VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 9. Toetsen van hypothesen. Werktekst voor de leerling. Prof. dr.

Transcriptie

1 VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 9. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg

2 DEEL. Basisideeë.... Hoe extreem mag je zij?..... Zeldzame gebeurteisse..... Waarde of gebiede?.... Hypothese Ee hypothese is Nulhypothese e alteratieve hypothese Toetse Wat je (iet) bewijst Soorte foute Sigificatieiveau Proporties Ee toets opstelle Ee toets uitvoere De p waarde Tweezijdig toetse Ee robuuste procedure Samevattig Gemiddelde Ee toets voor µ Ee robuuste procedure Samevattig Is sigificat belagrijk? Toetse e betrouwbaarheidsitervalle...3 DEEL. Verdere begrippe (facultatief) Het oderscheidigsvermoge Werke oder de alteratieve Paraormale gave otdekke Vier basisgroothede Ekele TI-84 Plus commado s Cetrum voor Statistiek i

3 Deze tekst gaat erva uit dat je goed weet hoe kasmodelle werke e dat je bovedie de tekste over betrouwbaarheidsitervalle (voor proporties e gemiddelde) grodig hebt bestudeerd. DEEL. Basisideeë. Hoe extreem mag je zij? Ee belagrijk begrip bij het toetse va hypothese gaat over uitkomste die je iet verwacht of die weiig kas hebbe om op te trede of die extreem groot of klei zij. Dit begrip gaa we eve vooraf bekijke... Zeldzame gebeurteisse Veroderstel dat ik je zeg dat ik ee ieuw computerprogramma geschreve heb dat lukraak ulle e ee geereert. Ik stel voor dat we met mij programma ee spel spele. Bij ee éé verlies ik e geef ik jou ee euro. Als het ee ul is da verlies jij e geef jij mij ee euro. De eerste keer is het ee ul e dus geef jij mij ee euro. De tweede keer is het ook ee ul e krijg ik va jou ee euro. De derde keer is het terug ee ul e weer moet jij mij ee euro geve. De vierde keer verschijt er terug ee ul zodat jij weer ee euro moet betale. We spele verder e ook de vijfde keer is het ee ul. Deze keer wil je iet meer betale. Je hebt ee sterk vermoede dat mij programma iet eerlijk is. Soortgelijke proeve werde bij heel wat mese gedaa. Na 4 of 5 mislukkige op ee rij hadde de meeste ee sterk vermoede dat er iets iet klopte. Dat was ee reactie gewoo op het gevoel. De kas dat zoiets gebeurt ka je eevoudig uitrekee. Als je ee spel speelt dat eerlijk is da moet de kas op ee éé eve groot zij als de kas op ee ul. Beide uitkomste moete optrede met kas /. Bij de eerste trekkig heb je kas / om ee ul te hebbe. Voor het vervolg maak je gebruik va oafhakelijke gebeurteisse (de uitkomst va ee volgede trekkig heeft iets te make met wat de vorige trekkige opleverde) zodat (productregel) P( eerste = e tweede = ) = P( eerste = ) P( tweede = ) = = = 5 %. 4 Op aaloge maier is de kas va 3 mislukkige op ee rij gelijk aa = =.5 =.5 %. 8 Voor 4 mislukkige op ee rij is de kas 6.5 % e 5 mislukkige op ee rij gebeurt met kas 3.5 %. De meeste mese beschouwe ee gebeurteis als overwacht waeer ze ee kleie kas heeft om op te trede. Dat overwachte kadert atuurlijk bie de cotext va het verhaal. Hier gelooft me dat het spel eerlijk is. Bie die cotext is ee start met 4 à 5 mislukkige op ee rij uitzoderlijk. De kas dat zoiets gebeurt ligt i de buurt va 5 %. I de statistiek gebruikt me al lag ee 5 % criterium om over overwachte gebeurteisse te spreke. Je ka dat ook bekijke i the log ru. Als je tege mese dit spel speelt e als het ee eerlijk spel is, da gebeurt het slechts bij (ogeveer) 5 mese dat ze starte met 4 à 5 mislukkige op ee rij terwijl dat bij die adere 95 mese iet zo is (e zij bie de eerste 4 à 5 pogige toch al mistes éé keer of meerdere kere wie e ee euro krijge). Bij het toetse va hypothese gebruikt me i de meeste studies het 5 % criterium. Ee uitkomst is overwacht, uitzoderlijk, zeldzaam, extreem, als de kas hoogstes 5 % is dat je, bie de cotext va de studie, zo uitkomst ziet. Cetrum voor Statistiek

4 .. Waarde of gebiede? Ee bedrijf gebruikt ee grote igewikkelde machie i haar productieproces. Die machie wordt elke maad gecotroleerd. Me meet da gedurede meerdere dage e op verschillede tijdstippe de kwaliteit va de output. Dat gebeurt volges ee vastgelegd schema waarbij al die meetresultate uiteidelijk tot éé eidresultaat worde samegebracht. Me weet dat die maier va mete ee hoge eidscore oplevert als de machie driged toe is aa ee oderhoud. Als dit da iet gebeurt gaat ze stuk. Volges de costructeur levert ee goed werkede machie iet altijd dezelfde eidscore. De mogelijke eidscores e de kase dat je die scores opmeet bij ee goed werkede machie zie er als volgt uit: Mogelijke eidscore Kas op die score bij ee goed werkede machie 3 Ee machie die driged aa oderhoud toe is levert meestal ee hoge score (zoals 5, 3 of ). Om de machie ee oderhoudsbeurt te geve moet je het productieproces ee dag stillegge. Zoiets doe je liever iet als de machie og goed werkt e eigelijk gee oderhoud odig heeft. Maar als de machie stuk gaat da duurt het weke vooraleer ze ka hersteld worde. Dat zou pas ee echte ramp zij voor het bedrijf. Daarom be je zeer achterdochtig va zodra je ee hoge eidscore ziet. Als je u de klassieke 5 % gres gebruikt om over ee extreme gebeurteis te spreke, welke score moet je da vide om te beslisse dat de machie ee oderhoudsbeurt odig heeft? Je weet dat je moet kijke aar hoge scores. Als de machie og goed werkt da is: - de kas op ee score va gelijk aa.8.8 % = - de kas op ee score va 3 gelijk aa % = - de kas op ee score va 5 gelijk aa.8.8 % = Als je ee score va vidt, da beslis je dat de machie ee oderhoud odig heeft wat ee goed werkede machie levert de score slechts met kas.8 % (e dat is mider da de 5 % gres zodat je hier ka spreke va ee overwacht groot resultaat). Als je ee score va 5 vidt, da moet je, om cosequet te zij, ook beslisse dat de machie ee oderhoud odig heeft, wat ee score va 5 krijg je met kas.8 % e dat is mider da 5 %. Maar u komt de tegespraak. Als jij moet beslisse of de machie ee oderhoud odig heeft e je zegt ja bij ee score va 5 omdat je die score te groot vidt, wat zeg je da als je ee score va 3 ziet? Dat zou toch og meer moete wijze op driged oderhoud! Maar ee score va 3 krijg je met ee goede machie met kas 5.6 %, wat meer da 5 % is. Cetrum voor Statistiek

5 Besluit. Als ee grote uitkomst aaleidig geeft tot de beslissig dat je met ee overwachte gebeurteis te make hebt, da moet je bij ee og grotere uitkomst zeker ook beslisse dat de gebeurteis overwacht is. Maar meer extreme uitkomste gaa iet oodzakelijk same met kleiere kase. Kijk maar aar de waarde 5 die, op basis va haar kas, meer extreem zou zij da de waarde 3. Die moeilijkheid heb je iet bij gebiede. Als je bijvoorbeeld kijkt aar rechterstaarte die meer e meer extreem worde da gebeurt het ooit dat hu kase vergrote. Zo heb je: 4 - de kas op mistes 5 = PX ( 5) = PX ( = 5) + PX ( = 3) + PX ( = ) = + + = 3 - de kas op mistes 3 = PX ( 3) = PX ( = 3) + PX ( = ) = + = - de kas op mistes = PX ( ) = PX ( = ) = Bij het toetse va hypothese kijk je iet aar extreme uitkomste (extreme getalwaarde) maar aar extreme gebiede. Die gebiede zij rechterstaarte (waari extreem grote uitkomste terechtkome) of likerstaarte (waari extreem kleie uitkomste terechtkome). De kase die je bereket zij altijd kase om i gebiede (i staarte) terecht te kome. Nota (facultatief). Als je ee cocreet voorbeeld wil hebbe va ee kasmodel zoals hierbove beschreve voor de score va ee goed werkede machie, da ka je kijke aar het product va twee eerlijke dobbelstee. Die kasverdelig ka je eevoudig zelf opstelle. I de volgede tabel zie je alle producte staa. Als de dobbelstee eerlijk zij da heeft elke cel ee kas va = Cetrum voor Statistiek 3

6 I de otatie va kasmodelle, met X = het product va eerlijke dobbelstee, heb je hier: x PX ( = x) 3 4 x PX ( = x) 4 Je ka deze kasverdelig ook voorstelle door ee staafdiagram. Zo zie je grafisch alle mogelijke waarde same met hu kase. Je ziet ook dat meer extreme (grotere) waarde iet oodzakelijk samegaa met kleiere kase. Cetrum voor Statistiek 4

7 . Hypothese.. Ee hypothese is Ee hypothese is ee bewerig over ee populatie. Meestal gaat zo bewerig over ee populatieparameter. Bij ee populatie (zoals het geslacht va baby s, met = meisje e = joge) ka je ee bewerig formulere over de proportie joges die i 995 i Vlaadere werde gebore. Je ka er bijvoorbeeld va overtuigd zij dat er eveveel meisjes als joges gebore worde. I dat geval zeg je dat volges jou π =. Hierbij is π de otatie voor de populatieproportie die i dit voorbeeld de proportie joges is bij alle baby s die i 995 i Vlaadere werde gebore. Bij ee cotiue populatie (zoals de legte va Vlaamse meisjes va 7) formuleer je ee bewerig over het gemiddelde. Jij hebt erges geleze dat die meisjes gemiddeld 66 cm groot zij. Zelf dek je dat meisjes va 7 gemiddeld groter zij. Jouw opiie ka je formulere als µ > 66. Hierbij is µ de otatie voor het populatiegemiddelde dat i dit voorbeeld de gemiddelde legte is va alle 7-jarige Vlaamse meisjes. Ee hypothese is ee bewerig over ee populatie. Ee hypothese formuleer je vooraleer je de steekproef trekt... Nulhypothese e alteratieve hypothese Ee ulhypothese is ee bewerig dat ee populatieparameter ee welbepaalde waarde aaeemt. De otatie voor ee ulhypothese is ee hoofdletter H met idex ul: H. I de meeste gevalle reflecteert de ulhypothese de gagbare meig of de klassieke stadaard. Als me vroeger dacht dat er eveveel joges als meisjes worde gebore da was dat de gagbare meig die me ko opschrijve als: H : π = met π de proportie joges bij alle baby s die gebore worde. Bij studies aar bepaalde effecte (het geeesmiddel doet patiëte lager leve, vrouwe worde gediscrimieerd, ) stelt me als ulhypothese dat er gee effect is (het geeesmiddel helpt iet, er is gee discrimiatie, ). Ee alteratieve hypothese is ee bewerig over dezelfde populatieparameter waarbij je iets aders zegt da wat er i de ulhypothese staat. De otatie voor ee alteratieve hypothese is ee hoofdletter H met idex éé: H. I de meeste studies fixeert me zich hier iet op ee welbepaalde waarde maar zegt de alteratieve hypothese dat de populatieparameter i ee bepaald gebied ligt. Cetrum voor Statistiek 5

8 Als je leest dat Vlaamse meisjes va 7 gemiddeld 66 cm groot zij da is dat de huidige stadaard. Maar jij hoeft dat iet te gelove e je ka er vast va overtuigd zij dat ze groter zij. I deze cotext is de ulhypothese H : µ = 66 e de alteratieve hypothese is H : 66 µ >. Als je itegedeel dekt dat die meisjes gemiddeld kleier zij da is je alteratieve hypothese H : 66 µ <. Je ka ook zegge dat 66 cm ogeloofwaardig overkomt maar dat je zelf iet weet of ze u groter of kleier zij. I zo situatie werk je met H : 66 µ. I de drie gevalle heb je als alteratieve hypothese ee gebied aagegeve waari jij dekt dat de populatieparameter µ ligt. Ee hypothese va de vorm H : µ > 66 of H : 66 µ < oemt me ee éézijdige alteratieve hypothese. Zij wijst i éé richtig aar allee maar grotere waarde of aar allee maar kleiere waarde. Ee hypothese va de vorm H : 66 µ oemt me ee tweezijdige alteratieve hypothese. Zij wijst gelijktijdig aar waarde die groter of kleier zij. Opdracht I haalde de leerlige va de derde graad ASO i Vlaadere ee gemiddelde score va 57 op op het eidexame wiskude. Jij twijfelt eraa of dat vorig schooljaar ook het geval was. Dat wil je u, met behulp va toetse va hypothese, oderzoeke.. Wat is hier de populatie e welke populatieparameter (met juiste otatie) bestudeer je?. Formuleer de ulhypothese (i woorde e met de juiste otatie). 3. Formuleer de alteratieve hypothese (i woorde e met de juiste otatie). Is zij éé of tweezijdig?. De populatie is de score op het eidexame wiskude va elke leerlig die vorig schooljaar i Vlaadere i de derde graad ASO zat. De populatieparameter die hier bestudeerd wordt is de gemiddelde score, geoteerd als µ.. I de ulhypothese plaats je de vroegere stadaard va het jaar toe de gemiddelde score 57 was. Je start met de veroderstellig dat die stadaard ook vorig schooljaar gold. I otatie wordt dit H : µ = De studie zegt iet dat jij ee hoger (of lager) gemiddelde verwacht. Je twijfelt er gewoo aa of de gemiddelde score vorig jaar 57 was. Misschie was het iets aders. Daarom staat er i de alteratieve hypothese dat de gemiddelde score vorig jaar iet gelijk was aa 57. H : 57 µ. Dit is ee tweezijdige alteratieve hypothese. Cetrum voor Statistiek 6

9 Opdracht Astrologe gelove dat de positie va de maa e de plaete op het ogeblik va je geboorte je persoolijkheidskemerke bepale. Zij gebruike tijdstip e plaats va geboorte om ee horoscoop e ee astrologisch profiel op te stelle. Maar werkt dat echt? Om dat te oderzoeke werd i de Vereigde State aa astrologe de volgede opdracht gegeve. Va 3 persoe werd ee uitgebreid rapport over hu persoolijkheidskemerke gemaakt. Dat gebeurde op ee gestadaardiseerde maier, op basis va weteschappelijk geteste vragelijste. Da werd aa de astroloog tijdstip e plaats va de geboorte va éé va die drie persoe gegeve met de vraag om daarbij de juiste persoo te idetificere (op basis va de 3 rapporte met persoolijkheidskemerke).. Wat is hier de populatie e welke populatieparameter (met juiste otatie) bestudeert me?. Formuleer de ulhypothese e gebruik de juiste otatie. 3. Formuleer de alteratieve hypothese e gebruik de juiste otatie. Is deze hypothese éé of tweezijdig?. De populatie is het atwoord va de astrologe, met waarde = fout atwoord (mislukkig) e = juist atwoord (succes). De populatieparameter die hier bestudeerd wordt is de proportie successe die er bij de atwoorde zoude zij als alle astrologe va de Vereigde State zo proeve zoude doe. Die populatieproportie wordt geoteerd als π.. De ulhypothese gaat erva uit dat er gee effect is. Het helpt iet om astroloog te zij om het beter te doe da iemad die er iets va ket. Als je er iets va ket da ka je allee maar rade e da heb je succes met kas 3. De ulhypothese wordt dus H : π = waarbij π de succesproportie is als de 3 populatie va alle astrologe deze test zou doe. 3. De alteratieve hypothese gaat erva uit dat astrologie wel werkt e dat astrologe beter kue da allee maar rade. Dus stel je als alteratief H : π >. Dit is ee éézijdige alteratieve hypothese. 3 Opdracht 3 I ee advertetie lees je dat je ee dieet met weiig koolhydrate moet volge als je gewicht wil verlieze. Eet weiig of gee brood, pasta, zoetigheid e trek je voor de rest iets aa va het aatal calorieë op je bord. Helpt dat echt? Je wil dit oderzoeke door, over ee periode va 3 maade, het gewichtsverlies te otere va persoe die zo dieet volge.. Wat is hier de populatie e welke populatieparameter (met juiste otatie) bestudeer je?. Formuleer de ulhypothese e gebruik de juiste otatie. 3. Formuleer de alteratieve hypothese e gebruik de juiste otatie.. De populatie is het gewichtsverlies a 3 maade va iederee die zo dieet zou volge. De populatieparameter die je hier bestudeert is het gemiddelde gewichtsverlies, geoteerd als µ.. De ulhypothese gaat erva uit dat er gee effect is. Het dieet helpt iet, je ka evegoed gee dieet volge. Gemiddeld zal er da ook gee gewichtsverlies zij zodat H : µ =. 3. De alteratieve hypothese gaat erva uit dat je gewicht verliest als je het dieet volgt. Als je het gewichtsverlies bereket als (gewicht bij de start gewicht a 3 maade) da moet dit getal positief zij als je gewicht verlore hebt. Als alteratieve hypothese heb je H : µ >. Cetrum voor Statistiek 7

10 3. Toetse I de verklarede statistiek doe je, op basis va steekproefresultate, ee uitspraak over ee populatieparameter. Bij betrouwbaarheidsitervalle gebruik je ee steekproef om ee betrouwbaarheidsiterval op te stelle voor ee ogekede populatieparameter. Bij toetse va hypothese worde bewerige gemaakt over ee populatieparameter. Nu gebruik je steekproefresultate om die bewerige te beoordele. populatie 3.. Wat je (iet) bewijst steekproef Bij toetse va hypothese start je altijd met de ulhypothese H. Dat wil zegge dat jij gelooft dat H waar is. Zo heb je te make met ee populatieparameter die je ket e die de waarde heeft die i H wordt vermeld. Dat blijf je u gelove, tezij je i je steekproef resultate vidt die de bewerig va de ulhypothese zeer sterk ogeloofwaardig make. Pas da mag je H verwerpe e overstappe op de alteratieve hypothese H. A heeft i ee doos 5 kaartjes gelegd die allemaal idetiek zij behalve de kleur (wit e zwart). Met die doos wil zij spele tege Els die blideligs ee kaartje uit de doos moet trekke. Als het kaartje wit is wit A. Els dekt dat A veel meer witte da zwarte kaartjes i die doos heeft gestopt maar A zegt dat het er va elke kleur eveveel zij. Toch vertrouwt Els het zaakje iet. Zij wil vooraf ee cotrole doe door eerst keer (telkes met teruglegge) ee kaartje uit die doos te trekke. Op basis va die uitkomste zal zij beslisse of zij met die doos wil spele. Als je dit eve aar ee algemee kader vertaalt da heb je hier te make met ee populatie. Vauit het stadput va Els is = wit (mislukkig) e = zwart (succes). Els dekt dat haar succesproportie (= de proportie zwarte kaartjes i de doos = de populatieproportie) kleier da / is maar A beweert dat het ee eerlijke doos is. Als ulhypothese moet Els starte met A te gelove zodat H :.5 π =. Maar zelf dekt zij dat ze beadeeld is zodat haar alteratieve hypothese eruit ziet als H :.5 π <. E u trekt Els haar steekproef va grootte =. Cetrum voor Statistiek 8

11 De verdere redeerig doe je i het kader va de ulhypothese. - Als H waar is, is het da uitzoderlijk dat Els hoogstes 9 zwarte kaartjes vidt? De kas dat er tusse die kaartjes hoogstes 9 zwarte zitte is 4 %. Als je dus keer kaartjes trekt da zal het ogeveer 4 keer gebeure dat daar iet meer da 9 zwarte bij zij. Zo uitkomst is helemaal iet uitzoderlijk of overwacht waeer je met ee eerlijke doos te make hebt. - Als H waar is, is het da uitzoderlijk dat Els hoogstes 8 zwarte kaartjes vidt? De kas dat je zoiets vidt is 5 %. Dat is iet uitzoderlijk. - Je ka zo verder gaa om uiteidelijk te kome tot de kas om uit ee eerlijke doos kaartjes te trekke die allemaal wit zij. De kas dat zoiets gebeurt is =.. Als Els dat zou tegekome e als ze da og zou gelove dat A haar ee eerlijke doos heeft voorgeschoteld, da is ze toch wel op haar hoofd gevalle. Waar het hier om gaat, is dat je, vaaf ee bepaald ogeblik, dige begit te zie die je helemaal iet had verwacht als de ulhypothese waar zou zij. E da besluit je dat je de ulhypothese verwerpt e voor de alteratieve hypothese kiest. Bemerk dat je dit pas doet als je terechtkomt i extreme gebiede waari je slechts met 5 % kas valt als de ulhypothese waar is. I alle adere gevalle blijf je bij de ulhypothese. is ee asymmetrische procedure waarbij je heel lag aa de ulhypothese vasthoudt. Pas bij extreme uitkomste stap je over op de alteratieve hypothese. Je hebt da zolag gewacht dat je mag zegge dat er u ee statistisch bewijs is dat de alteratieve hypothese waar is. Over de ulhypothese ka je zo uitspraak iet doe. Het is iet omdat ogeveer va de getrokke kaartjes zwart zij dat je daarom te make hebt met ee eerlijke doos. Zo resultaat krijg je ook gemakkelijk met ee doos waari 5 witte e 49 zwarte kaartjes zitte. De procedure die je gebruikt bij het toetse va hypothese levert gee statistisch bewijs dat de ulhypothese waar is. Je start met ee ulhypothese e je blijft er mee zitte zolag je ze iet ka verwerpe. Maar of ze juist is, dat vertelle de steekproefresultate je iet. Wat je wil bewijze plaats je i de alteratieve hypothese hypothese levert allee ee bewijs voor de bewerig die i wat toetse va staat. Als je de ulhypothese bewijs dat waar is. Als je de ulhypothese waar is. ka verwerpe, da heb je ee statistisch iet ka verwerpe, da bewijst dat iet dat Cetrum voor Statistiek 9

12 Opdracht 4 Je bet verdacht va ee misdaad e wordt aagehoude. Ofwel be je schuldig e da wacht je de gevageis. Ofwel be je oschuldig e da word je vrijgelate.. Wat zij de gevolge als me start met de ulhypothese dat je oschuldig bet? Wat is de taak va de aaklager e wat is jouw taak? Als je wordt vrijgelate, be je da oschuldig?. Wat zij de gevolge als me start met de ulhypothese dat je schuldig bet? Wat is de taak va de aaklager e wat is jouw taak? Als je i de gevageis blijft, be je da schuldig?. Als me start met de ulhypothese dat je oschuldig bet da is het aa de aaklager om te bewijze dat je schuldig bet. Jij moet eigelijk iets doe. Volges de pricipes va toetse va hypothese start me met ee ulhypothese waaraa me blijft vasthoude tezij me extreme dige ziet die zeer overwacht zij waeer de ulhypothese waar zou zij. Dat is precies de rede waarom het gerecht zoveel moeite doet (getuige, DNA, recostructie, ) om feite te verzamele die zo goed als zeker aatoe dat jij de dader bet. Als het gerecht daar iet i slaagt, da moet me je vrijlate. Dat wil helemaal iet zegge dat jij het iet gedaa hebt (de ulhypothese wordt iet beweze).. Als me start met de ulhypothese dat je schuldig bet, da moet de aaklager allee maar zegge dat jij de dader bet. E da is het aa jou om je oschuld te bewijze. Dat ka heel moeilijk zij, ook als je de dader iet bet. Zolag je er iet i slaagt om met voldoede argumete je oschuld te bewijze blijf je i de gevageis. Dat beteket iet dat je schuldig bet (de ulhypothese wordt iet beweze). 3.. Soorte foute De volgede tabel geeft ee samevattig va alles wat er ka gebeure: - wat de populatie betreft, gedraagt zij zich zoals beweerd wordt i de ulhypothese of iet - wat jouw beslissig betreft, verwerp je de ulhypothese of iet. Voor het gedrag va de populatie geldt: H is waar H is iet waar Op basis va de steekproef beslis je: verwerp H type I fout correct verwerp H iet correct type II fout Ofwel is de ulhypothese waar. Voor de doos met 5 kaartjes was die H :.5 π = zodat je echt met ee eerlijke doos te make hebt. Maar ook da ka het gebeure dat je uit zo doos ee extreme steekproef trekt. Dat is de eige iformatie die je hebt e je besluit dus dat die doos iet eerlijk is. I dat geval maak je ee fout. Zo fout wordt ee type I fout geoemd. Ee type I fout maak je als je de ulhypothese H verwerpt terwijl ze i feite waar is. Het ka ook zij dat de doos meer witte da zwarte kaartjes bevat zodat de ulhypothese H :.5 π = iet waar is. Als je uit zo doos ee steekproef trekt da ka het gebeure dat je ee resultaat vidt dat helemaal iet overwacht is waeer dat uit ee eerlijke doos zou kome. E dus zie je gee rede om H :.5 π = te verwerpe. De fout die je u maakt is ee type II fout. Ee type II fout maak je als je de ulhypothese H iet verwerpt terwijl ze i feite iet waar is. Cetrum voor Statistiek

13 Opdracht 5 I oze rechtspraak start me met de ulhypothese dat je oschuldig bet. Waeer wordt hier ee type I fout gemaakt? Waeer ee type II fout? Wat vid je het ergste? Bij ee type I fout verwerp je de ulhypothese terwijl ze toch waar is. Dat beteket hier dat je veroordeeld wordt terwijl je oschuldig bet. Bij ee type II fout wordt de ulhypothese iet verworpe terwijl ze i feite iet waar is. Dat beteket dat je vrijgesproke wordt terwijl je i feite toch schuldig bet. Als je vidt dat ee oschuldige straffe erger is da ee schuldige iet straffe da is ee type I fout de ergste Sigificatieiveau Bij toetse va hypothese zorgt me ervoor dat de kas om ee type I fout te make klei is. Gewoolijk eemt me 5 % zodat P( type I fout ) = 5%. Deze kas wordt het sigificatieiveau geoemd, geoteerd als α. = sigificatieiveau = = Opdracht 6 Ee type I fout make ka zeer erge gevolge hebbe. Dat zag je i vorige opdracht. Waarom werkt me eigelijk met ee procedure waarbij je kas hebt om ee fout te make zoals P( type I fout ) = 5%? Waarom stelt me iet P( type I fout ) =? Wat zou dat betekee i de rechtspraak? Ee oschuldige te orechte straffe is zeer erg. Als je, met zekerheid, zoiets ooit wil tegekome, da is dat simpel: straf iemad. Zo is P( type I fout ) =. Je ka da tegelijkertijd de rechtspraak afschaffe. I de statistiek is elke realistische procedure zo gemaakt dat er ee kas is dat je ee fout begaat. Als je zeker wil zij dat je ooit ee fout zal make da kom je op ziloze procedures terecht. Cetrum voor Statistiek

14 4. Proporties 4.. Ee toets opstelle We starte met begrippe die je vroeger geleerd hebt bij het opstelle va ee betrouwbaarheidsiterval voor ee populatieproportie. I ee studie waarbij de populatie behadeld wordt als categorisch met slechts verschillede uitkomste stel je die uitkomste gelijk aa = mislukkig e = succes. Je hebt da te make met ee populatie. I zo populatie wordt de kas op succes geoteerd als π. Dat is ook de succesproportie i die populatie of kortweg de populatieproportie. Als je uit die populatie ee steekproef trekt da heb je ee aatal mislukkige (ulle) e ee aatal successe (ee). Je ka daarmee de succesproportie i je steekproef (de waarde va jouw steekproefproportie) berekee. Die oteer je als ˆp. Je weet dat ee adere steekproef uit diezelfde populatie je ee adere waarde va de steekproefproportie zal oplevere. Daarom kijk je aar het oderliggede kasmodel dat al die verschillede steekproefproporties aar jou stuurt. Dat kasmodel oteer je met ee hoofdletter: ˆP. π 5 Als de steekproef groot geoeg is zodat gelijktijdig voldaa is aa da ka je de ( π ) 5 kasverdelig va de steekproefproportie ˆP beadere door de ormale verdelig. P Je hebt da dat ˆ EP ( ˆ ) ~ N (;) wat hetzelfde is als se( Pˆ ) e ˆ π( π) se( P) =. Pˆ π π( π) / ~ N(;) wat EP ( ˆ) = π Nu komt het verschil met betrouwbaarheidsitervalle. Het model Pˆ π π( π) / bevat de populatieproportie π. Bij betrouwbaarheidsitervalle ga je erva uit dat je π iet ket. Bij toetse va hypothese start je met ee veroderstellig over π. Je veroderstelt dat de populatieproportie π gelijk is aa wat er beweerd wordt i de ulhypothese. Die waarde oteer je als π e je spreekt da over de populatieproportie oder de ulhypothese. Om te zie hoe dat werkt, bekijk je volged voorbeeld. Je vriedi beweert dat bij bevallige va ee (eerste, tweede, derde, ) kid er ogeveer eveveel moeders joger zij da 3 jaar als moeders va mistes 3 jaar. Jij dekt dat er meer joge moeders zij. Je geraakt akkoord om dat ees uit te teste voor de geboorte i 995 i Vlaadere waarbij je met ee steekproef va grootte = 7 zal werke. Leeftijd is ee cotiue veraderlijke maar de gestelde oderzoeksvraag maakt er ee dichotomie va: mistes 3 jaar oem je Cetrum voor Statistiek

15 mislukkig (e aa die moeders geef je ee code ) e joger da 3 jaar oem je succes (e aa die moeders geef je ee code ). Op die maier heb je ee populatie gemaakt. De proportie moeders die bij ee bevallig i 995 joger da 3 ware, is de populatieproportie, geoteerd als π. Over deze proportie zij er bewerige gemaakt: je vriedi > ulhypothese H : π = jij > alteratieve hypothese H : π > Je start u met de veroderstellig dat de ulhypothese waar is. I dat geval zij er i de populatie eveveel moeders joger da 3 jaar als er moeders zij va mistes 3 jaar. I het model Pˆ π is π iet lager obeked. Oder de ulhypothese is π =, waarbij je de waarde π( π) / oder de ulhypothese (dat is hier ) algemee oteert als π. Er is u voldaa aa π = 7 = 35 5 e ( π ) = 7 ( ) = 35 5 zodat Pˆ π Pˆ.5 Pˆ.5 ~ N(;) of ~ N(;) of ~ N (;). π ( π ) /.5 (.5) / 7.6 Je hebt hier ee kasmodel dat observeerbaar is wat er staat gee ekele obekede parameter meer i. Bovedie gedraagt dat model zich zoals de stadaard ormale, wat ee verdelig is die je goed ket. Het eige wat je u og moet doe is ee extreem gebied bepale. Om te zie of je met ee likerstaart of met ee rechterstaart of met beide staarte moet werke kijk je aar de alteratieve hypothese. Die is hier éézijdig e wijst aar grotere waarde. Daarom ga je hier éézijdig rechts toetse, wat beteket dat je ee rechterstaart als extreem gebied afbaket. Je werkt hierbij met het klassieke 5 % criterium, zodat je slechts met 5 % kas i die rechterstaart terechtkomt. Het kritische put is.645 wat PZ (.645) =.5 als Z~ N (;). Hierbij is Z (hoofdletter) de gagbare otatie voor ee kasmodel dat zich gedraagt zoals de stadaard ormale. Pˆ π π ( π ) / als H waar is ~ N(;) sigificatieiveau aavaardigsgebied kritisch put verwerpigsgebied Cetrum voor Statistiek 3

16 Je hebt u gebiede bepaald. Het verwerpigsgebied is [.645 ; + [. Als je daari terechtkomt da verwerp je de ulhypothese. Als je i het aavaardigsgebied ] ;.645 [ terechtkomt da ka je de ulhypothese iet verwerpe. Dit beteket iet dat je aavaardt dat H juist is. Eigelijk zou je aavaardigsgebied moete vervage door iet-verwerpigsgebied maar dat is iet gebruikelijk i tekste over statistiek. Ee toets opstelle komt eer op het bepale va ee regel die zegt: Als je i dat gebied terechtkomt da moet je H verwerpe e aders iet. Die regel stel je op door allee maar gebruik te make va eigeschappe va het kasmodel. Dat kasmodel is voor iedere leerlig i je klas hetzelfde e dus heeft iederee dezelfde regel opgesteld. Pas daara trekt iederee ee steekproef. E u zulle je medeleerlige uiteraard iet allemaal hetzelfde vide. 4.. Ee toets uitvoere Waeer je ee toets hebt opgesteld da is het iet moeilijk om ze ook uit te voere. Je moet er wel altijd op lette dat je op ee goede maier data verzamelt. Trek u uit de databak ee steekproef va grootte = 7 e let erop dat je allee maar geboorte va het jaar 995 eemt. De leeftijd va de moeder breg je over aar de lijst va je GRM. Die leeftijd moet je u ee code geve. Dat gaat als volgt: druk achtereevolges e e kies 5:<. Tik da het getal 3 gevolgd door e. Hieraast zie je ee voorbeeld va zo steekproef. Voor de rest va dit verhaal is het de bedoelig dat je werkt met de steekproef die je zelf getrokke hebt. Pˆ.5 Oder de ulhypothese werk je met het model. Voor de steekproef die u getrokke is.6 pˆ.5 bereke je de waarde (kleie letter). Daarvoor moet je de succesproportie ˆp i je.6 aatal successe aatal ee steekproef kee. Die is iets aders da =. Het aatal ee vid totaal aatal totaal aatal je door de som te make va je uitkomste wat die zij iets aders da ulle e ee. Cetrum voor Statistiek 4

17 Pˆ.5 ~ N (;).6 als H waar is Druk loop aar CALC e druk : Var Stat. Vervolledig het commado met e. 45 I dit voorbeeld is x = 45 zodat p ˆ = aavaardigsgebied kritisch put sigificatieiveau verwerpigsgebied.38 p Je bet op ˆ =.5.38 terechtgekome, wat ee put is i het verwerpigsgebied..6.6 Als je i het verwerpigsgebied terechtkomt da zeg je dat de geziee afwijkig (te opzichte va de bewerig va de ulhypothese) gee toevallig verschil meer is, te wijte aa schommelige va steekproeve. Nee, da zeg je dat je ee sigificat verschil gevode hebt e da stap je over va de ulhypothese op de alteratieve hypothese. Besluit. Verwerp de ulhypothese op het 5 % sigificatieiveau e aavaard dat, bij de geboorte i 995 i Vlaadere, de proportie moeders joger da 3 jaar groter is da /. Bemerkige.. Bij toetse va hypothese formuleer je ee besluit waarbij je zegt welk criterium voor extreem (welk sigificatieiveau) je gebruikt hebt.. Zoals bij betrouwbaarheidsitervalle bestaat ook toetse va hypothese uit twee grote stappe: ee stap vooraf e ee stap adie. Vooraf stel je ee procedure op waarbij je zelf bepaalt wat de kas op ee type I fout is. Als je met ee sigificatieiveau va 5 % werkt, da is de kas om de ulhypothese te verwerpe, terwijl ze toch waar is, gelijk aa 5 %. Je ka dat i the log ru bekijke. Als je, terwijl de ulhypothese waar is, keer zo toets uitvoert, da zal je (ogeveer) 5 keer die ulhypothese verwerpe (e ee foutieve beslissig eme). Nadie trek je de steekproef. Da sta je daar met éé welbepaalde waarde va je model. Dat is de basis waarop je ee beslissig eemt ( H verwerpe of iet). Die beslissig is juist of fout, daar hoort gee kasuitspraak meer bij. Dat is ook zo bij betrouwbaarheidsitervalle, waar je achteraf ee iterval vidt dat juist of fout is. Cetrum voor Statistiek 5

18 4.3. De p waarde Kris e Joke hebbe ook ee steekproef va grootte Pˆ.5 = 7 getrokke. Kris vod 4 moeders joger ~ N (;).6 als H waar is da 3 jaar zodat voor haar steekproef 4 p ˆ = =.6. Zij komt dus op de waarde 7 pˆ = =.67 terecht. Bij Joke ware.6.6 er 49 moeders joger da 3 jaar. Zij vidt 49 p ˆ = =.7 e komt op de waarde 7 aavaardigsgebied pˆ = = 3.33 terecht. Grafisch ka je hu resultate voorstelle zoals hieraast. Zij zij Kris beide i het verwerpigsgebied terecht gekome zodat hu besluit idetiek is: verwerp de ulhypothese op het 5 % sigificatieiveau. sigificatieiveau verwerpigsgebied kritisch put 3.33 Joke Op deze maier ee besluit formulere is correct maar het vertelt iet alles. Als de ulhypothese waar is e de kas op ee moeder joger da 3 gelijk is aa 5 %, da is het resultaat va Joke toch og veel meer overwacht da dat va Kris. I de steekproef va Kris ware er 6 % joge moeders, maar bij Joke ware er dat 7 %. Om deze extra iformatie weer te geve wil je graag zegge hoe extreem jouw steekproef wel was. Je weet dat je dit moet aageve met kase om i extreme gebiede terecht te kome. Dat doet de p waarde ( = p value = probability value). Het is deze waarde die je i de output va de meeste statistische software vidt. De p waarde is de kas dat het kasmodel, als de ulhypothese waar is, eve extreme of og extremere waarde aaeemt, vergeleke met de waarde waarop jij met jouw steekproef bet terechtgekome. Voor ee éézijdig rechtse toets wijze extreme waarde aar groter. De p waarde ka je hier Pˆ p pˆ p opschrijve als P. Bekijk deze kasuitspraak goed. Het gaat p( p) p( p) Pˆ π over de kas dat het kasmodel oder de ulhypothese, dus, ee waarde aaeemt π ( π ) / pˆ p die mistes zo groot is als wat jij gevode hebt vauit je steekproef, amelijk p ( p ) /. Cetrum voor Statistiek 6

19 Als je voor het kasmodel (beadered) werkt met de stadaard ormale verdelig da oteert me de gevode waarde dikwijls met ee (kleie) letter z wat het stadaard ormaal kasmodel wordt met ee (hoofdletter) Z geoteerd. pˆ p Voor Kris is z = =.67 zodat haar p waarde gelijk is aa p( p) / Pˆ π Pˆ.5 P.67 of aa P.67 π( π)..6 Pˆ.5 Aagezie ~ N (;) e PZ (.67) = P(.67 Z< + ).47 is.6 de p-waarde va Kris gelijk aa 4.7 %. Met de GRM ka je dit als volgt vide: druk, kies :ormalcdf(, vul verder i zoals aagegeve e druk. Het extreme gebied dat door het resultaat va Kris wordt afgebaked is [.67 ; + [. Dat is meer extreem da [.645 ; + [ e dus kom je daar met ee kleiere kas i terecht. Daarom is de p-waarde va Kris kleier da 5 %. Zo p waarde ka je ook aders vide. Druk, loop aar TESTS e kies 5: PropZTest Je GRM schrijft p waar er eigelijk π moet staa. Om te begie tik je de populatieproportie oder de ulhypothese i. I deze studie is π =.5. Met de letter x vraagt je GRM aar het aatal successe (dat is hier 4) e staat voor de steekproefgrootte (dat is hier 7). Voor de alteratieve hypothese moet je kieze uit H: π π of H: π < π of H: π > π. I deze studie veroderstelt de alteratieve hypothese dat de populatieproportie groter is da π. Ga dus aar die plaats ( > π ) e druk. Ga da aar Calculate e druk. Je krijgt u ee scherm dat zegt dat je rechts éézijdig toetst (prop>.5 beteket π >.5 ), dat je terechtgekome bet op de waarde.67 (z =.67) e dat de p waarde 4.7 % is (p=.47). Verder staat er dat de succesproportie i de steekproef 6 % was ( p ˆ =.6 ) bij ee steekproef va grootte = 7. Als je bij hetzelfde commado iet Calculate gebruikt maar Draw e da drukt, da krijg je ee figuur va de stadaard ormale dichtheidsfuctie met de waarde waar jij bet terechtgekome (z=.67) e ee gearceerde oppervlakte bove de rechterstaart [.67 ; + [. Het maatgetal va die oppervlakte is de kas dat ee stadaard ormale i het gebied [.67 ; + [ terechtkomt. Die kas is 4.7 %, aagegeve door p=.47. Dat is de p waarde. Cetrum voor Statistiek 7

20 Opdracht 7. Bereke de p waarde va Joke. Schrijf eerst (met de juiste otatie) de kasuitspraak op die hierbij hoort e formuleer ze ook i woorde. Gebruik daara je GRM om de p-waarde te berekee. Doe dit met het commado voor het toetse va proportie.. Schrap wat iet past: Ee grotere p-waarde duidt op ee meer extreme uitkomst: JA / NEEN. Motiveer je atwoord. 3. Schrap wat iet past: Als je ee verwerpigsgebied hebt opgesteld op basis va ee 5 % sigificatieiveau e je vidt ee p waarde die kleier is da 5 % da be je WEL / NIET i dat verwerpigsgebied terechtgekome. Geef uitleg bij deze uitspraak e gebruik daarbij de resultate va Kris e Joke ter illustratie.. Het gaat hier over rechts éézijdig toetse zodat extreme gebiede rechterstaarte zij. Daarom is de p-waarde gelijk aa Pˆ π π( π) / pˆ p z = p ( p ) / P Pˆ p ˆ p p p ( p ) p ( p ). Dit is de kas dat het kasmodel terechtkomt i de rechterstaart die begit vaaf de gevode waarde of pˆ.5 z =..6 Joke had 49 successe i haar steekproef va grootte = 7. Met de GRM vid je dat haar p-waarde gelijk is aa.4 of.4 %.. Ee grotere p-waarde duidt op ee meer extreme uitkomst: JA / NEEN. Ee p waarde is ee kas om i ee extreem gebied terecht te kome. Als die kas groter moet zij da heb je ee groter gebied odig. Dat gebied moet da va dichter bij het cetrum starte zodat het startput (= je gevode z-waarde) mider extreem moet zij. 3. Als je ee verwerpigsgebied hebt opgesteld op basis va ee 5 % sigificatieiveau e je vidt ee p-waarde die kleier is da 5 % da be je WEL / NIET i dat verwerpigsgebied terechtgekome. De kas om i het verwerpigsgebied terecht te kome is 5 %. De p waarde is hier kleier, dus is er mider kas om i het extreem gebied terecht te kome dat start vaaf je gevode z-waarde. Dat gebied moet og meer extreem zij da het verwerpigsgebied. Da moet het starte vaaf ee waarde die bie het verwerpigsgebied ligt. Daar be je dus terechtgekome. Voor Kris was de p waarde 4.7 %. Dat is iet veel kleier da 5 %. Zij vod ee z-waarde va.67. Die ligt bie het verwerpigsgebied maar og iet zo heel ver. De p waarde va Joke was.4 %. Dat is heel klei. Joke is ook bie het verwerpigsgebied terechtgekome, heel ver weg, op ee z-waarde va 3.3. I terme va de stadaard ormale verdelig is 3.3 heel ver verwijderd va het cetrum e i het gebied [3.3 ; + [ terechtkome gebeurt bija ooit (die kas is.4). Cetrum voor Statistiek 8

21 4.4. Tweezijdig toetse Als je vriedi beweert dat er bij de bevallige i 995 i Vlaadere eveveel vrouwe ware joger da 3 als vrouwe va mistes 3, da zou je dat gewoo i twijfel kue trekke zoder zelf ee specifiek tegevoorstel te doe. Volges jou is de proportie π va vrouwe joger da 3 iet gelijk aa /. Voor deze studie werk je da met de ulhypothese H :.5 π = tegeover de alteratieve hypothese H : π.5. Ee extreme uitkomst die je iet had verwacht als de ulhypothese waar zou zij is u ee uitkomst die te groot of te klei is. Het verwerpigsgebied bestaat da uit twee staarte (extreem liks e extreem rechts). Als je met ee sigificatieiveau α = 5% werkt, da zorg je ervoor dat het kasmodel i het verwerpigsgebied terechtkomt met kas 5 %. Waeer de voorwaarde voldaa zij om de ormale beaderig te gebruike is Pˆ π ~ N(;) e bestaat het verwerpigsgebied uit ] ;.96 ] same met π( π) / [.96 ; + [. Dat zie je ook op de figuur. Pˆ π π ( π ) / als H waar is ~ N(;) verwerpigsgebied aavaardigsgebied kritisch put verwerpigsgebied kritisch put Om p waarde te berekee gebruik je ee aaloge redeerig. I de getrokke steekproef die we 45 als voorbeeld gebruikt hebbe ware er 45 successe zodat p ˆ =.643. Hiermee kom je terecht 7 pˆ op de z waarde z =.38. Hier zitte wat afgerode getalle i de.6.6 berekeig. Je GRM geeft aa dat je terechtkomt op z =.39. P Wat is u de kas dat het model ˆ.5 terechtkomt i ee gebied dat eve ver of og verder va.6 het cetrum verwijderd is da jouw z waarde z =.39? Dat is de kas dat de stadaard ormale valt i ] ;.39 ] of i [.39 ; + [. Die kas is de p waarde e die is hier gelijk aa.7 of.7 %. Hoe je die met je GRM bereket zie je hieraast. Cetrum voor Statistiek 9

22 Opdracht 8. De steekproef va het voorbeeld hierbove leverde ee p-waarde va.7 %. Welke coclusie trek je hieruit? Formuleer die coclusie auwkeurig e volledig.. Bereke (met je GRM) de p waarde va de steekproef die je zelf hebt getrokke e veroderstel daarbij dat het gaat over ee studie va H : π =.5 tegeover H : π.5. Ka je uit de vorm va de alteratieve hypothese afleide welk type toets je moet doe? Hoe heet zo toets?. Op basis va ee sigificatieiveau va 5 % ka de ulhypothese verworpe worde aagezie de p-waarde.7 % is (e dat is kleier da 5 %). We aavaarde de alteratieve hypothese dat er iet eveveel moeders joger da 3 als moeders va mistes 3 i die populatie zitte.. Eige waarde va de leerlige. Je hebt hier te make met ee tweezijdige alteratieve hypothese e moet dus tweezijdig toetse Ee robuuste procedure I de vorige paragrafe heb je gezie dat je start met de steekproefproportie ˆP als kasmodel bij het toetse va ee populatieproportie π. Dat model stadaardiseer je waarbij je π vervagt door π Pˆ π omdat je veroderstelt dat de ulhypothese waar is. Zo krijg je het model. Om te π( π) / Pˆ π wete met welke kas dit model i bepaalde gebiede valt moet je het gedrag va π( π) / kee. Dit gedrag ka je beadere met de stadaard ormale verdelig zodat je ka werke met Pˆ π ~ N(;) π( π) / - als de steekproef voldoede groot is zodat π 5 e ( π ) 5 Maar ook waeer de steekproefgrootte iet aa deze eise voldoet, da og is de ormale beaderig dikwijls goed geoeg. Je spreekt da over ee robuuste methode die toch og redelijk goed blijft werke zelfs als de voorwaarde iet helemaal voldaa zij (zoder i extreme te vervalle atuurlijk). Daarom mag je ook de stadaard ormale verdelig blijve gebruike: - bij kleiere steekproeve waarbij je tweezijdig toetst - bij kleiere steekproeve waarbij je éézijdig toetst e waarbij de ulhypothese gelijk is aa H : π =. De situatie va ee kleie steekproef bij ee éézijdige toets waarbij de ulhypothese iet gelijk is aa H : π = behadele we iet op het iveau va het secudair oderwijs. Cetrum voor Statistiek

23 4.6. Samevattig voor ee populatieproportie.. De oderzoeksvraag zorgt ervoor dat de populatie ka behadeld worde als ee populatie waarbij π de proportie successe (of de kas op succes) i de populatie is.. Over de populatieproportie wordt ee ulhypothese e ee alteratieve hypothese geformuleerd va de vorm: H : π = π H: π π of H: π > π of H: π < π Deze hypothese worde geformuleerd zoder aar de resultate va de steekproef te kijke. Pˆ π 3. Als kasmodel werk je met de gestadaardiseerde steekproefproportie π ( π ) / waarbij je veroderstelt dat de ulhypothese waar is zodat je π ka vervage door π. 4. Da trek je ee goede steekproef (EAS) of aders argumeteer je waarom de data die je ter beschikkig hebt, represetatief zij voor de populatie, zoals ee EAS. 5. Je gaat a (oder meer op basis va de steekproefgrootte) of je de stadaard ormale Pˆ π verdelig mag gebruike zodat ~ N(;). π ( π ) / 6. Da voer je, met de GRM, de berekeige uit. I je verslag oteer je de steekproefgrootte, pˆ p de gevode steekproefproportie ˆp, de z-waarde z = e de p-waarde. p ( p ) / 7. Geef ook aa wat de p waarde beteket i de cotext va de uitgevoerde studie. Zeg welk sigificatieiveau (bv. α = 5% ) je gebruikt e trek da volged besluit: - als de p-waarde iet groter is da het sigificatieiveau da is je resultaat statistisch sigificat zodat je de ulhypothese verwerpt op dat sigificatieiveau e kiest voor de alteratieve hypothese - i het adere geval zeg je dat het gevode resultaat je iet toelaat om de ulhypothese te verwerpe. Tot ader order is π ee aaemelijke waarde voor de populatieproportie. Cetrum voor Statistiek

24 Opdracht 9 I de Vereigde State werd bij ee goed getrokke steekproef va 6 astrologe de studie uitgevoerd die i opdracht staat beschreve. Er ware 4 astrologe die ee goed atwoord gave. Bevestigt dit dat astrologie (bij Amerikaase astrologe) werkt? Toets op het 5 % sigificatieiveau. Gebruik als leidraad de stappe die i de samevattig zij aagegeve. Ee deel va de atwoorde va opdracht kome ook hier va pas. Je ka die kort herhale.. De populatie is het atwoord va Amerikaase astrologe met waarde = fout (mislukkig) e = juist (succes). De succesproportie i deze populatie wordt geoteerd als π.. De ulhypothese gaat erva uit dat er gee effect is e dat de atwoorde va de astrologe eve goed zij als gewoo rade. Da hebbe zij succes met kas 3. De ulhypothese wordt dus H : π =. 3 Als astrologie wel werkt da verwacht je dat hu succesproportie groter is. Daarom formuleer je ee rechts éézijdige alteratieve hypothese: H : π > Het kasmodel om de populatieproportie te toetse is de steekproefproportie ˆP. Gestadaardiseerd, oder de ulhypothese e voor = 6 wordt dit 4. De data zij afkomstig va ee goede steekproef. 5. Aagezie Pˆ π π ( π ) / of Pˆ π = e ( π ) = 6( ) ka je hier werke met de 3 3 Pˆ.33 ~ N (;)..4 ormale beaderig zodat 6. I de steekproef va grootte = 6 zitte 4 successe zodat de steekproefproportie ˆp gelijk is pˆ.33 aa.34. De z waarde is z = =.6 e.4 de p waarde is gelijk aa I deze studie wordt rechts éézijdig getoetst e is de gevode z-waarde gelijk aa.6. Daarom is hier de p waarde gelijk aa de kas dat het model geoteerd als Pˆ.33 i de rechterstaart [.6 ; + [ terechtkomt,.4 Pˆ.33 P.6. Die kas is.4 of 4 % e dat is beduided groter da het.4 α = ). De ulhypothese ka iet verworpe worde op het 5 % aagegeve sigificatieiveau ( 5% sigificatieiveau. Op basis va deze studie ka je iet zegge dat astrologie werkt. Cetrum voor Statistiek

25 Opdracht Me schat dat 3 % va de Vlamige dagelijks rookt. De overheid wil ee gerichte atirookcampage voere e zoekt eerst aar gemeete waar het percetage rokers beduided hoger ligt. I die gemeete zal ee extra campage gevoerd worde. Me gaat daarbij als volgt te werk. I elk va de 38 Vlaamse gemeete wordt ee goede e voldoed grote steekproef getrokke. Me gebruikt de code = gee dagelijkse roker e = wel ee dagelijkse roker. Da voert me voor elke gemeete ee hypothesetoets uit op het 5 % sigificatieiveau.. Formuleer de ulhypothese e de alteratieve hypothese e zeg over welke populatieparameter het gaat.. I die studie vidt me dat i jouw gemeete het percetage rokers sigificat groter is da 3 %. Is dat ee goede rede om daar (met belastigsgeld) ee extra campage te voere? Welke bedekige ka je hierbij make?. De ulhypothese is H : π = 3 % e de alteratieve hypothese is H : 3 % π >. Hierbij is π de proportie dagelijkse rokers i de beschouwde gemeete.. I deze studie is er ee probleem. is zo gemaakt dat je (ogeveer) 5 keer op ) waeer de ulhypothese toch waar is. Als de ulhypothese verwerpt (e dus zegt dat π > 3 % dus i alle 38 gemeete π = 3 % da zal zo batterij va 38 toetse bij (ogeveer) 5 gemeete ee sigificat verschil geve. Als methode leidt dat hier tot 5 verkeerde beslissige waeer i feite gee ekele gemeete ee grotere proportie dagelijkse rokers zou hebbe. Cetrum voor Statistiek 3

26 5. Gemiddelde Waeer je te make hebt met populatiekarakteristieke die je als cotiu ka behadele (zoals leeftijd, gewicht, legte, ) da ka je ee hypothese toetse over het populatiegemiddelde µ. Dat is da de populatieparameter waari je geïteresseerd bet. We make u gebruik va wat je al weet over toetse va hypothese voor proporties betrouwbaarheidsitervalle voor gemiddelde. Als je dit goed bestudeerd hebt da is het iet moeilijk om te begrijpe hoe je hypothese over gemiddelde toetst. 5.. Ee toets voor µ Het populatiegemiddelde µ bestudeer je met behulp va het steekproefgemiddelde X. Dat is het kasmodel waarmee je start. s X µ Je weet dat E( X ) = µ e se( X ) = zodat ee gestadaardiseerd kasmodel is. I gee σ / ekele realistische studie ke je de stadaardafwijkig σ va de populatie. Die grootheid vervag je door de steekproefstadaardafwijkig S = ( X ) i X. Uiteidelijk kom je zo terecht op het i= X µ kasmodel. Omdat je σ vervage hebt door S werk je iet meer met de stadaard ormale S / verdelig maar met ee t verdelig. Om te zie hoe ee toets voor µ werkt, start je met ee voorbeeld. Je vried beweert dat het gemiddelde geboortegewicht va meisjes 3 kg is. Jij hebt gee idee of dat waar is, maar dat het 3 kg is geloof je iet. Je komt overee om dit ees a te gaa voor de geboorte va meisjes i i Vlaadere. Je beslist om met ee steekproef va grootte = 7 te werke. Geboortegewicht is ee cotiue veraderlijke e de oderzoeksvraag gaat hier over het gemiddelde geboortegewicht µ va alle meisjes die i i Vlaadere gebore zij. Over dit populatiegemiddelde heb je de volgede hypothese (gewichte uitgedrukt i gram): je vried > ulhypothese H : µ = 3 jij > alteratieve hypothese H : µ 3 Je start met de veroderstellig dat de ulhypothese waar is. I dat geval is µ iet lager obeked X µ i het model. Algemee schrijf je µ voor de waarde va µ oder de ulhypothese. Je S / X µ X 3 werkt da met. Hier is µ = 3 e dus werk je vaaf u met. Ee steekproef S / S / X 3 met = 7 is voldoede groot om te moge veroderstelle dat zich gedraagt als ee S / t-verdelig met ( ) = 69 vrijheidsgrade. Cetrum voor Statistiek 4

27 Ee model dat zich gedraagt als ee t verdelig wordt dikwijls geoteerd met ee (hoofdletter) T. De otatie T ~ t ( ) beteket dat het kasmodel T ee t verdelig met ( ) vrijheidsgrade heeft. De waarde die zo model aaeemt oteer je als t (kleie letter). Je spreekt da over ee gevode t waarde. De alteratieve hypothese H : 3 µ zegt dat zowel te grote als te kleie uitkomste als overwacht of extreem beschouwd worde waeer de ulhypothese µ = 3 waar zou zij. Je moet dus gelijktijdig ee liker e rechterstaart afbakee waar je oder de ulhypothese met 5 % kas i terechtkomt als je werkt met ee sigificatieiveau α = 5%. Weges de symmetrie va de t-verdelig bepaal je eerst ee likerstaart waar je met kas.5 % i terechtkomt. Je ka dat met je GRM. Druk e kies 4:ivT(. Vervolledig het commado zoals aagegeve e druk. Je vidt hier als kritisch put.995. De t verdelig met 69 vrijheidsgrade valt i de likerstaart ] ;.995] met kas.5 %. Weges symmetrie is er ook.5 % kas om i de rechterstaart [.995 ; + [ terecht te kome. Als je i die staarte terechtkomt da verwerp je de ulhypothese op het 5 % sigificatieiveau. De opgestelde toets ka je ook goed grafisch voorstelle. Dat zie je op oderstaade figuur. X µ ~ t ( ) S / als H waar is verwerpigsgebied kritisch put aavaardigsgebied kritisch put verwerpigsgebied Bemerk dat je og altijd gee steekproef getrokke hebt Nota voor de leerkracht. De TI-83 Plus heeft het commado ivt( iet. Bij de TI-84 Plus is het commado wel beschikbaar, maar bij oudere toestelle moet je ervoor zorge dat het meest recete operatig systeem is igelade. Zie hiervoor Cetrum voor Statistiek 5

28 Trek u uit de databak ee steekproef va grootte = 7 e let erop dat je allee maar meisjes va het jaar eemt. Breg de geboortegewichte over aar de lijst va je GRM. Hieraast zie je ee voorbeeld va zo steekproef. Voor de rest va dit verhaal is het de bedoelig dat je werkt met de steekproef die je zelf getrokke hebt. X 3 Oder de ulhypothese werk je met het model. Voor de steekproef die u getrokke is S / 7 x 3 bereke je de t waarde (kleie letters). Met je GRM vid je dat x = 34.3 e s / 7 x s = zodat t = = 3. Je bet met je t waarde i het s / / 7 verwerpigsgebied terechtgekome. Als je i het verwerpigsgebied terechtkomt da zeg je dat het gevode verschil iet meer te wijte is aa toevallige schommelige va steekproeve. Je spreekt da over ee sigificat verschil e je stapt over va de ulhypothese op de alteratieve hypothese. X 3 ~ t (69) S / 7 als H waar is verwerpigsgebied aavaardigsgebied verwerpigsgebied kritisch put kritisch put 3 Besluit. Verwerp de ulhypothese op het 5 % sigificatieiveau e aavaard dat, i het jaar i Vlaadere, het gemiddelde geboortegewicht va meisjes iet gelijk was aa 3 kg. Het gevode resultaat suggereert dat het groter was. Cetrum voor Statistiek 6