Cahiers T 3 Europe Vlaanderen nr. 3. Regressie. Een eerste kennismaking. Bieke Van Deyck

Transcriptie

1 Cahiers T 3 Europe Vlaadere r. 3 Regressie Ee eerste keismakig Bieke Va Deyck

2 Regressie Ee eerste keismakig Bieke Va Deyck

3

4 Ihoudsopgave HOOFDSTUK : DE BIVARIATE VERDELING A. Probleembeschrijvig B. Het spreidigsdiagram 2 C. Voorbeelde 9 HOOFDSTUK 2: COVARIANTIE ALS SPREIDINGSMAAT. 3 A. Opbouw e iterpretatie va het begrip covariatie 3 B. Eigeschappe e zwakhede va de covariatie als spreidigsmaat 8 HOOFDSTUK 3: DE CORRELATIECOËFFICIËNT ALS BETERE SPREIDINGSMAAT. 9 A. De correlatiecoëfficiët met zij belagrijkste eigeschappe 9 B. Ekele oefeige 24 C. Ekele bijzoderhede 25 D. Idividueel project 29 HOOFDSTUK 4: DE REGRESSIERECHTE. 33 A. Probleemschets. 33 B. Berekeig va a e b 35 C. Ekele eigeschappe e bijzoderhede 37 D. Oefeige 39 APPENDIX: CENTRUMMATEN EN SPREIDINGSMATEN VAN EEN STEEKPROEF 43 A. Cetrummate 43 B. Spreidigsmate 43 C. Cetrum- e spreidigsmate met de TI-83 44

5

6 HOOFDSTUK : DE BIVARIATE VERDELING A. Probleembeschrijvig Uit de beschrijvede statistiek wete we hoe we éé kwatitatieve variabele X kue oderzoeke bie ee populatie. We eme ee represetatieve steekproef, oderzoeke bie deze deelverzamelig die bepaalde eigeschap e verkrijge zo cocrete waaremigsgetalle x, x2,..., x. Deze ordee we i ee frequetietabel, stelle ze grafisch voor e trachte ze same te vatte door cetrummate e spreidigsmate te berekee (zie appedix). Op die wijze krijge we ee idee over de verdelig va de stochastische veraderlijke X. I plaats va os te cocetrere op éé ekele variabele (zoals bijvoorbeeld gewicht, legte, pute op ee exame,...) is het vaak iteressat om de relatie te bestudere tusse ee koppel variabele, wat de bivariate verdelig met zich meebregt. Bijvoorbeeld, va elke volwasse mes wordt zij legte X i cm e gewicht Y i kg gemete. Het geordede paar (X,Y) heeft ee bivariate verdelig. We stelle os u de volgede vraag: Bestaat er ee verbad of correlatie tusse twee kwatitatieve variabele die betrekkig hebbe op dezelfde populatie? M.a.w. bestaat er ee bepaalde relatie tusse de stochastische veraderlijke X e Y va het koppel (X,Y) met hu bivariate verdelig? Voorbeelde: Is er ee verbad tusse de leeftijde va huwelijksparters? Is er ee verbad tusse de legte va ee moeder e haar kid? Is er ee verbad tusse het gewicht e het voetoppervlak (het cotactoppervlak met de grod) va Zuid-Amerikaase slakke? Is er ee verbad tusse het aatal tewerkgestelde mae e het aatal tewerkgestelde vrouwe va de beroepsbevolkig? We trachte ee evetueel verbad te beschrijve door middel va ee grafische voorstellig of door middel va ee getal. Dit zal i de volgede hoofdstukke uitgewerkt worde op basis va de correlatie- e regressierekeig. Opieuw gaa we hierbij uit va ee steekproef waarbij de twee variabele worde gemete, x, y, x, y, x, y. op die wijze verkrijge we cocrete data ( ) ( ) ( ) 2 2 Het is belagrijk te beseffe dat we ook hier aa beschrijvede statistiek doe; groothede die we zulle berekee aa de had va de steekproefdata (b.v. de correlatiecoëfficiët) zulle variëre va steekproef tot steekproef.

7 B. Het spreidigsdiagram De meest eevoudige methode om twee gemete variabele simultaa weer te geve, is ee spreidigsdiagram. Dit gebruikt ee horizotale as voor éé va de variabele e ee verticale as voor de adere. Er wordt ee put geplaatst voor elk observatie-paar ( xi, y i) op de kruisig va zij twee waarde. Voorbeeld: Ee kid is m58 lag e weegt 52 kg. We kieze X = legte (i cm) Y = gewicht (i kg) E we plaatse deze observatie i het spreidigsdiagram als volgt: gewicht legte Als je de waarde va éé variabele wilt gebruike om de waarde va ee adere variabele te voorspelle, is de covetie om de variabele waarmee je de voorspellig doet (=de oafhakelijke variabele) op de horizotale as te plaatse e de te voorspelle variabele (=de afhakelijke variabele) op de verticale as. Hoe kue we zelf ee spreidigsdiagram tekee met de TI-83? Gegeve 5 kidere met hu legte e gewicht: legte x gewicht y We voere de gegeves i: 2

8 Om ee spreidigsdiagram te make, doe we het volgede: 2d Y= (STAT PLOT) e defiieer plot zoals hieraast gegeve: Hierbij zij: Xlist: de gegeves die je op de horizotale as wilt Ylist: de gegeves die je op de verticale as wilt Mark: hoe wil je dat je pute er uit zie? Druk da op GRAPH e op ZOOM 9:ZoomStat e da verschijt je spreidigsdiagram. Het commado Zoomstat zorgt ervoor dat alle pute op je scherm passe e dat de putewolk verspreid ligt over het hele scherm. Het bereik wordt zo automatisch aagepast. Via TRACE e de pijltjestoetse ka je u de coördiate va elk put agaa. Voorbeeld: Bij ee keurig voor militaire diest zij 0 joges aa ee medisch oderzoek oderworpe. Daarbij is va elke joge de legte e de schoemaat gemete. Legte x Schoemaat y Dit levert het volgede spreidigsdiagram: (a) Wat is de richtig va de putewolk? (b) Hoe zou je de richtig va de putewolk i woorde kue beschrijve? Met adere woorde hoe ka je de relatie tusse de legte e de schoemaat va de kadidaatsoldate weergeve? 3

9 Twee variabele worde positief gecorreleerd geoemd als grote waarde va de ee variabele overeekome met grote waarde voor de adere variabele. We zie duidelijk dat de legte e de schoemaat positief gecorreleerd zij. Dit zie we aa de richtig va de putewolk: va liks oder aar rechts bove. Voorbeeld: Hieroder staat ee tabel va het koffie- e theegebruik va 0 huishoudes, i koppe per persoo per dag. koffiegebruik x theegebruik y (a) Wat is hier de richtig va de putewolk? (b) E hoe zou je i dit geval de richtig va de putewolk i woorde kue beschrijve? Met adere woorde hoe ka je de relatie tusse het koffie- e theegebruik weergeve? Omgekeerd, worde twee variabele egatief gecorreleerd geoemd als grotere waarde va de ee variabele overeekome met kleiere waarde va de adere variabele. Ook hier zie we vrij duidelijk dat het koffiegebruik e het theegebruik i huishoudes egatief gecorreleerd zij: de putewolk gaat va liks bove aar rechts oder. Voorbeeld: Aa ee hodeshow is ee wedstrijd verbode voor de mooiste e meest verzorgde hod. Hiervoor worde drie verschillede jurylede geraadpleegd: ee eigeaar va ee hodeschool (jury A), ee opleider va blidegeleide hode (jury B) e ee hodeliefhebber e keer (jury C). 4

10 Er zij 5 hode die aa de wedstrijd deeleme e zij worde door de drie jurylede beoordeeld. Waeer we u de pute va jury A (op de X-as) e jury B (op de Y-as) vergelijke bekome we het volgede spreidigsdiagram: Terwijl waeer we de pute va jury A (op de X-as) e C (op de Y-as) vergelijke bekome we dit spreidigsdiagram: (a) Welk verschil zie je tusse de twee spreidigsdiagramme? (b) Hoe ka je dit verschil hier beschrijve i fuctie va de pute va de drie jurylede? De sterkte va de correlatie is afhakelijk va de hoeveelheid pute die de correlatie volge. Bijvoorbeeld hoe meer pute de positieve correlatie volge, hoe sterker de positieve correlatie is tusse de twee desbetreffede variabele e hoe preciezer er ee voorspellig ka gedaa worde voor de ee variabele op grod va de adere. I het voorbeeld was er i het eerste spreidigsdiagram dus ee zeer sterke positieve correlatie terwijl i het tweede spreidigsdiagram is er ee zwakke positieve correlatie. 5

11 Voorbeeld: Bekijke we opieuw het voorbeeld va de kadidaat-soldate: Legte x Schoemaat y (a) We hadde beslote dat de legte e de schoemaat positief gecorreleerd ware. Wat wilde dit juist zegge? (b) Bekijk de koppels (75,42) e (80,40). Klopt dit voor deze twee koppels? Let dus op: het cocept va correlatie is slechts ee statistische tedes. Er kue dus pute zij die iet aa die correlatie voldoe. Voorbeeld: Ee leerkracht geeft ee toets maar de pute va de leerlige zij zo slecht, dat de leerkracht de leerlige ee tweede kas wil geve. Hij geeft ee tweede toets over hetzelfde stukje leerstof. Dit zij de resultate op de twee toetse: toets x toets 2 y (a) Teke met je reketoestel het spreidigsdiagram. (b) Teke ook de rechte y = x op het spreidigsdiagram. Tips voor de TI-83: Druk op Y= e vul i, bij de juiste plot waari ook het spreidigsdiagram staat, Y=X. Druk da op ZOOM 9:Zoomstat e je spreidigsdiagram wordt afgedrukt same met de rechte y = x. (c) Wat ku je zegge over de pute die op het spreidigsdiagram gelege zij oder de rechte y = x? E wat beteket dit hier cocreet i het voorbeeld? (d) Als de leerkracht wil wete wie op de tweede toets meer behaalde da op de eerste, aar wat moet hij da juist kijke op het spreidigsdiagram? 6

12 Om je wat te oefee i het begrip correlatie de volgede oefeige: Oderzoeksopdracht Beschouw het volgede spreidigsdiagram va hypothetische scores op ee eerste e ee tweede exame voor rijkswachtcommadate om topfucties bij de politie te kue beklede: A Beschrijf kort wat het spreidigsdiagram toot over de relatie tusse de scores op het eerste exame e die op het tweede exame. Met adere woorde als je de scores weet va het eerste exame, ku je da vrij goede voorspellige doe voor het tweede exame? Leg uit. Oderzoeksopdracht 2 Hieroder staa 5 adere spreidigsdiagramme over de hypothetische scores op de twee exames. Jouw taak is om de richtig (positief of egatief) e de sterkte (sterk, gematigd of zwak) va de correlatie tusse de scores op het eerste exame e die op het tweede exame te oderzoeke voor elk voorbeeld. B C 7

13 D E F Doe dit door de bijhorede letter (A,..., F) i te vulle i de tabel hieroder. Elke letter mag slechts éé maal gebruikt worde. egatief sterk gematigd zwak positief 8

14 C. Voorbeelde Voorbeeld We vrage os af of er ee verbad bestaat tusse de leeftijd va huwelijksparters. We besluite dit te oderzoeke d.m.v. ee represetatieve steekproef. Daartoe kloppe we aa bij de diest Burgerlijke Stad va os gemeetehuis. Hier verschaft me os volgede gegeves: va 20 willekeurig gekoze huwelijke i het jaar 992 oteerde we de huwelijksdatum e de geboortedata va de parters. Hieruit hebbe we da de leeftijde va de parters op hu huwelijksdag afgeleid. Zo bekome we 20 koppels ( xi, y i) met x i de huwelijksleeftijd va de ma e y i de leeftijd va zij vrouw. We zette deze pute u uit e bekome zo het volgede spreidigsdiagram: Leeftijd 40 vrouwe Leeftijd mae (a) Lijkt er ee correlatie te zij tusse de leeftijd va de twee parters? Zo ja, is deze positief of egatief? E zou je deze als sterk of als zwak karakterisere? Leg uitgebreid uit. (b) Zij er veel koppels die eve oud zij? Hoe ka je dit zie op het spreidigsdiagram? (c) Zij er meer mae die ouder zij da hu vrouw of komt het omgekeerde vaker voor? Hoe zie je dit op het spreidigsdiagram? (d) Vat i eige woorde same wat je ka lere over de huwelijksleeftijd va koppels door rekeig te houde met de lij y = x. 9

15 Voorbeeld 2 We bekijke de volgede data va het gewicht e het voetoppervlak va 20 Zuid- Amerikaase slakke va de soort Biomphalaria Glabrata. Gewicht (g) Voetopp ( mm ) Gewicht (g) Voetopp ( mm ) Waeer we va deze gegeves het spreidigsdiagram tekee, bekome we de volgede grafiek: (a) Zie je of er pute samevalle? De pute op het spreidigsdiagram ligge duidelijk zeer dicht bij ee rechte lij. We zegge dat er ee beadered lieair verbad is tusse het gewicht e het voetoppervlak va de slakke. (b) Welk soort correlatie is er hier? 0

16 Natuurlijk is er iet altijd ee lieair verbad met ee positieve correlatie tusse de twee variabele. Adere mogelijkhede zij geïllustreerd i de volgede spreidigsdiagramme: (c) Hoe zou jij, zo auwkeurig mogelijk, het verbad tusse X e Y beschrijve i deze drie gevalle? Het doel va de komede lesse is te oderzoeke waeer het aavaardbaar is ee lieaire beaderig te gebruike voor de relatie tusse twee variabele. E, waeer dit zo is, de vergelijkig te vide va die best beaderede rechte. Het volgede voorbeeld toot os ee duidelijk iet-lieair verbad. Voorbeeld 3 Va het kabiet va het Miisterie va Tewerkstellig e Arbeid krege we cijfers over de evolutie va de tewerkgestelde beroepsbevolkig per geslacht i de periode Hieruit kode we afleide dat ee groter aatal tewerkgestelde vrouwe gepaard gaat met ee kleier aatal tewerkgestelde mae. Vrouwe (miljoee),55,5,45,4,35,3,25,2,5 2,2 2,25 2,3 2,35 2,4 2,45 2,5 2,55 Mae (miljoee) Kue we hier spreke va ee lieair verbad?

17 2

18 HOOFDSTUK 2: COVARIANTIE ALS SPREIDINGSMAAT A. Opbouw e iterpretatie va het begrip covariatie De bedoelig va dit hoofdstuk is ee eerste maat vide waarmee we spreidig kue uitdrukke bij ee bivariate verdelig. We wille over spreidig kue spreke aa de had va ee getal e iet meer allee op basis va het spreidigsdiagram. Maelijke krekels sjirpe door hu vleugels tege elkaar te wrijve. Me wil het verbad tusse de sjirpfrequetie e de temperatuur agaa i drie verschillede lade: België, Zwede e Frakrijk. Hieroder staa de (fictieve) gegeves voor 2 verschillede teste per lad: België Zwede Frakrijk temperatuur ( C) x sjirpfrequetie y temperatuur ( C) x sjirpfrequetie y temperatuur ( C) x sjirpfrequetie y () Teke op je reketoestel het spreidigsdiagram voor de drie lade. Merk op dat bij éé bepaalde x-waarde i ee lad verschillede y-waarde kue optrede. Tips voor de TI-83: Gebruik de lijste L e L2 voor België, L3 e L4 voor Zwede e L5 e L6 voor Frakrijk. Pas da ook telkes Xlist e Ylist aa, waeer je plot, plot2 e plot3 defiieert. Vergeet iet plot e plot3 op Off te zette waeer je bv plot2 gaat tekee, aders kome de spreidigsdiagramme gewoo over elkaar. (2) Bekijk de spreidigsdiagramme e becommetarieer de correlaties tusse de temperatuur e de sjirpfrequetie voor elk lad afzoderlijk. 3

19 Het doel va dit werkblad is correlatie auwkeuriger te kue beschrijve. Tot u toe baseerde we os allee op het spreidigsdiagram om te oordele of er positieve of egatieve correlatie is e of de correlatie sterk is of zwak. We wille u ee getal gaa otwikkele waarmee we de correlatie kue beoordele. Waeer we maar éé ekele variabele X hebbe, geeft de variatie de spreidig weer t.o.v. het gemiddelde x. Bij ee bivariate verdelig, zij er twee variabele X e Y va belag. We hebbe hier twee gemiddelde x e y voor hade. Om u de spreidig va de pute i de bivariate verdelig te kue beschrijve, moete we rekeig houde met beide gemiddelde x e y. We tekee dus i het spreidigsdiagram ee ieuwe x- e y-as door het put ( x, y ). Het volgede diagram toot opieuw het spreidigsdiagram va het voorbeeld va de kadidaat-soldate. B A ( x, y) C D We wete dat de legte e de schoemaat va de kadidaat-soldate positief gecorreleerd zij. Vraag 3 verwijst aar dit spreidigsdiagram. (3) Deze vraag verwijst aar het spreidigsdiagram hierbove. (a) I welke twee kwadrate (A, B, C of D) ligge de meeste pute? Waardoor komt dit? (b) Moeste de legte e de schoemaat egatief gecorreleerd zij, i welke twee kwadrate zoude da het grootst aatal pute ligge? Waarom? (c) E als de twee variabele ogecorreleerd zij, i welke kwadrate ligge da de meeste pute? 4

20 (d) Als ee put ( x, y) i kwadrat A ligt, wat is da het teke va x x y y ( x x)( y y)? Beatwoord u dezelfde vrage waeer ( x, y) i respectievelijk de kwadrate B, C e D ligt. Vul alles i, i de volgede overzichtstabel: schrijf ee + voor positief e ee voor egatief. x x y y ( x x)( y y) A B C D Beschouw u ( xi x)( yi y). i= (e) Wat zal het teke zij va ( xi x)( yi y) als de twee variabele positief i= gecorreleerd zij? Houd hiervoor rekeig met (a) e de tabel i (d). Leg uit waarom. (f) Wat zal het teke zij va ( xi x)( yi y) als de twee variabele egatief i= gecorreleerd zij? Houd hiervoor rekeig met (b) e de tabel i (d). Leg ook hier uit waarom je dit dekt. (g) Wat zal het teke zij va ( xi x)( yi y) als de twee variabele ogecorreleerd i= zij? Houd hiervoor rekeig met (c) e de tabel i (d). Leg ook hier uit waarom. 5

21 (h) Leg uit (m.b.v. de drie vorige vrage) waarom ( xi x)( yi y) ee goede maat is voor correlatie. i= (4) Hereem u het voorbeeld va de sjirpede krekels uit vraag. Vid voor België x e y. Teke da op het bijbehorede spreidigsdiagram de twee evewijdige asse aa de oorsprokelijke asse, door het put ( x, y ). Tips voor de TI-83: Om het gemiddelde te vide va de elemete va ee lijst, gebruik je 2d STAT (LIST) MATH 3:mea( e da typ je de aam va de lijst i. Om ee horizotale lij tezame met je spreidigsdiagram te tekee, druk je Y=. Je vult da i bv mea(l2) zoals het hierbove beschreve staat. Kijk wel a of je i de juiste plot werkt: be je bezig met de gegeves va België, dus i plot, moet dit aageduid zij boveaa het scherm. Om u og ee verticale erbij te tekee, druk je op: 2d MODE (QUIT) om terug te kere aar het basisscherm, da op 2d PRGM (DRAW) DRAW 4:Vertical. Je typt da (mea(l)) zoals aageleerd hier hoger e drukt op ENTER. 6

22 (5) Bereke u voor België ( xi x)( yi y) e leg de betekeis uit va dit resultaat. i= Gebruik hierbij je bevidige i vraag 3(f) e i vraag 4. (6) Doe u hetzelfde voor de twee adere lade. 7

23 B. Eigeschappe e zwakhede va de covariatie als spreidigsmaat Veroderstel dat de steekproef ( x, y),( x2, y2),...,( x, y ), geome uit de bivariate verdelig (X,Y), ee steekproefgemiddelde ( x, y) heeft. Da defiiëre we de steekproefcovariatie va de data (, ) s = ( x x)( y y) xy i i i= x y als volgt: Waeer de covariatie dicht bij 0 ligt, wil dit zegge dat er weiig of gee correlatie is tusse de desbetreffede variabele. Ee grote positieve covariatie wijst op ee positieve correlatie tusse de twee variabele e adersom wijst ee grote egatieve covariatie op ee egatieve correlatie tusse de twee variabele. i i We toe u de zwakheid aa va de covariatie als spreidigsmaat: Voorbeeld: We hereme het voorbeeld va de kadidaat-soldate. De legte X i de bivariate verdelig (X,Y) wordt u uitgedrukt i cetimeter. Wat zal het effect zij op de covariatie als ze uitgedrukt zal worde i meter? Oplossig: Elke legte x i, uitgedrukt i cetimeter, wordt vervage i de berekeige door ee legte uitgedrukt i meter, x. 00 i We wete dat da ook het gemiddelde door 00 zal moete gedeeld worde. De covariatie veradert va ( xi x)( yi y) aar ( xi x)( yi y). i= i= De laatste uitdrukkig ka geschreve worde als: ( xi x)( yi y) 00 i= E zo wordt de oorsprokelijke covariatie 00 keer kleier. Wat gebeurt er met s xy als alle waarde va X vermeigvuldigd worde met 5 e alle waarde va Y met 4? Het is duidelijk dat begrippe als ee grote covariatie heel relatief zij e afhage va de grootte va de variabele e hu eehede. We kue dus de grootte va de covariatie iet gebruike om over spreidig te spreke. Ee ieuwe spreidigsmaat drigt zich op. 8

24 HOOFDSTUK 3: DE CORRELATIECOËFFICIËNT ALS BETERE SPREIDINGSMAAT A. De correlatiecoëfficiët met zij belagrijkste eigeschappe I het vorige hoofdstuk zage we dat de covariatie toch iet zo geschikt bleek te zij als spreidigsmaat. Daarom voere we ee ieuw begrip i: de (steekproef)correlatiecoëfficiët r. De correlatiecoëfficiët vide we door de covariatie te dele door het product va de stadaardafwijkige va de data x i e y i : sxy r = s s x y Oefeig: Wat gebeurt er met r als alle waarde va X vermeigvuldigd worde met 5 e alle waarde va Y met 4? Is de correlatiecoëfficiët og eeheidsgebode? Met de TI-83 We kue met de TI-83 ook rechtstreeks de correlatiecoëfficiët berekee. Plaats hiertoe je data va de stochastische veraderlijke X i de lijst L e die va Y i de lijst L2. Druk op 2d 0 (CATALOG) e ga aar DiagosticO, druk da tweemaal op ENTER. Dit moet je maar éé keer doe met je toestel, dit diet om extra gegeves te krijge, waaroder de correlatiecoëfficiët. Druk da op STAT CALC 4:LiReg(ax+b). E daar verschijt da r. Wat a e b betekee, zal i het volgede hoofdstuk uitgelegd worde. Oefeig: Vid de correlatiecoëfficiët voor de bivariate verdelig va het voorbeeld va de slakke. Gewicht (g) Voetopp ( mm ) Gewicht (g) Voetopp ( mm )

25 Oefeig: Er is ee verbad tusse het aatal voertuige i Nederlad e het aatal verkeersogevalle per jaar. I de jare 70 ware de aatalle als volgt: jaar Voertuige (milj) x Ogelukke (x 000) y Bereke de correlatiecoëfficiët. Oefeig: We wete uit de defiitie dat sxy r = s s x y. (a) Wat is het teke va s xy als X e Y positief gecorreleerd zij? (b) E wat is het teke va s xy als X e Y egatief gecorreleerd zij? (c) Wat is da het teke va r i beide gevalle? Waarom? Voorbeeld: We hereme het voorbeeld va de schooheidswedstrijd voor hode: Waeer we ee spreidigsdiagram tekee va de scores va jury A tov die va jury B, bekome we het volgede: 20

26 (a) Welk soort correlatie is er hier ook weer? (b) Welk teke zou da de correlatiecoëfficiët moete hebbe? Waeer we deze met os reketoestel berekee, bekome we dat r = Waeer we u het spreidigsdiagram tekee va de scores va jury A te opzichte va die va jury C, bekome we: (c) Welk soort correlatie is er hier? (d) Welk teke zou da de correlatiecoëfficiët moete hebbe? Waeer we deze met os reketoestel berekee, bekome we dat r = (e) Welk zou, dek je, de bovegres zij va de correlatiecoëfficiët als er ee positieve correlatie is? Wat is het verbad tusse deze bovegres e de sterkte va de correlatie? (f) Heb je ee vermoede wat r zal zij bij zwakke egatieve correlatie e bij sterke egatieve correlatie? 2

27 Cotroleer je vermoede met het volgede voorbeeld: Voorbeeld: We hereme het voorbeeld va de sjirpede krekels i België. Daar ware de temperatuur e de sjirpfrequetie sterk egatief gecorreleerd. temperatuur ( C) sjirpfrequetie (a) Bereke r e kijk a of je vermoede va i de vorige vraag klopt? (b) Welke odergres is er, dek je, voor r? Tot slot, kijke we og ees wat de correlatiecoëfficiët gaat zij, als de twee variabele ogecorreleerd zij: Voorbeeld: We hereme het voorbeeld va de sjirpede krekels i Frakrijk. Daar ware de temperatuur e de sjirpfrequetie ogecorreleerd. temperatuur ( C) sjirpfrequetie (a) Bereke r. (b) Hoe zal de correlatiecoëfficiët zij als twee variabele ogecorreleerd zij? 22

28 Daar waar de covariatie os weiig betekeis e verklarig ko geve omwille va het subjectieve idee va groot e klei, ka de correlatiecoëfficiët os meer exacte iformatie geve. Waeer r dicht ligt bij, ka dit wijze op ee sterke tedes dat grote x i -waarde overeekome met grote yi -waarde e dat kleie xi -waarde overeekome met kleie yi -waarde. We spreke va ee sterke positieve lieaire correlatie. Waeer r dicht ligt bij -, ka dit wijze op ee sterke tedes dat kleie x i -waarde overeekome met grote yi -waarde e omgekeerd. We spreke va ee sterke egatieve lieaire correlatie. Waeer r dicht ligt bij 0, ka dit erop wijze dat er gee bepaalde tedes is oder de koppels ( x i, yi ). We spreke va ee zwakke lieaire correlatie. Waeer r dicht ligt bij, verwachte we dus dat de pute ( x i, yi ) dicht ligge bij ee rechte met positieve richtigscoëfficiët. Terwijl als r dicht ligt bij, verwachte we dat de pute x, y ) dicht ligge bij ee rechte met egatieve richtigscoëfficiët. ( i i Tot slot geve de volgede figure ee overzicht va de mogelijke r -waarde. 23

29 B. Ekele oefeige () De zee- e luchttemperatuur op ee stukje strad i Florida werd, gedurede 0 weke, elke maadagmiddag gemete. Dit leverde de volgede gegeves op: zee x ( C) lucht y ( C) (a) Maak ee spreidigsdiagram met je reketoestel. (b) Bereke r e verklaar je resultaat. (2) Teke de volgede gegeves i éé spreidigsdiagram. Set : x y Set 2: x y Duid hierbij de gegeves va set aa met ee kruisje e die va set 2 met ee vierkatje. Bereke r voor elk set e becommetarieer het resultaat. (3) Me mat de periode T (i secode) va 7 staaklokke va ee verschillede hoogte. Dit gaf de volgede resultate: H (cm) T (s) (a) Bereke r voor deze gegeves. (b) Teke het spreidigsdiagram. (c) Dek je dat de relatie tusse H e T lieair is? Waarom? (4) Teke ee spreidigsdiagram va de volgede vier pute: (,), (,3), (3,) e (3,3). Bereke r e verklaar zij waarde. 24

30 C. Ekele bijzoderhede () Beschouw de volgede hypothetische scores (op 00) op twee exames: exame exame (a) Teke het spreidigsdiagram met je reketoestel. Lijkt er ee verbad te zij tusse de twee examescores? Zo ja, beschrijf deze relatie. (b) Bereke de correlatiecoëfficiët. Verbaast dit resultaat je? Wat had je verwacht? Dit voorbeeld illustreert dat de correlatiecoëfficiët ekel ee lieair verbad meet tusse twee variabele. Meer igewikkelde relaties kue met r iet opgemerkt worde. Dus ka er ee verbad bestaa tusse twee variabele, zelfs als de correlatiecoëfficiët dicht bij 0 ligt. Je moet je dus bewust zij va deze mogelijkheid e je iet louter basere op de waarde va r om ee besluit te trekke. Oderzoek zeker ook steeds het spreidigsdiagram. (2) Beschouw de spreidigsdiagramme va de volgede hypothetische examescores: teke ze met je reketoestel. A: exame exame B: exame exame (a) I klas A lijke de meeste observaties ee lieair patroo te volge. Zij er uitzoderige? (b) Terwijl i klas B lijke de meeste observaties eerder willekeurig geplaatst zoder ee echt patroo. Zij er hier uitzoderige? 25

31 (c) Bereke voor beide klasse de correlatiecoëfficiët. Be je verrast over éé of beide resultate? Waarom? Ee put dat volledig uitsprigt uit het patroo i het spreidigsdiagram, oeme we ee uitschieter. Dit is meestal te wijte aa ee foute metig of ee vergissig bij het opschrijve va de gegeves. Maar soms zij de gegeves juist e gaat het gewoo om ee uitzoderig: Ee leerlig met ee dikke buis, terwijl de rest va de klas bija het maximum haalde. Ee slak met uitzoderlijk kleie voetjes. Ee heel oude ma die trouwt met ee vrouw va 20 jaar. Uitschieters hebbe vaak ee grote ivloed op de correlatiecoëfficiët waardoor we soms verkeerde besluite zoude trekke. Het belag va het spreidigsdiagram te bekijke, is ook hier weer beweze. Meestal laat me voor de berekeig va r de uitschieters gewoo weg. (d) Verwijder de uitschieters uit beide klasse e bereke opieuw de correlatiecoëfficiët. Becommetarieer hoe deze veraderd zij e leg uit. Tip voor de TI-83. Om ee elemet i ee rij (lijst) te verwijdere, druk je STAT EDIT, je gaat op het elemet staa e drukt DEL. Let op: vergeet het overeekomstige elemet iet te verwijdere, als het over ee bivariate verdelig gaat. (3) Beschouw het volgede spreidigsdiagram va ee set hypothetische examescores. 26

32 De gegeves zij: exame exame (a) Beschrijf wat het spreidigsdiagram jou vertelt over het verbad tusse de twee exameresultate. (b) Bereke r. Is zij waarde hoger da je verwachtte? Hier zie we dat, zelfs als er gee uitschieters zij of gee igewikkelder verbad, de correlatiecoëfficiët toch og groot ka zij, hoewel er gee lieaire relatie is tusse de twee variabele. (4) De correlatiecoëfficiët wordt door oderzoekers gebruikt i veel domeie va sociale weteschappe tot ladbouwweteschappe. I het algemee probeert me, aa de had va de correlatiecoëfficiët, te bewijze dat de veraderig va éé eigeschap leidt tot de veraderig va iets aders. Bijvoorbeeld dat de stijgede werkloosheid ee stijgig i crimialiteit veroorzaakt. Eigelijk ka ee resultaat waarbij r of r op drie verschillede maiere geïterpreteerd worde: Als y stijgt waeer x stijgt: ka de stijgig va x de stijgig va y veroorzaakt hebbe of omgekeerd, is de stijgig va y de oorzaak va het stijge va x. kue beide stijgige ee gemeeschappelijke oorzaak hebbe. kue beide stijgige totaal iets met elkaar te make hebbe. Het is da de taak va de oderzoeker om uit te make op welke va de drie maiere r moet worde geïterpreteerd. Hieruit volgt dus dat op zich, ee resultaat r of r, gee iformatie geeft over het veroorzake. Om dit te illustrere, bekijke we het volgede voorbeeld: De volgede tabel geeft iformatie over de levesverwachtig va de iwoers va 22 lade. Het geeft ook het aatal mese per televisietoestel i elk lad. 27

33 lad levesverwachtig Mese per TV lad levesverwachtig Mese per TV Agola Mexico Australië Marokko Cambodja Pakista Caada Ruslad Chia 70 8 Zuid-Afrika 64 Egypte Sri Laka Frakrijk Oegada 5 9 Haïti UK 76 3 Irak 67 8 VS Japa 79.8 Vietam Madagaskar Jeme (a) Welk lad heeft het mist aatal mese per televisietoestel? E welk lad het meest? Wat betekee juist deze getalle? (b) Teke met je reketoestel het spreidigsdiagram va de levesverwachtig versus het aatal mese per televisietoestel. Lijkt er ee verbad te zij tusse de twee variabele? Beschrijf dit verbad kort. (c) Bereke r. (d) Omdat de correlatie zo sterk egatief is, zou me kue besluite dat me, i de lade met ee lagere levesverwachtig, de mese lager ka doe leve door veel televisietoestelle aar die lade te sture. Becommetarieer deze uitspraak. (e) Welke va de drie hoger beschreve factore verklaart hier de stijgig va de levesverwachtig i fuctie va de stijgig va het aatal mese per televisietoestel? Leg uit. 28

34 Oefeig: We hebbe gezie dat er drie verschillede maiere bestaa om ee sterke correlatie te beoordele. (a) I welke categorie zou je het verbad tusse legte e gewicht plaatse? (b) I de jare 80 was er ee stevige toeame i het aatal studete i Sheffield. I dezelfde stad was er toe ook ee ferme stijgig i autodiefstalle. I welke categorie zou je dit voorbeeld plaatse? (c) I veel gemeeschappe vidt me ee sterke positieve correlatie tusse de smaak va ijs, die i ee gegeve maad het meest verkocht wordt e het aatal verdrikige door zelfmoord die zich die maad voordoe. Beteket dit dat ijscrème verdrikig veroorzaakt? Idie iet, ka je da ee alteratieve verklarig geve voor deze sterke correlatie? D. Idividueel project De bedoelig bij dit idividueel project is, dat je duidelijk laat merke dat je alles tot u toe goed begrijpt. Het is da ook ee soort va cotrole voor jezelf: als je, tijdes het make va deze opdracht, erges moeilijkhede mee hebt, ga dat oderdeel da terug bekijke i je ota's. E maak evetueel ekele oefeige opieuw of vraag uitleg. Je krijgt ruim de tijd om je gegeves te verzamele, ee grodige aalyse uit te voere e je verslag te make. Achteraf is het da ook de bedoelig dat jullie je project kort kome presetere voor je klasgeote. Zorg dus dat je alles volledig door hebt, zodat je evetuele vrage rustig ka beatwoorde. steek hier voldoede tijd i zodat je zeker bet va je aalyse e je besluite. De opdracht zelf u: Kies twee variabele die gemete of geteld kue worde e waarva je vermoedt dat er ee bepaalde relatie tusse bestaat. De variabele kue zowel eigeschappe va mese, va diere of va dige zij. Dek hier lag geoeg over a, eem iet de eerste de beste. Probeer er twee variabele uit te kieze waarva hu relatie je klasgeote zal verbaze e iteressere. Misschie ku je hierover oderlig wat braistorme. Verzamel gegeves voor de twee gekoze variabele e dit bij te miste 20 verschillede broe. Bijvoorbeeld 20 verschillede mese, diere, teste, appelsiee, Too dat je goed begrijpt wat je twee variabele juist betekee, door ze uitgebreid i woorde te beschrijve. 29

35 Leg ook uit hoe je je gegeves hebt verzameld e gemete. Leg uit hoe je ervoor gezorgd hebt dat je gegeves represetatief zij. (bijvoorbeeld eem iet alle 20 appelsiee uit dezelfde wikel, wat zo zou je steekproef oderhevig kue zij aa extere factore omdat die wikel bijvoorbeeld altijd kleiere appelsiee verkoopt) Maak ee spreidigsdiagram voor je variabele. Wees auwkeurig bij je tekeig. Je ka cotrolere met je reketoestel. Zeg welke variabele je op de X-as hebt geplaatst e welke op de Y-as e leg je keuze uit. Geef uitleg over het verbad dat er lijkt te zij tusse jouw twee gekoze variabele. Ka je formulere waarom je dit verbad lijkt te zie? Als je dekt dat er gee relatie is, verklaar dit da ook. (e kies opieuw twee variabele) Is de correlatie positief of egatief? Zwak, gematigd of sterk? Too aa dat je de relatie volledig begrijpt door ze duidelijk e volledig te beschrijve i woorde: pas hiervoor je statistische besluite toe op je cocrete voorbeeld, dus op de twee variabele die jij hebt gekoze. Wat beteket deze relatie voor de twee variabele? Ka je u voorspellige doe over jouw variabele, waeer je sommige gegeves iet hebt? Bereke de correlatiecoëfficiët e geef hier wat uitleg over: wat soort correlatie geeft r aa, klopt deze correlatie met de werkelijkheid, Ka je zegge dat de ee variabele ee stijgig of dalig i de adere variabele veroorzaakt? Of hoe iterpreteer jij aders het verbad tusse de twee variabele? Is er ee verborge factor die beide variabele beïvloedt, of is hu verbad louter toevallig? Probeer u aa de had va deze vrage ee samehagede tekst te schrijve die zo goed e zo duidelijk mogelijk jouw aalyse weergeeft. Houd, terwijl je hieraa werkt, je voorblad dat op de volgede bladzijde staat, zorgvuldig bij e vul telkes de datum i waeer je ee oderdeel beëidigd hebt. Waeer je werkje af is, vul da ook het evaluatieblad i e gebruik dit als cover voor je werkje. 30

36 Voorblad Gebruik dit blad als cover va je werkje. Verzi ook zelf ee titel voor jullie werkje. Je vidt hier ook de verschillede oderdele die i je verslag zeker aa bod moete kome. Schrijf de datum aast elk oderdeel waeer je dit beëidigd hebt. Zo doe je zelf ee soort va cotrole of je alle opdrachte wel hebt uitgevoerd. Naam: Titel: Verschillede oderdele: Ik heb gegeves verzameld om te zie of de twee variabele gecorreleerd zij. De twee variabele zij: Ik heb duidelijk uitgelegd wat de gekoze variabele betekee e hoe ik ze gemete heb. Het spreidigsdiagram is etjes geteked e alle eehede ligge op elke as eve ver uit elkaar. Ik ka de soort correlatie weergeve e verklare. Ik heb ee geschreve uitleg gemaakt over het feit of er ee oorzaak is waardoor de ee variabele de adere beïvloedt of of er ee extere factor is. We hebbe ee overzichtelijk verslag gemaakt va al oze resultate, als voorbereidig op de presetatie. We deke dat os werk u compleet is. We vide zelf dat os werk (omcirkel) ee grodige studie is voldoede iformatie bevat og iet voldoede oderzoek toot 3

37 32

38 HOOFDSTUK 4: DE REGRESSIERECHTE A. Probleemschets I veel voorbeelde, zoals het voorbeeld va de slakke, zage we dat de pute i het spreidigsdiagram duidelijk zeer dicht bij ee rechte lij ligge. We sprake da va ee beadered lieair verbad tusse de twee variabele. Ees we vermoede dat er ee lieair verbad zou kue zij tusse de twee variabele, moete we probere de vergelijkig te vide va de rechte die het best aasluit bij de putewolk. Deze rechte oeme we de regressierechte. De techiek die gebruikt wordt om wiskudig de vergelijkig va de regressierechte te vide, oemt me da regressie. De regressierechte wordt o.a. gebruikt om voorspellige te kue doe. Bekijke we opieuw het spreidigsdiagram va de slakke: (a) Beschrijf i je eige woorde het verbad tusse het gewicht e het voetoppervlak bij de slakke. (b) Schets op het spreidigsdiagram de regressierechte. Vergelijk daara je resultaat met de adere. Heeft iederee dezelfde rechte? Waarom is de jouwe beter/slechter? (c) Ka je voorspelle hoe groot het voetoppervlak ogeveer zal zij va ee slak die 0.4 g weegt? Leg uit. Hoe doe je dit? (d) Ka je voorspelle hoeveel ee slak, met voetoppervlak 3 2 mm, ogeveer weegt? 33

39 Waeer me gegeves verzamelt va ee bivariate verdelig, zij de x-gegeves meestal de gegeves die oder cotrole zij va de persoo die het experimet uitvoert. De y-waarde daaretege zulle afhage va deze x-waarde. Veroderstel dat je als model ee lieair verbad y = ax + b suggereert tusse de variabele x e y. We spreke da over lieaire regressie va y op x. Hierbij bekijke we het verschil tusse de geobserveerde waarde va Y ( y i ) e de voorspelde waarde va Y (ŷ i ), die we uit de vergelijkig va de rechte hale. Gegeve is ee putewolk va pute: ( x, y ), ( x, ) 2 y2,, ( x, y ), die mi of meer ee lieaire tred vertoe. Beschouw da de rechte y = ax + b door deze pute waarmee we de grootheid y wese te voorspelle bij gegeve x. We defiiëre voor elk put het residu e i, met ŷ i = ax i + b, als volgt: e i = observatie - voorspellig = y i ŷ i = y ( ax b) i i + Merk op dat ee residu positief is waeer het put bove de rechte gelege is e egatief waeer het oder de rechte gelege is. Om u de beste rechte door de putewolk te zoeke, gebruike we de kleiste kwadratemethode: hierbij moete we a e b bepale zodat e 2 i miimaal is. e i i= Waarom zou de methode iet werke als we i= miimalisere? 34

40 B. Berekeig va a e b e i i= Als we a e b zo kieze dat Voor de regressierechte a ( x x)( y y) i i i= = = 2 ( xi x) i= 2 miimaal is, kome we tot de volgede formules: y = ax + b door de pute x, ), x, ),, x, y ) geldt: s s xy 2 x ( y ( 2 y2 ( e b = y ax Met de TI-83. Met de TI-83 kue we a e b vlug berekee. We plaatse de X-gegeves i L e de Y- gegeves i L2. Druk da STAT CALC 4:LiReg(ax+b). Typ L,L2,VARS Y-VARS :Fuctio :Y. Door het toevoege va Y wordt de vergelijkig va de regressierechte weggeschreve i Y. Op je scherm zou dit u moete verschije: Duwe we op ENTER da verschije a e b op je scherm. I het voorbeeld va de slakke zie we dit scherm: Defiiëre we u het spreidigsdiagram zoals vroeger aageleerd da wordt de regressierechte afgebeeld i het spreidigsdiagram. 35

41 Oefeig: We hereme de oefeig va de slakke. Gewicht (g) Voetopp ( mm ) Gewicht (g) Voetopp ( mm ) (a) Als de regressierechte va y op x de vergelijkig y = ax + b heeft, bereke da a e b. (b) Teke de regressierechte op het spreidigsdiagram. Gebruik hiervoor je reketoestel. Cotroleer u je resultate die je i de vorige oefeig had bekome op zicht. Werk i vraag (c) e (d) eerst met de vergelijkig e cotroleer je atwoord da met behulp va het spreidigsdiagram. Herier je eraa dat je met de toets TRACE e da met de pijltjestoetse, de pute op je scherm krijgt met hu bijbehorede coördiate. (c) Gebruik de regressierechte om te voorspelle hoe groot het voetoppervlak ogeveer zal zij va ee slak die 0.4 g weegt. Zat je voorspellig die je i de vorige oefeig maakte, er dicht bij? (d) Ka je met de regressierechte bepale hoeveel ee slak, met voetoppervlak 3 ogeveer weegt? Zat ook hier de voorspellig die je vroeger maakte, er dicht bij? 2 mm, 36

42 C. Ekele eigeschappe e bijzoderhede () Ee tomatekweker gebruikt i elk va de 2 moestuitjes ee verschillede hoeveelheid kustmest. Dit gaf hem de volgede gegeves: hoeveelheid kustmest (g) x tomateoogst (kg) y (a) Bereke de regressierechte e teke ze i het spreidigsdiagram. (b) Wat is het koppel ( x, y)? (c) Bereke het residu va dit put. (d) Wat beteket deze waarde? (e) Kue we dit veralgemee? Maak je besluit hard. (2) Beschouw de pute (0,3), (,4), (2,7), (-,4) e (-2,7). (a) Teke deze pute i ee spreidigsdiagram. (b) Bereke de correlatiecoëfficiët. (c) Ku je hier besluite dat er helemaal gee verbad is tusse de twee variabele? (d) Bereke de regressierechte. Heeft deze hier zi? Ka ze bijvoorbeeld gebruikt worde om voorspellige te doe? We bedeke toch eve dat met de geziee formules voor a e b, ee regressierechte bepaald ka worde uitgaade va om het eve welk spreidigsdiagram. Er ka dus theoretisch gezie ee regressierechte beschouwd worde terwijl er helemaal gee oorzakelijk verbad is tusse de twee variabele. Dit is uiteraard iet zivol. 37

43 Bij het opstelle va de vergelijkig va de regressierechte eise we dat ( y i y i i= miimaal is. ^ ^ 2 Aagezie steeds geldt dat ( y i y i ) 0, is ul de kleiste waarde die ( 2 y i y i ) ka i= aaeme. Dit gebeurt als voor elke i geldt dat y i = ŷ i. Met adere woorde alle pute va het spreidigsdiagram ligge op de regressierechte. Me zegt dat er ee perfecte lieaire correlatie is tusse x e y. Is daarebove a>0 (of a<0), da spreke we va ee perfecte positieve (egatieve) lieaire correlatie. i= ^ ) 2 I het vorige hoofdstuk zage we dat ook de correlatiecoëfficiët os aawijzige geeft over de goedheid va de regressierechte. Eigeschap: r = asa de correlatie is perfect positief lieair. r = asa de correlatie is perfect egatief lieair. E hoe dichter r bij of ligt, hoe beter het lieaire model past bij oze pute. I het voorbeeld waar de pute (0,3), (,4), (2,7), (-,4) e (-2,7) perfect op ee parabool lage, was r = 0 e wiste we eigelijk zo ook al dat het lieaire verbad hier iet va toepassig was. We moge os echter ook iet allee basere op de waarde va r. 38

44 D. Oefeige () Me vermoedt zeer sterk dat de reactietijd va ee persoo i verbad staat met zij hartslagritme. Elf dokters ame elk ee verschillede hoeveelheid va ee medicij i, dat het hartslagritme beïvloedt e testte zo hu vermoede. Dit leverde de volgede resultate op: hartslagritme (slage per miuut) x reactietijd (ms) y (a) Is er ee sterke correlatie tusse x e y? (b) Too de gegeves op ee spreidigsdiagram. (c) Zoek de vergelijkig va de regressierechte met de kleiste kwadratemethode voor regressie va y op x. (d) Teke deze rechte op je spreidigsdiagram. (e) Voorspel de reactietijd va ee dokter wies hartslagritme 95 hartslage per miuut bedraagt. (f) Je wordt gevraagd om de reactietijd te voorspelle va ee dokter wies hartslagritme 60 slage per miuut bedraagt. Geef commetaar bij deze vraag. (2) I het begi va vorige eeuw oderzocht me i ekele streke va Beiere het verbad tusse kidersterfte e flessevoedig. Dit gaf de cijfers uit de volgede tabel: kidersterfte (aatal sterftes per 000 leved geboree) x aatal kidere met flessevoedig (i procet) y Niederbeiere Oberfrake 70 0 Oberpfalz Schwabe Uterfrake Mittelfrake (a) Maak ee spreidigsdiagram bij deze gegeves e bereke de regressierechte. Teke deze ook. (b) I Oberbeiere kreeg 63% va de kidere flessevoedig e i Pfalz 5%. Doe aa de had va de regressierechte ee voorspellig voor de kidersterfte. Ter vergelijkig: de werkelijke cijfers ware respectievelijk 290 e

45 (3) I de tabel hieroder vid je ekele Europese weerstatios met hu hoogte bove de zeespiegel e gemiddelde jaartemperatuur. statio hoogte (m) temperatuur ( C) Berlij Brocke Boedapest Dobratsch Feuerkogel Graz Isbruck Klagefurt Lugao Praag Salzburg Sätis Soblick Wee Zugspitze (a) Teke ee spreidigsdiagram met daarop de regressierechte. (b) Is het i het skioord Isbruck relatief warm of relatief koud? (c) Ukkel ligt op 00 meter bove de zeespiegel. Wat zou op basis va de regressierechte de gemiddelde jaartemperatuur i Ukkel moete zij? (4) De tabel hieroder geeft telkes het gewicht va ee borelig e de legte va zij moeder. legte moeder (cm) x gewicht borelig (kg) y (a) Teke ee spreidigsdiagram. (b) Bereke de correlatiecoëfficiët. (c) Costrueer de regressierechte. (d) Dek je dat je hier mag spreke va ee lieair verbad tusse de legte va de moeder e het gewicht va de borelig? (5) Heeft het itelligetiequotiët (X) ee ivloed op het schoolresultaat (Y)? Wat dek je? Cotroleer uw vermoede bij de volgede gegeves va 0 lukraak gekoze zesdejaars, waarbij hu eidprocet i jui gegeve is. x y

46 (6) De volgede tabel geeft de gemiddelde maadtemperatuur weer te opzichte va het bedrag va de elektriciteitskoste die maad i ee bepaald gezi. Merk op dat er gegeves otbreke voor 3 maade. maad temperatuur rekeig temperatuur rekeig maad ( C) (euro) ( C) (euro) april jui mei juli jui augustus juli september augustus oktober 92 * * september ovember oktober december ovember jauari december februari 93 * * jauari maart februari april maart mei 93 * * april jui mei juli (a) Maak ee spreidigsdiagram. Kue we uit deze grafiek ee positieve of ee egatieve correlatie besluite of is er helemaal gee correlatie tusse de temperatuur e de elektriciteitskoste? E als er ee correlatie is, is deze sterk? Wat gebruik je om je atwoord te stave? (b) Bereke e teke de regressierechte. Is deze goed geoeg dek je, om voorspellige mee te doe? (c) Gebruik de vergelijkig va deze rechte om het residu te berekee voor maart 992. (d) Gebruik u de grafiek om te zie welke maade de grootste e welke de kleiste residu s hebbe. Wat wilt dit i dit voorbeeld cocreet zegge? 4

47 42

48 APPENDIX: CENTRUMMATEN EN SPREIDINGSMATEN VAN EEN STEEKPROEF A. Cetrummate. Het steekproefgemiddelde. Het steekproefgemiddelde x va de umerieke steekproefgegeves som va de waaremigsgetalle x = aatal waaremigsgetalle = x i = = = + x x i i = 2 x i x x, x2,..., x is: B. Spreidigsmate De steekproefvariatie. De steekproefvariatie s 2 is de som va de kwadrate va de afwijkige va de waaremigsgetalle te opzichte va hu rekekudig gemiddelde, gedeeld door het aatal waaremige vermiderd met. s = 2 i= ( x x) i 2 De steekproefstadaardafwijkig. De steekproefstadaardafwijkig s is de positieve vierkatswortel va de steekproefvariatie s = i= ( x x) i 2 43

49 C. Cetrum- e spreidigsmate met de TI-83 Voorbeeld: Ee hogeschool oderzoekt met ee istaptest de keis wiskude va eerstejaarsstudete. Ee steekproef va 20 studete levert de volgede resultate (op 20) We voere de gegeves i met behulp va lijste (rije). STAT EDIT :Edit We vulle u de 20 verschillede scores i bij lijst L. Dit doe we door op L() te staa, de eerste score i te vulle (hier 5) e da op ENTER te drukke. Ez. Na het idrukke va STAT CALC :-Var Stats e da de lijst L, verschije de ketalle va de lijst L op het basisscherm: I de cotext va dit Cahier zij vooral uttig: = aatal waaremigsgetalle Sx = steekproefstadaardafwijkig x = gemiddelde 44

50 Bestaat er ee verbad of correlatie tusse twee kwatitatieve variabele die betrekkig hebbe op dezelfde populatie? Om dit te oderzoeke gaa we uit va ee steekproef waarbij de twee variabele worde gemete, dit levert cocrete data (x,y ),(x 2,y 2 ),...,(x,y ) Ee spreidigsdiagram is ee grafische voorstellig va de data, waarmee de begrippe positieve of egatieve, sterke of zwakke correlatie visueel worde igevoerd. De correlatiecoëfficiët is ee getal dat aageeft i welke mate er ee lieair verbad bestaat tusse de variabele. Ees we vermoede dat er ee lieair verbad bestaat tusse twee variabele, zoeke we de vergelijkig va de rechte die het best aasluit bij de putewolk. Deze rechte is de regressierechte. Dit cahier bregt de begrippe aa met veel voorbeelde e oderzoeksopdrachte, die door de auteur i de klas werde uitgetest. BIEKE VAN DEYCK was praktijklector aa de faculteit Toegepaste Weteschappe (Voorbereided Istituut) va de K.U.Leuve. Nu is zij leerkracht wiskude e fysica aa de Humaiora Voorzieigheid te Diest Deze cahier is bedoeld als lesmateriaal, mag hiervoor vrij gekopieerd worde e ka gedowload worde via de website