Hoofdstuk 9 : Steekproefstatistieken. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent.

Transcriptie

1 Hoofdstuk 9 : Steekproefstatistieke Marix Va Daele MarixVaDaele@UGetbe Vakgroep Toegepaste Wiskude e Iformatica Uiversiteit Get Steekproefstatistieke p 1/20

2 Schattige Waeer uit ee steekproef de waarde va ee statistiek wordt bereked om de waarde va ee bepaalde parameter of karakteristiek te beadere, da wordt ee schattig estimate gemaakt Waeer éé ekele waarde vooropgesteld wordt, da spreekt me va ee putschattig Omdat me meestal ook ee idee west omtret de betrouwbaarheid va de schattig, ka me uitgaade va de steekproef ook betrouwbaarheidsitervalle cofidece iterval opstelle waarbie de te schatte parameter met ee vrij grote kas zal gelege zij Steekproefstatistieke p 2/20

3 Putschattige Ogelijkheid va Chebyshev : P Y µ Y >kσ Y < 1 k 2 ɛ = kσ Y 1 k = σ Y ɛ = P Y µ Y >ɛ < σ2 Y ɛ 2 Als lim σ Y =0, da lim P Y µ Y >ɛ=0 ɛ willekeurig = lim PY = µ Y =1 Praktisch : aarmate groter wordt zal Y alsmaar dichter bij µ Y gelege zij Me zegt dat Y ee schattig is voor µ Y of dat Y i waarschijlijkheid aar µ Y covergeert i kas Notatie : Y µ Y Steekproefstatistieke p 3/20

4 Putschattige voor µ Is X : Nµ X,σ X da is X : Nµ X, σx Zoiet, da geldt voor voldoede grote dat X Nµ X, σx lim σ X =0 Het steekproefgemiddelde X is ee putschattig voor het populatiegemiddelde µ X X i kas µ X Steekproefstatistieke p 4/20

5 Putschattige voor σ 2 Is X : Nµ X,σ X da is Y = S2 σ 2 : χ 2 1 µ Y = 1 σ 2 Y =2 1 S 2 = S2 1 = σ2 Y 1 = µ S 2 = σ 2 e σ 2 S 2 = 2 1 σ4 lim σ2 S =0= S 2 i kas σ 2 2 De verbeterde steekproefvariatie S 2 is ee putschattig voor σ 2 S 2 = σ2 Y = µ S 2 = 1 σ2 e σ 2 S 2 = σ 4 lim σ2 S =0= S 2 i kas σ 2 2 De steekproefvariatie S 2 is ee putschattig voor σ 2 Steekproefstatistieke p 5/20

6 Putschattige voor θ Is X : biomiaal met parameter θ, da is µ X = θ σ 2 X = θ1 θ X : steekproefverhoudig µ X/ = θ σ 2 X/ = X i kas θ θ 1 θ Steekproefstatistieke p 6/20

7 Eigeschappe va schatters Ee statistiek Y is ee cosistete schatter voor de parameter ω i kas idie Y ω X is ee cosistete schatter voor µ S 2 e S 2 zij cosistete schatters voor σ 2 X/ is ee cosistete schatter voor θ Steekproefstatistieke p 7/20

8 Eigeschappe va schatters Ee statistiek Y is ee overtekede ubiased schatter voor de ϕ Y y parameter ω idie E[Y ]=ω ogeacht ϕ Y y ω ẏ ω ẏ X is ee overtekede schatter voor µ S 2 is ee vertekede schatter voor σ 2 S 2 is ee overtekede schatter voor σ 2 X/ is ee overtekede schatter voor θ Steekproefstatistieke p 8/20

9 Eigeschappe va schatters De schatter Y voor de parameter ω met de kleist mogelijke spreidig wordt de meest efficiëte schatter voor ω geoemd ϕ Y y ϕ Y y ω ẏ ω ẏ S 2 is ee efficiëtere schatter voor σ 2 da S 2 wat σ 2 S = 2 1 σ 4 <σ S = σ4 Steekproefstatistieke p 9/20

10 Itervalschattige voor µ X : N µ, σ met σ geked = X : N µ, σ 1 p 100 = P X µ <λ p σ = P λ p σ <µ X<λ p σ = P X λ p σ <µ<x + λ p σ λ p 0 λ p x ψx 100 p 100 p/2 100 p/2 100 I 100 p% va alle gevalle bevat het iterval [ x λ p σ, x + λ p σ ] de ware µ Steekproefstatistieke p 10/20

11 Itervalschattige voor µ I 100 [ p%va alle gevalle ] bevat het iterval σ x λ p σ, x + λ p de ware µ µ ẋ 100 p%bepaalt de betrouwbaarheid va de schattig µ = x ± λ p σ λ p σ bepaalt de auwkeurigheid va de schattig Steekproefstatistieke p 11/20

12 Betrouwbaarheid auwkeurigheid Stel dat de steekproefgrootte costat is Als de betrouwbaarheid 100 p % stijgt, da worde de itervalle lager, e da daalt de auwkeurigheid Als de auwkeurigheid stijgt, da worde de itervalle korter e daalt de kas e dus ook de betrouwbaarheid dat zo iterval de ware µ bevat Coclusie : auwkeurigheid e betrouwbaarheid kue iet tegelijkertijd geoptimaliseerd worde Steekproefstatistieke p 12/20

13 Itervalschattige voor µ X : N µ, σ met σ obeked = X µ S/ 1 =P =P =P 1 p 100 X µ <T p 1 T p 1 X T p 1 S 1 S 1 <µ X<T p 1 : T 1 S 1 <µ<x + T p 1 I [ 100 p%va alle gevalle bevat het iterval ] s s x T p 1, x + T p de ware µ S 1 S 1 Steekproefstatistieke p 13/20

14 Itervalschattige voor µ X willekeurig verdeeld met σ geked : σ X N µ, als groot σ σ P X λ p <µ<x + λ p 1 p 100 X willekeurig verdeeld met σ obeked : s X N µ, 1 als groot P X λ p S 1 <µ<x + λ p S 1 1 p 100 Steekproefstatistieke p 14/20

15 Itervalschattige voor σ Is X :Nµ, σ met µ e σ obeked = S2 σ 2 : χ 2 1 P χ 2p1 1 < S2 σ 2 <χ 2 p 2 1 = p 1 p P 1 χ 2 p 2 1 < σ2 S 2 < 1 χ 2 p 1 1 = p 1 p P S 2 χ 2 p 2 1 <σ2 < S 2 χ 2 p 1 1 = p 1 p ϕ S 2 σ 2 x x χ 2 p 1 1 χ 2 p 2 1 p 1 p Steekproefstatistieke p 15/20

16 Itervalschattige voor θ Is X biomiaal verdeeld e voldoede groot, da X : N θ, θ1 θ P X θ >λ p θ1 θ p 100 X θ 1 θ P λ p <θ< X θ 1 θ + λ p 100 p 100 P X X λ 1 X p <θ< X X + λ 1 X p 100 p 100 Steekproefstatistieke p 16/20

17 Voorbeelde va biomiale verdelige Voor voldoede grote geldt theoretisch N i : N θ, θ1 θ waarbij θ = ϕ X x i Φ X ti + i 2 ΦX ti i 2 F i = N i : relatieve frequetie Voor voldoed grote geldt theoretisch N c w : N θ, θ1 θ waarbij θ =Φ X w F C w = N cw : cumulatieve relatieve frequetie X discreet X cotiu Steekproefstatistieke p 17/20

18 Schattige die gelde ogeacht ω voorwaarde Y betrouwbaarheidsiterval rede 100 p% of p 1 p 2 % µ X X : Nµ X,σ X X σ X beked [ ] σ X σ X x λ p, x + λ p X : N µ X, σ X X : Nµ X,σ X σ X obeked X σ 2 X X : Nµ X,σ X S2 1 [ x st p 1 1, x + st p 1 1 ] X µx S/ 1 [ ] s 2 χ 2 p 2 1, s 2 χ 2 p 1 1 S 2 : T 1 σ 2 : χ 2 1 Steekproefstatistieke p 18/20

19 Schattige die beadered gelde voor grote ω voorwaarde Y 100 p% betrouwbaarheidsiterval rede µ X σ X beked X σ X obeked X θ X X : Biomiaal X [ ] σ X σ X x λ p, x + λ p [ x λ p x λ p s 1, x + λ p x x + λ p 1 x x ] s 1, 1 x X : N X : N X : N S 2 1 µ X, σ X µ X, σ X i kas σ 2 θx 1 θ θ X, X Steekproefstatistieke p 19/20

20 Schatt va freq die beadered gelde voor grote θ = ϕ X x i Φ X ti + i 2 ΦX ti i 2 X discreet X cotiu ω Y 100 p% betrouwbaarheidsiterval rede θ F i [ ] fi 1 f i fi 1 f i f i λ p,f i + λ p ] θ N i [ i λ p i 1 f i, i + λ p i 1 f i F i : N N i : N θ, i kas F i θ 1 θ θ θ, θ1 θ i kas N i θ Steekproefstatistieke p 20/20