,..., x ) va veraderlijke het -tal (xl,..., x als ee vector & va R opvatte e zecge, dat de fuctie aa ee vector va R ee getal f(x) toevoegt. We kue dit og verder uitbreide, door ee stelsel fl (X,..., x ), f*(x >..., x ),... fm(x,..., x ) va m fucties va veraderlijke te beschouwe. Aa ee -tal (xl,..., x ) zij da m fuctiewaarde = f(xl,..., x ),..., y, = fm(x*..., x ) y toegevoegd; deze y,,..., y kue we weer opvatte als ee vector i R. m m Met het stelsel wa m fucties correspodeert da &é vectorfuctie f(x), die aa ee vector va R ee vector ;(E) va Rm toevoegt. -- De i het eerstejaars college besproke lieaire afbeeldige zij voorbeelde va dergelijke vectorfucties. Ee vectorfuctie hoeft iet voor alle vectore &va R gedefiieerd te zij. (Dit is aaloog met het feit, dat ee gewoe getallefuctie iet voor alle reële, getalle gedefiieerd behoeft te zij). Het ka zij dat dit slechts voor zekere geoorloofde vectore het geval is. Als voorbeeld beschouwe we de trasformatieformules voor de overgag op bolcoördiate x = r si 8 CO6 cp y = r si si cp. z = r COS e Dit is op te vatte als ee vectorfuctie die aa de vector X.r,e,cp) ee adere vector (x,y,z) toevoegt. Daar de formules voor alle (r,e,cp) zivol zij, kue we al deze vectore als geoorloofde vectore toelate. Me beperkt zich echter vaak tot r >,O, O,< 8,< a, O 4 cp < 2a. Als me dit doet, behoort me dit er, om misverstad te vermijde, echter bij te vermelde.

7 V.2 Ee ader voorbeeld is ee parametervoorstellig va ee ruimtekromme: x = x(t), y = y(t), z = z(t). Deze geeft ee vectorfuctie = x_(t), die aa ee getal t (éédimesioale vector) ee vector g(t) toevoegt, l. 4 de vector OP als P het put va de kromme is. We wille u voor vectorfucties begrippe als cotiuiteit e differetieerbaarheid ivoere. Om dit te doe, make we gebruik v" het begrip legte 5 va ee vector a. Deze is i R igevoerd met behulp va het 'iwedige product (5,b) e wel door Fl =m. &,ze legte heeft de volgede eigeschappe 5 >c O e allee da = O, als g = 2, k5 = kllal, - a + b -,i al...+ :. Deze eigeschappe. -volge uit eigeschappe va het iwedige product. Voor de derde toe.e dit aa. We gaa uit va de ogelijkheid va.... Schwarz bib)* Hieruit volgt -- 4 (&,a) 4,5 lbl i let wel aat'ait oök goed is als (5.5) egatief is. Nu is. waaruit door worteltrekkig a + 2 \< lal + volgt (beide lede zij 2. O). Meetkudig is het Be bekede ogelijkheid va de zijde va ee driehoek. v Als a = (a,,..., a ), da volgt uit 5 = la < 5 voor j = l,...,: aj direct, dat j We zegge u dat twee vectore 5 e 5 weiig verschille als a - 0 als - i(%) Willekeur-ig klei is. Ee vectorfuctie O(x) oeme we cotiu i klei gemaakt ka worde door x_ voldoede dicht bij 5 te eme. Nauwkeuriger: bij iedere E > O bestaat ee 6 > O, zo dat voor alle ge- oorloofde vectore met & - 5 < b geldt g(x) - g(5) < E. Noeme we 5 - a = 2, da kue we dit ook zo formulere: voor die. h < 6 waarvoor a + h ee geoorloofde vector is, geldt i(a + 2) - ga) -< CT. het speciale geval, dat ;(E) ee gewoe fuctie f(x,,... x ) va veraderlijke is (dus fuctie va R i R,) komt de hier gegeve defiitie op hetzelfde eer als de i het eerste jaar gegeve defiitie,, die als volgt luidde (toe slechte voor twee veraderlijke geformuleerd):

8 V.3 f(x,,..., x ) is cotiu i (a,,..., a, als f(a, + h,,..., a + h) - f(a,,...,a) <'E te krijge is door h,,..., h klei geoeg te eme. Het verschil is slechts, dat toe gezegd werd, dat h,,..., h,, zij, terwijl u gezegd wordt dat voor de vector 5 = (h,,..., h h klei ia. Daw echter hl =Vh,' h, volgt uit 0 <6, direct dat h, <6,..., hl <6 e omgekeerd uit dat - 2 klei geldt - deze m fucties f, (5)...., fm(x) We kue ee vectorfuctie f($) weer i compoete splitse -- f(x) = (f,(x), f2(x),..., fm(xt); hete de compoetfucties va -- f(x). Ee lectorfuctie F(x) is da e slechts da cotiu i a als al haar compoetfucties i 5 cotiu zij. - Bewijs. Stel f(5) cotiu i g. Da is voor iedere E \\ $(& + h) - g5)l < E te krijge door hl klei geoeg te eme. Daar echter voor iedere j met 4 j \< m geldt fj(g + h) - f (all 4 i(2 + 0) - i(=)l, 3- geldt hetzelfde voor alle compoetfucties f (5). 3 Stel u omgekeerd, dat alle compoetfucties cotiu i 5 zij, d.w.z. bij iedere E > O e iedere j met j \< m ka me > O! <' krijge door &i voldoede klei te eme. Stel dat dit voor 0 < 6 3 het geval is. Als b de kleiste va de getalle 6,,...,bm is, is, voor - h < 6, ( ) voor alle j vervuld. Maar da is dus -- (%) is cotiu i S. Stellig Als A ee lieaire afbeeldig va R i Rm is, bestaat er ee positief getal M, zo dat Ax - 4 M - x voor alle i R,.

9 V.4 Bewijs: Laat gi,...,e. de atuurlijke basis ra R zij. Hiermee is be- - e doeld, dat e. = ~0,...,0,,0~...,0~ met ee op de j plaats e elders -J ulle. Voor 5 = (x,,..., x geldt da 5 = x x j = 3 Stelle we u M = EAe., da is - j = -3,< Mlxl - voor alle - x i R. Stellig Ee lieaire afbeeldig A va R i R m is overal cotiu. Bewijs: Laat M ee positieve costate zij, zo dat & 4 Mlxl voor alle - x i R. Neem u ee willekeurige a i R. Da geldt A(& + &) - A& = A(& + & - a) = & 4 Mlhl. E Dus voor & < geldt A(a + - A& <c, waaruit de cotiuiteit volgt. =. We hadde de cotiuiteit va A ook kue bewijze, door op compoete over te gaa. i afbeeldig A e ee vectorfuctie %(&) bestaat, zo dat ~(0) - = 2, o(&) cotiu is i 2 e (2) g(a + &) =ga, l&l e(&).

10 V.5 Ee vectorfuctie -- f(x), die differetieerbaar i6 ia a.. is cotiu i E. Bewijs: Uit (2) volgt lga + h) - g;)l = i& + lhl &) 6 A& + lol o(&). Uit AG = 0, g(0) = 9 e d uiteit va A e 2 voor & = 2 volgt direct dat zit kt te fs; pwr voldoed kleie &. We gaa u a, wat het V 06r de compoetfucties beteket, dat g(z) diyferetieerbaar is i 5. Stel dat = h- er i compoete uitgt~sohrere als volgt uitziet yi = E aij xj voor i =,...,=, j 5 e dat e,(x),..., e (5) de compoetfucties va ~ (5) zij. Da is m hieri is ei(2) = O e ei@).cotiv i 2. Dit beteket echter juist, dat de fuctie fi differetieerbaar is (ook i de si, waari i het eerste jaar differetieerbare fucties.va meer veraderlijke zij i- gevoerd)* de a zijd l. juist de partiële afgeleide va fi aar x ij Houd l.' alle'x vast op éé a, bv. 3 ; x variabel, x2 = a,,... $? = a *dus h, vakiabel, h,=... =-hu= O. : ' Da is h = h, '.e fi(al + hl,az,..., a ) - fi(al,as. f i (a' + h;,a,,...,a hl met 2 aar gelag h, > O of h, < O. h, + O, da vide we..,a, ) = ailh, + h,l ei(&), - fi(a,,%,.i.,a ) i '. = a i 2 eiik), Neemt me hie,rva de limiet voor '.. - 'Met de adere variabele gaat dit aaloog, dus = (y -- x =a DG matrix va de fuctioaaloperator heet fuctioaalmatrix: deze ziet er dus als volgt uit'

11 -- af2 af2 af ax, ox, ax \äq - ax2 afm... afm // ax Als m =, ka me va deze matrix de determiat vorme, die fuctioaaldetermiat, of determiat va Jacobi of Jacobiaa geoelu wordt. Voor deze determiat bestaat og de volgede otatie acf,,..., f ) ab,,...,. x ) De rije va de fuctioaalmatrix correspodere met de compoetfucties. Op grod va het voorafgaade s de volgede stellig duidelijk Ee vectorfuctie is da e alechts da differetieerbaar als al haar compoetfucties differetieerbaar zij. We moete i gedachte houde dat de fuctioaaloperator A va ee differetieerbare fuctie -- f(x) iet allee va de fuctie afhagt, maar ook va de plaats a, waar de differetieerbaarheid is beschouwd. Als de fuctie iet allee i 5, maar i ee heel gebied differetieerbaar is, da wordt de fuctioaaloperstor zelf weer afhakelijk va de plaats waar de differetiatie is uitgevoerd. Hetzelfde geldt atuurlijk voor de fuctioaalmatrix e evetueel de fuctioaaldetermiat. De elemete va de fuctioaalmatrix zij pa6tiële afgeleide; i het eerste jaar is al opgemerkt dat zulke pirtiële afgeleide zelf weer fucties va alle veraderlijke zij. - Vb. coordiate We beschouwe de trasformatieformules va overgag op poolx = r cos Q aïs vectorfuctie va (r.9) aar (x,y). y = r si 'p De fuctioaalmatrix is ('0' ' - si ' ], oe fuctioaaldetermiat si Q r cos 'p Ee speciaal geval is éé fuctie va veraderlijke (dus ee. afbeeldig va R i R,). De fuctioaalmatrix wordt ee matrix met éé rij e kolomme, dat is ee rijvector, die er als'volgt-uitziet af - (ax; ax, ax af,..., - af ) 9 e die di! gradiët va de fuctie f geoemd wordt. Notatie: grad f, of vf.

12 m.7 Ee ader speciaal geval is ee vectorfuctie x(t) va éé veraderlijke (afbeeldig va R, i R; parametervocrstellig va ee kromme). De fuctioaalmatrix is u ee matrix met rije e éé kolom, dat is ee kolomvector va de volgede gedaate dx, di6 ook wel met -geoteerd dt wordt. - Meetkudig geeft deze vector de richtig va de raaklij aa de kromme. mmers de vector x(t + h) - x(t) geeft de richtig va de koorde die de pute - x(t) e x(t - + h) verbidt. De vector j-( x(t + h) - - x(t)) heeft dx dezelfde richtig; de limiet hierva voor h -. O is z. - Vb.2 Schroeflij bepaald door de parametervoorstellig 3 x = a cos t y = a si t. Deze schroeflij ligt op de ciiider x2 + 9 = a' e z = bt heeft de spoed 2xb. De raaklij heeft de richtig dx = - a si t, ds. = a cos t, -" - b), die gelege is i het raakvlak dt dt aa de cilider. mmers dit raakvlak heeft (a cos t, a si t, O) als ormaal. p We gaa u a, wat de fuctioaaloperator va ee samegestelde fuctie is. Laat f(x) ee vectorfuctie zij va R i Rm, die differetieerbaar is i a met fuctioaaloperator A, dus -- f(a + - h) = -- f(a) + Ah + hl g,(h), waarbij e,(:) = 0 e e,(&) cotiu i 0. Noem f(a) = b. Laat g(r) ee vectorfuctie zij va Rm i R die differetieerbaar is i 0 P' met fuctioaaloperator B, dus g(0 + k) = g(b) + Bk o,(k), waarbij e,(g) = 2 e e,(&) da komter g(f(a cotiu i 2. Neem u k = - g(5)) h)) = g(:(&) +%(f(a f(a + & - g(5) e,(f(a + h) - i(g)) = gedefiieerd is: = g(f-(a)) + BAh - + e,(h), waarbij e,(&) + h) - :(a), als volgt Om aa te toe, dat g(f(x)) -- differetieerbaar is i a met fuctioaaloperator BA behoeve we slechts te bewijze, dat e,(ht - cotiu is i o. Om dit uit te voere bedeke we dat er ee positieve costate M is, zo dat Ah - \< Mlh - voor alle &. Nu geldt voor h f 2 :

13 v.a Stellig De samegestelde fuctie g(f(x)) va twee differetieerbare fucties &(r) e -- f(x) is differetieerbaar e haar fuctioaaloperator is het product va de fuctioaaloperatore va g e - f.e dus is haar fuctioaalmatrix het product va de fuctioaalmatrices va g e 0 (Kettigregel). deze stellig zij alle i het eerste jaar behadelde kettigregels voor afgeleide va de eerste orde samegevat. B.V. als z = z(x,y) e x = x(u,v), y = y(u,v) da geldt au av ax ay 9 Eveals vroeger kue we u ook differetiale ivoere. De differetiaal va ee vector 5 is ook ee vector. Als = ;(E). met fuctioaaloperator. A da defiiërb we de differetiaal dg door dz = A(d5). de We kue da ook symbolisch - = A schrijve. Ee quotiet va twee e differetiale is dus u ee lieaire afbeeldig. We krijge u de - firmule dz = dz dx. De kettigregel is dd als volgt i formule te brege: d- dz - de dz -=-- Bij het rekee met differetiale moete we er steeds dx dx - ds* goed op lette, wat oafhakelijke e wat afhakelijke veraderluke zij. Op grod va de productregel voor determiate, geldt,als alle betrokke vectore i ruimte met dezelfde dimesie ligge, dat de fuctioaaldetermiat va ee 8 megestelde fuctie het product is va de fuctioaaldetermiate va de samestellede fucties:,,..., y,) - a(y,,...,y) UX,,... x a(z,,..., a(z,,..., z ) a h - ah,,..., x Gaa we bij ee kromme = x(t) over op ee adere parameter s door 5 5 dt ds dt ds dt met ee scalaire factor d;; ver-e:gvuldigd e veradert dus iet va t = t(s), da is - = - - i d.w.z. de vector i de raakrichtig wordt

14 V. 9. richtig. Het is eetkudig ook plausibel, dat de richtig va de raaklij iet va de parameterkeuze afhagt. We'beschouwe og ees éé fuctie va veraderlijke f(g). Bij de bepalig va ee partiële afgeleide'zoals - af wordt allee x, gevarieerd ax,: e de overige variabele x2,...,x vestgehoude. Dit.komt er.'op ker dat'. we de variatie va beperke tot deyrichtig va de x,-as e zo 'ee fuctie va éé veraderlijke overhoude.' We kue dit echter ook voor 'adere richtige doe. Neem ee vector v e bes'chouw de rechte lij door 5 met richtig ; deze heeft ee paraüîetervoorstel.lig 5 = Als x =, is t de afstad'va 5 tot z. We beschouwe de fuctie f' u op deze lij; het gedrag wordt beschreve door g(t) = f(a + to),', 'hetgee éé fuctie va éé verader.ijke is.met als' fuctioaalmatrix ee matrix met éé rij e.&& kolom,'die dus uit éé elemet bestaat,.. +, to m et parameter t. dat juist de afgeleide is. Met behulp va de kettigregel toegepast op de samegestelde fuctie va fcx) e 5 + to, vide we - Als vl =, heet dit de richtigsafgeleide va f(x) i'de richtig 0. Nemewe de richtig va ee coördiaatas bv. = 7,O...., O), da krijge we de gewoe partiële afgeleide terug. De richtigsafgeleide i ee put hage u op grod va bovestaade formule op eevoudige wijze met de gradiët same. Meetkudig is de richtigsafgbleide i de richtig v de legte va de projectie va grad f op 0 met plus- of miteke, aar gelag de projectie i dezelfde.richtig of i de tegegestelde richtig va - v valt. mmers de hoeky tusse grad f e o wordt bepaald door cos 'p = (grad f, ) ]grad fllol Y We hebbe echter v = verodersteldr dus (grad f, 0) = grad f cos <p, hetgee iderdaad de legte va de projectie is, De projectie zelf kue we ook als volgt tot stad brege. Stel 5 = (gsad f, ) e ~ " - c = grad f - (grad f, oh, da is blijkbaar grad f = 5 + 5, 2 2 (5, 2) 2 (grad f, 0) - (grad f, ) = O (omdat v = ). Dus grad f is ee b i de richtig va o valt e dus de projectie va grad f op x geschreve als de som va twee oderlig loodrechte vectore, waarva de voorstelt. Teslotte is 2 = (grad f, 0 - De richtigsafgeleide is dus het grootst i de richtig va grad f e is ul i de richtige loodrecht op grad f. Hiermee hebbe we ee iterpretatie va de vector grad f gevode: hij geeft de richtig waari f het sterkst toeeemt. de richtige loodrecht op grad f is f i eerste peaderig costat.

15 V.0 de vectoraalyse kome we og terug op de gradiët. Hierop vooruitloped make we hier reeds eige opmerkige. Ee vectorfuctie wordt vaak iet geiterpreteerd als ee afbeeldig va ee vectorruimte, maar als ee vectorveld (dit ka allee als de dimesies va x e -- f(x) dezelfde zij). Late we het i de gewoe ruimte R, beschouwe e-laat ee vector- fuctie -- f(x) gegeve zij va R, i R,. Bij de ivoerig va vectore i het eerstejaarscollege was ee vector ee pijl uitgaade va ee vast put O (oorsprog). We behoeve da ook gee oderscheid te make tusse vectore e pute: het eidput va de pijl e de door de pijl voorgestelde vector kue we vrijelijk door elkaar gebruike. plaats va deze gebode vectore ka me echter ook vrije vectore beschouwe, waarva het begiput va de pijl iet i O behoeft te ligge: pijle die door evewijdige verschuivig uit elkaar kue otstaa stelle da dezelfde vector voor. We zegge da wel, dat we de vector gehecht hebbe aa het put, dat als begiput va de pijl is gekoze. Als we echter ee correspodetie tusse pute e vectore tot stad wille brege, kieze we bij ee put P eveals vroeger de vector od, die de positievector va P wordt geoemd. We zulle het cderscheid tusse ee put e zij positievector echter i de toekomst toch iet altijd make; we spreke wel va het put 5 als we eigelijk bedoele: het put met positievector a. We kere u terug tot de vectorfuctie -- f(x) i R,. De vector 5 beschouwe we als vroeger als positievector va ee put P. De beeldvector -- f(x) hechte we u echter aa P. Zo wordt aa ieder put P ee vector gehecht: het zo otstae beeld ooee we ee vectorveld. Deze vectorvelde zij zeer gebruikelijk i de fysica: electrisch veld, magetisch veld, gravitatieveld, selheidsveld i ee stromede vloeistof, ez. Het hechte va de beeldvector aa het put is trouwes ook gebruikelijk i het reeds behadelde geval va ee ruimtekromme x = x(t). De vector x wordt als ee positievector opgevat (put - - ZX va de kromme). De vector a echter, die de richtig va de raaklij dt i het put va de kromme aageeft, hechte we atuurlqk aa dat put. Ook de gradiët va ee fuctie f(x) vatte we op atuurlijke wijze op als ee vectorveld. De fuctie f(xt oemt me da wel ee scalarveld; aa elk put is ee getal toegevoegd, Fysische voorbeelde: dichtheid va massa of ladig, temperatuur. Als het vectorveld x(x) te schrijve is i de vorm x = grad 'p. waarbij <p(x) ee scalarveld is, da heet cp potetiaal va x (i de fysica oemt me meestal -cp ee potetiaal va ). Fiet ieder vectorveld heeft ee potetiaal: i de vectoraalyse zulle ':Je voorwaarde voor afleide, opdat v ee potetiaal heeft. Als dat lukt, vereevoudigt dit de beschrijvig vä, Wat ee scalaire fuctie is eevoudiger da ee vectorfuctie. ee 3lectrisch veld va ee putladig i de oorsprog. De veldsterkte i ee put P is gericht lags de voerstraal OP e is omgekeerd everedig met het kwadraat va de afstad. De richtig va de veldsterkte is dus - x; stelle we deze dus Ax, da moet hxl =hlx everedig zij met a r;- t dus = met costate a. De veldsterkte E is dus E = fi 5. a. x Deze heeft ee potetiaal. l. cp = - Noeme we, zoals gebruikelijk ar a W2 X e aaloog x 2 r (voerstraal), da is = axd v 3 + z = ; ùit veld heeft dus ee potetiaal: zowel potetiaal als veldsterkte zij.,iet gedefiieerd i 6.

16 V. 5.2 Stellig va het gemiddelde. Formule va Taylor. De stellig va het gemiddelde voor differetieerbare fucties bezit ook ee aalogo voor fucties va meer veraderlijke. Bij ee fuctie f(x) va éé veraderlijke hadde we f(b) - f(a) = fl(<), b-a waarbij f erges tusse a e b ligt. Nu gaa we uit va éé fuctie f(x) va veraderlijke (R i R,) e tusse de getalle beschouwe f(b) - f(a). plaats va het getal 5 a e b zal u kome ee put op het verbidede lijstuk tusse a e b. We eme daarom de rechte lij tusse de pute a e 5, die als parametervoorfitellig heeft = a + t(b - 5) met parameter t. De waarde va t tusse O e geve de pute va het lijstuk tusse a e b. Vulle we de parametervoorstellig i de fuctie i, da krijge we ee > fuctie g(t) = f(2 + t(b.- a)). Met behulp va de stellig va het, gemiddelde toegepast op de fuctie g(t) krijge we g() - g(0) = g'(8) met 0 tusse O e. Nu is g() = f(b), g(0) = f(a). - Verder vide we waarbij de partiële 'af i - axj a + t(b - a) moete worde geome; verder is - - a = (a, l...a ) e b = (b,,...,b ). - waarbij ee put is op het lijstuk dat a e b verbidt. Dit is de stellig va het gemiddelde voor fucties va meer da éé veraderlijke. Voor de geldigheid va de afleidig va deze stellig moet worde aageome dat alle pute va het lijstuk tusse 5 e b geoorloofd zij voor de differetieerbare fuctie f(5). Me zou zich kue afvrage of er ook ee soortgelijke stellig bestaat voor ee algemee vectorfuctie f(x). Natuurlijk ka me bovestaade stellig op elke compoetfuctie afzoderlijk toepasse, maar de hierbij optredede 5 zulle voor de verschillede compoetfucties i het algemee verschilled zij. Het volgede voorbeeld illustreert dat. - Vb. Neem de fuctie (u,v) = f(x,y) bepaald door X v u = e X cos si y y]* -- Neem a = (0.0, 2 = (0,2x), da is f(b) = f(a> = (,O). Zou ; voor beide compoetfucties bovestaade stellig met dezelfde (5,~)) gelde, da ZOU xe si q = O f 2e cos q = O

17 V.2 Daar e' i O, zij deze twee betrekkige met elkaar i strijd, zelfs als me voor (<,q) ee ruimere keuze toelate da allee het lijstuk tusse a e 2. Met dezelfde methode kue we u ook ee aalogo va de formule va Taylor afleide. We ee weer éé fuctie f(x) va veraderlijke. die differetieerbaar is. Deze heeft da partiële afgeltide, die meer fucties va dezelfde veraderlijke zij. Als deze alle weer differetieerbaar zij, oeme we f(x) tweemaal differetieerbaar. Door herhalig kome we tot het begrip m maal differetieerbare fuctie. We beschouwe het lijstuk va a aar 5 + h e voere de hulpfuctie g(t) = f(2 + th) i; ook deze is m maal differetieerbaar. Daar g(t) ee fuctie va éé veraderlijke is, kue we daarvoor de formule va Taylor opschrijve: met T tusse O e t. We ome u speciaal t = : met 0 tusse O e. We. moete de succesieve afgeleide va g u i f uitdrukke. Volges de kettigregel is Om dit ogmaals aar t te differetiëre bedeke we dat de h iet va 5 t afhage e dat de partiële afgeleide weer met de kettigregel kue worde behadeld. Dit geeft het volgede resultaat (de partiële afgeleide zij i - a + t&.geome):....,. aa atm = jl=l E h j E 2 a mf j = h E h j ax ar...ax j m = Uiteraard correspodeert t = O met het eme va partiële afgeleide va f i 5. We kue het resultaat wat korter opschrijve. Differetiëre aar t komt eer op het uitvoere op f va de symbolische operator a. Door herhalig vide we jí jm

18 ~ A V.3 Dit is zo op te vatte dat bij uitwerkig va de me macht ee product v.m m factore va de vorm - a opgevat wordt als ee partiële afgeleide ax. 3 va de E? orde, die toegepast wordt op f. Zo vide we door ivùllig i de bovestaade formule voor g: hetgee de algeee formule va Taylor is voor ee fuctie va veraderlijke. De 2 +e& i de fiat.de term is gelege op het lijstuk tusse g e g + &. Het geval v a twee veraderlijke zulle we og wat ader uitwerke. We ee da = (x,y), 2 = (a,b) e h = (h,k). De uitdrukkig die tot ee macht moet worde verheve is u ee tweeterm, waarop de biomiaalformule ka worde toegepast: Dit geeft os voor de laagste orde terme (afgeleide i (a,b) geome) : af ay f(a + h, b + k) = f(a,b) + h + k (h2 e + 2hk - + k 2 axl ax as i=) + ay De laatste term Rm i de formule va Taylor heeft het karakter va ee restterm. Als de fuctie willekeurig vaak differetieerbaar is e als geldt dat lim m- Rm = O, da ka de formule va Taylor vervage worde door de reeks va Taylor: 4 Om vast te stelle.dat deze reeksotwikkelig geldig is zij er i begisel twee mogelijkhede. De eerste is om ebruik te make va de hierbove i de formule va Taylor gegeve &ate va de restterm Rm:

19 9V.4 Ke moet da bewijze dat dit aar ul gaat voor m + m. Ee tweede methode is, voor de hulpfuctie g(t), die hierbove bij de afleidig va de formule va Taylor is gebruik% de geldigheid vm de va MacLauri te bewijze. Door da weer op f terug te gaa krijgt me da direct de reeksvoorstellig va f. - Vb.2 Otwikkel f(x,y) = ex+ i (0,O). Alle partiële afgeleide va alle orde zij weer ex+ e dus i (0,O) gelijk aa. De reeks va Taylor wordt dus Deze hadde we wel makkelijker kue krijge. Stelle we l. x + y = z.i e otwikkele we ez, da vide we e m m=o m. m-o m! j =o OD af m.3 Otwikkel f(x,y) = si (xey) i (o,o). NU is = e cos (Xe ), - m 2 6!,i/ Dus i (0.0) zij deze,0,0,,0. Dus si (XeY) = x + xy Reket me ook og de derde orde afgeleide uit, da blijke deze i, - a f - O, zodat als de a f a f (0.0) te zij - = -, - =. Q ax a terme va de derde graad ook worde opgeome, de otwikkelig luidt: si(xey) = x + XY - i; x3 + - xy

20 6.3 Parametervoorstellige e impliciete fucties. Afhakelijkheid. i - A. leidig. Omkeerstellig. We hebbe tot u toe vaak te make gehad met fucties, die impliciet ware gegeve door ee vergelijkig, bv. f(x,y) = O i plaats va de expliciete vorm y = y(x). Evezo bij stelsels vergelijkige hebbe we os sommige der veraderlijke som als fuctie der overige gedacht: bv. f(x,y,z,u) = O,,g(x,y,z.u) = O dachte we os opgelost tot z = z(x,y), u = u(x,y). Bovedie, als de gegeve fucties differetieerbaar ware, ame we aa, dat dit met de opgeloste fucties ook het geval was. Oder deze veroderstellig viele de afgeleide da makkilijk met de kettigregel te bepale. Bijvoorbeeld i het eerste geval: vul de expliciete vorm y = y(x) i de vergelijkig i, da komt er f(x,y(x)) = O idetiek i X. Differetiatie aar x Reeft af af = O, waaruit de gezochte is op te losse. ax ar dx Hieri zitte echter eige obeweze veroderstellige opgeslote. We begie met het eevoudigste geval f(x,y) = O, dus bv. xz si (x+y) + yex = O. Kue we dit oplosse tot y = y(x)? Ee fuctie va x is ee voorschrift, dat aa zekere waarde va x ee fuctiewaarde toevoegt. Kieze we ee vaste waarde voor x e vulle we die i f(x,y) = O i, da blijft er ee vergelijkig voor y over. Er behoeft echter gee ekele waarde va y te zij, die aa deze vergel%ig voldoet: bv. als de vergelijkig + y* = O of e' = O is. Dit beteket da blijkbaar, dat de gekoze waarde va x gee geoorloofde waarde wao. Als de waarde va x zo gekoze is, dat er wel oplossige zij, ka er beet meer da éé oplossig zij; er kue er zelfs oeidig veel zij, bv. als de vergelijkig si y = O wordt. Voor iedere aldu geoorloofde x zou me ee zo' waarde y kue kieze e zo tot ee fuctie y(x) kome, die voldoet aa f(x,y(x)) = O idetiek voor alle (geoorloofde) X. Deze ee fuctie geeft da echter og iet alles wat we wese, l. alle pare (x,y) waarvoor f(x,y) = O. Bovedie wordt het bij deze beschouwig zeer twijfelachtig, of cotiuiteit of differetieerbaarheid va f(x,y) de overeekomstige eigeschappe bij.y(x) iduceert. B Op grod va meetkudige overwegige koestere we hieromtret toch wel zekere verwachtige. Als we ee grafiek make va f(x,y) = O, waarbij f(x,y) cotiu is, verwachte we als meetkudig beeld ee kromme K. Als meetkudig beeld va ee cotiue expliciete fuctie y = y(x) verwachte we ook ee kromme, maar deze laatste heeft ee bijzodere eigeschap. Omdat bij iedere waarde va x hoogstes éé waarde va y behoort, sijdt ee rechte lij evewijdig met de y-as de kromme i hoogstes éé put. Bij K behoeft dat iet het geval te zij (eem br. x2 + y' = ). We hebbe echter de idruk, dat het wel zal lukke K i ee aatal takke te splitse, zo dat elke tak afzoderlijk grafiek is va ee expliciete fuctie e bovedie door elk put va K mistes éé tak gaat. We zulle deze kwestie allee beechouwe oder de veroderstellig dat f(x,y) differetieerbaar is met cotiue partiële afgeleide. Soortgelijke beschouwige ka me houde voor meer fucties va meer veraderlijke. We zulle u begie met ee geval, dat op het eerste gezicht ee speciaal geval schijt te zij, maar waaruit achteraf toch alle adere gevalle zulle blijke te volge.

21 V.6! We gaa uit va fucties va veraderlijke: x , of i vectorotatie x = g(x). Y, = f,(x,,..., Y,... = f(xl,x ) J We vrage os af of het mogelijk is hieruit de x,,...,~ als fucties va y,,...,y op te lgsse. M.a.w. we vrage os af, of er bij de fuctie f(x) ee fuctie ~(x) bestaat, zo dat f(g(x)) = x voor alle ;E geldt e g(g(x)) = x voor alle 5 geldt. Dit probleem is precies het probleem va het videva ee iverse fuctie, zoals dat ook al bij fucties va éé veraderlijke is'beschouwd e i het vectorgeval al bij lieaire afbeeldige. We zulle os beperke tot het geval, dat de gegeve fuctie e de oplossigsfuctie beide differetieerbaar zij. Als -- f(x) u i a fuctioaaloperator A heeft e g ( ~ i ) = i(%) fuctioaaloperator BT da volgt uit i(s(z)) = x met behulp va de kettigregel dat AB = e uit s(f(x)) = 5 dat BA =-:., waari de idetieke afbeeldig va R is. Hieruit volgt, dat B = A-' e i het bijzoder dus, dat A regulier is. Hieraa zie we dus dat i ieder geval de fuctioaaloperator regulier moet zij, opdat het probleem ee oplossig toe ka late. Ee adere formulerig va deze zelfde voorwaarde is, dat de fuctioaaldetermiat a(f,,..., f ) ak,,... "j # O. x.. 'j 7 ; 0,! :j Deze voorwaarde past goed i oze beschouwigswijze, die ee differetieerbare fuctie opvat als ee fuctie, die bij beaderig lieair is. Voor deze lieaire beaderig wordt dus de mogelijkheid vau iversevormig als voorwaarde gesteld. Bij ké fuctie f(x) va éé veraderlijke, d.w.z. het geval =, komr we met de voorwaarde ook uit. De voorwaarje is da, dat f'(x) f O voor alle X. Dit is voldoede om te garadere dat f(x) ee iverse fuctie bezit, die ook differetieerbaar is. We bewijze dat iet: we merke slechrr op dat uib f'(x) # O voor alle x volgt, dat f(x) mootoo is. X Voorbeelde va iverse fucties: e si x voor - -K < x < -K e arcsi y. e log y, x voor x > O e $, Ze ader geval, dat we al kee, is dat va ee lieaire afbeeldig A va R,i R. De fuctioaalmatrix va deze vectorfuctie is juist het gee we vroeger de matrix va A hebbe geoemd. Nu is A da e slechts da iverteerbaar als de determiat va deze matrix, dat is de fuctioaaldetermiat # O is. Bij de fucties va meer da éé veraderlijke, die iet lieair zij, kome we iet uit met bovestaade voorwaarde. We beschouwe de fuctie f(x,y) va voorbeeld i paragraaf 2. De fucdio.aamatrix hierva is - X e cos -e si y) 2x X ; de fuctioaaldetermiat is (e' si y e cos y dus e,

22 '?. 7 hetgee # O is voor alle (x,y) i R2. Deze fuctie heeft echter gee iverse fuctie, wat ~(û,û) = (,0) = f(0,2). Voor ee fuctie f(.x), die ee iverse fuctie a(~) heeft, geldt echter dat uit l(a) = f7k) volgt 5 = d. mmers we hebbe da a = g(f(=)) = g(f(b)) = b. Passe we dit toe i os voorbeeld met a = (0,O) e b = (0,2)~ da stuite we op ee tegespraak. Uit dit voorbeeld bli?kt, dat ee vectorfuctie, waarva de fuctioaaloperator oveal regulier is toch wel i twee verschillede pute dezelfde beelìvector ka hebbe. Dit komt, omdat bet feit dat i ee put de fuctioaaloperator regulier is, allee' iets zegt over de fuctie zelf i de buurt va E, omdat allee daar de beaderig met ee lieaire afbeeldig redelijk goed is. We zulle os bij de vraag aar de mogelijkheid va de vormig va ee iverse tot pute i de buurt va 5 moete beperke. De hier beschouwde situatie is aaloog met het hierbove geschetste geval va de kromme, bepaald door f(x,y) = O. Hieruit is iet odubbelziig éé fuctie y(x) op te losse, omdat het best mogelijk is. dat me bij doorlope va de kromme terugkeert tot ee waarde va x, die me al eerder gehad heeft, echter met ee adere y. Beperkt me zich echter tot ee klei stukje va de kromme, da ligt de oplosbaarheid tot y(x), waarvoor overiges og wel adere voorwaarde moete worde gesteld, meer i de lij der verwachtige. Om dit formeel makkelijk te kue weergeve defiiëre we voor r > O e ee vector der om evi va 5 als de verzamelig va die vectore - x waarvoor geldt- r. R,, resp. R5 is dit het biegebied va de cirkel (resp. bol) met middelput 5 e straal r. Als we de straal va de r-omgevig i het midde wille late, spreke we ook wel va ee omgevig va g. Als we u behalve de differetieerbaarheid e: de regulariteit va de fuctioaaloperator ook og eise, dat de partiele afgeleide cotiu zij, kue we voor omgevige tot het bestaa va de iverse fuctie besluite. We drukke dit uit i de volgede stellig. Stellig Als f(x) ee differetieerbare vectorfuctte va R i R is mot cotiuo partiële afgeleide va de eerste orde, als alle vectore va ee omgevig va ggeoorloofd z uvoor 2 e als de fuctioaaloperator A va g(x) i 5 reaulier is, da is er ee differetieerbare vectorfuctie &(z) va R i R, waarvoor alle vectore z i ee omgevig va b = i(%) geoorloofd zij, dusdaig dat i(&(r)) = z voor i ee zekere omgevig va b e &(;(E)) = 5 voor 5 i ee zekere omgevig va 5. De fuctioaaloperator va g(z) i is A-' (omkeerstellig). Bet vrij moeilijke bewijs va deze stellig late we achterwege. We zulle de ihoud va de stellig u vertale i compoete; gemakshalve zulle we os daarbij tot = 2 beperke. (tegeve zij de fucties fi'xi'x2', die differetieerbaar zij met cotiue partiële afgeleifz Xl,x2 ) de i ee omgevig va (a,a ) e waarva de fuctioaaldetermiat 2

23 ~~ V. 8 a(fl,f2) # O is i (.a,a2),. Da bestaa er fuccties 3-q-q gl (y,y2),g2 (yl,y2), die differetieerbaar zij i ee omgevig va (b,,b2), waarbij b = fl(al,a2) b2 = f 2 (alla2) 3, e r dat fi kl(yl,y2) g2(yl,y2)) = Y f2 hl (Y, >Y2 *E2(Y $Y2 ) = Y2 voor alle (y, ) i ee zekere omgevig va (b,b ) e * y2 2 g (fl (xl,x2,f2(xl,x2)) = x g2 Cf, CXl.x2,fa X,,x 2 )) = x a voor alle (x,x i ee zekere omgevig va (a,a Deze laatste bewerige zij korter, maar iets mider precies zo uit te drukke: x, = fl(xl,x2) 3 x i = a(y Y2) e Y, = f 2 (X,X2) xs volge uit elkaar (of zoals me ook wel zegt: zij equivalet) voor 5 dicht bij a e 2 dicht bij b. Uit het feit dat de fuctioaaloperator va de iverse is va die va i volgt direct, dat de partiële afgeleide va de eerste orde va g ook cotiu zij. - Vb. Als voorbeeld beschouwe we ogmaals de fuctie f(x,y) bepaald door cosyl X. Hoewel de fuctie als geheel gee iverse bezit, is X u y = e si y dat i ee omgevig va iedere (a,b) wel het geval, daar de fuctioaal- determiat e2 steeds f O is. De fuctioaalmatrix va de iverse fuctie vide we door ivertere va de fuctioaalmatrix va de gegeve fuctie. Dit geeft: e-x cos y e-x si y) -X, dus - ax - e -X cos y, ax = e -X si Y, au au = -emx si y, av = e-x cos y. - Vb.2 Neem de formules voor overgag op poolcoördiate (x,y) = g(r,cp), x = r cos cp cos Q - r si Q y = r si Q. fictioaaimatrix (si rp r cos cp ), fuctioaaî- determiat = r. ee omgevig va ee (r,cp) met r # O, is dit omkeerbaar tot (r,cp) = g(x,y) met fuctioaalmatrix

24 v.9 / cos cp si <e L -- a<p - as r iet opgaat, Dat de omkeerbaarheid i de omgevig va ee put (0.q) is imeetkudig duidelijk. We beschouwe u het geval, dat het aatal fucties iet gelijk is aa het aatal veraderlijke; dus m fucties va veraderlijke f,(xl,..., x ),...,fm(xl,...,x ). We eme aa, dat deze fucties diffe retieerbaar zij met cotiue partiële afgeleide va de eerste orde i ee omgevig va 5 = (a,,..., a. De fuctioaalmatrix is ee matrix met m rije e kolomme. Deze heeft i 5 ee of adere rag r, waarvoor geldt r S m, r. We behadele u achtereevolges de gevalle r = m e r < m. - B. Raa = aatal fucties. We begie met het geval r = m. De fuctioaalmatrix heeft dus ee oderdetermiat met m rije e kolomme, die i a iet ul is. Door evetueel de veraderlijke aders te ummere kue we bereike dat de oderdetermiat gevormd met de eerste m kolomme # O is. Dat is de fuctioadìdetermiat va de fucties f,..., f opgevat als fucties allee m va x,..., x m' a(fl,..., f ) m a h,..., x ) m #O* / Deze determiat is echter ee cotiue fuctie va (x,..., x p..w<re 7- &A 7. dus iet allee # O i 5, maar ook i ee (voldoed kleiel omgevig va - a. We blijve i die omgevig e houde de veraderlijke xm+,,,...x,..., vast. &r blijve da m veraderlidke over; op deze kue we de omkeerstellig toepasse. Als y, = f d (x i,..., x),...,y, = fm'xi x ), da vide we x,..., x als fucties va yl,...,y, bij vaste x m m+,..., x. Doe we het u voor verschillede stelsels waarde va X~+~,...,X, da vide als fucties va is het resultaat, dat we x,..., x m,...,ym, xm+.,,..., x. Het adeel va deze methode is, dat we iet we- Y te hoe de x,..., x va x,..., x afhage; we kue iets zegge m m+ over differetieerbaarheid of partiële afgeleide. Beschouw = 'Os h"+"). We kue hier als bijkomstige parameter opvatte. y = r si ( c p - ~ ) 3 We krijge da (x,y) als fuctie va (r,9); daarop kue we de omkeerstellig toepasse. Make we achteraf h variabel da hagt a omkerig (r,cp) behalve va (x,y) ook og va A af, maar hoe blijft op grod va de omkeerstellig duister. e

25 ïv. 20 Door ee kustgreep, die bestaat uit het ivoere va ee aatal hulpfucties e het toepasse va de omeerstellig op fucties met VeraderliJke, ka de afhakelijkheid va xm+,,,..., x worde oderzocht. Ne doe dit allee voor m = 2, = 3. We vulle het stelsel tot 3 fucties aa als volgt: fuctioaalmatrix der 3 fucties luidt: (---) l \o o /. ---, de fuctioaaldetermiat is,* acf,i' ) ; hierbij is a # O verodersteld. De a hl,x2 ) a Cf,f ) a Volges de omkeerstellig zij er differetieerbare fucties +,,JZ,G3 zo dat () equivalet is me+ = (Yi,Y2,Y3) +2 (y,y2,y3 - lb3 (Y iy2 *Y3 voor (xi,xa,x3 ) dicht bij (ai,a 2,a3) e (y,y,y ) dicht bij (b,b,a ), waari bi = f, (ai,a2,a3) b = f2(al,a2,as) Daar y = x geldt dus ook dat 3 # O. oder dezelfde omstadighede equivalet zij. Voor willekeurige m e vidt me op aaloge wijze, dat. x x, = 9, (Y,,.e..Ym, xm+, a.,x e y, f,(x,,...,.... x = Qm(y,,...,ym, x...,x ym fm(x,, x ) m m+l equivalet zij voor (x,... x ) dicht bij (a... a ) e (Y,... Y,) dicht bij (b,... b, waari. b, f,(a,,... a.... bm fm(a,,...,a differetieerbaar, Bovedie zij $,,..,$ Xm+,,""= m ook aar de veraderlijke

26 V.2 We vrage os u af, hoe de partiële afgeleide va de te vide. Voor de veraderlijke y,,..., y ka me deze uit m m de omkeerstellig hale. Er is echter ee adere methode, die ook voor de overige veraderlijke werkt e die bestaat i het substituere va de fucties ) i de fucties f (of omgekeerd) e het *oepasse va de kettigregel op de aldus verkrege idetieke betrekkige. Om dit toe te lichte volstaa we met het allereevoudigste voorbeeld: af y = f(x,, x,), dus m =', = 2. Stel f differetieerbaar e - # O ax i (al, a2); da geldt x, = $(y, x2), dus y = f()(y, x), x,) e x, = +(f(x,, xz), x,), alles voor (x,, x,) i ee omgevig va (a,, a2). De eerste va deze twee betrekkige levert door differetiatie aar y e aar x, met behulp va de kettigregel De eerste va deze twee uitkomste is va ouds beked, als we x2 als ee bijkomstige parameter opvatte (éé fuctie va éé veraderlijke). het algemee geval gaat het aaloog, zij het dat er da voor het bepale va de partiële afgeleide stelsels lieaire vergelijkige moete worde opgelost. Neme we als voorbeeld de fucties va voorbeeld 3, da komt er voor de afgeleide aar h *- ar Hieruit volgt ah = O, ah -. Dit is iet verwoderlijk, daar me klaar- blijkelijk r e cp-h als fucties va x e y ka oplosse. - C. Rag < aatal fucties. Reguliere pute. Afhakelijkheid. Ne beschouwe u het geval r < m. dat geval zulle we os echter og ee beperkig oplegge. 'Ne eme atuurlijk weer aa, dat de fucties differetieerbaar zij met cotiue partiële afgeleide va de eerste orde i ee omgevig va.&. Dat de rag va de fuctioaalmatrix i 2 gelijk aa r is beteket, dat er ee oderdettrmiat met r rije e kolomme bestaat, die # O is e dat alle oderdetermiate met meer rije e kolomme = O zij. Gaa we u de fuctioaalmatrix i ee omgevig va 5 bekijke, da blijft de oderdetermiat die i ogelijk aa ul was, wel ogelijk aa ul, als we de omgevig maar klei geoeg make (op grod va de cotiuiteit), maar de oderdetermiate die gelijk aa ul zij behoeve dat iet te blijve. Dit heeft tot gevolg, dat de rag va de fuctioaalmatrix i de buurt va 2 iet kleier maar wel groter ka zij da i a zelf. Als u de rag costat gelijk aa r blijft oeme we 2 ee regulie? put voor het stelsel fucties, e aders ee sigulier put. Dit leidt tot de volgede defiitie:

27 V.22 Als f(&) ee differetieerbare vectorfuctie va R i Rm is met cotiue partiele afgeleide va de eerste orde, als alle vectore va ee omgevig va geoorloofd zij voor f e als er ee omgevig va 5 bestaat, zo dat i alle 5 va die omgevig de fuctioaaloperator va f dezelfde rag r heeft, da heet ee regulier put va de rag r voor de fuctie f(&). Als 5 iet regulier is da heet 5 sigulier. Als voorbeeld eme we de fucties va voorbeeld 2. de pute (r,q?) met r f O is de fuctioaaldetermiat # O; deze pute zij dus regulier omdat ee put (r,cp) met r f O zeker ee omgevig heeft waar r f O. de pute met r = O is de rag =. Daar iedere omgevig va ee put (0,~) pute bevat met r f O, zij deze pute sigulier. Ee og eevoudiger voorbeeld ie de fuctie f(x,y) = x'- y' met fuctioaalmatrix (3xz, -2y); deze heeft overal rag, behalve i (0.0) waar de rag O is. Het put (0,O) is ee sigulier put. Alle adere pute zij regulier. - vb.4 Laat (u,v) = i(x,y) voor aiie x,y) met x > O gegeve zij door - -). De fuctioaalmatrix is u = ~ O R x + si ~ì si y v = x e cos y Alle pute (x,y) met x > O zij u regulier va rag. Uit dit voorbeeld blijkt dat ee regulier put best ee rag ka hehhe die lager is da het maximum dat door de afmetige va de fuctioaalmtrix wordt voorgeschreve. Me zou zich kue afvrage, waarom de oderscheidig va reguliere e siguliere pute i het geval r = m gee rol heeft gespeeld. Dit komt, omdat het aatal rije va de fuctioaalmatrix het da omogelijk maakt, dat de rag i ee omgevig va 5 groter wordt, da hij i is, zodat,cotiutteit der partiële afgeleide aageome, de rag automatisch i ee omgevig vag costat is, e dus a ee regulier put is. ets aaloogs krijgt me trouwes als r = door de kolomme va de fuctioaalmatrix te beschouwe. We kere terug tot het geval va m fucties va veraderlijke e eme aa, dat ee regulier put va rag r is voor deze fucties, terwijl r e m. Gemakshalve eme we m = = 2, r =, dus twee fucties f (x,x ), f (x,x. Omdat de rag = is, is éé der partiele <. afgeleide # O i a, bijv. af 2 # O. Stelle we u da kue we uit de eerste regel xi oplosse als fuctie va y, e x2: x = +(yl,x2). Substituere we dit i de tweede regel, da vide we = fz(~(yl,x2),x2). ive gaa dit aar x partieel differetiëre, ge- Y2 2 bruik aked va het vroeger gevode resultaat dat

28 af - a XZ = - - ; deze partiële afgeleide is da af ax2 ax af a+ af2-2-+-= af, af, afl af2 a(fl,f2) ax ax, ax2 2 ax, --..A- - = o, ax ax ax afl - afl ax axi omdat r =. Hieruit volgt, dat de fuctie i het geheel iet va x afhagt. Xr bestaat dus ee differetieerbare fuctie O, zodat uit f2) volgt, dat y, = O(yl). Aders gezegd: i 'i (3) f, (Xi,x2 ) = O(f&X,x2 )) voor alle (x,,x2) dicht bij (al,a2). Dit houdt i, dat de waarde va f2(x, x,) allee afhagt va de waarde va f,(x,, x,) e iet va het put (x,, x2)* waar deze laatste waarde wordt aageome. Dus als f, i twee pute dezelfde waarde aaeemt, eemt ook f, i die pute dezelfde waarde aa (evetueel verschilled va de waarde va f,). De i (3) beschreve situatie brege we oder woorde door te zegge, dat de fuctie f, afhakelijk is va f,. Defiitie. Ee fuctie f heet afhakelijk va r fucties fl,..., f r (alle fuctjes va veqaderlijke) als er ee fuctie u va r veraderlijke bestaat, zo dat f(x, (...) x = a(i,(x,,..., x,..., fr(xl,..., x )) Aaloog met het bovestaade geldt u algemee, dat als 5 ee regulier put va rag r is voor ee stelsel va m fucties va veraderlijke, er r oder die fuctier zij waarva elk va de overige m-r fucties afhakelijk is, althas i ee omgevip: va %. Uiteraard zij deze r fucties zo gekoze, dat de ermee correspoderede r rije va de fuctioaalmatrix oafhakelijk zij.

29 V.24 - Het is duidelijk, dat - afi = a zo dat de fuctioaalmatrix eevoudig 0x4 ij' ii de coëfficiëteyatrix is. Als deze rag r heeft, e bv. a(f,,..., f r a (x,,... f O, da zij iderdaad f,..., f elk fucties va,x r+l m r' f,,..., f e i dit speciale geval zij deze fucties zelfs lieair (i r het algemee iet homogee). derdaad, op grod va de theorie va de lieaire vergelijkige, ka me de homogee dele (dus zoder de b's) va fr+l,...,fm schrijve als lieaire combiatie va de homogee dele va f,,..., f, Door og ee costate bij het resultaat op te telle ka r me zorge, dat het ook a toevoegig va de b's uitkomt. We gaa de gevode resultate u toepasse op parametervoorstellige e impliciete fucties. $ - D. Parametervoorstellie. Ee kromme i het platte vlak of i de ruimte ka worde bepaald met ee parametervoorstellig met éé parameter t. Voorbeeld: x = cos t y = si t geeft ee parametervoorstellig va de cirkel x' + y' =. ) De expliciete voorstellig va ee kromme: y = f(x) ka echter o.ok als ee parametervoorstellig worde opgevat met x als parameter: x = t y = f(t). Ook oppervlakke late ee parametervoorstellig toe, u echter met twee parameters. Als voorbeeld geve we de volgede parametervoorstellig va de eeheidsbol met parameters e 'p: z = COS e J Ook hier is de expliciete voorstellig z = f(x,y) op te vatte als ee parametervoorstellig: i,, i, 'i,$! > 4! We kue u echter probere omgekeerd ee parametervoorstellig weer door ee expliciete voorstellig te vervage. We gaa daarbij uit va ee parametervoorstellig i R met k parameters. Gemakshalve begie we met = 3, k = 2: We eme aa dat (c,c2) ee regulier put va rag r is voor de fucties <p,<p,(pj. ie steiie 2.

30 V. 25 i " 'i Gemakshalve ileme we r = e - # O i (cl,c2). dr is da ee dii- feretieerbare fuctie 4, zo dat x i =q,(ti,t2) e t, = +(xi,t2) equivalet zij voor (t,t2) dicht bij (c,c2) e xi dicht bij al. dat r = zij er differ'etieerbare fucties u2 e u zo dat 3 'P2(tl,t2) = u2(qi(tl,t2)) 'P3(t,t2) = us(q,(.t,t2)) 3 geldt voor (t,t ) dicht bij (ci,cz). Hieruit volgt weer, dat de collec- 2 tie der pute (xl,x2,x ) i ee omgevig va (al,a2,aa) die door de 3 parametervoorstellig (4) met (t,t ) i ee omgevig va (cl,c2) worde ' 2 voorgesteld, dezelfde is als de collectie der pute ~x,,x2,xa) i ee omgevig va (ai.a2,aj), die voldoe aa x = UZ(Xl) 3. 2 x = u (xl) a 3 Hiermee is de parametervoorstellig vervage door ee expliciete voorstellig, die 3 - = 2 der veraderlijke i de adere uitdrukt.,. Op geheel aaloge wi;jze behadelt me het geval va fucties met k parameters e rag r. Dit leidt tot ee expliciete voorstellig, die - r veraderlijke uitdrukt i de overige r. Dit wordt uitgedrukt i de volgede stellig: Stellig: Als (c...,c ee regulier put va rag r is voor de fuci' k ties mi,...,q, e als a = q,(ci,..., c ) a(cp,...,vr)... # a. i (ci,..., a i k = q(c,..., c ) k ],e acti,..., tr)... tk) i ee omgevig va (c,,..., c ) Om- ck), da bestaa er differetieerbare fucties Ur+.,,..., 0 zo dat voor ít i' x = cp l,..., t,) X = (x,..., x ) rrl r+l i... e... x = v(t.:, tk) X = u (x,...,x dezelfde (x,..., x ) i ee omgevig va (a..., a ) beschrij ' ve (stellig over *iarametervoorstellie). '. r.)' Het meest gebruikelijke geval is, dat r = k; da is, zoals vroeger al opgemerkt, de eis va regulariteit automatisch vervuld, cotiuyteit der partiële afgeleide aageome. Daar ee expliciete voorstellig als., 5

31 V. 26 parametervoorstellig is op te vatte, ka i het geval dat r c k de gegeve parametervoorstellig door ee adere met r parameters worde vervage althas i ee omgevig va ee regulier put. De stellig leert os, dat ee parametervoorstellig equivalet is met ee expliciete voorstellig, althas locaal, d.w.z. i ee omgevig va ee put. Uiteraard geldt dit slechts oder de gemaakte veroderstellige over differetieerbaarheid e rag va de fuctioaalmatrix. - Z. mpliciete fuctiesi We gaa u impliciete fucties beschouwe, die gegeve zij door m vergelijkige i veraderlijke: fl(x,...,x = o... f (x,...,x m i ) = o - i - Gemakshalve eme we m =' 2, = 3. de eme aa dat 5 = (a,a,a ) aa de vergelijkige voldoet; f (a,a,a = fz(al,a2,a ) = O 3 2 3, e dat g ee regulier put va rag r is voor f ef. 2 Gemakshalve eme we r = eii - a fl # O i 5. &r.is da ee differetieeraxl bare fuctie 0 zo dat 2 f (X,X2,X l. = u (f (x,x2,x3)) geldt voor (xl,x2,x3) dicht bij (al,az,aa). Vulle we hieri & = 5 i, da komt er O = u (O). Neme ive u ee put &, dat voldoet aa 2,x,x = O da is f (x,x,x ) = U (f (x,x,x )) = U (0) = U. f2xl Mei, ka dus straffeloos de vergelijkig f (x,x,x ) = O weglate! het algemee geval dat g ee regulier put va rag r is, dat voldoet aa m vergelijkige met veraderlijke, ka me m - r vergelijkige weglate. De r overblijvede vergelijkige hore bij oafhakelijke rije va de fuctioaalmatrix. Let wel, dat dit geldt oder de'veroderstellig, dat a aa het oorsprokelijke stelsel voldoet! Als dat iet zo is, behoeft het iet te gelde: i het bijzoder is het iet voldoede, dat 5 aa het deelstelsel va r vergelijkige voldoet. Deze omstadighede zij os uit het gevál va ihomogee lieaire vergelijkige al beked. Als da amelijk fr+l.,...,fm afhakelijk zij va f,,...,r, da make de oplossige va i, = O,...,f = r O i ieder geval alle fr+l,...,fm costat. Als deze costate alle = O zij, hete de vergelijkige afhakelijk, ZO iet, da zij er gee gemeeschappelijke oplossige e hete de vergelijkige strijdig. -7 We kue os dus u verder beperke tot het geval dat de rag gelijk is aa het aatal v"ergeijkige. Gemakshalve eme we r = m = 2,

32 3 a(fl, fz ) =3e # O. Da zij er differetieerbare fucties $i, $z, zo dat Yl = f, (x, x 2, x,) Y, = f2 (x, xz, x,) x = +,(Yl 9 x2 = +,(Yl, Y, 9 Y,, x,) equivalet zij voor (x,, x,, x,) dicht bij (a,, a,, as) e (yl, y,) x,) 8 dicht bij (O, O). Vult me yl = O, y2 = O i, da ziet me dat fl(xl, x2, x,) = o x, = +l(o, o, x,) = gl(x,) f,(x,, x2, x,) = o e x2 = +,(O, o, x,) = g,(x,) equivalet zij voor (xl, x2, x,) dicht bij (a,, a,, as), terwijl de ter afkortig va de otatie igevoerde fucties g, e g, differetieerbaar zij. Het geval va m fucties met veraderlijke kue we op aaloge wijze behadele, hetgee de volgede stellig oplevert. Stellig Als (a... a ee regulier put va rag r is voor de fucties f...,fm e als.. fl (al,.,a ) = O a(fl,... fr).... # 0 i (al,... a ), e a h...,x ' r fm(al,... a ) = O da bestaa er differetieerbare fucties gl,...,gr zo dat fl(xl,... X ) = o X = gi(x,...,x )... i r+l e... fm(x, (X = o x ) x r = gr(xr+,, voor dezelfde (xl,... x ) i ee omgevig va (a... a ) gelde (steiliff over impliciete fucties) l 4 Het meest gebruikelijke geval is, dat r = m; da is de eis va regulariteit automatisch vervuld, cotiuyteit der partiële afgeleide aageome. Als r c m, kue de vergelijkige fr+, = O,...,f = O m worde weggelate, althas i ee omgevig va ee regulier put. deze stellig zit het speciale geval opgeslote, waarva we i het begi va deze paragraaf ware uitgegaa. De impliciete betrekkig f(x,y) = O is opgelost tot y = g(x), echter met bepaalde beperkige. af De vooraamste zij, dat - # O moet zij, e dat ook als dat het geval ay is, de cquivaletie va f(x,y) = O e y = g(x) allee locaal, d.w.8. i ee zekere omgevig va ee put, goed is. - F. Toepassig-.. De stellig over impliciete fucties ka gebruikt worde voor het elimiere va veraderlijke. Neem als voorbeeld twee vergelijkige met

33 V. 28. af Als u o, f O, ka uit de eerste ver- drie veraderlijke f(x,y,z) = O 3 g(x,y,z) = o gelijkig z als fuctie va x e y opgelost worde. Substitueert me dit 'i de tweede vergelijkig, da otstaat ee betrekkig va de vorm h(x,y) = O. Me zegt da, dat z is geëlimieerd. De betekeis hierva is de volgede: de pare (x,y), die aa h(x,y) =' O voldoe, zij dezelfde, als die, waarbij ee z bestaat, zo dat (x,y,z) aa O = f(x,y,z) = g(x,y,z) voldoet. Ook dit geldt atuurlijk slechts locaal. ets aaloogs,doet me met meer vergelijkige. het algemee ka me zegge, dat bij elimiatie va k veraderlijke, het aatal vergelijkige met k afeemt. Dit geldt atuurlijk slechts,.als aa beperkede voorwaarde voor de rag is voldaa., i De hierbove besproke stellige levere twee locale equivaleties op,. de eerste plaats ee equivaletie va hetgee door vergelijki~e wordt voorgesteld met expliciete fucties e i de tweede plaats ee equivaletie va hetgee door parametervoorstellige wordt bepaald met expliciete fucties. Hieruit blijkt u ook, dat er ee equivaletie is tusse hetgee door vergelijkige e hetgee door parametervoorstellige wordt bepaald. het geval dat de rag maximaal is (gelijk aa het aatal vergelijkige resp. het aatal parameters) correspodere k parameters e - k vergelijkige met elkaar. Drie omstadighede moete hierbij echter i het oog gehoude worde:?o 2' 3' De differetieerbaarheidseise die worde gesteld. De eise betreffede de rag va de fuctioaalmatrix. Het locale karakter va de overeestemmig. Als de parametervoorstellig va éé parameter t afhagt e de rag va de fuctioaalmatrix = is, hebbe we ee kromme. Ee dergelijke kromme ka dus i R ook door - vergelijkige worde gegeve. het platte vlak bepaalt dus &é vergelijkig, zoals we hierbove al zage, ee kromme: i de ruimte bepale twee vergelijkige ee kromme (mits de rag va de fuctioaalmatrix va de likerlede = 2 is). 'Als de parametervoorstellig va twee parameters afhagt e de rag va de fuctioaalmatrix = 2 is, spreke we va ee oddervlak. R is dit door -2 vergelijkige vast te legge; dat is i de gewoe ruimte door éé vergelijkig. Voorbeeld: de eeheidsbol met als vergelijkig x2 + y2 + z2 = e aïs parametervoorstellig x = si 8 COS cp y =.si e si cp (dek aa de bolcoördiate ). z = cos e Dat ee kromme i R, door twee vergelijkige is vast te legge ka meetkudig ook zo worde geiterpreteerd, dat de kromme doorsijdig is va twee oppervlakke. Elk va de beide Vergelijkige geeft ee oppervlak; de pute, wier coördiate aa beide vergelijkige voldoe, vorme de doorsijdig..' Voorbeeld: de kromme X2 + y' + z* - = O x -y +2z = o x2 + y' + z2 - = O e het platte vlak x - y + 2z = O. De kromme is dus ee cirkel. is doorsijdig va de bol

34 - 4 v.28 a De omzettig va impliciete fucties i parametervoorstellige e omgekeerd lukt uiteraard ook, als er ragverlagig is. Zo is ee stel- 'sel va m Vergelijkige met veraderlijke i de buurt va ee regulier put va7 rag r te vervage door ee parametervoorstellig met -r parameters e rag -r. Het omzette va impliciete fucties i parametervoorstellige heeft soms voordele bove de omzettig i expliciete fucties, omdat de laatste omzettig ee zekere asymmetrische behadelig va de optredede variabele met zich meebregt. Bij het expliciet make moet l. eerst ee oderdetermiat # O worde gezocht, waara de bij die determiat gebruikte variabele i de overige worde uitgedrukt. Gebruikt me echter ee parametervoorstellig, da zij hieri alle oorsprokelijke variabele op gelijkberechtigde wijze uitgedrukt.

35 8.4 ixtrema bij fucties va meer veraderlijke. - a. Vri,je extrema. Eveals bij fucties va éé veraderlijke komt bij fucties va meer veraderlijke vaak de vraag aar vore aar maxima of miima va ee fuctie. Ee dergelijk maximum is ee grootste waarde; als deze i,(a,,...,a ) aageome wordt, da beteket dit dat f(xl,..., x 4 < f(a,,..., a ) voor alle (xl,..., x. Aaloog bij het miimum. Voorbeeld: x2 + y' heeft ee miimum i (O,O), wat x2 + y2 b0 voor alle x e y. Vaak stelle we echter de eis voor ee maximum allee locaal; we spreke da va ee locaal (of relatief) maximum i (a,,...,a=f (x,,...,x als er ee omgevig va (a,,..., a ) bestaat, zo dat voor alle (x,,----,x ) i die omgevig geldt f (x,,..,x < f (a,,..,a ). Als het voor aue (geoorloofde) x geldt spreekt me va ee globaal (of absoluut) maximum. Aaloog bij het miimum. Voorbeeld bij fucties va éé veraderlijke: - Vb. f(x) = (x2-)(x2-4). Aa dit voorbeeld repetere we teves de al- gemee situatie bij fucties va éé veraderlijke. Als ee fuctie erges ee maximum heeft, i8 haar afgeleide daar = O. NÙ is f(x) = xk - 5xz + 4; dus f'(x) = 4x3 - Ox = 2x(2x2-5). Mt is oder meer ul voor x = O. Voor x i de buurt va O is 2x2-5 < O e dus f'(x) > O als x < O e ft(x) < O voor x > O, dus f(x) stijged voor x < O e daled voor x > O. Hieruit volgt dat f(x) ee locaal maximum i O heeft. Het is iderdaad gee globaal maximum, wat f(x) is willekeurig groot te make door x voldoede groot te kieze. Voor os doel is x = 3 al voldoede, wat f(3) = 40 > 4 = f(0). De gevolgde methode om te bewijze, dat x = O ee maximum levert, ka soms samegevat worde i ee voorwaarde voor de tweede afgeleide (als deze bestaat). Laat gegeve zij, dat f'(a) = O. Als da f'l(a) < O, da f (x) geldt voor x dicht bij a dat x-a < O, - dus voor x < a is ft(x) > O, dus f(x) stijged e voor x >a is f'(x) < O, dus f(x) daled. Dus heeft f(x) ee locaal maximum voor x = a. Op aaloge wijze leidt flt(a) > O tot ee locaal miimum voor x = a. S os voorbeeld is f"(x) = 2x2-0, dus fll(0) = - 0 < O, hetgee klopt. Het geval, dat f"(a) = O, blijft obeslist. Het ka da zij, dat er gee extremum is voor x = a. Voorbeeld: f(x) = x3; de afgeleide is ul i x = O, maar de fuctie heeft gee extremum. Het ka ook zij, dat de fuctie wel ee extremur heeft, maar dat de tweede afgeleide ul is e dus gee uitsluitsel geeft. Voorbeeld: f(x) = xk; i x = O heeft de fuctie ee miimum, maar de tweede afgeleide is ul. a. De hierbove gegeve beschouwige gelde iet voor radextrema. Als de fuctie f(x) gegeve is voor a < x < b, da geldt het bovestaade allee voor extrema die aageome worde i pute met a < 5 < b. Neemt me bv. f(x) = x voor O 4 x 4, da is er ee maximum bij x =, maar f'(l) # O.

36 We gaa u over tot fucties va meer veraderlijke e zulle daarbij voorlopig de kwestie va de radextrema voor het gemak buite beschouwig late. He eme dus aa, dat voor ee beschouwd put 2 alle pute 5 i ee zekere omgevig va geoorloofd zij voor de fuctie. ge extremum i ee dergelijk put heet ee iwedig extremum. Ne brege u weer de beschouwige eerst terug op het geval va éé veraderlijke. Als we bv. ee,fuctie f(x,y) va twee veraderlijke hebbe, die i (a,b) ee maximum heeft, da heeft de fuctie va éé veraderlijke f(x,b) atuurlijk ook ee maximum voor x = a; de afgeleide va deze fuctie is af af daar dus = O. Dus - = O i (a,b). Op aaloge wijze vide we - = O. ax ay Samegevat grad f = 2. Voor ee miimum geldt atuurlijk hetzelfde. - vb.2 f(x,y) = e *+s' i z- af - 2xe '+? af - 2ye 2 +s'. Beide afgeleide i G-., i '4 maximum of miimum heeft e er ee omgevig va a is, die geheel uit geoorloofde pute va f(5) bestaat, da is grad f = 2 voor 5 = 5.

37 V.3 eerst de twee zijvlakke u = costat. De ormale compoet va 5 is daar au e de oppervlakte bij beaderig h2h,av Aw, dus de itegraal bij beaderig h2h3au Av Aw; bij het zijvlak dat bij de kleiere u-waarde behoort moet dit og va ee miteke worde voorzie; de twee uitdrukkige behore bovedie bij verschillede waarde va U. Same geve ze a dus bij beaderig - (h,h,au) Av Aw Au. De adere zijvlakke behadelt au me op aalvge wijze. Deelt me u og door de ihoud, da vidt me voor de divergetie de volgede formule: ', 9 Deze formule ka ook streg worde beweze, als me gebruik maakt ': va de volgede idetiteit voor drie vectore p. 9, f i R3 e ee lieaire afbeeldig A: 3 '.Y (AZ, q x f) + (Aq, rx 2) + (e, E x 3) = (a, + a2, + a, NE, q, f); hieri zij all, az2, a elemete va de matrix va A. Stelt me 33 hieri E = - a5, q = ag a5, - r=- ax, da 3 A = - e maakt me gebruik va () au aw.'d,;y d5 :i e (2, da vidt me de formule voor div 5. We voere dit iet uit. 'i, bolcoördiate krijge we,3 div 5 = ' r'si e aai- a (+si e a a. a + (r si e a ) + - (r a = (G r. e acp cp aao aa 2 ' > + - a cot e t- - ar r 88 r si 8 acp r r r i cilidercoördiate i a div a = ;(z a a ~ (r ar) a (r az) az = acp --+Zte+-+-a. aar aa aaz ar r acp az r r ae i Door samestellig va de formules voor gradiët e divergetie krijge we ee formule voor A :,., :i ',,. bol- e cilidercoördiate geeft dit al va vroeger bekede formules. Bolcoördiate: Aa = r2si e a aa a aa a (+si e ar) + a (si e + - (- h) = {G acp si 8 acp 4 i

38 cilidercoördiate: We merke te slotte og op, dat de regel dat me Pa voor ee vectorveld a ka verkrijge door A op de afzoderlijke compoete va a toe te paäse, i kromlijige orthogoale coördiate iet meer opgaat. Me ka echter A a uit de vorestaade formules wel afleide door gebruik te make va de-formule A: = grad div 5 -' rot rot - a. g.5 De scalaire potetiaal e de vectorpotetiaal. - A. Scalaire potetiaal. j/ d? 4, & c.. 4,iJ.i! '. i paragraaf 2 hebbe we de volgede drie uitsprake betreffede ee vectorveld - a met elkaar vergeleke. ' Het veld heeft ee potetiaal, d.w.z. a = grad a. 2 O Het veld is coservatief, d.w.z.!(a, 4)ds = O voor iedere geslote K kromme K i het veld. 3" Het veld is rotatievrij, d.w.z. rot 5 = 2. We hebbe al afgeleid: uit ' volgt' 2' e uit 2' volgt. 3". Aa het voorbeeld va het mageetveld va de oeidig lage rechte stroomgeleider hebbe we gezie, dat uit 3' iet 2' hoeft te volge. We zulle u aatoe dat ' uit 2' volgt. t)ds = O voor iedere geslote kromme K i '. :i K.,,3.;i."T het veld. We eme ee vast put 2 i-het veld aa: ee willekeurig 3 put 5 verbide we door ee bie het veld verlopede kromme Kx met '_tj, A, het put E. We deke os deze kromme va E aar 5 doorlope. De-itegraal i' We eme dus aa, dat.-f (a, - (a, 4)ds hagt echter allee va - x e iet va de qekoze kromme af. Kx- Nëme we l. og ee tweede dergelijke kromme Kt e lope we lags Kx va E aar X E 'va 5 aar E terug, da hebbe we ee geslote <,, : & 4.,$ : e lags K' j; kromme doorlope, waarlags de itegraal ul.is. De itegrale over Kx e K' (beide va E aar 5 doorlope) zij dus gelijk. De uitkomst is- 5 dus ee fuctie va 5: a(5) = S (5, 4)ds. Kx -.a. '.', d ;~ j -"Y i/

39 a2 i a2 f NU is , -=- a" 8, dus i (-.) zij deze ax2 = 6~ 8, - axay - ay2 resp. -4, -4, -8, A > O e -4 < O, dus se maximum ter waarde f(-l,l) = 9. (3,-) zij ze resp. 0, -4, -8, dus A < O, zodat i dit put gee extremum is. Als A = O, geeft de stellig gee uitsluitsel. Som ka me da echter met adere overwegige toch tot ee resultaat kome. Vb.4 - Als oplossig va - + 7x2 + 2x7 + y2-6~ f(x.7) = x4-4~' af = - af - O vidt me allee het put (,O). Nu ia ax - ay a2 f -= 2x2-24x + 4, oxay - 2, - - 2; dus i (.0) is A = O. a x2 a Y2 Om echter de omgevig va (.0) beter te overzie stelle we x = + h. da gaat f(x,y) over i h4 + h2 + 2hy + y2 +, dus f(l + h,y) - f(.0) = = h' + (h + y)' >,O, dus i (.0) heeft de fuctie Zelfs ee globaal miimum. Vaak is het iet ees odig om A uit te rekee, omdat we het karakter va het put zoder dat ook makkelijk kue bepale. Dit geldt i het bijzoder als het put gee extremum geeft. Vb.5 f(x,y) = x4 + x2 - y2. Als oplossig va - = - af = O vidt me ax ay allee (0.0). Dit geeft echter gee extremum, wat voor x = O, y f O is de fuctie egatief e voor y = O, x f O is de fuctie positief. We make u og eige opmerkige over de radextrema. Hiervoor make we gebruik va ee stellig, die aaloog is met ee stellig over fucties va éé veraderlijke, die i het eerste jaar geoemd is. Deze luidde, dat ee fuctie f(x), die cotiu is op a,< x 6 b. mistes éé globaal maximum e mistes éé globaal miimum bezit. D.W.Z. er bestaat ee 5 met a b, zodat f(x) 6 f(c) voor alle x met a < x < b e er bestaat ee q met a < q \< b, zodat f(x) 3 f(q) voor alle x met a < x < b. Belagrijk hierbij is, dat de eidpute va het iterval meetelle e dat de fuctie cotiu is. Verder ka 5 best = a of = b zij, zoals het voorbeeld f(x) = x voor O,< x,< bewijst. Ee 600rtgelijke stellig geldt u ook voor fucties va meer veraderlijke. Het moeilijkste hierbij is het vaststelle, wat hier i de plaats va het iterval a < x < b moet kome. De verzamelig V i R zal i de eerste plaats be esd moete zij, d.w.z. er moet ee positieve costate K zij, zo dat* < K voor alle x i V (d.w.z. V is geheel te vage bie ee bol met voldoed grotestraal). Hier komt u og ee eis bij, die we iet precies zulle formulere, maar die ogeveer hierop eer komt, dat als we ee gebied met ee zekere begrezig beschouwe, we de begrezig altijd mee moete telle om ee voor de stellig bruikbare verzamelig te krijge. Als het gebied dus het bie- gebied va de cirkel x2 + y2 = a2 is. da eme we iet allee dat bie- gebied (bepaald door x2 + y2 < a2 ), maar ook de cirkel zelf erbij (bepaald door x2 + y* \< a* ). Voor zulke begresde gebiede met rad i R geldt u ook de stellig, dat ee op zo' verzamelig V gedefiieerde ar

40 V.34 2, '! L, >! cotiue fuctie f(x) mistes éé maximum e mistes éé miimum bezit. Deze stellig bewijze we iet (we hebbe haar trouwes iet ees exact geformuleerd, omdat we iet gepreciseerd hebbe hoe V er uit mag zie). Deze stellig ka op verschillede maiere gebruikt worde. Als met de vroegere methode bv. gevode is dat er bie het gebied gee maximum is, leert de stellig, dat er beslist ee maximum op de rad moet zij, dat da og apart OpgeEpOOrd ka worde. - vb.6 Gevraagd de maxima e miima va f(x.y) = x + y' bie of op af de cirkel x2 + y' =. Daar a = # O, is er bie de cirkel gee extremum aawezig. Er moet dus zeker ee maximum e ee miimum va de fuctie zij op de cirkel x' + y' = ; daar is da y' = - xz e de fuctie x + - x'. X Voor de pute op de cirkel geldt de beperkig dat - \< x 6. De fuctie - x2 + x + heeft ee maximum voor x = Dit geeft teves het maximum voor f(x.y) i de pute (2. f3) e 2' 2 5 (z, - T f3); de fuctiewaarde is daar -. Het miimum va x + 2' is blijkbaar ee radmiimum, dat dus bij x = of x = - moet ligge; substitutie va deze waarde va x leert, dat bij x = - het miimum ligt. De oorsprokelijke fuctie heeft dus ee miimum i het put (-.0); de waarde is daar -. Me bedeke, dat de methode met de afgeleide allee locale extrema oplevert, zodat als we met deze methode bie het gebied ee locaal maximum hebbe gevode er op de rad ook og wel ee maximum ka ligge. Me ka dit bv. zie aa de fuctie f(x,y) va voorbeeld 3 die ee locaal maximum heeft i (-,l) ter waarde 9. Beschouwt me u deze fuctie op e bie de cirkel x' + y' = 36, da is f(6,o) = 33, dus er is op de rad zeker og ee maximum aawezig. Ee adere toepassig va bovestaade stellig is, dat me haar juist gebruikt om aa te toe dat er extrema i het iwedige zij. Het volgede eevoudige voorbeeld is typisch voor de methode. Vb.7 - We stelle eerst a;; Gevraagd de extrema va de fuctie f(x,y) = (x-y)(xz+y2-). af = - af - O. Dit geeft 09 3x' - 2xy + y' - = O. + Door optelle vide we dat y = - x e zo.-x' + 2xy - 3y2 + = o - 7 f2). kome we tot de oplossige (2 f2, 5f2, (- $ f2, (i f6. - g f6), (- i f6, i f6). Me ka u met behulp va A wel uit- make welke hierva extrema zij. We wille het aders doe, l. met behulp va ee hoogtekaart va de fuctie. De fuctie is ul i de pute va de cirkel x* + y' = e de rechte y = X. Deze verdele same het platte vlak i vier deler.. Het is va elk va deze dele makkelijk aa te geve welk teke f daar heeft. 4

41 De eerste twee hierbove gevode pute zij de sijpute va de lij e de cirkel. Aa de figuur ziet me direct, dat daar gee extrema zij. We beschouwe u ee va de twee gebiedeli bie de cirkel, bv. het deel liks bove. Op dit gebied passe we de stellig toe, op grod waarva er ee maximum va de fuctie moet zij bie het gebied of op de rad. Maar op de rad is de fuctie ul e erbie positief, dus het maximum moet bie het gebied ligge. Zo vide we dat (- '(6, if6) ee maximum va f levert. Op aaloge wijze levert (2 f6, - f6) ee miimum. Ee va de aspecte va de methode va voorbeeld 7 komt hierop eer, dat de stellig over het bestaa va extrema toegepast ka worde op gebiede die kleier zij da het eigelijke gebied dat beschouwd wordt. Dit levert allee da ee bruikbaar resultaat als het extremum i het iwedige va dit kleiere gebied terecht komt. Als het l. op de rad komt, behoeft het gee extremum te blijve bij vergrotig va het gebied. Dit laat zich duidelijk demostrere aa hetzelfde gebied (halve cirkel), dat i voorbeeld 7 is beschouwd. dit gebied heeft de fuctie ook ee miimum; daar de fuctie bie het gebied positief is e op de rad ul, wordt het miimum i elk put va de rad aageome. Zo' radput is echter zelfs gee locaal miimum va de fuctie als we de beperkig tot dit gebied late valle, wat i iedere omgevig va zo' put ligge buite de halve cirkel ook pute, waar de fuctie egatief is. - B. Extrema oder bijvoorwaarde. We bespreke u ee ader type va extremurprobleme, dat we eerst met ee eevoudig voorbeeld ileide. - m.8 Gevraagd i het platte vlak de kortste afstad va het put (,O) tot de parabool y2 = 4x. plaats va de afstad zelf kue we atuurlijk ook wel het kwadraat va de afstad beschouwe. We moete dus va (x-)' + y2 het miimum bepale echter oder de bijvoorwaarde, dat we os beperke tot die (x,y), die voldoe aa y' - 4x = O. Voor deze pute geldt u, dat y' = 4x, dus dat de fuctie (x-)' + 4x = (x+l l2 is. pit is keelijk miimaal voor x = -, maar hierbij is gee y te vide, waarvoor y' = 4x. Meer succes hebbe we als we i plaats va de y de x elimiere: stel x = y2, da wordt de fuctie ( ~ J ' - ) ~ + y' = (7; yz+)', hetgee miimaal is bij y = O. De methode, die we hier ter oplossig gevolgd hebbe, is dat we uit de bijvoorwaarde ee der veraderlijke hebbe opgelost e gesubstitueerd i de fuctie, die daardoor i ee fuctie va éé veraderlijke overgig. Het merkwaardige aaarbij is, dat bij oplosse va y het bestaade miimum iet werd gevode e bij oplosse va x wel. We vrage os af, hoe dat komt. Volges de resultate va paragraaf 3 ka uit ee vergelijkig g(x,y) = O, de y etjes als fuatle va x worde opgelost als 8 # O. Nu is i os geval g(x,y) = y2-4x, dus = 2y e i het Y miimum is dit juist = O. derdaad is i de huurt va (0,O) y iet oplosbaar als fuctie va ee vrij variabele x, wat x moet >/O zij. Dit resulteert i het feit dat er i de gevode fuctie va x ee radextremummoet worde beschouwd. Dat ka i dit geval og wel uitgevoerd worde, maar is i moeilijker gevalle verveled: bovedie treedt bij oplosse va x helemaal gee radextremum op! a 4

42 We beschouwe u de extrema va ee fuctie f(x,y) oder de bijvoorwaarde g(x,y) = O. We wete va te vore iet, raar deze extrema kome. (taa we dus als bove y uit g(x,y) = O oplosse, da lope we de kas, dat het gezochte extremum juist i ee put zit waar a = O. ay Dit kue we da odervage door ook aar r op te losse. Doe we beide, da misse we allee og de pute waar = OB = O, hetgee ay echter siguliere pute zij. Dit twee keer oplosse ziet er echter odeloos omslaohtig uit; we zoeke ee methode-die symmetrisch is i alle optredede variabele. Stel dat i (a,b) f(x,y) ee locaal extremum heeft oder de bijvoorwaarde g(x,y) = O e dat (a,b) ee regulier put va rag is va g(x,r). Volges de resultate va paragraaf 3 zij de pute i ee zekere omgevig va (a,b), die ( aa g(x,y) = O voldoe voor te stelle met ee parametervoorstellig = p(t)}, waarbij de matrix &i! dt) rag heeft. Sta dat q(c) = a, y = ip(t) $(C) = b, da heeft de fuctie f(q(t),#(t)) ee locaai extremum voor t = c, dus haar afgeleide is daar ul: & de adere kat is g(q(t).$(t)) = O idetiek i t, das Omdat e 2 iet beide = O zij volgt uit () e (2): We hebbe dus gevode dat bij ee locaal extremum i ee regulier put va de bijvodrraarde ee getal X bestaat, zo dat g(x,y) = O J i dat put geldo. Dit zij echter drie vergelijkige voor de drie obekede x, y e h. Me merke verder op, dat de eerste tree vergelijkige juiet de partiële afgeleide zij va de fuctie f(x,y) - hg(x,y).

43 i We passe dit ees toe i het gevd va voorbeeld 8. Nu is f(x,y) = = (x-)' + y' e g(x,y) = y' - 4x. We krijge de vergelijkige 2(x-) + 4A = o 2y-2hy = o, met als eige oplossig y= = 4x x = O, y = O, h = -, waarva we atuurlijk og iet wete of er ee 2 miimum bij hoort. Gevraagd de maxima e miima va 2x + 3y oder de bijvoorwaarde x2 + 4y' = 4. Op te losse is het steleel 2-2hx = o 3-8x7 = o x = 4 x = - -,y= met als oplossige x = 5, y = 5' 8 3 A Z e ~ 5, x = - 5. De meetkudige betekeis is de volgede: i 5 2x + 3y = costat is de vergelijkig va ee rechte. Als de costate groot i absolute waarde is, zal de rechte de ellips x' + 4y' = 4 iet sijde, d.w.z. de fuctie 2x + 3y die waarde op de ellips iet aaeme. De maximale waarde va de costate waarvoor de lij og iets met de ellips gemee heeft, levert ee raaklij. De pute (8 3) e (- 5' 5 aa de ellips evewijdig met de rechte 2x + 3y = O. Uit de meetkudige beschouwig volgt, dat het eerste put de fuctie 2x + 3y maximaal e het tweede put de fuctie miimaal maakt. We merke og op dat het eige siguliere put voor x' + 4y' - 4 het put (0.0) is, dat echter iet aa x' + 4y' - 4 = O voldoet. ' 5' - 2) zij dus de raakpute va de raaklije 5 Met adruk wijze we erop, dat de hierbove gegeve methode allee het vide va die extrema garadeert, die i ee revlier put va de bijvoorwaarde optrede. Het volgede voorbeeld diee ter waarschuwig. - Vb.0 Gevraagd de miimale afstad va het put (-7.U) tot de kromme x' = Y'. We moete dus (x+l)' + y2 miimaal make oder de bijvooraarde x3 = 7'. Dit is heel eevoudig: ee (x,y), die aa de bijvoorwaarde voldoet, heeft altijd x >/O, dus x+l 3, dus (x+)' + y' >/. Aa de adere kat voldoet (0.0) aa de bijvoorwaarde e is de fuctie daar =. Dus i (0.0) hebbe we ee miimum met waarde. Ook als me ee grafiek teket, ziet me dit duidelijk. Probeert me de hierbove gegeve methode echter, da krijgt me de vergelijkige 2(x+) - } 3hX' = o 2y + 2Ay = O, die gee ekele oplossig hebbe. derdaad x3 = y* is (0.0) ee sigulier put va de fuctie x' - Y'.

44 V.38 We kue u ook fucties va meer da twee veraderlijke beschouwe e bovedie meer da éé bijvoorwaarde toelate. We krijge da de volgede stellig. Stellig Als de fuctie f(xl,... x ) i ee omgevig va (a,,... a ) differetieerbaar is e i (a,,... a ) ee locaal extremum bezit oder de bijvoorwaarde g(x,,... x ). o... gk(x,, ".>X ) = o e als (a,,... a ) ee regulier put (va rag r) is va de A dus- k' fucties g,,...,fk, da bestaa er getalle A ' waarbij alle partiële afgeleide i (a,... a ) geome zij (Multiplicatorestellig va Lagrage). We merke op, dat de h,,... hk multiplicatore geoemd worde. De likerlede va de gevode betrekkige zij de partiële afgeleide va de fuctie f. Algpr... Akgk. Als me de stellig gebruikt om extrema op te spore, da levere de gevode betrekkige plus de bijvoorwaarde +k vergelijkige met de ck obekede x,,...,~ e A,,... hk. Het bewijs is aaloog met het hierbove geleverde bewijs voor = 2, k.. We kue i ee omgevig va (a,... a) de (x,... x, die aa de bijvoorwaarde voldoe, voorstelle met ee parametervoorstellig met -r parameters: x,. cpl(t,,... } ] t a,. cpl(cl,...c-r).... -r) waarbij... x. q(tl,... t a = cp(c,... ) -r e de rag va de fuctioaalmatrix va cp,..., q Nu heeft de fuctie f(cp,(t,,...,t -r extremum voor (t,,... t af alp (3) "j at j= P -r ),... cp(t,,..., t -r gelijk is aa -r. ) ee -r ). (C,,... c ), zodat daar geldt -r -i. O voor p.,... -r. il

45 Omdat de parametervoorstellig de pute voorstelt, die aa de bijvoorwaarde voldoe, geldt ook (4) '5 2 = O voor x =,...,k e p =,..., -r. j = ax. at,, J We beschouwe u het stelsel lieaire vergelijkige met obekede u,,...,u : ag ax (a). <u, L u = o... - a gk a gk u = o J l x9 a x Dit stelsel heeft klaarblijkelijk rag r. De oplossigsruimte heeft dus dimesie -r. Volges (4) zij de volgede -r vectore echter: oplossigsvectore: r -r. ). Daar de fuctioaalmatrix va.. q,,...,q rag -r heeft, zij deze vectore lieair oafhakelijk. Weges (3) zij deze zelfde vectore ook oplossige va de vergelijkig Het stelsel lieaire vergelijkige (a) e (p) same heeft dus mistes -r lieair oafhakelijke oplossige; de dimesie va de oplossigsruimte is dus mistes -r. Aa de adere kat ka deze dimesie atuurlijk ooit groter zij, da die v a het stelsel (a). Dus de dimesie is -i; dus de rag va de coëfficiëtematrix is r, eveals die va de coefficiëtematrix va (a) allee. Hieruit volgt dat de coëfficiëterijvector va (p) ee lieaire combiatie is va de coëfficiëterijvectore va (a). Maar dat is precies de te bewijze betrekkig. - Vb. Gevraagd de extrema va x - y - 3z oder de bijvoorwaarde xz+ y2+ zz= Het volgede stelsel vergelijkige wordt verkrege: hier gegeve worde: de gevode pute zij raakpute va raakvlakke x + y - z = o - 2hx - p = o - - 2hy - p = O -3-2Az + p = O met als oplossige x = o, y = 92, 2 = lf2, 2 = - f2, p = ; x = o, y = - 92, z = - 9 2, A = f2, p =. xz + y x + y - 2 = o Ee soortgelijke meetkudige iterpretatie als i voorbeeld 9 ka aa de cirkel evewijdig met x - y - 32 = O. pute die aa de bijvoorwaarde voldoe. Er zij gee siguliere

46 lv.40 i ll2 - Vb.2 Gevraagd het rechthoekig blok met gegeve totale oppervlakte K va de zijvlakke e maximale ihoud. Noem legte, breedte e hoogte va het blok x, y, z, da moete we de fuctie xyz beschouwe oder de bijvoorwaarde xy + yz + xz = -K. 2 Toepassig va de multiplicatoremethode levert y2 A(y + 2) = o xz - A(x + 2) =. We moge os tot positieve waarde va x, y, z i beperke e vide da als eige oplossig x = y = z = xy - A(x + y) = o XY + YZ + xz = -K 2 A = - a. De ihoud is da K m. w g m s e r e 3i; voldoet iet aa de bijvoorwaarde. De vraag is u of dit iderdaad ee maximum is. Dit trachte we u aa te toe door gebruik te make va stellig, die de existetie va ee maximum waarborgt. Als gebied va toepassig zoude we geeigd zij te eme het gebied bepaald door x > O, y > O, z > O (het eerste octat) omdat dit de waarde va x, y, z zij die meetkudig i aamerkig kome. Om de stellig te kue toe- passe moete we echter ook begrezigspute meetelle, dus bv. pute met x = O. Dit ka zoder bezwaar omdat de ihoud da = O is e dus zeker iet maximaal. We eme dus de verzamelig va x >/ O, y >, O, z >/O, die voldoet aa xy + yz + xz = -K. Deze verzamelig is echter helaas 2 - iet begresd, wat hoe groot z ook is, er kue altijd x e y dicht bij O bij gevode worde zodat (x,y,z) aa de bijvoorwaarde voldoet. We probere echter aa te toe, dat deze ver weg gelege pute iet tot ee maximum kue bijdrage. K K K2 x > O, y > O, z >/ O voldoe dat x Q -, y \<, dus xyz ' < - 42 * Dus als z >, 3 a, da is de ihoud y$ K \6K e dus zeker kleier da de hierbove gevode waarde 3 y doe. We beperke os u tot die (x,y,e), die voldoe aa a, put (0,ü.O) Als z f O, da geldt voor (x,y,z) die aa de.bijvoorwaarde e aa o,<x<3m, o<y,(3vzk o,<z,<3m, xy + YZ + xz = -K. 2 K =. Hetzelfde kue we met x e Dit is geporloofd, wat de pute die hierbuite valle, positieve x, y, z hebbe e aa de bijvoorwaarde voldoe, geve ee kleiere ihoud da 36 K m. Op de u verkrege verzamelig passe we de stel- lig toe, die os de existetie va ee globaal maximum waarborgt, dat ook iet op de begrezig gelege is e dus juist de oplossig moet zij die met de methode va Lagrage gevode is. De kubus is dus de oplossig va het gestelde meetkudige probleem.,j

47 8.5 Trasformatie va meervoudiue itegrale. Als we ee meervoudige itegraal moete bepale, doe we dit vaak door adere coördiate i te voere. Hierva zij i het eerste jaar al vele voorbeelde behadeld. Ter opfrissig va het geheuge og ee voorbeeld. Gevraagd de itegraal va over het biegebied G va de eeheidscirkel x2+y2=, dus w d x dy. Ter vereevoudigig va, G de berekeig voere we poolcoördiate i; da gaat dx dy over i r dr dcp e de itegraal wordt 7 drp,f r'dr = -. 2 O O 3 Aaloog gaat dit i drie dimesies. We trachte u de algemee situatie te beschouwe: we doe dit eerst ees i drie dimesies. Te berekee is ee itegraal (),ff(x,y,z) dx dy dz, G uitgestrekt over ee gebied G i de driedimesioale ruimte. We gaa u trasformere met trasformatieformules: x = cp (u.v,w) x = r si û cos Q Y = cp*<u,v,w) : voorbeeld : y = r si e si.q (bolcoördiate). z = cp (u,v,w) z = r COS e 3 We kue dit zo opvatte dat het put (x,y,z) door deze formules "ieuwe" coördiate (u,v,w) krijgt. We kue het ook zo opvatte, dat de formules ee afbeeldig va de (u,v,w)-ruimte i de (x,y,z)- ruimte tot stad brege, waardoor met ee gebied G' i de (u,v,w)- ruimte ee beeldgebied G i de (x,y,z)-ruimte correspodeert. Bij deze correspodetie moete we erop lette of bij de afbeeldig iet sommige stukke twee of meer male aa bod kcme. Neemt me bij de bolcoördiate O 4 r,<, O 4 3 \< X, O,< Q < 2x da krijge we de massieve eeheidsbol. Neme we echter voor cp de greze O \< cp < 4 da krijge we ook dezelfde bol, u echter twee maal geteld. Os doel is om itegratie over x,y,z om te zette i itegratie over (u,vw). Zoude we iet lette op deze mogelijkheid va meervoudige overdekkig bij de afbeeldig, da zoude we foutieve uitkomste krijge. We hebbe dus u ee gebied G' i de (u.v,w)-ruimte e ee correspodered gebied G i de (x,y,z)-ruirte. Om de itegraal () te bepale moete we G i brokke verdele, va elke brok de ihoud met ee fuctiewaarde va f vermeigvuldige e de resultate optelle. Vervolges moete we de limiet eme als de brokke steeds kleier worde. plaats vá G i brokke te verdele, verdele we u eerst i de (u,v,w)-ruimte de G' i brokke B' e eme de correspoderede brokke B va G i de (x,y,z)-ruimte. We moete' da echter wete, wat er met de ihoud gebeurt bij de overgag va B' op B. V k veroderstelle u, dat de traeformatiefucties cp,, Q', cp, differetieerbaar zij, dus bij

48 ~ V.42 beaderig lieair i ee omgevig va ee put. Neme we u ee kleie brok, da moge we misschie wel aaeme, dat de afbeeldig lieair is. We moete dus eerst agaa wat er met ihoude gebeurt bij ee lieaire afbeeldig. We eme daartoe ee parallelepipedum dat opgespae wordt door de vectorep 2, 9, g. De ihoud hierva is de absolute waarde va D(~,g.r), dat is de absolute waarde va de determiat va de matrix waarva de kolomme juist de vectore E, 9, f i R, zij. We gaa u R, lieair afbeelde. Dit behoeft iet homogee lieair te zij e het parallelepipedum behoeft gee hoekput i de oorsprog te hebbe. Laat de afbeeldig aa het put 5 toevoege het put & t 2, waari 2 ee costate vector is e A ee lieaire afbeeldig zoals i het eerstejaarscollege gedefiieerd. Ee zijde va het parallelepipedum behorede bij E moge als hoekpute hebbe 5 e 5 + E. De beelde hierva zij Ag t 2 e A(& + 2) t 2. De opspaede vector va de ieuwe zijde is dus AE. Het is dus duidelijk, dat het beeld ee parallelepipedum is opgespae door AE, Ag, Ar. We moete dus u'd(ae, Aq, Ar) bepale. Dit is echter de determiat va de matrix, die het product is va de matrix va A e de hierbove uit 2, 9, - r gevormde matrix. We krijge l. de kolomvector AE it het schema door matrixvermeigvuldigig va de matrix[a] va A met de kolobvector E. Op grod va de productregel voor determiate vide we u dat de ihoud met de absolute waarde va d.? determiat va A wordt vermeigvuldigd. Dit geldt voor parallelepipeda, maar da ook voor willekeurige verzamelige, wat de ihoud daarva ka me approximere door ze i kleie kubusjes te verdele. De ihoud va elk va deze kubusjes wordt da met det A vermeigvuldigd e dus ook de som va deze ihoude. Hetgee we hier voor Qrie dimesies hebbe gedaa ka geheel aaloog voor ee ader aatal dimesies geschiede. Ra wordt de ihoud atuurlijk vervage door de oppervlakte; i R door de -dimesioale ihoud. Dus we vide de volgede stellig. Bij ee lieaire afbeeldig va R i R worde -dimesioale ihoude vermeigvuldigd met de absolute waarde va de detarmiat va de afbeeldig. We kere terug tot ee brok B i de (u,v,w)-ruimte e het correspoderede brok B i de (x,y,z)-ruimte. B otstaat uit B door toepassig va de fucties 'p, 'pz, 'p, die we differetieerbaar veroderstelle met cotiue partiële afgeleide. Deze afbeeldig is u b ij beaderig lieair; beperke we os tot het lieaire stuk, dat als determiat de fuctioaaldetermiat va de fucties cp,,?,,cp3 heeft, da is dus bij beaderig de ihoud va B gelijk aa de ihoud va B' maal. Voor de approximatiesom pa de itegraal () moete we dit og met ee fuctiewaarde va f i dit brok vermeigvuldige e over alle brokke optelle. We hebbe da echter bij elke brok og ee fout gemaakt, omdat de afbeeldig iet precies lieair was, doch slechts bij beaderig.

49 " 43 De som va deze foute over alle brokke same blijkt u echter aar ul te gaa, als we de afmetige va de brokke tot ul late adere: dit bewijze we iet. We hebbe de approximatiesom va de itegraal () u vervage door ee approximatiesom va de itegraal Door de brokke steeds kleier te make vide we dat () e (2) aa elkear gelijk zij. Hetgee hier i drie dimesies s uitgevoerd kue we i ieder ader aatal dimesies geheel aaloog uitvoere x = x (u..., u) Stellig Als de afbeeldig x = x,(u,,..., u ) bare afbeeldig 5 = ~() ee differetieer- va R i R tot stad bregt, met cotiue partiële afgeleide e als hierdoor het gebied G' op G zo afgebeeld wordt, dat G ekelvoudig overdekt wordt, e als f(x) cotiu is op G, da geldt Sf(5) dxl... s dx = f(x(u)) -- du,.. du. G G' Korter geformuleerd: dx,... dx = du,... du. a(ul,..., U Speciale gevalle hierva hebbe we al lag toegepast. Bv. i het platte vlak is bij overgag op poolcoördiate dxdy = r dr dip; maar de fuctioaaldetermiat va x = r cos cp is cos cp - si ip (si ip r cos ip y = r si = r. ip Evezo i de ruimte bij cylidercoördiate dx dy dz = r dr dcp de e bij de bolcoördiate dx dy dz = 9 si û dr dû dip. beide gevalle zij de factore r e r* si e juist de fuctioaaldetermiat (mits de veraderlijke i ee passede volgorde worde geome: aders op het teke a). - Vb.2 Beschouw de trasformatie x=u2-v?. y = 2uv Om ee overzicht te krijge va deze trasformatie beschouwe we eerst wat het beeld is va de lije u = costat e v = costat. Neme we u = c da krijge we ee kromme (v is parameter), die de volgede ver- gelijkig heeft: y2 = - 4c2(x - c2). Dit is ee parabool met top op de positieve x-as e de opeig aar liks. Keelijk geve u = c e u = -c dezelfde parabool. Terwille va de verkrijgig va ee ekclvoudige overdekkig beperke we os tot u 30. Da is echter ook bij ieder put (x,y) ee c >/O te vide zodat de bijbehorede parabool dit put bevat.

50 V. 44 Nu beschouwe we v = c; dit leidt tot y2 = 4c2(x + c2). Dit is ee parabool met top op de egatieve x-as e de opeig aar rechts. Blijkbaar geve v = c e v = -c dezelfde parabool. Dit beteket echter iet, dat we, u we os al tot u >, O beperkt hebbe, ook zoder meer v 20 Rue stelle. Dat is zelfs beslist iet zo, wat als y < O moete u e v verschilled teke hebbe. We kue het ook zo zegge, dat als we v > O zoude kieze bij gegeve x e y, de bijbehorede u < p zou kue uitvalle. We hadde atuurlijk wel v > O kue kieze als we u willekeurig zoude late. We beschouwe u het gebied G i het platte vlak dat begresd wordt door de boge va de parabole y2 = - 4x + 4 e y2 = 4x + 4. Gevraagd wordt de itegraal s dx dy. We zette G dit om i ee itegkaal over u e V. Het gebied G wordt bepaald door de ogelijkhede 4(uZ - )(v2+), < o die overgaa i *, dus 4(u2 + ) (v' - ) \< O y2 + 4x o y2-4x - 4 \< o u' 4 e 2 6. Omdat we os tot u 3 O beperkt hebbe, levert dit de rechthoek O < u \<, - 4 v*<. De fuctioaaldetermiat is Dus de.itegraal gaat over i du (u2+v2)' dv = 4 / du [u'v + - u2v3 + - v5 = O - O O )= u2 + - du = 4( We zij i dit voorbeeld begoe met ee trasformatie e hebbe vervolges ee itegraal bereked. Meestal is het zo, dat het probleem gesteld is, de itegraal uit te rekee e dat daarbij de passede trasformatie moet worde gezocht. Meestal is dat veel moeilijker. het hier behadelde geval had ook trasformatie op poolcoördiate vrij sel tot resultaat geleid. De hierbove gegeve stellig is atuurlijk ook goed voor = ; i dit geval is de fuctioaaldetermiat gelijk aa de afgeleide. Er komt da dus dx dx = - du, ' du hetgee al va vroeger beked is, echter zoder de abeoluutstrepe! Dit komt, omdat er bij gewoe, ekelvoudige itegrale afsprake over oriëterig worde gemaakt, die we bij meervoudige itegrale iet hebbe. Als a < b, da duide we ee itegraal uitgestrekt over het iterval b a a \<U\< b aa met f ; echter kee we i dat geval ook aa,f ee a b a b betekeis toe, e wel = -. Passe we u ee substitutie x = x(u) b a

51 dx toe, e is - > O, dus x(u) stijged, da volgt uit a < b dat du x(a) < x(b), dus i beide gevalle ee gelijke oriëterig. s echter dx - < O da is x(a) > x(b). du Dit wordt u juist opgevage door gee absoluutetrepe te zette, dus met de formule hetgee i alle gevalle overeekomt met waari Gt het iterval a \< u < b is e G het beelditerval bij de afbeeldig x = x(u). Bij meervoudige itegrale lukt dit oriëtere iet zo eevoudig, zodat daar allee de formule met de absoïuutstrepe overblijft.

52 V. 6. Lij- e oppervlakte-iterrale. - A. Lijitegrale. We beschouwe ee kromme i R,, parametervoorstellig die we gegeve deke door ee. Bier kue we ook het geval va ee kromme i R, x = x(t) y = y(t) z = z(t) oder late valle door z(t) idetiek ul te stelle. het eerste jaar is al behadeld, ho6 de itegraal va ee fuctie cp(x,y,z) 'over zo' kromme moet worde uitgereked. We zulle dit ogmaals behadele, u met gebruikmakig va de vectorotatie. deze otatie schrijve we de parametervoorstellig als 5 = x(t). Stel dat t het iterval a 4 t 6 b doorloopt, We verdele de kromme i kleie stukjes door eerst het t-iterval i stukjes te. verdele a = to < t, <... < t = b. We krijge u ee approximatiesom va de itegraal va cp(5) over de kromme door b ij elk stukje de legte va het verbidede lijstuk va de eidpute g(ti) - z(ti-,)l te vermeigvuldige met de waarde va cp i ee put erges op dit stukje: We eme u aa dat de vectorfuctie x(t) differetieerbaar is met cotiue afgeleide va de eerste orde. Da is Dus We bewijze iet, dat de bijdrage afkomstig va het gedeelte dat hier met stippeltjes is aageduid tot ul adert als de verdelig steeds fijer wordt gemaakt. Zo zie we, dat we de volgede itegraal verkrijge:, dx b dz 2 dx + (af + (-) dt, lb a cp(x(t))l - zldt =,flp(x(t))\/(z) a - dt dt hetgee de lijitegraal is va de fuctie ~ ( x over ) de kromme 5 = x(t). Vb. Gevraagd de itegraal va x2 uitgestrekt over de cirkel x?+ y2=. De cirkel kue we voo~stelle door x = cos t met O 4 t < 2r. dx Da is - = - * y = si t dx si t, = cos t, dus izl = Vsi2t + cos2 t =. dt dt -

53 c v.2 i 2 We krijge dus cos't dt =. O Uit de wijze waarop we aa de dat deze oafhakelijk moet zij echter ook bij verificatie i de parameter t over op de parameter lijitegraal zij gekome volgt al, va de parameterkeuze. Dit blijkt formule te kloppe. Gaat me va de u da vide we volges de kettigregel dx Jrp(x(t))l Sldt = Jrp(x(t)) igllsl dt, i- &(K) maar dit laatste is op grod va de trasformatiestellig voor itegrale juist gelijk aa Let wel dat hierbij steeds over het positief geöriëteerde iterval gehtegreerd wordt, zodat we iderdaad de trasformatieformule met absoluutstrepe moete gebruike (zie de opmerkige aa het eid va 8.5 va hoofdstuk V). Ee bij vlakke kromme vaak gebruikte speciale parametervoorstellig is de expliciete vorm y = y(x), dus met x als parameter. dat geval wordt de lijitegraal dus s r p ( x, y ( x ) ) dx. ~ ~ bovestaad voorbeeld krijge we twee expliciete voorstellige y=:-, a=-. De gevraagde itegraal is dus 2 7 *, hetgee ook T oplevert. v-x? - Als we de gehtegreerde fuctie gelijk aa eme, da is de lijitegraal de booglegte va de beschouwde kromme: b dx dt. Deze gebruike we u om ee speciale parameterkeuze a op de kromme tot stad te brege. We eme ee variabel put = x(t) op de kromme e mete de booglegte va ee vast put x(a) - tot dit variabele put (de itegratieveraderlijke vervage we door 7):. = E l d ~. Dit getal, dat aa het put va de kromme wordt toea gevoegd, kue we u als parameter va dit put opvatte.

54 .. Eet verbad tusse deze parameter s e de oorsprokelijke parameter t wordt gegeve door ds dx -- dt - x. Me zegt wel, dat met s als parameter de booglegte als parameter is gekoze. Let wel dat deze parameter s slechts op ee additieve costate a bepaald is: het begiput va waaruit de booglegte wordt gemete ka aders worde gekoze. Met de parameter s wordt de lijitegraal eevoudig: - Vb.2 l<p(x(s)) ds. X2 2.. De ellips - + L = ka i de volgede parametervoorstellig a ' b2 worde geschreve: x = a cos t y = b si t. Nu is - = - a si t, a = b cos t,,, ds dus.- = \/a2 si2t.+ b2 cos2t. Neme we als begiput het put t =. O, dt da 'krijge we s(t) = t si$ u + bi cos2 du, welke itegraal echter helaas iet O met elemetaire hulpmiddele uit te rekee is. Er is og ee dubbelziigheid i de keuze va S. Als me va ee vast put va de kromme uit de booglegte gaat mete, ka me dat og i twee richtige doe. Hierbove is het zo gedaa, dat de richtig va toeemede t ook als richtig va toeemede s is gekoze. Dat ka ook adersom: doet me het adersom da krijgt me, dat dx ds -- dt - -!$- dx Va de kolomvector hebbe we vroeger gezie, dat zij richtig dt de richtig va de raaklij i het betreffede put va de kromme aageeft. Ee vector ter legte i deze richtig wordt u ee raakvector - t va de kromme geoemd. Deze is door deze eise op het teke a bepaald. dx Kieze we dit teke zo, dat ee positief veelvoud va 4 is, da is dt de raakvector - t va de kromme dus gedefiieerd door dx dt dt 'i j 'j (Hieri is voor het gemak va de otatie de kolomvector door ee rijvector vervage). Hierbij is verodersteld dat 2 dt # - O, dus dat de rag va de fuctioaalmatrix va x(t) éé is. Op te merke is, dat i deze bepalig va de raakvector ee kleie ivloed va de parameter opgeslote zit, l. i het teke. Vervagt me de parameter t bv. door -t da gaat de raakvector i zij tegegeatelde over. Blijkbaar hagt dit af va de vraag i welke richtig de kromme bij de toeemede parameter doorlope wordt.

55 - - ax dx d6 dx dx geldt blijkbaar dat t = - dt ds dt ' - ds * dx Bij de keuze va de booglegte als parameter wordt - vazelf ee ds e eheidsvec t or. Omdat - = ~ e z = -- - v. 4 het geval va voorbeeld 2 wordt de raakvector 2 klaarblijkelijk - a si t b cos t * a2 si2t + bzcos2 t va' si2 t + b2cos2 t vb.j We beschouwe weer de schroeflij (Bie voorbeeld 2 i. hoofdstuk V) : x = a cos t z = ht dt = V -. dx dz - h. dt dt dt is - = - a si t, e = a cos t, - - De raakvector is - a si t a cos t v ' v m ' v T T T )* We merke og op, dat overgag op adere coördiate = %(E) i de ruimte i de formule voor de lijitegraal ka worde bewerkstelligd door gebruik te make va dx - dx -- du dx waari - de fuctioaaloperator va de fyctie ~(2) is. de Zo bv.bij de overgag op poolcoördiate: - * dx = cos cp - r si cp dt dt dr!q = sicp + r cos cp dt dt.e=---- dt"a;at' va Op aaloge wijze bereket me voor bolcoördiate i de ruimte. - B. Oppervlakte-itepale. We bes'chouwe u ee oppervlak i R5, dat we gegeve deke door ee parametervoorstellig met twee parameters: x = x(u.v) vectorotatie = ~(2). We eme aa, dat de r'ag z =,z(u,v) va de fuctioaalmatrix 2 is. Deze matrix met 3 rije e 2 kolomme splitse we i twee kolomvectore. De eerste kolomvector bestaat uit partiële afgeleide aar u e de tweede uit partiële afgeleide aar v. Met ax ee voor de had liggede otatie oeme we deze vectore daarom ax au e -.De ragvoorwaarde beteket, dat deze vectore lieair oafhakelijk av zij.

56 v.5 De meetkudige betekeis hierva is de volgede. Als we v costat houde (v = c) da blijft er,og ééfi.veraderlijke parameter u over, zodat we da ee kromme.kriige, die atuurlijk, pp het oppervlak ligt e waarva de richtig va de raaklij i ee put.juist bepaald wordt a5 door de vector -.Voor elke c levert v = c dus ee kromme op het opperau vlak; deze kromme same vulle het oppervlak op. We kue hetzeifde u doe met verwcsselig va. de rolle va u e V. Zo krijge we i ieder put' tw,ee' kromme op het oppervlak, l. éé waarop' v costat is e éé waar0p.u costat is; vectore i de raakrichtig va deze kromme zij - ax ax e 2. Daar deze vectore lieair oafhakelijk zij bepale ze au av ee plat vlak: het raakvlak aa het oppervlak. derdaad is het raakvlak i ee put opgebouwd uit alle raaklije aa willekeurige kromme door dat put op het oppervlak. Ee dergelijke kromme ka bepaald worde door u e v als fuctie va éé parameter t te geve. We krijge da x x(u(t)), Blijkbaar is da - = -- '5 ax du ax dv -= dt au dt av dt ' ax a5 dus de raaklijrikhtig is ee lieaire combiatie va - e -, au av dus ligt i het, hierbove bepaalde platte vlak. De rechte door het raakput loodrecht op het raakvlak wordt de ormaal va het oppervlak i *at put geoemd. De richtig va de orm: wordt bepaald door ax - ax x- au av ' ax - ax wat dit i6 ee vector loodrecht op a;; e -. av We voere u ee.ormaalvector i, als ee eeheidsvector i de Fichtig va de ormaal. Hiervoor kue we eme maar ook het tegegestelde va deze vector voldoet aa de vereiste. Als we trouwes de rolle va u e v verwissele, gaat de hier gegeve - al i zij tegegestelde over. - Vb.4 We beschouwe het eeheidsboioppervlak gegeve door de parametervoorstellig x = si 8 cos cp a& ae y = si e si cp. Dus is - = = COS e - si e si cp si e cos cp O si28 cos cp si* e si cp si e cos e si 8 cos cp

57 Y.6 Dit is juist de vector x..dit klopt, wat de ormaalvector ligt op de voerstraal uit O e heeft legte. Blijkbaar is deze vector bij de hier gemaakte keuze aar buite gericht. De vector 2 geeft de raaklijax ae richtig voar meridiae e = voor parallelcirkels. acp Aaloog met wat we hierbove voor kromme gedaa hebbe wille we u ook voor oppervlakke de oppervlakte-itegraal va ee fuctie q(x) - bepale. Hiertoe gaa we het oppervlak i kleie stukjes verdele, hetzee we kue doe door eerst het (u,v)-vlak i kleie stukjes te verdele. Het ligt voor de had daarvoor i het fu,v)-vlak vierkate te eme. Brege we zo' vierkat over aar het oppervlak, da wordt dit ee stuk gekromd oppervlak. Aaloog met de gag va zake bij lijitegrale wille we dat met iets approxime-e dat "recht" is. De beelde va de hoekpute va het vierkat zij vier pute op het oppervlak, die echter i het algemee iet i éé plat vlak zulle ligge. Ter vermijdig va deze moeilijkheid verdele we het (u,v)-vlak liever i driehoeke. De beeldpute va de hoekpute va ee driehoek zij drie pute op het oppervlak, die we weer als hoekpute va ee driehoek kue eme, welks oppervlakte ter beaderig va de maat va het stukje krom oppervlak ka diee. We eme aa, dat de fuctie ~(g) differetieerbaar is met cotiue partiële afgeleide va de eerste orde. Deze afbeeldig fs dus bij beaderig lieair e voor ee kleie driehoek doe we voorlopig et alsof zij lieais is, met ais matrix de fuactioaalmatrix A. De driehoek i het (u,v)-vlak zij opgespae door de vectore - a = (a,,az) e - b = (b,,bz). Na de afbeeldig gaa ze over i de vectore Ag e AL, die u echter vectore i R, zij. De oppervlakte va de drie- hoek opgespae door deze vectore is 3 & X Ab. Nu i6 echter -. ax Gebruik maked va de eigeschappe va het vectorbz av + broduct vide we u a5 AL = b, a; dus is juist de oppervlakte va &e driehoek i het (u,v)-vlak, opgespae door a e b. Vermeigvbldige we dit u og met ée fuctie cp e sommere we dit over de driehoekjes va de verdelig va het (u,v)-vlak, da krijge we ee approximatiesom va de itegraal

58 Hierbij hebbe we echter het feit verwaarloosd, dat de afbeeldig slechts bij beaderig lieair was. Hierdoor wordt bij ieder driehoekje ee fout gemaakt. Op grod va oze ervarige i vroegere gevalle verwachte we u echter, dat de ivloed va de totale fout i de approximatiesom tot ul adert als de verdelig i driehoeke willekeurig fij gemaakt wordt. Het blijkt echter, dat dit i deze algemeeheid ojuist is; er moet om dit i orde te krijge og ee beperkig opgelegd worde aa de verdelig i driehoeke. We eise, dat bij de limietovergag bij iedere gebruikte driehoek het quotiët va het kwadraat va de lagste zijde e de oppervlakte beede ee vaste eidige gres blijft. Dit komt hierop eer, dat de driehoeke iet te smal e spits moge worde. Legge we deze restrictie op, da blijkt alles goed te gaa. Op grod hierva oeme we itegraal () de oppervlakte-itegraal va de fuctie cp(5). over het oppervlak - x = %(u). Als de fuctie cp gelijk aa geome wordt, krijge we de oppervlakte va het oppervlak. Zo krijge we voor de oppervlakte va de eeheidsbol i voorbeeld 4: 2rr l O f- dcp f si û dû = 4% O Uit de wijze waarop we tot de oppervlakte-itegraal zij gekome blijkt al, dat het resultaat oafhakelijk is va de parameterkeuze. Dit is echter ook weer rechtstreeks a te rekee met behulp va formule (). Deze oafhakelijkheid stelt os i staat ee symbolisch oppervlakteelemet do i te voere: p; e de oppervlakte-itegraal korter te otere met/cp(x)da. Vaak wordt ee oppervlak gegeve i ee expliciete vorm z = z(x,y); z=zdy '> hetgee beteket, dat x e y als parameters zij gekoze. We krijge da ( 2 ax = 8.), 2 = (%.) ax itegraal wordt - - ay, x 2 = ( -E -f), e de oppervlakte- hetgee ee formule is, die ook al i het eerste jaar is behadeld. Me ka bv. ook poolcoördiate i het (x,y)-vlak als parameters eme: x = r cos cp Er blijkt da uit te kome: y = r si cp z = v w z(r,cp) do = acp drdq

59 v.8,8.2 De itekraalstellire. &. Xerste itegraalformule. Potetiaal. Coservatieve velde. fi.zij drie fudametele itegraalstellige i de vectoraalyse, die behore bij dimesies, 2 e 3. We begie met het eedimesioale geval va ee kromme. Uitgagspuö is de hoofdstellig va de itegraalrekeig, die als volgt luidt: Als cp (x) ee differetieerbare fuctie is voor a < x 6 b, met cotiue afgeleide, da is We eme u ee kromme K i de ruimte (of het platte vlak), gegeve door ee parametervoorstellig x = x(t) (a 4 t 4 b). Verder is ee fuctie a(x) gegeve (op te vatte als ee scalarveld; zie paragraaf va hoofdstuk V). Zowel a(x) als x(t) worde differetieerbaar verodersteld met cotiue (partiële) afgeleide. Op de fuctie cp(t) = a(z(t)) passe we u bovestaade stellig toe. Dit geeft, oder toepassig va de kettigregel Va het likerlid wille we ee lijitegraal make. Hiertoe make we gebruik va de raakvector, die bepaald-is door dx t. Vulle we dit i de itegraal i e brege we (),! (grad a, 4)ds = a(eidput) - a(begiput). K

60 2'r-l - = O = De driehoek va Pascal = 2 2 i.',? '.fj = = = r.., 'i Vr aaks t ukke 2.2. De letters AGBB'kue op (5) = 0 maiere worde geragschikt. 2 Schrijf deze 0 ragschikkige volledig uit Bereke o 52-3-tt-Tr -2C2- l3zl, (5, (2) Ga a dat x e -x dx = l (Hierdoor ka me! ook voor iet-gehele positieve defiiered ' Hoeveel combiaties va 3 letters ka me vorme uit de letters va de woorde a) paard, 7 b) aatal, & c) eveaar, 3 d) telefoo. 50 Q\! Bewijs: -2-2) -2 (Z) = ( ) Bewijs: c r(r) = 2"-', F=O c + (r-2). e c r= o Bewijs: 2 = p o ) + (-l)(l) + (-2 26 P d. r(r-)c) = (r )(; = (o) + + (2) m ) Ga a dat C (' 2 )x de reeksotwikkelig va (-4~)'~ is., ',/ r, 4 'jl..,.,: ; = o. 3.ç '(Z-,): Bewijs:

61 V Ee geeralisatie; de multiomiaal coëfficiëte Gegeve,2,...,% zij k positieve gehele getalle e da is \ =, - het aatal maiere. waarop objecte A \objecte A. OP ee rij kue worde Reraaschikt Me ka tv. de letters va het-woord "ege" op = 30 22! objecte A -..., L $&f ~e&-.,w 2, verschillede maiere achter elkaar zette. We kue de groothede (2.3.) de multiomiaal coëfficiëte oeme. Het zij de coëfficiëte va de term 2 % al a2... % i de otwikkelig va het gedurig produkt (a, + a a& *b 3 $ '$ Me ka de formule (2.3.) ook als volgt.schrijve..., i,.,", D.W.Z. we kieze uit objecte eerst ee iet geragschikte groep va i, da uit de resterede (-i) objecte ee iet geragschikte groep va a, ez. Bij de toepassige va formule (2.3.) moet me er echter goed om deke, dat zij permutaties va gelijktallige $2 groepe oderlig meetelt. Uit de letters ABCD ka me bv. volges 'h (2.3.) op 4 maiere 2 groepe va 2 kieze, te wete AB - CD, AC - BD, AD - BC, BC - AD, BD - AC, CD - AB. aerbij worde formaties als AB - CD e CD - AB afzoderlijk geteld.

62 v.ll als we ~(5) vervage door zij lieaire stuk, is dit dus de correspoderede beaderig voor de itegraal. We eme ee gebied G i het platte vlak, dat we u iet meer klei veroderstelle e make ee aaloge afspraak over het doorlope va de radkromme K va G. We gaa u G i kleie brokke verdele; bij elke brok make we de itegraal op over de op passede wijze georiëteerde radkromme. Door de verdelig i brokke zij er radkromme bijgekome. De ieuwe raiiikromme echter, die iet met K samevalle, zij stuksgewijs rad'va twee brokke, e wel worde ze bij elk der brokke juist op tegegestelde wijze doorlope. Telt me dus de itegrale voor alle brokke bij elkaar op, da valle de itegrale over alle ieuw igevoerde rade tege elkaar weg e blijft toch allee de itegraal over K over. De som over alle brokke geeft, als me elke term vervagt door bovegeoemde beaderig, ee approximatiesom va de itegraal over 5-3. De foute die me hierbij maakt, adere tot ul bij G va ax ay verfijig va de verdelig i brokke, als me aaeemt, dat de verdelig i brokke voldoede etjes geieurt: veroderstel dat 2 (booglegte radkromme va brok) oppervlakte brok beede ee.vaste gres blijft bij de limietovergag (de brok moet iet te %lagachtig" zij). We vide dus het resultaat G K waarbij de oriëterig va de raakvector 4 va de radkromme K va het gebied G behoort bij ee doorlope va K waarbij G aa de likerkat ligt. Het i voorbeeld gevode resultaat klopt met deze formule, wat aa aa daar is 2 ax - 2 = 2 e de oppervlakte va G is. ay aa aa a29 ax ay axay ayax * hetgee ul is, omdat de betrokke tweede afgeleide cotiu verodersteld zij. derdaad hebbe we vroeger ook voor de itegraal i het rechterlid i dit geval gevode, dat hij ul is. Neme we aa dat a = grad cp, da is 2 - ' = - - We merke og op, dat het gebied G ook ee rad mag hebbe, die uit meer da éé kromme bestaat; dit verschijsel treedt op als er "gate" i G zitte. Ee eevoudig voorbeeld is het riggebied tusse twee cocetrische cirkels. De itegraal over K moet over alle optredede radkromme gesommeerd worde, waarbij elke radkromme va passede oriëterig moet worde voorzie. Bij de zoëve geoemde cirkels moet de buiteste cirkel tege de wijzers va het uurwerk e de bieste met de wijzers va het uurwerk mee doorlope worde. Passe we formule (2) toe op ee klei gebied.je dat het put E bevat da is het likerlid b$j beaderig gelijk aa

63 v.2 Door u G op E same te trekke vide me de uitkomst - C. 'l'weede itegraalformule i de ruimte (Stokes). We gaa u over tot het geval dat de geslote kromme K gelege is i de ruimte e daar de rad vormt va ee stuk gekromd oppervlak S. We deke os S gegeve door ee parametervoorstellig 5 = x(u,v) = E(%), waarbij S het beeld is va ee gebied S' i het (u,v)-vlak met rad K', die afgebeeld wordt op K. Verder zij i R, ee vectorveld &(& gegeve. De parametervoorstellig veroderstelle we twee maal differetieerbaar met cotiue partiële afgeleide va de tweede orde e het vectorveld eemaal differetieerbaar met cotiue partiële afgeleide. We gaa u (2) toepasse i het (u,v)-vlak; we moete daartoe eerst og ee vectorveld g =(a,a i het (u,v)-vlak aageve. Dit defiiëre we. door a, = (b(x(g)), z), - z). 2ax ax a2 = (b(x(z)). We beschouwe u eerst het rechterlid va (2). Om misverstad te voorkome zulle we booglegte e raakvector op K' met s' resp. ' e op K met s resp. 4 aaduide. Nu is '5 du ax av dv dsl - (5, ') = (b, a;) + (5, -) - d z - - ds -- (let wel dat (a, t') ee tweedimesioaal iwedig product is, maar ax (b, E) ez. driedimesioale iwedige producte zij). Daar echter de parameter 6' bij overgag va de kromme K' op de kromme K gee booglegte behoeft te blijve, werke we liever met ee willekeurige parameter t: K' K' Gaa we u echter over op itegratie over de kromme K, da wordt dit blijkbaar, als we op K de booglegte 6 als parameter kieze:,f (&, ) ds, dus juist de lijitegraal die we wese. We gaa u het K likerlid va,(2) uitrekee. l

64 ~ ~- ~ > db Hieri is gebruik gemaakt va de otatie met differetiale: - is dx de fuctioaaloperator va d(x). - Het resultaat is dus va de vörm - compoete uitgeschreve geeft dit i=l j= i=l j= Ragschikke we dit aar de a da zie we dat de terme met gelijke ij' idices wegvalle terwijl bij ifj de terme met a e a.. elkaars ij J tegegestelde zij. Zo vide we: - 9 (a3z- az3 )(P,q, - p3q2 ) + (al3 - a,, )(p,q, - P, q5) + + (a2?- 82 )(Pl q, - Pz 4, ). Nu is de vector (a32 - a23 ' a?3 juist de i het eerste jaar al igevoerde rotatie va b, terwijl de adebe factore juist de compoete va EX 9 zij. Zo vide we dus, - - ' aa2 aal. dat au = (rot av b. x. We wille va de itegraal hierva over u e v u ee oppervlakte-itegraal over S make. Riertoe make we gebruik va de ormaalvector 2 va S, die bepaald is door -x -- Da vide we, gebruik maked va de formule voor ee oppervlakteitegraal uit paragraaf : Toepassig va forwle (2) geeft o6 u (als.we b weer door a vervage) : (3) (formule va Stokes). K Hieri is S ee stuk oppervlak i 3 e K de radkromme va S, de ormaalvector va S e.4 de raakvector va K. Zowel i als i i zit echter ee orieterigsdubbelsiigheid. We moete dusog agaa, hoe voor beide ee bij elkaar passede keuze moet worde gemaakt. De richtig va tl,$.s die va a; X G. a5 ax Nu is 5 Be richtig va de raak- lij aa ee kromme v = costat: dit correspodeert'i het (u,v)-vlak met.de richtig va'de positieve u-as. Evezo correspodeert - ax av met de richtig va de positieve v-as. Als we i de ruimte ee w-as erbij kiezel., au & y=y(7;y,z) ~~ -JAx ab= *) = - a r

65 V.4 zodat u-as, v-as e w-as ee rechts stelsel vorme, da correspodeert a5 ax t past bij ee doorlope met - x de positieve w-as. De richtig va au - va K' i het (u,v)-vlak zo dat G' liks ligt, dus ee doorlope i ee omloopszi tege de wijzers va het uurwerk. Deze omloopszi tezame met d+? richtig va de positieve w-as geeft ee schroefzi behorede bij ee rechtse schroef. Dit blijft behoude bij de overgag aar g e t. Dus moete i e zo worde gekoze, dat de omloopszi va K behorede bij 4. tezame me5 - de schroefzi va ee rechtse schroef vorme. Daar 0 ee eeheidsvector is, is (rot 5, E ) de projectie va rot - a op de ormaal, of, zoals me ook wel zegt, de ormale compoet va rot 5. - Vò.2 Neem het vectorveld 5 = (z-y, x-z, y-x); da is rot a = (2,2,2). We eme de halve bol, die bestaat uit het stuk bove het Tx,y)-vlak va de bol x2 + y2 t z2 =. Deze is voor te stelle met de parameter- 3 voorstellig va voorbeeld 4 i paragraaf, waarbij u e va O tot.3x loopt. Het likerlid va de formule va Stokes wordt dus 2rr * x (2 si û cos cp / + 2 si û si cp + 2 cos û)siû dû = 2x. dcp O O De kromme i het rechterlid is de eeheidscirkel i het (x,y)-vlak. Voor pute i dit vlak is 5 = (-y, x, y-x). Deze moet op ee raaklij i het (xy)-vlak geprojecteerd worde; het komt op hetzelfde eer als we dit met de vector (-y, x, O) doe. Hieruit volgt, dat het rechterlid va de formule va Stokes juist de itegraal va voorbeeld is. Ook de omloopszi klopt, wat de ormaal die bij de berekeig va bovestaade itegraal is gebruikt wijst aar buite e deze richtig past juist als ee rechtse schroef bij de omloopszi va voorbeeld. Het is makkelijk i te zie dat formule (2) ee speciaal geval va de formule va Stokes is, als voor S ee stuk va het (xy)-vlak wordt gekoze met de positieve z-as als richtig va. - D. Oriëteerbaarheid. i Bij de afleidig va'de formule va Stokes hebbe we va ee parametervoorstellig gebruik gemaakt, waarmee het oppervlak met ee stuk plat vlak geparametriseerd werd. Dit ka allee da,.als het beschouwde stuk oppervlak zich iderdaad op ee stuk plat vlak laat "uitspreide". Dit is zeker iet met ieder oppervlak mogelijk. Als eevoudig voorbeeld kieze we het gedeelte va de matel va ee rechte cirkelcilider gelege tusse twee vlakke loodrecht op de as, dus i ee speciaal coördiatestelsel de pute die voldoe aa x2 + y2 = a2, O 4 z 4 h. Dit is ee oppervlak met twee cirkels als radkromaie. Dit oppervlak is iet zoder meer op ee plat vlak uit te spreide; toch kee we ee parametervoorstellig met twee parameters cp e z: x = a cos cp y=asicp meto,<ip,<2x,o<z(h. z = z het (cp,z)-vlak krijge we dus ee rechthoek. Bekijke we de rad va deze rechthoek da correspodere de stukke op z = O e z = h juist met de radcirkels op de'*cilider, maar de stukke cp = O e cp = 2x.i

66 v.5 correspodere met dezelfde beschrijvede op de cilidermatel, die echter i het geheel gee radkromme is! Dit komt dus hierop eer, dat we, om de cilider i ee plat vlak uit te kue spreide, deze eerst lags ee meridiaa hebbe opegekipt. Dit opekippe is ee oschuldige bezigheid, zolag we os met oppervlakte-itegrale bezighoude, maar als we itegrale lags radkromme i het platte vlak gaa beschouwe, da kome er itegrale lags kromme op het oppervlak, die helemaal gee radkromme zij. Nu loopt dit i het geval va de cilider wel goed af, omdat bij omlope lags de rechthoek i het (rp,z)-vlak de correspoderede beschrijvede op de cilider twee maal i tegegestelde richtig wordt doorlope, zodat de bijbehorede itegrale tege elkaar wegvalle. Allee de itegrale over de echte radkromme blijve over: de formule va Stokes is geldig voor de cilidermatel. De vraag rijst u of ee soortgelijk verhaal voor ieder oppervlak opgaat. Dit u is zeker iet het geval. We gaa weer uit va ee rechthoek, waarva we de legte flik wat groter da de breedte eme: ee strook papier. Hierva kue we de eide aa elkaar plakke, zo dat ee oppervlak otstaat dat hetzelfde karakter heeft als ee cilidermatel. Draaie we echter ee va beide uiteide voor het aa elkaar' plakke eerst ee halve slag om, da komt er ee geheel ader soort oppervlak, dat lit va Möbius geoemd wordt e waarva me zich de merkwaardige eigeschappe het makkelijkst duidelijk ka make door het i werkelijkheid ees met papier e lijmpot te make. Ook het lit va Möbius is weer parametriseerbaar met ee rechthoek, door l. hetgee we zojuist aa elkaar geplakt hebbe, weer los te kippe. De radlije v.a de rechthoek, die aa elkaar geplakt worde, worde u echter op het oppervlak juist i dezelfde richtig doorlope (ze zij "verkeerd" aa elkaar geplakt), waardoor de bijbehorede itegrale' iet tege elkaar wegvalle: de formule va Stokes geldt iet. We krijge trouwes ook moeilijkhedeli met het likerlid va de formule va Stokes. Daar hebbe we l. ee keuze va ee ormaalvector op het oppervlak odig. Bij ee lit va Möbiue is gee dergelijke over het hele oppervlak cotiu verlopede keuze mogelijk. Begit me i ee put met ee bepaalde ormaalkeuze e loopt me eemaal het lit rod, de ormaal daarbij cotiu meeemed, da wijst deze bij terugkeer i het oude put de tegegestelde kat op: het oppervlak heeft gee twee kate. Bij de cilidermatel gaat dat wel goed: als de ormaal bij vertrek aar buite weee, wijst hij bij aakomst ook aar buite. Oppervlakke waarop over het gehele oppervlak ee cotiu veraderlijke ormaalkeuze mogelijk is, hete orieteerbaar. Als dat zo is, da blijke bij verkippe ter uitspreidig i ee plat vlak iderdaad de bijdrage va de kippe tege elkaar weg te valle, hetgee we hier iet zulle berijze. Coclusie: Voor oriëteerbare oppervlakke geldt de formule va Stokes. We zulle os,.i het vervolg tot oriëteerbare oppervlakke beperke e het woord orieteerbaar voortaa weer weglate. - _c E. Coservatieve e rotatievrije velde. Neme we u ee geslote oppervlak, bv. de bol, da heeft deze i het geheel gee radkromme. Bij de parametriserig met de gewoe bolcoördiate met O,< cp,< 2x e O x is de bol opegekipt lags de ulmeridiaa; de lije 8 = O e 8 = a i het (e,<p)-vlak correspodere elk met éé put (de pole) va de bol, hetgee klopt met het feit dat de itegrale lags deze lije ul zij, omdat er ee factor si 8 i de itegrad staat. De bijdrage va de door kippe otstae radkromme