Niet-Parametrische Statistiek

Transcriptie

1 Niet-Parametrische Statistiek I. Theorie : A Algemeen schema : 1 Steekproef willekeurige verdeling Teken-Toets symmetrische verdeling Wilcoxon-Rank-Toets 2 Steekproeven gepaarde waarnemingen Wilcoxon-Rank-Toets ongepaarde waarnemingen Mann-Whitney-Toets B Teken-Toets of T-Toets : H 0 : M = M 0 H 1 : M M 0 2. Elimineer de waarden gelijk aan M. n is het aantal waarnemingen overgebleven na eliminatie. 3. Bereken : T - = #waarden < M 0, T + = #waarden > M 0 en de toetsgrootheid T = min{t -, T + } 4. Gebruik de tabel voor de Teken-Toets om α" als volgt te berekenen : P(T k) = P(T < e) = α" (e = k ) 5. Besluit:

2 C Wilcoxon-Rank-Toets voor 1 Steekproef : H 0 : M = M 0 H 1 : M M 0 2. Elimineer de waarden gelijk aan M. n is het aantal waarnemingen overgebleven na eliminatie. 3. Bereken : x i - M 0, x i - M 0 en een rangorde overeenkomstig met elke x i - M 0 4. Bereken : W - = Σ van de rangnummers van de x i - M 0 van negatieve x i - M 0, W + = Σ van de rangnummers van de x i - M 0 van positieve x i - M 0 en W = min{w -, W + } 5. Gebruik de tabel voor de Wilcoxon-Rank-Toets om α" als volgt te berekenen : P(W k) = P(W < e) = α" (e = k ) 6. Besluit : D Wilcoxon-Rank-Toets voor 2 Steekproeven : H 0 : de verdeling van de x i = de verdeling van de y j H 1 : de verdeling van de x i de verdeling van de y j 2. Elimineer de gelijke waardes. n is het aantal waarnemingen overgebleven na eliminatie. 3. Bereken : De verschillen d i = x i - y i, d i en een rangorde overeenkomstig met elke d i 4. Bereken : W - = Σ van de rangnummers van de d i van negatieve d i, W + = Σ van de rangnummers van de d i van positieve d i en W = min{w -, W + } 5. Gebruik de tabel voor de Wilcoxon-Rank-Toets om α" als volgt te berekenen : P(W k) = P(W < e) = α" (e = k ) 6. Besluit:

3 E Mann-Whitney-Toets voor 2 Steekproeven : H 0 : de verdeling van de X i = de verdeling van de Y j H 1 : de verdeling van de X i de verdeling van de Y j. 2. Bereken : U x = Σ #keer dat een x i > dan de y j. U y = Σ #keer dat een y j > dan de x i en U = min{u x, U y }. Opmerking : voor gelijke waarden, verhogen we U x en U y met Gebruik de tabel voor de Mann-Whitney-Toets om α" als volgt te berekenen : P(U k) = P(U < e) = α" (e = k ) 4. Besluit :

4 II. Oefeningen : 1. De brekingskracht die moet uitgeoefend worden om een gleuftablet in 2 te breken, bedraagt voor 15 tabletten vervaardigd volgens een nieuw procede : 20, 42, 18, 21, 22, 35, 19, 18, 26, 20, 21, 32, 22, 20 en 24. Bij tabletten vervaardigd volgens een oud procede was de mediaan van de brekings-kracht 25. Toets de hypothese dat het nieuwe procede dezelfde brekingskracht vraagt. (α = 5%) 2. De bloeddruk heeft een symmetrische distributie. De resultaten van metingen van de bloeddruk bij 6 patienten zijn de volgende : Toets of de mediaan M = 80. Gebruik α = 5%. 3. In 11 stalen zee-water werd het mercury-gehalte bepaald door 2 methodes : Methode A en methode B. Ga na of de verdeling van de resultaten van methode B dezelfde is als de verdeling van de resultaten van methode A. Veronderstel α = 5%. Staal Meth. A Meth. B 1 11,2 10,9 2 13,7 11,2 3 14,8 12,1 4 11,1 12,4 5 15,0 15,5 6 16,1 14,6 7 17,3 13,5 8 10,9 10,8 9 10,8 11, ,7 11, ,4 10,4 4. We vergelijken 2 diëten A en B op 2 testgroepen. Elk van hen krijgt of dieet A of dieet B. De volgende veminderingen in gewicht werden opgemeten : Dieet A : -1,0 0,0 2,1 3,1 3,3 4,3 5,2 5,5 6,7 6,8

5 Dieet B : 2,0 3,0 4,0 5,7 6,0 6,9 7,0 7,2 7,3 8,1 Hebben, bij α = 5%, beide dieten hetzelfde effect op het gewicht?

6 5. Om de efficiëntie van een slaapmiddel te testen, geven we een patiënt een placebo op de eerste dag en het medicijn op de tweede. Het aantal uren dat de patiënten sliepen zijn opgenomen in de volgende tabel. Is er een significant verschil tussen de placebo en het slaapmiddel? Veronderstel α = 5% en een symmetrische verdeling. Patient Slaap met Slaap medicijn placebo 1 6,1 5,2 2 7,0 7,9 3 8,2 3,9 4 7,6 4,7 5 6,5 5,3 6 8,4 5,4 7 6,9 4,2 8 6,7 6,1 9 7,4 3,8 10 5,8 6,3 met 6. Veronderstel de volgende metingen van een bepaalde fysische grootheid : groep 1 : 32, 37 en 43. groep 2 : 1024, 1069, 1101 en Test of de verdeling van de resultaten uit groep 1 gelijk is aan de verdeling van de resultaten uit groep 2. Gebruik α = 0, Om de tijd te vergelijken die een patiënt nodig heeft om te herstellen na een hartoperatie, dienen we twee groepen van 8 personen medicijn A respectievelijk medicijn B toe : Herstelling na med. A (in Herstelling na med. B (in #dagen) #dagen) Is er een significant verschil tussen de herstelperiodes na het nemen van med. A en med. B? (α = 5%)

7 8. Een psychologische test werd ondergaan door 7 patiënten. De resultaten zijn gegeven als een getal van 0 tot 4. De bekomen waarden zijn : Test of de mediaan 2 is, in de veronderstelling van een symmetrische distributie en α = 5%.