Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek

Transcriptie

1 Vrije Uiversiteit Brussel Faculteit Weteschappe Waarschijlijkheidsrekeig e Statistiek P. de Groe Syllabus voor het college i Waarschijlijkheidsrekeig e Statistiek i de Tweede Kadidature Weteschappe, Iformatica, Toegepaste Iformatica, Natuurkude, Scheikude, Biotechologie, Biologie, Geologie e Geografie i het jaar 3.

2 Ihoudsopgave Ileidig 4. Waarschijlijkheidsrekeig versus statistiek Beschrijvede statistiek Variabele e datatype Het Histogram Percetiele e de mediaa Gemiddelde e stadaarddeviatie Meerdimesioale data Het rekee met experimetele resultate... 5 Ileidig tot de Kastheorie 8. Rekee met kase Ileidig Het verzameligsmodel Voorwaardelijke waarschijlijkheid De formule va Bayes.... Stochastische variabele e hu kasverdelig..... Stochastische variabele..... Eigeschappe va ee verdeligsfuctie Cotiue e discrete verdelige Percetiele Kasvectore e oafhakelijke stochastische variabele Verwachtigswaarde e stadaardafwijkig Ketalle va locatie, schaal e vorm Ketalle va locatie Ketalle va schaal Ketalle va vorm Covariatie e correlatiecoëfficiët Empirische e theoretische groothede, ee overzicht Belagrijke Verdelige De Biomiaalverdelig Beroulli-experimete Permutaties e de formule va Stirlig Combiaties De Biomiaalverdelig De wet va de grote getalle (de Moivre 78) De hypergeometrische verdelig De Geometrische verdelig De Poissoverdelig e Poissoicidetestrome De Poissoverdelig Poissoicidetestrome... 56

3 INHOUDSOPGAVE 3.5 De expoetiële verdelig De expoetiële verdelig De risico verhoudig De Gamma-verdelig Uiforme verdelige e radom getalle De discrete uiforme verdelig De cotiue uiforme verdelig Radom getalle De Normale Verdelig Ileidig De stadaard-ormale verdelig N µ De algemee ormale verdelig N µσµ Beaderige met de ormale verdelig Trasformatie va de dichtheidsfuctie va ee kasvector Normaal verdeelde radom getalle De ormale verdelig i verscheidee dimesies De Chi-kwadraat, Studet-t e Fisher-Sedecor Verdelige De Chi-kwadraat verdelig De t-verdelig De F m -verdelig Ileidig tot de Statistiek Parameterschattige e betrouwbaarheidsitervalle Methode voor het bepale va schatters Het schatte va de verwachtigswaarde va ee ormale verdelig als σ beked is Het schatte va de variatie va ee ormale verdelig Het schatte va het gemiddelde va ee ormale verdelig Het schatte va ee percetage Hypothesetoetse De t-toets voor éé groep De χ -toets voor de variatie i éé groep De F-toets, het vergelijke va variaties i twee groepe De t-toets voor het vergelijke va gemiddelde i twee groepe (Eg. two-group t-test) Verbode steekproeve De macht va ee toets voorbeeld : de tweezijdige t-toets Voorbeeld : de paraormale begaafdheid De chi-kwadraat toets op ee kasverdelig De chi-kwadraat toets op ee kasverdelig Toets op ee verdelig met geschatte parameters Kruistabelle De Kolmogorov-Smirov Toets Correlatie- e regressieaalyse 9 5. Kleiste-kwadrateprobleme Meetkudige iterpretatie Verbeterig va de umerieke stabiliteit Ee stochastisch model met éé oafhakelijke variabele Oefeige 6 7 Software SPSS, Ee summier overzicht va ee aatal faciliteite... 53

4 INHOUDSOPGAVE Ileidig Het werkblad (data editor) Het FILE-meu Aamake va kolomme e ivoere va data Wege e selectere va data Trasformatie va data Grafische weergave va de data Beschrijvede statistiek t-toetse Toetse met de χ verdelig Regressie e correlatieaalyse De Kolmogorov-Smirov toets Het Sytax Widow Statistische faciliteite i Excel Ileidig Het ivoere va data Beschrijvede Statistiek F- e t-toetse Kruistabelle e de χ -toets op ee kasverdelig Het berekee va statistische fucties Tabelle 6 8. Ileidig, afrodfoute e lieaire iterpolatie Afrodfoute, afwijkige tusse de exacte waarde e de tabelwaarde Lieaire iterpolatie De biomiaalverdelig X B pµ De Poissoverdelig X P λ µ De stadaard ormale verdelig Z N µ De χ -verdelig X χ ; is het aatal vrijheidsgrade De t-verdelig T t ; is het aatal vrijheidsgrade De F-verdelig F F m Idex 8

5 Hoofdstuk Ileidig. Waarschijlijkheidsrekeig versus statistiek Waarschijlijkheidsrekeig is ee wiskudige disciplie, otwikkeld als abstract model e gebaseerd op axioma s; coclusies worde deductief afgeleid uit de basispricipes. I de statistiek gaa we iductief a of ee zeker kastheoretisch model toepasbaar is op oze waaremige; absolute zekerheid hierbij kue we ooit bereike. Als we bijvoorbeeld oze wistkase berekee voor ee dobbelspel met eerlijke stee (iedere uitkomst heeft kas 6 ) zij we bezig met waarschijlijkheidsrekeig. Als we echter tijdes het spel merke dat de zes te vaak uitkomt e gaa twijfele aa de eerlijkheid va ee dobbelstee, behadele we ee statistisch probleem. Kasrekeig geeft atwoorde op vrage als: wat is de kas dat ik ee zes gooi bij het dobbele? wat is de kas dat ik met ee mut de elfde maal kop gooi als ik al tie maal kop gegooid heb? wat is de kas dat ik slaag voor mij exame statistiek (= als ik goed studeer)? De volgede vrage zij va meer statistische aard: ik heb maal met ee mut gegooid e vod 6 maal kop. Is die mut eerlijk (kas op kop of mut is )? ee met kustmest behadelde akker bregt 5.8 to per hectare op e ee zoder maar 4.9 to/ha. Is dit verschil sigificat? zij de gecostateerde leukemiegevalle i de dorpe rod Sellafield (GB) e La Hague (F) te wijte aa toevallige (overal voorkomede) oorzake of is er daar sprake va ee statistisch sigificat groter risico op deze ziekte? Voor ee degelijk atwoord op ee statistische vraag is het oodzakelijk ee goed kastheoretisch model ter beschikkig te hebbe voor het berekee va ee atwoord e voor het ischatte va de mate va relevatie erva, zoals blijkt uit het volgede voorbeeld. Twee docete, Stef e Pieter, beoordele beide oafhakelijk va elkaar hetzelfde statistiekexame va twaalf studete met het volgede resultaat: Pieter Stef Pieter Stef Ja 7 8 Rudger 6 8 Veerle 9 Eva 4 6 Wim 6 8 Herwig Moique 3 Ivo 3 Kees 4 3 Fred Taja 3 Dirk 4 6 4

6 HOOFDSTUK. INLEIDING 5 Bij het zie va deze uitslage komt de vraag op of Pieter (gemiddeld) eve hoge cijfers geeft als Stef. We kue iet verwachte dat de beoordelig va ieder exame apart ee gelijk resultaat zal oplevere als beide eve streg zij. We kue wel verwachte dat (i dat geval) de kase op ee positief of egatief verschil gelijk zulle zij. M.a.w. het experimet, Laat Pieter e Stef ieder het exame va ee studet beoordele e kijk of het verschil da wel is, is te modellere met het werpe va ee eerlijke mut met kas op kop. De kas op de gebeurteis Pieter geeft bij exames driemaal of mider ee cijfer groter of gelijk aa dat va Stef is da gelijk aa de kas op het gooie va drie of mider maal kop bij twaalf worpe met ee mut. De kas hierop is (zoals we later zulle zie): % We cocludere dat keelijk de kas, dat Pieter exames eve streg als of milder da Stef beoordeelt, 7.3% is. Met vrij grote zekerheid (9.7%) geeft hij dus lagere cijfers. I dit voorbeeld hebbe we allee gekeke aar de kere dat het cijfer groter of gelijk da wel kleier was e daarop os model gebouwd zoder te lette op de grootte va de verschille; we hebbe ee zogeaamde verdeligsvrije statistiek gebruikt. We zoude ook kue kijke aar de grootte va de verschille e ee uitspraak probere te doe over het gemiddelde verschil maar da moete we veroderstellige gaa make over de kase op alle mogelijke verschille. De statistische uitsprake kue da veel preciezer worde, maar misschie zij ze gebouwd op los zad doordat de veroderstellige iet kloppe! Dit voorbeeld laat zie dat ee statistische uitspraak gedaa wordt aa de had va ee (abstract) model uit de waarschijlijkheidsrekeig. De geldigheid va va de uitspraak staat of valt met de toepasbaarheid va het model, maar zoder model zij er helemaal gee uitsprake te doe. Het gevolg is dat ee groot deel va deze syllabus (tweederde) gewijd is aa modelle uit de kasrekeig die we odig hebbe i statistische toepassige uit het laatste deel.

7 HOOFDSTUK. INLEIDING 6. Beschrijvede statistiek.. Variabele e datatype De methode om systematisch empirische keis te verwerve zij i alle weteschappe dezelfde. We doe waaremige aa of experimete met het object va oze studie e trachte er met mathematische e statistische methode uitsprake over te doe, classificaties te make e verbade te zoeke. De verzamelde gegeves kue zeer verschilled va aard zij. Neem bijvoorbeeld ee groep K studete. We otere aam (X ), geboortejaar (X ), ee aatal fysieke kemerke zoals geslacht (X ), kleur haar (X 3 ), kleur oge (X 4 ), gewicht (X 5 ), legte (X 6 ), ee aatal studiekemerke zoals studierichtig (X 7 ), gemiddeld examecijfer i K (X 8 ), gemiddeld examecijfer bij het eidexame HSO (X 9 ), e og veel meer. Deze gegeves kue we ordee i ee tabel va de vorm: X X X X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 aam geboorte sexe haarkleur kleur oge gewicht legte studie gem. K gem. HSO jaar V= zwart= brui= kg cm ifo= op op M= brui= blauw= at= blod= grijs= sch= rood=3 groe=3 bio=3 Ja Jasse Irma Douce Tabel.: Ee multivariate dataset De gegeves i deze tabel zij zeer verschilled va aard. De eerste kolom X bevat ee rij karakters, die de meselijke lezer associeert met de aam va ee persoo maar die voor de statistische verwerkig betekeisloos is. De kolomme (of variabele) X X 4 e X 7 hebbe discrete waarde (duide categorieë aa) maar allee de waarde va X hebbe ee atuurlijke ordeig, bij de adere is de keuze va de waarde of 3 volledig arbitrair. We oeme X X 3 X 4 e X 7 daarom omiale variabele of categorale variabele e X ee ordiale variabele. De variabele X 5 X 6 (legte e gewicht) e X 8 X 9 (gemiddelde examecijfers) kue als cotiu beschouwd worde (evetueel bie ee gegeve iterval). Er is echter ee verschil tusse X 5 X 6 eerzijds e X 8 X 9 aderzijds. De uitspraak dat ee ma gemiddeld 5% zwaarder is da ee vrouw of dat Ja cm groter is da Irma zij zivol, maar de uitspraak dat het gemiddelde examecijfer va Ja 5% beter is da dat va Irma is oses. Cotiue variabele zoals X 8 X 9 oeme we iterval variabele e X 5 X 6 oeme we schalede variabele of ratio variabele. Samevatted, i de statistiek oderscheide we de volgede datatype: omiaal of categoraal de waarde duide ee klei aatal categorieë aa zoder atuurlijke ordeig, ordiaal... eriseeklei aatal waarde met ee atuurlijk ordeig, maar de verschille hebbe gee betekeis, iterval... dewaarde variëre cotiu bie ee iterval, de verschille hebbe ee kwatitatieve betekeis, maar verhoudige iet ratio of schaled... dewaarde variëre cotiu e verschille zowel als verhoudige zij zivol. I deze cursus zulle we vrijwel uitsluited ratio variabele gebruike.

8 HOOFDSTUK. INLEIDING 7.. Het Histogram Stel, we hebbe de legte va persoe gemete e de resultate, afgerod tot op hele cetimeters, afgedrukt i tabel.. We hebbe dus ee steekproef uit de verzamelig va legte (b.v. va volwasse maelijke iwoers va België) met ee steekproefomvag Tabel.: Hoderd legtemetige Erg veel iformatie geeft zo tabel va ruwe gegeves iet; met ame is het uit deze tabel moeilijk af te leze wat de meest voorkomede legte is e waar de uiterste ligge. Dezelfde gegeves, maar u gesorteerd op grootte zoals i tabel.3, geeft veel meer iformatie. We zie omiddellijk dat alle metige i het iterval 45 ligge e dat waarde i de buurt va.75 het meest voorkome Tabel.3: Dezelfde hoderd legtemetige gesorteerd Voor ee overzicht is het beter de gegeves i ee aatal klasse (meestal 5 tot 3) i te dele. Hiertoe kieze we ee klassebreedte, b.v.., we verdele het relevate iterval i halfope deelitervalle va deze legte, b.v. 45 ; 56 ; e we telle de frequeties, d.w.z. het aatal kere dat ee metig i ee bepaald deeliterval valt, zie tabel.4. Klasse Odergres () Bovegres () Frequetie Percetage % % % % modale klasse % % 7.. % 8.. % Tabel.4: legtemetige verdeeld i 8 klasse, klassebreedte. Grafisch kue we deze klasseidelig weergeve i ee histogram. Op ieder deeliterval richte we ee rechthoek op waarva het oppervlak everedig is met de frequetie va de betreffede klasse. I

9 HOOFDSTUK. INLEIDING 8 figuur. zij histogramme afgebeeld, behored bij de data va tabel.. Liks is klassebreedte. gekoze e rechts.5. Zoals U ziet ka de vorm va het histogram vrij sterk va de keuze va de klassebreedte afhage. Voor de gegeve dataset va tabel. kue we ook de empirische verdeligsfuctie tekee. Bij gegeve dataset x x x va metige wordt deze gedefiieerd door F #x i x i x xµ : (.) i woorde : het aatal metige x gedeeld door het totale aatal. I figuur. is deze weergegeve voor de data va tabel.. Deze fuctie is ee trapfuctie die i de pute x i ee sprog maakt. Als we alle metige op ee briefje schrijve, alle briefjes i ee hoed stoppe e er (ogezie) ee uit trekke, da is F xµ de kas dat het briefje ee getal bevat x. 3 klassebreedte. 5 klassebreedte Figuur.: Histogramme va de legtemetige met klassebreedte. resp Figuur.: De empirische verdeligsfuctie voor de legtemetige va tabel....3 Percetiele e de mediaa. I de praktijk wille we vaak ee atwoord op de omgekeerde vraag: voor welke waarde va x is 5% (of 5% of 9%) va de metige kleier da of gelijk aa x. We make bijvoorbeeld deure zo hoog dat (mistes) 99.9% va de mese zij hoofd iet zal stote e we moete dus wete waar die gres ligt. Bij gegeve α zoude we het α%-percetiel met α wille defiiëre als het put ξ α waarbeede α% va de metige ligge; we zoeke dus de iverse fuktie va de fuktie F uit (.). Omdat we maar ee eidig aatal metige hebbe e F costat is tusse ieder tweetal opeevolgede metige, bestaat zo iverse fuktie echter iet (of mistes iet overal). Als we bijvoorbeeld

10 HOOFDSTUK. INLEIDING 9 de mediaa (dit is het 5%-percetiel) va de metige va tabel.3 wille bepale, da vide we x 5 73 e x 5 74, zodat voor iedere x tusse deze twee waarde het percetage metige ter liker zijde gelijk is aa 5%. Voor ee eeduidige waarde kieze we i dit geval het midde tusse deze twee pute als mediaa. Als we echter i deze dataset de laatste metig x 5 schrappe, omdat deze legte zeer uitzoderlijk is e het getal i deze tabel dus waarschijlijk ee meet- of typefout is, da houde we 99 metige over; 5% erva geeft aaleidig tot het beschouwe va schimmige halve metige. Bovedie is er gee put ξ te vide zo, dat precies 5% va de metige kleier da of gelijk aa ξ is e ook 5% groter da ξ. I dit geval defiiëre we de mediaa da als het put waar de sprog va kleier da 5% aar groter gemaakt wordt: : Dus, als x x x da defiiëre we x als oeve med x x (.) als eve De mediaa is dus i feite de middelste waaremig, waarbij we dit begrip middelste iterpretere als het gemiddelde va de twee middelste als het aatal waaremige eve is. Voor ee defiitie va het (empirische) α%-percetiel ξ α doe we i feite hetzelfde. We defiiëre dit als de α µ-de waaremig. Als p α : µ geheel is, is dit dus x p. Als dit getal iet geheel is kue we er het gehele deel p : α µ e het overschot ρ α : µ p va bepale. Het put ξ α zal da erges tusse x p e x p i ligge e wel zo dat de afstad tusse deze pute eerlijk verdeeld wordt aar rato va het overschot ρ. We defiiëre het α%-percetiel ξ α dus als ξ α : x p ρ x p x p µ met p : α µ e ρ α : µ p Merk op, dat het gee zi heeft om te spreke va ee α%-percetiel met α of α. Teslotte kue we i plaats va procete ook fracties (tusse ul e ee) beschouwe; we spreke da va quatiele. Het. quatiel is dus het % percetiel Figuur.3: Boxplot voor de data va tabel. De meest gebruikte empirische percetiele zij die op 5% (de mediaa), 5% e 75% (het likerresp. rechter kwartiel). Het verschil tusse het liker e rechter kwartiel heet het (empirische) iterkwartiel e is ee maat voor de spreidig va de metige. Grafisch kue we deze tesame met het totale bereik va de metige samevatte i ee box-plot. Hierbij wordt (horizotaal of vertikaal) ee as geteked gaade va de kleiste metig aar de grootste (dit is de totale variatiebreedte), op deze as worde de mediaa e de 5% e 75% percetiele aagegeve met ee dwarse streep e va het stuk tusse de 5% e 75% percetiel wordt ee doosje gemaakt, zie figuur.3. Hiermee geve we op zeer compacte wijze visueel weer wat de totale variatiebreedte is tegeover de breedte va de middelste 5% (het empirische iterkwartiel). Vooral als we verscheidee datasets met elkaar wille vergelijke, zoals i figuur.4, ka dit ee goed visueel hulpmiddel zij voor het weergeve va plaats e schaal va de verschillede datasets. I SPSS e adere softwarepakkette, wordt dit og iets verfijd. De doorgetrokke asse rechts

11 HOOFDSTUK. INLEIDING e liks va het doosje, omvatte allee de datapute die mider da.5 maal het iterkwartiel verwijderd zij va het rechter resp. het liker kwartiel. Metige buite dit gebied (ter legte va vier maal het iterkwartiel) worde als uitschieters (of uitbijters ; Eg. outliers of extremes ) beschouwd e afzoderlijk aageduid. Teslotte vermelde we, dat de modus va ee steekproef de meest voorkomede waaremig is. De modale klasse bij ee frequetieverdelig of ee histogram is de klasse die de meeste waaremige bevat...4 Gemiddelde e stadaarddeviatie. Meer og da mediaa e iterkwartiel worde gemiddelde e stadaarddeviatie gebruikt voor het geve va compacte iformatie over de liggig va de data e de schaal erva. I publicaties beperkt me zich meestal tot het geve va gemiddelde e stadaardafwijkig, zodat de lezer de afzoderlijke metige iet ees ket. Gemiddelde e stadaardafwijkig worde zo vaak gebruikt weges hu prettige rekekudige eigeschappe, zoals lieariteit, zie Ü..6. Naderhad zulle we ook zie dat de meest gebruikte verdelig, de ormale verdelig volledig gekarakteriseerd is door gemiddelde e spreidig e dat steekproefgemiddelde e stadaarddeviatie de atuurlijke schatters voor ormaal verdeelde data zij. Defiitie: Het gemiddelde x (steekproefgemiddelde) va de gegeves x x x is x : i x i (.3) I het voorbeeld va tabel.3 is de modus.6, de mediaa.735 e het gemiddelde.74. De modus behoeft iet eeduidig te zij; het ka voorkome dat verscheidee waarde eve vaak voorkome. Het gemiddelde is het gemakkelijkst te berekee maar erg gevoelig voor foute of uitschieters. Voor het bepale va de mediaa moete we oze gegeves sortere, maar deze grootheid is wel het meest robuust. Als we bijvoorbeeld i tabel.3 ee fout make e de decimale put i de laatste waaremig vergete, da verschuift het gemiddelde omiddelijk aar terwijl de mediaa iet veradert. Om de schaal va de gegeves (of de grootte va de putewolk rod gemiddelde of mediaa) weer te geve gebruike we meestal de variatie (of de wortel daarva, de stadaardafwijkig). De (empirische) variatie (Eg. sample variace) of steekproefvariatie va ee steekproef x x x is s : i x i xµ x i x i (.4) waarbij x het steekproefgemiddelde is zoals gedefiieerd i (.3). Om ee grootheid te hebbe, die ee gelijke dimesie heeft als de gegeves zelf gebruike we vaak de stadaardafwijkig, stadaarddeviatie of spreidig s (Eg. stadard deviatio), welke de wortel is uit de variatie s. Als bijvoorbeeld oze gegeves legte zij, uitgedrukt i ich, da wordt s (de stadaardafwijkig) ee legte eveees uitgedrukt i ich terwijl de variatie da ee oppervlak is; als we de gegeves vervolges herschale aar cm door ze te vermeigvuldige met.54 moete we s met dezelfde factor vermeigvuldige, terwijl de variatie met het kwadraat va.54 vermeigvuldigd moet worde. Ee slechte maar veelgebruikte alteratieve maier om de steekproefvariatie te berekee is s : x i x (.5) i immers, i x i x i i x i xµ ix i x x i x xµ x i I sommige boeke wordt deze formule zelfs aagepreze als superieur aa (.4), omdat er mider optellige voor odig zij. Zij heeft echter ee probleem, dat het resultaat zeer oauwkeurig ka zij te gevolge

12 HOOFDSTUK. INLEIDING va afrodig. Als we met x x d de afrodig va het gemiddelde otere e deze afgerode waarde gebruike om de steekproefvariatie te berekee da vide we i x i xµ i x i x i x i x dµ i x i xµ d i x i xµ d aµ i x i x dµ i x i x µ xd d bµ De tweede term i het rechterlid va (a) is ul, zodat de fout i de som te gevolge va de afrodig d is. De tweede term i het rechterlid va (b) is iet ul (tezij x µ e ka zeer groot zij als het gemiddelde x groot is t.o.v. de steekproefvariatie. Allee al de afrodig va x geeft i (b) dus extra bijdrage aa de fout t.o.v. (a). Maar zelfs als je het gemiddelde exact kut berekee, heb je i (b) og altijd het cijferverlies te gevolge va de aftrekkig va twee grote positieve e bija gelijke getalle als het gemiddelde groot is t.o.v. de steekproefvariatie. Formule (b) is dus altijd iferieur aa (a) e ka beter iet gebruikt worde i de praktijk. Ee belagrijke eigeschap va het koppel formules voor gemiddelde x e steekproefvariatie s,isde kleiste kwadrate eigeschap, dat het gemiddelde x de som va gekwadrateerde afwijkige J gµ : i x i gµ (.6) miimaliseert e dat dit miimum precies gelijk is aa s. Omdat de afgeleide i het miimum ul is, vide we door differetiatie iderdaad dj dg gµ i x i gµ µ g x i i We kue dit ook bewijze door het gewoo uit te schrijve x i g x i x x g, i x i gµ i xµ i x x i xµ x gµ x gµ i x i xµ x gµ ; de som va de dubbele producte is ul e x gµ is altijd positief e ul i het miimum g x. Adere gebruikelijke ketalle va schaal zij het bovevermelde (empirische) iterkwartiel, de afstad tusse het 5% e het 75% kwartiel, e de mediae absolute afwijkig ( Media Absolute Deviatio of MAD) e de gemiddelde absolute afwijkig ( mea absolute deviatio of MeaAD), de mediaa resp. het gemiddelde va de (absolute) afwijkige t.o.v. de steekproefmediaa: MAD : mediaax i med i e MeaAD : x i med (.7) i Ga a dat de helft va de waaremige tusse med MAD e med MAD ligt e dat ook de MAD dezelfde dimesies heeft als de data...5 Meerdimesioale data I tabel.5 staa de cijfers die studete Iformatica (I I3) e Biotech (B B) behaalde bij het schriftelijk exame e bij de computerproef i april 98. Deze data zij tweedimesioaal omdat er voor iedere studet twee cijfers zij; bovedie betreft het twee groepe studete. I Ü 4. zulle we methode behadele om de twee cijferreekse e de twee groepe met elkaar te kue vergelijke. De ketalle bij deze dataset vide we i tabel.6. De resultate va de groepe Iformatica e Biotech uit deze tabel kue we kwalitatief sel met elkaar vergelijke door er ee boxplot va te make, zie figuur.4: Tot oze verbazig zie we dat de iformaticastudete juist de computerproef gemiddeld veel slechter dede da de biotechstudete e dat ook de resultate va het schriftelijk exame iets lager lage. I Ü 4.

13 HOOFDSTUK. INLEIDING St CP SE St CP SE St CP SE St CP SE St CP SE B 7 B 7 7 I 8 I 8 I3 7 4 B 7 B3 7 3 I 5 I3 3 I4 7 4 B 5 6 B4 4 6 I 6 6 I4 I5 3 4 B4 5 5 B5 6 I4 7 5 I5 5 4 I6 3 B5 6 B6 5 5 I5 8 6 I6 7 7 I7 9 B6 5 8 B7 8 6 I6 9 I7 5 6 I8 6 5 B7 4 6 B8 3 9 I7 5 3 I8 8 I9 4 3 B8 4 4 B9 I8 6 I9 3 4 I3 8 B9 9 B 4 3 I9 I 4 8 I3 4 3 B 4 B 6 3 I I 4 6 B B 5 7 I 5 3 I 4 7 Tabel.5: Geaoymiseerde resultate va het schriftelijk exame (SE) statistiek e de computerproef (CP) i april 98 voor studete Iformatica e Biotech. Ifo BioIr Algemee CP SE CP SE CP SE gemiddelde stadaarddeviatie modus &5 3& &5 3 miimum %-percetiel mediaa %-percetiel maximum Tabel.6: Ketalle voor de data i tabel.5. zulle we techieke behadele om te kue beslisse of de verschille sigificat zij, d.w.z. iet te wijte aa het toeval. Tusse de cijfers die eezelfde studet behaalt voor het schriftelijk exame e de computerproef, verwachte we ee verbad. I figuur.5 is voor iedere studet het cijfer va het schriftelijk exame uitgezet tege dat va de computerproef. We zie grofweg ee verbad; studete die goede cijfers behaalde voor het ee, behaalde ook goede cijfers voor het ader. Numeriek kue we dit verbad uitdrukke door de (empirische) covariatie e de correlatiecoëfficiët (Eg. sample covariace, sample correlatio). Als x : x i i e y : y i i twee series va metige zij (we kue ze beschouwe als vectore i de -dimesioale ruimte IR ) met gemiddelde x e y e stadaarddeviaties s x resp. s y, zie (.4), da zij cov x yµ : i x i xµ y i yµ e ρ x yµ : cov x yµ s x s y (.8) de empirische covariatie resp. correlatie tusse x e y. Twee datasets x e y hete ogecorreleerd als ρ x yµ ; aders hete ze gecorreleerd. Op dezelfde maier als i stellig.6. kue we late zie dat ρ ; dit is iets aders da de ogelijkheid va Cauchy-Schwartz i de lieaire algebra. Meetkudig is de correlatie ρ gewoo de cosius va de hoek tusse de vectore x x e y y (i IR ). I Ü 5 zulle we late zie hoe we bij deze data de best passede rechte y a bx (regressierechte) kue bepale zo, dat de residuele (empirische) variatie i y i a bx i µ miimaal is. Aaloog aa (.5) kue we de covariatie ook berekee met de alteratieve formule Om dezelfde rede als tevore is het gebruik hierva af te rade. cov x yµ : x i y i xy (.9) i

14 HOOFDSTUK. INLEIDING 3 CP-Ifo SE-Ifo CP-Bir SE-Bir Figuur.4: Boxplot va de cijfers va het schriftelijk exame (SE) statistiek i april 98 e de computerproef (CP) voor de studete Iformatica (Ifo) e Biotech (Bir). 8 x: Ifo +: Bir Figuur.5: Cijfers va het schriftelijk exame statistiek i april 98 (verticaal) uitgezet tege die va de computerproef (horizotaal) voor de studete Iformatica ( ) e Biotech ( ); correlatiecoëfficiët ρ 6. Meer algemee kue we de situatie tegekome waari we oafhakelijke waaremige hebbe va p groothede. Als voorbeeld geve we hier de bekede historische dataset va Bumpus uit 898 met metige va lichaamskarakteristieke va ee aatal (volwasse) musse. tabel.7 hieroder bevat ee deel va deze gegeves. Va iedere mus zij vijf lichaamskarakteristieke gegeve. We otere deze waaremige als ee p matrix X met compoete x i j i j p. Dus de rij x i x ip µ bevat de p compoete va de i de metig e de kolom x j x j µ bevat de (oafhakelijke) metige va de j de compoet. Als we simultaa ee uitspraak wille doe over p compoete va ee (p dimesioale) grootheid, zulle we meer da p metige moete doe; dus p. Het gemiddelde berekee we per kolom, x j : i x i j (.) De empirische covariatiematrix defiiëre we als de p p matrix S, waarva het jkµ elemet de (empirische) covariatie bevat tusse de j de e k de kolom va de datamatrix X, S jk : cov x j x k µ : i x ij x j µ x ik x k µ (.)

15 HOOFDSTUK. INLEIDING 4 ummer tot.legte spawijdte kop+bek humerus sterum Tabel.7: Lichaamskarakteristieke va ee aatal musse volges Bumpus (898) We zie dat S ee symmetrische matrix is, S jk S kj of S T S e dat het j de diagoaalelemet S jj va S de empirische variatie va de j de kolom va X bevat, S jj : s j i x ij x j µ De empirische correlatiematrix R krijge we door de elemete va S te herschale met de stadaarddeviaties va rij e kolom, S jk (.) ÕS jj S kk R jk : gemiddelde covariatiematrix correlatiematrix tot.legte spawijdte kop+bek humerus sterum Tabel.8: Gemiddelde, covariatiematrix e correlatiematrix va Bumpus data uit tabel.7 I het voorbeeld va Bumpus, tabel.8, zie we, dat de eerste vier variabele sterk met elkaar correlere e dat de correlatie va de afmetige va het sterum met de adere afmetige vrij klei is. I tabel.8 merke we op, dat alle getalle i de covariatiematrix bove de diagoaal oder de diagoaal terugkome vawege de symmetrie e dat i de correlatiematrix bovedie de diagoaal uit ee bestaat. I publicaties wordt daarom de ruimte i de covariatiematrix oder de diagoaal vaak gebruikt om de iet-triviale elemete va de correlatiematrix eer te schrijve, zoals i tabel.9.

16 HOOFDSTUK. INLEIDING 5 gemiddelde covariatiematrix correlatiematrix cursief tot.legte spawijdte kop+bek humerus sterum Tabel.9: Gemiddelde, covariatiematrix e correlatiematrix (cursief) va Bumpus data uit tabel.7..6 Het rekee met experimetele resultate I de praktijk hebbe we vaak het probleem, dat we de resultate va ee of meerdere series metige moete gebruike i ee berekeig. Noteer met X e Y de te mete groothede e met x : x i i e y : y i i de metige erva. Eigelijk zij we allee geïteresseerd i de gemiddelde x e y e stadaarddeviaties s x resp. s y va oze metige. I het dagelijkse laboratoriumwerk wille we de idividuele metige het liefst zo gauw mogelijk vergete e os beperke tot de waarde x va X met fout s x (i Ü 4.. Ü 4..5 zulle we als preciezere termiologie het betrouwbaarheidsiterval itroducere). Het is dus wel uttig om te wete wat er gebeurt met de fout, als we de som of het verschil x y, het product x y of ee fuctie f xµ va de meetresultate wille berekee. Om met het laatste te begie, we wese f xµ te gebruike i plaats va het gemiddelde f va f i : f x i µi om iet f x i µ te hoeve uitrekee voor iedere afzoderlijke meetwaarde. Wat is dus de relatie tusse f e f xµ? Voor het verschil geldt: f x i µ f f xµ i f xµ Als f tweemaal differetieerbaar is, kue we f x i µ met ee stukje Taylorotwikkelig beadere, f x i µ f xµ x i xµ f ¼ xµ x i xµ f ¼¼ ξ i µ ξ i tusseput tusse x i e x (.3) i zodat f f xµ f x i µ f xµ f ¼ xµ x i xµ i f ¼¼ ξ i µ x i xµ (.4) i De eerste term va het rechterlid is per defiitie ul. Als de tweede afgeleide va f begresd is door M op het relevate iterval (tusse mi i x i e max i x i ), da is de tweede term begresd door M maal de empirische variatie: f f xµ Ms x M : max f ¼¼ ξ i i µ (.5) I plaats va de (echte) steekproefvariatie s f va f f te bepale, rekee we liever de som va gekwadrateerde afwijkige t.o.v. f xµ uit, te eerste omdat we deze waarde wille gebruike i plaats va het (echte) gemiddelde f e te tweede omdat het ee eevoudiger expressie geeft. Volges (.6) ka deze som ooit kleier zij da s f. Met de middelwaardestellig vide we ee tusseput η i tusse x i e x, zodat f x i µ f xµ x i xµ f ¼ η i µ. Met D : max i f ¼ η i µ vide we da de ogelijkheid s f i f x i µ f xµ i xµ f i x ¼ η i µ D s x (.6) Als we voor D het maximum eme va f ¼ xµ op ee iterval dat alle datapute omvat, da is deze bovegres voor de stadaarddeviatie, s f Ds x, meestal meer da voldoede. Oder eige beperkede voorwaarde kue we ee preciezer verbad vide, amelijk dat de veraderig va de stadaarddeviatie door het toepasse va f op de data (ogeveer) everedig is met de hellig

17 HOOFDSTUK. INLEIDING 6 va f i x, s f f ¼ xµ s x. Als we de tweede orde Taylorotwikkelig (.3) gebruike, vide we de preciezere formule (zie ook het tweede bewijs va (.6)) f x i µ s f f i f x i µ f xµ i f ¼ xµ s x f f xµµ i xµ f i x ¼ xµ x i xµ f ¼¼ ξ i µ f f xµµ (.7) Als u x i xµ f ¼¼ ξ i µ veel kleier is da f ¼ xµ voor alle i, da is de som va kwadrate vrijwel gelijk aa f ¼ xµ s x. De tweede term i het laatste rechterlid is verwaarloosbaar t.o.v. de eerste volges (.5), als M s x klei is t.o.v. f ¼ xµ. We cocludere dat meestal voldaa is aa de gebruikelijke vuistregels, gemiddelde va f x i µ is gelijk aa f xµ e stadaarddeviatie va f x i µ is gelijk aa f ¼ xµs x. Je moet je er wel va bewust zij dat er uitzoderige zij, met ame als f ¼ xµ klei e/of s x groot is. Als we de mediaa preferere als ketal va locatie e de gemiddelde absolute afwijkig t.o.v. de mediaa als ketal va schaal, kue we eezelfde aalyse doe als f mootoo is op het iterval dat alle data bevat. Oder deze voorwaarde va mootoie is de mediaa va f x i µ gelijk aa f medµ, omdat f de volgorde iet veradert (of omdraait). Met gebruik va D uit (.6) vide we dat de gemiddelde afwijkig va f x i µ t.o.v. f medµ begresd is door D maal de gemiddelde afwijkig i x i, f x i µ i f medµ x i medµ f ¼ η i µd i x i medµ (.8) i Zoals i (.7) kue we oder voorwaarde late zie dat de gemiddelde afwijkig va f x i µ ogeveer gelijk is aa f ¼ medµ maal de gemiddelde afwijkig i x i (doe zelf). Vraag: wat is het verbad tusse de MAD va f x i µ e die va x i? Betreffede optelle e vermeigvuldige zulle we allee gemiddelde e stadaarddeviatie beschouwe voor de tweedimesioale dataset x i y i µi. Als we iets over de relatie tusse de volgorde va x i e y i wete, kue we iets zegge over de volgorde va som/verschil x i y i e product x i y i (ga a!). Som e verschil va gemiddelde is gelijk aa het gemiddelde va som resp. verschil (zoals je allag weet), i x y x i y i µ Voor de steekproefvariaties va som e verschil geldt ix i i y i x y (.9) s x y i i x i y i x yµ x i xµ i y i yµ x i xµ y i yµ i (.) s x s y cov x yµ Aagezie het rechterlid altijd positief is (zoals het likerlid), is cov x yµ s x s y. Dus vide we i alle gevalle de bovegres s x y s x s y µ (.) Als x e y iet gecorreleerd zij, is er gelijkheid: s x y s x s y (.)

18 HOOFDSTUK. INLEIDING 7 Als x e y iet gecorreleerd zij, is het product va de gemiddelde gelijk aa het gemiddelde va het product, wat i x i xµ y i yµ i x i y i yµ x i y i yµ Om ee idee te krijge va de variatie va het product gebruike we de idetiteit i x i y i xy x y i yµ y x i xµ x i xµ y i yµ x i y i xy e eme we aa dat de derde term x i xµ y i yµ hieri te verwaarloze is t.o.v. de adere twee (d.w.z. de stadaarddeviaties va x e y zij klei t.o.v. x e y). Voor de empirische variatie va het product vide we da: s xy x i y i xyµ x y i yµ y x i xµ x s y y s x i De som va het dubbele product is ul oder de voorwaarde dat x e y iet gecorreleerd zij. Dus i s xy x s y y s x (.3) als x e y iet gecorreleerd zij e hu stadaarddeviaties klei zij t.o.v. hu gemiddelde. Zie ook de aaloge formules (.46)-(.47)-(.48).

19 Hoofdstuk Ileidig tot de Kastheorie. Rekee met kase.. Ileidig U heeft ee ituïtief idee va het begrip kas. De weerma zegt dat de kas dat het morge reget 5% is; de sportjouralist zegt dat wij (of os elftal) 4% kas hebbe om va de Holladers te wie; u gooit met ee dobbelstee e zegt dat de kas op ee 6 gelijk is aa /6; u trekt ee kikker uit ee hoed met vijf witte e zwarte kikkers e zegt dat de kas op ee witte 5/6 is. I de hoed va het laatste voorbeeld kue we kikkers toevoege tot we er W witte, R rode, Z zwarte, etc... hebbe. Als N W R Z da kue we uitrekee dat de kas om ee witte kikker te trekke gelijk is aa W N e de kas op ee rode R N. Het trekke va ee rode kikker is ee gebeurteis die plaats grijpt met kas R N e evezo voor zwart e wit met resp. kase Z N e W N. De kas op ee witte of zwarte kikker is keelijk W Z W N N Z (.) N e dus gelijk aa de som va de kase afzoderlijk. Het optelle va kase mag iet altijd: i ee groep va 5 studete, waarva er 5 biologie e 35 scheikude studere, zij er meisjes; wat is de kas dat ee (willekeurig gekoze) studet uit deze groep vrouwelijk is of biologie studeert? Het eige wat we kue zegge is, dat deze kas mistes /5 e hoogstes 7/ is; zomaar optelle va de kas op ee biologiestudet e de kas op ee meisje is er iet meer bij omdat vrouwelijke biologiestudete (de doorsede va beide groepe) da dubbel geteld zoude worde. We kue hier de termiologie va de verzameligeleer toepasse. Als Ω de betreffede groep studete is met M e V de verzamelige va maelijke e vrouwelijke studete e met S e B resp. de scheikudee biologiestudete, da geldt S B M V Ω Als x ¾ Ω ee willekeurig gekoze studet is, da is de kas, dat x ee scheikude studet is, gelijk aa 35/5; we otere de kas dat x ¾ S (dus, dat x ee scheikude studet is) met: e evezo: P Sµ 7 P Mµ 6 P V µ4 P Bµ 3 De kas uit Ω ee studet te trekke is keelijk e de kas op ee iet-studet ul (wat is de kas dat x ¾ Ω iet studeert?), zodat P Ωµ P /µ (.) 8

20 HOOFDSTUK. INLEIDING TOT DE KANSTHEORIE 9 De deelverzamelige M e V zij elkaars complemet (eveals S e B) e we zie P Mµ P V µ (.3) Om de kas P x ¾V Bµ uit te rekee moete we het aatal studete i deze verzamelig kue bepale: dit hagt af va het aatal vrouwelijke biologiestudete N VB : Hieruit volgt de algemee optelregel N VB N V N B N VB P x ¾ V Bµ P x ¾ V µ P x ¾ Bµ P x ¾ V Bµ (.4) I het bijzodere geval (.) hebbe W e Z ee lege doorsede... Het verzameligsmodel Zoals bove gesuggereerd kue we het rekee met kase modellere met verzamelige waarop ee kasfuctie P is gedefiieerd. Laat Ω de verzamelig va uitkomste of elemetaire gebeurteisse zij va ee experimet (b.v. bij het werpe met ee dobbelstee: Ω 3456), da is ee gebeurteis A ee deelverzamelig va Ω A Ω. Voor iedere gebeurteis A is er ee kas(fuctie) P Aµ gedefiieerd met waarde tusse e. We hebbe de volgede eigeschappe (axioma s) odig:. Er is ee collectie gebeurteisse (ee collectie deelverzamelige va Ω) zo, dat a. / eω zij gebeurteisse: / ¾ e Ω ¾, b. als A ee gebeurteis is, da is ook zij complemet ee gebeurteis, A ¾ µ A c Ω Ò A ¾ c. A e B gebeurteisse, da is ook A B ee gebeurteis, AB ¾ µ A B ¾. Er is ee kasfuctie P op gedefiieerd met de eigeschappe: a. P Aµ voor alle A ¾, b. P /µ ep Ωµ, c. AB ¾ e A B / µ P A Bµ P Aµ P Bµ. Voorbeeld.. Bij ee worp met ee dobbelstee is Ω 3456 de verzamelig uitkomste. De kas op ee elemetaire gebeurteis, b.v. P 3µ, gelijk aa /6. Ga zelf a dat dit model voldoet aa de bove gegeve regels. Opmerkig.. Als Ω oeidig veel elemete bevat zal de collectie i het algemee iet alle mogelijke deelverzamelige va Ω bevatte. We moete da uitbreide tot aftelbare vereigige: c ¼. A i ¾ c ¼. A i ¾ i 3 µ µ i A i ¾, e A i A j / i j i jµ µ P A i i i P A i µ. Uit geoemde eigeschappe of axioma s volgt:. Als A e B gebeurteisse zij, da ook A B A c B c µ c,

21 HOOFDSTUK. INLEIDING TOT DE KANSTHEORIE. Ee bewijs va de optelregel gaat als volgt: A A Bµ A Ò Bµ met A Bµ A Ò Bµ / A B A Ò Bµ B met A Ò Bµ B / zodat P A Bµ P A Ò Bµ P Bµ P Aµ P Bµ P A Bµ 3. Ee bewijs va de complemetregel gaat als volgt: Ω A A c e A A c / zodat P Ωµ P Aµ P A c µ Voorbeelde..3 ) Ee kaart trekke uit ee kaartspel: P aasµ P harte of boerµ P harteµ P boerµ P harteboerµ ) Werpe met twee dobbelstee: Ω µ µ µ 66µ e bevat 36 elemete. P som der oge = 6µ P 5µ 4µ 33µ 4µ 5µµ 5 36 P som der oge is eve of ee drievoudµ?..3 Voorwaardelijke waarschijlijkheid Hoe groot is de kas dat ee studet uit de reeds vermelde groep va 5 biologie- e scheikudestudete ee meisje is als ik al weet dat ze biologie studeert? Keelijk moet ik mij telwerk u beperke tot de (deel-)groep va 5 biologiestudete. Om de kas te wete moet ik het aatal vrouwelijke biologiestudete dele door het totale aatal; we otere: 3 P VBµ : P V Bµ P Bµ aatal vrouwelijke biologiestudete totale aatal biologiestudete (.5) We oeme dit de voorwaardelijke kas op het optrede va gebeurteis V als de gebeurteis B plaats heeft gevode (e P Bµ ). Voorbeeld..4 We werpe met twee dobbelstee; wat is de kas op ee eve aatal oge als ee va beide dobbelstee ee toot? Atwoord: P ee va beide dobbelstee toot ee µ 36 P ee stee toot ee e de som is eveµ P µ 3µ 3µ 5µ 5µµ 536 zodat P aatal oge eve ee stee toot µ 5 Bij ee voorwaardelijke kas P ABµ P A BµP Bµ beperke we de verzamelig va gebeurteisse i feite tot de deelverzamelig B. Aagezie weer moet gelde P BBµ moete we alle kase herormalisere door te dele door P Bµ. Defiitie..5 Twee gebeurteisse A e B hete (stochastisch) oafhakelijk als het voor de kas op A iet uitmaakt of B al da iet gebeurd is: Bewijs zelf dat A e B oafhakelijk zij als e allee als A e B oafhakelijk µ P A Bµ P Aµ P Bµ (.6) P Aµ P ABµ P AB c µ (.7) Let wel, dat afhakelijkheid i pricipe géé oorzakelijk verbad impliceert: b.v.

22 HOOFDSTUK. INLEIDING TOT DE KANSTHEORIE - I het begi va de ste eeuw (toe er og veel ooievaars ware i de Lage Lade) estelde de meeste ooievaars op het plattelad, waar ook de gemiddelde gezisgrootte het grootst was. - De kas dat ee willekeurig gekoze getal uit deelbaar is door 4 is 4 ; de kas dat het deelbaar is door is. De kas dat het deelbaar is door 4 e is ; er is dus afhakelijkheid, waarom? Voorbeeld..6 I ee hoed stop ik drie idetiek gevormde kaarte, waarva de eerste aa beide zijde rood is, de tweede aa beide zijde wit e de derde aa ee zijde rood e aa de adere wit is. Vervolges trekke we er ee willekeurige kaart uit e legge deze op tafel. Als de bovekat rood is, wat is da de kas dat de oderkat ook rood is? Atwoord : De kas op het trekke va de witte (ww), de wit-rode (wr) of de rode kaart (rr) is 3.De kas dat rood bove ligt is. Volges (.5) vide we de voorwaardelijke kas P rr rood boveµ P rr e rood boveµ P rood boveµ 3 3 (.8) Atwoord : Ee alteratieve maier is de volgede beschouwigswijze: we trekke uit de hoed iet allee ee kaart maar ook ee zijde die bove komt te ligge. Als we dus de voor- e achterzijde va iedere kaart ummere met e moete we willekeurig trekke uit de volgede verzamelig: bove r r r w w w oder r r w r w w Als er ee rode zijde bove ligt, beperke we os tot de eerste drie elemete e we zie dat er met kas 3 ook rood oder ligt. Opmerkig: Ee ituïtief acceptabele maar misleidede redeerig is de volgede: omdat rood bove ligt, ligt de rode of de roodwitte kaart op tafel, ieder met kas e dus is de kas dat de achterzijde rood is, slechts! Waar zit de fout? Voorbeeld..7 Wat is de kas dat twee of meer persoe i ee groep va N dezelfde verjaardag hebbe? Atwoord: Draai de vraagstellig om e defiieer p als de kas dat géé twee persoe i ee groep va dezelfde verjaardag hebbe. Keelijk geldt p ; de eerste heeft alle dage va het jaar tot zij beschikkig voor zij verjaardag. De tweede heeft alle dage mi ee tot zij beschikkig e dus p Voege we ee derde aa de groep toe, da heeft deze alle dage mi twee tot zij beschikkig zodat p p. Voege we aa ee groep va persoe, met oderlig verschillede verjaardage 365µ, er ee toe, da zij er og 365 dage obezet, zodat p p e dus p (.9) 365 De kas dat er i ee groep va 3 persoe mistes twee dezelfde verjaardag hebbe is dus 573 e is groter da ee half!..4 De formule va Bayes Met het toeeme va de medische diagose-techieke keert herhaaldelijk de discussie terug of het houde va ee globaal bevolkigsoderzoek, b.v. aar baarmoederhalskaker, aar seropositiviteit,..., uttig, kosteffectief e/of sociaal aavaardbaar is. De gebruikelijke HIV-teste zij zeer betrouwbaar met p 3 P positief geïfecteerdµ 999 P positief iet geïfecteerdµ (.) Naar schattig is Æ ÆÆ va de Belgische bevolkig geïfecteerd.

23 HOOFDSTUK. INLEIDING TOT DE KANSTHEORIE Bij ee bevolkigsoderzoek is het va belag te wete hoe vaak ee vals positieve diagose gesteld wordt; immers ee persoo, bij wie ee vals positieve diagose wordt gesteld, wordt zoder rede opgezadeld met ee immes sociaal probleem. We wille dus berekee P(iet geïfecteerd positief). Uit (.) kue we berekee: P positief e geïfecteerdµ P positief geïfecteerdµp geïfecteerdµ 999 (.) Aaloog rekeed voor de adere drie mogelijkhede geeft dit de tabel: positief egatief geïfecteerd 999 iet geïfecteerd We leide hieruit af: P(positief) = =.989, zodat P iet geïfecteerd 999 positiefµ 989 9% We kue dit resultaat ook afleide door herhaald gebruik te make va (.5): P B Aµ P A Bµ P Bµ P B AµP Aµ P B Aµ P B A c µ P B AµP Aµ P B AµP Aµ P B A c µp A c µ (.) Dit resultaat heet de regel va Bayes. Voor ee geeralisatie gebruike we het theorema va de totale waarschijlijkheid : Laat A A ee partitie va Ω zij, d.w.z. Da geldt voor iedere gebeurteis B Ω dat A i A j / voor i j e i A i Ω (.3) P Bµ P i B A i µ i P B A i µ i P B A i µp A i µ (.4) Als Ω opgesplitst wordt i ee aatal disjukte dele, da is de totale kas op B gelijk aa de som va de kase op B bie zo deel vermeigvuldigd met de kas op zo deel. Nu kue we ook eevoudig de geeralisatie va (.) eerschrijve: P A i Bµ P A i Bµ P Bµ. Stochastische variabele e hu kasverdelig.. Stochastische variabele P A i µp B A i µ j P A j µp B A j µ (.5) Me ka aa elk elemet va de steekproefruimte Ω ee (reële) getalwaarde toekee, bv. - bij het werpe met ee dobbelstee het aatal oge dat we gooie, - bij het werpe va ee mut, voor kop e voor mut, - bij ee oderzoek va de iwoers va België, de legte of het gewicht of het jaarikome ez... va iedere persoo.

24 HOOFDSTUK. INLEIDING TOT DE KANSTHEORIE 3 Zo getalwaarde is ee reële fuctie op Ω e we oeme zo fuctie X va Ω aar Ê ee stochastiek (of ee stochastische variabele of toevalsveraderlijke) als deze afbeeldig compatibel is met de struktuur va de collectie va deelverzamelige i Ω: voor ieder reëel getal a is de verzamelig ω ¾ Ω X ωµ a ee deelverzamelig va Ω. Voor de geoemde compatibiliteit wordt geëist dat deze deelverzamelig ee elemet is va de collectie, ω ¾ Ω X ωµ a¾ (.6) Als Ω eidig is e de collectie va alle deelverzamelige is, is hieraa automatisch voldaa. Ee stochastiek X op Ω projecteert de klasse dus op ee klasse va deelverzamelige va Ê. De kase, gedefiieerd op de elemete va projectere gewoo mee: P X aµ P ω ¾ Ω X ωµ aµ (.7) Meestal iteressere we os meer voor de getalwaarde X ωµ da voor de elemete ω va de oderliggede verzamelig Ω. Als ik schoee wil verkope i dit lad, is de verdelig va voetlegte (e breedte) het eige wat ik va zij iwoers wil wete om de goede hoeveelhede va de verschillede mate te kue ikope; ik wil dus iets wete over de getalle X ωµ voor iedere iwoer ω ¾ Ω. Defiitie.. Als X ee stochastische variabele is, da heet de fuctie F X, F X aµ P X aµ (.8) de verdeligsfuctie va X (ook wel cumulatieve verdeligsfuctie geoemd). Voorbeeld.. : de dobbelstee Ω ¼ ½ ¼ ½ X ¼ ½ X etc P 6 etc Voor de kase P X aµ vide we P X µ P X µ 6 P X µ P X µ 6 P X 3µ etc e we vide ee verdeligsfuctie F X zoals geschetst i figuur.. Dit is ee trapfuctie die i de pute,, 3, 4, 5 e 6 ee sprog va /6 maakt. Deze verdelig is duidelijk discreet. Voorbeeld..3 De verdelig va lichaamslegte va volwasse maelijke iwoers va België is i figuur. geschetst. Neem ee willekeurige volwasse maelijke iwoer X e lees i de tabel de kas af dat deze kleier is da 9 cm. I theorie is ook deze verdelig discreet, maar de groep mae (e dus Ω) is zo groot dat we doe alsof deze cotiu is.

25 HOOFDSTUK. INLEIDING TOT DE KANSTHEORIE Figuur.: De verdeligsfuctie va ee dobbelstee, e de verdeligsfuctie va de legteverdelig va mae... Eigeschappe va ee verdeligsfuctie Vooreerst merke we op dat F X aµ (.9) Alle kase ligge immers tusse ul e ee. Bovedie is F X mootoo iet daled: a b µ F X aµ F X bµ (.) Immers, bij vergrotig va de verzamelig gebeurteisse ka de kas iet afeme. De kas op ee half-ope iterval wordt gegeve door P a X bµ P X bµ P X aµ F X bµ F X aµ (.) P X aµ P X aµ F X aµ (.) De volgede eigeschappe verdiee wel ee serieus bewijs. Eerst oderzoeke we de cotiuïteit va F X. Stellig..4 F X is rechts cotiu: lim F X a εµ F X aµ ε² Bewijs. Kies ee rij ε die aar ul daalt. Da is zodat, vawege de σ-additiviteit : a a ε F X aµ P X ¾ a µ lim P X ¾ a ε µ lim F X a ε µ Stellig..5 F X is iet oodzakelijk overal likscotiu: bij aderig va liks kue we tege ee sprog oplope. Als P X aµ, da is F X wel cotiu i a. Algemee hebbe we lim F X a εµ P X aµ F X aµ (.3) ε² Bewijs. Neem ε µ ee aar ul dalede rij zoals i het vorige bewijs. Da is zodat aµ a ε F X aµ P X aµ P X ¾ aµ lim P X ¾ a ε µ lim F X a ε µ

26 HOOFDSTUK. INLEIDING TOT DE KANSTHEORIE 5 Stellig..6 De limiete aar e zij: lim F x X xµ e lim Bewijs. Neem ee stijgede rij M zodaig dat lim M, da is Ê M zodat lim F x X xµ P ʵ F x X xµ (.4) De adere bewerig wordt op aaloge maier beweze. Stellig..7 Als we ee lieaire (eigelijk affiee) trasformatie uitvoere op ee stochastiek X, da trasformeert de verdeligsfuctie mee: als Y ax b, da geldt met a : X F Y yµ P Y yµ P ax b yµ PX y b y b F (.5) a a Als a, da draait de ogelijkheid om: F Y yµ PX y b a PX y b a F X y b a PX y b (.6) a Opmerkig: Voor het vervolg va deze syllabus zulle we bij het gebruik va het begrip stochastische variabele abstrahere va de oderliggede verzamelig gebeurteisse Ω. Ee stochastiek X staat voor ee reële variabele (zoals x i de defiitie f xµ : xsi x); als we i ee experimet voor X ee willekeurige waarde x trekke, is de kas, dat de getrokke waarde kleier da of gelijk aa a is, gegeve door F X aµ...3 Cotiue e discrete verdelige Bij ee diepgaade mathematische behadelig va verdeligsfucties zoude we gee verschil hoeve te make tusse discrete e cotiue verdeligsfucties, voor de eevoud zulle we dit wel doe. Defiitie..8 We oeme ee stochastiek X discreet als X slechts ee eidig of aftelbaar oeidig aatal verschillede waarde ka aaeme. Dat wil zegge dat er ee verzamelig (reële) getalle x i i is, zo dat P X x i µp i e p i (.7) i We kue de kase da grafisch weergeve door ee staafdiagram; op het put x i richte we ee staafje op va legte p i. De verdeligsfuctie F X is da stuksgewijs costat met sproge i de pute x i i µ va grootte p i. Als voorbeeld is i figuur. liks ee staafdiagram op pute geschetst met rechts de bijbehorede verdelig. Defiitie..9 We oeme ee stochastische variabele X cotiu als de verdeligsfuctie F X ee cotiue e overal differetieerbare fuctie is (behalve evetueel i ee eidig aatal pute). Dit is ee vrij zware eis, maar zij maakt het os wel mogelijk om de kasdichtheid (of dichtheidsfuctie) f X te defiiëre als de afgeleide va F X, f d x X xµ : dx F X xµ e dus ook F X xµ f X tµdt (.8) Omdat F X mootoo is, moet gelde f X xµ x e moet het oppervlak oder de staarte va f X aar ul gaa: A lim f X tµdt e lim f X tµdt (.9) A B B