Levensverzekerings wiskunde
|
|
- Anita Smit
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Levesverzekerigs wiskude e pesioecalculaties D.P.G. va As, J. Klouwe, L.J. va de Leur Derde druk
2 LEVENSVERZEKERINGSWISKUNDE EN PENSIOENCALCULATIES D.P.G. va As J. Klouwe L.J. va de Leur derde druk
3 Meer iformatie over deze e adere uitgave kut u verkrijge bij: Sdu Klateservice Postbus EA De Haag tel.: (070) Sdu Uitgevers bv, De Haag Academic Service is ee imprit va Sdu Uitgevers bv. e druk, augustus 998 2e druk, jui e druk, april 202 Zetwerk: Perfect Service, Schoohove Omslagotwerp: Carlito s Desig, Amsterdam ISBN: NUR: 23 Alle rechte voorbehoude. Alle auteursrechte e databakrechte te aazie va deze uitgave worde uitdrukkelijk voorbehoude. Deze rechte beruste bij Sdu Uitgevers bv. Behoudes de i of krachtes de Auteurswet gestelde uitzoderige, mag iets uit deze uitgave worde verveelvoudigd, opgeslage i ee geautomatiseerd gegevesbestad of opebaar gemaakt i eige vorm of op eige wijze, hetzij elektroisch, mechaisch, door fotokopieë, opame of eige adere maier, zoder voorafgaade schriftelijke toestemmig va de uitgever. Voor zover het make va reprografische verveelvoudigige uit deze uitgave is toegestaa op grod va artikel 6 h Auteurswet, diet me de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedige te voldoe aa de Stichtig Reprorecht (Postbus 305, 230 KB Hoofddorp, Voor het overeme va gedeelte() uit deze uitgave i bloemlezige, readers e adere compilatiewerke (artikel 6 Auteurswet 92) diet me zich te wede tot de Stichtig PRO (Stichtig Publicatie- e Reproductierechte Orgaisatie, Postbus 3060, 230 KB Hoofddorp, Voor het overeme va ee gedeelte va deze uitgave te behoeve va commerciële doeleide diet me zich te wede tot de uitgever. Hoewel aa de totstadkomig va deze uitgave de uiterste zorg is besteed, ka voor de afwezigheid va evetuele (druk)foute e ovolledighede iet worde igestaa e aavaarde de auteur(s), redacteur(e) e uitgever deswege gee aasprakelijkheid voor de gevolge va evetueel voorkomede foute e ovolledighede. All rights reserved. No part of this publicatio may be reproduced, stored i a retrieval system, or trasmitted i ay form or by ay meas, electroic, mechaical, photocopyig, recordig or otherwise, without the publisher s prior coset. While every effort has bee made to esure the reliability of the iformatio preseted i this publicatio, Sdu Uitgevers either guaratees the accuracy of the data cotaied herei or accepts resposibility for errors or omissios or their cosequeces.
4 Voorwoord Deze derde druk va Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties is geheel herzie e geactualiseerd. Ee aatal hoofdstukke is herschreve. Teves zij twee hoofdstukke toegevoegd. De begrippe levesverzekerig e pesioe staa tegewoordig volop i de belagstellig. Belagrijke oorzake hierva zij de toeemede flexibiliserig va de arbeidsmarkt, de steeds kritischer wordede houdig va vele t.o.v. bak- e verzekerigsproducte e de otwikkelige op de fiaciële markte sids Vrage die actueel zij e waarschijlijk ook blijve: Hoeveel kapitaal moet ik opbouwe om straks verzekerd te zij va ee goed pesioeikome? Hoe hoog is de kosteopslag op de etto premie va mij uitvaartverzekerig? Welke afkoopwaarde heeft mij kapitaalverzekerig bij leve op dit momet? Wat beteket de voorwaarde restitutie va de betaalde premies bij overlijde bij het afsluite va ee persoolijke leig e vooral: wat kost ee dergelijke restitutievoorwaarde? Hoe groot is het verschil i de door verzekeraars aa te houde balasvoorzieig voor ee weduwe- respectievelijk ee weduwaarspesioe? Hoeveel kost het vrijmake va ee hypotheek met ee daaraa gekoppelde levesverzekerig? Hoe groot is het effect va de almaar toeemede levesverwachtig op de koste va de pesioee? Wat is het verschil tusse ee defied cotributio e ee defied beefit regelig? Welke redee zij aa te wijze voor de eorme verschuivig va eidlooregelige aar middellooregelige die i korte tijd heeft plaatsgevode? Deze vrage kue worde beatwoord met behulp va de theorie e de berekeige uit de levesverzekerigswiskude, ook wel leveactuariaat geaamd. Dit boek is ee ileidig i de techiek va de levesverzekerigswiskude e de toepassig daarva i de pesioecalculatie. Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties maakt de lezer beked met de meest voorkomede type levesverzekerige. Hoofdstuk behadelt de voor dit boek belagrijkste begrippe uit de fiaciële rekekude. Het hoofdstuk is geheel herschreve is u op modere, iteratioale leest geschoeid met de symbole S, A, s e a i reteperuages i plaats va percetages. De berekeige va koopsomme, premies e voorzieige zij gebaseerd op de laatst bekede overlevigstafels: GB Hoofdstuk 5 (Premies e uitkerige per jaar e per maad) is vereevoudigd.
5 vi Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties De hoofdstukke 8 (Pesioee de opbouw) e 9 (Pesioee de fiacierig) zij geheel herschreve weges de veraderde regelgevig e actualiteit. Nieuw zij de hoofdstukke 0 (Spaar-e risicopremies) e (Exceltoepassige). I eerstgeoemde wordt igegaa op de verdelig va ee premie va ee levesverzekerig i ee deel voor spare e ee deel va risico va jaar tot jaar. Weges de voor de had liggede toepassige i spreadsheetprogramma s is teves ee hoofdstuk toegevoegd over Exceltoepassige bij berekeige va koopsomme, premies, voorzieige e dergelijke. Excel ka ook worde igeschakeld voor het rekee met elke geweste overlevigstafel met variabele retevoet. Dit geeft de mogelijkheid tot ee extra verdiepig va het izicht va de effecte die ee veraderede marktrete heeft op levesverzekerige e pesioee. Ook het make va eevoudige grafieke komt aa de orde, alsmede ee pesioesceario. De atwoorde e uitwerkige zij iet i het boek opgeome; ze staa op de website va het boek (zie Maar/Amersfoort/Amsterdam, jauari 202 D.P.G va As J. Klouwe L.J. va de Leur
6 Ihoud Fiaciële rekekude. Ileidig.2 Meetkudige rije.3 Eidwaarde va ee kapitaal 4.4 Cotate waarde va ee kapitaal 6.5 Gelijkwaardige percetages Effectieve e omiale iterest 7.6 Eidwaarde va ee rete 0.7 Cotate waarde va ee rete 2.8 Pre- e postumerado 4 Opgave 8 2 Verzekerige met uitkerige bij leve 2 2. Ileidig Partije bij ee levesverzekerig Sterftetafels/overlevigstafels Sterfteverlies e sterftewist Kapitaalverzekerig bij leve Lijfrete Commutatietekes D e N 30 Opgave 34 3 Overlijdesverzekerige Ileidig Sterftekase Overlijdes(risico)verzekerig Uitkerige direct a overlijde Gemegde verzekerig 42 Opgave 43 4 Verzekerige op twee leves Ileidig Verzekerige met uitkerige idie beide persoe leve Kapitaalverzekerig idie beide persoe leve Lijfrete idie beide persoe leve Verzekerige op de lagstlevede Overlevigsverzekerige Weduwepesioe Weduwaarspesioe Wezepesioe e erfrete 55 Opgave 57
7 viii Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties 5 Premiebetalig e uitkerige per jaar e per maad 6 5. Ileidig Premies va verzekerige op éé leve Premies va verzekerige op twee leves Maadpremies Maadelijkse uitkerige 67 Opgave 68 6 Voorzieig 7 6. Ileidig Retrospectieve methode Prospectieve methode Toepassige voorzieig Afkoopwaarde Premievrijmakig Coversie 80 Opgave 8 7 Koste Ileidig Bruto premie Höcker-methode Adere methode 90 Opgave 9 8 Pesioee de opbouw Ileidig De pijlers va het pesioestelsel Begrippe uit de pesioewet Defied Cotributio e Defied Beefit De bouwstee voor de pesioeopbouw De eidlooregelig De middellooregelig Nabestaadepesioe / parterpesioe Wet vereveig pesioerechte bij scheidig Aapassige i hoogte pesioeikome 5 8. Afstempele va pesioee/dekkigsgraad Aapassige i hoogte ikome/uitruil OP-PP 6 Opgave 6 9 Pesioee de fiacierig 2 9. Ileidig Fiacierig va collectieve pesioee Omslagstelsel Retedekkigsstelsel 23
8 Ihoud ix 9.5 Kapitaaldekkigsstelsel Doelvermoge e voorzieig tot pesioeverplichtig De fiacierig va abestaadepesioee Waardeoverzicht Dekkigsgraad Projected Uit Credit Method (PUCM) De beschikbare premieregelig Coversie va OP aar NP (PP) e omgekeerd Variabilisere va de hoogte va pesioeuitkerige Variabilisere va pesioeleeftijd 35 Opgave 37 0 Spaar- e risicopremies 4 0. Ileidig Spaarpremies e risicopremies bij eejarige verzekerige Spaarpremies e risicopremies bij meerjarige verzekerige Negatieve spaarpremies Negatieve risicopremies Samevattig i formules Ekele voorbeelde 50 Opgave 53 Exceltoepassige bij levesverzekerige e pesioee 55. Ileidig 55.2 Variabele uitkerige e leeftijde 55.3 Voorzieige va levesverzekerige 60.4 Redemetsberekeige e casusse 63.5 Pesioesceario s 66 Opgave 68 Gemegde opgave 73 GB-tafels 8 Literatuur 93 Register 95
9 Fiaciële rekekude. Ileidig I dit hoofdstuk worde alle begrippe e techieke uit de fiaciële rekekude behadeld die odig zij voor de oderwerpe uit de levesverzekerigswiskude zoals die i dit boek aa de orde kome. Allereerst wordt aadacht besteed aa ee bijzodere rij va getalle, de meetkudige rij. De meetkudige rij is de basis va ee aatal belagrijke begrippe uit de fiaciële rekekude. Op basis va samegestelde iterest ( rete op rete ) kome vervolges de begrippe eidwaarde e cotate waarde va ee kapitaal aa de orde. Oder het begrip rete wordt i de fiaciële rekekude verstaa: ee serie betalige of otvagste. I de laatste twee paragrafe wordt igegaa op de grodslage va de berekeig va eidwaarde e cotate waarde va zo rete..2 Meetkudige rije Ee rij is ee serie getalle. Ieder getal i zo rij heet ee term. Het is gebruikelijk om deze terme te ummere: t, t 2, t 3,..., t, t De getalle, 2, 3,..., worde ragummers va de terme geoemd. De eerste term t wordt ook wel aavagsterm (geoteerd door de letter a) geoemd. Er ka ook sprake zij va ee oeidig voortlopede rij; de terme va zo rij zij da allee beked als voor iedere term ee duidelijk verbad bestaat met het bijbehorede ragummer. Ee meetkudige rij is ee rij waarvoor geldt dat iedere term otstaat door de voorafgaade term met ee vast getal te vermeigvuldige; ee rij waarva de terme dus expoetieel groeie. Dat vaste getal wordt de rede (r) va de rij geoemd. Dus: t = r t of, aders geschreve: t = r t
10 2 Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties Voorbeelde Rij I 2; 4; 8; 6;...; 52; 024 Rij II ; 3.000; 300;...; 0,003; 0,0003 Rij III ;,08; (,08) 2 ; (,08) 3 ;...; (,08) 60 Rij IV p; p; p; p;... Rij I is ee meetkudige rij met rede 2 e met 0 terme, dus met a = t = 2, r = 2 e = 0. Rij II is ee meetkudige rij met rede 0, e met 9 terme, dus met a = , r = 0, e = 9. Rij III is ee meetkudige rij met rede,08 e met 6 terme, dus met a =, r =,08 e = 6. Rij IV is ee oeidig voortlopede rij met a = p e rede. I het algemee kue de terme va ee meetkudige rij dus als volgt worde geschreve: t 2 = t r = ar t 3 = t 2 r = ar r = ar 2 t 4 = t 3 r = ar 2 r = ar 3... t 6 = t 5 r = ar 5 De term met ragummer is dus te vide door de eerste term achtereevolges keer te vermeigvuldige met r: t = a r Als we de som va ee groot aatal terme va ee meetkudige rij wille bepale, kue we gebruikmake va ee eigeschap die voor de terme va ee meetkudige rij geldt: als we alle terme va ee meetkudige rij vermeigvuldige met de rede, da otstaat ee tweede meetkudige rij waarva op twee terme a alle terme gelijk zij aa die va de eerste rij. Aa de had va ee voorbeeld kijke we weer hoe de berekeig da i zij werk gaat. Stel we wille de volgede optellig make:,08 2 +,08 3 +, , ,08 3 Dit is de som (s) va 30 terme va ee meetkudige rij met als eerste term,08 2 e rede,08. Als we u alle terme va die rij vermeigvuldige met,08 e die terme vervolges optelle, krijge we:,08 s =,08 3 +,08 4 +, ,08 3 +,08 32
11 Fiaciële rekekude 3 Als we u va de tweede som de eerste som aftrekke, leidt dat tot (let op hoe de terme oder elkaar worde geplaatst):,08 s =,08 3 +, ,08 3 +,08 32 s =,08 2 +,08 3 +, ,08 3 0,08 s =,08 32,08 2 Hieruit volgt: 32 2, 08, 08 s = = 32,3 0,08 Geeralisatie va het voorafgaade voorbeeld levert: rs = ar + ar 2 + ar ar 2 + ar + ar s = a + ar + ar 2 + ar ar 2 + ar rs s = ar a = a(r ) Dus: (r )s = a(r ), ofwel: a(r ) s = r De som va de eerste terme va ee meetkudige rij met aavagsterm t = a e rede r (ogelijk aa ) ka ook geschreve worde als: r s = a r Opmerkig. Als r kleier is da, ka het hadig zij i de breuk teller e oemer te vermeigvuldige met. De formule luidt da: r = s a r Voorbeeld. Gegeve is ee meetkudige rij met t = 2 e t 7 =.458. Gevraagd worde r e t 0. We diee als volgt te werk te gaa: t 7 = t r 6. Hieruit volgt: Dus is t 0 = t r 9 = = Voorbeeld.2 Gegeve is ee meetkudige rij met t 5 = e rede ½. Gevraagd wordt s 0.
12 4 Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties Eerst moet t bereked worde. Er geldt: t = t r 5 4 Dus: ( ) 4 = t t = 32 Hieruit volgt: 2 ( ) 0 2 s0 = 6 = 3, 97 2 Voorbeeld.3 3 Gegeve is ee meetkudige rij met t = 2, r = e t 2 =. 8 Gevraagd worde e s. Uit de gegeves volgt: 3 = 2 ( ) 8 2 Dus: = 32 2 log Hieruit volgt: = = 5 log Zodat = Verder is: ( ) 6 s s t r 2 5 = 6 = = = 8 r 2.3 Eidwaarde va ee kapitaal Ee kapitaal, op tijdstip 0, aagegeve door K(0), staat op ee bak gedurede ee aatal jare op basis va samegestelde iterest tege ee bepaald percetage per jaar, zeg p. Na jaar is dit startkapitaal K(0) (ook aavagswaarde geoemd) dus met p% gegroeid. Het kapitaal a jaar, K(), is te berekee door K(0) te vermeigvuldige met de factor: p + ofwel + i 00 Hieri is i het zogeaamde iterestperuage. Dit getal i heet ook wel de groeivoet of de iterestvoet va het kapitaal. Er geldt dus: K() = K(0) ( + i). Dit kapitaal K() staat da weer ee jaar uit tege p%. Na 2 jaar is het kapitaal da gelijk aa K(2) = K() ( + i).
13 Fiaciële rekekude 5 Na 3 jaar is het kapitaal aagegroeid tot K(2) ( + i). Na jaar is het kapitaal aagegroeid tot K( ) ( + i). Dus: K() = K(0) ( + i) K(2) = K() ( + i) = K(0) ( + i) ( + i) K(3) = K(2) ( + i) = K() ( + i) ( + i) = K(0) ( + i) ( + i) ( + i) Ofwel: K() = K(0) ( + i) K(2) = K(0) ( + i) 2 K(3) = K(0) ( + i) 3 E dus a jaar: K() = K(0) ( + i) Me oemt K() de eidwaarde (afkortig: EW) of slotwaarde va ee kapitaal a jaar spare op basis va samegestelde iterest bij ee iterestperuage (groeivoet) i, ofwel ee iterestpercetage va 00 i. I dit verbad wordt wel de looptijd geoemd. Er is hier dus sprake va expoetiële groei, wat de variabele komt hier als expoet voor. De bovestaade formule is dus het bij dit probleem passede groeimodel met groeifactor + i. I de fiaciële rekekude wordt ( + i) aagegeve met het symbool S waarbij: i S voor slotwaarde staat; het symbool ee duurhaak heet; het aatal periode is, geoteerd oder de duurhaak; e i de groeivoet per periode is. Voorbeeld.4 Ee kapitaal va 4.000, staat gedurede 0 jaar uit tege 5,8% iterest per jaar op basis va samegestelde iterest. Bereke de eidwaarde (slotwaarde). De groeifactor is hier,058; de looptijd is 0 jaar. Het eidkapitaal is da: S 0 0, ,058 0 = ,8 euro (calculator:.058 x y 0 = )
14 6 Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties Opmerkig. I de fiaciële rekekude wordt soms aa het woord rete ee adere betekeis gegeve da i het dagelijks leve het geval is. Waar i het dagelijks leve va het woord rete gebruik wordt gemaakt, is i de fiaciële rekekude sprake va iterest, terwijl het woord rete i de fiaciële rekekude wordt gereserveerd voor ee serie periodiek vervallede geldbedrage (bijvoorbeeld lijfrete )..4 Cotate waarde va ee kapitaal Oder de cotate waarde (afkortig: CW) va ee kapitaal K verstaa we het startkapitaal K(0) dat odig is om op basis va samegestelde iterest over ee zekere looptijd het bedrag K als eidwaarde te verkrijge. I symbole geschreve: K = K(0) ( + i) wordt da: of I de fiaciële rekekude wordt staat voor aavagswaarde. K(0) K = ( + i) K = ( + i) K(0) = K ( + i) - ( + i) of ( + i) geoteerd als A. De letter A i Voorbeeld.5 Iemad wil over 5 jaar ee bedrag va , hebbe gespaard op basis va samegestelde iterest. Het door de bak gehateerde iterestpercetage is 6,7. Welk bedrag moet u op de bak worde gezet, met adere woorde, wat is de cotate waarde va die ,? De groeifactor is,067 e de looptijd is 5 jaar. Het eidkapitaal is , e het beodigde begikapitaal is da: ,067 5 K(0) = A = = , 067 = 8.90,82 euro 5 0,067 5 Het is eevoudig i te zie dat i het algemee geldt: A i = ofwel Ai S i S = i
15 Fiaciële rekekude 7.5 Gelijkwaardige percetages effectieve e omiale iterest Veel postorderbedrijve rekee ee debetrete met ee vast percetage over ee periode va 4 weke. Stel ee dergelijk bedrijf reket ee debetrete va 0,8% over 4 weke. Met welk percetage op jaarbasis is dit te vergelijke, uitgaade va samegestelde iterest? Aders gezegd: bereke het effectieve iterestpercetage op jaarbasis. De groeifactor over ee periode va 4 weke is,008. Over ee jaar beteket dit 3 periode, dus de groeifactor op jaarbasis bedraagt,008 3 ofwel circa,094, hetgee ihoudt dat de effectieve rete of effectieve iterest per jaar circa 0,94% bedraagt. We zegge wel dat 0,8% e 0,94% i dit geval gelijkwaardige (equivalete) percetages zij. Bij de meeste hypotheekleige wordt i de overeekomst ee percetage op jaarbasis geoemd, het zogehete omiale iterestpercetage. Doorgaas wordt echter door de bak het op jaarbasis, achteraf, verschuldigde bedrag i twaalf gelijke maadelijkse termije verreked. Dat houdt i dat de geldleer per jaar effectief meer betaalt da het afgesproke (omiale) percetage. Als i de jaarlijkse iterest op de fiaciële markt is e f is de jaarlijkse iflatie, da is (euro) geïvesteerde i het begi va het jaar gegroeid aar ( + i) aa het eid va dat jaar. Echter, de reële waarde is gelijk aa ( + i)/( + f). Dus het reële redemet is gelijk aa: + i i f ireeel = = + f + f Voor kleie waarde va f geldt: i f ireeel = i f + f Voorbeeld.6 Stel ee geldleer is 4,5% iterest op jaarbasis verschuldigd aa de betreffede bak. Er wordt op de leig iet afgelost. De bak bregt de geldleer maadelijks /2 deel va de jaarlast i rekeig. Dat beteket dat de geldleer maadelijks 4,5/2 procet ofwel 0,375% moet betale. De groeifactor per maad bedraagt dus, Op jaarbasis is de groeifactor dus gelijk aa, ofwel circa,0459. Aders gezegd: de effectieve iterest op jaarbasis bedraagt 4,59% waar de omiale iterest 4,5% bedraagt.
16 8 Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties Voorbeeld.7 Met welk effectief maadpercetage komt ee percetage va 9,8 per jaar overee? Atwoord: De groeifactor per jaar bedraagt,098 dus per maad zal de groeifactor, ofwel circa,00782 bedrage. Dit beteket ee effectief maadpercetage va 0,782. Voorbeeld.8 Met welk effectief jaarpercetage komt ee percetage va,2 per 4 weke overee? Atwoord: De groeifactor per 4 weke bedraagt,02 dus per jaar zal de groeifactor,02 3 ofwel circa,677 bedrage. Dit beteket effectief 6,77% per jaar. Equivalete percetages De samegestelde waarde va eidkapitaal S stijgt als het aatal rete-uitkerige i jaar stijgt, gegeve ee bepaalde omiale iterest. Twee omiale iterestperuages hete equivalet ze als overeekome met hetzelfde effectieve peruage. We otere i (m) als de omiale iterest die m keer per periode (dus ter grootte i (m) /m) wordt gedaa, e defiiëre de effectieve iterest i als de samegesteld iterest i die periode. Voorbeeld.9 Ee jaarlijkse retevergoedig va 2% omiaal, de retebijschrijvig geschiedt halfjaarlijks. Bereke het effectieve retepercetage op jaarbasis. Het gevraagde atwoord is (2) 2 i = 0,2 i =, 06 = 0,236 dus i = 2, 36% Voorbeeld.0 Ee bak biedt drie soorte gegaradeerde ivesterigscertificate aa, met i (2) = ¼%, i (2) = ½%, e i () = ¾%. Wat is de beste keuze?
17 Fiaciële rekekude 9 We berekee de (jaarlijkse)effectieve iterest voor elke i (m) : (2) 0,25 i = 4 % i = + = 0,85 2 (2) 0,5 i = 2 % i = + = 0,83 2 i = % i = 0,75 () 3 4 Het certificaat met i (2) = ¼% heeft de hoogste effectieve iterest. 2 2 Voorbeeld. Ee bedrag wordt 3 jaar geïvesteerd. I het eerste jaar is het redemet i (2) = 5%, i het tweede jaar i (4) = 0%, e i het derde jaar i (365) = 2%. Bepaal de effectieve iterest, die overeekomt met hetzelfde bedrag aa het eid va die 3 jaar. De gemiddelde effectieve iterest wordt het meetkudig gemiddelde redemet geoemd. ( ) ,5 0,0 0,2 + i = =, i =, 4446 = 0,304 = 3, 04% Opmerkig. Het is belagrijk oderscheid te make tusse het rekekudige e het meetkudige gemiddelde. De defiities zij als volgt. Het rekekudig gemiddelde (RG of x ) va de getalle x, x 2, x 3,,x is: j= x RG = = j j= x+ x 2 + x x e het meetkudig gemiddelde (MG) is: j= j= j 2 3 MG = ( x ) = (x x x... x ) Voorbeeld.2 Stel dat iemad ee bedrag ter grootte va.000, op de bak zet. De eerst vijf jare wordt er 4% per jaar vergoed, e de daaropvolgede 8 jaar 2%. De groeifactore zij,04 e,2.
18 0 Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties Het (meetkudige) gemiddelde va deze groeivoete is da: 5 8 ( ) 3, 04,2 =, 0885 We oeme da 8,85% het meetkudig gemiddelde..6 Eidwaarde va ee rete I de fiaciële rekekude verstaat me oder ee rete ee reeks geldelijke uitkerige is die regelmatig betaalbaar zij. Stel dat jaarlijks op 30 december ee bedrag va 2.000, op ee spaarrekeig wordt gestort e dat me wil berekee hoe hoog het saldo op deze rekeig zal zij direct a de 0de stortig. Om overzicht te verkrijge make we de volgede tijdlij: EW We hebbe ervoor gekoze de bedrage aa het eid va de betreffede periode te situere, omdat het saldo bereked moet worde zoals dat zal zij direct a de 0de stortig. Uitgaade va ee iterestvergoedig va 5% per jaar kome we tot de volgede berekeig: Saldo = 2.000, , , , Er is hier sprake va de som va tie terme uit ee meetkudige rij. We kue kieze uit de volgede twee maiere va aapak:. De eerste term is 2000,05 0 e de rede (groeifactor) is,05 ; 2. De eerste term is 2000 e rede (groeifactor) is,05 (lees de rij va rechts aar liks). Het moge duidelijk zij dat aapak 2 eevoudiger is. We kome tot: 0,05 s0 = ,05 = 25.55, 79 euro (zie de somformule i paragraaf.2) Als we i dit voorbeeld looptijd, iterestpercetage e bedrag va stortig veradere, zal de berekeig toch op precies dezelfde wijze verlope. Geeralisered kome we bij ee looptijd, iterestpercetage p e te storte bedrage ter hoogte T tot:
19 Fiaciële rekekude p p s = T = T p p Als we i plaats va het iterestpercetage u het iterestperuage ofwel iterestgroeivoet eme e die i oeme, ziet de formule er eevoudiger uit: ( ) ( ) + i + i s = T = T + i i De eidwaarde wordt i het softwarepakket Excel bij de fiaciële fucties aagegeve met de afkortig TW (Toekomstige Waarde; i het Egels: FV va Future Value). De factor waarmee T vermeigvuldigd moet worde wordt aageduid met het symbool s, dus: i s i ( ) + i = i Voorbeeld.3 Ter aavullig va haar pesioe wil mevrouw A. jaarlijks ee bedrag va 3.000, gaa ilegge op ee spaarrekeig waarop ee vaste iterestvergoedig va 4% per jaar va toepassig is. Bereke het saldo op de rekeig va A. zoals dat zal zij direct a de 30ste ileg. Saldo = s 30 0,04 = , 04 0,04 = ,8 euro. Voorbeeld.4 Stel dat A. uit voorbeeld.3 ee saldo wil bereike va ,. Hoe hoog moet de ileg da zij? De oplossig verloopt als volgt: 30, = T s 30 0,04 = T 0,04 0,04 T = ,04 = 5.349,03 euro Voorbeeld. 5 Bereke het saldo zoals dat zal zij direct a de 360ste maadelijkse ileg va 50, op ee spaarrekeig, waarvoor geldt dat ee vaste iterest wordt vergoed va 4,5% op jaarbasis.
20 2 Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties Nu moet eerst de omrekeig aar de maadelijkse iterest worde gemaakt (we otere 7 decimale; de drie pute geve aa dat er og meer decimale zij): 2 i =, 045 = 0, , Saldo = 50 s = 50 = , 20 euro 360 0, , Voorbeeld.6 Michiel ziet bij ee autodealer ee aabiedig va ee sportauto die hij altijd al had wille hebbe: , iees e vervolges maadelijks 695, gedurede 5 volle jare, waarbij de door de dealer te berekee maadelijkse iterest,25% bedraagt. De eerste termij vervalt precies éé maad a aakoop. Michiel vraagt zich af hoeveel geld hij zou hebbe, direct a de betalig va de laatste termij, als hij die , e de termije zou spare tege het door de dealer geoemde iterestpercetage. EW ,25% EW = 695 s 60 0, S 60 0,025 60, , , 9 = + = 0,0254 Michiel zou da ee bedrag va circa , hebbe gespaard..7 Cotate waarde va ee rete We beschouwe weer de aabiedig va de autodealer i voorbeeld.6 i de vorige paragraaf: , iees e vervolges maadelijks 695, gedurede 5 volle jare, waarbij de door de dealer te berekee maadelijkse iterest,25% bedraagt. De eerste termij vervalt precies maad a aakoop. Michiel vraagt zich af wat de cotate waarde is va deze betalige. Hier is sprake va de cotate waarde va ee postumerado rete: de maadelijkse betalige zij steeds aa het eid va de maad. We geve het probleem met behulp va ee tijdlij weer:
21 Fiaciële rekekude 3 CW ,25% De cotate waarde va de eerste termij is: 695 A 0,025 = 695,025 ; de cotate waarde va de tweede termij is: 695 A = ,025,025 2 ; de cotate waarde va de derde termij is: 695 A = ,025,025 3 ; de cotate waarde va de vierde termij is: 695 A = ,025,025 4 ;... de cotate waarde va de 59ste termij is: 695 A = ,025, ; de cotate waarde va de 60ste termij is 695 A = ,025, De totale cotate waarde va de termije is dus te schrijve als: ofwel als: 695 ( A + A 0, ,025 + A 3 0, A + A ) 59 0, , (,025 +, , , , ) Deze som is op te vatte als de som va de terme va ee meetkudige rij bestaade uit 60 terme; de eerste term e de rede zij beide gelijk aa,025. Met de somformule va ee meetkudige rij volgt u: (, 025 ) (, 025 ) s = 695, 025 = 695,025, 025, (, 025 ), 025 s60 = 695 = 695 = 29.24, 025 0, 025 De cotate waarde is dus = 49.24, euro. Met behulp va ee symbool wordt de som va de cotate waarde va de termije geschreve als:, 025 CW = 695 a = ,025 0, Merk op dat oprete va 49.24, over 60 maade tege,25% per maad ee bedrag va , oplevert, wat de eidwaarde was als Michiel de termijbedrage e de , zou spare tege,25% per maad.
22 4 Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties De cotate waarde va ee postumerado rete, bestaade uit termije ter grootte T bij ee percetage p per periode, is te schrijve als: ( ) + i CW = T a = T i i De cotate waarde wordt i het softwarepakket Excel bij de fiaciële fucties aagegeve met de afkortig HW (Huidige Waarde; i het Egels: PV va Preset Value). Voorbeeld.7 Bereke de cotate waarde va ee schuld die bestaat uit 30 jaarlijkse termije va ieder 8.500, op basis va ee gelijkblijvede iterest va 5,6% per jaar. De eerste termij moet worde voldaa over precies éé jaar. 30, 056 CW = a = = euro 30 0,056 0,056 Voorbeeld.8 Ee schuld va moet worde afgelost i 25 jaarlijkse termije op basis va ee iterest va 7% per jaar. Bereke de hoogte va de termijbedrage. 25, = T a = T 25 0,07 0,07 0,07 T = = 4.033, 09 euro 25, 07.8 Pre- e postumerado I de vorige paragrafe hebbe we steeds rete bekeke waarva de termije aa het eid va de periode verviele. Me oemt dit postumerado rete. We kue ook kijke aar preumerado rete, rete waarva de termije aa het begi va de periode vervalle. I het geval va ee eidwaardeberekeig va ee preumerado rete beteket dat iedere termij éé periode lager retedraged is, zodat iedere term moet worde vermeigvuldigd met + i. Stel dat we de eidwaarde wille berekee va 0 jaarlijkse termije va ieder 2.000, zoals die zal zij precies éé jaar a de 0de stortig. De bijbehorede tijdlij ziet er da als volgt uit:
23 Fiaciële rekekude 5 EW jaar: Saldo = 2.000, , , ,05 =,05 (2.000, , , ) Dit is dus,05 keer zo groot als het saldo uit het begi va paragraaf.5. Merk op dat ook de factor 2000 og buite de hake ka: Saldo =, (,05 9 +, ,05 + ) =, s 0 0,05. Deze vorm wordt ook wel geschreve als x s 0 0,05. I het geval va ee berekeig va ee cotate waarde va ee preumerado rete geldt dat iedere termij éé periode mider moet worde afgeret, hetgee beteket dat ook hier iedere term moet worde vermeigvuldig met +i. Algemee geldt dus: preumerado = (+i) postumerado. I symbole: s = ( + i) s e a = ( + i) a i i i i met ( + i) s = e a i i die ook als volgt kue worde geschreve: S i s = e a i i i i (+ i) = i A = i i - Voorbeeld.9 De moeder va ee pasgebore zoo, Klaas, is va pla om met igag va 5 jauari a.s. jaarlijks.000, op ee speciale kiderspaarrekeig te zette. De bak zal steeds 5,5% iterest per jaar vergoede. Bovedie zal de bak precies éé jaar a de 20ste stortig ee premie va 0% over het da opgebouwde spaartegoed uitkere aa Klaas. Bereke het bedrag va de premie i euro s auwkeurig. Er is hier sprake va de eidwaarde va ee preumerado rete bestaade uit 20 jaarlijkse termije va ieder.000, tege ee iterest va 5,5% per jaar.
24 6 Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties EW , 055 EW =.000 s =.000 = ,055 0,055 De premie bedraagt dus 0% = Voorbeeld.20 De heer H sluit ee spaarcotract af, waarbij hij zich verplicht gedurede vijftie volle jare iedere maad 60, i te legge. De betreffede bakistellig zal gedurede de gehele looptijd rekee met ee iterest va 6,8% per jaar. Bereke de eidwaarde precies éé maad a de laatste (de 80ste) betalig. Er is hier sprake va de eidwaarde va ee preumerado rete bestaade uit 80 maadelijkse termije va 60, ieder tege ee iterest va 6,8% per jaar. Het jaarlijkse iterestpercetage moet dus eerst omgereked worde aar het overeekomstige maadelijkse iterestpercetage: de groeifactor per jaar bedraagt,068, dus de groeifactor per maad is te berekee door de twaalfdemachtswortel uit,068 te bepale ofwel: 2 g =, 068 dus 2 2 g =, 068 =, 068 =, 0055 De iterest per maad bedraagt dus circa 0,55%. De eidwaarde is da: 20, 0055 EW = 60 s = 60 = ,0055 0,0055 NB: Als we zoude doorrekee met de iet-afgerode waarde va de twaalfdemachtswortel uit,068, kome we uit op 8.466,26. Op ee calculator :.068 x y 2 M i x y 80 = / ( MR ) 60 =. Voorbeeld.2 Marie wil over 0 jaar kue beschikke over ee bedrag va ,. Welk bedrag moet zij maadelijks opzij zette om, uitgaade va ee iterestpercetage va 0,5 per maad, het gestelde doel te bereike? Stel T is het gevraagde maadelijkse bedrag. Er geldt da:
25 Fiaciële rekekude 7 20, 005 T s = T = ,005 0,005 0, 005 T = = 303, 58 20, 005, 005 Marie moet dus maadelijks 303,58 spare. Voorbeeld.22 De jaarpremie voor ee bepaald pakket va ee ziektekosteverzekerig bedraagt 2.974,. Bereke de vergelijkbare (preumerado) maadpremie op basis va 0,5% per maad. Stel P de gevraagde maadpremie. Het probleem laat zich met behulp va de volgede tijdlij uitbeelde: P P P P P P P P P... 0,5% , 005 CW = = P a = P, ,005 0, , 005 P = = 254, 69 euro 2, 005, 005 Dus de maadpremie zou 254,69 moete bedrage. I de praktijk verhoogt de maatschappij die maadpremie met ee toeslag i verbad met te make extra koste of bregt ee hoger maadpercetage i rekeig. (Ga a dat bij 0,6% per maad de premie 256,07 zou bedrage.) Voorbeeld.23 Bij de aakoop va ee ieuwbouwwoig i Amsterdam Cetrum zal de koper ee erfpachtverplichtig met de gemeete moete aagaa te aazie va de grod waarop de woig staat. De verplichtig houdt i dat met igag va jauari a.s. jaarlijks ee bedrag va 2500, verschuldigd is aa de betreffede deelgemeete gedurede 50 jaar. De deelgemeete biedt de mogelijkheid om de erfpachtverplichtig bij de aakoop va de woig af te kope. De afkoopsom zal da gelijk zij aa de cotate waarde va de 50 bedrage op basis va ee jaarlijkse iterest va 6%.
26 8 Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties Bereke de hoogte va die afkoopsom die per jauari a.s. zal moete worde voldaa. We geve eerst i ee tijdlij aa wat het probleem is dat moet worde opgelost. CW % Als we de rete opvatte als ee preumerado rete geldt: 50, 06 CW = 2500 a = 2500, 06 = ,06 0,06 We hadde de rete ook kue opvatte als ee postumerado rete. Da verloopt de berekeig als volgt: 49, 06 CW = a = = = ,06 0,06 De afkoopsom bedraagt dus Opgave. Va ee meetkudige rij is gegeve: t = 3 e r = 2. Bereke t 0 e s 0..2 Va ee meetkudige rij met ee positieve rede is gegeve: t 5 = 9 t 3 e t 6 = 486. Bereke r, t e s 0..3 Bereke de slotwaarde va ee kapitaal va , op basis va samegestelde ietrest bij 4,5% iterest per jaar e ee looptijd va 7 jaar..4 Mevrouw A. wil op haar 60ste verjaardag beschikke over ee spaarsom va ,. Welk bedrag moet ze op haar 30ste verjaardag da op de bak zette, als dat bedrag 30 jaar lag op basis va samegestelde iterest va 7,5% per jaar op de bak zal staa?.5 Bereke de cotate waarde va ee kapitaal va , bij ee rete va 8,2% e ee looptijd va 0 jaar.
27 Register aaspraakgerechtigde, 97 aavagswaarde, 6 Actuariaal Geootschap, 24 actuariaal oprete, 72 actuaris, 24 afkoopwaarde, 79 afstempele, 6 ALM-studie, 68 Algemee Nabestaadewet, 2 Aw, 2 AOW, 94 backservice, 02 basispesioeregelig, 98 bedrijfstakpesioefods, 98 begustigde, 23 beschikbare premieregelig, 30 bijzoder parterpesioe, 99 bruto premie, 86 CBS, 23 collectief pesioe, 2 comig-backservice, 04 comig-service, 04 commutatietekes, 30, 40 cotate waarde, 6, 2 cotiue rete, 65 coversie, 23, 80, 32 deelemer, 98 geweze, 99 defied beefit, 00 defied cotributio, 00 dekkigsgraad, 6, 28 discoterigsfactor, 22 discoterigsvoet, 22 doelvermoge, 25 doelzoeke, 63 doorseepremie, 23, 24, 25 effectieve iterest, 7 eidlooregelig, 02 eidwaarde, 5, 0 equivaletiepricipe, 27, 62, 73, 86 erfrete, 55 Exceltoepassige, 55 expiratiedatum, 26, 49 fial pay-regelig, 00 fiaciële rekekude, fractie, 23 frachise, 00 garatiekapitaal, 76 gemegde verzekerig, 42 gemitigeerde eidlooregelig, 04 gepesioeerde, 97 geweze deelemer, 99 goal seek, 63 groeifactor, 5 groeivoet, 4 ideaalverzekerig, 56 idexerig, 5, 67 iterest, 4 iterestperuage, 4 iterestpremie, 49 iterestvoet, 4 kapitaal garatie-, 65 progose-, 65 kapitaaldekkigsstelsel, 24 kapitaalovereekomst, 99 kapitaalverzekerig bij leve, 2, 26, 49 kapitaalverzekerig bij overlijde, 2 koopsom, 27 koopsompolis, 75 koste, 85 lagstlevede, verzekerig op de, 5 levesverzekeraar, 22 levesverzekerig, 2 lijfrete, 29, 50 maadelijkse uitkerige, 67 maadpremies, 65 meetkudig gemiddelde, 9
28 96 Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties meetkudige rij, methode (gewijzigde) bruto-premie-, 90 (x+)-, 90 Höcker-, 88 ivetaris-, 90 prospectieve, 76 retrospectieve, 7 Zillmer-, 90 middellooregelig, 07 abestaadepesioe, 53, 2 egatieve risicopremie, 47 egatieve spaarpremie, 45 omiale iterest, 7 omslagstelsel, 22 omzetig, 23 oderemigspesioefods, 98 opbouwpercetage, 0 opbouwregelig, 00 oplosser, 63 oprete, actuarieel, 3 ouderdomspesioe, 97 overlevigskas, 23 overlevigsrete, 53 overlevigstafels, 23 overlevigsverzekerig, 53 overlijdes(risico)verzekerig, 39 overlijdesverzekerig, 2, 39 parter, 99 parterpesioe, 99 bijzoder, 99 parterrelatie, 99 pesioe fiacierig, 2 abestaade-, 53 weduwe-, 53 weduwaars-, 55 weze-, 55, 99, 2 pesioeaaspraak, 97 pesioebreuk, 04 pesioefods, 98 pesioegerechtigde, 97 pesioegrodslag, 0 pesioeovereekomst, 97 pesioerecht, 97 pesioeregelig, 97 pesioereglemet, 98 pesioesceario s, 66 pesioeuitvoerder, 98 pesioeverplichtig, 98, 25 Pesioewet (PW), 93 pijlers va het pesioestelsel, 93 postumerado, 2, 4 premie, 6, 98 bruto, 86 premiebetalig, 6 premieovereekomst, 98 premiepesioeistellig, 97 premiereserve, 7 premievrijmakig, 80 preumerado, 4 progosekapitaal, 76 Projected Uit Credit Method, 29, 68 radix va de sterftetafel, 23 rede,, 0 reëel redemet, 7 rekekudig gemiddelde, 9 rekerete, 22 redemetsberekeig met Excel, 63 rete, 6, 0, 29 cotiue, 65 postumerado, 2 preumerado, 4 retedekkigsstelsel, 23 risicobasis, 2 risicokapitaal, 4, 49 risicopremie, 4, 49 egatieve, 47 scatterdiagram, 55 scheidig, 3 sexeeutraal, 44, 3, 34, 36 service comig-, 04 comig-back-, 04 slaper, 99 slotwaarde, 5 solver, 63 spaar- e risicopremies, 4 bij eejarige verzekerige, 4 bij meerjarige verzekerige, 43
29 Register 97 spaarpremie, 4, 49 egatieve, 45 spreidigsdiagram, 55 sterftekas, 23, 38 sterftequotiët, 23 sterftetafels, 23 sterfteverlies, 26 sterftewist, 26 termij, 7 uitkerigsovereekomst, 99 variabilisere va pesioeleeftijd, 35 va pesioeuitkerige, 34 vereveig (peioerechte), 3 verzekerde, 23 verzekerig gemegde, 42 ideaal-, 56 op éé leve, 6 op lagstlevede, 5 op twee leves, 49, 63 verzekerigemer, 23 verzekerigsjaar, 28 voorzieig, 7, 76, 49, 60 waardeoverdracht, 06, 27 waardevast, 07 welvaartsvast, 07 wezepesioe, 55, 99, 2
30 De begrippe levesverzekerig e pesioe staa volop i de belagstellig. Belagrijke oorzake hierva zij de toeemede flexibiliserig va de arbeidsmarkt, ee steeds kritischer houdig tegeover bak- e verzekerigsproducte e de otwikkelige op de fiaciële markte. Actuele vrage daarbij zij oder adere: Hoeveel kapitaal moet ik opbouwe voor ee goed pesioeikome? Welke afkoopwaarde heeft mij kapitaalverzekerig bij leve op dit momet? Hoe groot is het verschil i de door verzekeraars aa te houde balasvoorzieig voor ee weduwerespectievelijk ee weduwaarspesioe? Hoeveel kost het vrijmake va ee hypotheek met ee daaraa gekoppelde levesverzekerig? Wat is het effect va de toeemede levesverwachtig op de koste va de pesioee? Wat is het verschil tusse ee defided cotributio e ee defied beefit regelig? Deze e adere vrage kue worde beatwoord met behulp va de levesverzekerigswiskude, ook wel actuariële wiskude geaamd. Deze geheel herziee e geactualiseerde derde druk va Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties maakt de lezer beked met de meest voorkomede type levesverzekerige. Via de berekeig va de koopsom voor dergelijke verzekerige wordt overgegaa op de etto e later ook de bruto premies. Ook de hoogte va zowel etto als bruto (balas)voorzieig komt aa de orde. Voorts wordt aadacht besteed aa spaar- e risicopremies. Tot slot kome diverse pesioebegrippe aa bod, zoals de opbouw va pesioerecht (ook pesioeaaspraak) e de fiacierig va collectieve pesioee. Ook wordt aadacht besteed aa idividuele pesioee (o.a. de DGA e de ZZP er). Er is ook aadacht voor de maier waarop Excel ka worde igeschakeld voor het rekee met elke geweste overlevigstafel bij bovedie ee variabele retevoet. Dit geeft izicht i de effecte va ee veraderede rekerete op levesverzekerige e pesioee. Het boek is geschikt als studieboek voor fiaciële e fiscale opleidige op uiversitair e hbo-iveau e dekt de eidterme va het oderdeel Levesverzekerigswiskude i de accoutatsopleidig (opgesteld door de CEA) e va het vak Levesverzekerigswiskude (mior Accoutacy) va de opleidig SPD Bedrijfsadmiistratie. Daaraast is het ee bro va iformatie voor fiaciële plaers e betrokkee uit de verzekerigsbrache. D.P.G. va As is werkzaam bij de MSc Verzekerigskude va de Uiversiteit va Amsterdam e als docet bij de Hogeschool va Amsterdam, drs. J. Klouwe is docet aa de Hogeschool va Amsterdam e drs. L.J. va de Leur is docet aa de Uiversiteit va Amsterdam
We kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen:
Masteropleidig Fiacial Plaig Kwatitatieve Methode Relevate wiskude We kee i de wiskude de volgede getalleverzamelige: De atuurlijke getalle: N = {0,,,,4, } De gehele getalle: Z = {, -,-,-,0,,,, } (egels:
Nadere informatieHoeveel kapitaal moet ik opbouwen om straks verzekerd te zijn van een goed pensioeninkomen?
Voorwoord Deze derde druk va Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties is geheel herzie e geactualiseerd. Ee aatal hoofdstukke is herschreve. Teves zij twee hoofdstukke toegevoegd. De begrippe levesverzekerig
Nadere informatieEen toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek.
006 Wolters-Noordhoff bv Groige/Houte De steekproefomvag Ee toelichtig op het belag e het berekee va de steekproefomvag i marktoderzoek. Ihoud 1 Ileidig Eerst ekele defiities 3 Steekproefomvag e respose
Nadere informatieExamen PC 2 onderdeel 4A
Exame PC 2 oderdeel 4A Istructieblad Betreft: exame: PC 2 oderdeel 4A leergag 3 oderdeel: Fiaciële Rekekude datum: 30 mei 2012 tijdsduur: 90 miute (09:30-11:00 uur) Deze aawijzige goed leze voor u met
Nadere informatieExamen PC 2 onderdeel 4A
Exame PC 2 oderdeel 4A Istructieblad Betreft: exame: PC 2 oderdeel 4A leergag 1 oderdeel: Fiaciële Rekekude datum: 27 mei 2011 tijdsduur: 90 miute (10.00-11.30 uur) Deze aawijzige goed leze voor u met
Nadere informatieRekenen met levensduurkosten
Colibri Advies www.colibri-advies.l Rekee met levesduurkoste ir. Martie va de Boome MBA Colibri Advies -4-25 Pagia va 5 Rekee met levesduurkoste Auteur: Martie va de Boome - Colibri Advies BV. Materiaal
Nadere informatieEen andere kijk op Financiële Rekenkunde Wim Pijls, Erasmus Universiteit Rotterdam
Ee adere kijk op Fiaciële Rekekude Wim Pijls, Erasmus Uiversiteit Rotterdam. Ileidig Het vak Fiaciële Rekekude levert vawege zij sterk wiskudig karakter ogal wat probleme op i het oderwijs. Veel leerlige
Nadere informatiePeriodiciteit bij breuken
Periodiciteit bij breuke Keuzeodracht voor wiskude Ee verdieede odracht over eriodieke decimale getalle, riemgetalle Voorkeis: omrekee va ee breuk i ee decimale vorm Ileidig I deze odracht leer je dat
Nadere informatieCommissie Pensioenhervorming 2020-2040. Nota over de actuariële neutraliteit. Bijlage III
Commissie Pesioehervormig 00-040 Nota over de actuariële eutraliteit Bijlage III. I het kader va de ivoerig va ee «deeltijds pesioe» wordt de kwestie va de actuariële correctie va de uitkerige i geval
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Exame HAVO 2013 tijdvak 2 woesdag 19 jui 13.30-16.30 uur wiskude A Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 21 vrage. Voor dit exame zij maximaal 80 pute te behale. Voor elk vraagummer
Nadere informatieTAF GoedGezekerd AOV. De eerste AOV waarmee u zelf de touwtjes in handen heeft
TAF GoedGezekerd AOV De eerste AOV waarmee u zelf de touwtjes i hade heeft Als zelfstadig oderemer bet u gewed aa het eme va risico s. Daarbij beoordeelt u per situatie hoe groot het risico is dat u wilt
Nadere informatieRijen. 6N5p
Rije 6N5p 0-03 Rije Ileidig I de wiskude werke we vaak met formules e/of fucties die elke mogelijke waarde aa kue eme. Als bijvoorbeeld f( x) = 5x + 5x 3, da ku je voor x (bija) elke waarde ivulle e ka
Nadere informatieFourierreeksen. Calculus II voor S, F, MNW. 14 november 2005
Fourierreekse Calculus II voor S, F, MNW. 14 ovember 2005 Deze tekst is gedeeltelijk gebaseerd op het Aalyse BWI I dictaat e op aatekeige va Alistair Vardy. 1 Ileidig Het is vaak belagrijk ee gegeve fuctie
Nadere informatieEindexamen wiskunde A vwo 2010 - I
Eidexame wiskude A vwo - I Beoordeligsmodel Maratholoopsters maximumscore 3 uur, 43 miute e 3 secode is 98 secode De selheid is 495 98 (m/s) Het atwoord: 4,3 (m/s) maximumscore 3 Uit x = 5 volgt v 4,4
Nadere informatieWijzigingsformulier Ziektekostenverzekering
De Amersfoortse Verzekerige Stadsrig 15, postbus 42 3800 AA Amersfoort Tel. (033) 464 29 11 Fax (033) 464 29 30 Wijzigigsformulier Ziektekosteverzekerig Gegevesverwerkig Bij deze wijzigig worde persoosgegeves
Nadere informatieEen meetkundige constructie van de som van een meetkundige rij
Ee meetkudige costructie va de som va ee meetkudige rij [ Dick Kliges ] Iets verder da Euclides deed Er wordt door sommige og wel ees gedacht dat Euclides (hij leefde rod 300 v. Chr.) allee over meetkude
Nadere informatieOp zoek naar een betaalbare starterswoning? Koop een eigen huis met korting
Op zoek aar ee betaalbare starterswoig? Koop ee eige huis met kortig Op zoek aar ee betaalbare starterswoig? Koop ee eige huis met kortig Pagia Ee eige huis waar u zich helemaal thuis voelt. Dat wil iederee!
Nadere informatieRAADS IN FORMATIE BRIE F
RAADS IN FORMATIE BRIE F gemeete WOERDEN Va: college va burgemeester e wethouders Datum: 1 december 2011 Portefeuillehouder(s): Titia Cosse Portefeuille(s): portefeuille Moumete e Archeologie Cotactpersoo:
Nadere informatieAanvraag voor een woning in de gemeente(n)... 1. Personalia aanvrager huurwoning
Aavraagformulier Huurwoig Hoofdkatoor: J.L. va Rijweg 20, Postbus 612 2700 AP Zoetermeer Tel. : 079-329 66 66 Fax : 079-329 66 00 Iteret : www.hof-rijlad.l E-mail : ifo@hof-rijlad.l Regiokatore: Groeewoudsedijk
Nadere informatieEindexamen wiskunde A1-2 vwo 2008-II
Groepsfoto s Alle mese kippere met hu oge. Daardoor staa op groepsfoto s vaak ekele persoe met geslote oge. Sveso e Bares hebbe oderzocht hoeveel foto s je moet make va ee groep va persoe om 99% kas te
Nadere informatieToelichting bij Opbrengstgegevens VAVO 2011-2013
Toelichtig bij Opbregstgegeves VAVO 2011-2013 Ihoud Ileidig Aatal deelemers exame Kegetalle toezicht exames CE-cijfer alle vakke CE-cijfer alle vakke - tred SE-cijfer mius CE cijfer alle vakke Percetage
Nadere informatieOfficiële uitgave van het Koninkrijk der Nederlanden sinds 1814.
STAATSCOURANT Officiële uitgave va het Koikrijk der Nederlade sids 1814. Nr. 6416 10 maart 2015 Regelig va de Miister va Oderwijs, Cultuur e Weteschap va 27 februari 2015, r. FEZ/732697 houdede wijzigig
Nadere informatiePraktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling
Praktische opdracht: Complexe getalle e de Julia-verzamelig Auteur: Wiebe K. Goodijk, Zerike College Hare Beodigde Voorkeis: 1 = i Het complexe vlak. Notatie: z = a + bi of z = r(cosϕ + i si ϕ) Regel va
Nadere informatieTabellenrapportage CQ-index Kraamzorg
Tabellerapportage CQ-idex Kraamzorg Jauari 2011 Ihoud Pagia Algemee uitleg 1 Deelame e bevalmaad 1 De itake 2 3 Zorg tijdes de bevallig 3 4 Zorg tijdes de kraamperiode 4 10 Samewerkig e afstemmig 11 Algemee
Nadere informatieBindend advies. Stichting Klachten en Geschillen Zorgverzekeringen. c. d. Partijen. : A te B, in deze vertegenwoordigd door C vs.
c. d. Stichtig Zorgverzekerige f I- I J /' Bided advies Partije, Zaak Zaakummer Zittigsdatum : A te B, i deze vertegewoordigd door C vs. D te E : Hulpmiddelezorg, MOTOmed : 2006,02175 : 2 mei 2007 Geschillecommissie
Nadere informatieCorrectievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
Wiskude B, (ieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereided Weteschappelijk Oderwijs 0 0 Tijdvak Izede scores Uiterlijk op jui de scores va de alfabetisch eerste vijf kadidate per school op de daartoe
Nadere informatie7.1 Recursieve formules [1]
7.1 Recursieve formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is ee getallerij. De getalle i de rij zij de terme. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is de vijfde term (u
Nadere informatieOverlijden: uw rechten in Duitsland en Nederland
Regelige e voorzieige CODE 1.1.3.46 Overlijde: uw rechte i Duitslad e Nederlad brochure broe Bureau voor Duitse Zake, www.svb.l/bdz Ihoudsopgave Overlijde Uw rechte i Duitslad e Nederlad Deskudig e betrouwbaar
Nadere informatieDeel A. Breuken vergelijken 4 ----- 12
Deel A Breuke vergelijke - - 0 Breuke e brokke (). Kleur va elke figuur deel. Doe het zo auwkeurig mogelijk.. Kleur va elke figuur deel. Doe het telkes aders.. Kleur steeds het deel dat is aagegeve. -
Nadere informatieEffectief document- en risicobeheer
Tekee voor efficiecy Effectief documet- e risicobeheer Met KOVO s techisch iformatiecetrum (TIC) altijd toegag tot actuele tekeige e documete é voldoe aa de eise va wet- e regelgevig. Succesvol documetbeheer
Nadere informatieOnderzoek als project
Onderzoek als project Onderzoek als project Met MS Project Ben Baarda Jan-Willem Godding Eerste druk Noordhoff Uitgevers Groningen/Houten Ontwerp omslag: Studio Frank & Lisa, Groningen Omslagillustratie:
Nadere informatieWijzigingsformulier Ziektekostenverzekering
De Amersfoortse Verzekerige Stadsrig 15, postbus 42 3800 AA Amersfoort Tel. (033) 464 29 11 Fax (033) 464 29 30 Gegevesverwerkig Wijzigigsformulier Ziektekosteverzekerig Bij deze wijzigig worde persoosgegeves
Nadere informatieTranslease Holding B.V. (hierna te. noemen: "Translease") 07 /267 F. 23 mei 2007. mr. R.M. Vermaire. mr. A.C. Schroten
vocate FAILLISSEMENTSVERSLAG Nummer: 1 Datum: 10 juli 2007 Gegeves failliet Traslease Holdig B.V. (hiera te oeme: "Traslease") Faillissemetsummer Datum uitspraak Curator R-C 07 /267 F 23 mei 2007 mr. R.M.
Nadere informatiewiskunde A pilot vwo 2017-II
wiskude A pilot vwo 07-II Gewicht va diere maximumscore 4 Het opstelle va de vergelijkige 3, 7 = a b e 50 = a 000 b 3, 7 Uit de eerste vergelijkig volgt a = 3, 7 b = De tweede vergelijkig wordt hiermee
Nadere informatie1. Weten dat in het geval van compressoren rekening moet gehouden worden met thermische effecten
Hoofdstuk 4 Compressore Doelstellige 1. Wete dat i het geval va compressore rekeig moet gehoude worde met thermische effecte 2. Wete dat er ee gres is aa het verhoge va de druk va ee gas 3. Wete welke
Nadere informatie1. Recursievergelijkingen van de 1 e orde
Recursievergelijkige va de e orde Rekekudige rije Het voorschrift va ee rekekudige rij ka gegeve wordt met de volgede recursievergelijkig: u = u + b Idie we deze vergelijkig i de vorm u = u u = b otere
Nadere informatieVuilwaterafvoersystemen voor hoogbouw
Vuilwaterafvoersysteme voor hoogbouw 1.2 Vuilwaterafvoersysteme voor hoogbouw Nu er steeds hogere e extremere gebouwe otworpe worde, biedt ee ekelvoudig stadleidigsysteem de mogelijkheid om gemakkelijker
Nadere informatie1) Levenscyclus kosten
Titel va de presetatie 7-6- 10:08 Eergie e koste i de tijd. Doel va de presetatie sta klerks Izicht e vaardighede bijbrege over eergiebesparig, meerivesterig e terugverdiee. idelig 1) Levescyclus koste
Nadere informatieKwaliteit van de persoonsgegevens. Resultaten Gemeente Alpen aan den Rijn
Kwaliteit va de persoosgegeves Resultate Gemeete Alpe aa de Rij Klik Ted om Dicks, de titelstijl Hek-Ja va Wieseekker het model te bewerke Ageda Doel va het oderzoek Irichtig va het oderzoek Resultate
Nadere informatieDe vernieuwing van Slotjes-Midden. Sociaal Statuut
De verieuwig va Slotjes-Midde Sociaal Statuut Ihoudsopgave Sociaal Statuut voor de verieuwig va Slotjes-Midde 3 Artikel 1: Overwegige 4 Artikel 2: Algemee 4 Artikel 3: Procedure bij sloop 4 Artikel 4:
Nadere informatieOpgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100...
Opgave OPGAVE 1 a. Itereer met F( ) = e als startwaarde 1 e 1. 16 1............... 16 1............... b. Stel de bae grafisch voor i ee tijdgrafiek. c. Formuleer het gedrag va deze bae. (belagrijk is
Nadere informatieSteekproeftrekking Onderzoekspopulatie Steekproef
Steekproeftrekkig I dit artikel worde twee begrippe beschreve die va belag zij voor het uitvoere va ee oderzoek. Het gaat om de populatie va het oderzoek e de steekproef. Voor wat betreft steekproeve lichte
Nadere informatieHoe los ik het op, samen met Thuisvester? Ik heb een klacht
Klachte? Hoe los ik het op, same met Thuisvester? Ik heb ee klacht Thuisvester doet haar uiterste best de beste service te verlee aa haar huurders. We vide ee goede relatie met oze klate erg belagrijk.
Nadere informatieBeleidsplan Stichting Soweto Care System Nederland
Beleidspla 208-202 Stichtig Soweto Care System Nederlad Ihoudsopgave Algemee ileidig e historisch perspectief 3 2 Visie e missie va Soweto Care System 3 3 Ambities voor de komede 3 jaar 4 4 SWOT Aalyse
Nadere informatieFinancial accounting:
Fiacial accoutig: DE PENSIOENVERPLICHTING VAN DE ONDERNEMING I dit artikel wordt de stellig uitgewerkt dat Iteratioal Accoutig Stadard 19, Employee Beefits, i het algemee, maar i de huidige volatiele omgevig
Nadere informatie3,2 2,8 1,8 1,6 -0,33 1,4
Datum: 4 april 2017 Reteotwikkelige 3,2 3 Hypotheekrete variabel, 5, 10, 20 e 30 jaar vast met NHG 3,10 2,8 0,1 g e 0-0,1 e ta -0,2 e rc p -0,3 te -0,4 re -0,5 Geldmarktrete 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13-0,33
Nadere informatieVideoles Discrete dynamische modellen
Videoles Discrete dyamische modelle Discrete dyamische modelle Orietatie Algebraisch Algebraisch/ umeriek Numeriek Maak de volgede rijtjes af: Puzzele met rijtjes a. 2 4 6 8 10 - b. 1 2 4 8 16 - c. 1 2
Nadere informatieHet beste scenario voor uw belegging
belegge Best Strategy 2012 Het beste sceario voor uw beleggig Gediversifieerde beleggig Eemalige coupo va 0% tot 50% bruto* op vervaldag Korte looptijd: 4,5 jaar 100% kapitaalbeschermig De voordele voor
Nadere informatieArbo- en verzuimbeleid
r i c h t l i j n v o o r d e a r b o c a t a l o g u s Arbo I n f o r m a t i e 1 Arbo- en verzuimbeleid Elfde herziene druk Arbo-Informatieblad 1 1-12-2010 11:02:47 colofon Uitgave Sdu Uitgevers Sdu
Nadere informatieimtech Arbodienst asbestregelgeving (versie 2.1)
imtech Arbodiest asbestregelgevig (versie 2.1) veilig e gezod werke Wat is asbest? Asbest is de verzamelaam voor ee zestal vezelachtige stoffe. Veel toegepaste soorte zij chrysotiel (wit asbest), crocidoliet
Nadere informatieKEES VAN EERSEL. Introductie en variaties over Psalm 149
KEES VAN EERSEL Itroductie e variaties over Psalm 19 i opdracht va het Ambitus Orgelcocours 017 018 Boeijega Music Publicatios Leeuwarde The Netherlads Kees va Eersel (19): Itroductie e variaties over
Nadere informatieFormaliteiten bij overlijden Informatie voor nabestaanden
Formaliteite bij overlijde Iformatie voor abestaade NFOINFOINFOIN FOINFOINFOINF 2 Ileidig Omdat ee aaste uit uw familie of vriedekrig is overlede e het u moeilijk valt u uw aadacht te richte op de formaliteite
Nadere informatieOfficiële uitgave van het Koninkrijk der Nederlanden sinds 1814.
STAATSCOURANT Officiële uitgave va het Koikrijk der Nederlade sids 1814. Nr. 6416 10 maart 2015 Regelig va de Miister va Oderwijs, Cultuur e Weteschap va 27 februari 2015, r. FEZ/732697 houdede wijzigig
Nadere informatieOV-Taxi Zuid-Kennemerland/IJmond
P r o v i c i e N o o r d - H o l l a d jaarverslag OV-Taxi Zuid-Keemerlad/IJmod 2007 jaarverslag OV-Taxi Zuid-Keemerlad/IJmod 2007 1 jauari 2007 t/m 31 december 2007 P R O V I N C I E N O O R D - H O
Nadere informatieDe nieuwsbrief van uw accountant
De ieuwsbrief va uw accoutat 4e kwartaal 2010 Postbus 81167, 3009 GD Rotterdam Tel.: 010-456 46 77 www.stees.l G E A C H T E R E L AT I E I deze ieuwsbrief worde de volgede oderwerpe behadeld: Odereme
Nadere informatieOngelijkheden. IMO trainingsweekend 2013
Ogelijkhede IMO traiigsweeked 0 Deze tekst probeert de basis aa te brege voor het bewijze va ogelijkhede op de IMO. Het is de bedoelig om te bewijze dat ee bepaalde grootheid (ee uitdrukkig met ee aatal
Nadere informatieAanvullende Voorwaarden Webdiensten en Producten
a G Silvesterstraat 19 6603 DW Wijche T 024 66 90 558 E ifo@rapolie.l Aavullede Voorwaarde Webdieste e Producte 1 Ileidig Deze Aavullede Voorwaarde Webdieste e Producte ( AVWP ) vorme ee aavullig op de
Nadere informatieDe basis van het Boekhouden
De basis van het Boekhouden Werkboek Niveau 3 BKB/elementair boekhouden Hans Dijkink de basis van het boekhouden Niveau 3 BKB/elementair boekhouden Werkboek Hans Dijkink Noordhoff Uitgevers Groningen/Houten
Nadere informatieHoofdstuk 1 - Rijen ) = bladzijde ; voor x = 11 is y = = 55. te rekenen omdat die ook met hele stappen toeneemt.
Hoofdstuk - Rije bladzijde V-a Als x steeds met toeeemt, da eemt y met toe. b Voor x is y + 5 ; voor x is y + 55. c De waarde va x eemt met hele stappe toe. De waarde va y is da makkelijk uit te rekee
Nadere informatiewe willen graag zelf klussen in onze nieuwe woning.
ZELF AANGEBRACHTE VOORZIENINGEN we wille graag zelf klusse i oze ieuwe woig. ECHT WEL. Zelf uw woig aar wes veradere De woig die u va os huurt, wilt u atuurlijk aar uw eige smaak irichte. U kiest zelf
Nadere informatieWaar moet je aan denken? Verhuizen. Stap 1: Hoe zeg ik de huur op?
Verhuize Waar moet je aa deke? Verhuize Bij verhuize komt heel wat kijke. Naast het ipakke va spulle e doorgeve va adreswijzigige, is het ook belagrijk dat u same met Thuisvester ee aatal zake regelt.
Nadere informatie1. Hebben de volgende rijen een limiet, en zo ja, bepaal die dan: (i) u n = sin(πn) (d) u n = cos(2πn) (l) u n = log n
Hoofdstuk 1 Limiet va ee rij 1.1 Basis 1. Hebbe de volgede rije ee iet, e zo ja, bepaal die da: (a) 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... (b) 1, 4, 9, 16, 5, 36, 49,... (c) 1, 8, 7, 64, 15,... (d) u = ( 1) (e) u =
Nadere informatieJulian gooit 20 keer met een dobbelsteen. Bereken de kans dat hij precies 5 keer een zes gooit.
- Test Hfst D kasrekeig - Kase ofwel exact ofwel afgerod op decimale geve. ( x p) Tim gooit drie keer met ee gewoe dobbelstee. Na zij derde worp telt hij het aatal oge va de drie worpe bij elkaar op. Bereke
Nadere informatiebetreffende het doorgeven van orders via fax en telefoon
Reglemet Tele-Equity betreffede het doorgeve va orders via fax e telefoo (Retail Cliëte) 02541 Om redee va efficiëtie e selheid ka de Cliët wese om zij orders per fax e/of telefoo aa de Bak over te make.
Nadere informatieBelastingwetgeving 2015
Belastingwetgeving 2015 Opgaven Niveau 5 MBA Peter Dekker RA Ludie van Slobbe RA Uitgeverij Educatief Ontwerp omslag: www.gerhardvisker.nl Ontwerp binnenwerk: Ebel Kuipers, Sappemeer Omslagillustratie:
Nadere informatiePedicure bij Rameau. Verzorgde voeten lopen het prettigst. Om in aanmerking te komen voor vergoeding zijn gemachtigd voor te schrijven:
Verzorgde voete lope het prettigst Pedicure behadelige worde bij diabetes e reuma patiëte door ekele zorgverzekeraars vergoed. Om i aamerkig te kome voor vergoedig zij gemachtigd voor te schrijve: Huisartse
Nadere informatieTAF Overlijdensrisicoverzekering
TAF Overlijdesrisicoverzekerig Ee overlijdesrisicoverzekerig zoals ú het wilt TAF biedt u uitstekede overlijdesrisicoverzekerige die uw abestaade bescherme tege de ogeweste fiaciële gevolge va overlijde.
Nadere informatieKwaliteitshandboek 3. Gebruikersgerichte processen 3.3 Het beëindigen van de individuele dienstverleningsovereenkomst
De Meader Kwaliteitshadboek 3. Gebruikersgerichte processe 3.3 Het beëidige va de idividuele diestverleigsovereekomst 1/7 Beoordeeld: Stuurgroep Kwaliteit Geldig vaaf: 26/06/2013 Procedurehouder: Sociale
Nadere informatieRESULTAATGERELATEERDE
erde OVER NO CURE NO PAY RESULTAATGERELATEERDE BELONING Resultaatgerelateerde beloning Over no cure no pay OVER NO CURE NO PAY RESULT AATGERELATEERDE BELONING RESULTAATGERELATEERDE BELONING 02 Resultaatgerelateerde
Nadere informatien n n bedoelen we uiteraard dat n N : 0 f x divergeert naar + of.
Limiete Defiities a Limiet voor a I het hoofdstuk ratioale fucties i het begi va dit schooljaar zage we reeds dat zulke fucties soms perforatiepute hebbe De fuctiewaarde i zo put bestaat iet, maar de grafiek
Nadere informatieEindrapport Leerlingtevredenheidsonderzoek Floracollege Eindexamenklassen 2013
Eidrapport Leerligtevredeheidsoderzoek Floracollege Eidexameklasse 2013 Juli 2013 Ihoudsopgave Samevattig 3 Vrage over schoolwerk 5 Vrage over jezelf 6 Vrage over docete 8 Vrage over de metor 11 Vrage
Nadere informatieVerbeterbeleid. Avonturijn
Verbeterbeleid Avoturij 2 Als u ee keer mider tevrede over os bet... Ee verbeterput Odaks dat wij os best doe de opvag va uw kid zo goed mogelijk te verzorge, ka het voorkome dat u ees wat mider tevrede
Nadere informatieSloopbesluit en verhuizen
Sloopbesluit e verhuize waar je thuis bet... Wat kut u verwachte als uw woig wordt gesloopt Op verschillede plaatse werkt HEEMwoe aa de verbeterig va de wijk. Soms heeft dat grote gevolge voor u als huurder.
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo 2010 - II
Eideame wiskude B vwo 200 - II Sijde met ee hoogtelij Op ee cirkel kieze we drie vaste pute, B e C, waarbij lijstuk B gee middellij is e put C op de kortste cirkelboog B ligt. Ee put doorloopt dat deel
Nadere informatieopgaven- en werkboek GECONSOLIDEERDE JAARREKENING Henk Fuchs 1e druk
opgaven- en werkboek Henk Fuchs GECONSOLIDEERDE JAARREKENING 1e druk Geconsolideerde jaarrekening Opgaven- en werkboek Geconsolideerde jaarrekening Opgaven- en werkboek Henk Fuchs Eerste druk Noordhoff
Nadere informatieBIOLOGIE Havo / Vwo Tips examenvragen maken. Algemeen. Multiple choice vragen
BIOLOGIE Havo / Vwo Tips examevrage make Algemee Tijdes je exame mag je Bias gebruike. De Bias diet compleet obeschreve e obeplakt te zij. Het gebruik va briefjes als pagiawijzers is iet toegestaa. Het
Nadere informatieConvergentie, divergentie en limieten van rijen
Covergetie, divergetie e limiete va rije TI-spire e rije 7N5p GGHM 22-23 Eigeschappe rekekudige rij b = begiwaarde v = verschil tusse twee opeevolgede terme recursieve formule: u = u + v met u = b directe
Nadere informatiePUBAS, een vernieuwd systeem voor arbeidsbegroting In: Agro Informatica 4 (oktober 1999), p. 25 28.
PUBAS, ee verieuwd systeem voor arbeidsbegrotig I: Agro Iformatica 4 (oktober 999), p. 25 28. Aet Vik, tel. 037-476452 Gerrit Kroeze, tel. 037-476459 Istituut voor Milieu- e Agritechiek, Cluster Systeemkude
Nadere informatieUitwerkingen toets 11 juni 2011
Uitwerkige toets 11 jui 2011 Opgave 1. Laat 2 e k 1 gehele getalle zij. I ee lad zij stede e tusse elk paar stede is ee busverbidig i twee richtige. Laat A e B twee verschillede stede zij. Bewijs dat het
Nadere informatieInzicht in voortgang. Versnellingsvraag 9 Inzichten periode maart t/m juni
Izicht i voortgag Verselligsvraag 9 Izichte periode maart t/m jui Terugblik Ee idicatie hoe ee leerlig zich otwikkeld per vakgebied Ee referetieiveau waarmee elke leerlig vergeleke ka worde 2 Terugblik
Nadere informatieHoe werkt het? Zelf uw woning aanpassen
Woig aapasse Hoe werkt het? Zelf uw woig aapasse Prettig woe beteket woe i ee huis aar uw smaak. Om og fijer te kue woe, wille veel huurders kleie of grote veraderige aabrege i hu huis. Thuisvester begrijpt
Nadere informatieJaarplan 2016 Vastgesteld door het Algemeen Bestuur op 16 nov 2015
Jaarpla 2016 Vastgesteld door het Algemee Bestuur op 16 ov 2015 Ihoudsopgave 1. Ileidig 2. Terugblik 2015 3. Speerpute voor 2016 4. Fiacië I. uitgagspute e aaames II. operatioele koste MA.l 2016 III. liquiditeit/fiacierig
Nadere informatiePROEFEXAMEN SOCIALE STATISTIEK November 2009 REEKS 1
PROEFEXAMEN SOCIALE STATISTIEK November 009 REEKS Score /5. ( pute) Beatwoord volgede vraag aa de had va oderstaade SPSSoutput: Omcirkel de juiste waarde voor A e voor B als je weet dat deze verdelig bereked
Nadere informatieJa, ik wil. Trouwen in Vlaardingen
Ja, ik wil Trouwe i Vlaardige Ihoud Pagia 4 Locatie kieze Pagia 5 Tijdstip kieze Pagia 6 De plechtigheid Pagia 8 I odertrouw Pagia 9 Tot slot Pagia 11 Bijlage Gefeliciteerd met uw voorgeome huwelijk of
Nadere informatieEvaluatierapport. Tevredenheidsonderzoek NMV Nederlandse Montessori Vereniging 2005. Eindrapportage. BvPO
Evaluatierapport Tevredeheidsoderzoek NMV Nederladse Motessori Vereigig 2005 Eidrapportage BvPO Bureau voor praktijkgericht oderzoek, Groige BvPO BUREAU VOOR PRAKTIJKGERICHT ONDERZOEK POSTBUS 9505, 9703
Nadere informatieWerktekst 1: Een bos beheren
Werktekst : Ee bos behere Berekeige met rije op het basisscherm Op ee perceel staa 3000 kerstbome. Ee boomkweker moet beslisse hoeveel bome er jaarlijks gekapt kue worde e hoeveel ieuwe aaplat er odig
Nadere informatieAppendix A: De rij van Fibonacci
ppedix : De rij va Fiboacci Het expliciete voorschrift va de rij va Fiboacci We otere het het e Fiboaccigetal met F De rij va Fiboacci wordt gegeve door: F F F F 4 F F 6 F 7 F De volgede afleidig is gebaseerd
Nadere informatieCorrectievoorschrift VWO
Correctievoorschrift VWO 009 tijdvak wiskude B, Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordelig Algemee regels Vakspecifieke regels Beoordeligsmodel 5 Izede scores Regels voor de beoordelig
Nadere informatieSemi-orthopedische schoenen (OSB)
Semi-orthopedische schoee speciaal voor uw voete gemaakt Om i aamerkig te kome voor vergoedig zij gemachtigd voor te schrijve: Eerste verstrekkig: Revalidatieartse Orthopedische chirurge Reumatologe AWBZ
Nadere informatieHandleiding RCA-24. Artikel-Nr. 45-02247. 24-voudige RailCom-display. tams elektronik
Hadleidig Artikel-Nr. 45-02247 24-voudige RailCom-display tams elektroik Nederlads Ihoudsopgave 1. Starte...3 2. Veiligheidsvoorschrifte...4 3. Achtergrod iformatie: RailCom...5 4. Werkig va de...7 5.
Nadere informatiem n Mijn uitvaarttestament n Naam n Geboorteplaats n n n Ziektekostenverzekering n Burgerservicenummer n Naam bank en rekeningnummer
Mij uitvaarttestamet m Mij gegeves Naam Geboorteplaats Mij geboortedatum Mij huidige adres Ziektekosteverzekerig Burgerserviceummer Naam bak e rekeigummer Pesioefods Verzekerige, polisummers Begrafeisverzekerig
Nadere informatieOpgave 5 Onderzoek aan β -straling
Eidexame vwo atuurkude 214-I - havovwo.l Opgave 5 Oderzoek aa β -stralig Zoals beked bestaat β -stralig uit elektroe. Om ee oderzoek aa β -stralig te doe heeft Harald ee radioactieve bro met P-32 late
Nadere informatieFinanciële Wiskunde. 1
1. BRIGGSE LOGARITMEN... 3 DEFINITIES EN EIGENSCHAPPEN VAN MACHTEN...3 DEFINITIE VAN LOGARITME...5 DE BRIGGSE LOGARITME...6 Omiddellijke eigeschappe...6 Eigeschappe va (Briggse) logaritme...7 DE EXPONENTIËLE
Nadere informatieTAF Overlijdensrisicoverzekering
TAF Overlijdesrisicoverzekerig Fiaciële zekerheid voor abestaade Met ee overlijdesrisicoverzekerig beschermt u uw abestaade tege de ogeweste fiaciële gevolge va overlijde. Overlijdt de verzekerde bie de
Nadere informatieHet college acht de bezwaarfase vanwege de volledige bestuurlijke heroverweging in beginsel onmisbaar.
A 027 B003 B004 B012 B013 B014 Rechtstreeks beroep rechtbak Igagsdatum a afwijzig WW Igetrokke aavrage Legeskoste verblijfsverguig e aturalisatie Vaste laste gedetieerde Reiskoste bezoek gedetieerde Het
Nadere informatieDe nieuwsbrief van uw accountant
De ieuwsbrief va uw accoutat 1e kwartaal 2012 Postbus 81167, 3009 GD Rotterdam Tel.: 010-456 46 77 www.stees.l G E A C H T E R E L AT I E I deze ieuwsbrief worde de volgede oderwerpe behadeld: Profiteer
Nadere informatieEen samenvatting van de CAO voor Uitzendkrachten 2012-2017
Ee samevattig va de CAO voor Uitzedkrachte 2012-2017 Uitgave juli 2015 Ihoudsopgave 1. Ileidig 5 2. Fasesysteem 5 2.1 Fase A 6 2.2 Fase B 6 2.3 Fase C 6 2.4 Oderbrekigsregels 7 2.5 Overgagsregelig fase
Nadere informatieInleiding Administratieve Organisatie. Opgavenboek
Inleiding Administratieve Organisatie Opgavenboek Inleiding Administratieve Organisatie Opgavenboek drs. J.P.M. van der Hoeven Vierde druk Stenfert Kroese, Groningen/Houten Wolters-Noordhoff bv voert
Nadere informatieopgave Opgave Bepaal de convergentiestralen van de volgende machtreeksen: (n + 1)! n! = lim n = lim (n + 1)!/(2n + 2)! n!/(2n)!
opgave 7 7 Bepaal de covergetiestrale va de volgede machtreekse: a!z ; b! (! z ; c 3 z! ; d z! a Zij a!, da lim ( +!! ( +, dus R 0 b Zij a!, da (! lim ( +!/( +!!/(! ( + 0, dus R c Zij a 3, da! lim 3 +
Nadere informatieHuisstijl en logogebruik Associatie KU Leuven
Huisstijl e logogebruik Associatie KU Leuve Associatie huisstijlhadboek > Ihoudstafel 1 Ihoudstafel 1. Gebruik va de huisstijl of opame va het associatielogo 3 2. Huisstijl Associatie KU Leuve 4 2.1 Opame
Nadere informatie