Oefeningen Analyse I
|
|
- Renske Julia Groen
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Inleiding Oefeningen Analyse I Wil je de eventuele foutjes melden. Met dank, Yannick Meers meers@skynet.be Hoofdstuk 7: Functiereeksen Oefening Gevraagd: We gaan opsplitsen voor x : GEVAL : x < 0 cos(nx) + exp(nx) = cos(nx) exp(nx) = exp(nx) 0 als n 0 DUS: cos(nx) exp(nx) Onderzoek de convergentie van: is DIVERGENT! cos(nx) exp(nx) Opmerking: Ook cos(nx) exp(nx) is DIVERGENT! GEVAL 2: x = 0 cos(0) exp(0) = = DIVERGENT
2 GEVAL 3: x > 0 cos(nx) exp(nx) exp(nx) nx 2 n 2 Opmerking: Deze vergelijking klopt enkel en alleen wanneer x Besluit geval 3: Voor x is cos(nx) exp(nx) CONVERGENT! Geval 4: x < cos(nx) exp(nx) exp(nx) n 2 = Dit is dus ook convergent (Verklaring zie geval 3) Algemeen Besluit: cos(nx) exp(nx) Deze reeks is ABSOLUUT en PUNTSGEWIJS CONVERGENT enkel en alleen als x > 0!!! 2
3 Oefening 2 (i) Gevraagd: Onderzoek de convergentie van: k 2 cos(kx) We onderzoeken dit via de M-test: sup x A k cos kx = 2 k = 2 k 2 Besluit uit deze test: cos(kx) is UNIFORM convergent in A =R k2 Hieruit volgt natuurlijk ook de puntsgewijze convergentie van de reeks! Onderzoek van absolute convergentie: Reeks is nu: k cos(kx) 2 M-test: Besluit: sup x A k 2 cos(kx) = cos(kx) =... (zie begin oefening) k2 Deze reeks is naast puntsgewijs en uniform ook absoluut convergent! 3
4 Oefening 3 (iii) Gevraagd: n= n n xn ( ) is uniform convergent? Via de M-test komt u tot geen conclusie (doe zelf). Daarom: PMR: Beschouw de gegeven reeks als een PMR, nu is het de bedoeling om R te zoeken natuurlijk: n xn ( ) n= n ρ = lim sup ( ( )n n ) n = lim n + ρ = R = Hieruit besluiten we: n n = De reeks is uniform converent op de compacta in ], [ Nog te bewijzen: Uniform convergent in Stel: x = n= ( ) n n is convergent. (Leibniz) MAAR: We zijn nog niet zeker van uniforme convergentie! Dit kan men wel aantonen via het criterium van Cauchy, dat zeer ingewikkeld is. Daarom besluiten we gewoonweg dat de reeks uniform convergent is in [0, ] 4
5 Oefening 4 (i) Gevraagd: Onderzoek de convergentie van: ( ) k 2k + x2k+ PMR: ρ = lim sup( 2k+ ( )k 2k + ) = R = = Reeks is absoluut en puntsgewijs convergent in ], [ Nu nog onderzoek in de randen: x = : ( ) k 2k + =(Maple)= π 4 x = : ( ) k ( ) 2k+ 2k + =(Maple)= π 4 Hieruit volgt: De reeks is puntsgewijs convergent in [, ] Opmerking: De reeks is niet absoluut convergent in [, ], dus enkel betrekkelijk convergent! Helaas hebben we nog geen uniforme convergentie in [, ], dit kan wel bewezen worden via het criterium van Cauchy, maar dit is te langdradig volgens Sandy, dus hebben we ook lekker niet gedaan! 5
6 Bepaling van de limiet: f(x) = f (k) (x) = a n (x x 0 ) n k a n n! (n k)! (x x 0) n k Toepassen op de gegeven reeks levert: = ( ) k 2k + x2k+ ( ( )k 2k + x2k+ ) ( ) k 2k + (2k + )x2k =(Maple)= + x = f (x) 2 f (x) = = f(x) = + arctan(x) + x2 6
7 Oefening 9 Gegeven: g, h holomorf in omgeving van a g(a) 0 h(a) = h (a) h (x) 0 Gevraagd: f(z) = g(z) h(z) Eventjes Taylor gebruiken: multipliciteit van pool: z = a g(z) = g(a) + g (a)(z a) + g (a) (z a) ! h(z) = h(a) + h (a)(z a) + h (a) (z a) ! Vermits h(a) = 0 en h (a) = 0 komt er voor h(z): h(z) = h (a) 2! (z a) 2 + h (a) (z a) ! h(z) kunnen we ook nog schrijven als: h(z) = (z a) 2 ( h (a) 2! + h (a) (z a) +...) OPM.: h (a) 0!!! 3! We benoemen nu H(z): H(z) = h (a) 2! + h (a) (z a) ! f(z) = g(z) h(z) = We stellen: F (z) = F (z) = g(z) (z a) 2 H(z) = g(z) (z a) 2 H(z) F (z) = g(z) H(z) Opgelet! F (z) is ook Holomorf! (z a) (F (a) + F (a)(z a) + F (a) (z a) ) 2 2! F (a) (z a) + F (a) 2 (z a) + F (a) 2! + F (a) (z a) ! 7
8 Dit is duidelijk een pool met multipliciteit 2! 8
9 Oefening 2 Opgave zie opgaveblad! () Enkel cosinustermen: f(x) = a a k cos(kt) f is een EVEN functie: f(t) = f( t) D.w.z.: Y-as is symmetrie-as bij een EVEN functie! (2) Enkel sinustermen: f(x) = b k sin(kt) f is een ONEVEN funcite: f(t) = f(t) D.w.z.: Oorsprong is een punt van symmetrie! (3)Enkel oneven cosinustermen: f(x) = a 2k cos((2k )t) Hier is de Y-as de symmetrie-as EN ( π, 0) is punt van symmetrie. 2 (4)Enkel even cosinussen: f(x) = a a 2k cos(2kt) Hier is de Y-as symmetrie-as en x = π 2 is symmetrie-as. 9
10 Oefening 3 Enkel de theoretische afleiding: Algemene Formule: f(x) in [ L, L] a k = L b k = L L L L L f(x) = a f(t) cos( πkt L )dt f(t) sin( πkt L )dt a k cos( kπx L ) + b k sin( kπx L ) 0
11 Oefening 6 Gegeven: f(x) = x in [0, π], periode 2π Gevraagd: Schrijf f(x) in enkel cosinus-termen! { x als x [0, π] f(x) = x als x [ π, 0]. n N + ( )k a k = 2 πk 2 a 0 = π (teller kan 0 worden) En: a 2n = 0 4 a 2n+ = π(2n ) 2 f(x) = π ( )k 2 πk 2 f(x) = π cos((2n )X) X [ π, π] π(2n ) 2 Nog Gevraagd: KIES:x = π n= (2n ) 2 =??? π = π cos((2n )π) π(2n ) 2 n= Opm.: cos((2n )π) = π = π π n= (2n ) 2
12 n= (2n ) = (π π 2 2 )π 4 n= (2n ) = π2 2 8 We gaan nu deze hele procedure nogmaals herhalen voor de functie: f(x) = x 2 f(x) = x 2 Voor x [0, π] f(x) = π ( ) k k 2 cos(kx) in [ π, π] Nu gaan we nog de reekssom bepalen van: n= KIES: x = 0 en vul in, in de oplossing hierboven: f(0) = 0 = π π Daarna: ( ) k k 2 ( ) k k 2 = 0 = π2 2 4( ) k cos(0) k 2 n 2 en van: n= ( ) n Kies x = 0 en vul in, in de eerste oplossing die we gevonden hebben: 0 = π = π 2 2 π 2( + ( ) k ) πk 2 k + 2 ( ) k 2 π k 2 cos(0) = π πk 2 + 2( ) k πk 2 n 2 2
13 We weten al: 2 π 0 = π 2 2π2 2π + 2 π k ( ) k k 2 k = ( π 2 + π 6 ) = π2 6 = π2 2 3
14 Oefening 7 Gegeven: (f n ), n N {0} en F (z) bestaat voor z > Gevraagd: Bestaat zf (z)? Waar? Voor welke rij? zf (z) = z f n z n = f n z n = f 0z + f + f 2 z + f 3 z Dit is een Z-beeld, ALS (f 0 = 0) en dit van de rij (f, f 2,...) Convergentiegebied: ρ = lim sup f n+ n = Dus voor z > Tweede vraag: Bestaat F (z)? Waar? Welke rij? Oplossling: F (z) = d dz F (z) = z Z(nf n) (Stelling 8.7) F (z) = z nf n z n = nf n z n+ We voeren een substitutie door waarbij: n + = k F (z) = + (k )f k z = ( (k )f k k ) z met: f k = 0!!! BESLUIT: F (z) is het Z-beeld van: (f, 0f 0, f, 2f 2,...) = (0, 0, f, 2f 2, 3f 3,...) in het gebied z > en: ρ = lim sup(f(k )f k ) k = lim sup k k lim sup fk k = 4
15 Oefening 8 Gegeven: f, periode 2π, continu afleidbaar=glad=klasse C en een complex fourierspectrum: {c k ; k Z} Gevraagd: Complex fourierspectrum van f 2 (f(t 0) + f(t + 0)) = f(t) = f is continu dus: k= f (t) = f (t) = c k exp(ikt) k= k= k= (c k exp(ikt)) c k exp(ikt)ik = c k exp(ikt) k= c k ik exp(ikt) Daaruit zien we onmiddelijk dat: {c k ik; k Z} het fourierspaectrum van f is! 5
16 Oefening 9 Gegeven: f(x) = a k x k in ] 2, 2[ f(x) is reeel analytisch in R, daaruit volgt: R f = 2 Gevraagd: Convergentiegebied en reekssom van a k (k + )(x 2) k ρ = lim sup a k (k + ) k ρ = lim sup( a k k + k k ) ρ = lim sup a k k lim sup k + k Dus: ρ = 2 OPM.: lim sup a k k = ρf = R f = 2 lim k + k ρ = k + 2 R = 2 D.w.z.: De reeks is convergent als x 2 < 2 of x ]0, 4[ De reekssom: f(x) = a k x k f(x 2) = ((x 2)f(x 2)) = f(x 2) + (x 2)f (x 2) = = a 0 (x 2) 0 + a k (x 2) k (a k (x 2) k+ ) a k (k + )(x 2) k a k (k + )(x 2) k a k (k + )(x 2) k = f(x 2) + f (x 2) f(0) in ]0, 4[ 6
17 Oefening 20 Gegeven: f(x) = a k x k in ] 3, 3[ n f(x) is reeel analytisch in R en b n = a k Gevraagd: Convergentiegebied van: b k x k = b 0 x 0 + b x + b 2 x b n x n +... b k x k = a 0 + (a 0 + a )x + (a 0 + a + a 2 )x (a 0 + a a n )x n +... = (a 0 + a x + a 2 x ) + (a 0 x + a x 2 + a 2 x ) + (a 0 x 2 + a x ) +... = (a 0 + a x +...) + x(a 0 + a x +...) + x 2 (a 0 + a x +...) +... = f(x) + xf(x) + x 2 f(x) + x 3 f(x) +... = f(x)( + x 2 + x 3 + x ) = f(x) x = f(x) x = b k x k Met: R T OT = min {R, R 2 } = 7
18 Oefening 22 Gevraagd: Geef alles van de functie: f(z) = (i) Holomorf: z z 2 + f(z) heeft 2 enkelvoudinge polen in: z = i en z = i f(z) is dus holomorf in C-{i, i} (ii) PMR: PMR in termen van z f(z) = (iii) NMR: Normaal doe je dit met Maple,... Nu eventjes een poging op papier: z z 2 + = Stelsel: Az z i + Bz z + i A + B = 0 A = i 2 ( ) k z 2k+ in z < = Az(z + i) + Bz(z i) z 2 + Ai Bi = B = i 2 (f n ) = i 2 in + i 2 ( i)n in z > i en z > i z > = F (z) = n= f n z n 8
Doe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle.
De n-de term van de numerieke rij (t n ) (met n = 0,, 2,...) is het rekenkundig gemiddelde van zijn twee voorgangers. (a) Bepaal het Z-beeld F van deze numerieke rij en het bijhorende convergentiegebied.
Nadere informatieExamenvragen Wiskundige Analyse I, 1ste examenperiode
Examenvragen Wiskundige Analyse I, ste examenperiode 24-25 Vraag (op 6pt) Vraag.. Waar of vals (.5pt) De Wronskiaanse determinant van twee LOF oplossingen y en y 2 van de differentiaalvergelijking cosh(x)y
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 30 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 33 Outline 1 2 Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen
Nadere informatieANALYSEQUIZ Ga naar new.shakeq.com en log in met de code uvaanalyse2a
ANALYSEQUIZ 2016 Ga naar new.shakeq.com en log in met de code uvaanalyse2a WAAR OF ONWAAR: EEN SOM CONVERGEERT ALS DE TERMEN NAAR NUL GAAN. A. Waar B. Onwaar De vraag gaat open zodra u een sessie en diavoorstelling
Nadere informatieOefeningen Analyse I
Oefeningen Analyse I Hoofdstuk 2: Rijen en Reeksen Inleiding Opmerking: In deze tekst kunnen fouten staan. Het zijn meestal oefeningen opgeschreven vanuit de lest, met eventueel zelf gemaakte oefeningen
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 21 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 32 Outline 1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Nadere informatie2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen?
Vraag Een vloeistoftank met onbeperkte capaciteit, bevat aanvankelijk V liter zuiver water. Tijdens de eerste faze stroomt water, dat zout bevat met een concentratie van k kilogram per liter, de tank binnen
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 13 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 41 Outline III.6 The Residue Theorem 1 III.6 The
Nadere informatieExamenvragen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet, eerste examenperiode
Examenvragen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet, eerste examenperiode 2008-2009 Een vloeistoftank met een capaciteit van 500 liter bevat aanvankelijk 100 liter water, waarin 30 kilogram zout is opgelost.
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op ,
1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op 25-11-1998, 9.00-12.00 uur Opgave 1 1. Formuleer de Cauchy-Riemann-vergelijkingen.
Nadere informatie3 Opgaven bij Hoofdstuk 3
3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 Opgave 3. Voor k beschouwen we de functie f k : x sin(x/k). Toon aan dat f k 0 uniform op [ R, R] voor iedere R > 0. Opgave 3.2 Zij V een verzameling. Een functie f : V C heet
Nadere informatieOverzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Nadere informatieHet uitwendig product van twee vectoren
Het uitwendig product van twee vectoren Als u, v R 3, u = u 1, u 2, u 3 en v = v 1, v 2, v 3 dan is het uitwendig product van u en v gelijk aan een vector in R 3 en wel u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3,
Nadere informatieTentamen Functies en Reeksen
Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, 9.00-12.00 uur. Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven. De uitwerkingen van deze opgaven dienen
Nadere informatieExamen Complexe Analyse vrijdag 20 juni 2014, 14:00 18:00 uur Auditorium De Molen. Het examen bestaat uit 4 schriftelijke vragen.
Examen Complexe Analyse vrijdag 0 juni 04, 4:00 8:00 uur Auditorium De Molen Naam: Studierichting: Het examen bestaat uit 4 schriftelijke vragen. Elke vraag telt even zwaar mee. Het boek Visual Complex
Nadere informatieExamen Complexe Analyse (September 2008)
Examen Complexe Analyse (September 2008) De examenvragen vind je op het einde van dit documentje. Omdat het hier over weinig studenten gaat, heb ik geen puntenverdeling meegegeven. Vraag. Je had eerst
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (2Y480) op 22 november 1999,
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (Y480) op november 999, 4.00-7.00 uur Formuleer de uitwerkingen der opgaven duidelijk en schrijf ze overzichtelijk
Nadere informatie4.1 Rijen. Inhoud. Convergentie van een reeks. Reeksen. a k. a k = lim. a k = s. s n = a 1 + a 2 + + a n = k=1
Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-0 Reesen en Machtreesen Inhoud. Rijen 2. Reesen Definities en enmeren Reesen met niet-negatieve termen Reesen met positieve en negatieve termen 3. Machtreesen
Nadere informatieAanvullingen van de Wiskunde
1ste semester 23 januari 2007 Aanvullingen van de Wiskunde 1. Gegeven zijn twee normen 1 en 2 op een vectorruimte V. Wanneer zegt men dat de 1 fijner is dan 2? Wat is dan het verband tussen convergentie
Nadere informatieAnalyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar ste semester 12 januari 2010
ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 9- ste semester januari Analyse I. Formuleer en bewijs de formule van Leibniz voor de n-de afgeleide van het product van twee functies f en g.. Onderstel
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 38 Outline 1 Rekenregels 2 K. P. Hart TW2040: Complexe
Nadere informatie3 Rijen en reeksen van functies
3 Rijen en reeksen van functies 3.1 Uniforme convergentie van een rij functies Met het oog op latere toepassingen op machtreeksen en Fourierreeksen werken we in het vervolg steeds met complexwaardige functies.
Nadere informatieUniversiteit Leiden, 2015 Wiskundewedstrijdtraining, week 14
Universiteit Leiden, 0 Wisundewedstrijdtraining, wee Wee : reesen Een rees is een speciaal soort rij, dus: den altijd eerst na over convergentie! bijzonder: monotone, begrensde rijen convergeren In het
Nadere informatieWiskunde: Voortgezette Analyse
de Bach. IR Wet.: Architectuur Academiejaar 0-04 ste zittijd, januari 04 Wiskunde: Voortgezette Analyse. Gegeven is de reeks n x (x + ) n+ Toon aan dat de reeks puntsgewijs convergeert over R. Toon aan
Nadere informatieComplexe Analyse - Bespreking Examen Juni 2010
Complexe Analyse - Bespreking Examen Juni 2010 Hier volgt een bespreking van het examen van Complexe Analyse op 18 juni. De bedoeling is je de mogelijkheid te geven na te kijken wat je goed en wat je minder
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 16 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline III.7 Applications of the Residue Theorem
Nadere informatieTentamen Analyse 4. Maandag 16 juni 2008, uur
Tentamen Analyse 4 Maandag 16 juni 2008, 14-17 uur Vermeld uw naam (met voornaam en voorletters) en uw studentnummer. Er zijn geen hulpmiddelen toegestaan. Dit tentamen bestaat uit zes opgaven. Vergeet
Nadere informatie18.I.2010 Wiskundige Analyse I, theorie (= 60% van de punten)
8.I.00 Wiskundige Analyse I, theorie 60% van de punten) Beantwoord elk van de vragen I,II,III en IV op één van de dubbele geruite bladen. Schrijf op elk van die dubbele geruite bladen, bovenaan de eerste
Nadere informatieOefeningen Wiskundige Analyse I
Oneigenlijke integralen Oefeningen Wiskundige Analyse I. Voor welke waarden van de reële parameters α en β is de oneigenlijke integraal x α ( + x β ) dx convergent? divergent? 2. Voor welke waarden van
Nadere informatieExamen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet. dinsdag 5 januari Vraag 1.1. Waar of vals (1pt) Het beginvoorwaardenprobleem
Examen Wiskundige Analyse I ste bach ir wet dinsdag 5 januari 206 Vraag.. Waar of vals (pt) Het beginvoorwaardenprobleem 32x 3 y = (y ) 3, y() = 2, y () = 4 bezit een unieke oplossing, die geldig is in
Nadere informatieVI.2 Reeksen met positieve termen
VI.2 Reeksen met positieve termen In deze paragraaf kiken we naar reeksen =0 a met a 0 voor alle N. Merk op dat in dit geval voor de ri van partiële sommen s n = n =0 a met n 0, geldt dat s 0 s s 2...
Nadere informatieTRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER
TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES
Nadere informatieSignalen en Transformaties
Signalen en Transformaties 201100109 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Complexe getallen z D a C bi We definiëren de complex
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
week 4.8, maandag Faculteit EWI TU Delft Delft, 6 juni, 2016 1 / 33 Outline 1 Maximum-modulusprincipe Lemma van Schwarz 2 2 / 33 Maximum-modulusprincipe Lemma van Schwarz Maximum-modulusprincipe Stelling
Nadere informatieBespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd)
Bespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd) Bekijk ook de bespreking van het examen van de eerste zittijd (op Toledo). Het valt hier op dat de scores op sommige vragen wel heel slecht zijn.
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden.
Technische Universiteit elft Tentamen Calculus TI06M - Uitwerkingen Opmerkingen:. Het gebruik van de rekenmachine is NIET toegestaan.. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. 3. Bij iedere vraag
Nadere informatieExamen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30 Auditorium L.00.07 Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Nadere informatie. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom
8. Fouriertheorie Periodieke functies. Veel verschijnselen en processen hebben een periodiek karakter. Na een zekere tijd, de periode, komt hetzelfde patroon terug. Denk maar aan draaiende of heen en weer
Nadere informatieParels van studenten tijdens een examen
Prel 1 Prels vn studenten tijdens een exmen c k x k n+1 n+1 ( = c k x k ( ) )x c n+1x n+1 n+1 k ( ) k x n+1 k ( ) k k k Prel 2 Vrg: Zij n N, c k C voor k = 1,..., n, c n 0. Toon n dt de functie f(z) =
Nadere informatieZ.O.Z. Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 16 juni 2016, 12:30 15:30 (16:30)
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 16 juni 016, 1:30 15:30 (16:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van aantekeningen
Nadere informatieExamen Complexe Analyse vrijdag 21 juni 2013, 14:00 18:00 uur Auditorium De Molen
Examen Complexe Analyse vrijdag 1 juni 013, 14:00 18:00 uur Auditorium De Molen Naam: Studierichting: Het examen bestaat uit 4 schriftelijke vragen. Elke vraag telt even zwaar mee. Er is een bonusvraag
Nadere informatie1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en
Nadere informatieComplexe functies. 2.1 Benadering door veeltermen
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, Les Complexe functies Nadat we de complexe getallen hebben leren kennen, is het een voor de hand liggende vraag of hiervoor net als voor de reële getallen ook functies
Nadere informatieComplexe functies 2019
Complexe functies 019 Extra opgaves Opgave A Laat zien dat R voorzien van de bewerkingen a + b := (a 1 +b 1,a +b ) a b := (a 1 b 1 a b,a 1 b +a b 1 ) isomorf is met C. Wat is i in deze representatie? Opgave
Nadere informatieOplossingen WAI. Bert De Deckere 0.5 P 1 P 2 P 3 P
Oplossingen WAI Bert De Deckere Pn(x).5 -.5 P P P P 3 P 4 - - -.5.5 x Inhoudsopgave Afleidbaarheid 3. Legendreveelterm................................. 3. Kettinglijn.....................................
Nadere informatieWI1708TH Analyse 3. College 5 23 februari Challenge the future
WI1708TH Analyse 3 College 5 23 februari 2015 1 Programma Vandaag Richtingsafgeleide (14.6) Gradiënt (14.6) Maximalisatie richtingsafgeleide (14.6) Raakvlak voor niveauoppervlakken (14.6) 2 Richtingsafgeleide
Nadere informatieNotities Analyse II. Daan Pape 2e bach informatica Ugent. 6 januari 2013
Notities Analyse II Daan Pape 2e bach informatica Ugent 6 januari 203 Rijen en reeksen van reele functies Notatie: F(E, R): alle reëelwaardige functies gedefinieerd op de verzameling E. C(E, R): alle continue
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.10, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 23 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline 1 2 3 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Nadere informatieA = b c. (b) Bereken de oppervlakte van het parallellogram dat opgespannen wordt door b en c. Voor welke p is deze oppervlakte minimaal?
Oplossing Tussentijdse toets Wiskunde II Vraag Zij A de matrix met kolomvectoren met p een vast reëel getal A = a b c a =, b =, c = p a Voor welke p R zijn de vectoren lineair afhankelijk? b Bereken de
Nadere informatie(2) Bepaal de absolute waarde van (1 + i) 10 + ( x x 1 = 1. (4) Bepaal lim
Tentamen Calculus I, 4 februari 009, 9:00 :00. Schrijf op elk in te leveren blad je naam, en op het eerste blad het aantal ingeleverde bladen. Alle (negen) opgaven tellen even zwaar. Het gebruik van boek(en),
Nadere informatieUitwerkingen van de opgaven uit Pi
Uitwerkingen van de opgaven uit Pi Frits Beukers January 3, 2006 Opgave 2.3. Bedoeling van deze opgave is dat we alleen een schatting geven op grond van de gevonden tabel. Er worden geen bewijzen of precieze
Nadere informatieInfi A oefententamen ψ
Infi A oefententamen ψ Aanwijzingen Motiveer alle antwoorden. Werk rustig, netjes en duidelijk. Zorg dat je uitwerking maar één interpretatie toelaat. Alle informatie op dit opgavenblad mag bij alle (deel)opgaven
Nadere informatie1. Toon aan dat de rij (e n := (1 + 1 n )n ) monotoon stijgend en naar boven begrensd is. Conclusie i.v.m. convergentie? 13. Toon aan dat er voor elk
Rijen en reeksen Oefeningen Wiskundige Analyse I 1. Toon aan dat de limiet van een convergente rij uniek is.. Toon aan dat elke deelrij van een convergente rij, convergeert naar dezelfde limiet als de
Nadere informatieAnalyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar ste semester 10 januari 2008
ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 007-008 ste semester 0 januari 008 Analyse I. Bewijs de stelling van Bolzano-Weierstrass: elke oneindige begrensde deelverzameling van R heeft minstens
Nadere informatieInhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen
Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt
Nadere informatie== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u
== en Tentamen Analyse, WI6 == Maandag januari, 4.-7.u Technische Universiteit Delft, Faculteit EWI. Gegeven is de functie + e + e arctan,, f = +, >. a Beargumenteer dat f continu is op R. b Bepaal de
Nadere informatie1. (a) Formuleer het Cauchy criterium voor de convergentie van een reeks
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 7 augustus 2015, 16:30 19:30 (20:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek
Nadere informatieConvexe Analyse en Optimalisering
Convexe Analyse en Optimalisering Bernd Heidergott Vrije Universiteit Amsterdam en Tinbergen Institute WEB: http://staff.feweb.vu.nl/bheidergott Overzicht Literatuur Calculus, a complete course, Robert
Nadere informatie== Tentamen Analyse 1 == Maandag 12 januari 2009, u
== Tentamen Analyse == Maandag januari 009, 400-700u Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer, de naam van de docent (S Hille of O van Gaans) en je studierichting Elk antwoord dient gemotiveerd te
Nadere informatieTentamen Analyse 4 (wi2602) 17 juni 2011, uur. ) (1 gratis)) Deel 2: opgaven 2b, 4ab, 5, 6 (normering: 2 + (
TU Delft Mekelweg 4 Faculteit EWI, DIAM 68 CD Delft Tentamen Analyse 4 (wi6) 7 juni, 4-7 uur Het tentamen bestaat uit twee delen: Deel : opgaven, a, 3ab, 4c (normering: + + ( + ) + + ( gratis)) Deel :
Nadere informatieOEFENOPGAVEN OVER REEKSEN
OEFENOPGAVEN OVER REEKSEN Opgave. Bereen n=0 ( 3 n + 6n 7 n ) (antwoord 0). Opgave. Ga voor de volgende reesen na of ze convergent of divergent zijn: a) (convergent); (ln ) b) c) d) e) f) g) h) 5 5 3 +
Nadere informatieHertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur
Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele
Nadere informatieAnalyse I. 2. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville.
Academiejaar 006-007 1ste semester februari 007 Analyse I 1. Toon aan dat elke begrensde rij een convergente deelrij heeft. Geef de definitie van een Cauchy rij, en toon aan dat elke Cauchy rij begrensd
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Functietheorie (2Y480) op 23 januari 2002,
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (2Y8) op 23 januari 22, 9.-2. uur De uitwerkingen der opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
Nadere informatieMathematical Modelling
1 / 94 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 15-09-09 2 / 94 Overzicht 1 Herhaling 2 Deels oud, deels nieuw integreren 3 Lijnintegralen 3 / 94 Waarschuwing vooraf! Dit college heeft een
Nadere informatie3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n.
Radboud Universiteit Tentamen Calculus A NWI-WP025 25 januari 208, 8.30.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieExamenvragen Hogere Wiskunde I
1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D020. Datum: Vrijdag 26 maart 2004. Tijd: 14.00 17.00 uur. Plaats: MA 1.41 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf
Nadere informatieComplexe e-macht en complexe polynomen
Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten
Nadere informatieOpgaven Inleiding Analyse
Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van limiet dat lim y 0 y = 0. (b) Bewijs lim y 0 y 3 = 0 uit de definitie van limiet. (c)
Nadere informatieConvexe Analyse en Optimalisering
Convexe Analyse en Optimalisering Bernd Heidergott Vrije Universiteit Amsterdam and Tinbergen Institute WEB: http://staff.feweb.vu.nl/bheidergott.htm Overzicht Boek: Optimization: Insights and Applications,
Nadere informatieax + 2 dx con- vergent? n ln(n) ln(ln(n)), n=3 (d) y(x) = e 1 2 x2 e 1 2 t2 +t dt + 2
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NPB 8 januari 3, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering
Nadere informatieInleiding Analyse. Opgaven. E.P. van den Ban. c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Voorjaar 2003, herzien
Inleiding Analyse Opgaven E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Voorjaar 2003, herzien 0 1 1 Limieten en continuïteit Opgave 1.1 (a) Bewijs direct uit de definitie van limiet dat
Nadere informatieTOELATINGSEXAMEN ANALYSE BURGERLIJK INGENIEUR EN BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - 3 JULI 2003 BLZ 1/8
BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - 3 JULI 2003 BLZ 1/8 1. De functie f(x) = e kx + ax + b met a, b en k R en k < 0 heeft een schuine asymptoot y = x voor x + en voldoet aan de vergelijking Bepaal a, b en
Nadere informatieOpgaven Inleiding Analyse
Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van iet dat y 0 y = 0. (b) Bewijs y 0 y 3 = 0 uit de definitie van iet. (c) Bewijs y 0 y 3
Nadere informatieMathematical Modelling
1 / 64 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 09-11-09 2 / 64 Niet overal analytisch: een rangschikking 2. De hoofdklasse A: rationale functies: f (z) = z5 + z 2 + 3z + 4 z 3 + 4z 2 + 5z
Nadere informatie2 de Bachelor IR 2 de Bachelor Fysica
de Bachelor IR de Bachelor Fysica 6 augustus 05 Er worden 4 vragen gesteld. Vul op ieder blad je naam in. Motiveer of bewijs iedere uitspraak. Los alle vragen op, op een apart blad! Het examen duurt u30.
Nadere informatieTentamen Calculus 2 25 januari 2010, 9:00-12:00 uur
Tentamen Calculus 5 januari 00, 9:00 -:00 uur Je mag geen rekenapparaat gebruiken. De opgaven t.e.m. 6 tellen allemaal even zwaar. Vermeld op elk papier dat je inlevert je naam en je studentnummer. Geef
Nadere informatie2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling
TU/e technische universiteit eindhoven Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk
Nadere informatie== Modeluitwerking tentamen Analyse 1 == Maandag 14 januari 2008, u
== Modeluitwerking tentmen Anlyse == Mndg 4 jnuri 8, 4.-7.u. Formuleer de Tussenwrdestelling. Als f :, b] R continu is en s R ligt tussen f en fb, dn bestt er een c, b] met fc = s. b Toon n, dt de vergelijking
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Nadere informatie10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden
10.0 Voorkennis 5 1 6 6 cos( ) = -cos( ) = -½ 3 [cos is x-coördinaat] 5 1 3 3 sin( ) = -sin( ) = -½ 3 [sin is y-coördinaat] 1 Voorbeeld 1: Getekend is de lijn k: y = ½x 1. De richtingshoek α van de lijn
Nadere informatieHet oplossen van vergelijkingen Voor het benaderen van oplossingen van vergelijkingen van de vorm F(x)=0 bespreken we een aantal methoden:
Hoofdstuk 4 Programmeren met de GR Toevoegen: een inleiding op het programmeren met de GR Hoofdstuk 5 - Numerieke methoden Numerieke wiskunde is een deelgebied van de wiskunde waarin algoritmes voor problemen
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.3, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 34 Outline 1 Conforme afbeeldingen 2 K. P. Hart TW2040:
Nadere informatienoemt men ook het Pythagoraeïsch komma.
Les 7 Fourier analyse Veel gewone fenomenen hebben iets met golven te maken, zo is bijvoorbeeld geluid een golvende verandering van de luchtdruk en is licht een elektromagnetische golf. Als we nu eens
Nadere informatie1 Kettingbreuken van rationale getallen
Kettingbreuken van rationale getallen Laten we eens starten met een breuk bijvoorbeeld 37/3 Laten we hier ons kettingbreuk algoritme op los, We concluderen hieruit dat 37 3 3 + 3 + + 37 3 + + + hetgeen
Nadere informatie168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a
Nadere informatie16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i
16.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 2: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 =
Nadere informatie== Hertentamen Analyse 1 == Dinsdag 25 maart 2008, u
== Hertentamen Analyse == Dinsdag 5 maart 8, 4-7u Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer, de naam van de docent (S Hille, O van Gaans) en je studierichting Geef niet alleen antwoorden, leg elke
Nadere informatieOplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren
Oplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren Goeroen Maaruf 20 augustus 202 Hoofdstuk 3: Relaties. Oefening 3..2 (a) Persoon p is grootouder van persoon q. (b) (p, q) O o O r P : [ (p, r) O (r, q) O ]
Nadere informatieTussentijdse evaluatie Analyse I
1ste Bachelor Wiskunde Academiejaar 1-1 1ste semester, november 1 Tussentijdse evaluatie Analyse I 1. Onderstel dat f : [a, b] R een continue functie is. (i) Bewijs dat er een x 1 en x in [a, b] bestaan
Nadere informatie1. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + 1) = 1.
Tentamen-wiskunde?. De basiswiskunde. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + ) =. Oplossing : ln(x + 2) = + ln(x + ) x + 2 = ln + x + 3 = ln dus x =
Nadere informatieFourier analyse noemt men ook het Pythagoraeïsch komma. Om dit
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 4 Les 4 Fourier analyse Veel gewone fenomenen hebben iets met golven te maken, zo is bijvoorbeeld geluid een golvende verandering van de luchtdruk en is licht een
Nadere informatieAanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen
Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk
Nadere informatie(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1
Les Taylor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Nadere informatieReeksnr.: Naam: t 2. arcsin x f(t) = 2 dx. 1 x
Calculus, 4//4. Gegeven de reële functie ft) met als voorschrift t arcsin x ft) = dx x a) Geef het domein van de functie ft). Op dit domein, bespreek waar de functie stijgt, daalt en bepaal de lokale extrema.
Nadere informatieExamen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica
Examen GO7E Wiskunde II (3sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Auditorium De Molen: A D Auditorium MTM3: E-Se Auditorium MTM39: Sh-Z Naam: Studierichting: Naam assistent:
Nadere informatiemaplev 2010/7/12 14:02 page 157 #159 Taylor-ontwikkelingen
maplev 200/7/2 4:02 page 57 #59 Module 2 Taylor-ontwikkelingen Onderwerp Voorkennis Expressies Zie ook Taylor-ontwikkelingen van functies van éń of meer variabelen. Taylor-ontwikkelingen. taylor, convert(expressie,polynom),
Nadere informatie(x x 1 ) + y 1. x x k+1 x k x k+1
Les Talor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Nadere informatie