Les 1: Waarschijnlijkheidrekening

Transcriptie

1 Medische statistiek 1 Les 1: Waarschijnlijkheidrekening I Theorie A Inleidende defenities V: de verzameling van alle mogelijke uitkomsten A,B,... : een gebeurtenis is een verzameling uitkomsten in V Q (V): de verzameling van alle uitkomsten bepaald in V De kans P is een functie van Q (V) [0,1] die aan de volgende axioma s voldoet: A Q(V) : 0 P(A) 1 P( ) = 0 P(V) = 1 Als A B = dan P(A B) = P(A) + P(B) Als i,j met i j, A i A j = dan P(A 1 A 2... A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) P(A n ) A en B zijn stochastisch onafhankelijk als P(A B) = P(A).P(B) Voorwaardelijke kans: P(A B) = P(A B) / P(B) P(B A) = P(B A) / P(A) P(A B) P(B) Bayes: P(B A) = P(A B) P(B) + P(A B) P(B) Deze vgl. kan verder worden vereenvoudigd door P(B) te vervangen door 1-P( B ) B Eigenschappen Als A B dan P(A) P(B) P( A ) = 1-P(A) P(A B) = P(A)+P(B)-P(A B) P(A B) = P(A B).P(B) = P(B A).P(A) P(A B C) = P(A B C). P(B C).P(C)

2 Medische statistiek 2 II Oefeningen 1. Beschouw een steekproef van Amerikaanse vrouwen onderverdeeld volgens haarkleur en oogkleur: Blond (A) Bruin (B) Zwart (C) Rood (D) Totaal Blauw (X) Groen (Y) Bruin(Z) Totaal a. Bepaal P(A), P(X), P(A X) en P(A X) b. Bepaal P( A ) en P( Y) c. Bepaal de voorwaardelijke kansen P(A X) en P(X A) d. Zijn A en Z onafhankelijk? 2. Gebeurtenissen A, B en C zijn gedefinieerd in Q(V). De respectievelijke uitkomsten in de gebeurtenissen A, B en C overlappen mekaar niet, dus de doorsnede tussen deze gebeurtenissen is ledig. De unie van A, B en C is gelijk aan V. Verder weet men dat de kans dat gebeutenis A zich voordoet 2 maal zo groot is dan de kans op het voorkomen van gebeurtenis B en de kans op B is dan weer twee maal zo groot als de kans op C. Bepaal P(A), P(B) en P(C). 3. Op een bepaalde school weet men dat 60% van al de studenten jonger zijn dan 21 jaar en dat 50% van de studenten meisjes zijn. 30% van de studenten zijn meisjes en jonger dan 21 jaar. Wat is de kans dat een toevallig gekozen student een jongen is die niet jonger is dan 21 jaar. 4. Beschouw een diagnostische test voor een bepaalde vorm van kanker, waarvan de volgende gegevens bekend zijn: De kans op een positieve uitslag als men kanker heeft, bedraagt 96% De kans op een negatieve uitslag als men gezond is bedraagt 95% We beschouwen een populatie waar kanker voorkomt met een kans van 1/200. a. wat is de kans op kanker als men een positieve testuitslag heeft? b. wat is de kans op kanker als men een negatieve testuitslag heeft? c. Wat is de kans op een korrecte testuitslag? d. Herhaal deze berekeningen voor poulaties met een kans op kanker van 1/100 en 1/10

3 Medische statistiek 3 Les 2 / 3: Meetschalen en Parameters I Theorie: A. Algemeen : V is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten van een toevallig experiment. Een veranderlijke of stochastiek is een afbeelding G die aan elke uitkomst w V een reëel getal G(w) toekent. De verdeling van de veranderlijke G is P G (a) = P(A),waarbij A = {w V, G(w) = a} De kumulatieve frequentie functie F(x) is P({w V, G(w) x}) = P G (]-,x]) Kansdichtheid : f(x) = df(x)/dx = F'(x). (Continu) Verwachtingswaarde of gemiddelde waarde van een functie : E[g(x)] = Σ i g(x i )p i (Discreet) Variantie : Var[g(x)] = E[(g(x) - E[g(x)]) 2 ] = Σ i (g(x i ) - E[g(x)]) 2 p i B. Parameters van een waargenomen verdeling : 1. Parameters van positie : Rekenkundig gemiddelde : x = Σ i x i p i Mediaan : ~ x = het punt x waarvoor F(x) = 1/2. Modus : x 0 = de meest voorkomende waarde. 2. Parameters van spreiding : n Variantie : s 2 = (xi x) 2 pi i= 1

4 Medische statistiek 4 Standaard Afwijking : s = s 2 Variatiecoëfficient : V = s/ x. Amplitude : A = Grootste - Kleinste waarneming. 3. Parameters van vorm : n Momenten : µ j = (x i x) j p i i= 1 Coëfficient van asymmetrie : γ 1 = µ 3 /s 3. Coëfficient van kurtosis (of platheid) : γ 2 = (µ 4 /s 4 ) Parameters van 2-dimensionale verdeling : n Covariantie : C x,y = (x i x)(y i y)p i i= 1 Correlatiecoëfficient : R x,y = C x,y /(s x s y )

5 Medische statistiek 5 II Oefeningen: 1. Er werd een experiment gedaan met bacteriekolonies. In 120 petrischalen telt men het aantal bacteriekolonies : # # schalen kolonies Bereken het gemiddelde, de mediaan en de modus van het aantal bakteriekolonies per schaal. 2. Een nieuwe methode voor de bepaling van bewaarmiddelen in vruchtensappen wordt uitgetest. Een vruchtensap wordt een aantal maal volgens de nieuwe methode geanalyseerd en men vindt volgende gehaltes aan bewaarmiddelen terug : 4,5-5,2-5,1-4,7-4,4-5,9-5,2 Bereken de variatiecoëfficient (in %) op het teruggevonden gehalte aan bewaarmiddelen in deze steekproef.

6 Medische statistiek 6 3. Beschouw een steekproef van 8 objecten die gewogen worden en waarvan het volume wordt bepaald : Gewicht (x i ) Volume (y i ) Bepaal voor x i : a. Het rekenkundig gemiddelde e. De standaardafwijking b. De mediaan f. De amplitude c. De modus g. De coëfficient van asymmetrie d. De variantie h. De coëfficient van kurtosis. i. Bespreek : - Het verschil tussen x en ~ x, - De symmetrie - De platheid. j. De covariantie tussen X en Y k. De correlatiecoëfficient tussen X en Y. 4. Men heeft het volgende alcoholgehalte in het bloed van 30 mensen gevonden (uitgedrukt in dg/liter). Maak een histogram met 3 als klassebreedte en 9,5 als onderste klassegrens

7 Medische statistiek 7 5. Een populair modeblad beschreef het aantal jaren dat een modekleur populair is door volgende discrete stochastiek : Aantal jaren kans 5/13 4/13 3/13 1/13 a. Geef een grafische voorstelling van de kumulatieve kansfunctie. b. Bepaal het rekenkundig gemiddelde, de modus en de mediaan van deze stochastiek. c. Bepaal de variantie en de standaardafwijking. d. Bepaal de parameters van vorm. e. Bepaal de kans dat een modekleur minstens 3 jaar populair zal blijven. 6. Een vorser voerde een experiment uit dat erin bestond te bepalen welke concentratie alcohol in het bloed lethaal is voor ratten. Waarnemingen : Concentratie frekwentie [ 8,75 ; 8,85 [ 1 [ 8,85 ; 8,95 [ 2 [ 8,95 ; 9,05 [ 17 [ 9,05 ; 9,15 [ 20 [ 9,15 ; 9,25 [ 43 [ 9,25 ; 9,35 [ 62 [ 9,35 ; 9,45 [ 56 [ 9,45 ; 9,55 [ 23 [ 9,55 ; 9,65 [ 7 [ 9,65 ; 9,75 [ 2 [ 9,75 ; 9,85 [ 0 [ 9,85 ; 9,95 [ 2 [ 9,95 ; 10,05 [ 1 a. Bereken gemiddelde en variantie b. Teken het histogram

8 Medische statistiek 8 7. Van 5 studenten wordt de lichaamslengte (X) en de spanwijdte (Y) gemeten (in cm): X i Y i 165, , ,5 Bepaal de correlatiecoëfficient tussen X en Y.

9 Medische statistiek 9 Les 4: Diskrete Verdelingen I Theorie: A De Uniforme Verdeling : x i = i i = 1, 2,, n p i = 1/n Parameters : µ = (n+1)/2 ~ x = (n+1)/2 x 0 = niet eenduidig. σ 2 = (n+1)(n-1)/12 B De Veranderlijke van Bernoulli : P(A) = p A is een gebeurtenis in V. P( A ) = 1 - p = q Parameters : µ = p σ 2 = p q C De Binomiale Verdeling : Beschrijft het aantal keer gebeurtenis A zich voordoet bij n onafhankelijke steekproeven. (Elk beschreven door dezelfde Bernoulli-veranderlijke.) x i = i i = 0, 1,, n p i = C n i pi q n-i met C n i = n!/(i!(n-i)!) Parameters : µ = n p σ 2 = n p q

10 Medische statistiek 10 II Oefeningen: 1. Aan een groep van 10 personen worden op willekeurige wijze de getallen 1 tot en met 10 toegekend (elk persoon krijgt 1 uniek nummer). a. Wat is het gemiddelde en de variantie van het getal dat meneer M, een van de personen uit de groep, toegekend krijgt? b. Wat is de kans dat meneer M een getal groter dan 7 toegekend krijgt? 2. Op hoeveel manieren kan men uit een groep van 10 personen 5 personen kiezen? 3. De toevallige veranderlijke X is binomiaal verdeeld: X ~ B(10 ; 0,5). a. Bepaal P(X 5), P(X 6) and P(X = 7) b. Herhaal dezelfde berekeningen voor X ~ B(10 ; 0,8). 4. De kans dat een student zijn diploma behaalt is 0,4. Bereken voor een groep van 5 studenten de kans dat : a. geen enkele student zijn diploma behaald, b. slechts 1 student zijn diploma behaald, c. 2 studenten hun diploma behalen, d. ten minste 2 studenten hun diploma behalen en e. de 5 studenten hun diploma halen.

11 Medische statistiek 11 Les 5: Continue Verdelingen I Theorie : A Normale verdeling: Notatie : G ~ N(a, b) Parameters : µ = a σ 2 = b 2 G ~ N(µ, σ) Eigenschappen : Als X ~ N(µ, σ), dan is Z = (X - µ)/σ ~ N(0, 1) N(0, 1) wordt de standaard normale verdeling genoemd. N(µ, σ) is symmetrisch rond µ. B χ 2 -verdeling : Notatie : G ~ χ 2 n waarbij G de som van de kwadraten van n onafhankelijke N(0, 1) verdelingen is. n noemt men het aantal vrijheidsgraden. Parameters : µ = n σ 2 = 2 n Eigenschap : Een χ 2 - verdeling is steeds 0.

12 Medische statistiek 12 C T-verdeling (of Studentenverdeling) : Notatie : G ~ t n G = Z/ χ 2 n, waarbij n het aantal vrijheidsgraden van de χ2 - verdeling is. Parameters : µ = 0 σ 2 = n/(n-2) ~ x = 0 x 0 = 0 Eigenschap : Een T - verdeling is symmetrisch rond 0. D F - verdeling : Notatie : G ~ F n1,n2 G = (χ 2 /n1)/(χ 2 /n2) Eigenschappen : Een F - verdeling is steeds 0. F n1,n2 (x) = 1- F n2,n1 (1/x)

13 Medische statistiek 13 II Oefeningen : 1. Gegeven : Z ~ N(0, 1), bepaal : a. P(z < 0) b. P(z 0) c. P(z < 1) d. P(z < 2,56) e. P(z < -1) f. P(z > 2,56) g. P(-1 < z < 1) h. P(z -4,5 en z -0,03) 2. De lichaamslengte van mannen in Belgie is normaal verdeeld met µ = 170 cm en σ = 10 cm. a. Bepaal de kans dat een willekeurig gekozen man uit de Belgische bevolking een lichaamslengte heeft van meer dan 180 cm. b. Bepaal de kans dat een willekeurig gekozen man uit de Belgische bevolking een lichaamslengte heeft tussen 160 en 180 cm. 3. Bepaal a zodat P(-a z +a) = 80% en Z ~ N(0, 1) 4. De maximale toegelaten gewichtsafwijking op een bepaalde soort tabletten is 15 mg. Wetende dat het gewicht van tabetten normaal verdeeld is, met een gemiddelde gewicht van 250 mg en met een standaardafwijking van 10 mg, bereken dan het percentage aan tabletten dat niet conform zal zijn met de gestelde voorwaarde. M.a.w. bereken het percentage aan tabletten dat niet binnen de toegelaten grenzen van 235 mg mg ligt. 5. Bereken : a. P(x 15,987) bij een χ verdeling, b. P(x 0,872) bij een χ verdeling, c. a waarvoor P(x a) = 0,99 bij een χ verdeling en d. P(x > 24,725) bij een χ verdeling. 6. Voor een Studentenverdeling met 5 vrijheidsgraden, bepaal P(t 2,5706), Voor t 22, bepaal P(t 2,0739) en a zodat P(t a) = 0,1.

14 Medische statistiek Gegeven zijn de volgende F - verdelingen : a. F 40,8, bepaal P(x 3,84), b. F 4,1, bepaal P(x 5624), c. F 24,4, bepaal P(x 5,77), d. F 20,7, bepaal a zodat P(x a) = 0,95, e. F 30,6, bepaal a zodat P(x a) = 0,995, f. F 6,6, bepaal a zodat P(x a) = 0,05 en g. F 8,6, bepaal a zodat P(x a) = 0,05.

15 Medische statistiek 15 Les 6: Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen I Theorie : A. Zuivere schatters: x is een zuivere schatter voor µ. ~ S = ( xi x) is een zuivere schatter voor σ 2. n 1 i B. BI voor het gemiddelde v.e. NV voor grote steekproeven (n 30) of gekende σ: Eigenschap: Voor n 30 kunnen we de centrale limietstelling toepassen en σ vervangen door ~ S. BI : [ x - µ 1-α/2 σ/ n ; x + µ 1-α/2 σ/ n] C. BI voor het gemiddelde v.e. NV voor kleine steekproeven en onbekende σ: Eigenschap : T = ( x - µ)/( ~ S / n) ~ t n-1 BI : [ x - t 1-α/2 ~ S / n ; x + t1-α/2 ~ S / n] D. BI voor de variantie van een NV: Eigenschap : (n-1) ~ S 2 /σ 2 ~ χ 2 n-1 BI : [ ~ S 2 (n-1)/χ 2 1-α/2 ; ~ S 2 (n-1)/χ 2 α/2] E. Notatie: µ p : het punt a waarvoor de kans P(Z < a) = p t p : het punt a waarvoor de kans P(t < a) = p χ 2 p : het punt a waarvoor de kans P(χ 2 < a) = p

16 Medische statistiek 16 II Oefeningen : 1. Een steekproef van 113 studenten levert een gemiddelde hartslag van 80,08 slagen/minuut. Men weet dat de standaard afwijking σ = 12,13 slagen/minuut. Bereken het 95% en het 99% betrouwbaarheidsinterval voor de gemiddelde hartslag in de populatie van de studenten. 2. De waargenomen standaardafwijking ~ S van de diameter van een steekproef van 100 levercellen is 16 nm en het waargenomen gemiddelde is 84 nm. Bepaal het BI met α = 5% en met α = 1% voor het gemiddelde en de standaardafwijking. (Neem het aantal v.g. = 100). 3. Van 12 mannelijke studenten wordt de lichaamslengte (in cm) gemeten : 174, 172, 183, 181, 185, 183, 175, 177, 177, 176, 173 en 180 cm. De lichaamslengte is normaal verdeeld. Bepaal de zuivere schatting voor gemiddelde en variantie van de hele populatie van mannelijke studenten en bepaal de BI's op 1% en 5% niveau voor het gemiddelde en de standaardafwijkingen van de populatie. 4. Bereken het 80% BI voor het gemiddelde van een populatie waaruit een toevallige steekproef genomen werd met een omvang n = 64 en waarbij Σx i = 3200 en Σ(x i - x ) 2 = De leeftijd van hulpbehoevende mensen is normaal verdeeld. Als men weet dat de standaard afwijking 7 jaar is, hoe groot moet dan de steekproef minstens zijn om een BI voor µ te bekomen (met α = 1%) met breedte hoogstens 2 jaar?

17 Medische statistiek 17 Les 7-8: Parameter- en Vergelijkingstoetsen I Theorie : A. Algemeen : 1. Hypothese formuleren. H 0 : nul-hypothese H 1 : alternatieve hypothese 2. Steekproef nemen. x en ~ S 2 zijn te berekenen uit de steekproefresultaten. 3. Toetsgrootheid berekenen. 4. Aanvaardingsinterval construeren. 5. Besluit trekken. A.d.h.v. de toetsgrootheid en het aanvaardingsinterval of de p-waarde gaan we H 0 aanvaarden of verwerpen. B. Specifiek : Door gebruik te maken van de bijgevoegde schema's kunnen we uitmaken welke verdeling en toetsgrootheid men moet gebruiken. C. Specifiek voor vergelijkingstoetsen : Gepaarde waarnemingen : Met elke X i is een Y i geassocieerd. In het bijzonder is n 1 = n 2 = n, Niet-gepaarde waarnemingen : Er zijn twee steekproeven uit verschillende populaties.

18 Medische statistiek 18 PARAMETERTOETSEN Gemiddelde Populatie ~ N(µ, σ) σ 2 onbekend T = σ 2 bekend Z = X µ ~ n ~ t(n-1) S X µ n σ ~ N(0, 1) Populatie verdeling onbekend σ 2 X µ onbekend Z = ~ S n ~ N(0, 1) σ 2 bekend X µ Z = σ n ~ N(0, 1) Variantie - Voorwaarde : Populatie ~ N(µ, σ) n < 30 n 30 ( n 1) ~ S 2 ~ χ 2 (n-1) σ 2 ~ S σ 2 ( n 1 ) ~ N(0, 1) σ

19 Medische statistiek 19 VERGELIJKINGSTOETSEN Gemiddelde Gepaarde Waarneming σ 2 bekend, ~N of n 10 d Z = σ n ~ N(0, 1) σ 2 d onbekend, ~N of n 30 T = ~ Sd n ~ t(n-1) Onafhankelijke Waarneming n 1,n 2 > 30 Z = n 1,n 2 < 30, ~N en σ1 2 = σ2 2 T = X1 X2 ~ S1 2 ~ S n1 n2 X1 X2 ~ 1 1 S + n1 n2 ~ N(0, 1) ~ t(n 1 + n 2-2) Variantie - Voorwaarde : Populatie ~ N(µ, σ) F = ~ S ~ 12 S2 2 ~ F(n 1-1, n 2-1) Met: di = xi yi ~ Sd = n 1 ( di d) n 2 1 i= 1 n 1 d = d i n i= 1 ~ ( n ) ~ S ( n ) ~ S S = n1 + n2 2

20 Medische statistiek 20 AANVAARDINGSINTERVALLEN H 0 is altijd van de vorm : H 0 : = 1. Voor T : 2-zijdig H 1 : X µ verwerpen als T [-t 1-α/2 ; t 1-α/2 ] 1-zijdig H 1 : X > µ verwerpen als T ]- ; t 1-α ] 1-zijdig H 1 : X < µ verwerpen als T [-t 1-α ; + [ 2. Voor Z : 2-zijdig H 1 : X µ verwerpen als Z [-µ 1-α/2 ; µ 1-α/2 ] 1-zijdig H 1 : X > µ verwerpen als Z ]- ; µ 1-α ] 1-zijdig H 1 : X < µ verwerpen als Z [-µ 1-α ; + [ 3. Voor χ 2 : 2-zijdig H 1 : ~ S 2 σ 2 verwerpen als χ 2 [χ 2 α/2 ; χ 2 1-α/2] 1-zijdig H 1 : ~ S 2 > σ 2 verwerpen als χ 2 [0 ; χ 2 1-α] 1-zijdig H 1 : ~ S 2 < σ 2 verwerpen als χ 2 [χ 2 α ; + [ 4. Voor F : 2-zijdig H 1 : ~ 2 ~ S 1 2 S2 verwerpen als F [Fα/2 ; F 1-α/2 ] 1-zijdig H 1 : ~ 2 ~ S 1 > 2 S2 verwerpen als F [0 ; F1-α ] 1-zijdig H 1 : ~ 2 ~ S 1 < 2 S2 verwerpen als F [Fα ; + [

21 Medische statistiek 21 II Oefeningen : 1. Een fabrikant van medische flesjes geeft voor zijn flesjes een gemiddelde inhoud van 1600 ml op en is een standaarddeviatie van 120 ml. Om het gemiddelde te toetsen, nemen we een steekproef van 100 stuks. Deze steekproef levert een gemiddelde waarde van 1550 ml. We toetsen of de fabrikant gelijk heeft. (α = 5%) 2. De resultaten van het tentamen statistiek plegen een normale verdeling te volgen waarbij het gemiddelde van de behaalde punten per student 52 en de standaardafwijking 15 is. Een groep van 25 studenten krijgt elke avond voor zij gaan studeren een tablet ETUDON te slikken. Op het tentamen blijkt hun gemiddelde score 57 punten te bedragen. Toets met α = 0,05 of het ETUDON -resultaat verschilt van dat van de andere studenten. 3. De standaardafwijking op het gewicht (dat ~N(µ, σ)) van tubes zalf, die gemiddeld 400 gram wegen, is steeds gelijk geweest aan 25 gram. Een steekproef van 20 tubes levert ons nu een ~ S van 32 gram. Is de verandering in variabiliteit significant bij α = 0,1? En bij α = 0,05? 4. Volgens een farmaceutisch bedrijf zouden er van een bepaald geneesmiddel gemiddeld 200 pillen per flesje moeten zitten. Een steekproef uitgevoerd door een verbruikersorganisatie toont dat de gemiddelde inhoud van 50 flesjes slechts 191 is, met ~ S = 17. Toets (2-zijdig en met α = 5%) of de fabrikant gelijk heeft en bereken de p-waarde. 5. Het gemiddelde IQ van 16 studenten afkomstig uit Antwerpen bedraagt 107 met ~ S A = 10. Voor 13 studenten uit Brussel bedraagt het gemiddelde IQ 112 met ~ S B = 8. Is er een significant verschil tussen de gemiddelde IQ's van de studenten uit de beide steden? (IQ ~ N(µ, σ)) a. Voor α = 5% b. Voor α = 1%

22 Medische statistiek Het oliegehalte in 10 verschillende stalen zeewater uit de buurt van de geteisterde Shetland-eilanden werd bepaald door middel van 2 referentiemethodes. De gemeten waarden zijn : Staal Meth. A Meth. B Mag men aannemen dat beide methoden hetzelfde gemiddelde resultaat geven? (Veronderstel α = 5% en ~N(µ, σ)) 7. Gegeven : ~ n 1 = 100 x 1 = 25 S1 = 1 ~ n 2 = 400 x 2 = 25,3 S2 = 5 Komen deze steekproeven uit 2 populaties met verschillende gemiddelden (Bij α = 5%)? 8. De firmas JF en Q verkopen beide flesjes ontsmettingsmiddel. Uit een steekproef van 50 flesjes van JF en 50 flesjes van Q, vindt men de volgende resultaten : x JF = 97 ml ~ SJF = 3 ml x Q = 93 ml ~ SQ = 12 ml Mag men aannemen dat µ JF µ Q? (Gebruik α = 2%)