Antwoorden bij Inleiding in de Statistiek

Transcriptie

1 Atwoorde bij Ileidig i de Statistiek Hoofdstuk. model: bi(, p), p [0, ], schattig: /.2 (i) i bloeddrukveraderig i e persoo i treatmet groep, Y j bloeddrukveraderig j e persoo i cotrolegroep, model:,...,, Y,..., Y m o.o., i N(µ, σ 2 ), Y i N(µ 2, σ 2 2 ) (ii) schattig: x y m.3 (i) model: Hypergeometrisch(N, r, ) met N max(r, ) (ii) schattig: r (iii) model: bi(, r N ) met N max(r, ), schattig: r.4 (i) model: Negatief biomiaal(3, p) met p (0, ] (ii) schattig: (i) ij is aatal klate i week i op dagdeel j met j mogelijkhede. Model: j Poisso(θ ij ) o.o. met θ ij > 0 (ii) schattig: 0 0 i= x ij met j correspodered met maadagmiddag.8 te groot.9 iet goed, schattig is te klei Hoofdstuk (i) ja (ii) als Y F a,b da b = var(y ) e a = EY var(y ) 2.4 (i) F (x) = x+3 5 3<x<2 + x 2 (ii) F (α) = 3 + 5α 2.5 (i) F (x) = x2 θ 2 0<x<θ + x θ (ii) F (α) = θ α 2.6 y = 2 + 4x 2.7 y = 2 + 2x/ / 2

2 Hoofdstuk c = (i) c = (ii) c 2 p( p) + p 2 (c ) 2 (iii) c = (iv) c 3.4 (i) ee p p+p, iet bruikbaar (ii) vele mogelijkhede, bijv. 2 / 3.5 (ii) ( m i= i + j= Y j)/(m + ) 3.6 (i) p M = 2 3 p e p V = 4 p 3p, MSE(p, ( + Y )/00) = 00 p (ii) MSE(p, Z/00) = (iii) ( + Y )/00 is beter. 3.9 (i) i= xa i (ii) i= xa i 3.0 (i) θ θ+ 3. /Y (ii) ˆθ = 3.2 (i) () (ii) ee i= log( i) p 00 p2 00, e θ θ+ = ˆθ ˆθ+ θ (iii) MSE(θ; () ) = 2 ( )( 2) 3.4 ( [, Y, m m+ 2 i= ( i ) 2 + j= (Y j Y ) 2]) 3.6 () 3.7 (i) hypergeom(n,r,) (ii) r x (afrode aar iteger aar beede) 3.8 (i) bi(, F (x)) (ii) ja 2

3 (iii) 3.20 (i) 2 (ii) 2 (iii) F (x)( F (x)) ˆp = i= i = i beide gevalle 3.22 (i) ˆp = 3.23 ˆp = i= i = (i) zuiver is bijvoorbeeld 3.25 (i) 3 2 (iii) ( 3 2 ) 2 2 (iv) zuiver is bijvoorbeeld (i) 2 (ii) () 3.27 (i) (ˆσ, ˆτ) = ( (), () ) (ii) (ˆσ, ˆτ) = ( 3.28 (i) max( (), () ) (ii) (i) θ , + (ii) de steekproefmediaa: med(,..., ) (iii) 3.33 (i) (ii) i= log i ) (iii) op basis va Γ( +, i= log i) a posteriori dichtheid: + i= log i 3.34 (ii) op basis va Γ( + r, λ + i= +r i ) a posteriori dichtheid: 3.35 Bèta(α + r, β + x r) λ+ i= i 3

4 ( 2) M ( 2) () ( ) M () ( ) 3.37 (i) op basis va Γ( +, λ + ) a posteriori dichtheid: + λ+ (ii) op basis va Γ( + α, λ + ) a posteriori dichtheid: +α λ op basis va Γ(α +, λ + i= 2 i ) a posteriori dichtheid: α+ λ+ i= 2 i 3.39 op basis va ee ormale a posteriori dichtheid: τ 2 i= i τ (i) Bèta(α + i= i, + β i= i) (ii) α+ i= i α+β+ Hoofdstuk 4 Nummerig eerste druk e (α+ i= i)(+β i= i) (α+β+)(α+β++) 4.,..., N(µ, σ 2 ), H 0 : µ = 25 versus H : µ 25. (Ee adere mogelijke hypothese is: H 0 : µ 25 versus H : µ < 25.) 4.3 (i) bi( j, p j ) met j de grootte va de steekproef oder joges, p j de fractie joges die wiskude kiest, Y bi( m, p m ) met m de grootte va de steekproef oder meisjes, p m de fractie meisjes die wiskude kiest. H 0 : p j p m versus H : p j > p m. 4.4 Y N(α + βx + γx 2, σ 2 ). H 0 : β = 0 versus H : β (i) H 0 : µ 200 versus H : µ > 200 (a): H 0 iet verwerpe, (b): H 0 verwerpe (ii) H 0 : µ 220 versus H : µ > 220 (a): H 0 iet verwerpe, (b): H 0 verwerpe 4.7,..., 00 N(µ, ), H 0 : µ 50 versus H : µ < 50. H 0 wordt verworpe. 4.8 (i) K = {x : 0 σ.64} = {x : 0.66} (ii) ee, H 0 iet verwerpe (iii) π(0.5; K) = 0.34 (iv) (i) H 0 verwerpe (ii) (i) bi(25, p), p [0, ], H 0 : p 0.6 versus H : p < 0.6, T =, K = {7,..., 25} (ii)

5 (iii) 0.27 (iv) 0.2 (iv) ee, H 0 iet verwerpe bij beide waarde va α (i) T =, K = {20,..., 25} (ii) π(0.6; K) = 0.034, π(0.7; K) = 0.9, π(0.8; K) = 0.60, π(0.9; K) = 0.98 met ormale beaderig (iii) met ormale beaderig 4.3 (i) e = 59, K = {59, 60,..., 00} (ii) gelijk 4.4 (i) bi(, p) met = 250 (ii) H 0 : p vs H : p < (iii) K = {0,, 2, 3} (iii) 0.3 (iii) meer waaremige α (i) bi(, p) met = 000, H 0 : p 0.9 vs H : p > (i) T = i= W i bi(, p), tweezijdige biomiale toets (ii) T = Z 0 S Z, tweezijdige t-toets met K T = (, ξ α0 /2] [ξ α0 /2, ) (iv) dat ka zoder foute, omdat de tweede toets ee hoger oderscheided vermoge heeft da de eerste, als de ormaliteitsaaame correct is. log T = () met K T = (, ] 4.27 MSE(σ 2 ; T c ) = σ 4 ( 2c2 + (c )2 ), miimaal voor c = χ 2 k e Y χ2 l da + Y χ 2 k+l 4.29 T = S2 S 2 Y, K T = [F m, ; α0, ) 4.30 (i) T = S2, K 2SY 2 T = [0, F 24,5;0.0 ] = [0, 0.346]. H 0 iet verwerpe (ii)

6 4.34 T = S, K T = (, t 4,0.05 ] = (, 2.3], H 0 iet verwerpe (i), N(µ, σ 2 ) i.i.d. H 0 : µ = 3585 versus H : µ De toets: T = S, K T = (, t 9,0.025 ] [t 9,0.975, ) = (, 2.09] [2.09, ), H 0 iet verwerpe. (ii) p 2 ( ) = 0.73 > 0.05 op basis va de ormale tabel. Coclusie: iet verwerpe Y 4.36 T = S, K T = (, t 50,0.025 ] [t 50,0.975, ) = (, 2.0] [2.0, ),,Y H 0 verwerpe, B is beter T = 0 Z 0 S Z, K T = (, t 9,0.05 ] = (,.83], H 0 iet verwerpe methode (2) Y 4.39 (i) T = S, K T = (, t 0,0.05 ] [t 0,0.95, ) = (,.8] [.8, ),,Y H 0 iet verwerpe (ii) T = 6 Z 0 S Z, K T = (, t 5,0.05 ] [t 5,0.95, ) = (, 2.02] [2.02, ), H 0 verwerpe, B gaat lager mee (i) T = 2 50 S, K T = (, t,0.05 ] = (,.80], H 0 verwerpe (ii) tweesteekproeve t-toets met T = H 0 iet verwerpe Y S, K T = (, t 20,0.05 ] = (,.72],,Y (i) H 0 : µ 0 versus H : µ > 0. De toets: T = 0 0 σ, K T = [ξ 0.95, ) = [.64, ), H 0 iet verwerpe. (ii) Gepaarde t-toets, T = 20 Z 0 S Z, K T = (, t 9,0.005 ] [t 9,0.995, ) = (, 2.86] [2.86, ), H 0 verwerpe, p-waarde tusse = 0.0 e = / (i) λ = als () 0 e λ = exp( () ) als () > 0 (ii) 2 log λ = 2 max( (), 0). Als θ < 0: limietverdelig is gedegeereerd i 0. Als θ = 0: limiet verdelig is exp(/2). Als θ > 0: verdeligsfuctie covergeert aar 0 voor eidige x (i) λ = als θ 0 () e λ = als θ 0 < (). (ii) λ = θ 0 / () als θ 0 () e λ = als θ 0 < () (i) λ = ( θ0 ) i= i exp( + θ0 ) 6

7 (ii) χ 2 ( 4.50 (i) λ = ) θ exp( ( 0 i= 2 i i= 2 i (ii) K = {(,..., ) : 2 log λ χ 2, α 0 } Hoofdstuk 5 5. [7.42, 9.80] θ 0 ) i= 2 i ) 5.2 [7.32, 9.90] 5.3 (i) µ ν = Y ± σ m + ξ α/2 (ii) µ ν = Y ± S m + t m+ 2, α/2 5.4 pivot T = ( )S2 σ 2 χ 2, iterval [ ( )S2, ( )S2 χ 2 ] χ, α/2 2,α/2 5.5 [0.27,0.46] 5.6 pivot T = S2 Y /τ 2 S 2 /σ2 F,m, iterval [ S2 S 2 Y F,m ;α/2, S2 S 2 Y F,m ; α/2 ] 5.7 (i) pivot T = [ i= λ Γ,;α/2 i Gamma(, ), iterval i=, Γ,; α/2 i i= i (ii) λ = ± ξ α/2 5.8 (i) exact iterval op basis va toets: [0.40,.44] (ii) beadered iterval: ± 0 ξ α/2 = [0.33,.27] 5.9 (ii) [ 2 i= 2 i 5. (i) p 2 ( p) (ii) 3 (iii) p = ± 3 ξ α/2 (iv) [0.30, 0.50] 5.2 (i) p( p) (ii) ( ) (iii) p = ± (iv) [0.23, 0.4] χ 2 2,α/2, 2 χ 2 i= 2 2, α/2 ] i ( ) ξ α/2 7 ]

8 5.3 (i) 2 (ii) i θ = 2, θ 2 iˆθ = 2 2 (iii) î θ = 2 2 (iv) θ = 2 ± 2 2 ξ α/2 5.4 (i) ˆλ = 2 (ii) λ = 2 ± 2 2 ξ α/2 5.5 (i) exact iterval op basis va toets: [0.5, 0.87] (ii) beadered iterval: ± ( ) ξ α/2 = [0.54, 0.9] 5.6 (i) ˆθ ( ) 2 = 2 e λ = 2 θ 0 exp( 2 + θo i= i) (ii) {θ : 2 log log(θ) + 2 θ i= i 2 χ2, α } 5.7 (i) ˆθ = i= i = ( (ii) λ = (iii) {θ : log ) θ 0 exp( + θ0 i= i ) ( θ ) + θ i= i 2 χ2, α } 5.8 ˆθ = ( i= i) i= 2 i, λ = {θ : log θ 2θ 2 i= ( i θ) 2 + log ˆθ (i) pivot ( i µ) 2 i= (ii) pivot ( i ) 2 i= 5.20 (i) bija-pivot ˆθ exp( 2ˆθ 2 i= ( i ˆθ) 2 ) θ 0 exp( 2θ 0 2 i= ( i θ 0 ) 2 ), met bti: 2ˆθ 2 i= ( i ˆθ) 2 2 χ2, α } [ χ 2 σ 2 50, bti: i= ( i µ) 2 ], χ 2 i= ( i µ) 2 = [3.36, 7.42] 50,0.975 χ 2 50,0.025 [ χ 2 σ 2 49, bti: i= ( i ) 2 ] i=, ( i ) 2 = [3.35, 7.45] 200 Y 725 (p p 2 ) ˆp ( ˆp ) + ˆp 2 ( ˆp 2 ) χ 2 49,0.975 χ 2 49,0.025 ˆp N(0, ), bti: ˆp ˆp 2 ± ( ˆp ) ˆp 2( ˆp 2 ) 725 ξ (ii) gerealiseerd iterval: [-0.0,0.42], H 0 iet verwerpe, wat 0 [ 0.0, 0.42] Hoofdstuk 6 6. V = i= i 6.2 V = i= i 6.3 V = i= log i 8

9 6.5 V = ( i= i, i= 2 i ) 6.6 V = ( i= i, () ) 6. ja ( ) ( ) 6.5 V = ( i= i, i= 2 i ) is voldoede e volledig, UMVZ voor σ2 is 2 S (i) () (ii) () () 6.9 (i) V = ( (), i= i) (ii) 6.20 (i) ja i= ( i µ) (ii) V (,..., ) = ( i= log i, i= log( i)) (iii) i= log i 6.2 Y 6.24 (i) V = ( (), i= i) 6.25 (ii) ee (iii) α = mτ 2 σ 2 +mτ 2 (iv) UMVZ voor µ is da m i= i+ j= Y j m Var θ (T ) θ is scherp (i) x 2 (ii) i= x2 i (iii) Var θ (T ) i= x2 i (iv) ja 6.29 (i) Var θ (T ) λ (i) Var λ (T ) kλ 2 9

10 6.32 (i) T = i= e i met K T = [0, Γ,;α0 ] (ii) T = i= e i met K T = [0, Γ,;α0 ] 6.33 (i) ψ(x) = x() (ii) ψ(x) = 2 <x () x () > 6.34 (i) ψ(x) = x() > x() 2 (ii) ψ(x) = x() > x() 2 Hoofdstuk 7 7. (studieduur is resposvariabele Y ) (i) Y = α + βx + e, ˆα = 09, ˆβ = 5.6. (ii) ˆα + ˆβx 7.6 met Z = i= z i. ˆβ = ( ) x() >2 als zo groot is dat 0.05 > 4 ˆα = i= x iy i z i x 2 i i= z i i= Y i z i ˆσ 2 = i= j= i= j= ˆβ i= x i z i, Z x i Y j z i z j Z x i x j z i z j Z (Y i ˆα ˆβx i ) voldoede is de vector ( i= Y i, i= Y 2 i, i= Y ix i ) i= 7.8 (i) Y i = βx i + e i met x i = l i e β = 2π g. z i (ii) ˆβ = i= Y ix i i= x2 i (iii) var( ˆβ) = (iv) groot σ2 i= x2 i 7.0 Additief: Y ijkl = µ + α i + β j + γ k + e ijkl evetueel aagevuld met iteracties 7. (i) P(Y = (, 2, 3 ) = (x, x 2, x 3 )) = met +e (β 0 +β x +β 2 x 2 +β 3 x 3 ) de { { 0 ma bloeddruk, 2 = vrouw, 0 geotype (A, A 2 ) of (A 2, A 2 ) 3 =. geotype (A, A ) 0

11 (ii) zoals i (i), maar met 3 gelijk aa het aatal A 2 allele 7.3 λ(t) = λ 0 (t)e β 0+β x +β 2 x 2 +β 3 x 3 +β 4 x 4 { { met de leeftijd, 2 het gewicht, 3 = 0 ma vrouw, 0 mechaisch 4 = biologisch. Appedix A A. E 2 = θ + θ 2 A.2 Voor Poisso(θ)-verdeeld geldt E ( ( )( 2) ) = θ 3, wat gelijk is aa als θ =. A.3 e A.4 Als, Y exp(θ) da heeft Z = max(, Y ) dichtheid 2θe θz ( e θz ) voor z > 0 e EZ = 2 θ 2θ. Als θ = da EZ = 3 2. A.6 (i) P( + Y 2) = Φ ( 3 ) = 0.78 (ii) ξ = + 3Φ (0.95) = A.7 Als Z = 2 + Y 2 da P (Z z) = e z/2. A.8 (iii) e x2 y voor y > x 2 (iv) E(Y = x) = x 2 + (v) EY = 3 2 A.0 EY = +, var Y = +2 + ( ) 2 + A. E = µ, var = σ2, E( ) 2 = σ2 + µ2, cov( i, ) = 0 A.3 P( 30) (icl. cotiuïteitscorrectie) A.4 P( 4.5) (excl. cotiuïteitscorrectie)