Schatters en betrouwbaarheidsintervallen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Schatters en betrouwbaarheidsintervallen"

Transcriptie

1 Statistiek voor Iformatiekude, 006 Les 3 Schatters e betrouwbaarheidsitervalle I de vorige les hebbe we era gekeke hoe we bijvoorbeeld het gemiddelde e de variatie va ee populatie kue schatte, door deze gegeves op steekproeve te bepale. We hebbe daarbij het iet erg verrassede resultaat igezie dat de auwkeurigheid va ee schattig met de grootte va de steekproef toeeemt, bijvoorbeeld eemt de steekproefstadaardafwijkig eemt met 1 de factor af. We zulle i deze les de vraag agaa, hoe we uitsprake erover kue make dat ee iterval rod ee schattig de juiste waarde met ee gegeve kas bevat. Zo iterval oemt me ee betrouwbaarheidsiterval. Hierbij moete we i het bijzoder precies formulere, wat de uitspraak ee waarde ligt met ee betrouwbaarheid va 95% i ee zeker iterval eigelijk beteket. Tot u toe hebbe we het begrip schattig va ee waarde eigszis ituïtief gehateerd. Om de cocepte achter betrouwbaarheidsitervalle goed te kue begrijpe, moete we u echter ekele eigeschappe va het proces beschrijve, waarmee schattige verkrege worde. Zo proces oemt me ee schatter. Hierbij zij twee gevalle belagrijk: Ee schattig die ee ekele waarde oplevert oemt me ee putschatter, ee schattig die ee iterval geeft, heet ee itervalschatter. 3.1 Putschatters We hebbe tot u al vaker gezegd dat het steekproefgemiddelde x := 1 x i ee schattig voor het gemiddelde va de populatie is. We zulle u kort het abstracte begrip va ee schattig toelichte. De meeste kasverdelige die i de statistiek ee rol spele, hage va ee of meerdere parameters af, de ormale verdelig bijvoorbeeld va de verwachtigswaarde µ e de variatie e de expoetiële verdelig met dichtheidsfuctie f(x) = λ e λx va de itesiteit λ. Defiitie: Zij X ee stochast met ee kasverdelig die va de parameter θ afhagt. (i) Ee schattig is ee fuctie (of procedure) die uit ee steekproef x 1,..., x ee waarde voor de parameter θ va de kasverdelig va X bepaalt. Deze waarde hagt allee maar va de gegeves i de steekproef af e wordt bereket volges ee fuctie t(x 1,..., x ). (ii) Als we de elemete x i i de steekproef als realisaties va stochaste X i zie die alle dezelfde kasverdelig hebbe als X, da oeme we de stochast T = t(x 1,..., X ) die de verdelig va de schattige over alle steekproeve aageeft ee schatter voor θ. We hebbe i de vorige les al voorbeelde va schatters gezie: 39

2 Statistiek voor Iformatiekude, 006 X := 1 X i is ee schatter voor de verwachtigswaarde µ = EX va X. S := 1 1 (X i X) is ee schatter voor de variatie = V ar(x) va X. Defiitie: We zegge dat ee schatter T zuiver (ubiased) is, als voor elke waarde va de parameter θ voor de kasverdelig va de stochast X geldt, dat de verwachtigswaarde ET juist θ oplevert. We hebbe gezie dat X e S zuivere schatters zij. Deze eigeschap va S was juist de rede om bij de steekproefvariatie door 1 e iet door te dele. Voor de schatter T := 1 (X i X) hadde we amelijk gezie dat ET = 1 is als de stochast X variatie heeft. Omdat lim ET = oemt me T ee asymptotisch zuivere schatter. Dit beteket, dat de schatter voor grote steekproeve wel ee goede schattig geeft. Alhoewel S = 1 1 (X i X) ee zuivere schatter voor de variatie 1 is, is S = 1 (X i X) gee zuivere schatter voor de stadaardafwijkig, d.w.z. i het algemee is ES. Dit ligt simpelweg eraa dat a + b a + b. Er zij verschillede algemee pricipes hoe me schatters voor de parameters va kasverdelige costrueert. We zulle twee va de meest gebruikelijke va deze pricipes u kort bekijke. Mometeschatters Meestal is ee kasverdelig die va ee aatal parameters θ 1,..., θ s afhagt door ee dichtheidsfuctie f(x) gegeve, die va deze parameters afhagt. Als we voor zo verdelig de momete µ k (of cetrale momete µ k) berekee, hage deze atuurlijk ook va de parameters θ 1,..., θ s af. Bij de ormale verdelig met parameters µ e hebbe we bijvoorbeeld µ 1 = µ e µ = + µ. Vaak is het mogelijk, deze vergelijkige aar de parameters op te losse, waarbij me steeds et zo veel momete i aamerkig eemt als er parameters zij. Voor de ormale verdelig geeft dit bijvoorbeeld de relaties µ = µ 1 e = µ µ 1. Het idee va ee mometeschatter is u, als schattig voor de momete µ k de steekproefmomete m k := 1 xk i te bepale e M k := 1 Xk i als schatter voor het k-de momet µ k te defiiëre. Door de schatters voor de momete i de relaties tusse parameters e momete i te vulle, krijge we zo schatters voor de parameters. 40

3 Statistiek voor Iformatiekude, 006 Bij de ormale verdelig levert dit als schatter voor µ de oude bekede X = 1 X i e als schatter voor krijge we. 1 Xi ( 1 X i ) = 1 ( Xi 1 ( X i ) ) = 1 (X i X) = 1 S. De mometeschatter is dus i het bijzoder iet oodzakelijk ee zuivere schatter. Maximum likelihood schatters Als ee dichtheidsfuctie f(x) va parameters θ 1,..., θ s afhagt, kue we dit ook expliciet uitdrukke door f(x) = f(x; θ 1,..., θ s ) te schrijve. Voor ee steekproef x 1,..., x is da het product L(θ 1,..., θ s ) := f(x i ; θ 1,..., θ s ) ee maat voor de aaemelijkheid waarmee ee stochast X met parameters θ 1,..., θ s de elemete va de steekproef geproduceerd heeft. Hoe groter deze aaemelijkheid, hoe beter past de verdelig va de stochast bij de gevode steekproef. De maximum likelihood schatter (meest aaemelijke schatter) bepaalt daarom de waarde θ 1,..., θ s zo, dat de aaemelijkheid maximaal wordt. Bij ee aatal va kasverdelige is het mogelijk dit expliciet met behulp va afgeleide uit te rekee. Voorbeeld: We kijke aar ee expoetiële verdelig met parameter λ. De dichtheidsfuctie is f(x; λ) = λ e λx e als aaemelijkheid voor ee steekproef x 1,..., x krijge we L(λ) = λ e λx i = λ e λ(p i xi). De aaemelijkheid is maximaal als L (λ) = 0 e voor de afgeleide krijge we L (λ) = λ 1 e λ(p i x i) λ e λ(p i x i) ( i x i ) = λ 1 e λ(p i x i) ( λ( i x i )) e er geldt L (λ) = 0 als λ( i x i) = 0, dus voor λ = i x i = 1 x. Dit is atuurlijk precies het verwachte resultaat. I feite geeft de maximum likelihood schatter voor de veel va de gebruikelijke verdelige de meest voor de had liggede schattig. 41

4 Statistiek voor Iformatiekude, 006 Omdat de aaemelijkheid L(θ) = f(x 1 ; θ)... f(x ; θ) ee product va uitdrukkige i θ is, is het vaak ohadig de afgeleide va deze fuctie te bepale. Weges de productregel krijgt me hierbij amelijk erg veel terme. Het is daarom vaak hadig, i plaats va de fuctie L(θ) zelfs de logaritme log(l(θ)) te bekijke, omdat log(l(θ)) = log(f(x 1 ; θ)) log(f(x ; θ)). Omdat de logaritme ee mootoo stijgede fuctie is, eemt log(l(θ)) precies voor dezelfde waarde va θ zij maximum aa als L(θ), daarom ka me i plaats va de ulpute va L (θ) ook de ulpute va log(l(θ)) bepale. Voor de ormale verdelig levert de maximum likelihood schatter hetzelfde resultaat als de mometeschatter, dus krijgt me ook hier iet i elk geval ee zuivere schatter. Er laat zich wel aatoe dat de maximum likelihood schatters altijd asymptotisch zuiver zij. 3. Itervalschatters De schatters die we tot u toe hebbe bekeke, oemt me putschatters omdat ze voor ee gegeve steekproef ee precieze waarde voor ee parameter oplevere. Bijvoorbeeld levert de schatter X := 1 X i voor het gemiddelde va ee populatie op ee gegeve steekproef x 1,..., x de schattig x = 1 x i. I tegestellig hiertoe geeft ee itervalschatter voor ee gegeve steekproef ee iterval aa waari de juiste waarde θ va de parameter moet ligge. Hierbij wordt altijd ee level γ va betrouwbaarheid geëist, waarmee het iterval de juiste waarde bevat. De betrouwbaarheid γ wordt als volgt geïterpreteerd: Voor ee gegeve waarde va θ is γ de kas dat ee steekproef ee iterval oplevert dat θ bevat. We kijke dus weer aar alle mogelijke steekproeve e aalysere de verdelig va de schattige. Merk op: Ee betrouwbaarheid va 95% voor ee iterval beteket iet dat de juiste waarde θ met kas 95% i het iterval ligt, maar dat oze methode om het iterval te schatte voor 95% va de mogelijke steekproeve ee iterval oplevert, dat θ bevat. Bij ee betrouwbaarheid va γ = 0.8 zoude we dus bij vijf steekproeve verwachte, dat de juiste parameter vier keer i het geschatte iterval ligt, bijvoorbeeld zo als i het volgede plaatje met de itervalle rod de schattige x (i) aagegeve. x (4) x (5) x () x (3) θ x (1) 4

5 Statistiek voor Iformatiekude, 006 I de taal va stochaste e schatters levert dit idee va betrouwbaarheid het volgede cocept op: Zij X ee stochast met dichtheidsfuctie f(x) := f(x; θ) e verdeligsfuctie F (x) := F (x; θ) die va ee parameter θ afhage, da berekee we de kase voor X door P (X x) = P θ (X x) = F (x) = x f(t) dt. Defiitie: We oeme ee paar (T 1, T ) va schatters ee itervalschatter va betrouwbaarheid γ voor θ als P (T 1 θ T ) = γ voor elke mogelijke waarde va de parameter θ. Ee realisatie va ee itervalschatter op ee cocrete steekproef x 1,..., x heet ee betrouwbaarheidsiterval va betrouwbaarheid γ voor θ. Omdat we de waarde va θ va twee zijde igeschakeld hebbe, oeme we het paar (T 1, T ) ook ee tweezijdige itervalschatter. Als we i de praktijk ee betrouwbaarheidsiterval voor de verwachtigswaarde µ := EX schatte, zal het iterval bija altijd symmetrisch rod het steekproefgemiddelde x ligge. Dit is gee oodzakelijke voorwaarde maar wel heel gebruikelijk. Er laat zich aatoe dat voor ee ormaal verdeelde stochast X het symmetrische iterval rod x de kleiste legte va alle itervalle met betrouwbaarheid γ heeft. Soms is het iteressat om allee maar ee bove- of ee beedegres voor ee parameter te schatte. Dit levert éézijdige itervalschatters. We oeme ee schatter T 1 ee rechtséézijdige itervalschatter va betrouwbaarheid γ als P (T 1 θ) = γ voor elke mogelijke waarde va de parameter θ e we oeme ee schatter T ee likséézijdige itervalschatter va betrouwbaarheid γ als P (θ T ) = γ voor elke mogelijke waarde va de parameter θ. De rede waarom de schatter T 1 met P (T 1 θ) = γ rechtséézijdig heet, hagt met de éézijdige toetse same die we i de volgede les gaa behadele. 3.3 Betrouwbaarheidsitervalle bij gegeve variatie Ee belagrijk voorbeeld va ee itervalschatter is het bepale va ee betrouwbaarheidsiterval voor de verwachtigswaarde µ va ee ormaal verdeelde stochast X met bekede variatie. Hetzelfde pricipe werkt bij beaderig ook voor de verwachtigswaarde va iet ormaal verdeelde stochaste, i het bijzoder voor de verwachte kas op succes bij ee biomiale verdelig. 43

6 Statistiek voor Iformatiekude, 006 De cetrale limietstellig zegt dat de som va oafhakelijke stochaste goed beaderd wordt door ee ormale verdelig. Hieruit volgt dat de vorm va de oderzochte stochast X gee grote rol speelt als de steekproefgrootte iet te klei is. Maar er zij wel adere probleme, waardoor de verdelig va schattige va de ormale verdelig afwijkt. Deze hebbe vooral met de veroderstellig te make dat we ee aselecte steekproef hebbe geome. Dit is i de praktijk vaak lastig, omdat mese bijvoorbeeld ee equête weigere, maar dit iet represetatief over de populatie gebeurt. Ook is het vaak iet realistisch, dat de verschillede steekproefelemete oafhakelijk va elkaar geome worde. Het is de kust va de istitute voor opiieoderzoek deze factore zo ver mogelijk te oderdrukke of de resultate aveat te corrigere. Stel we hebbe ee ormaal verdeelde stochast X N (µ, ) da wete we dat X := 1 X i ee zuivere schatter voor µ is. Omdat X ormaal verdeeld is, geldt dit ook voor X (de som va oafhakelijke ormaal verdeelde stochaste is weer ormaal verdeeld) e we wete dat V ar(x) =. Hieruit volgt dat de stochast stadaard-ormaal verdeeld is. Z := X µ = (X µ) Als X ee iet-ormaal verdeelde stochast met verwachtigswaarde µ e variatie is, geldt voor X og steeds dat EX = µ e V ar(x) =, maar X is iet meer ormaal verdeeld. Uit de Cetrale limietstellig volgt echter dat voor ee iet te kleie de verdelig va X sterk op ee ormale verdelig lijkt e hierdoor goed beaderd ka worde. Voor ee stochast Z N (0, 1) met stadaard-ormale verdelig defiiëre we u de z-waarde z α va level α := 1 γ door P (Z > z α ) = α. Voor ee betrouwbaarheid va 95% is dus α = 0.05 = e geeft z α de waarde aa, waarvoor slechts 5% va de waarde va Z bove z α ligge e de waarde va Z dus met betrouwbaarheid 95% hoogstes z α zij. De level α = 1 γ wordt ook wel de obetrouwbaarheid geoemd. Omdat de ormale verdelig symmetrisch rod 0 is, geldt Hieruit volgt i het bijzoder: P (Z < z α ) = α e dus P ( Z > z α ) = α. P ( z α Z z α ) = 1 α = γ. De waarde va de stadaard-ormale verdelig ligge dus met kas γ = 1 α tusse z α e z α. I Figuur 15 is dit voor γ = 0.9 aageduid. Het witte 44

7 Statistiek voor Iformatiekude, 006 stuk oder de grafiek bevat 90% va de totale oppervlakte oder de grafiek, de resterede 10% ligge i de grijze staarte, dus telkes 5% i de liker- e rechterstaart. De z-waarde z 0.05 is dus juist het put waar de rechterstaart begit x 4 Figuur 15: γ = 0.9. Stadaard-ormale verdelig met betrouwbaarheidsiterval voor Als we de relatie P ( z α Z z α ) = γ u op de stadaard-ormaal verdeelde stochast Z = (X µ) toepasse, krijge we voor de betrouwbaarheid γ e obetrouwbaarheid α := 1 γ: P ( z α Z z α ) = γ P ( z α (X µ) P ( z α P (µ z α P (X z α X µ z α X µ + z α z α ) = γ ) = γ µ X + z α ) = γ ) = γ. We wete dus dat de schatter X voor het steekproefgemiddelde met kas γ iet meer da z α va de juiste waarde µ afwijkt. Als itervalschatter voor het gemiddelde µ eme we dus (T 1, T ) met T 1 := X z α e T := X + z α e het betrouwbaarheidsiterval voor µ is ee realisatie va de itervalschatter voor ee cocrete steekproef, dus het iterval x z α, x + z α. Omdat P (µ z α X + z α ) = P (X z α X µ + z α µ ) geldt, is het betrouwbaarheidsiterval precies het iterval 45

8 Statistiek voor Iformatiekude, 006 va de waarde va µ waarvoor x bie het symmetrische iterval rod µ met kasmassa γ valt. Merk op dat de legte va het betrouwbaarheidsiterval allee maar va de gekoze betrouwbaarheid γ, de grootte va de steekproef e de variatie va de stochast X afhagt. Voor éézijdige betrouwbaarheidsitervalle kue we op dezelfde maier als bij de tweezijdige itervalle argumetere. Voor ee rechtséézijdig iterval met betrouwbaarheid γ e α := 1 γ krijge we: P (Z z α ) = γ P ( (X µ) z α ) = γ P (X µ z α P (X µ + z α ) = γ P (X z α µ) = γ ) = γ dus is T 1 := X z α ee rechtséézijdige itervalschatter e ee cocrete steekproef geeft het rechtséézijdige betrouwbaarheidsiterval x z α,. Dit is precies het iterval va de waarde va µ waarvoor x bie het aar rechts begresde e aar liks ope iterval rod µ met kasmassa γ valt. We zie hier dus de rede waarom de schatter T 1 met P (T 1 µ) = γ ee rechtséézijdig betrouwbaarheidsiterval geeft. De waarde va µ die i dit éézijdige betrouwbaarheidsiterval ligge, zij amelijk juist de waarde waarvoor x ee plausibele schattig aageeft, als we met plausibel bedoele, dat de schattig x iet te ver rechts va de ware waarde ligt. Aaloog krijge we voor het likséézijdige betrouwbaarheidsiterval met betrouwbaarheid γ de likséézijdige itervalschatter T := X + z α met P (µ T ) = P (µ X + z α ) = γ e ee cocrete steekproef geeft het likséézijdige betrouwbaarheidsiterval, x + z α. Aapasse va betrouwbaarheidsitervalle Typische waarde die voor de betrouwbaarheid γ gehateerd worde, zij 90%, 95% e 99%. I Tabel 1 zij de z α - e z α -waarde voor ee aatal gebruikelijke betrouwbaarhede aagegeve. 46

9 Statistiek voor Iformatiekude, 006 α γ α z α z α Tabel 1: Kritieke waarde voor de stadaard-ormale verdelig. We hebbe gezie dat betrouwbaarheidsitervalle door drie parameters beschreve worde: (i) De grote va de steekproef. (ii) De geweste betrouwbaarheid γ. (iii) De legte va het betrouwbaarheidsiterval. Als we de betrouwbaarheid wille verhoge, moete we of de steekproef vergrote of ee groter iterval acceptere. Omgekeerd kue we het betrouwbaarheidsiterval allee maar kleier make door of de steekproef te vergrote of ee lagere level va betrouwbaarheid te kieze. Bij ee gegeve grootte va de steekproef zij dus de legte va het betrouwbaarheidsiterval e de level va betrouwbaarheid parameters, die elkaar tegestrijdig beïvloede. Bij het opzette va ee experimet (bijvoorbeeld ee equête) heeft me vaak adere voorwaarde: Voor ee gegeve level γ va betrouwbaarheid is er ee maximale legte l va het betrouwbaarheidsiterval dat als acceptabel beschouwd wordt. Hierdoor wordt de oodzakelijke grootte va de steekproef bepaald, amelijk door: z α ( l z α ) = z α l l. Betrouwbaarheidsiterval voor relatieve frequeties Als we de kas p schatte waarmee ee Beroulli-experimet ee succes oplevert, telle we het aatal k va successe bij pogige ee eme p := k als schattig voor p. I dit geval vorme dus de pogige ee steekproef va grootte. De stochast X die de verdelig va het aatal successe bij pogige beschrijft, is biomiaal verdeeld met parameter p e er geldt EX = p e V ar(x) = p(1 p). Voor de stochast P := X die de verdelig va de relatieve aatalle over alle steekproeve va pogige beschrijft, geldt dus EP = p e V ar(p ) = p(1 p). Als iet te klei e p iet te dicht bij 0 of 1 is, kue we met de ormale beaderig va de biomiale verdelig werke, d.w.z. we kue aaeme dat 47

10 Statistiek voor Iformatiekude, 006 P ormaal verdeeld is. Oder deze aaame wordt de stochast Z := P p p(1 p) = (P p) p(1 p) goed door de stadaard-ormale verdelig beaderd. We kue u weer de redeerig va de ormale verdelig toepasse e krijge: ( ) p(1 p) p(1 p) P P z α p P + z α = γ. Dit geeft het betrouwbaarheidsiterval p z α p(1 p), p + z α p(1 p) voor de schattig va de parameter p. Het probleem bij de biomiale verdelig is, dat de variatie p(1 p) e dus ook de legte va het betrouwbaarheidsiterval va de gezochte parameter p afhagt. I de praktijk wordt dit meestal opgelost door p gewoo door p te vervage, me gebruikt hiervoor de stadaard fout (stadard error) p(1 p) SE(p) := va p. De stadaard fout is dus ee schattig voor de stadaardafwijkig V ar(p ) va de schatter P. Met behulp va de stadaard fout krijgt me het betrouwbaarheidsiterval p(1 p) p(1 p) p z α, p + z α = p z α SE(p), p + z α SE(p). Bij ee precieze aalyse komt me erachter dat de zuivere greze voor het betrouwbaarheidsiterval p + z α ± z α 1 + z α p(1 p) + z α 4 zij, maar voor p 50 e (1 p) 50 kue de correctie terme veilig verwaarloosd worde. Ook i het geval va de relatieve frequeties ka me de beodigde grootte va de steekproef afschatte om ee betrouwbaarheid γ e ee maximale legte va l voor het betrouwbaarheidsiterval te bereike. Er geldt dezelfde relatie als bij de ormale verdelig, met vervage door p(1 p), dus z p(1 p) α l. 48

11 Statistiek voor Iformatiekude, 006 Merk op dat we ook hierbij weer de gezochte relatieve frequetie p odig hebbe. Omdat we juist wille bepale, hoe groot we de steekproef moete kieze om p te bepale, kue we hier atuurlijk iet de schattig p voor p ivulle. Maar we kue wel ee gok doe wat voor ee waarde va p we verwachte e hiermee ee (grove) schattig voor p(1 p) make. Voorbeeld: Bij ee equête oder 1000 mese hebbe 5% aagegeve voor de Europese grodwet te stemme. Ee betrouwbaarheidsiterval op de p(1 p) = level 99% geeft ee auwkeurigheid va z α voor de schattig p = 0.5 va de echte proportie va toestemmig. Het betrouwbaarheidsiterval is dus 47.9%, 56.1%. Natuurlijk is de iteressate vraag, of de toestemmig bove de 50% ligt. Om hierover ee uitspraak met betrouwbaarheid 99% te kue doe, moet de legte va het betrouwbaarheidsiterval tot 4% worde beperkt. De beodigde grootte va de steekproef hiervoor is z α p(1 p) l = Hierbij hebbe we voor p de schattig p = 0.5 igevuld, voor p = 0.5 zoude we 4140 krijge, dus bija hetzelfde. 3.4 Betrouwbaarheidsitervalle bij obekede variatie We zij er tot u toe va uitgegaa dat we het met ee ormaal verdeelde stochast X met bekede variatie te make hebbe. Omdat dit i de praktijk iet realistisch is, kijke we u aar het geval va ee stochast met obekede variatie. I dit geval hebbe we helaas iets meer aa de stochast Z := (X µ), omdat we de variatie gewoo iet kee. Maar we wete wel, dat S := 1 1 (X i X) ee zuivere schatter voor is, dus kue we probere de obekede variatie door de schatter S te vervage. Dit geeft de stochast T := X µ S = (X µ) S die we al i de laatste les zij tegegekome: Voor ee ormaal verdeelde stochast X heeft T de Studet-t verdelig met 1 vrijheidsgrade. We wete dat deze verdelig voor kleie meer uitgespreid is da de stadaard-ormale verdelig e voor grote steeds meer op de stadaard-ormale verdelig lijkt. Met dezelfde argumete als i het geval va bekede variatie kome we u weer aar betrouwbaarheidsitervalle, als we de stadaard-ormale verdelig altijd door de Studet-t verdelig met 1 vrijheidsgrade vervage. Aaloog met de stadaard-ormale verdelig defiiëre we de t-waarde t α := t 1,α va level α = 1 γ door P (T > t α ) = α waarbij het aatal 1 va vrijheidsgrade meestal iet aageve wordt, omdat het uit de samehag duidelijk is. 49

12 Statistiek voor Iformatiekude, 006 Ee soortgelijke berekeig als bove geeft: P ( t α T t α ) = γ P ( t α (X µ) S P (µ t α P (X t α t α ) = γ S X µ + t α S µ X + t α S ) = γ S ) = γ. Voor ee steekproef x 1,..., x met steekproefgemiddelde x = 1 x i e 1 steekproefstadaardafwijkig s = 1 (x i x) oeme we (et als bij de biomiale verdelig) de schattig s voor de stadaardafwijkig V ar(x) va de schatter X de stadaard fout va x e otere dit met SE(x). Hiermee krijge we het betrouwbaarheidsiterval s s x t α, x + t α = x t α SE(x), x + t α SE(x) va betrouwbaarheid γ voor µ. Net zo als bij de stadaard-ormale verdelig worde de t-waarde voor de meest gebruikelijke levels va betrouwbaarheid e voor de verschillede vrijheidsgrade i tabelle opgeslage. Imiddels worde i plaats va tabelle meestal software pakkette gebruikt, die de t-waarde voor ee geweste betrouwbaarheid γ e ee gegeve aatal va vrijheidsgrade uitrekee. Typische waarde va t,α zij i Tabel te zie (waarbij we met = de waarde voor de stadaard-ormale verdelig aageve): \α Tabel : Kritieke waarde t,α voor de Studet-t verdelige met vrijheidsgrade. Voorbeeld: Me eemt aa dat het aatal lije die i ee grote telefoocetrale tijdes het spitsuur i gebruik zij ormaal verdeeld is. Uit ee steekproef over 11 dage blijkt ee steekproefgemiddelde va x = 10 voor het aatal lije, met ee steekproefstadaardafwijkig va s = 10. Als we ee betrouwbaarheidsiterval op level 99% voor het gemiddelde aatal µ va lije i gebruik wille bepale, hebbe we de t-waarde t 10,0.005 odig, wat I de tabel vide we t 10,0.005 = 3.169, dus is de af e we krijge het betrouwbaarheidsiterval = 11 e α = wijkig t α 110.4, 19.6 voor µ. s 10 =

13 Statistiek voor Iformatiekude, Betrouwbaarheidsitervalle voor de variatie We hebbe i de vorige les aagegeve dat voor stadaard-ormaal verdeelde stochaste X i de stochast Y := 1 S = ( X i X ) ee χ -verdelig met 1 vrijheidsgrade heeft. Deze stochast Y is u geschikt om ee betrouwbaarheidsiterval voor de variate aa te geve. Aaloog met de z-waarde voor de stadaard-ormale verdelig e de t- waarde voor de Studet-t verdelig defiiëre we de χ -waarde χ α := χ 1,α door P (Y > χ α ) = α waarbij de idex voor het aatal vrijheidsgrade weer weggelate is. Omdat de χ -verdelig iet symmetrisch is, kue we iet meer zo makkelijk uit χ α ee waarde χ β afleide zo dat P (Y < χ β ) = P (Y > χ α) = α is. Maar uit P (Y > χ 1 α ) = 1 α volgt dat tusse χ 1 α e χ α de kasmassa (1 α ) α = 1 α = γ ligt. Bij symmetrische verdelige zo als de ormale verdelig laat zich aatoe dat de symmetrische betrouwbaarheidsitervalle de itervalle va miimale legte voor ee gegeve betrouwbaarheid zij. De χ - verdelig is iet symmetrisch, e me ka voor het iterval rod Y dat de kasmassa γ bevat ook ee willekeurig iterval va de vorm χ γ+c, χ c kieze. Zo iterval heeft iderdaad iet voor c = α de miimale legte, maar de waarde c waarvoor de legte miimaal is ligt i de praktijk meestal zo dicht bij α dat me dit verwaarloost. Met ee aaloge redeerig als eerder krijge we voor de stochast Y : P (χ 1 α Y χ α ) = 1 α = γ P (χ 1 α 1 S χ α ) = γ P (χ 1 α ( 1)S P ( χ α 1 S µ + χ α 1 ) = γ ( 1)S χ ) = γ. 1 α Voor ee cocrete steekproef x 1,..., x met steekproefvariatie s krijge we hieruit als betrouwbaarheidsiterval va betrouwbaarheid γ voor het iterval ( 1)s ( 1)s χ, α χ. 1 α We kue ook ee betrouwbaarheidsiterval voor de stadaardafwijkig aageve, wat worteltrekke geeft P 1 1 S S = P χ α χ 1 α 51 ( ( 1)S χ α ) ( 1)S χ = γ 1 α

14 Statistiek voor Iformatiekude, 006 e hieruit krijge we het betrouwbaarheidsiterval 1 1 s, s χ α χ 1 α va betrouwbaarheid γ voor de stadaardafwijkig. Belagrijke begrippe i deze les putschatter mometeschatter maximum likelihood schatter betrouwbaarheid tweezijdige / éézijdige itervalschatter betrouwbaarheidsitervalle z-waarde, t-waarde, χ -waarde stadaard fout Opgave 11. We hebbe gezie dat X := 1 X i ee zuivere schatter voor de verwachtigswaarde µ = EX is. Laat zie dat X gee zuivere schatter voor µ is. 1. Zij X ee stochast met uiforme verdelig op het iterval 0, θ, da is P (X x) = x θ voor 0 x θ. We wille uit ee steekproef x 1,..., x ee schattig voor θ make. (i) Laat zie dat de schattig t := (x x ) ee zuivere schatter T := (X X ) = X voor θ geeft. (ii) Ee adere mogelijke schattig voor θ is het maximum va de gevode waarde, dus t max := max(x 1,..., x ). Laat zie dat voor de schatter T max := max(x 1,..., X ) geldt dat P (T x) = ( x θ ) e cocludeer dat T de dichtheidsfuctie f(x) = x 1 θ heeft. Ga a dat T max gee zuivere schatter, maar wel ee asymptotisch zuivere schatter voor θ is, door te late zie dat ET = θ 0 x dx = 1 +1 θ+1.) (iii) Laat zie dat +1 T max ee zuivere schatter voor θ is. +1 θ. (Hit: Er geldt 13. Voor ee stochast X met uiforme verdelig op het iterval 0, θ wordt va ee steekproef x 1, x va twee waarde de schattig t := 3 x 1 x voor θ gemaakt. Laat zie dat T := 3 X 1 X ee zuivere schatter voor θ is. 5

15 Statistiek voor Iformatiekude, Laat zie dat voor ee stochast X met uiforme verdelig op het iterval 0, θ de schatter T max := max(x 1,..., X ) de maximum likelihood schatter is. (Hit: Ga a dat de aaemelijkheid L(θ) voor ee steekproef x 1,..., x gegeve is door L(θ) = 0 als θ < max(x 1,..., x ) e L(θ) = 1 θ als θ max(x 1,..., x ).) 15. Zij X ee uiform verdeelde stochast op het iterval θ 1, θ + 1 e zij x 1,..., x ee steekproef voor deze stochast. Laat zie dat mi(x 1,..., x ), max(x 1,..., x ) ee betrouwbaarheidsiterval voor θ is (dus de realisatie va ee itervalschatter) e bepaal de level γ va betrouwbaarheid va dit iterval. 16. Bij het bedrijf Boaza Baaa heeft ee steekproef va 5 aavrage ee gemiddelde verwerkigstijd va x = 7 jerks opgeleverd. Uit lagdurige ervarig is beked dat de stadaardafwijkig voor de verwerkigstijd = 3 jerks bedraagt. (i) Bepaal ee betrouwbaarheidsiterval voor de level 95% voor de gemiddelde verwerkigstijd. (ii) Hoe groot moet de steekproef mistes zij om op level 95% ee betrouwbaarheidsiterval va legte hoogstes 0.5 jerks te hebbe? 17. I ee aselecte steekproef va 100 studete geve 18 studete aa dat ze beked met de biomiale verdelig zij. (i) Bepaal betrouwbaarheidsitervalle op de levels 90%, 95% e 99% voor het relatieve aatal p va studete die de biomiale verdelig kee. (ii) Hoe groot moet voor ieder va de drie levels uit (i) de steekproef zij om de legte va het betrouwbaarheidsiterval op hoogstes 0.05 te beperke? 18. Gegeve is ee aselecte steekproef (1.05, 1.71, 1.5, 1.40, 1.15, 1.94, 1.00, 1.40, 1.49, 1.33, 1.37) va 11 waaremige va ee ormaal verdeelde stochast met obekede verwachtigswaarde µ e (bekede) stadaardafwijkig = 0.3. (i) Bereke ee betrouwbaarheidsiterval op level 95% voor µ. (ii) Bereke ee likséézijdig betrouwbaarheidsiterval op level 90% voor µ. (iii) Vergelijk het betrouwbaarheidsiterval uit (i) met het betrouwbaarheidsiterval op level 95% bij obekede stadaardafwijkig. 19. Ee oderzoek aar het atoomgewicht va thallium leverde de volgede waarde op: 03.68, , , , , (i) Bereke ee betrouwbaarheidsiterval va level 95% voor het atoomgewicht. (ii) Hoeveel waaremige moete er extra worde gedaa om op level 95% het atoomgewicht met ee auwkeurigheid va 0.00 te kue bepale? 0. Iemad werpt 600 keer met ee dobbelstee e vidt 70 keer ee 6. Geef ee betrouwbaarheidsiterval op level 95% voor de kas op ee 6 bij deze dobbelstee. Doe hetzelfde voor de levels 99% e 99.9%. Lijkt je dit ee eerlijke dobbelstee? 53

2de bach TEW. Statistiek 2. Van Driessen. uickprinter Koningstraat Antwerpen ,00

2de bach TEW. Statistiek 2. Van Driessen. uickprinter Koningstraat Antwerpen ,00 de bach TEW Statistiek Va Driesse Q www.quickpriter.be uickpriter Koigstraat 3 000 Atwerpe 46 5,00 Nieuw!!! Olie samevattige kope via www.quickpritershop.be Hoofdstuk : Het schatte va populatieparameters.

Nadere informatie

HOOFDSTUK III. SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen. Theorie Statistiek Les 6

HOOFDSTUK III. SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen. Theorie Statistiek Les 6 HOOFDSTUK III SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters e Betrouwbaarheidsitervalle 3. HET GEMIDDELDE VAN EEN NV Steekproef uit ee ormaal verdeelde populatie De kasveraderlijke X, X, X 3,..., X zij N(µ, σ) verdeeld

Nadere informatie

Opgeloste Oefeningen Hoofdstuk 5: Wet van de grote aantallen en Centrale limietstelling

Opgeloste Oefeningen Hoofdstuk 5: Wet van de grote aantallen en Centrale limietstelling Opgeloste Oefeige Hoofdstuk 5: Wet va de grote aatalle e Cetrale limietstellig 5.. Ee toevalsveraderlijke X is oisso-verdeeld met parameter λ = 00. Bepaal ee odergres voor de waarschijlijkheid (75 X 5).

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 6. Proporties. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 6. Proporties. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1. Ee ieuwe aam voor ee gekede grootheid...2

Nadere informatie

Betrouwbaarheid. Betrouwbaarheidsinterval

Betrouwbaarheid. Betrouwbaarheidsinterval Betrouwbaarheid Ee simulatie beoogt éé of i.h.a. twee of meerdere sceario s te evaluere e te vergelijke, bij Mote Carlo (MC) simulatie voor ee groot aatal istelwaarde, voor éé of meerdere parameters. Hierbij

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodelle e ormaal verdeelde steekproefgroothede 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1.

Nadere informatie

Steekproeftrekking Onderzoekspopulatie Steekproef

Steekproeftrekking Onderzoekspopulatie Steekproef Steekproeftrekkig I dit artikel worde twee begrippe beschreve die va belag zij voor het uitvoere va ee oderzoek. Het gaat om de populatie va het oderzoek e de steekproef. Voor wat betreft steekproeve lichte

Nadere informatie

De standaardafwijking die deze verdeling bepaalt is gegeven door

De standaardafwijking die deze verdeling bepaalt is gegeven door RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE VWO CM T311-VCM-H911 Voor elk oderdeel is aagegeve hoeveel pute kue worde behaald. Atwoorde moete altijd zij voorzie va ee berekeig, toelichtig of argumetatie. MAX:

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2008-II

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2008-II Groepsfoto s Alle mese kippere met hu oge. Daardoor staa op groepsfoto s vaak ekele persoe met geslote oge. Sveso e Bares hebbe oderzocht hoeveel foto s je moet make va ee groep va persoe om 99% kas te

Nadere informatie

Statistiek = leuk + zinvol

Statistiek = leuk + zinvol Statistiek = leuk + zivol Doel 1: Doel : Doel 3: zie titel ee statistisch oderzoek kue beoordele ee statistisch oderzoek kue opzette ee probleem vertale i stadaardmethode gegeves verzamele, verwerke via

Nadere informatie

Hoofdstuk 9 : Steekproefstatistieken. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent.

Hoofdstuk 9 : Steekproefstatistieken. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent. Hoofdstuk 9 : Steekproefstatistieke Marix Va Daele MarixVaDaele@UGetbe Vakgroep Toegepaste Wiskude e Iformatica Uiversiteit Get Steekproefstatistieke p 1/20 Schattige Waeer uit ee steekproef de waarde

Nadere informatie

Convergentie, divergentie en limieten van rijen

Convergentie, divergentie en limieten van rijen Covergetie, divergetie e limiete va rije TI-spire e rije 7N5p GGHM 22-23 Eigeschappe rekekudige rij b = begiwaarde v = verschil tusse twee opeevolgede terme recursieve formule: u = u + v met u = b directe

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame HAVO 2013 tijdvak 2 woesdag 19 jui 13.30-16.30 uur wiskude A Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 21 vrage. Voor dit exame zij maximaal 80 pute te behale. Voor elk vraagummer

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Aanvullende Begrippen (Extra Oefeningen)

Hoofdstuk 4: Aanvullende Begrippen (Extra Oefeningen) Hoofdstuk 4: Aavullede Begrippe (Extra Oefeige) 9. Veroderstel dat X e Y ormaal verdeeld zij met resp. gemiddelde waarde µ X e µ Y e met dezelfde variatie 2. Wat is da de distributie va X Y? Bepaal de

Nadere informatie

Betrouwbaarheid van een steekproefresultaat m.b.t. de hele populatie

Betrouwbaarheid van een steekproefresultaat m.b.t. de hele populatie Betrouwbaarheid va ee steekproefresultaat m.b.t. de hele populatie Verschillede steekproeve uit eezelfde populatie levere verschillede (steekproef) resultate op. Dit overmijdelijke verschijsel oeme we

Nadere informatie

12 Kansrekening. 12.1 Kansruimten WIS12 1

12 Kansrekening. 12.1 Kansruimten WIS12 1 WIS12 1 12 Kasrekeig 12.1 Kasruimte Kasmaat Ee experimet is ee hadelig of serie hadelige met ee of meer mogelijke resultate uitkomste geoemd). De uitkomsteruimte, die we steeds zulle aageve met Ω, is de

Nadere informatie

Een toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek.

Een toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek. 006 Wolters-Noordhoff bv Groige/Houte De steekproefomvag Ee toelichtig op het belag e het berekee va de steekproefomvag i marktoderzoek. Ihoud 1 Ileidig Eerst ekele defiities 3 Steekproefomvag e respose

Nadere informatie

7. Betrouwbaarheidsintervallen voor proporties

7. Betrouwbaarheidsintervallen voor proporties VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 7. Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg

Nadere informatie

Cursus Theoretische Biologie. Onderdeel Statistiek

Cursus Theoretische Biologie. Onderdeel Statistiek Cursus Theoretische Biologie Oderdeel Statistiek J.J.M. Bedaux Oktober 2000 1 THEORETISCHE BIOLOGIE, ONDERDEEL STATISTIEK 1 Theorie 1 Parameterschattig We begie met ee voorbeeld. I Wiskude e Modelbouw

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame VW 007 tijdvak woesdag 6 mei.0-6.0 uur wiskude B Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 0 vrage. Voor dit exame zij maximaal 8 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel

Nadere informatie

G0N34a Statistiek: Examen 7 juni 2010 (review)

G0N34a Statistiek: Examen 7 juni 2010 (review) G0N34a Statistiek: Exame 7 jui 00 review Vraag Beoordeel de volgede uitsprake. Als ee uitspraak iet juist is of ovolledig, leg da uit waarom e verbeter de uitspraak.. Bij het teste va hypotheses is de

Nadere informatie

Ongelijkheden. IMO trainingsweekend 2013

Ongelijkheden. IMO trainingsweekend 2013 Ogelijkhede IMO traiigsweeked 0 Deze tekst probeert de basis aa te brege voor het bewijze va ogelijkhede op de IMO. Het is de bedoelig om te bewijze dat ee bepaalde grootheid (ee uitdrukkig met ee aatal

Nadere informatie

Statistiek Voor studenten Bouwkunde College 6

Statistiek Voor studenten Bouwkunde College 6 Statistiek Voor studete Bouwkude College 6 extrapolatie va steekproef aar populatie Programma voor vadaag Terugblik Populatie e steekproef: extrapolatiestap Represetativiteit, (o)zuiverheid Populatiepercetage

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame VW 007 tijdvak woesdag 6 mei.0-6.0 uur wiskude B Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 0 vrage. Voor dit exame zij maximaal 8 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel

Nadere informatie

Rijen. 6N5p

Rijen. 6N5p Rije 6N5p 0-03 Rije Ileidig I de wiskude werke we vaak met formules e/of fucties die elke mogelijke waarde aa kue eme. Als bijvoorbeeld f( x) = 5x + 5x 3, da ku je voor x (bija) elke waarde ivulle e ka

Nadere informatie

Set 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20)

Set 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20) 1 Techische Uiversiteit Eihove Faculteit Wiskue e Iformatica Set 3 Ileveropgave Kasrekeig (2WS20) 2014-2015 1. (Flesjes ie uit e ba sprige) Aa ee lopee ba wore bierflesjes gevul. Helaas gaat er zo u e

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2007-I

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2007-I Eidexame wiskude B vwo 007-I havovwo.l Podiumverlichtig Ee podium is 6 meter diep. Midde bove het podium hagt ee balk met tl-buize. De verlichtigssterkte op het podium is het kleist aa de rad, bijvoorbeeld

Nadere informatie

Statistiek. (relatieve) frequenties: histogram cumulatieve (relatieve) frequenties: cumulatief frequentiepolygoon of ogief

Statistiek. (relatieve) frequenties: histogram cumulatieve (relatieve) frequenties: cumulatief frequentiepolygoon of ogief Samevattig statistiek Academiejaar 006-007 Statistiek 4 examevrage: - tabel aavulle met spreidigs- e cetrummate - poisso- e biomiale verdelig Deel Beschrijvede statistiek Soorte variabele Kwalitatief:

Nadere informatie

1 Ileidig De vraag is of de spelers i het spel Fatasie 24 (ee variat va observatie roulette), gespeeld i casio YYY te ZZZ, ivloed kue hebbe op de kasb

1 Ileidig De vraag is of de spelers i het spel Fatasie 24 (ee variat va observatie roulette), gespeeld i casio YYY te ZZZ, ivloed kue hebbe op de kasb Behedigheid bij Fatasie 24? R.D. Gill, C.G.M. Oudshoor 4 maart 1997 Samevattig Dit artikel is ee aagepaste versie va ee verslag wat geschreve is.a.v. ee oderzoek voor ee casio. Dit oderzoek gig over de

Nadere informatie

Help! Statistiek! Overzicht. Voorbeeld: bloeddruk. Interpretatie van het 95%-BI. Interpretatie van 95%-BI (2) Meest voorkomende vorm van het BI

Help! Statistiek! Overzicht. Voorbeeld: bloeddruk. Interpretatie van het 95%-BI. Interpretatie van 95%-BI (2) Meest voorkomende vorm van het BI Help! Statistiek! Overzicht Doel: Iformere over statistiek i kliisch oderzoek. Tijd: Derde woesdag i de maad, -3 uur 8 maart: Betrouwbaarheidsitervalle 5 april: Herhaald mete met twee mate 0 mei: Statistiek

Nadere informatie

Praktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling

Praktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling Praktische opdracht: Complexe getalle e de Julia-verzamelig Auteur: Wiebe K. Goodijk, Zerike College Hare Beodigde Voorkeis: 1 = i Het complexe vlak. Notatie: z = a + bi of z = r(cosϕ + i si ϕ) Regel va

Nadere informatie

Appendix A: De rij van Fibonacci

Appendix A: De rij van Fibonacci ppedix : De rij va Fiboacci Het expliciete voorschrift va de rij va Fiboacci We otere het het e Fiboaccigetal met F De rij va Fiboacci wordt gegeve door: F F F F 4 F F 6 F 7 F De volgede afleidig is gebaseerd

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde A vwo 2010 - I Eidexame wiskude A vwo - I Beoordeligsmodel Maratholoopsters maximumscore 3 uur, 43 miute e 3 secode is 98 secode De selheid is 495 98 (m/s) Het atwoord: 4,3 (m/s) maximumscore 3 Uit x = 5 volgt v 4,4

Nadere informatie

Dit geeft ee voorwaarde die slechts afhagt va de begiwaarde va de `basisoplossige' (bij (3) is die voorwaarde a b a b 0). Hoe ka me twee lieair oafhak

Dit geeft ee voorwaarde die slechts afhagt va de begiwaarde va de `basisoplossige' (bij (3) is die voorwaarde a b a b 0). Hoe ka me twee lieair oafhak Lesbrief 5 Recurreties e ogelijkhede Recursief gedefiieerde rije Er zij getallerije {a } die voldoe aa ee recurrete betrekkig va de vorm a +k = f(a +k ;a +k ;:::;a ) voor = ; ;:::, waardoor de + k-de term

Nadere informatie

SAMENVATTING HOOFDSTUK 1. Eigenschappen gebeurtenissen. uitkomsten kan hebben. A = AB A B. 3. (Regels van de Morgan)

SAMENVATTING HOOFDSTUK 1. Eigenschappen gebeurtenissen. uitkomsten kan hebben. A = AB A B. 3. (Regels van de Morgan) SAMENVATTING HOOFDSTUK Toevalsexperimet: experimet, dat meerdere uitkomste ka hebbe Uitkomsteruimte: S = {uitkomste} Gebeurteis A : deelverzamelig vas : A S A e B sluite elkaar uit als A B = A,A 2,...

Nadere informatie

1. Recursievergelijkingen van de 1 e orde

1. Recursievergelijkingen van de 1 e orde Recursievergelijkige va de e orde Rekekudige rije Het voorschrift va ee rekekudige rij ka gegeve wordt met de volgede recursievergelijkig: u = u + b Idie we deze vergelijkig i de vorm u = u u = b otere

Nadere informatie

Rijen met de TI-nspire vii

Rijen met de TI-nspire vii Rije met de TI-spire vii De tore va Pisa Me laat ee bal valle vaaf de tore va Pisa(63m hoog) Na elke keer stuitere haalt de bal og ee vijfde va de voorgaade hoogte. Gevraagd zij: a) De hoogte a de e keer

Nadere informatie

WenS eerste kans Permutatiecode 0

WenS eerste kans Permutatiecode 0 WeS eerste kas 203 204 Permutatiecode 0 Aatekeige op de vrageblade zij NIET TOEGELATEN. Je mag gebruik make va schrijfgerief e ee eevoudige rekemachie; alle adere materiaal blijft achteri. Gee GSM s toegelate:

Nadere informatie

Analyse wijze en stimuleren van invullen Nationale Studenten Enquête 2012. Pascal Brenders 19 juni 2013

Analyse wijze en stimuleren van invullen Nationale Studenten Enquête 2012. Pascal Brenders 19 juni 2013 Aalyse wijze e stimulere va ivulle atioale Studete Equête 20. Pascal Breders 19 jui 2013 Aaleidig Studiekeuze3 is veratwoordelijk voor de uitvoerig va de atioale Studete Equête (SE). De atioale Studete

Nadere informatie

1. Meetniveaus en Notatie

1. Meetniveaus en Notatie 1. Meetiveaus e Notatie Meetiveaus Oderzoek wordt gedaa met het verzamele va iformatie over éé of meer variabele. Ee variabele wordt gemete ee va de volgede 4 meetiveaus (va laag aar hoog) : Er wordt oderscheid

Nadere informatie

PARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens

PARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens PARADOXEN 9 Dr Luc Gheyses LIMIETEN, AFGELEIDEN EN INTEGRALEN: ENKELE MERKWAARDIGE VERHALEN Ileidig: verhale over ifiitesimale Ee ifiitesimaal (of ifiitesimaal kleie waarde) is ee object dat mi of meer

Nadere informatie

Statistiek Voor studenten Bouwkunde College 2

Statistiek Voor studenten Bouwkunde College 2 Statistiek Voor studete Bouwkude College Numerieke samevattige va data Dataverdelig, meetfoute, uitbijters e scatterplots Programma voor vadaag Terugblik op college Numeriek samevatte va data Normale beaderig

Nadere informatie

Opgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100...

Opgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100... Opgave OPGAVE 1 a. Itereer met F( ) = e als startwaarde 1 e 1. 16 1............... 16 1............... b. Stel de bae grafisch voor i ee tijdgrafiek. c. Formuleer het gedrag va deze bae. (belagrijk is

Nadere informatie

Functies, Rijen, Continuïteit en Limieten

Functies, Rijen, Continuïteit en Limieten Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-0 Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Ihoud 1. Fucties Defiitie e kemerke / bewerkige op fucties Reële fucties va éé reële veraderlijke

Nadere informatie

Periodiciteit bij breuken

Periodiciteit bij breuken Periodiciteit bij breuke Keuzeodracht voor wiskude Ee verdieede odracht over eriodieke decimale getalle, riemgetalle Voorkeis: omrekee va ee breuk i ee decimale vorm Ileidig I deze odracht leer je dat

Nadere informatie

Kanstheorie. 2de bachelor wiskunde Vrije Universiteit Brussel. U. Einmahl

Kanstheorie. 2de bachelor wiskunde Vrije Universiteit Brussel. U. Einmahl Kastheorie 2de bachelor wiskude Vrije Uiversiteit Brussel U. Eimahl Academiejaar 2011/2012 Ihoudsopgave 1 Kasruimte 1 1.1 Toevallige experimete................................. 1 1.2 De axioma s va Kolmogorov.............................

Nadere informatie

1. Symmetrische Functies

1. Symmetrische Functies Algebra III 1 1. Symmetrische Fucties permutatios sot la metaphysique des équatios Lagrage*, 1771 I dit hoofdstuk bestudere we de ivariate va de werkig va de symmetrische groep S op polyoomrige i variabele.

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 9. Toetsen van hypothesen. Werktekst voor de leerling. Prof. dr.

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 9. Toetsen van hypothesen. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 9. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg DEEL. Basisideeë.... Hoe extreem mag

Nadere informatie

Werktekst 1: Een bos beheren

Werktekst 1: Een bos beheren Werktekst : Ee bos behere Berekeige met rije op het basisscherm Op ee perceel staa 3000 kerstbome. Ee boomkweker moet beslisse hoeveel bome er jaarlijks gekapt kue worde e hoeveel ieuwe aaplat er odig

Nadere informatie

2.6 De Fourierintegraal

2.6 De Fourierintegraal 2.6 De Fourieritegraal We vertrekke va de Fourierreeks i complexe vorm: voor g : [ π,π] C kue we schrijve met g(t) α e it, α 1 Z π g(t)e it dt. 2π π We herschrijve deze formules eerst voor ee fuctie f

Nadere informatie

We kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen:

We kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen: Masteropleidig Fiacial Plaig Kwatitatieve Methode Relevate wiskude We kee i de wiskude de volgede getalleverzamelige: De atuurlijke getalle: N = {0,,,,4, } De gehele getalle: Z = {, -,-,-,0,,,, } (egels:

Nadere informatie

WenS eerste kans Permutatiecode 0

WenS eerste kans Permutatiecode 0 Aatekeige op de vrageblade zij NIET TOEGELATEN. Je mag gebruik make va schrijfgerief e ee eevoudige rekemachie; alle adere materiaal blijft achteri. Leg je studetekaart duidelijk zichtbaar op je bak. Klap

Nadere informatie

HET BELANG VAN. Vragen Tijdens de voordracht op 14 augustus 2007 hebben we de volgende vragen besproken.

HET BELANG VAN. Vragen Tijdens de voordracht op 14 augustus 2007 hebben we de volgende vragen besproken. HET BELANG VAN KP HART Vrage Tijdes de voordracht op augustus 007 hebbe we de volgede vrage besproke. Hoe ku je izie dat ee vierkat, bij gegeve omtrek, de rechthoek met de maximale oppervlakte is? Hoe

Nadere informatie

Trigonometrische functies

Trigonometrische functies Trigoometrische fucties Ileidig De meest gebruikelijke defiitie va de trigoometrische fucties cos e si berust op meetkudige cocepte (cirkel, hoek, driehoeke etc.) die buite het bestek va de aalyse valle.

Nadere informatie

Levende Statistiek, een module voor VWO wiskunde D

Levende Statistiek, een module voor VWO wiskunde D Op het Stedelijk Gymasium te Leide is de module Levede Statistiek uitgeprobeerd, Ee verslag va Jacob va Eeghe e Liesbeth de Wreede. Levede Statistiek, ee module voor VWO wiskude D Statistiek is typisch

Nadere informatie

Toelichting bij Opbrengstgegevens VAVO 2011-2013

Toelichting bij Opbrengstgegevens VAVO 2011-2013 Toelichtig bij Opbregstgegeves VAVO 2011-2013 Ihoud Ileidig Aatal deelemers exame Kegetalle toezicht exames CE-cijfer alle vakke CE-cijfer alle vakke - tred SE-cijfer mius CE cijfer alle vakke Percetage

Nadere informatie

2. Limiet van een rij : convergentie of divergentie

2. Limiet van een rij : convergentie of divergentie 2. Limiet va ee rij : covergetie of divergetie 2. Eigelijke of eidige limiet 2.. Voorbeeld I ee bos staa 4 bome. De diest bosbeheer zal jaarlijks 2% bome kappe e ieuwe aaplate. Zal het bos verdwije? Zal

Nadere informatie

Betrouwbaarheidsintervallen en het testen van hypothesen

Betrouwbaarheidsintervallen en het testen van hypothesen Cahiers T 3 Europe Vlaadere r. 8 Betrouwbaarheidsitervalle e het teste va hypothese Va steekproef aar populatie Guido Herweyers Betrouwbaarheidsitervalle e het teste va hypothese Va steekproef aar populatie

Nadere informatie

Iteratie is het steeds herhalen van eenzelfde proces, verwerking op het bekomen resultaat. Verwerking

Iteratie is het steeds herhalen van eenzelfde proces, verwerking op het bekomen resultaat. Verwerking 1. Wat is iteratie? Iteratie is het steeds herhale va eezelfde proces, verwerkig op het bekome resultaat. INPUT Verwerkig OUTPUT Idie de verwerkig gebeurt met ee (reële) fuctie geldt voor ee startwaarde

Nadere informatie

7.1 Recursieve formules [1]

7.1 Recursieve formules [1] 7.1 Recursieve formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is ee getallerij. De getalle i de rij zij de terme. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is de vijfde term (u

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II Eideame wiskude B vwo 200 - II Sijde met ee hoogtelij Op ee cirkel kieze we drie vaste pute, B e C, waarbij lijstuk B gee middellij is e put C op de kortste cirkelboog B ligt. Ee put doorloopt dat deel

Nadere informatie

1. Weten dat in het geval van compressoren rekening moet gehouden worden met thermische effecten

1. Weten dat in het geval van compressoren rekening moet gehouden worden met thermische effecten Hoofdstuk 4 Compressore Doelstellige 1. Wete dat i het geval va compressore rekeig moet gehoude worde met thermische effecte 2. Wete dat er ee gres is aa het verhoge va de druk va ee gas 3. Wete welke

Nadere informatie

Deel A. Breuken vergelijken 4 ----- 12

Deel A. Breuken vergelijken 4 ----- 12 Deel A Breuke vergelijke - - 0 Breuke e brokke (). Kleur va elke figuur deel. Doe het zo auwkeurig mogelijk.. Kleur va elke figuur deel. Doe het telkes aders.. Kleur steeds het deel dat is aagegeve. -

Nadere informatie

Stochastische loadflow. Beschrijving model belasting.

Stochastische loadflow. Beschrijving model belasting. Stochastische loadflow. eschrijvig model belastig. 95 pmo 5-- Phase to Phase V Utrechtseweg 3 Postbus 68 AC Arhem T: 6 356 38 F: 6 356 36 36 www.phasetophase.l 95 pmo INHOUD Ileidig...3 eschrijvig belastig...

Nadere informatie

Inzicht in voortgang. Versnellingsvraag 9 Inzichten periode maart t/m juni

Inzicht in voortgang. Versnellingsvraag 9 Inzichten periode maart t/m juni Izicht i voortgag Verselligsvraag 9 Izichte periode maart t/m jui Terugblik Ee idicatie hoe ee leerlig zich otwikkeld per vakgebied Ee referetieiveau waarmee elke leerlig vergeleke ka worde 2 Terugblik

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3NA10 of 3AA10) Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10)

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3NA10 of 3AA10) Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) TECHISCHE UIVERSITEIT EIDHOVE Tetame Ileidig Experimetele Fysica (3A10 of 3AA10) Tetame OGO Fysisch Experimetere voor mior AP (3M10) d.d. 0 jauari 010 va 9:00 1:00 uur Vul de presetiekaart i blokletters

Nadere informatie

Samenvatting. Inleiding Statistiek - Collegejaar

Samenvatting. Inleiding Statistiek - Collegejaar Samevattig Ileidig Statistiek - Collegejaar 2012-2013 Mathematical Statistics ad Data Aalysis, 3-rd editio. Joh A. Rice Hoofdstuk 7 paragraaf 1, 2, 3 e 5. Hoofdstuk 8 e paragraaf 1, 2 e 3 va Hoofdstuk

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) wiskude A, (ieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereided Weteschappelijk Oderwijs 0 04 Tijdvak izede scores Verwerk de scores va de alfabetisch eerste vijf kadidate per school i het programma Wolf

Nadere informatie

Statistiek Voor studenten Bouwkunde College 8

Statistiek Voor studenten Bouwkunde College 8 Statistiek Voor studete Bouwkude College herhalig e ekele voorbeelde Programma voor vadaag Uitgebreide terugblik (per deel Is 0% va de Nederladers likshadig? Hoe checke we of ee theorie klopt? Aalyse va

Nadere informatie

Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek

Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek Vrije Uiversiteit Brussel Faculteit Toegepaste Weteschappe Waarschijlijkheidsrekeig e Statistiek S. Caeepeel e P. de Groe Syllabus bij de cursus Waarschijlijkheidsrekeig e Statistiek Tweede Kadidatuur

Nadere informatie

Complexe getallen. c(a+ib)=ca+i(cb) id(a+ib)=i(ad)+i 2 (bd)=(-bd)+i(ad) (a+ib)(c+id)=ac+i(ad)+i(bc)+i 2 (bd)= ac-bd+i(ad+bc)

Complexe getallen. c(a+ib)=ca+i(cb) id(a+ib)=i(ad)+i 2 (bd)=(-bd)+i(ad) (a+ib)(c+id)=ac+i(ad)+i(bc)+i 2 (bd)= ac-bd+i(ad+bc) . Ileidig: Complexe getalle I de wiskude stelt zich het probleem dat iet bestaat voor de reële getalle of dat de vergelijkig x + 0 gee reële ulpute heeft. Om dit euvel op te losse werd het getal i igevoerd

Nadere informatie

Hoe los ik het op, samen met Thuisvester? Ik heb een klacht

Hoe los ik het op, samen met Thuisvester? Ik heb een klacht Klachte? Hoe los ik het op, same met Thuisvester? Ik heb ee klacht Thuisvester doet haar uiterste best de beste service te verlee aa haar huurders. We vide ee goede relatie met oze klate erg belagrijk.

Nadere informatie

Buren en overlast. waar je thuis bent...

Buren en overlast. waar je thuis bent... Bure e overlast waar je thuis bet... Goed wooklimaat HEEMwoe vidt het belagrijk dat bewoers prettig woe i ee fije buurt. De meeste buurtbewoers kue het goed met elkaar vide. Soms gaat het sameleve i ee

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 18 juni uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 18 juni uur Eame VW 05 tijdvak doderdag 8 jui.0-6.0 uur wiskude B (pilot) Dit eame bestaat uit 7 vrage. Voor dit eame zij maimaal 79 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel pute met ee goed atwoord behaald

Nadere informatie

Waar moet je aan denken? Verhuizen. Stap 1: Hoe zeg ik de huur op?

Waar moet je aan denken? Verhuizen. Stap 1: Hoe zeg ik de huur op? Verhuize Waar moet je aa deke? Verhuize Bij verhuize komt heel wat kijke. Naast het ipakke va spulle e doorgeve va adreswijzigige, is het ook belagrijk dat u same met Thuisvester ee aatal zake regelt.

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskude B, (ieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereided Weteschappelijk Oderwijs 0 0 Tijdvak Izede scores Uiterlijk op jui de scores va de alfabetisch eerste vijf kadidate per school op de daartoe

Nadere informatie

Commissie Pensioenhervorming 2020-2040. Nota over de actuariële neutraliteit. Bijlage III

Commissie Pensioenhervorming 2020-2040. Nota over de actuariële neutraliteit. Bijlage III Commissie Pesioehervormig 00-040 Nota over de actuariële eutraliteit Bijlage III. I het kader va de ivoerig va ee «deeltijds pesioe» wordt de kwestie va de actuariële correctie va de uitkerige i geval

Nadere informatie

Antwoorden bij Inleiding in de Statistiek

Antwoorden bij Inleiding in de Statistiek Atwoorde bij Ileidig i de Statistiek Hoofdstuk. model: bi(, p), p [0, ], schattig: /.2 (i) i bloeddrukveraderig i e persoo i treatmet groep, Y j bloeddrukveraderig j e persoo i cotrolegroep, model:,...,,

Nadere informatie

χ 2 -toets voor homogeniteit χ 2 -toets voor goodness-of-fit ten slotte

χ 2 -toets voor homogeniteit χ 2 -toets voor goodness-of-fit ten slotte toetsede statistiek week 1: kase e radom variabele week 2: de steekproeveverdelig week 3: schatte e toetse: de z-toets week 4: het toetse va gemiddelde: de t-toets week 5: het toetse va variaties: de F-toets

Nadere informatie

Overlevingstafels en longitudinale analyse

Overlevingstafels en longitudinale analyse 9 Overlevigstafels e logitudiale aalyse Survival-aalyse / Duurmodelle Thaya Carolia, Léader Kuivehove e Ja va der Laa Statistische Methode () De Haag/Heerle, Verklarig va tekes. = gegeves otbreke * = voorlopig

Nadere informatie

Sloopbesluit en verhuizen

Sloopbesluit en verhuizen Sloopbesluit e verhuize waar je thuis bet... Wat kut u verwachte als uw woig wordt gesloopt Op verschillede plaatse werkt HEEMwoe aa de verbeterig va de wijk. Soms heeft dat grote gevolge voor u als huurder.

Nadere informatie

9. Testen van meetresultaten.

9. Testen van meetresultaten. Uitwerkige hoofdstuk 9 9. Teste va meetresultate. Opgave 9. Teste va het uit de steekproef geschatte gemiddelde t.o.v. µ a x 4,5 kg e -,0 kg 5 b t ( µ x) 5 4,5, -,0 c,5 % d v 5 4 tabel: t kritisch,78.

Nadere informatie

1 Het trekken van ballen uit een vaas

1 Het trekken van ballen uit een vaas Het trekke va balle uit ee vaas Combiatorische kasprobleme moete worde aagepakt met ee kasmodel dat bestaat uit ee eidige uitkomsteverzamelig Ω va gelijkwaarschijlijke uitkomste Dit wil zegge dat de kas

Nadere informatie

www. POspiegel.nl Online Instrument voor CB Het Talent schooljaar februari DigiDoc

www. POspiegel.nl Online Instrument voor CB Het Talent schooljaar februari DigiDoc POspiegel.l Olie Istrumet voor CB Het Talet schooljaar 2009-2010 februari 2010 2010 DigiDoc www. Algemee Algemee. pagia 1 Eigeschappe Equête Nummer ENQ60536 Naam schooljaar 2009-2010 Istellig CB Het Talet

Nadere informatie

RAADS IN FORMATIE BRIE F

RAADS IN FORMATIE BRIE F RAADS IN FORMATIE BRIE F gemeete WOERDEN Va: college va burgemeester e wethouders Datum: 1 december 2011 Portefeuillehouder(s): Titia Cosse Portefeuille(s): portefeuille Moumete e Archeologie Cotactpersoo:

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO

Correctievoorschrift VWO Correctievoorschrift VWO 009 tijdvak wiskude B, Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordelig Algemee regels Vakspecifieke regels Beoordeligsmodel 5 Izede scores Regels voor de beoordelig

Nadere informatie

KANSREKENING STATISTIEK

KANSREKENING STATISTIEK TECHNSCHE HOGESCHOOL ENDHOVEN Afdelig Algemee Weteschappe Oderafdelig der Wiskude KANSREKENNG e STATSTEK Deel 11: Statistiek Bestemd voor WSK-V Voorjaarssemester 1979 = Techische Hogeschool Eidhove Dictaatummer.4

Nadere informatie

1) Complexe getallen - definitie

1) Complexe getallen - definitie Complexe getalle ) Complexe getalle - defiitie a) Meetkudige betekeis va het getal i Als je ee reëel getal met ee ader reëel getal vermeigvuldigt, wordt zij afstad tot de oorsprog met dit getal vermeigvuldigd

Nadere informatie

Een meetkundige constructie van de som van een meetkundige rij

Een meetkundige constructie van de som van een meetkundige rij Ee meetkudige costructie va de som va ee meetkudige rij [ Dick Kliges ] Iets verder da Euclides deed Er wordt door sommige og wel ees gedacht dat Euclides (hij leefde rod 300 v. Chr.) allee over meetkude

Nadere informatie

Rijen en reeksen. Mei 2008. Remy van Bergen Peter Mulder

Rijen en reeksen. Mei 2008. Remy van Bergen Peter Mulder Rije e reekse Keuzeoderwerp Atheeum 5 wiskude B e B Mei 008 Remy va Berge Peter Mulder Dit boekje gaat over rije e reekse. Wiskudige rije! Rije worde i de wiskude op verschillede maiere gedefiieerd. Met

Nadere informatie

Effectief document- en risicobeheer

Effectief document- en risicobeheer Tekee voor efficiecy Effectief documet- e risicobeheer Met KOVO s techisch iformatiecetrum (TIC) altijd toegag tot actuele tekeige e documete é voldoe aa de eise va wet- e regelgevig. Succesvol documetbeheer

Nadere informatie

Schatgraven. Werken aan de zelfstandigheid van kinderen

Schatgraven. Werken aan de zelfstandigheid van kinderen Werke aa de zelfstadigheid va kidere 2 Ileidig Werke aa zelfstadigheid is ee oderwerp dat al vele jare ee belagrijk oderdeel is va het oderwijsaabod op OBS De Spiegel. I 2008 is beslote om Zelfstadig werke

Nadere informatie

DE ROL VAN GIS BIJ DE HEDONISCHE WAARDEBEPALING VAN VASTGOED

DE ROL VAN GIS BIJ DE HEDONISCHE WAARDEBEPALING VAN VASTGOED DE ROL VAN GIS BIJ DE HEDONISCHE WAARDEBEPALING VAN VASTGOED Prof. ir. P. Ampe, Prof. dr. ir. A. De Wulf, ig. J. De Corte. 1. Ileidig e probleemstellig. Sedert deceia gebruike schatters zowel i België

Nadere informatie

Inleiding. 1. Rijen. 1.1 De rij van Fibonacci. 2 Zou je deze regelmatigheden kunnen verklaren met wiskunde? déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå=téíéåëåü~éééå=

Inleiding. 1. Rijen. 1.1 De rij van Fibonacci. 2 Zou je deze regelmatigheden kunnen verklaren met wiskunde? déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå=téíéåëåü~éééå= Ileidig Waarom vorme zoebloempitte 2 bochte i de ee richtig e 34 i de adere? E wat heeft ee huisjesslak te make met + 5 2 Zou je deze regelmatighede kue verklare met wiskude? Heeft wiskude cocrete toepassige

Nadere informatie

Deze week: Steekproefverdelingen. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen. Kwaliteit van schatter. Overzicht Schatten

Deze week: Steekproefverdelingen. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen. Kwaliteit van schatter. Overzicht Schatten Deze week: Steekproefverdelingen Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Zuivere Schatters Betrouwbaarheidsintervallen Departement Informatica Hfdstk

Nadere informatie

familie verdelingen van alle waardes van θ Binomiaal X~Bin(n,θ) π " (k)=p(x=k)= ( ) θ) 1 θ (-) μ " =nθ σ & " =nθ(1-θ) X=# successen in n pogingen

familie verdelingen van alle waardes van θ Binomiaal X~Bin(n,θ) π  (k)=p(x=k)= ( ) θ) 1 θ (-) μ  =nθ σ &  =nθ(1-θ) X=# successen in n pogingen . Statistische modellerig Stappepla:. Succes?. Wat geregistreerd? 3. meerdere successe per eeheid? à Aatal successe? Max. #? JA Bi θ NEE Poisso λ JA: cotiu: Poisso of Exp λ à wachttijd? Komma? JA Exp λ

Nadere informatie

Bevolkingsevolutie en prijsevolutie: rijen en de TI-89

Bevolkingsevolutie en prijsevolutie: rijen en de TI-89 Bevolkigsevolutie e prijsevolutie: rije e de TI-89 Joha Deprez, EHSAL Brussel - K.U. Leuve. Ileidig Deze tekst is bedoeld als keismakig met de symbolische rekemachie TI-89 va Texas Istrumets. We geve gee

Nadere informatie

Hoeveel getallen van 2 verschillende cijfers kan je vormen met de cijfers 1,4,7,8? tweede cijfer 4 7 8 1 7 8 1 4 8 1 4 7

Hoeveel getallen van 2 verschillende cijfers kan je vormen met de cijfers 1,4,7,8? tweede cijfer 4 7 8 1 7 8 1 4 8 1 4 7 Hoofdstu Combiatorie. Basisregels Combiatorie is de studie va telprobleme. De ust va het telle bestaat vaa uit het codere of aders voorstelle va het telprobleem, zodat het uiteidelij volstaat om de volgede

Nadere informatie

Evaluatierapport. Tevredenheidsonderzoek NMV Nederlandse Montessori Vereniging 2005. Eindrapportage. BvPO

Evaluatierapport. Tevredenheidsonderzoek NMV Nederlandse Montessori Vereniging 2005. Eindrapportage. BvPO Evaluatierapport Tevredeheidsoderzoek NMV Nederladse Motessori Vereigig 2005 Eidrapportage BvPO Bureau voor praktijkgericht oderzoek, Groige BvPO BUREAU VOOR PRAKTIJKGERICHT ONDERZOEK POSTBUS 9505, 9703

Nadere informatie

Eindrapport Leerlingtevredenheidsonderzoek Floracollege Eindexamenklassen 2013

Eindrapport Leerlingtevredenheidsonderzoek Floracollege Eindexamenklassen 2013 Eidrapport Leerligtevredeheidsoderzoek Floracollege Eidexameklasse 2013 Juli 2013 Ihoudsopgave Samevattig 3 Vrage over schoolwerk 5 Vrage over jezelf 6 Vrage over docete 8 Vrage over de metor 11 Vrage

Nadere informatie