HOOFDSTUK VI NIET-PARAMETRISCHE (VERDELINGSVRIJE) STATISTIEK

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "HOOFDSTUK VI NIET-PARAMETRISCHE (VERDELINGSVRIJE) STATISTIEK"

Transcriptie

1 HOOFDSTUK VI NIET-PARAMETRISCHE (VERDELINGSVRIJE) STATISTIEK 1

2 1. INLEIDING Parametrische statistiek: Normale Verdeling Niet-parametrische statistiek: Verdelingsvrij Keuze tussen de twee benaderingen I. Normaliteit is uitzonderlijk II. Voor complexe modellen (regressie, anova) bestaan alleen parametrische methoden III. Niet-parametrische methoden mogen altijd worden gebruikt IV. Voor NV zijn parametrische methoden krachtiger (kleinere ß) V. Parametrische methoden toelaatbaar wanneer men na transformatie NV krijgt (log, vierkantswortel,...) VI. Andere strategie in geval verdeling onbekend: Pas beide methoden toe Indien conclusie identiek: aanvaarden Indien verschillende conclusie: zoek outliers, gebruik grafische voorstelling of toets 2

3 2. METHODEN VOOR EEN STEEKPROEF 2.1 Schatters en betrouwbaarheidsintervallen voor de mediaan X 1, X 2,..., X n hebben dezelfde (onbekende) verdeling Men wenst de mediaan M van de populatie te schatten. Schatter: mediaan van de steekproef = ~ X 3

4 Eénvoudig betrouwbaarheidsinterval voor de mediaan: [ K 1 - G 1 ] met: K 1 = kleinste element van de steekproef, G 1 = grootste element van de steekproef Bepaling van de onbetrouwbaarheidsdrempel (α): M behoort niet tot het interval indien alle metingen ofwel groter zijn dan M ofwel allemaal kleiner. De kans dat een meting groter zou zijn dan de mediaan is 1/2 De kans dat alle metingen groter zijn dan de mediaan is (1/2)ⁿ De kans dat alle metingen kleiner zijn dan de mediaan is (1/2)ⁿ De kans dat de mediaan tot het interval behoort is: 1 - α = 1-2. (1/2)ⁿ = 1-1 / 2 n-1 (zie tabel) 4

5 n 1-α 2 0, , , , , , , , , , ,9995 Opmerkingen De onbetrouwbaarheid α wordt afgeleid uit n, het kan niet worden opgegeven om n te berekenen De kans stijgt vlug met stijgende n, waardoor het interval ook groter wordt en waardoor het resultaat minder bruikbaar wordt 5

6 Men zoekt een evenwicht tussen de lengte van het interval en α, door intervallen te beschouwen van de vorm: [K e - G e ] met: K e = e de kleinste element van de steekproef, G e = e de grootste element van de steekproef Dit zijn de T-intervallen De kans (1-α) kan berekend worden met de binomiale verdeling Er bestaan tabellen voor T-intervallen 6

7 Voorbeeld Van 8 toevallig gekozen personen werd de diastolische bloeddruk gemeten. Dit gaf: 77, 89, 85, 74, 75, 80, 70, 83 mmhg Mediaan = 78,5 mm Hg Tabel: interval [K 2 - G 2 ] heeft een betrouwbaarheid van 93% K 2 = 74 en G 2 = 85. Dit is een breed interval vermits een steekproef van 8 elementen weinig informatie geeft 7

8 Benadering voor grote steekproeven De tabel voor T-intervallen geeft waarden voor n 50. Voor grotere steekproeven gebruikt men de volgende benadering: e = (n µ α n) / 2 Indien e niet geheel is moet men afronden: - als men naar beneden afrondt (e wordt kleiner): - interval wordt groter - α wordt kleiner - resultaat meer conservatief Voorbeeld n = 100 en α = 0,05: µ α = 1,960 en e = (101-19,60) / 2 = 40,70 Men neemt e = 40 om een wat groter interval te bekomen (men zou ook lineair kunnen interpoleren). 8

9 Betrouwbaarheidsintervallen voor symmetrische variabelen Het vorig BI is geldig zonder enige veronderstelling aangaande de verdeling van de variabele. Bijkomende informatie laat soms toe een meer accurate methode toe te passen. Indien de verdeling symmetrisch is (niet noodzakelijk normaal verdeeld), vallen mediaan en symmetrie-as samen. Men kan verwachten dat de steekproef X 1, X 2,..., X n symmetrisch gelegen is rond M. Dit is dan ook het geval voor de gemiddelden van twee elementen: Xi + 2 Xj (i, j = 1, 2,...,n) Een schatting van M wordt gegeven door de mediaan te berekenen van alle gemiddelden van twee metingen. Een BI wordt gegeven door het e de kleinste en het e de grootste element van deze gemiddelden. Men noemt een dergelijk interval een: W - interval of interval van Wilcoxon. Opmerking Het bepalen van een W-interval vraagt veel berekeningen waarvoor computerprogrammas beschikbaar zijn. 9

10 Voorbeeld Veronderstel dat bloeddrukmetingen symmetrisch verdeeld zijn en beschouw de metingen van het vorig voorbeeld. De gemiddelden van twee metingen zijn: ,5 73, ,5 77,5 79, ,5 75, ,5 79,5 81, , , ,5 82,5 84,

11 De schatting van de mediaan wordt gegeven door het gemiddelde te nemen van de twee middenste van deze 36 waarden: 79 en 79,5: schatting = ( ,5) /2 = 79,25 Volgens de tabel voor W-intervallen wordt een BI met betrouwbaarheid 96,1% begrensd door de 4de kleinste en de 4de grootste waarde: 73,5 en 85. Dit geeft het interval: [73,5-85,0], een beetje groter dan het T- interval met 93% betrouwbaarheid. Dit interval mag slecht gebruikt worden voor een symmetrische populatie. 11

12 2.2 Parametertoetsen voor de mediaan Men wenst de volgende hypothese te toetsen: H 0 : M = M 0 met als alternatieve hypothese: H 1 : M M 0 Hiervoor bestaan er twee toetsen: 1. De tekentoets 2. De Wilcoxon rangtoets 12

13 2.2.1 De tekentoets We beschouwen T-intervallen: [ K e - G e ]. De hypothetische waarde M 0 zal onaanvaardbaar zijn wanneer het buiten het interval gelegen is: a) ofwel kleiner dan K e minder dan e waarnemingen < M 0 b) ofwel groter dan G e minder dan e waarnemingen > M 0 Definitie T - = aantal waarnemingen kleiner dan M 0 T + = aantal waarnemingen groter dan M 0 Beslissing De nulhypothese wordt verworpen indien ofwel T - ofwel T + kleiner is dan het aantal e overeenkomend met de waarde van α die in de tabel wordt gevonden, m.a.w. indien het minimum kleiner is dan e. Opmerking Men spreekt van de tekentoets omdat men nagaat hoeveel (X i - M 0 ) negatief zijn, en hoeveel positief. 13

14 Eénzijdige toets Met H 1 : M > M 0 als alternatieve hypothese verwacht men: - weinig waarnemingen kleiner dan M 0 - veel waarnemingen groter dan M 0 Men gebruikt als toetsveranderlijke T - (aantal kleiner dan M 0 ) Met H 1 : M < M 0 als alternatieve hypothese: gebruikt men als toetsveranderlijke T + (aantal groter dan M 0 ) BESLISSING: DE NULHYPOTHESE VERWERPEN INDIEN DE TOETSVERANDERLIJKE KLEINER IS DAN DE WAARDE IN DE TABEL Opmerkingen 1. Voor de éénzijdige toetsen gebruikt men als p-waarde de waarde aangegeven in de tabel onder α/2 2. De tekentoets veronderstelt dat geen enkele waarneming gelijk is aan M 0. Deze waarnemingen worden geëlimineerd vóór de toets wordt uitgevoerd (n moet aangepast worden) 14

15 Voorbeeld In de literatuur wordt beweerd dat 50% van de patiënten die aan een bepaalde ziekte lijden na 60 dagen spontaan genezen zijn. Een arts wenst deze hypothese na te gaan en noteerde de genezingsdatum van 16 patienten: De toets wordt tweezijdig uitgevoerd: H 0 : M = M 0 H 1 : M M 0 Eén van de waarnemingen is gelijk aan M 0 en wordt geëlimineerd n wordt dus 15 Men berekent : T + = 3 (71, 77, 63) en T - = 12 Min(T +, T - ) = 3 15

16 In de tabel vindt men voor n = 15: e = 3: 1- α = en α = 0,007 e = 4: 1- α = en α = 0,035 e = 5: 1- α = en α = 0,118 Hieruit volgt: P( T + 3 of T + 12) = P( T + < 4 of T + > 11) = 0,035 Besluit H 0 verwerpen op het 5% niveau of p = 0,035 16

17 2.2.2 De Wilcoxon rangtoets Deze toets werkt op dezelfde manier als de tekentoets, maar met W - en W + i.p.v. T - en T +. Men moet hiervoor veronderstellen dat de veranderlijke symmetrisch is. Het bestaat uit de volgende stappen: I. Bereken alle verschillen X i - M 0 en hun absolute waarde II. Rangschik de absolute waarden X i - M 0 van klein naar groot III. Bereken: W - = som van de rangen van de metingen met negatieve X i - M 0 W + = som van de rangen van de metingen met positieve X i - M 0 Opmerking W - + W + = n(n+1)/2 17

18 Voorbeeld Een machine wordt gebruikt om flessen van 100 ml syroop te vullen. Om na te gaan of de machine goed ingesteld is, wordt de inhoud van 12 flessen gemeten. Dit geeft: 102, 101, 108, 95, 106, 112, 110, 109, 103, 86, 93 en 104 ml Men wenst de hypothese te toetsen dat de mediaan M = 100 ml t.o.v. de hypothese dat M 100 ml. Uit vorige experimenten weet men dat de verdeling van de inhoud symmetrisch is. Men berekent W - en W +. 18

19 X i X i Rang W - = = 24 W + = (12 x 13) / 2-24 = = 54 min (W -,W + ) = 24 Uit de tabel voor W-intervallen volgt dat p > 0,11 zodat de nulhypothese wordt aanvaard. 19

20 Opmerkingen De metingen gelijk aan M 0 worden weggelaten uit de analyse en n wordt aangepast Voor gelijke absolute waarden X i - M 0 wordt de gemiddelde rang berekend (voorbeeld: rangen 2 en 3 worden beide vervangen door 2.5, rangen 6, 7 en 8 worden vervangen door 7). Deze procedure is conservatief: de echte p-waarde is kleiner of gelijk aan de gevonden waarde Het is niet toegelaten de twee toetsen te gebruiken (tekentoets en Wilcoxon) en het meest aantrekkelijk resultaat te gebruiken. Men moet de toets gebruiken waarvoor de hypothesen zo goed mogelijk met de realiteit overeenkomen 20

21 3. METHODEN VOOR TWEE STEEKPROEVEN 3.1 Gepaarde metingen Beschouw twee steekproeven van elk n elementen: X 1, X 2,..., X n hebben dezelfde (onbekende) verdeling en zijn onafhankelijk Y 1, Y 2,..., Y n hebben dezelfde (onbekende) verdeling en zijn onafhankelijk Deze metingen zijn gepaard: met elke X komt een Y overeen (en omgekeerd) Men wenst na te gaan of de verdeling van de X i dezelfde is als die van de Y i. Indien deze hypothese waar is dan zijn de verschillen D i = X i - Y i symmetrisch verdeeld rond 0 de mediaan = 0. Men kan deze hypothese nagaan met de tekentoets en met de Wilcoxon rangtoets: 21

22 Tekentoets T - = aantal negatieve D i T + = aantal positieve D i Wilcoxon rangtoets W - = som van de rangen van de negatieve D i W + = som van de rangen van de positieve D i In geval van gelijke absolute waarden wordt de gemiddelde rang genomen Metingen waarvoor X i = Y i worden weggelaten 22

23 Voorbeeld Vergelijken van 2 leesmethoden. Een klas van 20 leerlingen wordt ingedeeld in 10 groepen van 2 (matching) In elke groep wordt toevallig de leesmethode bepaald (randomizatie) Op het einde van het jaar leggen de leerlingen een toets af: Groep x (methode 1) y (methode 2) d Rang

24 Hypothesen H 0 : M D = 0 met als alternatieve hypothese: H 1 : M D 0 waar M D de mediaan is van de verschillen Tekentoets T - = 7 en T + = 3 T = 3: P (T + 3) + P (T + 7) = P (T + <4) + P (T + >6) P (T + 3) = P 0 + P 1 + P 2 + P 3 waar P i = C 10 i (1/2) 10 (binomiale verdeling) P (T + 3) = 0, , , ,117 = 0,172 p = 0,344 Bijgevolg wordt de nulhypothese aanvaard 24

25 Wilcoxon rangtoets W + = = 8 Men vindt in de tabel P (W + 8) + P (W + 47) = P (W + <9) + P (W + >46) = 0,049 Bijgevolg wordt de alternatieve hypothese aanvaard 25

26 Opmerkingen Met de tekentoets wordt de nulhypothese aanvaard en met de Wilcoxon rangtoets niet. De reden is dat de positieve verschillen meestal veel kleiner zijn (in absolute waarde), dan de negatieve verschillen. Wanneer de verschillen niet kunnen worden gerangschikt kan men alleen gebruik maken van de tekentoets: - indien de x i en y j zelf rangorden zijn - wanneer men voor elke i alleen kan zeggen welke meting groter is en welke kleiner (ofwel dat ze gelijk zijn), maar niet hoe groot het verschil is Wanneer de nulhypothese wordt aanvaard betekent het niet noodzakelijk dat de twee verdelingen identiek zijn, maar dat de gegevens niet toelaten het tegendeel aan te tonen 26

27 3.2 Onafhankelijke steekproeven Meestal zijn de metingen niet gepaard en onafhankelijk. Hiervoor zijn er twee beschikbare toetsen: de mediaan toets en de Wilcoxon-Mann- Whitney toets. De mediaan toets Noem M de mediaan van alle x en y metingen samen. Bepaal het aantal x metingen M en het aantal > M Bepaal het aantal y metingen M en het aantal > M Dit geeft volgende tabel: x-metingen y-metingen M a b a + b ( N/2) > M c d c + d ( N/2) n 1 = a + c n 2 = b + d n 1 + n 2 = N 27

28 Indien de 2 verdelingen dezelfde zijn dan is de positie t.o.v. de mediaan M onhafhankelijk van de steekproef. chi-kwadraat toets: K 2 = ( ad. bc. ). N n. n.( a+ b).( c+ d) is de toetsveranderlijke. Deze heeft een chi-kwadraat verdeling met één vrijheidsgraad. Deze toets houdt geen rekening met de omvang van de afwijking t.o.v. de mediaan. 28

29 De Wilcoxon-Mann-Whitney toets In deze toets wordt iedere x-waarde vergeleken met iedere y-waarde Definities U x = aantal maal dat een x-waarde groter is dan een y-waarde U y = aantal maal dat een y-waarde groter is dan een x-waarde Om U x en U y te berekenen maakt men n 1 x n 2 vergelijkingen Uit de definities volgt dat U x + U y = n 1 x n 2 Voorlopig worden gelijke waarden uitgesloten Indien de x-waarden globaal even groot zijn als de y-waarden, verwacht men ook even grote U x en U y De Wilcoxon-Mann-Whitney toets verwerpt de hypothese dat de X- waarden en de Y-waarden afkomstig zijn uit dezelfde populatie indien het minimum van U x en U y kleiner is dan de waarde e die men in de tabel vindt (tweezijdige toets) In de tabel vindt men waarden van e voor n 1 en n 2 tussen 3 en

30 Voorbeeld Beschouw de resultaten van 2 behandelingen om cholesterol in bloed te verminderen x = vermindering na behandeling met produkt 1 gedurende 3 maand: (n 1 = 10) y = vermindering na behandeling met produkt 2 gedurende 3 maand: (n 2 = 8) U x = = 62 U y = = 18 Min (U x, U y ) = opzoeken in de tabel H 0 : de twee verdelingen (medianen) zijn gelijk H 1 : de twee verdelingen (medianen) zijn verschillend Conclusie: H 0 aanvaarden (p = 0,055) 30

31 Normale benadering voor grote steekproeven Voor steekproeven met meer dan 12 waaarnemingen gebruikt men de volgende benadering: e is normaal verdeeld met : gemiddelde = (n 1 n 2 + 1)/2 variantie = n 1 n 2 (n 1 +n 2 + 1)/12 Gelijke metingswaarden Eén van de hypothesen van de Wilcoxon-Mann-Whitney toets is de kontinuiteit van de verdelingen van de X i en de Y i, waardoor de kans op gelijke metingswaarden nul is. In de praktijk is deze hypothese zelden waar en komen gelijkheden voor. De gebruikelijke procedure is In geval van gelijkheid tussen een x-waarde en een y-waarde: tel 1/2 op bij U x en 1/2 bij U y Met deze procedure blijft de gelijkheid U x + U y = n 1 x n 2 gelden Opmerking (geldig voor alle vergelijkingstoetsen) Wanneer de twee steekproeven niet even groot zijn vermindert de macht van de toets (β wordt groter). Deze vermindering wordt belangrijk vanaf ongeveer tweemaal meer waarnemingen in de grootste steekproef. 31

32 Alternatieve vorm van de Wilcoxon-Mann-Whitney toets Rangschik de n 1 + n 2 waarnemingen in stijgende volgorde Noem R x de som van de rangen die overeenkomen met x-waarden en R y de som van de rangen van de y-waarden Wanneer twee of meer metingswaarden gelijk zijn wordt aan ieder de gemiddelde rang toegekend. Voor de toetsveranderlijken R x en R y bestaan tabellen voor betrouwbaarheidsintervallen en om de toets uit te voeren 32

33 Voorbeeld Men beschouwt de vermindering in bloedconcentratie van glucose (mg/100 ml) na behandeling met geneesmiddel A en met geneesmiddel B BEHANDELING A (x) Patiënt Daling BEHANDELING B (y) Patiënt Daling

34 Na rangschikking bekomt men de volgende tabel Patiënt Meting Behandeling Rang 9-10 B A 2,5 8-5 B 2,5 7 5 B A 5, B 5, A A A 9 R x = 2,5 + 5, = 32 R y = 1 + 2, ,5 = 13 R = min (R x R y ) = 13 Opmerking Het gebruik van R x en R y maakt het mogelijk de Wilcoxon-Mann- Whitney toets te veralgemenen tot meer dan twee groepen (Kruskall- Wallis toets) 34

HOOFDSTUK IV TOETSEN VAN STATISTISCHE HYPOTHESEN

HOOFDSTUK IV TOETSEN VAN STATISTISCHE HYPOTHESEN HOOFDSTUK IV TOETSEN VAN STATISTISCHE HYPOTHESEN 4.1 PARAMETERTOESTEN 1 A. Toetsen van het gemiddelde Beschouw een steekproef X 1, X,, X n van n onafhankelijke N(µ, σ) verdeelde kansveranderlijken Men

Nadere informatie

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE 1 DOEL VAN REGRESSIE ANALYSE De relatie te bestuderen tussen een response variabele en een verzameling verklarende variabelen 1. LINEAIRE REGRESSIE Veronderstel dat gegevens

Nadere informatie

Les 1: Waarschijnlijkheidrekening

Les 1: Waarschijnlijkheidrekening Les 1: Waarschijnlijkheidrekening A Men neemt een steekproef van 1000 appelen. Deze worden ingedeeld volgens gewicht en volgens symptomen van een bepaalde schimmel: geen, mild, gematigd of ernstig. Het

Nadere informatie

We illustreren deze werkwijze opnieuw a.h.v. de steekproef van de geboortegewichten

We illustreren deze werkwijze opnieuw a.h.v. de steekproef van de geboortegewichten Hoofdstuk 8 Betrouwbaarheidsintervallen In het vorige hoofdstuk lieten we zien hoe het mogelijk is om over een ongekende karakteristiek van een populatie hypothesen te formuleren. Een andere manier van

Nadere informatie

Toegepaste Statistiek, Week 6 1

Toegepaste Statistiek, Week 6 1 Toegepaste Statistiek, Week 6 1 Eén ordinale en één nominale variabele Nominale variabele met TWEE categorieën, 1 en 2 Ordinale variabele normaal verdeeld binnen iedere categorie? Variantie in beide categorieën

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Statistiek DD14) op vrijdag 17 maart 006, 9.00-1.00 uur. UITWERKINGEN 1. Methoden om schatters te vinden a) De aannemelijkheidsfunctie

Nadere informatie

Lesbrief hypothesetoetsen

Lesbrief hypothesetoetsen Lesbrief hypothesetoetsen 00 "Je gaat het pas zien als je het door hebt" Johan Cruijff Willem van Ravenstein Inhoudsopgave Inhoudsopgave... Hoofdstuk - voorkennis... Hoofdstuk - mens erger je niet... 3

Nadere informatie

Statistiek 2 deel A 30 minuten over statistisch toetsen

Statistiek 2 deel A 30 minuten over statistisch toetsen Statistiek 2 deel A 30 minuten over statistisch toetsen R.J. Baars, MSc Kruytgebouw N710 r.j.baars@uu.nl februari 2014 Opbouw van statistiek Statistiek 1 (periode 2: vandaag) Dit college + zelfstudie +

Nadere informatie

Inhoudsopgave. Deel I Schatters en toetsen 1

Inhoudsopgave. Deel I Schatters en toetsen 1 Inhoudsopgave Deel I Schatters en toetsen 1 1 Hetschattenvanpopulatieparameters.................. 3 1.1 Inleiding:schatterversusschatting................. 3 1.2 Hetschattenvaneengemiddelde..................

Nadere informatie

Beschrijvende statistiek

Beschrijvende statistiek Beschrijvende statistiek Beschrijvende en toetsende statistiek Beschrijvend Samenvatting van gegevens in de steekproef van onderzochte personen (gemiddelde, de standaarddeviatie, tabel, grafiek) Toetsend

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamenopgaven Statistiek (2DD71) op xx-xx-xxxx, xx.00-xx.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamenopgaven Statistiek (2DD71) op xx-xx-xxxx, xx.00-xx.00 uur. VOORAF: Hieronder staat een aantal opgaven over de stof. Veel meer dan op het tentamen zelf gevraagd zullen worden. Op het tentamen zullen in totaal 20 onderdelen gevraagd worden. TECHNISCHE UNIVERSITEIT

Nadere informatie

Hiermee rekenen we de testwaarde van t uit: n. 10 ( x ) ,16

Hiermee rekenen we de testwaarde van t uit: n. 10 ( x ) ,16 modulus strepen: uitkomst > 0 Hiermee rekenen we de testwaarde van t uit: n 10 ttest ( x ) 105 101 3,16 n-1 4 t test > t kritisch want 3,16 >,6, dus 105 valt buiten het BI. De cola bevat niet significant

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 14 Donderdag 28 Oktober 1 / 37 2 Statistiek Indeling: Hypothese toetsen Schatten 2 / 37 Vragen 61 Amerikanen werd gevraagd hoeveel % van de tijd zij liegen. Het gevonden

Nadere informatie

Kruis per vraag slechts één vakje aan op het antwoordformulier.

Kruis per vraag slechts één vakje aan op het antwoordformulier. Toets Stroom 1.2 Methoden en Statistiek tul, MLW 7 april 2006 Deze toets bestaat uit 25 vierkeuzevragen. Kruis per vraag slechts één vakje aan op het antwoordformulier. Vraag goed beantwoord dan punt voor

Nadere informatie

Meten en experimenteren

Meten en experimenteren Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding 3 oktober 006 Deel I Toevallige veranderlijken Steekproef Beschrijving van gegevens Histogram Gemiddelde en standaarddeviatie

Nadere informatie

DEEL 3 INDUCTIEVE STATISTIEK INLEIDING TOT DE INDUCTIEVE STATISTIEK 11.2 DE GROOTSTE AANNEMELIJKHEID - METHODE

DEEL 3 INDUCTIEVE STATISTIEK INLEIDING TOT DE INDUCTIEVE STATISTIEK 11.2 DE GROOTSTE AANNEMELIJKHEID - METHODE DEEL 3 INDUCTIEVE STATISTIEK INHOUD H 10: INLEIDING TOT DE INDUCTIEVE STATISTIEK H 11: PUNTSCHATTING 11.1 ALGEMEEN 11.1.1 Definities 11.1.2 Eigenschappen 11.2 DE GROOTSTE AANNEMELIJKHEID - METHODE 11.3

Nadere informatie

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur.

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (WS05), vrijdag 9 oktober 010, van 14.00 17.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

15.1 Beslissen op grond van een steekproef [1]

15.1 Beslissen op grond van een steekproef [1] 15.1 Beslissen op grond van een steekproef [1] Voorbeeld 1: Een vulmachine vult flessen met een inhoud van X ml. X is normaal verdeeld met μ = 400 en σ = 4 Er wordt een steekproef genomen van 40 flessen.

Nadere informatie

Inhoud. Woord vooraf 13. Hoofdstuk 1. Inductieve statistiek in onderzoek 17. Hoofdstuk 2. Kansverdelingen en kansberekening 28

Inhoud. Woord vooraf 13. Hoofdstuk 1. Inductieve statistiek in onderzoek 17. Hoofdstuk 2. Kansverdelingen en kansberekening 28 Inhoud Woord vooraf 13 Hoofdstuk 1. Inductieve statistiek in onderzoek 17 1.1 Wat is de bedoeling van statistiek? 18 1.2 De empirische cyclus 19 1.3 Het probleem van de inductieve statistiek 20 1.4 Statistische

Nadere informatie

Verklarende Statistiek: Toetsen. Zat ik nou in dat kritische gebied of niet?

Verklarende Statistiek: Toetsen. Zat ik nou in dat kritische gebied of niet? Verklarende Statistiek: Toetsen Zat ik nou in dat kritische gebied of niet? Toetsen, Overzicht Nulhypothese - Alternatieve hypothese (voorbeeld: toets voor p = p o in binomiale steekproef) Betrouwbaarheid

Nadere informatie

Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback

Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback Correcte alternatieven worden door een sterretje aangeduid. 1 Een steekproef van 400 personen bestaat uit 270 mannen en 130 vrouwen. Twee derden van de mannen

Nadere informatie

mlw stroom 2.1: Statistisch modelleren

mlw stroom 2.1: Statistisch modelleren mlw stroom 2.1: Statistisch modelleren College 5: Regressie en correlatie (2) Rosner 11.5-11.8 Arnold Kester Capaciteitsgroep Methodologie en Statistiek Universiteit Maastricht Postbus 616, 6200 MD Maastricht

Nadere informatie

Schriftelijk examen statistiek, data-analyse en informatica. Maandag 29 mei 1995

Schriftelijk examen statistiek, data-analyse en informatica. Maandag 29 mei 1995 Schriftelijk examen statistiek, data-analyse en informatica Maandag 29 mei 1995 Tweede jaar kandidaat arts + Tweede jaar kandidaat in de biomedische wetenschappen Naam: Voornaam: Vraa Kengetal g Blad 1

Nadere informatie

Hoeveel condities zijn er (ga er vanuit dat het design fully crossed is)?

Hoeveel condities zijn er (ga er vanuit dat het design fully crossed is)? Vraag 1. Welk design bevat geen random assignment: a) Een design gebaseerd op matching b) Een design gebaseerd op blocking c) Een factorial design d) Elk van de hierboven genoemde designs Vraag 2. In een

Nadere informatie

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8 Tentamen Statistische methoden 4052STAMEY juli 203, 9:00 2:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het meerkeuzevragenformulier uw Delftse studienummer in (tbv automatische verwerking); en op het open

Nadere informatie

introductie Wilcoxon s rank sum toets Wilcoxon s signed rank toets introductie Wilcoxon s rank sum toets Wilcoxon s signed rank toets

introductie Wilcoxon s rank sum toets Wilcoxon s signed rank toets introductie Wilcoxon s rank sum toets Wilcoxon s signed rank toets toetsende statistiek week 1: kansen en random variabelen week : de steekproevenverdeling week 3: schatten en toetsen: de z-toets week : het toetsen van gemiddelden: de t-toets week 5: het toetsen van varianties:

Nadere informatie

Data analyse Inleiding statistiek

Data analyse Inleiding statistiek Data analyse Inleiding statistiek 1 Terugblik - Inductieve statistiek Afleiden van eigenschappen van een populatie op basis van een beperkt aantal metingen (steekproef) Kennis gemaakt met kans & kansverdelingen»

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamenopgaven Statistiek 2DD71: UITWERKINGEN 1. Stroopwafels a De som S van de 12 gewichten is X 1 + X 2 + + X 12. Deze is normaal

Nadere informatie

HOOFDSTUK VIII VARIANTIE ANALYSE (ANOVA)

HOOFDSTUK VIII VARIANTIE ANALYSE (ANOVA) HOOFDSTUK VIII VARIANTIE ANALYSE (ANOVA) DATA STRUKTUUR Afhankelijke variabele: Eén kontinue variabele Onafhankelijke variabele(n): - één discrete variabele: één gecontroleerde factor - twee discrete variabelen:

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 16 april 2010, uur

Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 16 april 2010, uur Kansrekening en statistiek wi205in deel 2 6 april 200, 4.00 6.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek WI2211TI / WI2105IN deel 2 2 februari 2012, uur

Kansrekening en statistiek WI2211TI / WI2105IN deel 2 2 februari 2012, uur Kansrekening en statistiek WI22TI / WI25IN deel 2 2 februari 22, 4. 6. uur VOOR WI22TI: Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Een formuleblad is niet toegestaan.

Nadere informatie

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), dinsdag 3 november 2009, van uur.

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), dinsdag 3 november 2009, van uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), dinsdag 3 november 2009, van 4.00 7.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Cursus Statistiek 2. Fellowonderwijs Opleiding Intensive Care. UMC St Radboud, Nijmegen

Cursus Statistiek 2. Fellowonderwijs Opleiding Intensive Care. UMC St Radboud, Nijmegen Cursus Statistiek 2 Fellowonderwijs Opleiding Intensive Care UMC St Radboud, Nijmegen Cursus Statistiek 2 Steekproefgrootte en power berekening Vergelijken van gemiddelden (T-testen) Niet-parametrische

Nadere informatie

introductie toetsen power pauze hypothesen schatten ten slotte introductie toetsen power pauze hypothesen schatten ten slotte

introductie toetsen power pauze hypothesen schatten ten slotte introductie toetsen power pauze hypothesen schatten ten slotte toetsende statistiek week 1: kansen en random variabelen week 2: de steekproevenverdeling week 3: schatten en toetsen: de z-toets Moore, McCabe, and Craig. Introduction to the Practice of Statistics Chapter

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 12. Dinsdag 23 Oktober

Statistiek voor A.I. College 12. Dinsdag 23 Oktober Statistiek voor A.I. College 12 Dinsdag 23 Oktober 1 / 20 2 Deductieve statistiek Orthodoxe statistiek 2 / 20 3 / 20 Jullie - onderzoek Wivine Tijd waarop je opstaat (uu:mm wordt weergeven als uumm). Histogram

Nadere informatie

Wiskunde B - Tentamen 2

Wiskunde B - Tentamen 2 Wiskunde B - Tentamen Tentamen van Wiskunde B voor CiT (57) Donderdag 4 april 005 van 900 tot 00 uur Dit tentamen bestaat uit 8 opgaven, 3 tabellen en formulebladen Vermeld ook je studentnummer op je werk

Nadere informatie

+ ( 1 4 )2 σ 2 X σ2. 36 σ2 terwijl V ar[x] = 11. Aangezien V ar[x] het kleinst is, is dit rekenkundig gemiddelde de meest efficiënte schatter.

+ ( 1 4 )2 σ 2 X σ2. 36 σ2 terwijl V ar[x] = 11. Aangezien V ar[x] het kleinst is, is dit rekenkundig gemiddelde de meest efficiënte schatter. STATISTIEK OPLOSSINGEN OEFENZITTINGEN 5 en 6 c D. Keppens 2004 5 1 (a) Zij µ de verwachtingswaarde van X. We moeten aantonen dat E[M i ] = µ voor i = 1, 2, 3 om te kunnen spreken van zuivere schatters.

Nadere informatie

Zomerschool Vakdidactisch Onderzoek Leuven, 8-10 september 2010 Sessie 8: Analyse van kwantitatieve data

Zomerschool Vakdidactisch Onderzoek Leuven, 8-10 september 2010 Sessie 8: Analyse van kwantitatieve data Zomerschool Vakdidactisch Onderzoek Leuven, 8-10 september 2010 Sessie 8: Analyse van kwantitatieve data An Carbonez Leuven Statistics Research Centre Katholieke Universiteit Leuven Voorstelling van de

Nadere informatie

Beschrijvend statistiek

Beschrijvend statistiek 1 Beschrijvend statistiek 1. In een school werd het intelligentiequotiënt gemeten van de leerlingen van het zesde jaar (zie tabel). De getallen werden afgerond tot op de eenheid. De berekeningen mogen

Nadere informatie

Inhoud. 1 Inleiding tot de beschrijvende statistiek Maatstaven voor ligging en spreiding Kansrekening 99

Inhoud. 1 Inleiding tot de beschrijvende statistiek Maatstaven voor ligging en spreiding Kansrekening 99 Inhoud 1 Inleiding tot de beschrijvende statistiek 13 1.1 Een eerste verkenning 14 1.2 Frequentieverdelingen 22 1.3 Grafische voorstellingen 30 1.4 Diverse diagrammen 35 1.5 Stamdiagram, histogram en frequentiepolygoon

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 10 Donderdag 20 Oktober 1 / 1 2 Statistiek Vandaag: Hypothese toetsen 2 / 1 3 / 1 Terzijde NU.nl 19 oktober 2011: Veel Facebookvrienden wijst op grotere hersenen. (http://www.nu.nl/wetenschap/2645008/veel-facebookvrienden-wijst-groterehersenen-.html)

Nadere informatie

INDUCTIEVE STATISTIEK VOOR DE GEDRAGSWETENSCHAPPEN OPLOSSINGEN BIJ HOOFDSTUK 5

INDUCTIEVE STATISTIEK VOOR DE GEDRAGSWETENSCHAPPEN OPLOSSINGEN BIJ HOOFDSTUK 5 INDUCTIEVE STATISTIEK VOOR DE GEDRAGSWETENSCHAPPEN OPLOSSINGEN BIJ HOOFDSTUK 5 1. De onderzoekers van een preventiedienst vermoeden dat werknemers in een bedrijf zonder liften fitter zijn dan werknemers

Nadere informatie

Meten en experimenteren

Meten en experimenteren Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding 6 oktober 009 Catherine De Clercq Statistische verwerking van gegevens Kursus statistiek voor fysici door Jorgen D Hondt

Nadere informatie

Sheets K&S voor INF HC 10: Hoofdstuk 12

Sheets K&S voor INF HC 10: Hoofdstuk 12 Sheets K&S voor INF HC 1: Hoofdstuk 12 Statistiek Deel 1: Schatten (hfdst. 1) Deel 2: Betrouwbaarheidsintervallen (11) Deel 3: Toetsen van hypothesen (12) Betrouwbaarheidsintervallen (H11) en toetsen (H12)

Nadere informatie

Statistiek. Statistiek in het laboratorium van de ziekenhuisapotheek; deel 1.

Statistiek. Statistiek in het laboratorium van de ziekenhuisapotheek; deel 1. Statistiek Statistiek in het laboratorium van de ziekenhuisapotheek; deel 1. M.C. de Brouwer M.C.J. Langen Laboratorium van de ziekenhuisapotheek Midden-Brabant Maria ziekenhuis Dr. Deelenlaan 5 5042 AD

Nadere informatie

Formules Excel Bedrijfsstatistiek

Formules Excel Bedrijfsstatistiek Formules Excel Bedrijfsstatistiek Hoofdstuk 2 Data en hun voorstelling AANTAL.ALS vb: AANTAL.ALS(A1 :B6,H1) Telt hoeveel keer (frequentie) de waarde die in H1 zit in A1:B6 voorkomt. Vooral bedoeld voor

Nadere informatie

Hoeveel vertrouwen heb ik in mijn onderzoek en conclusie? Les 1

Hoeveel vertrouwen heb ik in mijn onderzoek en conclusie? Les 1 Hoeveel vertrouwen heb ik in mijn onderzoek en conclusie? Les 1 1 Onderwerpen van de lessenserie: De Normale Verdeling Nul- en Alternatieve-hypothese ( - en -fout) Steekproeven Statistisch toetsen Grafisch

Nadere informatie

Extra Opgaven. 3. Van 10 personen meten we 100 keer de hartslag na het sporten. De gemiddelde hartslag van

Extra Opgaven. 3. Van 10 personen meten we 100 keer de hartslag na het sporten. De gemiddelde hartslag van Extra Opgaven 1. Een persoon doet een HIV-test. Helaas is de uitslag positief. De test is echter niet perfect. De persoon vraagt zich af wat de kans is dat hij nu ook echt HIV heeft. Gegeven is: de kans

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

7.1 Toets voor het gemiddelde van een normale verdeling

7.1 Toets voor het gemiddelde van een normale verdeling Hoofdstuk 7 Toetsen van hypothesen Toetsen van hypothesen is, o.a. in de medische en chemische wereld, een veel gebruikte statistische techniek. Het wordt vaak gebruikt om een gevestigde norm eventueel

Nadere informatie

HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN

HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN 1.2 Kansveranderlijken en verdelingen 1 Veranderlijken Beschouw een toevallig experiment met uitkomstenverzameling V (eindig of oneindig), de verzameling van alle gebeurtenissen

Nadere informatie

Figuur 1: Voorbeelden van 95%-betrouwbaarheidsmarges van gemeten percentages.

Figuur 1: Voorbeelden van 95%-betrouwbaarheidsmarges van gemeten percentages. MARGES EN SIGNIFICANTIE BIJ STEEKPROEFRESULTATEN. De marges van percentages Metingen via een steekproef leveren een schatting van de werkelijkheid. Het toevalskarakter van de steekproef heeft als consequentie,

Nadere informatie

Parametervrije toetsen

Parametervrije toetsen 1 Inleiding Parametervrije toetsen Edward Omey Februari 2007 In de klassieke toetsingstheorie worden meestal speci eke veronderstellingen gemaakt over de populatie(s) waaruit steekproeven afkomstig zijn.

Nadere informatie

Meten en experimenteren

Meten en experimenteren Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding 5 oktober 007 Catherine De Clercq Statistische verwerking van gegevens Kursus statistiek voor fysici door Jorgen D Hondt

Nadere informatie

werkcollege 6 - D&P9: Estimation Using a Single Sample

werkcollege 6 - D&P9: Estimation Using a Single Sample cursus 9 mei 2012 werkcollege 6 - D&P9: Estimation Using a Single Sample van frequentie naar dichtheid we bepalen frequenties van meetwaarden plot in histogram delen door totaal aantal meetwaarden > fracties

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek 2 voor TeMa (2S195) op dinsdag , uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek 2 voor TeMa (2S195) op dinsdag , uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Statistiek voor TeMa (S95) op dinsdag 3-03-00, 9- uur. Bij het tentamen mag gebruik worden gemaakt van een zakrekenmachine en

Nadere informatie

Data analyse Inleiding statistiek

Data analyse Inleiding statistiek Data analyse Inleiding statistiek Terugblik - Inductieve statistiek Afleiden van eigenschappen van een populatie op basis van een beperkt aantal metingen (steekproef) Kennis gemaakt met kans & kansverdelingen

Nadere informatie

toetsende statistiek deze week: wat hebben we al geleerd? Frank Busing, Universiteit Leiden

toetsende statistiek deze week: wat hebben we al geleerd? Frank Busing, Universiteit Leiden toetsende statistiek week 1: kansen en random variabelen week 2: de steekproevenverdeling week 3: schatten en toetsen: de z-toets week 4: het toetsen van gemiddelden: de t-toets Moore, McCabe, and Craig.

Nadere informatie

Schriftelijk tentamen - UITWERKINGEN

Schriftelijk tentamen - UITWERKINGEN Business Administration / Bedrijfskunde Schriftelijk tentamen - UITWERKINGEN Algemeen Vak : Statistische Methoden Groep : niet van toepassing en Technieken Vakcode : BKB0019t Soort tentamen : gesloten

Nadere informatie

Verslag consumentenonderzoek zorgsector Breda

Verslag consumentenonderzoek zorgsector Breda Verslag consumentenonderzoek zorgsector Breda Inleiding: In het kader van het project economische barometer is in 2012 gekozen voor het onderwerp zorgverlening en vooral het gebruik van de zorgverleners,

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Technische Universiteit Delft Mekelweg 4 Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica 2628 CD Delft Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Formulebladen, rekenmachines,

Nadere informatie

Examen Kansrekening en Wiskundige Statistiek: oplossingen

Examen Kansrekening en Wiskundige Statistiek: oplossingen Examen Kansrekening en Wiskundige Statistiek: oplossingen S. Vansteelandt Academiejaar 006-007 1. Een team van onderzoekers wil nagaan of een bepaald geneesmiddel Triptan meer effectief is dan aspirine

Nadere informatie

Statistiek: Spreiding en dispersie 6/12/2013. dr. Brenda Casteleyn

Statistiek: Spreiding en dispersie 6/12/2013. dr. Brenda Casteleyn Statistiek: Spreiding en dispersie 6/12/2013 dr. Brenda Casteleyn dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 2 1. Theorie Met spreiding willen we in één getal uitdrukken hoe verspreid de gegevens zijn: in hoeveel

Nadere informatie

Kansrekenen en statistiek. Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven

Kansrekenen en statistiek. Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven Kansrekenen en statistiek Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven Academiejaar 2010-2011 Hoofdstuk 2 Beschrijvende statistiek Meerkeuzevraag 1 Opeenvolgende metingen

Nadere informatie

6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling.

6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling. Opgaven hoofdstuk 6 I Learning the Mechanics 6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling. De random variabele x wordt tweemaal waargenomen. Ga na dat, indien de waarnemingen

Nadere informatie

Examen G0N34 Statistiek

Examen G0N34 Statistiek Naam: Richting: Examen G0N34 Statistiek 8 september 2010 Enkele richtlijnen : Wie de vragen aanneemt en bekijkt, moet minstens 1 uur blijven zitten. Je mag gebruik maken van een rekenmachine, het formularium

Nadere informatie

Hoofdstuk 8: Het Toetsen van Hypothesen (Extra Oefeningen)

Hoofdstuk 8: Het Toetsen van Hypothesen (Extra Oefeningen) Hoofdstuk 8: Het Toetsen van Hypothesen (Extra Oefeningen) 8.16. Men wenst H 0 : p 0.2 te testen tegenover H 1 : p 0.4 voor een binomiale distributie met n 10. Bepaal α en β als de testfunctie gegeven

Nadere informatie

Samenvatting Statistiek

Samenvatting Statistiek Samenvatting Statistiek De hoofdstukken 1 t/m 3 gaan over kansrekening: het uitrekenen van kansen in een volledig gespecifeerd model, waarin de parameters bekend zijn en de kans op een gebeurtenis gevraagd

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 27 januari 2010, uur

Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 27 januari 2010, uur Kansrekening en statistiek wi2105in deel 2 27 januari 2010, 14.00 16.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 : Numerieke beschrijving van data. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent

Hoofdstuk 3 : Numerieke beschrijving van data. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Hoofdstuk 3 : Numerieke beschrijving van data Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Numerieke beschrijving van data p 1/31 Beschrijvende

Nadere informatie

Cursus TEO: Theorie en Empirisch Onderzoek. Practicum 2: Herhaling BIS 11 februari 2015

Cursus TEO: Theorie en Empirisch Onderzoek. Practicum 2: Herhaling BIS 11 februari 2015 Cursus TEO: Theorie en Empirisch Onderzoek Practicum 2: Herhaling BIS 11 februari 2015 Centrale tendentie Centrale tendentie wordt meestal afgemeten aan twee maten: Mediaan: de middelste waarneming, 50%

Nadere informatie

Interim Toegepaste Biostatistiek deel 1 14 december 2009 Versie A ANTWOORDEN

Interim Toegepaste Biostatistiek deel 1 14 december 2009 Versie A ANTWOORDEN Interim Toegepaste Biostatistiek deel december 2009 Versie A ANTWOORDEN C 2 B C A 5 C 6 B 7 B 8 B 9 D 0 D C 2 A B A 5 C Lever zowel het antwoordformulier als de interim toets in Versie A 2. Dit tentamen

Nadere informatie

Toetsen van hypothesen

Toetsen van hypothesen Toetsen van hypothesen 1 Het probleem 25 maart 2003 De busmaatschappij De Lijn heeft gemiddeld per dag 20000 reizigers in de stad Antwerpen. Tegenwoordig zijn er heel wat reizigers die proberen met de

Nadere informatie

Vraag 1. Welk design bevat geen random assignment:

Vraag 1. Welk design bevat geen random assignment: Vraag 1. Welk design bevat geen random assignment: a) Een design gebaseerd op matching b) Een design gebaseerd op blocking c) Een factorial design d) Elk van de hierboven genoemde designs ch14 p.375 Vraag

Nadere informatie

Enkelvoudige ANOVA Onderzoeksvraag Voorwaarden

Enkelvoudige ANOVA Onderzoeksvraag Voorwaarden Er is onderzoek gedaan naar rouw na het overlijden van een huisdier (contactpersoon: Karolijne van der Houwen (Klinische Psychologie)). Mensen konden op internet een vragenlijst invullen. Daarin werd gevraagd

Nadere informatie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie Inleveren: Uiterlijk 15 februari voor 16.00 in mijn postvakje Afspraken Overleg is toegestaan, maar iedereen levert zijn eigen werk in. Overschrijven

Nadere informatie

Opgeloste Oefeningen Hoofdstuk 8: Het Toetsen van Hypothesen

Opgeloste Oefeningen Hoofdstuk 8: Het Toetsen van Hypothesen Opgeloste Oefeningen Hoofdstuk 8: Het Toetsen van Hypothesen 8.1. Stel dat medisch onderzoek heeft uitgewezen dat als het gemiddelde nicotinegehalte van een sigaret 25 mg of meer bedraagt, de kans op longkanker

Nadere informatie

G0N11a Statistiek en data-analyse: project Eerste zittijd Modeloplossing

G0N11a Statistiek en data-analyse: project Eerste zittijd Modeloplossing G0N11a Statistiek en data-analyse: project Eerste zittijd 2007-2008 Modeloplossing Opmerking vooraf: Deze modeloplossing is een heel volledig antwoord op de gestelde vragen. Om de maximumscore op een vraag

Nadere informatie

Bijlage bij Eindverslag van de Nomenclatuurcommissie Wiskunde september 2007

Bijlage bij Eindverslag van de Nomenclatuurcommissie Wiskunde september 2007 Bijlage bij Eindverslag van de Nomenclatuurcommissie Wiskunde september 2007 zie havo vwo aantonen 1 aanzicht absolute waarde afgeleide (functie) notatie met accent: bijvoorbeeld f'(x), f' notatie met

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 13 Dinsdag 26 Oktober 1 / 24 2 Statistiek Indeling: Hypothese toetsen Filosofie 2 / 24 Hypothese toetsen 3 / 24 Hypothese toetsen: toepassingen Vb. Een medicijn wordt

Nadere informatie

Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010

Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010 Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010 Het correcte antwoord wordt aangeduid door een sterretje. 1 Een steekproef van 400 personen bestaat uit 270 mannen en 130 vrouwen. Een derde van de mannen is

Nadere informatie

SPSS Introductiecursus. Sanne Hoeks Mattie Lenzen

SPSS Introductiecursus. Sanne Hoeks Mattie Lenzen SPSS Introductiecursus Sanne Hoeks Mattie Lenzen Statistiek, waarom? Doel van het onderzoek om nieuwe feiten van de werkelijkheid vast te stellen door middel van systematisch onderzoek en empirische verzamelen

Nadere informatie

Populatie: De gehele groep elementen waarover informatie wordt gewenst.

Populatie: De gehele groep elementen waarover informatie wordt gewenst. Statistiek I Werkcollege 1 Populatie: De gehele groep elementen waarover informatie wordt gewenst. Steekproef: Gedeelte van de populatie dat feitelijk wordt onderzocht om informatie te vergaren. Eenheden:

Nadere informatie

College 2 Enkelvoudige Lineaire Regressie

College 2 Enkelvoudige Lineaire Regressie College Enkelvoudige Lineaire Regressie - Leary: Hoofdstuk 7 tot p. 170 (Advanced Correlational Strategies) - MM&C: Hoofdstuk 10 (Inference for Regression) - Aanvullende tekst 3 Jolien Pas ECO 011-01 Correlatie:

Nadere informatie

Feedback examen Statistiek II Juni 2011

Feedback examen Statistiek II Juni 2011 Feedback examen Statistiek II Juni 2011 Bij elke vraag is alternatief A correct. 1 De variabele X is Student verdeeld in een bepaalde populatie, met verwachting µ X en variantie σ 2 X. Je trekt steekproeven

Nadere informatie

Toegepaste Statistiek, Dag 7 1

Toegepaste Statistiek, Dag 7 1 Toegepaste Statistiek, Dag 7 1 Statistiek: Afkomstig uit het Duits: De studie van politieke feiten en cijfers. Afgeleid uit het latijn: status, staat, toestand Belangrijkste associatie: beschrijvende statistiek

Nadere informatie

DEZE PAGINA NIET vóór 8.30u OMSLAAN!

DEZE PAGINA NIET vóór 8.30u OMSLAAN! STTISTIEK 1 VERSIE MT15303 1308 1 WGENINGEN UNIVERSITEIT LEERSTOELGROEP MT Tentamen Statistiek 1 (MT-15303) 5 augustus 2013, 8.30-10.30 uur EZE PGIN NIET vóór 8.30u OMSLN! STRT MET INVULLEN VN NM, REGISTRTIENUMMER,

Nadere informatie

Wiskunde B - Tentamen 1

Wiskunde B - Tentamen 1 Wiskunde B - Tentamen Tentamen 57 Wiskunde B voor CiT vrijdag januari 5 van 9. tot. uur Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven, formulebladen en tabellen. Vermeld ook uw studentnummer op uw werk en tentamenbriefje.

Nadere informatie

Reconstructie Bedrijfsstatistiek 2016

Reconstructie Bedrijfsstatistiek 2016 Reconstructie Bedrijfsstatistiek 2016 Open vragen Vraag 1 1. Bewijs dat σ^² een onvertekende schatter is voor σ²=σi 1/n * Xi² 2. Bereken de variantie van o^² 3. Is de schatter consistent? 4. Teken chi-kwadraat

Nadere informatie

4 Domein STATISTIEK - versie 1.2

4 Domein STATISTIEK - versie 1.2 USolv-IT - Boomstructuur DOMEIN STATISTIEK - versie 1.2 - c Copyrighted 42 4 Domein STATISTIEK - versie 1.2 (Op initiatief van USolv-IT werd deze boomstructuur mede in overleg met het Universitair Centrum

Nadere informatie

Statistiek II. 1. Eenvoudig toetsen. Onderdeel toetsen binnen de cursus: Toetsen en schatten ivm één statistiek of steekproef

Statistiek II. 1. Eenvoudig toetsen. Onderdeel toetsen binnen de cursus: Toetsen en schatten ivm één statistiek of steekproef Statistiek II Onderdeel toetsen binnen de cursus: 1. Eenvoudig toetsen Toetsen en schatten ivm één statistiek of steekproef Via de z-verdeling, als µ onderzocht wordt en gekend is: Via de t-verdeling,

Nadere informatie

Toegepaste data-analyse: oefensessie 2

Toegepaste data-analyse: oefensessie 2 Toegepaste data-analyse: oefensessie 2 Depressie 1. Beschrijf de clustering van de dataset en geef aan op welk niveau de verschillende variabelen behoren Je moet weten hoe de data geclusterd zijn om uit

Nadere informatie

Examen Data Analyse II - Deel 2

Examen Data Analyse II - Deel 2 Examen Data Analyse II - Deel 2 Tweede Bachelor Biomedische Wetenschappen 10 januari 2011 Naam....................................... 1. De systolische bloeddruk (in mmhg) van 21 mannen is weergegeven

Nadere informatie

HOOFDSTUK III. SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen. Theorie Statistiek Les 6

HOOFDSTUK III. SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen. Theorie Statistiek Les 6 HOOFDSTUK III SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters e Betrouwbaarheidsitervalle 3. HET GEMIDDELDE VAN EEN NV Steekproef uit ee ormaal verdeelde populatie De kasveraderlijke X, X, X 3,..., X zij N(µ, σ) verdeeld

Nadere informatie

Toetsende Statistiek Week 3. Statistische Betrouwbaarheid & Significantie Toetsing

Toetsende Statistiek Week 3. Statistische Betrouwbaarheid & Significantie Toetsing Toetsende Statistiek Week 3. Statistische Betrouwbaarheid & Significantie Toetsing M, M & C, Chapter 6, Introduction to Inference 6.1 Estimating with Confidence 6.2 Tests of Significance 6.3 Use and Abuse

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en statistiek wi2105in 25 juni 2007, uur

Tentamen Kansrekening en statistiek wi2105in 25 juni 2007, uur Tentamen Kansrekening en statistiek wi205in 25 juni 2007, 4.00 7.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische rekenmachine toegestaan. Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop

Nadere informatie

Statistische toetsen

Statistische toetsen Statistische toetsen Een handleiding voor elke leerling die worstelt met het toetsen van zijn gegevens bij het PWS Hanna Bodde en Annalie Koerts Karla Thie Inhoudsopgave 1. Inleiding 3 2. Criteria voor

Nadere informatie

Stochastiek 2. Inleiding in de Mathematische Statistiek 1 / 18

Stochastiek 2. Inleiding in de Mathematische Statistiek 1 / 18 Stochastiek 2 Inleiding in de Mathematische Statistiek 1 / 18 t-toetsen 2 / 18 Steekproefgemiddelde en -variantie van normale observaties Stelling. Laat X 1,..., X n o.o. zijn en N(µ, σ 2 )-verdeeld. Dan:

Nadere informatie

Tentamen Biostatistiek 1 voor BMT (2DM40) woensdag 2 november 2011, uur

Tentamen Biostatistiek 1 voor BMT (2DM40) woensdag 2 november 2011, uur Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen Biostatistiek 1 voor BMT (2DM40) woensdag 2 november 2011, 9.00-12.00 uur Bij het tentamen mag gebruik worden gemaakt van een zakrekenmachine en van een onbeschreven

Nadere informatie

b) Het spreidingsdiagram ziet er als volgt uit (de getrokken lijn is de later uit te rekenen lineaire regressie-lijn): hoogte

b) Het spreidingsdiagram ziet er als volgt uit (de getrokken lijn is de later uit te rekenen lineaire regressie-lijn): hoogte Classroom Exercises GEO2-4208 Opgave 7.1 a) Regressie-analyse dicteert hier geen stricte regels voor. Wanneer we echter naar causaliteit kijken (wat wordt door wat bepaald), dan is het duidelijk dat hoogte

Nadere informatie