Verloop van exponentiele en logaritmische functies
|
|
- Oscar Maes
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Verloop v epoetiele e loritmische fucties
2 ) Herhli ) Defiitie e rfiek v epoetiële fucties Ee epoetiële fuctie is ee fuctie met voorschrift vk eoteerd ls ep Hierst st ekele rfieke v epoetiële fucties eteked We herhle ekele belrijke eieschppe: Alle epoetiële fucties hebbe hetzelfde domei e hetzelfde beeld: R \ : domep = R, bldep = R Alle rfieke door het put (, ) Als ],[ d is ep ee dlede fuctie, ls > d is ep ee stijede fuctie Alle epoetiële fucties hebbe de -s ls horizotle symptoot:, d is lim =, e Als ],[ + ls >, d is lim = b) Defiitie e rfiek v loritmische fucties f ( ) =, wrbij + c We oeme c de -loritme v b ls e slechts ls eldt dt = b I symbole wordt deze defiitie: \,, : c R b R c R lob= c = b Rekereels Voor loritme elde de volede rekereels: b, R \,, y R, r R : R \ Deze fuctie wordt lo r r = lo = lo ( ) y = lo+ loy lo lo loy y = r lo = r lo lo= b b lo lo Opm: Stelli heeft ls omiddellijk evol dt ook eldt dt: N : lo = lo Ee loritmische fuctie is ee fuctie met voorschrift wordt ook vk eoteerd ls lo = lo, wrbij + f R \ Deze fuctie Het is omiddellijk duidelijk dt lo e ep elkrs iverse fuctie zij (voor lle + R \ ) Cursus verloop ep e lo fies - - S Mettepeie
3 Hierst st ekele rfieke v loritmische fucties eteked We herhle ekele belrijke eieschppe: Alle loritmische fucties hebbe hetzelfde domei e hetzelfde beeld: R \ : domlo = R, bldlo = R Alle rfieke door het put (, ) I symbole: + R \ :, lo Als ],[ d is lo ee dlede fuctie, ls > d is lo ee stijede fuctie Alle loritmische fucties hebbe de y -s ls horizotle symptoot: Als ],[, d is ls >, d is > lim lo > lim lo Brise & tuurlijke loritme =+, e = Loritme met rodtl oeme we Brise loritme Bij loritme met dit rodtl hoef je de iet te schrijve (et zols je de bij ee vierktswortel ook iet schrijft) Loritme met ls rodtl het trscedete etl e ( e=, ) oeme we tuurlijke loritme, of Neperise loritme Hier oteer je ook ee rodtl mr ebruik je ipv lo het symbool l (dit stt voor loritmus turlis) Dt het etl e zeer belrijk is volt uit de volede prrf ) Afeleide v epoetiele e loritmische fucties ) Afeleide v epoetiële fucties De defiitie v feleide zet dt f' ( ) Voor epoetiële fucties (met f' = lim Merk op dt De limiet = ( + ) f f lim f ( ) = ) wordt dit: f' ( ) = lim = lim +, dit is de richtiscoëfficiët v de rklij i put P (,) lim bestt dus e is ekel fhkelijk v de wrde v e We defiiëre u het etl e zó dt lim = I dt evl zl dus elde dt D( e ) = e Uit de rekereels v mchte e loritme, e de kettireel, volt d ook direct dt: l l l D = D e = D e = e l = l + Hieruit volt dus ook metee dt eldt: R \ : lim = l Cursus verloop ep e lo fies S Mettepeie
4 b) Afeleide v loritmische fucties Steued op het vorie e de kettireel kue we u ook heel eevoudi de tuurlijke loritme fleide: D ( l ) ( l ) ( l ) e = D e = e D = D = D = Voor loritmische fucties met ee der rodtl ebruike we rekereel : l l l ( lo ) l ( l ) D = D = D = l l l Belrijke evole (voor de cursus iterlrekei) D( l ) D( l k ) + =, wt ls = =, e D l = D( l ) = = R eldt D( l) D( l) Als + + k = k c) Het etl e ders bekeke R eldt + k + k + ( + + k) + k = + k = + k Stelli: e= lim + + Bewijs: D( ) stel= ( +) ( +) l l l l = lim = lim = > > Stelle we u =, d is is = e eldt dt + (omdt ) We krije: > * lim l lim l llim lim e + + = + = + = + = (*: Dt lim e l v plts moe wissele lit het feit dt l ee cotiue fuctie is ) Opm : Het bewijs v deze stelli eldt ook voor de likerlimiet, dus ook e= lim + < Stel je z= (dus zl d) Afeleide v f z ls ± ) d eldt dus ook dt e lim( z) z z = + Als f e beide fleidbre fucties zij, d eldt voor de feleide v de fuctie lf lf lf D f = D e = D e = e D lf + = f lf D+ f Df = f Df f Deze op het eerste zicht iewikkelde formule k eevoudi othoude worde door te beseffe dt de feleide bestt uit twee terme De eerste term bekom je door tweede term door f te leide ls mchtsfuctie f : f f te leide ls epoetiële fuctie, de Cursus verloop ep e lo fies S Mettepeie
5 e) Ee eevoudie differetilverelijki Stelli: f' ( ) k f ( ) =, met k R f ( ) = be k, met b R Bewijs: : f' ( ) D( be k ) be k k kbe k k f ( ) : = = = = k ( e ) f ( ) k k k k f e f' f ke e k f f ke D b k = = = = R k k e e e 3) Ekele belrijke vullede stellie ivm limiete ) Herhli: de stellie v Rolle e Lre Stelli (Rolle): f is cotiu i [ b, ], fleidbr i ] b, [, e f ( ) = f ( b) c ] b[ f Stelli (Lre): f is cotiu i [ b, ], fleidbr i ] b, [ c ] b, [: f' b) De middelwrdestelli v Cuchy =, : ' = f b f b De middelwrdestelli v Lre k verlemeed worde tot de volede stelli, die d de (verlemeede) middelwrdestelli v Cuchy wordt eoemd Stelli: Zij f e cotiu i [ b, ] e fleidbr i ] b, [, e eldt ] b[ ( ) f ( b) f ( ) f' c ] b, [: = ( b) ( ) ', : ', d: Bewijs: Defiieer de fucties h( ) f ( ) k ( ) i [ b, ] e fleidbr i ] b, [ We kieze u k zodt h( ) = h( b), dit k wt: f ( b) f ( ) h( ) = h( b) f ( ) + k ( ) = f ( b) + k ( b) k = ( b) ( ) ( ( b) ( ) wt ] b, [: ' ( ) dus is strikt stijed of dled i [ b, ] ) f' De stelli v Rolle zet dus c ] b, [: h' f' k ' k ' c) De reels v de l Hôpitl = +, met prmeter k R, d zij l deze fucties cotiu = + = = De middelwrdestelli v Cuchy wordt eielijk llee ebruikt i het volede bewijs: Stelli: Zij f ( ) = ( ) =, mr zo dt B B { } ( ) e ' ( ), d eldt: Bewijs: Neem B\ { } c ], [ : f f' lim = ' : \ : ', met f e fleidbr i,, met >, d eldt er wees de stelli v Cuchy: f f f f' c = = ' c Neem je hieri de limiet voor, d zl ook c, dus: f f' c f' lim = lim = c ' c ' Cursus verloop ep e lo fies S Mettepeie
6 Deze stelli ket twee veelebruikte uitbreidie (we vrde deze zoder bewijs): Stelli: Als limf ( ) = lim( ) =, of limf ( ) lim( ) B \{ }, zodt B { } ( ) (Deze stelli eldt ook ls ± ) = =± e f e zij fleidbr i ee f \ : ', d eldt: lim 3 3 f' = lim ' e e 3 Voorbeeld: lim = lim = 3 H Soms is het hdi om de loritme te eme v ee limiet, om het rekewerk te vereevoudie: Voorbeeld: om lim te berekee stel je lim = L llim = ll ll= lim l = lim l Vi ee kleie kustreep kue we hierop de reel v l Hôpitl te kue toepsse: l + ll= lim = lim = lim ( ) = L= e = H Cursus verloop ep e lo fies S Mettepeie
0 niet gedefinieerd is).
Mchte 1) Mchte et gehele exoete Volgede defiities kee we l ekele jre,...... 1 fctore (erk o dt iet gedefiieerd is). 1, Je ket ook l ee hele tijd de ekede rekeregels,,.,,,,,,.,, ) Vierktswortels e -de chtswortels
Nadere informatie0 niet gedefinieerd is).
Mchte 1) Mchte et gehele exoete Volgede defiities kee we l ekele jre fctore R, N R (erk o dt iet gedefiieerd is) 1 1 R, N Je ket ook l ee hele tijd de ekede rekeregels R,, Z R,, Z R Z,,,, R Z, R, Z R )
Nadere informatieHet differentiequotiënt van een functie in een interval geeft de gemiddelde helling weer van die functie in dat interval. Symbolisch wordt dit:
Afgeleide ) Het begrip fgeleide ) Ileidig Bij de wielerwedstrijd De Wlse Pijl kome de reers op de muur v Hoei Zols je k ie op de figuur hierst heeft dee klim ee gemiddeld stijgigspercetge v 9,8% Wiskudig
Nadere informatien n n bedoelen we uiteraard dat n N : 0 f x divergeert naar + of.
Limiete Defiities a Limiet voor a I het hoofdstuk ratioale fucties i het begi va dit schooljaar zage we reeds dat zulke fucties soms perforatiepute hebbe De fuctiewaarde i zo put bestaat iet, maar de grafiek
Nadere informatieFormulekaart VWO wiskunde B
Formulekrt VWO wiskude B Verelijkie + + c = 0 + D = of met D = 4c D = 0, D > 0 = c = = c / = c > 0, c > 0, > 0 lo l = lo = = > 0, > 0, lo l lo = = > 0, > 0, e = = l > 0 l = = e > 0 Mchte e loritme = /
Nadere informatieIntegraalrekening. Georg Friedrich Bernhard Riemann Breselenz 17 september 1826 Selasca 20 juni 1866
Itegrlrekeig Georg Friedrich Berhrd Riem Breselez 7 septemer 86 Selsc 0 jui 866 Heri Léo Leesgue Beuvis 8 jui 875 Prijs 6 juli 94 I de wiskudige lyse geeft de itegrl v ee positieve fuctie ee uwkeurige
Nadere informatielog(a) = b a = g Opdracht 1 Opdracht 2 Bereken x: 2 2 =4 2 3 =8 2 4 = = = = = = = =2048 Enz...
Hoofdstuk 6 loritmen We zen l eerder dt je bij het vermenivuldien vn mchten met elijk rondtl de exponenten op m tellen. Dt is bijzonder, wnt ls je bij een willekeurie vermenivuldiin de etllen zou kunnen
Nadere informatie1 Bewerkingen met matrices invoeren via voorbeelden. , is een commutatieve groep.
1 Bewerkige met mtrices ivoere vi voorbeelde 11 -tlle e de bewerkige ( 1, 2, 3,, ) is ee -tl met i De verzmelig v reële -tlle otere we met Defiieer de som ls ( 1, 2, 3,, ) + (b 1,b 2,b 3,,b ) = ( 1 +b
Nadere informatie4 Differentierekening en reeksen
WIS4 4 Differetierekeig e reekse 4. Delt Differeties Differetierekeig bestudeert de differetie-opertor, gedefiieerd door f(x) = f(x + ) f(x) Vergelijk dit met differetilrekeig: de fgeleide-opertor D is
Nadere informatie1) Definitie, rekenkundige en meetkundige rijen
Rije ) Defiitie, reeudige e meetudige rije ) Defiitie e ottie Ee rij is ee fbeeldig v u : u, u, u,, u, N i R We otere ee rij ls ( ) 3 Hierbij zij u, u, u 3, de terme v die rij, e u is de lgemee term v
Nadere informatieHoofdstuk 9: Afgeleide functies en toepassingen
Hoostuk 9: Ageleie ucties e toepssige 9. Aleibrhei Deitie: Ee uctie is leibr i om ( ) IR 9.. Aleibrhei v ee uctie i ee put v het omei eities p. 76: is leibr i is iet leibr i * is rechtsleibr i / rechtergeleie
Nadere informatie2.6 De Fourierintegraal
2.6 De Fourieritegraal We vertrekke va de Fourierreeks i complexe vorm: voor g : [ π,π] C kue we schrijve met g(t) α e it, α 1 Z π g(t)e it dt. 2π π We herschrijve deze formules eerst voor ee fuctie f
Nadere informatieFourierreeksen. Calculus II voor S, F, MNW. 14 november 2005
Fourierreekse Calculus II voor S, F, MNW. 14 ovember 2005 Deze tekst is gedeeltelijk gebaseerd op het Aalyse BWI I dictaat e op aatekeige va Alistair Vardy. 1 Ileidig Het is vaak belagrijk ee gegeve fuctie
Nadere informatieFormulekaart VWO. Kansrekening. σ σ X )
Formulert VWO Ksreei Telle! (... 0!! (!(! Biomium v Newto : ( + ( Ksreei 0 Voor toevlsvriele X ey eldt E ( X + Y E( X + E( Y Voor ofhelije toevlsvriele X ey eldt σ ( X + Y σ ( X + σ ( Y -wet: ij ee serie
Nadere informatie16.6 Opgaven hoofdstuk 7: Producten en combinatoriek
166 Opgve hoofdstu 7: Producte e combitorie 166 Opgve hoofdstu 7: Producte e combitorie Opgve 71 1 + x) 3 1 + x) 1 + x) 2 1 + x) 1 + 2x + x 2 ) 1 + 2x + x 2 + x + 2x 2 + x 3 1 + 3x + 3x 2 + x 3 Opgve 72
Nadere informatieFormulekaart vwo. Kansrekening. Tellen. ! n. k n k. Binomium van Newton : Kansrekening
Formulekrt vwo Telle! ( )...!! k k!( k)! Biomium v Newto : Ksrekei ( ) Ksrekei k k k k Voor toevlsvriele X e Y el: E( X Y ) E( X ) E( Y ) Voor ofhkelijke toevlsvriele X e Y el: ( X Y ) ( X ) ( Y ) -wet
Nadere informatie( ) Formulekaart VWO. Kansrekening. Tellen. k n k. Binomium van Newton : Kansrekening. Voor toevalsvariabelen X en Y geldt: E ( X + Y ) = E(
Formulert VWO Telle! ( )... 0!!!( )! Biomium v Newto : Ksreei ( + ) Ksreei 0 Voor toevlsvriele X e Y el: E ( X + Y ) E( X ) + E( Y ) Voor ofhelije toevlsvriele X e Y el: σ ( X + Y ) σ ( X ) + σ ( Y ) -wet
Nadere informatieFormulekaart VWO wiskunde B
Formlekrt VWO B /9 Formlekrt VWO wiskde B Ksrekei Telle! = ( )... 0! =! = k k!( k)! Ksrekei Voor toevlsvriele X e Y eldt E( X + Y) = E( X) + E( Y ) Voor ofhkelijke toevlsvriele X e Y eldt σ( X + Y) = σ
Nadere informatiet (= aantal jaren na 1950)
Wiskude : Voorbeeldeme me uiwerkie) NB He eme bes ui 5 opve Je die elk woord volledi oe e liche behlve bij de meerkeuzevre; voor deze vre kruis je op he opvebld per vr hokje ) 3 De cijfers usse hkjes eve
Nadere informatieWerkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening
Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5
Nadere informatiePARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens
PARADOXEN 9 Dr Luc Gheyses LIMIETEN, AFGELEIDEN EN INTEGRALEN: ENKELE MERKWAARDIGE VERHALEN Ileidig: verhale over ifiitesimale Ee ifiitesimaal (of ifiitesimaal kleie waarde) is ee object dat mi of meer
Nadere informatieKATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN
KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden
Nadere informatieRijen. 6N5p
Rije 6N5p 0-03 Rije Ileidig I de wiskude werke we vaak met formules e/of fucties die elke mogelijke waarde aa kue eme. Als bijvoorbeeld f( x) = 5x + 5x 3, da ku je voor x (bija) elke waarde ivulle e ka
Nadere informatiePraktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling
Praktische opdracht: Complexe getalle e de Julia-verzamelig Auteur: Wiebe K. Goodijk, Zerike College Hare Beodigde Voorkeis: 1 = i Het complexe vlak. Notatie: z = a + bi of z = r(cosϕ + i si ϕ) Regel va
Nadere informatieUitwerking Tentamen Analyse B, 28 juni lim
Uitwerking Tentmen Anlyse B, 8 juni 0 Opgve [5pt] Bereken Hint: b = e b log. lim ( sin(π. Zij I =], [. Voor lle I \ {} geldt dt Definieer ( sin(π = e log( sin(π = e log sin(π. ϕ( = f(, f( = log, g( = sin(π.
Nadere informatieParels van studenten tijdens een examen
Prel 1 Prels vn studenten tijdens een exmen c k x k n+1 n+1 ( = c k x k ( ) )x c n+1x n+1 n+1 k ( ) k x n+1 k ( ) k k k Prel 2 Vrg: Zij n N, c k C voor k = 1,..., n, c n 0. Toon n dt de functie f(z) =
Nadere informatieParagraaf 11.0 : Riemann-som en oppervlakte
Hoodstk Iterlrekei V Wis B Pi v Prr : Riem-som e oppervlkte Les Riem-som Deiitie Riem-som Ee oppervlkte k je edere met ehlp v ee Riem-som = i Vooreeld Geeve is de ctie = Schets de riek v - tot Beder de
Nadere informatieReeksen. Convergente reeksen
Reekse Reekse Defiitie, otatie e voorbeelde Defiitie: Eereeks is ee koppel ( ) {u } l, {s } l met s = u k = u l + u l+ + u l+2 +...+ u + u k=l u l = s l, u = s s, = l +, l +2,... {u } l oemt me de termerij,
Nadere informatieTrigonometrische functies
Trigoometrische fucties Ileidig De meest gebruikelijke defiitie va de trigoometrische fucties cos e si berust op meetkudige cocepte (cirkel, hoek, driehoeke etc.) die buite het bestek va de aalyse valle.
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo 2010 - II
Eideame wiskude B vwo 200 - II Sijde met ee hoogtelij Op ee cirkel kieze we drie vaste pute, B e C, waarbij lijstuk B gee middellij is e put C op de kortste cirkelboog B ligt. Ee put doorloopt dat deel
Nadere informatiea = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim
BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ /8. De functie fx) = e kx + x + met, en k R en k < heeft een schuine symptoot y = x voor x + en voldoet n de vergelijking Bepl, en k. D fx))) 2 + D fx)) 2) +
Nadere informatieRinse Poortinga Lineaire Algebra en Voortgezette Analyse. 2 Lineaire afbeeldingen
Rise Poortig Lieire Algebr e Voortgezette Alyse 2 Lieire fbeeldige Ihoud: 2 Lieire fbeeldige 22 Rije- e koloerg 23 rspoere 24 De deterit 25 De oplossige v ee stelsel lieire vergelijkige 26 Guss-eliitie
Nadere informatieREKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM
REKENEN MET MACHTEN Np EEBII 0 GGHM Inhoud Herhlin: Eponentiele roei... Netieve Mchten... Geroken mchten... Etr Oefeninen... 9 Hoere-mchts functies... 0 Overzicht vn de reels... Herhlin: Eponentiële roei
Nadere informatieAnalyse. Lieve Houwaer Dany Vanbeveren
Anlyse Lieve Houwer Dny Vnbeveren . Relties, functies, fbeeldingen, bijecties Voor niet-ledige verzmelingen A en B noemen we elke deelverzmeling vn de productverzmeling A x B een reltie vn A nr B. We noemen
Nadere informatie4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES
4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:
Nadere informatieElementaire speciale functies
ANALYSE 1A, Ivoerig Elemetaire Speciale Fucties p.1 Elemetaire speciale fucties 1. Differetieerbaarheid zie syll. Calculus Ia, II.1.1 of Browder, Ch. 4). Zij I ee iterval, a ee iwedig put va I e f: I R
Nadere informatieAcdemi Press Dele Bij delig vermeigvuldigt me met het omgekeerde v de deler..3.5 Vereevoudige Het is goed mogelijk dt voorgde bewerkige iet de
Acdemi Press 0 BIJLAGE Wiskudige opfrissig. Bewerkige bij vergelijkige Verdere v lid is omkere v de bewerkig, dus verderig v teke bij som of verschil y x+ b y b x vermeigvuldigig wordt delig e omgekeerd
Nadere informatie4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES
4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:
Nadere informatiePrimitieve en integraal
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 4 Primitieve en integrl Een motivtie om nr de fgeleide vn een functie f te kijken is het beplen vn de richtingscoëfficiënt vn de rklijn
Nadere informatieAANTEKENING VWO 5B HOOFDSTUK 10 : INTEGRAALREKENING. Benadering van elke oppervlakte met behulp van de Riemann-som = x i
AANTEKENING VWO B HOODSTUK : INTEGRAALREKENING LES RIEMANN-SOM Bederi v elke oppervlkte met ehlp v de Riem-som = i VB Geeve is de ctie = Schets de riek v - tot Beder de oppervlkte tsse e de -s met ee Riemsom
Nadere informatieď ď ď Ľ ť ď ť á ď ŕ í ŕ ď ť ŕť ť Ú ŕ í ď Ú é í éé Ľ í ť éé ŕ ď í ď í ŕ Ú Ť ť ť ť Ť ť ď í í ď ť Ô Ô í í ť éé í í ď Ť Ľ ď ď ď ť ď í ť ď ď ď í ŕ ŕ ŕ í ť á ť ť Ĺ ď ŕ ď á ť ď ď í ŕ ť ď ď ŕ ť ŕ ťí ď č Ô Ľ ŕ
Nadere informatieJulian gooit 20 keer met een dobbelsteen. Bereken de kans dat hij precies 5 keer een zes gooit.
- Test Hfst D kasrekeig - Kase ofwel exact ofwel afgerod op decimale geve. ( x p) Tim gooit drie keer met ee gewoe dobbelstee. Na zij derde worp telt hij het aatal oge va de drie worpe bij elkaar op. Bereke
Nadere informatieDeel D. Breuken en algebra n
Deel D Breue e lgebr 9 9 7 7 7 9 0 Reee et stroe (). stt voor ee obeed tuurlij getl 7 9 0 Met wordt bedoeld e dus oo 0 0 Vul i: et wordt bedoeld... e dus oo... Vul oo de vjes v de stroo i: Tel de getlle
Nadere informatie1. Hebben de volgende rijen een limiet, en zo ja, bepaal die dan: (i) u n = sin(πn) (d) u n = cos(2πn) (l) u n = log n
Hoofdstuk 1 Limiet va ee rij 1.1 Basis 1. Hebbe de volgede rije ee iet, e zo ja, bepaal die da: (a) 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... (b) 1, 4, 9, 16, 5, 36, 49,... (c) 1, 8, 7, 64, 15,... (d) u = ( 1) (e) u =
Nadere informatie4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES
4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:
Nadere informatieHoofdstuk 7 : Differentiaalrekening
Hoodstk 7 : Dierentilrekenin H4D Hoodstk 7 : Dierentilrekenin Les Prodct en qotiëntreel Teorie dierentiëren Hoodreel dierentiëren : = n = n n- Er zijn drie lreels bij dierentiëren : Prodctreel : ' ' '
Nadere informatieOpgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100...
Opgave OPGAVE 1 a. Itereer met F( ) = e als startwaarde 1 e 1. 16 1............... 16 1............... b. Stel de bae grafisch voor i ee tijdgrafiek. c. Formuleer het gedrag va deze bae. (belagrijk is
Nadere informatieSamenvatting. Fouriertheorie en distributies. Fourier en Schwartz. De warmtevergelijking. De exacte benadering
Samevattig Fouriertheorie e distributies De exacte beaderig Ileidig 2 De warmtevergelijkig Ja Wiegerick Korteweg - de Vries Istituut voor Wiskude Uiversiteit va Amsterdam 27 september 22 3 Oplossig door
Nadere informatieOVERZICHT VAN DE FORMULES
80 OVERZIHT VN DE FORMULES Goioetrie Fucties op de goioetrische cirkel si² cos² si tg si cos tg cotg Relties Wrdes v veel voorkoede hoeke 0 0 45 60 90 si 0 cos 0 tg 0 - Goioetrische fucties i rechthoekige
Nadere informatieFormularium Wiskunde
Formulrium Wiskude Te gebruike bij exme Ileidig tot de Hogere Wiskude Trscedete fucties. Goiometrische fucties t x = tg x = si x cos x cot x = cotg x = cos x si x sec x = cos x cosec x = si x cos( ± b)
Nadere informatieUitwerking herkansing Functies en Reeksen
Uitwerking herknsing Functies en Reeksen 3 jnuri 14, 9: - 1: uur Opgve 1 () De functie ' is prtieel differentieerbr, met prtiële fgeleiden @'.x; y/ D.1; 1/T en @x @' @y.x; y/ D. v; v/t : Deze prtiële fgeleiden
Nadere informatieOngelijkheden. IMO trainingsweekend 2013
Ogelijkhede IMO traiigsweeked 0 Deze tekst probeert de basis aa te brege voor het bewijze va ogelijkhede op de IMO. Het is de bedoelig om te bewijze dat ee bepaalde grootheid (ee uitdrukkig met ee aatal
Nadere informatieINLEIDING FYSISCH-EXPERIMENTELE VAARDIGHEDEN (3A560) , ANTWOORDEN. en y m.b.v. y = n
INLEIDING FYICH-EXEIENTELE VAADIGHEDEN (3A56 3-1-, ANTWOODEN OGAVE 1 (a y wordt bereked mb y ³ e y mb y Uit de laatste ergelijkig ide we y i ³ x1 1 + + x ³ x1 1 + + x ³ + j6i i j xj y + j6i i j xj Omdat
Nadere informatieWPP 5.2: Analyse. Oplossing onderzoeksopdrachten
WPP 5.: Aalyse oderzoeksopdrachte Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 0 Limiet va ee rij : defiities Beschouw de rij u :,,, 4,.... Bepaal de algemee term u. Via PC / GRT bepaal je de tabel e teke je
Nadere informatieOplossingen extra oefeningen: rijen (leerstof RR, leerstof MR)
Oplossige extra oefeige: rije (leerstof RR, leerstof MR) Beschouw de rij ( u ) = 3,5,9,7,33, () Geef de volgede twee terme uit deze rij ( u e u 7) Defiieer deze rij (je mag kieze tusse ee expliciete of
Nadere informatieContinuïteit en Nulpunten
Continuïteit en Nulpunten 1 1 Inleiding Continuïteit en Nulpunten In de wiskunde wordt heel vk gebruik gemkt vn begrippen ls functie, functievoorschrift, grfiek, Voor een gedetilleerde inleiding vn deze
Nadere informatieFuncties, Rijen, Continuïteit en Limieten
Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-0 Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Ihoud 1. Fucties Defiitie e kemerke / bewerkige op fucties Reële fucties va éé reële veraderlijke
Nadere informatieVoorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus
Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt
Nadere informatieHoofdstuk 0: algebraïsche formules
Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html
Nadere informatieVorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Intermezzo / kleine opfriscursus. Deterministische eindige automaten (DFA) College 6
Vorig college College 6 Algoritmiekgroep Fculteit EWI TU Delft Hotel Hilbert Aftelbrheid vs. Overftelbrheid Digonlisering Overftelbrheid vn R 6 mei 2009 1 2 Intermezzo / kleine opfriscursus Deterministische
Nadere informatieopgave Opgave Bepaal de convergentiestralen van de volgende machtreeksen: (n + 1)! n! = lim n = lim (n + 1)!/(2n + 2)! n!/(2n)!
opgave 7 7 Bepaal de covergetiestrale va de volgede machtreekse: a!z ; b! (! z ; c 3 z! ; d z! a Zij a!, da lim ( +!! ( +, dus R 0 b Zij a!, da (! lim ( +!/( +!!/(! ( + 0, dus R c Zij a 3, da! lim 3 +
Nadere informatieHet reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.
Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 5 De tweevoudige integrl collegejr : 8-9 college : 5 build : 27 ugustus 28 slides : 48 Vndg dubbel en De tweevoudige integrl en inhoud 2 Herhlde integrl 3 4 Poolcoördinten intro VA Wt is een integrl?
Nadere informatieUitwerkingen toets 11 juni 2011
Uitwerkige toets 11 jui 2011 Opgave 1. Laat 2 e k 1 gehele getalle zij. I ee lad zij stede e tusse elk paar stede is ee busverbidig i twee richtige. Laat A e B twee verschillede stede zij. Bewijs dat het
Nadere informatieTentamen: Kansrekening en Statistiek P0099
Fculteit Economie en Bedrijfskunde Tentmen: Knsrekening en Sttistiek 1 6011P0099 Tentmendtum & -tijd: 15 december 015, 1:00 17:00 Studiejr 015-016 Duur vn het tentmen: 3 uur Legitimtie: U dient zich te
Nadere informatieRekenregels van machten
4 Rekenregels vn mchten Dit kun je l 1 mchten met een ntuurlijke exponent berekenen mchten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verbnd met de mchtsverheffing correct gebruiken Test jezelf
Nadere informatie== Modeluitwerking tentamen Analyse 1 == Maandag 14 januari 2008, u
== Modeluitwerking tentmen Anlyse == Mndg 4 jnuri 8, 4.-7.u. Formuleer de Tussenwrdestelling. Als f :, b] R continu is en s R ligt tussen f en fb, dn bestt er een c, b] met fc = s. b Toon n, dt de vergelijking
Nadere informatieTentamen. Elektriciteit en Magnetisme 1. Woensdag 11 juli 2012 09:00-12:00. Leg uw collegekaart aan de rechterkant van de tafel.
Tentmen Elektriciteit en Mgnetisme 1 Woensdg 11 juli 1 9:-1: Leg uw collegekrt n de rechterknt vn de tfel. Schrijf o elk vel uw nm en studentnummer. Schrijf leesbr. Mk elke ogve o een rt vel. Dit tentmen
Nadere informatie3 Meetkundige voorstelling van complexe getallen
3 Meetkudige voorstellig va complexe getalle 31 Complexe getalle als pute va ee vlak Complexe getalle zij geïtroduceerd als pute va ee vlak tov ee orthoormaal assestelsel Ee dergelijk assestelsel is odig
Nadere informatieConvergentie, divergentie en limieten van rijen
Covergetie, divergetie e limiete va rije TI-spire e rije 7N5p GGHM 22-23 Eigeschappe rekekudige rij b = begiwaarde v = verschil tusse twee opeevolgede terme recursieve formule: u = u + v met u = b directe
Nadere informatieDuurzaam (ver)bouwen. Noordoost-Brabant 2013-2016
t e v o C l io g Re Duurzm (ver)bouwe Noordoost-Brbt 2013-2016 e w u o b e m S d i e h m duurz Duurzm Bouwe Grodstoffe worde schrser, het eergievrgstuk ijpeder e os klimt verdert. Duurzm bouwe e verbouwe
Nadere informatieHet kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²
Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven
Nadere informatiePR en QR snijden de grote as van E in respectievelijk U en V. Bewijs dat de vector UV. x 2y. a 4b. sin sin cos cos. a b 2 2. cos cos, sin sin.
Oplossing Op e ellips E neem je twee vste punt P Q e vernderlijk punt R De middelloodlijn vn e constnte PR QR snijd de grote s vn E in respectievelijk U V Bewijs dt de vector UV vector is (dus onfhnkelijk
Nadere informatieOefeningen Analyse II
ste Bachelor Igeieursweteschappe ste Bachelor Natuurkude/Wiskude Academiejaar 27-28 9 jui 28 Oefeige Aalyse II. Ee lichaam bove het xy-vlak met willekeurige hoogte wordt lags oder begresd door de cirkel
Nadere informatieSamenvatting - Wiskunde I
Smevtt - Wsue I Clculus Erly Trsceetls Jmes Stewrt 6th eto Sles v A. Al-Dhhr Appe A Getlle, Vermele, Oeljhee e Absolute Wre N = {0,,,, } Ntuurlje etlle Z = {,-,-,-,0,,,, } Gehele etlle Q = { } Rtole etlle
Nadere informatieProeftentamen LAI (tweede deel), voorjaar 2006 Uitwerkingen
Proeftentmen LAI (tweede deel), voorjr 2006 Uitwerkingen 1. Lt zien: ls R een trnsitieve reltie op A is, dn is R 2 (dt wil zeggen R R) ook trnsitief. Lt vervolgens zien dt heel lgemeen geldt: ls R trnsitief
Nadere informatieOngelijkheden groep 2
Ongelijkheden groep Rvi & Cuchy-Schwrz Trnstrendtriningsdg (triningsdg, 6 mrt 009 Cuchy-Schwrz Cuchy-Schwrz Voor reële getllen x,, x n en y,, y n geldt: x i y i en bijgevolg x i y i n n met gelijkheid
Nadere informatieKanstheorie. 2de bachelor wiskunde Vrije Universiteit Brussel. U. Einmahl
Kastheorie 2de bachelor wiskude Vrije Uiversiteit Brussel U. Eimahl Academiejaar 2011/2012 Ihoudsopgave 1 Kasruimte 1 1.1 Toevallige experimete................................. 1 1.2 De axioma s va Kolmogorov.............................
Nadere informatie2) Kegelsneden (in basisvorm)
) Kegelsneden (in sisvorm) In dit hoofdstuk werken we ltijd in een Euclidisch geijkt ssenstelsel. ) De rool Definitie De rool is de meetkundige lts vn de unten wrvoor de fstnd tot een gegeven unt F gelijk
Nadere informatieis het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b
1 Tweedimensionle Euclidische ruimte 11 Optelling, verschil en sclire vermenigvuldiging = ( b, ) b, is de verzmeling vn lle koppels reële getllen { } Zols we ons de reële getllen kunnen voorstellen ls
Nadere informatieKanstheorie. 2de bachelor wiskunde Vrije Universiteit Brussel. U. Einmahl
Kastheorie 2de bachelor wiskude Vrije Uiversiteit Brussel U. Eimahl Academiejaar 208/209 Ihoudsopgave Kasruimte. Toevallige experimete..................................2 De axioma s va Kolmogorov.............................
Nadere informatieAnalyse 2 - SAMENVATTING
Aalyse 2 - SAMENVATTING willem va ravestei ihoudsopgave 01. Rije, eigeschappe e stellige 02. Deelrije, Cauchy, meetkudige e telescopische rij 03. Coverget of diverget? 04. Altererede rije e het wortelcriterium
Nadere informatiePolynomen groep 2. Trainingsweek, juni Complexe nulpunten. Een polynoom is van de vorm P (x) = n
Polyome groep 2 Traiigsweek, jui 2009 Complexe ulpute Ee polyoom is va de vorm P (x) = i=0 a ix i, met coëfficiëte a 0, a 1,..., a, die uit ee gegeve verzamelig kome (meestal Z of R). Als alle coëfficiëte
Nadere informatieBereik en waardering RTV Dordrecht - Herhalingsmeting
Bereik e wrderig RTV ordrecht - Herhligsmetig Socil Geogrfisch Bureu bureu voor beleidsoderzoek e sttistiek ordrecht drs. F.W. Witerwerp drs. J.M. Schiff september 2006 Colofo Opdrchtgever Tekst rukwerk
Nadere informatieenergiedeskundige berekend energieverbruik (kwh/rn Dit certiflcaat is geldig tot en met 1 november 2021 softwareversie 1.33
l p 111W II ll I type open bebouwing bestemmng eengezinswoning postnummer 1790 gemeente Affligem nummer 43 bus Dit certiflct is geldig tot en met 1 november 2021 dtum: 01-11-2011 hndtekening: 0 50 100
Nadere informatieEen toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek.
006 Wolters-Noordhoff bv Groige/Houte De steekproefomvag Ee toelichtig op het belag e het berekee va de steekproefomvag i marktoderzoek. Ihoud 1 Ileidig Eerst ekele defiities 3 Steekproefomvag e respose
Nadere informatieInternetopgaven hoofdstuk 8
Internetopgven hoofdstuk 8 IO.8.1 Zie onderstnde MVA-stt vn Anders BV, producent vn kunststof kozijnen. MVA stt Anders BV Omschrijving Anschf Anschf Afschrijvings- Boekwrde Afschrijving Boekwrde dtum wrde
Nadere informatieF G H I J. 5480
() Nm : Kls: Dtum: A. 06 Uit ln + ln( ) = ln volgt dt gelijk is n ) ) ) ) ) g.v.d.v. B. 77 + b ) b ) (+ is gelijk n b ) ) b) ).b b F. 7 kn ook geschreven worden ls ) e ) e ) e ( ) ln e ) ) e G. 7 9 Als
Nadere informatieKennismaken. Wie zitten er bij jou in de klas? 4. Welke afspraken maak jij met je klas? 8
Kennismken 1 2 + + Wie zitten er bij jou in de kls? 4 Welke fsprken mk jij met je kls? 8 Plusopdrcht 11 Thuisopdrcht 12 Meesterproef bij dit hoofdstuk 74 Help je klsgenoot met kennismken! Een nieuw schooljr,
Nadere informatieEquidistributie en ergodiciteit
Equidistributie e ergodiciteit Michiel Lieftik, Wouter Rieks, Mike Daas 9 december 207 Ileidig Beschouw ee situatie waari me ee grote verzamelig umerieke data tot zij beschikkig heeft Ee vraag die me zich
Nadere informatie2. Limiet van een rij : convergentie of divergentie
2. Limiet va ee rij : covergetie of divergetie 2. Eigelijke of eidige limiet 2.. Voorbeeld I ee bos staa 4 bome. De diest bosbeheer zal jaarlijks 2% bome kappe e ieuwe aaplate. Zal het bos verdwije? Zal
Nadere informatieIntegraalrekening. Georg Friedrich Bernhard Riemann Breselenz 17 september 1826 Selasca 20 juni 1866
Iegrlrekeig Georg Friedrich Berhrd Riem Breselez 7 sepemer 86 Selsc jui 866 Heri Léo Leesgue Beuvis 8 jui 875 Prijs 6 juli 94 I de wiskudige lyse geef de iegrl v ee posiieve fucie ee uwkeurige eekeis he
Nadere informatieVOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS
VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodelle e ormaal verdeelde steekproefgroothede 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1.
Nadere informatieMatrixrekening - Samenvatting
I. Ekele defiities Ee mtri is ee tel v getlle trirekeig - Smevttig = i m j i m ottie = ( De i-de r v estt uit: i i De j-de kolom v estt uit: j Het (i,j-de elemet v is het elemet o de i-de r e de j-de kolom:.
Nadere informatieVOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 6. Proporties. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert
VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1. Ee ieuwe aam voor ee gekede grootheid...2
Nadere informatie2 Opgaven bij Hoofdstuk 2
2 Opgven bij Hoofdstuk 2 Opgve 2. De functie f : R 2 R is gedefinieerd door ) Bewijs dt f continu is op R 2 \ {(, )}. f(, y) = 2 y 2 + y 2 ls (, y) (, ) f(, ) =. b) Bewijs dt voor iedere R de functie y
Nadere informatieModerne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B
Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen
Nadere informatiex z vonden we dat de z-score aangeeft hoeveel standaardafwijkingen de waarde
PW11: Betrouwbaarhedstervalle Bj de stude va de ormale verdelg hebbe we geze dat volgede belagrjke 68-95 - 99.7 regel geldt: Ogeveer 68% va de waaremge lgt be ee afstad va Ogeveer 95% va de waaremge lgt
Nadere informatieVideoles Discrete dynamische modellen
Videoles Discrete dyamische modelle Discrete dyamische modelle Orietatie Algebraisch Algebraisch/ umeriek Numeriek Maak de volgede rijtjes af: Puzzele met rijtjes a. 2 4 6 8 10 - b. 1 2 4 8 16 - c. 1 2
Nadere informatieGetaltheorie. een introductie
Getltheore ee troducte 1 Iledg Getltheore s ee v de oudste deelgebede de wskude I het oude Grekeld, Itlë, Id, Ch e og vele dere lde vde we broe v de eerste wskudge de gehele getlle bestudeerde Zo hebbe
Nadere informatie