Financiële Wiskunde. 1

Transcriptie

1 1. BRIGGSE LOGARITMEN... 3 DEFINITIES EN EIGENSCHAPPEN VAN MACHTEN...3 DEFINITIE VAN LOGARITME...5 DE BRIGGSE LOGARITME...6 Omiddellijke eigeschappe...6 Eigeschappe va (Briggse) logaritme...7 DE EXPONENTIËLE VERGELIJKING KAPITAAL EN INTREST...12 SYMBOLIEK...12 VERBAND TUSSEN KAPITAAL EN RENTEVOET ENKELVOUDIGE INTREST...13 DEFINITIE...13 HOOFDFORMULE...13 EINDWAARDE VAN EEN KAPITAAL...16 AFGELEIDE FORMULES...16 ENKELVOUDIGE INTREST MET DE TI83 MET HET PROGRAMMA FINANCE SAMENGESTELDE INTREST...23 DEFINITIE EINDWAARDE VAN EEN KAPITAAL EEN PROGRAMMAATJE SCHRIJVEN VOOR ONZE TI AFGELEIDE FORMULES EENVOUDIGE PROGRAMMAATJES VOOR ONS REKENTOESTEL TI SAMENGESTELDE INTREST MET DE TI83 MET HET PROGRAMMA FINANCE SAMENGESTELDE INTREST MET DE APPLICATIE FINANCE...31 IN HET ROOD GAAN KOMT JE DUUR TE STAAN GELIJKWAARDIGE RENTEVOETEN...40 DEFINITIE VERBAND TUSSEN GELIJKWAARDIGE RENTEVOETEN REËLE EN NOMINALE RENTEVOETEN...41 Fiaciële Wiskude. 1

2 6. DE KASBON...44 SOORTEN KASBONS INTRESTBEREKENING EN JAARLIJKS NETTORENDEMENT ANNUITEITEN...52 DE EINDWAARDE VAN EEN POSTNUMERANDO ANNUÏTEIT DE EINDWAARDE VAN EEN PRENUMERANDO ANNUÏTEIT DE BEGINWAARDE VAN EEN ANNUÏTEIT AFGELEIDE FORMULES Bepalig va de termij Bepalig va de periode Bepale va de retevoet KOPEN OP KREDIET...73 MENSUALITEIT, LASTENPERCENTAGE, JAARLIJKS KOSTENPERCENTAGE KOOP OP AFBETALING HYPOTHECAIRE LENING...77 BEREKENING VAN HET RENTEBESTANDDEEL BEREKENING VAN HET KAPITAALBESTANDDEEL AFLOSSINGSPLAN WE KUNNEN DEZE AFLOSSINGSTABEL OOK GENEREREN MET ONZE TI We zulle de formules zelf igeve...81 We kue gebruik make va de igebouwde fiaciële fucties SCHULDSALDO OP EEN WILLEKEURIG TIJDSTIP Fiaciële Wiskude. 2

3 1. BRIGGSE LOGARITMEN Defiities e eigeschappe va machte Bereke met uw reketoestel oderstaade resultate 1 2 = = 0 5 = ( ) = = 5 ( ) Vul u aa de had va bovestaade resultate oderstaade defiities e eigeschappe aa a R, 0 {} 1 : a = a.a.... a factore 1 a R : a = 0 a R : a = o a, : a R0 = De -de machtswortel (ratioale expoet) Defiitie Ee getal b heet ee -de machtswortel te zij va a b = a 2 is ee 3-de machtswortel va 8 omdat 2 3 = 8 4 is ee 2-de machtwortel (vierkatswortel) va 16 omdat -2 is ee 5-de machtswortel va -32 omdat -16 heeft gee 4-de machtswortel omdat Fiaciële Wiskude. 3

4 Dus geldt: De eve machtswortel bestaat allee voor positieve getalle, maar dat zij er wel twee. De oeve machtswortel ka uit elk getal geome worde e hij heeft het teke va het getal zelf. Notatie De -de machtswortel va ee getal a otere we a of a 1 Zodoede geldt 1 R q q q a, q : a = a = b b =a q 1 q q R q a, q : a = ( a ) = a als de lede zivol zij Ee -de machtswortel berekee met het reketoestel TI83 ka op verschillede maiere Verder ka me ook aatoe dat de vroeger geformuleerde eigeschappe va kracht blijve voor ratioale expoete a, b R, p, q : p = ( a.b ) p q ( a ) = als de lede zivol zij p q a.a = Fiaciële Wiskude. 4

5 Defiitie va logaritme Als bij ee machtsverheffig de macht e de expoet gegeve zij, da berekee we het grodtal met de omgekeerde bewerkig va de machtsverheffig amelijk de Voorbeelde 5 x = 32 x = 5 x = 32 x = 4 x = 20 x = 4 x = 16 x = Om de expoet te berekee als het grodtal e de macht gegeve zij, hebbe we ee geheel adere bewerkig odig Voorbeelde Wat is de expoet die je aa 3 moet geve om 243 te bekome x 3 = 243 x = Wat is de expoet die je aa 5 moet geve om 30 te bekome x 5 = 30 x = Het bovestaade probleem oplosse lijkt iet voor de had ligged. We kue allee vermoede dat de gezochte expoet tusse 2 e 3 ligt omdat 5 2 = 25 e 5 3 = 125. Dat het probleem wel degelijk ee oplossig heeft kue we illustrere met het grafisch reketoestel. Voer de fuctie f: x 5 x i als Y 1 o 55 ^ x Voer de fuctie g : x 30 (rechte X as) i als Y 2 o 530 [ ] [ ] Kies ee tekevester zodat x 1,5 e y 10,40 p Laat beide fucties tekee met s Bepaal de doorsede va beide grafieke CALC (via y r ), 5:itersect, geef als als first curve, druk op ENTER, geef als Secod curve Y e ENTER, voor Y1 2 het uitvoere va Guess? zorge we dat ee x-waarde voor of ee het sijput igegeve wordt (vb 1 ENTER ) Noteer het resultaat e bereke u zelf ees 5 tot de macht deze expoet. Deze expoet zulle we de 5-logaritme va 30 oeme Fiaciële Wiskude. 5

6 DEFINITIE De g-logaritme va het getal a is het getal dat als expoet va het grodtal g gebruikt moet worde om a te bekome + g x g R {} 1, a R : loga= x g = a Voorbeelde log81 = 4 wat 3 = log64 = wat 4 = ( ).. log 4 = wat 2 = 4 2. log100 = wat 10 = De Briggse logaritme Als we als grodtal voor de logaritme 10 eme, da spreke we va Briggse logaritme (aar de Egelse wiskudige Hery Briggs ). Deze logaritme wordt meestal kortweg logaritme geoemd e aageduid met log. + x a R0 : loga= x 10 = a De Briggse logaritme va ee getal is de expoet die je aa 10 moet geve om dat getal te vide als uitkomst va de machtsverheffig. Bereke met het reketoestel 5 - log 10 = 3 - log 10 = log3-10 = Omiddellijke eigeschappe a - log 10 = log a - 10 = Fiaciële Wiskude. 6

7 Eigeschappe va (Briggse) logaritme 1) bereke met het reketoestel log 2 + log 50 = log(2.50)=log 100 = Wat stel je vast? De logaritme va ee product is gelijk aa ( ) a, b : log a.b + R 0 = Bewijs 2) bereke met het reketoestel 4log 25= 4 log( 25 )=log 100 = Wat stel je vast? De logaritme va ee macht is gelijk aa a, b : log a + b R0 = Bewijs Fiaciële Wiskude. 7

8 3) bereke met het reketoestel log 200 log 2 = 200 log = 2 Wat stel je vast? De logaritme va ee quotiët is gelijk aa a a, b : log b + R 0 = Bewijs 4) Bereke met het reketoestel 1 log log125 = log 125 Wat stel je vast? De logaritme va ee -de machtswortel is gelijk aa + R 0 0 a, {} 1 : log a = Bewijs Fiaciële Wiskude. 8

9 De expoetiële vergelijkig Ee vergelijkig va de vorm a x = b waarbij a e b gekede reële getalle zij e de obekede x dus i de expoet staat, oemt me ee expoetiële vergelijkig. Om dergelijke vergelijkige op te losse eemt me va beide lede de logaritme e maakt me gebruik va de eigeschappe om x af te zodere. Voorbeelde x 3, 25 = 25 x log 3,25 = log 25 x.log 3,25 = log 25 log 25 x = = log 3,25 cotroleer uw oplossig door a het uitrekee va log25 log3,25 ANS stel u 3.25 tot de macht dat getal te berekee ( 3, 25 ) met uw reketoe- 5) x , 085 = 56524, ) , 471 x ( ) , 05 1 = 0, 05 Fiaciële Wiskude. 9

10 Oefeige op logaritme 1) Herschrijf met zo weiig mogelijk logaritme door de eigeschappe va machte e logaritme te gebruike a ] log27 log3 b ] 3.(log5 log2) c ] log 8 log 2 d ] 5.log 2 6.log 3 log log 3 e ] log3 7.log5 log2 log6 2) Bereke M = door eerst log M te berekee Fiaciële Wiskude. 10

11 3) Bereke oderstaade uitdrukkige als je weet dat log x = 5 1) log x 3.log x 2) 3 2 log x + log x 2.log x 3) log x log x + log x ) Los oderstaade expoetiële vergelijkige op a ] x 3 = b ] x 7, 56 = 15294, 38 c ] 3x 4, = d ] 3x 5 2, 75 = 5, e ] 5417 = 457 x 3 x 4 Fiaciële Wiskude. 11

12 2. KAPITAAL EN INTREST Symboliek Kapitaal duide we aa met de letter k Itrest, de vergoedig die ee kapitaal opbregt, duide we aa met de letter I De periode (het aatal tijdseehede) stelle we voor met de letter De retevoet waarva de itrest afhagt duide we aa met de letter i De itrest va 100 Euro per tijdseeheid, het percet, otere we met de letter p Het verbad tusse p e i p p = 100.i i = 100 Verbad tusse kapitaal e retevoet Ee kapitaal va uitzette tege 6,25% per jaar beteket: - elke hoderd Euro bregt itrest op - elke Euro bregt itrest op Euro bregt itrest op Fiaciële Wiskude. 12

13 3. ENKELVOUDIGE INTREST Defiitie Ee uitgezet kapitaal bregt ekelvoudige itrest op als Hoofdformule Vermits de itrest recht everedig is met de tijdseeheid geldt: I = k. i.. Bij het gebruik va deze formule moet me er goed op toezie dat de beleggigstijd i dezelfde eeheid uitgedrukt wordt als de retevoet. Idie aders reket me met de verbade: 1jaar = 2 semesters = 4 trimesters = 12 maade = 365(366)dage is de retevoet jaarlijks da stemt 7 maade overee met. va ee jaar is de retevoet jaarlijks da stemt 137 dage overee met. va ee jaar is de retevoet semestrieel da stemt 8 maade overee met.. semesters is de retevoet trimestrieel da stemt 27 dage overee met trimesters Bij ekelvoudige itrest is het heel gemakkelijk om retevoete om te zette Zo is 12% per jaar = % per semester = % per trimester = % per maad Fiaciële Wiskude. 13

14 Het is helemaal iet moeilijk om voor de TI83 ee programma te schrijve dat de itrest bereket bij gegeve waarde voor begikapitaal, retevoet e aatal periodes Druk op PRGM Ga met de pijltoets aar NEW e druk op ENTER (dus 1:CREATE NEW werd gekoze) Geef ee aam i bv INTREST (je mag hier de letters kieze zoder ALPHA of A-LOCK te moete gebruike) We vrage aar de igave va het begikapitaal met Iput K Deze regel bekome we door op PRGM te drukke, met de pijltoets aar I/O te gaa, 1 i te drukke (om 1:Iput te bekome), vervolges op ALPHA ( te drukke (letter K) e teslotte te ENTERe Op aaloge maier vrage we om retevoet R e aatal periodes N i te geve We bereke de itrest als het produkt K*I*N e slaa dit op (toets STO ) i de variabele I Om het resultaat te late zie geve we het commado Disp I i door te drukke om PRGM, te bewege aar I/O e 3 te drukke e vervolges ALPHA I Drukke we u op 2d MODE da kome we i os basisscherm. Om het programma u te gebruike drukke we op PRGM e kieze oder de EXEC het juiste programma door te ENTE- Re. Zoals je hieraast ziet is het programma verre va gebruiksvriedelijk. Fiaciële Wiskude. 14

15 Daarom gaa we er op de gepaste plaatse commetaar aa toevoege door op PRGM te drukke, te kieze voor EDIT e het juiste programma. Sta je op de eerste regel da ka je door 2d INS ENTER ee lege regel toevoege. I die regel zette we u via PRGM I/O 3:Disp het commado Disp dat we late volge door de geweste tekst tusse aahaligsteke (bij de +) (gebruik A-LOCK om vlug de tekst i te tikke) Het programma ka u ook gebruikt worde door ee vreemde Het feit dat we os reketoestel kue voorzie va allerhade programmaatjes mag er os iet va weerhoude de formules va buite te lere. Deze parate keis is immers omisbaar voor ee begrijped izicht i de rest va de formules die og afgeleid diee te worde. Fiaciële Wiskude. 15

16 Eidwaarde va ee kapitaal De eidwaarde (K) va ee kapitaal k is gelijk aa de som va het begikapitaal e de itrest K = k + I = k + k. i. = k.( 1 + i. ) Voorbeelde 1) Wat is de eidwaarde voor ee kapitaal va op ekelvoudige itrest geplaatst va 8 september tot 7 ovember tege 5,25% ekelvoudige itrest? 2) Wat is de eidwaarde voor ee kapitaal va 3,25 miljard op ekelvoudige itrest geplaatst gedurede 2 maade tege 4,25%? Afgeleide formules Uit de hoofdformules ka me ee aatal eveformules afleide. Uit I = k. i. I I k = i= = I i. k. i.k Uit K = k.( 1 + i. ) K K k K k k = i= = 1+ i. k. k.i Fiaciële Wiskude. 16

17 Voorbeelde - Ee kapitaal wordt op ekelvoudige itrest geplaatst va 13 september tot 5 december tege 5,25% e groeit aa tot 450. Bereke de begiwaarde. - Hoelag moet me ee kapitaal va late uitstaa aa ekelvoudige itrest tege 3,75% om het te late aagroeie met 5 000? - Tege welk procet levert ee kapitaal va a 7 maade ekelvoudige itrest ee eidwaarde op va ? Fiaciële Wiskude. 17

18 Dag va de maad Jauari Februari Maart April Mei Jui Juli Oktober Augustus September November December * (60) I ee schrikkeljaar worde de volgummers vaaf 1 maart met éé vermeerderd Fiaciële Wiskude. 18

19 OEFENINGEN ENKELVOUDIGE INTREST 1) Bereke het otbrekede i oderstaade tabel k i I K ,25% 1 jaar maade 276 0, maa maade % ,5 mil- 2,25% 7 maade 4,75% 56 dage m e 3 d 300 1,3% ) Me koopt ee huis voor dat me afschrijft over ee periode va 20 jaar. De jaarlijkse elektriciteits-, water- e oderhoudsrekeige vertegewoordige ee bedrag va Welke huurprijs moet me voor dit huis vrage, opdat het kapitaal 6% per jaar zou opbrege? 3) Hoelag moet ee kapitaal tege 3,75% ekelvoudige itrest uitstaa opdat: a) De itrest gelijk zou zij aa het kapitaal? b) De itrest ee derde zou zij va het kapitaal? Fiaciële Wiskude. 19

20 Ekelvoudige itrest met de TI83 met het programma FINANCE Het programmaatje FINANCE, te vide op iteret, staat iet stadaard op de TI83 maar ka er met de zwarte kabel opgeplaatst worde. Daartoe gaa we als volgt te werk: Het toestel dat het programmaatje moet otvage zette we klaar om te otvage met 2d LINK RECEIVE 1:RECEIVE ENTER Waitig Het toestel dat het programmaatje moet verzede zette we klaar om te verzede met 2d LINK SEND 3:Prgm SELECT >FINANCE ENTER TRANSMIT 1:TRANSMIT ENTER Eemaal het programma op uw toestel aawezig ga je als volgt te werk: Druk op PRGM Kies voor EXEC Druk op ENTER 3:FINANCE Wie liever zelf het programmaatje itikt of het aar eige ideeë wil aapasse vidt het achteraa de cursus i bijlage Fiaciële Wiskude. 20

21 Voor ekelvoudige itrest kieze we dus voor 1:SIMPLE INT. Itrestberekeig Gegeve kapitaal va aa 4,25% gedurede 1 jaar Gevraagd itrest Oplossig kies voor 1:INTEREST, vul i PRIN = RATE= TIME=1 e druk op ENTER Itrestberekeig Gegeve kapitaal gedurede 2maade levert 276 itrest op Gevraagd retevoet Oplossig kies voor 3:RATE, vul i PRIN = INT=276 TIME=2/12 e druk op ENTER Fiaciële Wiskude. 21

22 Kapitaalsberekeig Gegeve kapitaal bregt a 56 dage tege 4,75%, 124 itrest op Gevraagd kapitaal Oplossig kies voor 2:PRINCIPAL, vul i INT = 124 TIME=56/365 e druk op ENTER RATE= Berekeig periode Gegeve bregt 4692 itrest op aa 1,3 % per trim Gevraagd periode Oplossig kies voor 4:TIME, vul i INT = 4692 RATE=0.013*4 e druk op ENTER Fiaciële Wiskude. 22

23 4. SAMENGESTELDE INTREST Defiitie Ee kapitaal bregt samegestelde itrest op, als de itrest a elke beleggigseeheid bij het kapitaal gevoegd wordt om opieuw itrest op te brege (de itrest wordt gekapitaliseerd) Vergelijke we de systeme va ekelvoudige itrest e samegestelde itrest voor ee kapitaal va uitgezet tege 4,75% Ekelvoudige itrest Samegestelde itrest k I K k I K , , , Grafisch zie we het verschil ook duidelijk a verloop va jare Bekijke we eerst ees de evolutie va de eidwaarde voor beide soorte itrestberekeig door volgede stappe te odereme met os reketoestel: Druk op MODE, ga met de pijltoets aar de vierde rij ( Fuc Par Pol Sec ) e activeer de laatste i de rij door er met de pijltoets aar toe te gaa e op ENTER te drukke Druk op Y= e vul i zoals op evestaad scherm Druk op Widow e vul i : Mi=0 ; Max=30 ; Xmi=0 ; Xmax=30 ; Ymi=-5000 ; Ymax=40000 ; Yscl=5000 Druk op GRAPH e teke hieroder het resultaat Fiaciële Wiskude. 23

24 Eidwaarde va ee kapitaal Waeer de retevoet i is, da is de eidwaarde a verloop va éé tijdseeheid = k. ( 1 + i). Stelle we 1+i gelijk aa u de retefactor da is die eidwaarde k.u Stelle we de eidwaarde a éé tijdseeheid voor door k 1 da geldt k1 = k.(1+ i) = k.u Vermits we u werke met het systeem va samegestelde itrest is deze eidwaarde a éé periode het begikapitaal bij aavag va de tweede periode. Late we dit kapitaal opieuw ee periode uitstaa tege de retevoet i, da zal de eidwaarde va dit kapitaal gelijk zij aa k.(1+ i) = k.u 1 1 Vermits het oorsprokelijke kapitaal k u al 2 jaar uitstaat ligt het voor de had dat we deze eidwaarde voorstelle met k (de eidwaarde va kapitaal k a 2 jaar samegestelde itrest) Zodoede geldt k = k.u = k.u.u = k. u.u = k.u ( ) ( ) 2 De eidwaarde a 2 periodes is u het begikapitaal bij aavag va de 3 de periode. Late we dit kapitaal opieuw ee periode uitstaa tege de retevoet i, da zal de eidwaarde va dit kapitaal gelijk zij aa k.(1+ i) = k.u 2 2 Vermits het oorsprokelijke kapitaal k u al 3 jaar uitstaat ligt het voor de had dat we deze eidwaarde voorstelle met k (de eidwaarde va k a 3 jaar samegestelde itrest) 3 Zodoede geldt k ( ) ( ) = k.u = k.u.u = k. u.u = k.u 3 Stelle we u met k de eidwaarde va het kapitaal k voor a periodes samegestelde itrest, da zal deze eid-waarde bereked worde met de formule: k = k.u met retefactor u=1+i waarbij i de retevoet is Deze formule is geldig voor jaarlijkse, semestriële, trimestriële, maadelijkse kapitalisatie. Voorwaarde is wel dat de berekeig va het aatal periodes gebeurt i overeestemmig met de periode vermeld bij de retevoet. Fiaciële Wiskude. 24

25 Voorbeelde gedurede 20 jaar uitgezet tege ee samegestelde itrest 6% per jaar levert als eidwaarde gedurede 20 jaar uitgezet tege ee samegestelde itrest 3% per semester levert als eidwaarde : gedurede 20 jaar uitgezet tege ee samegestelde itrest 1,5% per trimester levert als eidwaarde : Bij samegestelde itrest is 6% per jaar iet hetzelfde als 3% per jaar, 1,5% per trimester of 0,5% per maad. De retevoete hete iet gelijkwaardig te zij. Fiaciële Wiskude. 25

26 Ee programmaatje schrijve voor oze TI83 kies PRGM ga met de pijltoets aar NEW e ENTER geef de aam va het programma i Name=EINDW e ENTER Druk op PRGM, kies I/O, druk op 3 (3:Disp) e typ KAPITAAL? e ENTER Druk op PRGM, kies I/O, druk 1 (1:Iput), typ K e ENTER Druk op PRGM, kies I/O, druk op 3 (3:Disp) e typ RENTEVOET? e ENTER Druk op PRGM, kies I/O, druk 1 (1:Iput), typ I e ENTER Druk op PRGM, kies I/O, druk op 3 (3:Disp) e typ PERIODES? e ENTER Druk op PRGM, kies I/O, druk 1 (1:Iput), typ N e ENTER Bereke de eidwaarde e stop die i de veraderlijke W door het volgede te type: K*(1+I)^N STO W Druk op PRGM, kies I/O, druk op 3 (3:Disp) e typ EINDWAARDE= e ENTER Druk op PRGM, kies I/O, druk 1 (1:Iput), typ W e ENTER Als je vaststelt dat het programma iet loopt of het resultaat op het display u iet aastaat da ku je het programma bewerke via PRGM EDIT Probeer het programma uit door u te kieze voor PRGM e voor het cijfer waaroder het programma staat Fiaciële Wiskude. 26

27 Afgeleide formules begiwaarde k k k = = k.u u Welk kapitaal moet me uitzette op samegestelde itrest gedurede 5 jaar tege 4,25% om a verloop va die tijd over te beschikke? retevoet i k k = k k u zodat i = u-1 = 1 Door semestriële kapitalisatie is ee kapitaal va a 15 jaar aagegroeid tot Wat is de gehateerde retevoet ( % per semester)? tijd k log = k log u Na hoeveel tijd zal ee kapitaal va door maadelijkse kapitalisatie ee eidwaarde oplevere va als de maadelijkse retevoet 0,375% bedraagt? Fiaciële Wiskude. 27

28 Eevoudige programmaatjes voor os reketoestel TI83 begiwaarde Disp "EINDKAP " Iput K Disp "RENTEVOET " Iput I Disp "PERIODES " Iput N K*(1+I)^-N B Disp "BEGINKAPITAAL= " Disp B retevoet Disp "BEGINKAPITAAL" Iput B Disp "EINDKAPITAAL " Iput E Disp "PERIODES " Iput N (E/B)^(1/N)-1üI Disp "RENTEVOET " Disp I periodes ga zelf ees aa de slag Fiaciële Wiskude. 28

29 Samegestelde itrest met de TI83 met het programma FINANCE Kies voor COMPOUND INT Berekeig va de eidwaarde Gegeve ee kapitaal va staat gedurede 5 jaar aa 6% SI Gevraagd wat is het eidkapitaal Oplossig Kies voor 1:AMOUNT e geef volgede waarde i RATE=0,06 PER.=5 PRIN=60000 Gegeve ee kapitaal va staat gedurede 2 jaar aa 4,1 % samegestelde itrest uit per semester Gevraagd wat is het eidkapitaal Oplossig Kies voor 1:AMOUNT e geef volgede waarde i PRIN= RATE=0,06 PER.=4 (!!!) Fiaciële Wiskude. 29

30 Berekeig va het begikapitaal Gegeve Ee kapitaal is i ege maade aagegroeid tot e dit tege ee trimestriële retevoet va 1,9 % Gevraagd Het begikapitaal Oplossig Kies voor 2:PRINCIPAL e vul i AMT.=37033 RATE=0,019 PER.=3 Berekeig va de retevoet Gegeve Ee bedrag va groeit i 7 jaar via SI aa tot Gevraagd Wat is de jaarlijkse retevoet? Oplossig WIL JE EEN GOEIE PRECISIE KIES DAN BIJ MODE VOOR 8 CIJFERS Kies voor 3:RATE e vul i zoals hieroder aagegeve Berekeig va het aatal periodes Gegeve ee kapitaal groeit va aa tot tege ee SI va 2% per semester Gevraagd Hoeveel tijd was hiervoor odig Oplossig Kies voor 4:PERIODS e vul i zoals hieroder Fiaciële Wiskude. 30

31 Samegestelde itrest met de applicatie FINANCE Gegeve Kapitaal : 60000, retevoet: 6%, duur:5jaar Gevraagd Eidkapitaal Oplossig Druk op APPS 1:Fiace ENTER Kies oder CALC voor TVM Solver Voer volgede gegeves i N=5 I%=6 PV=60000 P/Y=1 C/Y=1 Ga op FV staa e druk ALPHA ENTER Gegeve 1,9%/trim, 9 maad (=3trim), eidkapitaal Gevraagd begikapitaal Oplossig Druk op APPS 1:Fiace ENTER Kies oder CALC voor TVM Solver Voer volgede gegeves i N=3 I%=1,9 FV=37033 P/Y=1 C/Y=1 Ga op FV staa e druk ALPHA ENTER Fiaciële Wiskude. 31

32 Gegeve kapitaal=275000; 0,7 %/maad, eidkapitaal Gevraagd aatal maade Oplossig Druk op APPS 1:Fiace ENTER Kies oder CALC voor TVM Solver Voer volgede gegeves i PV= I%=0,7 FV= P/Y=1 C/Y=1 Ga op FV staa e druk ALPHA ENTER Gegeve kapitaal=95000; 2,5jaar; eidkapitaal Gevraagd retevoet per maad Oplossig Druk op APPS 1:Fiace ENTER Kies oder CALC voor TVM Solver Voer volgede gegeves i N=30 PV= FV= P/Y=1 C/Y=1 Ga op FV staa e druk ALPHA ENTER Fiaciële Wiskude. 32

33 OEFENINGEN SAMENGESTELDE INTREST 1) Bereke de eidwaarde va ee kapitaal va dat gedurede 20 jaar wordt uitgezet tege samegestelde itrest met : a) i = 0,5625% per maad bij maadelijkse kapitalisatie b) i = 1,6875% per trimester bij trimestriële kapitalisatie c) i = 3,375% per semester bij semestriële kapitalisatie d) i = 6,75% per jaar bij jaarlijkse kapitalisatie 2) De regerig slaagt eri om de looaapassig va zij ambteare, zo eehede sterk, gedurede 4 maade uit te stelle. Als de gemiddelde looaapassig 100 bruto per persoo bedraagt e de regerig de gelde tege ee samegestelde itrest uitzet va 0,6% per maad, wat is da de itrest die de regerig door deze operatie opstrijkt? 3) Hoelag moet ee kapitaal mistes aa ee samegestelde itrest va 6% per jaar uitstaa opdat het kapitaal a) Zou verdubbele? b) Zou verdrievoudige? Fiaciële Wiskude. 33

34 4) Me belegt gedurede 10 jaar aa 7,25% per jaar met jaarlijkse kapitalisatie. Tege welk procet moet me ditzelfde kapitaal gedurede dezelfde periode aa samegestelde itrest uitzette om met trimestriële kapitalisatie dezelfde eidwaarde te bekome als bij de jaarlijkse kapitalisatie aa 7,25%? 5) Vul het otbrekede i Kapitaal retevoet duur eidkapitaal itrest % 5 jaar ,1% p/sem 2 jaar 1,9% p/trim 9 maad ,7% p/m p/m 2,5 jaar % 5 jaar % p/sem 9 jaar jaar ,75% p/m 10 miljoe Fiaciële Wiskude. 34

35 6) Me belegt gedurede 8 jaar aa 5,85% samegestelde itrest per jaar. Welke itrest bregt het kapitaal op a) Tijdes het tweede jaar b) Tijdes het vijfde jaar? c) Tijdes het laatste jaar? Fiaciële Wiskude. 35

36 I het rood gaa komt je duur te staa. Oder ul gaa is iet aa te rade e oder de limiet va uw verbruikerskrediet gaa og mider. Als laatste jaarsstudet be ik beetje bij beetje voor 2151 i het rood kome te staa op mij rekeig. Daarmee be ik zelfs oder de limiet va 1875 gegaa, maar vermits ik u mij eige boterham verdie, zal mij rekeig wel vlug aagezuiverd zij. Daarbij dek ik aa ee maadelijkse stortig va 75. Mij bak gebruikt voor mij kredietkaart ee maadelijkse retevoet 1,05% e reket maadelijks aa voor elke maad dat ik bove het limietbedrag sta. Hoelag zal het dure vooraleer ik oder de 1875 i het rood sta e hoelag zal het dure vooraleer zo mij rekeig aagezuiverd is? 1 ste maier va oplosse Iedere maad otstaat ee schuld (N) die bereked wordt uit de schuld va de vorige maad De situatie a 1 maad: N = , 05% va , = , ( ) N = , = 2151., , 75 = 2129, 8355 De situatie a 2 maad: N = 2129, , 05% va 2129, , N = 2129, , , 75 = 2108, De situatie a 3 maad: N = 2108, , 05% va 2108, , N = 2108, , , 75 =... Hierbij bemerke we dat de maier va berekee telkes weer dezelfde is: Nieuwe schuld = Oude schuld. 1, Fiaciële Wiskude. 36

37 Nu bezit de TI83 voorgeprogrammeerd de mogelijkheid om ee igegeve bewerkig te blijve herhale op het getal dat i ANS zit. Kijk maar ees wat er gebeurt als je volgede zake igeeft: 20 ENTER / 2 ENTER ENTER ENTER ENTER Deze eigeschap kue we hier gebruike om op ee vlugge maier de evolutie va de maadelijkse situatie te bekijke e va zodra we zie dat de schuld oder de 1875 komt gaa we aar ee ieuwe formule moete overschakele omdat dat het bedrag 31,25 iet meer bij mij schuld komt. We zulle evewel iet moge vergete te telle hoeveel maal we op ENTER gedrukt hebbe zodat we het aatal maade kee dat odig is om eerst oder de 1875 e vervolges om oder 0 te kome. vaaf dit momet wordt de schuld bereked als oude schuld. 1, Fiaciële Wiskude. 37

38 2 de maier va oplosse De voorgaade maier va oplosse heeft eerzijds als adeel dat we het aatal kere ENTER moete telle e aderzijds moete we bij ee adere maadelijkse terugbetalig helemaal opieuw begie. Vadaar dat we eve kijke aar ee meer elegate maier va oplosse. We kue hier ee reeks va waarde opbouwe waarva de basis gedaate ieuwe schuld = oude schuld + veraderig is. Vadaar dat we de MODE va os toestel op Seq (sequece) zette De begischuld u(0) =2151. Elke maad wordt ieuwe schuld u() bereked als de oude schuld u(-1) maal de retefactor, vermidert met het maadelijks betaald bedrag e vermeerdert met het bedrag voor de overschrijdig va het limietbedrag. Druk op Y= e voer i zoals hieraast Om u a te gaa waeer de schuld oder de komt, kue we, a het istelle va het WINDOW, aar de grafische voorstellig va de reeks kijke ( GRAPH e TRACE ) Na ee tijdje op de pijltjestoetse drukke vide we dat de schuld oder de 1875 gaat a 13 maade. Je hebt da al 13 kere 75 betaald (=975 ) om dus 293,1574 schuld weg te werke e i de situatie te kome dat je iet lager maadelijks supplemetair moet betale. Fiaciële Wiskude. 38

39 Vaaf u mag uit de formule de 31,25 geschrapt worde e de begischuld op 1868,75 gezet worde We kijke u et zoals hierbove hoelag het duurt vooraleer de schuld volledig weggewerkt is (evetueel a aapasse WINDOW) Het duurt dus u og ees 29 maade (dus weer 2175 gestort) vooraleer de schuld volledig weggewerkt is. De totale duur komt daarmee op 42 maade (3 jaar e 6 maad) e er werd dus 3150 betaald om ee schuld va 2151 weg te werke Ga u zelf ees a hoelag het duurt als je 100 maadelijks kut misse Fiaciële Wiskude. 39

40 5. GELIJKWAARDIGE RENTEVOETEN Defiitie Twee retevoete hete gelijkwaardig als de eidwaarde va ee kapitaal uitgezet tege deze twee retevoete hetzelfde is a 1 jaar Bij afspraak otere we : de retevoet per 1 jaar of per maad met i 12, k12 de eidwaarde a 1 jaar volges i 12 = 12 =.. de retevoet per 1 4 jaar of per trimester met i, k de eidwaarde a 1 jaar volges i 4 4 = 4 = de retevoet per 1 jaar of per semester met i 2, k2 de eidwaarde a 1 jaar volges i 2 = 2 = de retevoet per jaar met i, k = de eidwaarde a 1 jaar volges i = de retevoet per 1 p jaar met i, k de eidwaarde a 1 jaar volges i p p = p = Verbad tusse gelijkwaardige retevoete Als de retevoete i, i, i, i e i gelijkwaardig zij, da zij per defiitie de eidwaarde k, k, k, k p e k gelijk p k = k = k = k = k p p ( + ) = ( + ) = ( + ) = ( + ) = ( + ) k 1 i k 1 i k 1 i k 1 i k 1 i p p ( 1+ i) = ( 1+ i ) = ( 1+ i ) = ( 1+ i ) = ( 1+ i ) p Fiaciële Wiskude. 40

41 Voorbeelde De semestriële retevoet die gelijkwaardig is met ee jaarlijkse va 6%? ( ) ( ) i= 1+ i 1,06= 1+ i 2 2 Etiee Goemaere De maadelijkse retevoet die gelijkwaardig is met ee semestriële va 3%? ( ) ( ) ( ) i = 1+ i 1+ i = 1,03 (( 1 i12) ) ( 1,03 ) + = De semestriële retevoet die gelijkwaardig is met ee maadelijkse va 0,5%? ( ) ( ) ( ) i = 1+ i 1+ i = 1,005 (( 1 i2 ) ) ( 1,005 ) + = Reële e omiale retevoete De reële of werkelijke retevoet is die jaarlijkse retevoet i die gelijkwaardig is met de gegeve retevoet i p De omiale retevoet is de jaarlijkse retevoet die we bekome door het product p. i p Voorbeeld De reële e omiale retevoete die hore bij ee maadelijkse va 0,75%? Fiaciële Wiskude. 41

42 Berekeig va de werkelijke retevoet met het programmaatje FINANCE Als er sprake is va ee maadelijkse retevoet va 0,5% wat is da de jaarlijkse retevoet die daar mee gelijkwaardig is (m.a.w. wat is de werkelijke retevoet)? Of late we zelf ees ee programmaatje i elkaar kutsele dat bij ee gegeve maadelijkse retevoet de gelijkwaardige e omiale retevoet geeft Fiaciële Wiskude. 42

43 Oefeige op gelijkwaardige retevoete 1. Vul de otbrekede gelijkwaardige retevoete i Jaarlijkse retevoet Semestriële retevoet Trimestriële retevoet Maadelijkse retevoet 4% 2% 1,5% 0,65% 2. Bereke de reële e omiale retevoet overeekomstig met a) 3% per trimester b) 0,55% per maad c) 4,25% per semester 3. Ee kapitaal va staat gedurede 5 jaar uit op samegestelde itrest 0,57% per maad. Bereke de eidwaarde die je zou bekome door gebruik te make va de overeekomstige a) reële retevoet b) omiale retevoet Fiaciële Wiskude. 43