Betrouwbaarheidsintervallen en het testen van hypothesen

Transcriptie

1 Cahiers T 3 Europe Vlaadere r. 8 Betrouwbaarheidsitervalle e het teste va hypothese Va steekproef aar populatie Guido Herweyers

2 Betrouwbaarheidsitervalle e het teste va hypothese Va steekproef aar populatie Guido Herweyers

3

4 Ihoud Betrouwbaarheidsitervalle 1 Ileidig 1 2 De ormale verdelig 1 3 Betrouwbaarheidsiterval voor het gemiddelde va ee ormale 5 verdelig met gekede stadaardafwijkig Simulatie va betrouwbaarheidsitervalle 11 Opgave 13 4 Betrouwbaarheidsiterval voor ee proportie 15 Opgave 18 5 De ormale verdelig met de TI-84 Plus: ee overzicht 19 Het teste va hypothese 22 1 Ileidig 22 2 Keismakig: eede met voorkeur voor groe? 22 Atwoorde bij de werktekst 29 3 Beaderede test voor ee proportie bij ee grote steekproef 31 Opgave 32 4 Test voor het gemiddelde va ee ormale verdelig met gekede 34 stadaardafwijkig 5 De biomiale verdelig e de TI-84 Plus 38 6 Broe 39

5

6 Betrouwbaarheidsitervalle 1 Ileidig Statistische iferetie of Statistische besluitvormig trekt aa de had va steekproefdata coclusies over de populatie waarva de data afkomstig zij. Deze coclusies zij ekel betrouwbaar idie de steekproefdata op ee correcte wijze werde verkrege, zodat we kue aaeme dat de populatie goed wordt vertegewoordigd door de steekproefdata. Eerst moet er dus veel aadacht gaa aar het verwerve va gegeves; uit slordig verkrege data ka me gee zivol besluit formulere. I wat volgt eme we aa dat we werke met ee ekelvoudige aselecte steekproef uit ee populatie, waarbij elke steekproef va dezelfde omvag dezelfde kas op selectie heeft. I de oderstaade tekst bespreke we twee belagrijke begrippe uit de statistische besluitvormig: betrouwbaarheidsitervalle e hypotheseteste. We beperke os hierbij tot toepassige op de ormale e de biomiale verdelig, verdelige die worde bestudeerd i het secudair oderwijs. Het is de bedoelig om vertrouwd te gerake met de begrippe e de toepassigsgebiede aa de had va cocrete voorbeelde, hierbij worde het grafisch reketoestel TI-84 Plus e Java-applets va de K.U.Leuve igezet. 2 De ormale verdelig I deze paragraaf vatte we eerst ekele eigeschappe va de ormale verdelig e va toevalsvariabele same. Voor ee overzicht va de ormale verdelig met de TI-84 Plus verwijze we aar paragraaf 5. 1) Over de grafiek va de ormale dichtheidsfuctie: µ 3 µ 2 µ µ µ + µ + 2 µ % 95% 99.7% 1

7 Populatiedata worde o.a. gekemerkt door het populatiegemiddelde µ e de populatiestadaardafwijkig, als maat voor de spreidig va de data t.o.v. µ. Vaak eemt het dichtheidshistogram va de populatiedata, geteked met ee kleie klassebreedte, de klokvorm aa va de ormale dichtheidsfuctie (zie voorgaade grafiek). We zegge da dat de populatiedata ormaal verdeeld zij. De ormale dichtheidsfuctie is dus ee wiskudig model voor de verdelig va dergelijke populatiedata. Relatieve frequeties of proporties va populatiedata va ee variabele X, gelege i ee iterval, worde geoteerd met P( a< X < b), P( X < a), P( X > a), e bereked als oppervlakte oder de dichtheidskromme bove het beschouwde iterval. De aard va de beschouwde ogelijkhede (al da iet strikt) speelt hierbij gee rol. De oppervlakte va het gebied begresd door de dichtheidskromme e de x-as is gelijk aa 1. De kromme is klokvormig e symmetrisch t.o.v. de rechte x = µ, het gemiddelde valt dus same met de mediaa: µ = Med. Ook de stadaardafwijkig heeft ee meetkudige betekeis: de pute op de kromme gelege op ee afstad va de symmetrieas zij de buigpute va de kromme. Dit zij de pute waar de vorm va de kromme overgaat va bol aar hol (opwaarts kijked aar de kromme) of omgekeerd. Ee buigput wordt ook gekemerkt als ee put waar de raaklij het steilst is. De hoogte va het buigput is ogeveer 6% va de tophoogte. De regel: voor ee ormale verdelig met gemiddelde µ e stadaardafwijkig geldt: Ogeveer 68% va de waaremige ligt bie ee afstad va µ Ogeveer 95% va de waaremige ligt bie ee afstad 2 va µ Ogeveer 99.7% va de waaremige ligt bie ee afstad 3 va µ Deze regel illustreert de rol va als maat va de spreidig va de populatiedata omhee het populatiegemiddelde µ. We verifiëre de regel voor ee ormale verdelig met gemiddelde µ = 1 e stadaardafwijkig = 2. Na keuze va ee geschikt vester ka de oppervlakte ook worde gearceerd via 2d[DISTR] <DRAW> 1:ShadeNorm(. 2

8 2) Elke toevalsvariabele X (ook stochastische veraderlijke of stochast geoemd) wordt gekemerkt door de volgede getalle: E ( X ), ook geoteerd met µ, d.i. de verwachtigswaarde of het gemiddelde va X. 2 ( ) Var ( X ) E ( X µ ) =, ook geoteerd met 2, d.i. de variatie va X. i.p.v. de variatie vermeldt me vaak = Var( X ), d.i. de stadaardafwijkig va X. 2 De otatie µ voor E ( X ) e voor ( ) is uit ee populatie, da is E ( X ) het populatiegemiddelde µ e ( ) populatievariatie Var X is veratwoord: als X ee lukrake trekkig Var X de 2. We spreke da kort over de populatie met variabele X. Voor ee ormaal verdeelde populatie geeft de dichtheidskromme u ook de kasverdelig aa va de toevalsvariabele X, met deze verdelig wordt het toevalsmechaisme aagestuurd. I deze cotext is P ( a< X < b) u de kas dat de variabele X, lukraak gekoze uit de populatie, ee waarde aaeemt tusse a e b. Na ee lukrake keuze uit de populatie verkrijge we ee cocreet getal x, d.i. ee waarde die de variabele X door het toevalsmechaisme heeft aageome. Idie we vaak ee lukrake trekkig doe uit ee ormaal verdeelde populatie (e het verkrege getal telkes terugplaatse i de populatie), da zal het dichtheidshistogram va deze lukraak verkrege data op de lage duur de vorm va de ormale dichtheidsfuctie aaeme (als we ee kleie klassebreedte kieze). Via simulatie ka me op die maier de kasverdelig late otstaa va ee toevalsvariabele. Je ka het ook als volgt bekijke: met simulatie va trekkige uit ee populatie A produceer je op de lage duur ee ieuwe populatie B met dezelfde verdelig (e dus 2 dezelfde µ e ) als populatie A. 3) Als de toevalsvariabele X ormaal verdeeld is met gemiddelde µ e stadaardafwijkig, da otere we dit als volgt: X N ( µ, ). X µ = (Z is stadaard ormaal verdeeld). Door deze trasformatie wordt ee cocrete waarde x va X getrasformeerd i de waarde x µ z = va Z. We oeme het getal z de stadaardscore of z-score va x. 4) Als X N ( µ, ) da is Z N(,1) 3

9 Uit de formule x = µ + z lere we dat de z-score aageeft hoeveel stadaardafwijkige de waarde x verwijderd is va het gemiddelde µ. Ee z-score tusse -1 e 1 is "ormaal" e ee z-score met ee absolute waarde groter da 2 is zelde (zie ook volgede figuur). De z-scores worde o.a. gebruikt om data va verschillede ormale verdelige te vergelijke. µ 3 3 µ 2 µ µ µ + µ + 2 µ x z 5) Gegeve ee populatie met variabele X, met gemiddelde µ e stadaardafwijkig. Beschouw ee steekproef X1, X2, X3, X uit de populatie (dit zij oafhakelijke toevalsvariabele met dezelfde verdelig als X ), da heeft het steekproefgemiddelde X1+ X2 + + X X = ook gemiddelde µ maar stadaardafwijkig. a) Als X ormaal verdeeld is, da is ook X ormaal verdeeld: X1+ X2 + + X da is X = N µ,. Als X N ( µ, ) b) Als de populatie (met eidige variatie) iet ormaal verdeeld is da geldt toch bij beaderig dat X ormaal verdeeld is met gemiddelde µ e stadaardafwijkig als voldoede groot is (cetrale limietstellig). 4

10 3 Betrouwbaarheidsiterval voor het gemiddelde va ee ormale verdelig met gekede stadaardafwijkig Met het TI-84 Plus commado radnorm( µ, ) ku je simulaties uitvoere va lukrake trekkige uit ee ormaal verdeelde populatie met gemiddelde µ e stadaardafwijkig. Je vidt het commado oder MATH <PRB> 6: radnorm( Ekele simulaties toe de variabiliteit va de verkrege data bij trekkige uit ee ormale verdelig met gemiddelde µ = 1 e stadaardafwijkig = 2. De data schommele rod het gemiddelde. Als X N( 1,2), da is P( X ) 9.8 < < 1.2 = 8.% : We simulere u ekele steekproeve met grootte = 25 uit de populatie, telkes berekee we hierbij het steekproefgemiddelde x, d.i. telkes ee cocreet verkrege waarde va de toevalsvariabele X. We stelle vast dat er mider variabiliteit is bij de steekproefgemiddelde, die teves schommele rod het populatiegemiddelde µ = 1. Elk va die steekproefgemiddelde is ee (put)schattig voor het populatiegemiddelde. X1+ X2 + + X25 2 da is X = N 1, Als X N( 1,2) of X N( 1,.4). 5

11 Nu is P( X ) 9.8 < < 1.2 = 38.3% : Wat is eigelijk de betekeis va X N( 1,.4)? Beschouw alle mogelijke geordede steekproeve (met teruglegge) ( x1, x2, x3,, x25) die je kut vorme uit de populatiedata e bepaal telkes het steekproefgemiddelde x. De populatie va al deze steekproefgemiddelde is ormaal verdeeld met gemiddelde 1 e stadaardafwijkig.4. Het gemiddelde va al die steekproefgemiddelde is dus gelijk aa het gemiddelde va de oorsprokelijke populatie, maar de spreidig is verkleid met ee factor 25. De toevalsvariabele X wordt gestuurd door ee N ( 1,.4) -verdelig. Bij simulatie va lukrake steekproeftrekkige zal de vorm va het dichtheidshistogram va de lukraak verkrege steekproefgemiddelde op de lage duur de vorm va N ( 1,.4) - dichtheidsfuctie aaeme. Meestal trekke we echter maar éé steekproef uit ee populatie. Beschouw het resultaat (afgerod) va het eerste steekproefgemiddelde e stel dat je ekel weet dat de steekproef afkomstig is uit ee ormaal verdeelde populatie met stadaardafwijkig = 2, hoe goed is deze schattig x = voor het ogekede gemiddelde µ va de populatie? Hiertoe redeere we grafisch:.4 µ =? x z 6

12 I de voorgaade figuur zie we de verdelig va de steekproefgemiddelde va alle mogelijke steekproeve met grootte, het gemiddelde va al die steekproefgemiddelde valt 2 same met het populatiegemiddelde µ e de stadaardafwijkig is = =.4. Op 25 basis va éé lukraak verkrege steekproefgemiddelde x = wese we ee uitspraak te doe over het ogekede populatiegemiddelde µ. We wete dat ogeveer 95% va de steekproefgemiddelde gelege zij bie ee afstad va 2 stadaardafwijkige va µ. Meer precies kue we zegge dat 95% va de steekproefgemiddelde gelege zij i het iterval µ ± Met de fuctie ivnorm vide we immers de stadaardscore z.25 = 1.96 ; het argumet va deze fuctie is de oppervlakte.975 liks va z.25 oder de stadaard ormale verdelig: z.25 De otatie z.25 wordt gebruikt om aa te geve dat de oppervlakte rechts va z.25 gelijk is aa % va de data x ligge dus bie ee afstad 1.96 va µ, maar dit beteket ook dat voor 95% va de steekproefgemiddelde x het populatiegemiddelde µ zal gelege zij bie ee afstad 1.96 va x! 7

13 Derhalve oeme we voor ee cocrete observatie x het iterval x 1.96, x ee 95% betrouwbaarheidsiterval voor µ, of ee betrouwbaarheidsiterval met betrouwbaarheidsiveau 95%. We otere dit iterval ook met x ± Formeel loopt de bovestaade redeerig als volgt: X1+ X2 + + X Aagezie X = N µ, X µ is Z = N(,1) Uit P( Z ) =.95 volgt dat X µ P( ) =.95 of P( 1.96 X µ 1.96 ) =.95 (1) uit (1) volgt u P( µ 1.96 X µ ) =.95 uit (1) volgt echter ook P( X 1.96 µ X ) =.95 waaruit PX ( µ X 1.96 ) =.95 of PX ( 1.96 µ X ) =.95 bijgevolg oeme we x 1.96, x voor µ. ee 95% betrouwbaarheidsiterval

14 Voor oze eerste observatie x = verkrijge µ = ± = ±.784 als betrouwbaarheidsiterval met 95% betrouwbaarheid. Dit iterval [ 9.411,1.979 ] bevat iderdaad het populatiegemiddelde µ = 1. Bij elke steekproef verkrijge we meestal ee ader gemiddelde x e dus ee ader 95% betrouwbaarheidsiterval x ±.784. Bij hoderd steekproeve verkrijge we hoderd betrouwbaarheidsitervalle, waarva we moge verwachte dat er ogeveer 95 itervalle het populatiegemiddelde µ zulle bevatte. Simuleer zelf ekele steekproeve e bepaal de bijbehorede betrouwbaarheidsitervalle voor µ, ga a welke itervalle iderdaad 1 µ = bevatte. Merk op dat de foutmarge 1.96 =.784 voor elk iterval ogewijzigd blijft (bij vaste e e 95% betrouwbaarheid), terwijl het cetrum x va het iterval door het toeval varieert va steekproef tot steekproef. Me ka het betrouwbaarheidsiveau 95% =.95 wijzige tot ee bepaalde waarde 1 α (met < α < 1 ). Het betrouwbaarheidsiveau wordt geoteerd met 1 α omdat α ka worde geïterpreteerd als het sigificatieiveau va ee tweezijdige hypothesetest (zie volged hoofdstuk). Ee betrouwbaarheidsiterval met betrouwbaarheidsiveau 1 α, voor het gemiddelde µ va ee ormaal verdeelde populatie met gekede stadaardafwijkig, is x ± zα /2, waarbij de oppervlakte rechts va z α /2 oder de stadaardormale dichtheidskromme gelijk is aa α /2, zodat de oppervlakte tusse z α /2 e z α /2 gelijk is aa het geweste betrouwbaarheidsiveau 1 α. α Met de TI-84 Plus vid je z α /2 = ivnorm α α /2.1 α /2 z α /2 1 z α /2 9

15 Merk op dat de foutmarge zα /2 afhakelijk is va het gekoze betrouwbaarheidsiveau 1 α, de populatiestadaardafwijkig e de steekproefgrootte. Hoe groter het betrouwbaarheidsiveau, hoe groter de foutmarge. Bij ee betrouwbaarheid va 9% is z.5 = 1.645, voor ee betrouwbaarheid va 99% is z.5 = Halveert de foutmarge als we het betrouwbaarheidsiveau halvere (bvb. va 9% aar 45%)? Hoe groter de populatiestadaardafwijkig, hoe groter de foutmarge. Als verdubbelt, verdubbelt da ook de foutmarge? Hoe groter de steekproefgrootte, hoe kleier de foutmarge. Als verdubbelt, halveert da de foutmarge? Betrouwbaarheidsitervalle kue ook rechtstreeks worde bereked met de TI-84 Plus via STAT <TESTS> 7 : ZIterval : vul de gegeves i, ga met de cursor aar Calculate e druk ENTER. 1

16 Simulatie va betrouwbaarheidsitervalle Het programma CI simuleert tie steekproeve va eezelfde grootte uit ee populatie die ormaal verdeeld is met µ = 1 e = 2. Voor iedere steekproef wordt ee betrouwbaarheidsiterval bereked e deze itervalle worde grafisch voorgesteld same met de dichtheidsfuctie va de ormale verdelig. Na het starte va het programma geef je de gegeves i : N = steekproefgrootte, O/O = betrouwbaarheidsiveau Dit doe je door de waarde i te tikke achter : e da op ENTER te drukke. Hier volge ekele resultate e het programma: ** Iput % ** Iput "N : ",N Iput "O/O : ",P P/1 P ** Trekke va tie steekproeve ** For(I,1,1) radnorm(1,2,n) L1 ZIterval 2,L1,P lower L2(I) upper L3(I) Ed ** Defiitie va het grafisch vester ** FOff PlotsOff 4 Xmi 16 Xmax 1 Xscl 1.1 Ymi.25 Ymax Yscl 1 Xres **Tekee va dichtheidsfuctie e itervalle** "ormalpdf(x,1,2)" Y1 P*1 P Text(56,84,P) Vertical 1 For(J,1,1) Lie(L₂(J),J*.1,L₃(J),J*.1) Ed 11

17 Met de Java-applets va de webpagia ku je ook betrouwbaarheidsitervalle simulere via Tests, vervolges Cofidece iterval for mea. Bij settigs stelle we µ = 1, = 2 e α = 5% voor ee 95% betrouwbaarheidsiterval. Als steekproefgrootte kieze we 1 e voor het aatal steekproeve eme we 1. Nu levert step alvast ee eerste simulatie: We zie de verdelig va de steekproefgegeves e het bijbehorede betrouwbaarheidsiterval, dat het populatiegemiddelde µ = 1 bevat. Het kader liks ku je met de muis verplaatse. Nog ees klikke op step levert ee tweede steekproef met zij betrouwbaarheidsiterval: Ook het tweede betrouwbaarheidsiterval bevat µ. Met walk zie je de volgede steekproefresultate, met ru gebeurt dit i verseld tempo. Uiteidelijk verkrijge we ee zicht op de laatste 1 betrouwbaarheidsitervalle e ee samevatted overzicht i het kader: 12

18 De betrouwbaarheidsitervalle die µ iet bevatte worde op de website aagegeve i het rood. I het kadertje leze we af ( Accepted ) dat 95,6 % va de duized betrouwbaarheidsitervalle µ bevatte, dit is i overeestemmig met het gekoze betrouwbaarheidsiveau 95 %. Opgave 1) Ee test op het kaliumgehalte i bloed is iet helemaal auwkeurig. Bovedie varieert de feitelijke hoeveelheid kalium i iemads bloed va dag tot dag eigszis. Veroderstel dat herhaalde metige op verschillede dage bij dezelfde persoo variëre volges ee ormale verdelig met stadaardafwijkig =.2 (i millimol per liter). (a) Het kaliumgehalte va Mark wordt éé keer gemete, het resultaat is x = 3.4. Bepaal ee 95% betrouwbaarheidsiterval voor het gemiddelde kaliumgehalte va de ormale verdelig. (b) Als er op vier verschillede dage metige werde gedaa met gemiddelde x = 3.4, wat is da het 95% betrouwbaarheidsiterval voor het gemiddelde kaliumiveau va de ormale verdelig? 2) Ee labo aalyseert de cocetratie va ee actieve igrediët i ee geeesmiddel. Drie verschillede metige va de cocetratie levert als resultaat i g/l : Veroderstel hierbij dat de data afkomstig zij uit ee ormale verdelig met gekede stadaardafwijkig =.68 g/l e dat het gemiddelde va die verdelig de exacte cocetratie is (het labo maakt gee systematische foute). (a) Bepaal ee 9 % betrouwbaarheidsiterval voor de exacte cocetratie. (b) Hoeveel metige moet me doe om de exacte cocetratie met 95% zekerheid te kee met ee maximale foutmarge va.5? 13

19 Oplossige 1) a) Met 1 α =.95 vide we α =.5 e zα /2 = z.25 = ivnorm(.975) = 1.96 Bovedie is =.2 e = 1 zodat x = x. Het 95% betrouwbaarheidsiterval x ± zα /2 wordt da x± z α /2 of 3.4 ± of , ±, dit is het iterval [ ] b) Het 95% betrouwbaarheidsiterval x ± zα /2 wordt dit is het iterval [ 3.24,3.596 ] ± 1.96 of 3.4 ±.196, 4 2) a) We berekee eerst het steekproefgemiddelde x =.844, Met 1 α =.9 vide we α =.1 e zα /2 = z.5 = ivnorm(.95) = Het 9% betrouwbaarheidsiterval x ± zα /2 wordt.844 ± 1.64 of ,.8468 ± of het iterval [ ] Met de TI-84 Plus ku je eerst de data igeve i lijst L1 e het reketoestel zelf het gemiddelde late berekee: 2) b) Er moet gelde dat zα /2.5 of of zodat 7.1 ; de steekproefgrootte = 8 volstaat dus. 14

20 Opmerkig Het zwakke put va oze redeerig is dat we veroderstelle dat de stadaardafwijkig va de populatie geked is, dit is echter zelde het geval waardoor het iterval x ± zα /2 i de praktijk zelde bruikbaar is. We veroderstelle teves dat de populatie ormaal verdeeld is. Idie we echter ee voldoed grote steekproef (vuistregel 3 ) eme uit ee populatie met ee willekeurige verdelig e eidige stadaardafwijkig, da zegt de cetrale X1+ X2 + + X limietstellig dat het steekproefgemiddelde X = bij beaderig ormaal verdeeld is met gemiddelde µ e stadaardafwijkig. Bovedie zal de steekproefstadaardafwijkig s da dicht ligge bij de ogekede, zodat s x ± zα /2 da ee beadered betrouwbaarheidsiterval geeft voor µ (idie er gee uitschieters zij i de steekproef wat deze beïvloede x e s sterk). Zo wordt de foutmarge va ee steekproef (uit ee willekeurige verdelig) va 1 data met ee steekproefstadaardafwijkig s = 3 bij ee 95% betrouwbaarheidsiterval bij beaderig s 3 gegeve door z.25 = 1.96 = Betrouwbaarheidsiterval voor ee proportie Om de proportie p va de Vlamige met bloedgroep O te bepale, worde 2 persoe oderzocht; 8 oder he hebbe bloedgroep O. Als schattig voor p eme we de steekproefproportie 8 p ˆ = =.4. 2 We wille ee 95% betrouwbaarheidsiterval voor p bepale, d.w.z. ee iterval ˆp ± foutmarge waarbie p met 95% zekerheid gelege is. 15

21 Stel X het aatal persoe met bloedgroep O bij ee steekproef va 2 persoe, da is X biomiaal verdeeld met parameters = 2 e p = kas op succes (bloedgroep O) : X 2 B(, p) met E ( X) = µ X = p e Var ( X ) = X = p ( 1 p) Door de cetrale limietstellig wete we dat X bij beaderig ormaal verdeeld is met p 1 p. gemiddelde p e stadaardafwijkig ( ) We kue X immers schrijve als X = X1+ X2 + X3+ X, d.i. ee som va oafhakelijke toevalsvariabele met ee Berouilli verdelig met parameter p. Hierbij eemt X i de waarde 1 aa met kas p als de i-de persoo bloedgroep O heeft e de = p e Var ( X ) = p( 1 p), waarde als dit iet het geval is. Me reket vlug a dat E ( Xi ) zodat E ( X) = E( X1) + E( X2) + E( X ) = p e Var ( X ) = Var ( X ) + Var ( X ) + Var ( X ) = p ( p) Hieruit volgt dat de toevalsvariabele X P = bij beaderig ormaal verdeeld is met p ( 1 p) gemiddelde p e stadaardafwijkig : ( ) ( ) X 1 E ( P) = E = E( X) = p e X 1 p 1 p Var P = Var = Var X = a) Exacte oplossig: i ( ) I 95% der gevalle eemt P dus ee waarde ˆp aa bie 1.96 stadaardafwijkige va ( 1 ) het gemiddelde p of ˆ 1.96 p p p p met 95% zekerheid. Cocreet vode we voor oze steekproef x = 8 e = 2 zodat ( 1 p) 8 p ˆ = =.4 e 2 p.4 p 1.96 met 95% zekerheid. We losse de ogelijkheid grafisch op: 2 Als iterval verkrijge we.3346 < p <.4692 met 95 % zekerheid. 16

22 b) Beaderede oplossig: Met 95 % zekerheid is ˆp gelege bie 1.96 stadaardafwijkige va het gemiddelde p of het gemiddelde p is gelege bie 1.96 stadaardafwijkige va ˆp : ( 1 ) ( 1 ) pˆ 1.96 p p p pˆ p p We beadere p ( 1 p) door pˆ ( 1 pˆ), dit levert het 95 % betrouwbaarheidsiterval ( 1 ) ( 1 ) ˆ ˆ ˆ ˆ pˆ 1.96 p p p pˆ p p of.3321< p <.4679 (vergelijk met het exacte iterval) Algemee : Ee beadered betrouwbaarheidsiterval met betrouwbaarheidsiveau 1 α,voor ee populatieproportie p, wordt gegeve door steekproefproportie is. ( 1 pˆ) pˆ pˆ ± zα /2, waarbij ˆp ee De TI-84 Plus levert het betrouwbaarheidsiterval met STAT <TESTS> A: 1-PropZIterval ; vul de gegeves i, ga met de cursor aar Calculate e druk ENTER: Opmerkig Bovestaade werkwijze (a) of (b) moge we iet gebruike bij ee kleie steekproef, bijvoorbeeld = 5, aagezie de cetrale limietstellig da iet va toepassig is; de steekproefproportie X P = is da iet ormaal verdeeld. 17

23 Opgave Va 2 Belge oderzoekt me de bloedgroep met als resultaat: Bloedgroep A B AB O % a) Bepaal betrouwbaarheidsitervalle voor de proportie p der Belge met bloedgroep O, met betrouwbaarheidsiveau s 8%, 95%, 99%. b) Hoe groot moet ee (aselecte) steekproef zij, om de proportie p der Belge met bloedgroep O tot op.1 auwkeurig te kee met 95% zekerheid? Oplossig a) Met 99% zekerheid kue we dus zegge dat de ogekede proportie p gelege is tusse 35.7% e 37.5%! 18

24 ( ) b) Er moet gelde dat 1.96 p 1 p.1 of p( 1 p) (1) We kee p iet maar p( 1 p) = ( p p) = p = p zodat 1 1 p( 1 p) (gelijkheid treedt op als p = ). 4 2 Bijgevolg is p( p) zodat ee steekproefgrootte = 964 zeker volstaat. Schatte we echter i (1) p met p ˆ =.366 da vide we of of = volstaat (de besparig is gerig aagezie pˆ( 1 pˆ) zodat 8915 gelege is). dicht bij 1/4 5 De ormale verdelig met de TI-84 Plus: ee overzicht De commado's i.v.m. ormale verdelige op ee TI-84 (Plus) zij terug te vide oder a) 2d [DISTR] 1: ormalpdf( 2d [DISTR] 2: ormalcdf( 2d [DISTR] 3: ivnorm( b) 2d [DISTR] <DRAW> 1: SchadeNorm( c) MATH <PRB> 6: radnorm( Vooraf merke we algemee op dat de commado s oder (a) e (b) eidige met het opgeve va de parameters µ e. Deze parameters mag je ook weglate voor de stadaard ormale verdelig. 19

25 5.1 ormalpdf ormalpdf is de dichtheidsfuctie va ee ormale verdelig. De sytax voor de fuctiewaarde i het put x is ormalpdf(x, µ, ). Om de grafiek te tekee va de ormale verdelig met gemiddelde 15 e stadaardafwijkig 2 bepaal je eerst ee geschikt vester met WINDOW : ageoeg alle data bevide zich i het µ 3, µ + 3 = , = 9, 21 e de maximale fuctiewaarde is iterval [ ] [ ] [ ] ormalpdf ( µ, µ, ) = ormalpdf (3,3, 2) 5.2 ormalcdf Met ormalcdf bereke je de proportie va de data gelege i ee iterval, de sytax is ormalcdf (odergres, bovegres, µ, ). 99 I.p.v. + eem je 1 ^ 99 = 1, i.p.v. eem je 1 ^ 99. Zo levert ormalcdf( 1 ^ 99, x, µ, ) de verdeligsfuctie va de ormale verdelig, d.i. de proportie va de data kleier da of gelijk aa x, of de oppervlakte oder de ormale verdelig liks va x. 5.3 ivnorm ivnorm is de iverse fuctie va de verdeligsfuctie, de sytax is ivnorm (y, µ, ). Voor ee gegeve getal y tusse e 1 bereke je hiermee de gres x waarvoor de oppervlakte oder de ormale verdelig liks va x gelijk is aa y. Hiermee bepaal je o.a. de kwartiele va ee ormale verdelig. 2

26 5.4 ShadeNorm Met ShadeNorm doe je hetzelfde als ormalcdf, bovedie wordt de ormale verdelig geteked e de berekede oppervlakte gearceerd. Je moet dus eerst de geschikte vestergreze met WINDOW istelle e met Y= de eerder gedefiieerde fucties uitzette. De sytax is ShadeNorm (odergres, bovegres, µ, ). De opdracht wordt gegeve i het basisscherm e dus pas uitgevoerd a het drukke op ENTER. 5.5 radnorm Met radnorm( µ, ) ku je simulaties uitvoere va lukrake trekkige uit ee ormaal verdeelde populatie met gemiddelde µ e stadaardafwijkig. Je vidt het commado oder MATH <PRB> 6: radnorm( Ee steekproef met grootte uit ee ormaal verdeelde populatie met gemiddelde µ e stadaardafwijkig wordt als ee lijst va data gegeereerd met radnorm ( µ,,). 21

27 Het teste va hypothese 1 Ileidig Ee eerste keismakig met de basispricipes va hypotheseteste gebeurt best met ee eevoudig voorbeeld, waarbij metee de cotext va het toepassigsgebied het uitgagsput is: het bestaa va ee oderzoeksvraag, waarop ee atwoord moet worde geformuleerd. Met dit voorbeeld ka de studet stapsgewijs keismake met de vele ieuwe begrippe zoals statistische hypothese, p-waarde, het sigificatieiveau α, type I e type II fout, tweezijdig of eezijdig teste, het al da iet sigificat zij va de steekproefdata, De hele procedure va het teste va hypothese komt hiermee aa bod als ee atuurlijk dekproces, i plaats va ee opsommig va uit te voere stappe e te berekee formules. De volgede keismakig gebruikt ekel de biomiale verdelig als vereiste voorkeis e wordt aagebode als ee werktekst. De atwoorde bij die tekst vid je aasluited op pagia 28. Paragraaf 5 toot ee overzicht va de TI-84 Plus commado s voor de biomiale verdelig. 2 Keismakig: Eede met voorkeur voor groe? I De oderzoeksvraag Ee studet biologie heeft als opdracht ee atwoord te vide op de volgede oderzoeksvraag: Bij ee bepaalde eedesoort (de slobeed, zie ) hebbe de maetjes ee mooie glazed groee kop, met als doel de vrouwtjes aa te trekke. De vraag is of de vrouwtjeseede ook aagetrokke worde tot ee groee kleur i hu voedsel, bijvoorbeeld brood? II Statistische hypothese De oderzoeksvraag ka worde vertaald i de cofrotatie va twee ideeë: 1 ) vrouwtjeseede zij overschillig voor groe of gewoo brood of 2) vrouwtjeseede verkieze groe brood bove gewoo brood Als ee vrouwtjeseed va die eedesoort gecofroteerd wordt met twee stukjes brood (gewoo e groe), da otere we de kas op de keuze va het groee brood met p. De ideeë worde da kort: 1) p = 2) p > 22

28 Deze cofroterede ideeë of uitsprake oeme we statistische hypothese, de eerste hypothese stelt dat de eede eve graag gewoo als groe brood ete. Dit oeme we de ulhypothese, voorgesteld door H, aagezie dit het idee vertegewoordigt dat er gee verschil is (Egelse term: ull-chage ). Het tweede idee drukt wel degelijk ee verschil uit: de eede verkieze groe brood i.p.v. gewoo brood. Daarom wordt dit de alteratieve hypothese geoemd e geoteerd met H 1. We verkrijge dus de volgede hypothese: H : p = 1/2 H : p > 1/2 1 De rede waarom we hier de alteratieve hypothese H 1 formulere als p > 1/2 (éézijdige test) e iet p 1/2 (tweezijdige test) is omdat de oderzoeksvraag ekel vraagt om a te gaa of de eede groe brood verkieze i.p.v. gewoo brood. Me gaat er dus a priori va uit dat de eede zeker gee voorkeur hebbe voor het gewoe brood. Uiteidelijk moete we beslisse welke va de twee hypothese voor os de voorkeur krijgt; we moete kieze voor H of H 1, we zegge dat we H teste versus H 1. Er zij twee mogelijkhede (let op de werkwoordkeuze bij de hypothese): 1) We verwerpe H (we aavaarde H 1 ) of 2) We verwerpe H iet (we aavaarde H 1 iet) De beslissig wordt meestal geformuleerd i terme va H : we verwerpe H of we verwerpe H iet. III Bewijsmateriaal verzamele om te kue beslisse De studet otwerpt ee experimet om tot ee beslissig te kome: zal hij H verwerpe of iet verwerpe? Hij gaat aar ee meer i de omgevig va de campus, waar slobeede i grote aatalle aawezig zij, e kiest lukraak 1 vrouwtjeseede. Elke eed krijgt twee stukke brood aagebode: ee gewoo stuk e ee stuk met ee groe laagje verf. Hij vat het resultaat same i ee rapport waari hij het aatal eede vermeldt die eerst aar het groee brood zwemme. Dek a over de toevalsvariabele X = het aatal eede i de steekproef die groe brood verkieze. De steekproefgrootte is hier gelijk aa 1 =. Als de eede overschillig zij voor gewoo of groe brood, wat is da de verdelig va de variabele X? 23

29 IV De weg aar de beslissig Als de vrouwtjeseede echt overschillig zij t.o.v. groe of gewoo brood, hoeveel va de 1 eede verwacht je da die eerst aar het groee brood zwemme? Natuurlijk zal dit resultaat i werkelijkheid iet steeds hieraa gelijk zij, ook al is de ulhypothese juist, omwille va de mogelijke variaties i de steekproeve te wijte aa het toeval. De studet biologie stelt vast dat 9 va de 1 eede i zij steekproef het groee brood verkieze. Stel dat de populatie va alle slobeede overschillig zij voor gewoo of groe brood (stel dat H waar is), wat is da de kas om i ee steekproef va 1 eede er 9 aa te treffe die eerst het groee brood oppikke? Nege va de tie lijkt erop te wijze dat de eedepopulatie eerder het groee brood verkiest da gewoo brood. Als er meer da 9 eede het groee brood zoude kieze, da zou dit og meer wijze op ee situatie verschilled va de ulhypothese! Daarom zij we geïteresseerd i de kas dat er 9 (het geobserveerde aatal i de steekproef va de studet) of meer (og overtuigeder wijzed i de richtig va de alteratieve hypothese) vrouwtjeseede eerst het groee brood gaa kieze. We wille dus de kas kee op ee resultaat dat mistes eve groot is als het steekproefresultaat, i de veroderstellig dat de ulhypothese waar is. Bereke deze kas P( X 9) : Deze kas om ee resultaat te verkrijge gelijk aa het steekproefresultaat of og extremer (wijzed i de richtig va de alteratieve hypothese) oeme we de p-waarde of overschrijdigskas. Vid je deze p-waarde klei of groot? Geloof je dat de ulhypothese H waar is, rekeig houded met deze p-waarde? (omcirkel je atwoord). Ja Nee Welke hypothese krijgt dus je voorkeur, H of H 1? Verwerp je H of verwerp je H iet? Formuleer je atwoord op de oderzoeksvraag: 24

30 V Samevattig va het dekproces Herlees de stappe I tot IV, oze redeerig om tot ee beslissig te kome kue we als volgt samevatte: (a) Formuleer de oderzoeksvraag. (Verkieze vrouwtjes slobeede groe brood bove gewoo brood? ) (b) Bepaal ee grootheid waar het oderzoek eigelijk over gaat e waarva we de waarde iet kee. I dit voorbeeld is die grootheid de proportie va de vrouwtjeseede die het groee brood verkieze of de kas p dat ee lukraak gekoze vrouwtjeseed het groee brood kiest. I het algemee wordt die grootheid ee parameter geoemd. (c) Schrijf de twee cofroterede statistische hypothese i terme va de parameter waar het om gaat. I het voorbeeld zij de statistische hypothese H : p = 1/2 e H 1 : p > 1/2. (d) Verzamel steekproefdata e bereke de verkrege waarde va de teststatistiek (d.i. ee cocreet getal verkrege m.b.v. de steekproefgegeves, i dit geval het aatal eede (9 op 1) die groe brood verkieze. De teststatistiek of testvariabele zelf is ee toevalsvariabele (het aatal eede X die het groee brood verkieze) waarva we de cocrete waarde x = 9 hebbe geobserveerd. (e) Bereke de p-waarde, d.i. de kas dat we het resultaat va de steekproef verkrijge of ee og extremer resultaat (wijzed i de richtig va de alteratieve hypothese), i de veroderstellig dat de ulhypothese waar is. (f) Beslis of de p-waarde klei of groot is. I os voorbeeld gaf de kleie p-waarde aaleidig tot het verwerpe va de ulhypothese. Deze redeeervorm wordt teste va hypothese geoemd. De redeeervorm ka worde toegepast i verschillede situaties waari ee oderzoeksvraag over ee populatie wordt gesteld e steekproefdata worde verzameld om ee atwoord te kue geve op de vraag. Het is duidelijk dat (f) ee delicaat put is dat og meer aadacht verdiet, welke p-waarde kue we immers als klei beschouwe? Dit bespreke we i de volgede paragraaf. VI Op hoeveel verschillede maiere kue we ee verkeerde beslissig eme? Bij het teste va hypothese moete we H of H 1 selectere. Natuurlijk eme we graag de correcte beslissig, maar soms kue we ook ee foute beslissig eme. Hoe zou je i woorde de volgede situaties kue omschrijve? Formuleer dit i terme va wat de eede verkieze e wat wij bewere dat ze verkieze. (1) We verwerpe de ulhypothese H, terwijl H i werkelijkheid waar is. (2) We verwerpe de ulhypothese H iet, terwijl H i werkelijkheid iet waar is. 25

31 (1) oemt me ee type I fout (oterecht H verwerpe). (2) oemt me ee type II fout (oterecht H iet verwerpe). De volgede tabel geeft ee overzicht va de mogelijke situaties: je verwerpt H je verwerpt H iet H is waar Type I fout juiste beslissig H is iet waar juiste beslissig Type II fout Natuurlijk wese we de kas op het make va ee fout zeer klei te houde. Oze aadacht gaat vooral uit aar het klei houde va de kas op ee type I fout, omdat de ulhypothese ee status quo of eutrale situatie ihoudt, ee traditioele situatie. Als we de ulhypothese verwerpe, da zegge we dat iets beter is of verkoze wordt, of slechter, of verschilled, afhakelijk va hoe de alteratieve hypothese geformuleerd is. Als bijvoorbeeld twee medicamete worde vergeleke i ee oderzoek, da zou ee type I fout bewere dat ee medicamet beter is terwijl de medicamete i werkelijkheid gelijkaardige effecte hebbe. De ulhypothese is de klassieke of traditioele hypothese e ee type I fout (het te orechte verwerpe va deze klassieke hypothese) beschouwt me da erger da ee type II fout (het te orechte iet verwerpe va de klassieke hypothese). De kas op het make va ee type I fout wordt het sigificatieiveau geoemd e geoteerd met α. We wese die kas α oder cotrole te hebbe, de keuze va α wordt mee bepaald door het belag e het gevolg va oze beslissig (cfr. ee rechtszaak: is de beschuldigde schuldig of iet? ) Stel dat je op voorhad beslist de ulhypothese te verwerpe va zodra er mistes 8 eede het groee brood verkieze, wat is da de kas op het make va ee type I fout? Of, aders geformuleerd, wat is de kas dat er mistes 8 eede het groee brood verkieze als H waar is? ( 8) α = P X = Het is belagrijk dat de kas op ee type I fout op voorhad wordt vastgelegd, bij het begi va de studie, vooraleer de data worde verzameld e de teststatistiek wordt waargeome. Ee keuze achteraf zou betekee dat je de beslissig ( H verwerpe of iet) kut aapasse zoals je zelf wil i plaats va te probere om de waarheid te achterhale. Voor welke p-waarde zulle we H verwerpe, voor welke iet? Het sigificatieiveau α geeft de gres aa. Duid i oderstaad iterval [,1 ] het gebied va p-waarde aa waarvoor H wordt verworpe e het gebied va p-waarde waarvoor H iet wordt verworpe. α 1 26

32 We verwerpe H als de p-waarde α. I dit geval zegge we dat de steekproefdata statistisch sigificat zij (ze levere het statistisch bewijs waarmee we de traditioele ulhypothese kue weerlegge) We verwerpe H iet als de p-waarde α. Dek u ees a over het volgede: als je overdrijft i je voorzichtigheid bij het vermijde va ee type I fout (door ee zeer kleie α te kieze), welk effect heeft dit da volges jou op het make va ee type II fout? De kas op ee type II fout wordt β geoemd. Om β oder cotrole te houde moge we α iet overdreve klei make, tezij we voldoede bewijs (data) kue aalevere om overtuiged te kue beslisse (zie volgede paragraaf). VII De ivloed va de steekproefgrootte (optie 1) Me kiest vaak α = 5%,1% of 1%. Studet A werkt met 1 eede, studet B met 2 eede, studet C met 4 eede. Veroderstel dat de drie studete de opdracht krijge om te werke met ee sigificatieiveau α 5%, zo dicht als mogelijk bij 5% (bij ee discrete testvariabele is α = 5% exact immers meestal iet mogelijk). Bepaal (met je reketoestel) voor elk va de studete het miimum aatal eede dat het groee brood moet oppikke om de ulhypothese H te kue verwerpe (De p-waarde bij dit miimum is gelijk aa het sigificatieiveau α ). Vul de volgede tabel i, waarbij x het aatal eede is dat eerst het groee brood oppikt. Studet H iet verwerpe als x H verwerpe als x A 1 B 2 C 4 Veroderstel u dat H iet waar is; stel dat 8% va de slobeedepopulatie het groee brood verkieze. Maak gebruik va de waarde va x die je i bovestaade tabel hebt geoteerd e werk met je reketoestel. Studet β (met α 5% e p =.8 ) A 1 B 2 C 4 Schrijf ee kort verslag over de ivloed va de steekproefgrootte op β. 27

33 VIII Werd de ulhypothese terecht verworpe? (Optie 2) Het oderscheidigsvermoge 1 β va ee test (Egels: power ) geeft aa hoe goed de test i staat is om de ulhypothese terecht te verwerpe (de alteratieve hypothese is iderdaad waar). Bespreek, met de resultate va voorgaade paragraaf, de ivloed va de steekproefgrootte op het oderscheidigsvermoge. H is waar H is iet waar je verwerpt H je verwerpt H iet Type I fout juiste beslissig kas α = kas 1 α = sigificatieiveau juiste beslissig kas 1 β = oderscheidigsvermoge betrouwbaarheidsiveau Type II fout Kas β Veroderstel u dat H iet waar is, maar dat slechts 7% va de slobeedepopulatie het groee brood verkieze. Bepaal opieuw de kas β op ee type II fout e het oderscheidigsvermoge 1 β? Vergelijk dit met de situatie p =.8 Studet β (met α 5% e p =.7 ) A 1 B 2 C We hebbe de basisbegrippe va hypotheseteste besproke. Herlees u de opeevolgede stappe (a) tot (f) i paragraaf V. Herier je dat je vóór stap (d) ee sigificatieiveau α moet vastlegge waarmee je zal werke. Herbekijk de ieuwe woorde (vetjes gedrukt) die werde igevoerd, begrijp je hu betekeis? De stappe (a) tot (f), same met de vooropgestelde α, zulle uttig zij i adere situaties waarbij je ee atwoord moet zoeke op ee oderzoeksvraag m.b.v. het uitvoere va ee hypothesetest. 28

34 Atwoorde bij de werktekst ( I tot VIII) II Statistische hypothese.. De ideeë worde da kort: 1) p = 1/2 2) p > 1/2 III Bewijsmateriaal verzamele om te kue beslisse.. Als de eede overschillig zij voor gewoo of groe brood, wat is da de verdelig va de variabele X? X is biomiaal verdeeld met parameters = 1 e 1/2 X B 1, 1/ 2 IV De weg aar de beslissig p = : ( ) Als de vrouwtjeseede echt overschillig zij t.o.v. groe of gewoo brood, hoeveel va de 1 eede verwacht je da die eerst aar het groee brood zwemme? Vier of vijf of zes (ogeveer de helft). Het is atuurlijk maar ee steekproef dus het hoeft iet exact vijf te zij. Nege of tie verwachte we zeker iet... Stel dat de populatie va alle slobeede overschillig zij voor gewoo of groe brood (stel dat H waar is), wat is da de kas om i ee steekproef va 1 eede er 9 aa te treffe die eerst het groee brood oppikke? P( X = 9) = 1.98% 9 = We wille dus de kas kee op ee resultaat dat mistes eve groot is als het steekproefresultaat, i de veroderstellig dat de ulhypothese waar is. Bereke deze kas 1 1 P( X 9) = P( X = 9) + P( X = 1) = + 1.7% Vid je deze p-waarde klei of groot? Deze kas is zeer klei Geloof je dat de ulhypothese H waar is, rekeig houded met deze p-waarde? (omcirkel je atwoord). Nee Welke hypothese krijgt dus je voorkeur, H of H 1? H 1 Verwerp je H of verwerp je H iet? Ik verwerp H. Formuleer je atwoord op de oderzoeksvraag: De vrouwtjes slobeede verkieze groe brood bove gewoo brood. 29

35 VI Op hoeveel verschillede maiere kue we ee verkeerde beslissig eme?.. (1) We verwerpe de ulhypothese H, terwijl H i werkelijkheid waar is. We bewere dat de eede het groee brood verkieze terwijl ze i werkelijkheid gee voorkeur hebbe voor groe of gewoo brood. (2) We verwerpe de ulhypothese H iet, terwijl H i werkelijkheid iet waar is. We bewere dat de eede overschillig zij voor groe of gewoo brood, terwijl ze i werkelijkheid het groee brood verkieze.. α = P X 8 = 1 P X 7 5.5%.. ( ) ( ) We verwerpe H als de p-waarde We verwerpe H iet als de p-waarde α. > α. Dek u ees a over het volgede: als je overdrijft i je voorzichtigheid bij het vermijde va ee type I fout (door ee zeer kleie α te kieze), welk effect heeft dit da volges jou op het make va ee type II fout? De kas op het make va ee type II fout wordt groter. VII De ivloed va de steekproefgrootte (optie 1) Studet H iet verwerpe als x H verwerpe als x A ( α 5.5% ) B ( α 5.8% ) C ( α 4.% ) Studet β (met α 5% e p =.8 ) A 1 P( X 7) =biomcdf (1,.8, 7) 32.2% B 2 P( X 13) =biomcdf (2,.8, 13) 8.7% C 4 P( X 25) =biomcdf (4,.8, 25).8% De kas β op ee type II fout wordt gevoelig kleier met toeemede steekproefgrootte, terwijl het sigificatieiveau α of de kas op ee type I fout (ageoeg) costat blijft. VIII Werd de ulhypothese terecht verworpe? (Optie 2).. Bespreek, met de resultate va voorgaade paragraaf, de ivloed va de steekproefgrootte op het oderscheidigsvermoge. Het oderscheidigsvermoge 1 β eemt toe met toeemede steekproefgrootte (bij costate α ). 3

36 Veroderstel u dat H iet waar is, maar dat slechts 7% va de slobeedepopulatie het groee brood verkieze. Bepaal opieuw de kas β op ee type II fout e het oderscheidigsvermoge 1 β? Vergelijk dit met de situatie p =.8 Studet β (met α 5% e p =.7 ) A 1 P( X 7) =biomcdf (1,.7, 7) 61.7% B 2 P( X 13) =biomcdf (2,.7, 13) 39.2% C 4 P( X 25) =biomcdf (4,.7, 25) 19.3% Het oderscheidigsvermoge 1 β eemt af (bij vaste e α ) aarmate het werkelijke percetage va de slobeede die kieze voor het groee brood dichter bij.5 gelege is. 3 Beaderede test voor ee proportie bij ee grote steekproef We wese a te gaa of ee idividu uit de populatie ee bepaalde eigeschap bezit. aatal idividue i de populatie met de eigeschap p = is de populatieproportie. aatal idividue i de populatie De steekproefproportie is de toevalsvariabele : ˆ X aatal idividue i de steekproef met de eigeschap P = = aatal idividue i de steekproef Merk op dat ˆP ee overtekede schatter is va p wat E ( Pˆ ) = p. Voor voldoede groot is de variabele Z = Pˆ p X p = p(1 p) p(1 p) bij beaderig stadaard ormaal verdeeld omwille va de cetrale limietstellig (zie ook pagia 16). Als vuistregel voor voldoede groot eme we de voorwaarde : p 5 (1 p) 5 Pˆ p Het uitvoere va de hypothesetest H : p = p versus b.v. H 1 : p < p met Z = p(1 p) als testvariabele ka met de TI-84 Plus via het commado STAT<TESTS> 5:1-PropZTest. 31

37 Opgave: 1) Ee krateartikel beweert dat 4% va de bevolkig (leeftijdsgroep 12 jaar) rookt. Je vermoedt dat dit iet klopt; ee steekproef va 1 persoe ( 12 jaar) levert 52 rokers. Test H : p =.4 versus H 1 : p.4 (tweezijdige test) op het sigificatieiveau α = 5%. a) Exact met het aatal rokers X als teststatistiek met ee biomiale verdelig. b) Beadered met X als teststatistiek met ee bij beaderig ormale verdelig. Pˆ p c) Beadered met Z = p(1 p) als teststatistiek met ee stadaard ormale verdelig d) Los de oderzoeksvraag (spreekt het artikel de waarheid?) op m.b.v. ee betrouwbaarheidsiterval met betrouwbaarheidsiveau 1 α = 95% 2) Ee toets bestaat uit 1 meerkeuzevrage met elk 3 mogelijke atwoorde waarva er éé juist is. Ee juist atwoord levert 1 put op, ee fout atwoord. Ee studet haalt 8 op 1 op die toets e beweert gegokt te hebbe. Geloof je hem? Oplossige H waar is da geldt X B( 1,.4) P( X ) = P( X ). Merk op dat we hierbij ( 52) Vraag 1) a) Als ( ). Als p-waarde vide we % P X verdubbele omdat het ee tweezijdige test betreft: kleie steekproefresultate die mider da 4% doe vermoede (met dezelfde kas als grote resultate 52 die meer da 4% doe vermoede ) make H eve verdacht. Aagezie de p-waarde 5% is verwerpe we H. b) Aagezie X B( 1,.4) is E( X) p 4 Var ( X ) p ( 1 p) = = e = = = ; omwille va de cetrale limietstellig geldt bij beaderig X N( 4, 24 ). Als p-waarde vide we met deze ormale verdelig 2 P( X 52) 1.4%. Met cotiuïteitscorrectie verkrijge we ee betere p-waarde P( X ) = % 32

38 Pˆ p c) De teststatistiek Z = p(1 p) pˆ p.52.4 eemt de waarde z = = aa voor oze steekproef. p(1 p) P Z %. De p-waarde is ( ) d) Ee beadered betrouwbaarheidsiterval met betrouwbaarheidsiveau 1 α, voor ee populatieproportie p, wordt gegeve door steekproefproportie is (zie pagia 17). ( 1 pˆ) pˆ pˆ ± zα /2, waarbij ˆp ee We vide ee 95% betrouwbaarheidsiterval dat het getal.4 iet bevat. Bijgevolg verwerpe we H. Vraag 2) Zij X het aatal juiste atwoorde, stel p de kas om ee vraag juist te beatwoorde (we veroderstelle dat alle vrage dezelfde moeilijkheidsgraad hebbe). We teste H : 1/3 p= (de studet heeft gegokt) versus H : 1/3 1 p> (de studet heeft gestudeerd e iet gegokt). Als H waar is da geldt X B( 1, 1/ 3). De p-waarde is P( X ) P( X ) 8 = 1 7.3%, dit is zeer klei. We hebbe ee overtuiged bewijs tege H e gelove de studet iet 33

39 4 Test voor het gemiddelde va ee ormale verdelig met gekede stadaardafwijkig Ee gezaghebbed tijdschrift publiceert dat het geboortegewicht i Vlaadere ormaal verdeeld is met ee gemiddelde va 3.3 kg e ee stadaardafwijkig va.55 kg. Ee gyaecoloog heeft de idruk dat het gemiddelde geboortegewicht i zij kliiek groter is da 3.3 kg. Om zij hypothese te teste houdt hij gegeves bij va dertig kidere. de hieroder afgebeelde data (i kg) va de gyaecoloog plaatse we i de lijst L De gyaecoloog bereket het gemiddelde va zij steekproef e bekomt als resultaat x = kg. Hij vraagt zich af of hij met dit resultaat mag besluite dat het gemiddelde geboortegewicht i zij kliiek groter is da 3.3 kg. Om zij veroderstellig te teste, start hij met het opstelle va ee kasmodel voor de populatie waaruit de steekproef werd getrokke. De arts gaat erva uit dat de geboortegewichte i zij kliiek ormaal verdeeld zij met gemiddelde e stadaardafwijkig deze va gas Vlaadere: =.55 kg Vervolges formuleert hij twee hypothese over de parameter µ va de populatie: de ulhypothese H (de orm die hij graag zou weerlegge), e ee alteratieve hypothese H 1 (zij vermoede dat hij graag zou wille aatoe of statistisch bewijze). De alteratieve hypothese is dat het gemiddelde geboortegewicht i zij kliiek groter is da 3.3 kg. We otere de hypothese als volgt : H : µ = 3.3 kg H 1 : µ > 3.3 kg We teste H : µ = 3.3 versus H 1 : µ > 3.3. De hypothesetest verloopt verder als volgt. We veroderstelle i de redeerig dat de ulhypothese H waar is. Idie het gemiddelde geboortegewicht x va de steekproef va de gyaecoloog te groot is, verwerpe we de ulhypothese H e aavaarde we de alteratieve hypothese H 1. Wat beteket te groot? Zou je uit ee populatie met ee gemiddelde va 3.3 kg gemakkelijk ee steekproefgemiddelde va kg of zelfs meer kue verkrijge? 34

40 Het verkrege steekproefgemiddelde x = kg is ee door het toeval verkrege waarde va de stochast of toevalsvariabele X = 1 ( X... ) X3, waarbij elke X i verdeeld is zoals 3 de populatievariabele X. Om ee uitspraak te doe over het al da iet te groot zij va de geobserveerde waarde x = 3.483, bekijke we de liggig va x op de grafiek va de dichtheidsfuctie va X. Idie we veroderstelle dat H waar is, geldt : X N(3.3,.55) e.55 X N(3.3, ) of X N(3.3,.1) 3 De toevalsvariabele X is de testvariabele, dit is ee fuctie va de steekproef waarmee we gaa beslisse of we kieze voor H of H 1. De waarde x = bevidt zich erg rechts; x ligt zelfs zo ver aar rechts dat de kas (idie H waar is) om zo geobserveerde waarde te krijge of groter, zeer klei is. Dichtheidsfuctie va X Ee dergelijke geobserveerde waarde oder de ulhypothese ka dus moeilijk verklaard worde door louter toeval. We zegge dat de geobserveerde waarde x statistisch sigificat is e verwerpe de ulhypothese. Stel eve dat de geobserveerde waarde x va de gyaecoloog 3.4 kg was. Op de grafiek va de dichtheidsfuctie va X zie we dat i dit geval de kas (idie H waar is) om ee geobserveerde waarde va 3.4 kg of meer te verkrijge, al heel wat groter is da voor x = kg. Het is iet Dichtheidsfuctie X meer zo evidet om de ulhypothese te verwerpe. Hoe verder de geobserveerde waarde x zich bevidt i de positieve richtig, hoe meer we geeigd zij om de ulhypothese te verwerpe. Ee getal dat gebruikt wordt om weer te geve hoe sterk de geobserveerde waarde afwijkt va de ulhypothese, is de p-waarde (probability value of overschrijdigskas). De p-waarde is de kas, idie de ulhypothese waar is, om ee waarde te verkrijge va de toetsigsgrootheid die mistes eve extreem is als de geobserveerde waarde. Met extreem bedoele we waarde die og meer zoude wijze i de richtig va de alteratieve hypothese. Voor de geobserveerde waarde va de gyaecoloog geeft dit : PX ( 3.483) =.34 = 3.4% 35

41 Deze kas is klei e vormt ee goed bewijs tege de ulhypothese. Slechts i 34 steekproeve op 1 zal ee dergelijke gebeurteis optrede oder de ulhypothese. Hoe kleier de p-waarde hoe meer het aaeembaar is de ulhypothese te verwerpe. Hoe klei moet de p-waarde zij om de ulhypothese te verwerpe? Dit hagt af va de situatie e de belagrijkheid of de gevolge va de beslissig. Om te beslisse hateert me de volgede regel. Me kiest vooraf ee sigificatieiveau α : verwerp H bij ee p-waarde α (we zegge dat de steekproefdata statistisch sigificat zij op het α -iveau), verwerp H iet bij ee p-waarde > α. Om historische redee kiest me vaak α =.5 = 5% of α =.1 = 1%. De gyaecoloog had gekoze voor α =.5, op basis va de p-waarde =.34 verwerpt hij dus de ulhypothese e aavaardt de alteratieve hypothese µ > 3.3. De statisticus beperkt zich vaak tot het rapportere va de p-waarde e laat de beslissig meestal over aa zij opdrachtgever die zij eige sigificatieiveau op voorhad bepaalde. De p-waarde geeft meer iformatie da het sigificatieiveau dat allee diet om de gres te legge tusse aavaarde e verwerpe va de ulhypothese. Zo zij de steekproefdata va de gyaecoloog sigificat op het 5 % iveau, ook op het 4 % of het 3.5 % iveau, maar iet op het 3 % iveau. De p-waarde is bijgevolg het kleiste sigificatieiveau waarvoor de steekproefdata sigificat zij. Waeer me ekel beschikt over statistische tabelle va de stadaard ormale verdelig is me verplicht ee adere testgrootheid te eme da X, l. X 3.3 Z = N(,1)..55/ 3 We spreke da over de Z-test. We berekee de p-waarde i dit geval als volgt : Met de TI-84 voer je deze test uit met het commado STAT<TESTS> 1: Z-Test. Vul da het Z-Test-vester i zoals hieraast is afgebeeld. Idie de resultate va de steekproef i ee lijst gegeve zij, selecteer je voor het item Ipt de optie Data e als je ekel statistische kegetalle ket va de steekproef, bv. x = 3.4, selecteer je de optie Stats. X 3.3 x P = P( Z.55/ 3.55/ 3.55/ 3 ( Z ) = P =.34 36