TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Tentamen Biostatistiek voor BMT (2S39) op U mag alleen gebruik maken van een onbeschreven Statistisch Compendium (dikt. nr. 228) en van een zakrekenmachine. De uitwerkingen van de opgaven dienen gemotiveerd, duidelijk geformuleerd en overzichtelijk opgeschreven te worden. Per onderdeel zijn 2 punten te behalen. Cijfer is het totaal aantal behaalde punten gedeeld door 4, met een maximum van (er zijn 42 punten te behalen in totaal).. Jan gaat een gokje wagen op een paard bij een paardenrace. Er zijn 5 races, maar Jan moet voor die 5 races zijn geld inzetten op één paard. Hij twijfelt tussen twee paarden. De winstkansen per race van het paard Runfast worden geschat op., die van Runnotsofast op.5. We gaan ervan uit dat de 5 raceresultaten onafhankelijk zijn. (a) Wat is de kans dat Runfast één of meerdere keren wint? Binomiale verdeling met n = 5 en p =. Dan P (X ) = P (X = ) = (.9) 5 =. (b) De inzet is euro. Bij Runfast krijgt men zeven maal de inzet terug als deze wint, bij Runnotsofast vijftien. Op welk paard zou jij inzetten en bereken de verwachte opbrengst. S: opbrengst inzet op Runfast, T : opbrengst inzet Runnotsofast. Dan E(S) = 7. 5 = 25 en E(T ) = = 37.5, dus op Runnotsofast. (c) Noem X het aantal keren dat Runfast wint en Y het aantal keren dat Runnotsofast wint. Zijn deze twee stochastische variabelen gecorreleerd? Zo ja, hoe? Ja, ze zijn negatief gecorreleerd, want winst van Runfast sluit winst van Runnotsofast uit. (d) Jan komt blij thuis: hij heeft winst gemaakt, maar je weet niet hoeveel. Ook vertelt hij niet op welk paard hij heeft gewed. Als je ervan uitgaat dat evenveel gokkers op Runfast als op Runnotsofast inzetten, wat is dan de kans dat Jan, gegeven deze informatie, op Runfast heeft ingezet? Gebruik Bayes en de totale kansregel. Bereken eerst de kans dat Jan winst maakt wanneer hij inzet op Runfast. In dat geval moet hij of meerdere keren hebben gewonnen, de kans daarop is (zie a.) De kans dat Jan winst maakt wanneer hij inzet op Runnotsofast is de kans dat dat paard minimaal eenmaal wint: (.95) 5 = 26. Dan noem W: winst stochast (ja/nee), RF: Jan heeft ingezet of Runfast, RNF: Jan heeft ingezet op Runnotsofast. P (W RF ) P (RF ) P (W RF ) P (RF ) P (RF W ) = = P (W ) P (W RF ) P (RF ) + P (W RNF ) P (RNF ).5 = = 4 2. Er wordt getest of een nieuw soort hartklep beter functioneert dan een bestaande soort. Daartoe worden de twee groepen van 2 kunstkleppen getest door een belasting te simuleren. De score wordt uitgedrukt in de tijd waarop de klep als versleten wordt beschouwd. De data en de samenvatting van de data van het oude type hartklep door Statgraphics zijn alsvolgt: Nieuw Oud Nieuw Oud

2 Average =.389 Median = Variance =.5575 Standard deviation =.275 Minimum = Maximum = Range = Lower quartile (25% cut-off) = 8788 Upper quartile (75% cut-off) = (a) Is het redelijk een normale verdeling te veronderstellen? Beargumenteer. Nee, de mediaan ligt niet mooi in het midden van het 25% en 75% punt. Ook ligt de mediaan veel dichter bij het minimum dan bij het maximum. Tenslotte, is het gemiddelde een stuk groter dan de mediaan, hetgeen aangeeft dat de verdeling scheef naar rechts is. De steekproefgrootte (2*2) is wellicht op het randje van toepasbaarheid van de Centrale Limiet Stelling, dus met dit argument is het wel redelijk te veronderstellen dat het gemiddelde redelijk normaal verdeeld is. (b) Toets of de nieuwe soort hartklep beter functioneert dan de oude. Gebruik daarbij evt. de volgende gegevens: Average Oud =.389 Median Oud = Variance Oud =.5575 Standard deviation Oud =.275 Sum of Ranks Oud = 42 Average Nieuw = Median Nieuw = Variance Nieuw = Standard deviation Nieuw = Sum of Ranks Nieuw = 48 Gebruik de Wilcoxon rangsom toets, want data zijn niet gepaard. Toets eenzijdig: H : µ nieuw > µ oud. Gebruik normale benadering. Dan P(W 48) P(Z > (48 4)/ 4 4/2) = P(Z > 2) =.5 Dit is veel groter dan.5, dus H niet verwerpen. (c) De gegevens hierboven nog eens beschouwende, waarom zou je dan wellicht toch de nieuwe hartklep prefereren (voer geen toets uit)? De spreiding (zie variantie en standaarddeviatie) is veel kleiner voor de nieuwe klep, waardoor je beter kan garanderen dat een patiënt in ieder geval een redelijke tijd vooruit kan met de kunstklep. 3. We gaan twee statistische toetsen met elkaar vergelijken. De nulhypothese is H : µ =, waarbij µ het gemiddelde van één sample is. 2

3 (a) Bekijk power curves a. en b. in de bijlage achteraan. Deze curves corresponderen respectievelijk met toetsen en 2. Op basis van deze curves, welke toets zou jij prefereren? De eerste: hoger onderscheidingsvermogen. (b) curves a. en b. zijn gemaakt in het geval van een normale verdeling, power curves c. en d. voor een andere verdeling, bijv. de t-verdeling waarbij dezelfde kritieke grenzen worden gebruikt als voor de normale verdeling. curve c. correspondeert met toets en power curve d. correspondeert met toets 2. Wat is de type I fout voor toets en de niet-normale verdeling (geval c.)? Kunnen we voor deze verdeling het onderscheidingsvermogen (power) voor toets en 2 goed vergelijken? Gevraagde α opzoeken bij gelijk aan :.. Nee, de α s zijn niet gelijk voor beide toetsen. 4. Een keeper heeft de volgende data verzameld van 67 spelers over de plaatsing van twee strafschoppen, voor elke speler in twee wedstrijden die kort na elkaar hebben plaatsgevonden. Poging Links Midden Rechts Poging 2 Links 5 6 Midden 8 3 Rechts (a) Bereken het verwachte aantal spelers dat twee strafschoppen achter elkaar rechts plaatst als we ervan uitgaan dat de plaatsing bij de tweede poging onafhankelijk is van de eerste. Dat is 67 * (6+3+3)/67 * (7+5+3)/67 = 8.2 (niet afronden!) (b) De keeper heeft ook de volgende informatie over vijf spelers die nu tegenover hem komen staan voor een strafschop: bij een (e) poging (vorige wedstrijd) schoten 3 spelers van de tegenstander rechts, speler links en speler in het midden. Wat is volgens de tabel het verwachte aantal schoten op rechts van deze vijf spelers bij deze (2e) poging? Dat is 3* 3/(6+3+3) + *7/(+8+7) + *5/(5++5) = 2.3 (weer niet afronden!) (c) We stellen nu links = -, midden = en rechts =. Noem X de plaatsing bij de eerste poging (dus X =, of ) en Y de plaatsing bij de 2e poging. De simultane kansdichtheid modelleren we met f X,Y (x, y) = k (6 (x y) 2 ). Vindt de waarde van k. Er moet gelden dat de som van de kansen gelijk aan is. Deze som is 3 k k (6 ) + 2 k (6 4) = 42 k, dus k = /42. (d) Neem aan dat k = /42. Bereken het verwachte aantal spelers dat volgens het model twee strafschoppen achter elkaar links plaatst. Toets of voor de data zoals in bovenstaande tabel deze kansverdeling voldoet (met α =.5). De waarde van de toetsingsgrootheid is gelijk aan 2.6 en er zijn geen cellen samengevoegd. De kans dat dat gebeurt is volgens het model: /42 6 = 3. Dus je verwacht 3*67 = 9.57 spelers die tweemaal links schieten. Gebruik χ 2 -verdeling met 9- = 8 vrijheidsgraden. χ 2 8;.5 = 5.5, dus niet verwerpen. 5. Van een bepaald soort fles weten we dat deze gemiddeld 6 gram weegt met een standaarddeviatie van 2 gram. Na het vullen van deze fles met cola weten we dat de fles met inhoud gemiddeld 57 gram weegt met een standaarddeviatie van gram. We gaan er vanuit dat het vulgewicht van de cola en het gewicht van de fles onafhankelijke normaal verdeelde variabelen zijn. 3

4 (a) Wat is de standaarddeviatie van het vulgewicht van de cola? Noem X: totaal gewicht, Y : vulgewicht en Z: gewicht van de fles, dan V (X) = V (Y ) + V (Z), dus V (Y ) = 4 = 96, dus s.d. is gelijk aan 96 = 9.8. (b) Bereken de kans dat 5 flessen bij elkaar meer dan 78 gram wegen. Totaal gewicht vijf flessen (T ) is normaal verdeeld met verwachtingswaarde 5*57 = 785 en s.d. 5 = Dus P(T > 78) = P (Z > (78 785)/22.36) = P(Z > 2.236) = (c) We stellen nu aan de hand van 2 steekproeven van gevulde flessen 2 keer een 95% betrouwbaarheidsinterval op voor σ, de standaarddeviatie dus. Hoe vaak verwacht je dat buiten dit interval valt? 2*( -.95) = keer. (d) Een achterdochtige consument vermoedt dat de fabrikant zijn productie niet onder controle heeft en dat de daadwerkelijke spreiding op het totale gewicht groter is dan de geclaimde gram. Hij koopt daarom 8 flessen (bij verschillende winkels) en weegt ze nauwkeurig. De resultaten zijn: Toets de claim bij α =.5. De 95% betrouwbaarheidsondergrens is gelijk aan 2. (blz. 22 compendium). Dit ligt voorbij de dus, H : σ = verwerpen. 6. Korte vragen. Beargumenteer kort en bondig. (a) Juist of onjuist? De correlatie tussen de stochasten 6X + 3 en 5Y + is even groot als die tussen X en Y. Juist, correlatie schaalt vermenigvuldiging en optelling weg. Kan ook uit de formule (zie Stat. Comp.) worden afgeleid. (b) De tijd tussen twee auto-ongelukken op de A2 volgt een exponentiële verdeling en is gemiddeld één week. Bereken de kans dat er in een jaar (52 weken) meer dan 6 ongelukken plaatsvinden op de A2. Het aantal ongelukken per jaar volgt een Poisson verdeling met λ = 52. We gebruiken de normale benadering voor Poissonkansen: P(X > 6) = P((X 52)/ 52 > (6 52)/ 52) = P(Z > (6 52)/ 52) = P(Z >.) =.335. (c) De 9%, 92.5% en 95% betrouwbaarheidsintervallen voor een gemiddelde µ zijn [-,2], [-9.3,.3] en [-8, ]. Stel aan de hand van deze gegevens een 92.5% betrouwbaarheidsbovengrens op voor µ 2. Dit is µ 2 <, want een b.i. voor µ is symmetrisch en dus ligt µ met onbetrouwbaarheid 5% onder de - en met onbetrouwbaarheid 2.5% boven de. Daarom ligt µ 2 met betrouwbaarheid 92.5% onder de () 2 =. (d) Bonusvraag (Wetenschapsquiz 24). We doen met kans een /2 blind een rode of een witte bal in een zak. We stoppen er vervolgens een witte bal bij. We trekken nu blind een bal en zien dat deze wit is. Wat is de kans dat de andere bal in de zak ook wit is? Noem de getrokken witte bal W. Dan te berekenen P(X2 = W 2 X = W ) = P(X2 = W 2, X = W )/P(X = W ) = (/2)/(/2 + /2 /2) = (/2)/(3/4) = 2/3. Nb. Bij de opgaven kunnen de volgende formules (naast diegene in het Stat. Comp.) van nut zijn (maar niet noodzakelijkerwijs!). 4

5 P (A B) = P (A B) P (B) = P (B A)P (A) P (B) P (B) = P (B A)P (A) + P (B A )P (A ) X 2 = k (O i E i ) 2 X 2 = i= k i= j= E i r (O ij E ij ) 2 E ij 5

6 Curve a. Curve b Curve c. Curve d