Meten en experimenteren

Transcriptie

1 Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding 5 oktober 007 Catherine De Clercq

2 Statistische verwerking van gegevens Kursus statistiek voor fysici door Jorgen D Hondt in de semester In deze les wordt een samenvatting gegeven van de formules nodig in het practicum fysica Deel I: Deel II: Deel III: Toevallige veranderlijken, Steekproef Beschrijving van gegevens, Histogram Gemiddelde en standaarddeviatie ormale of gaussische verdeling Fouten en onzekerheden Herhaalde metingen: gemiddelde en variantie Bewerkingen met stochastische veranderlijken Voortplanten van statistische onzekerheden Bepalen van de beste rechte door de metingen Methode van de kleinste kwadraten iet lineaire problemen Deel IV: Presentatie van resultaten Aantal beduidende cijfers, Afronden van getalwaarden Grafieken, tabellen, eenheden etc p

3 Deel I Toevallige veranderlijken Steekproef Beschrijving van gegevens Histogram Gemiddelde en standaarddeviatie ormale verdeling Fouten en onzekerheden p3

4 Toevallige veranderlijken experiment = meting van een bepaalde grootheid x uitgevoerd met een bepaald instrument volgens een bepaalde procedure Een experiment wordt meestal beïnvloed door verschillende factoren: vb bepaling verbruik van een auto, meten valversnelling Het resultaat van een experiment is nooit exact reproduceerbaar De verschillende waarnemingen of resultaten van een experiment vertonen een spreiding Men noemt de grootheid x (het resultaat van het experiment) een toevallige of stochastische veranderlijke p4

5 Keuze van de steekproef Men wil meestal uit het experiment een fysische grootheid bepalen, bvb de valversnelling Elk experiment wordt beïnvloed door verschillende willekeurige factoren Het is dus best om een groot aantal experimenten uit te voeren, at random (willekeurig) gekozen Dit is een steekproef waaruit men conclusies wenst te trekken over de fysische grootheid Men bekomt een verzameling gegevens {x,x,x 3, x n } p5

6 Beschrijving van gegevens a het uitvoeren van n experimenten beschikt men over een verzameling gegevens {x,x,x 3, x n } Men kan deze verzameling beschrijven met behulp van de volgende empirische grootheden : Het aantal gegevens Het steekproefgemiddelde: maat voor de locatie van de gegevens De steekproefvariantie en de -standaardafwijking: maat voor de spreiding van de gegevens De gegevens worden vaak voorgesteld in een histogram p6

7 Histogram De gegevens worden ingedeeld in klassen Het histogram geeft een eerste informatie over structuren (pieken, uniform..) in de verdeling van gemeten grootheid De keuze van de breedte van de klassen hangt af van de nauwkeurigheid waarmee men de grootheid gemeten heeft, van het aantal gegevens Voorbeelden : Men meet de lengte van een balk van 0cm met een lat met onderverdelingen van mm Men meet de lengte van 00 willekeurig gekozen mannen in Brussel p7

8 00 metingen lengte balk mm lat in 0 klassen van elk mm breed in 4 klassen van elk,5mm breed Het histogram met 0 klassen geeft meer informatie over de structuur van de steekproef dan het histogrammet 4 klassen. p8

9 Lengte 00 mannen In 0 klassen In 60 klassen In 300 klassen Het histogram met 60 klassen geeft voldoende informatie over de structuur van de steekproef en er zijn voldoende elementen in elke klasse. Het histogram met 0 klassen geeft te weinig informatie over de structuur. In het histogram met 300 klassen zijn er in sommige klassen te weinig elementen. p9

10 Gemiddelde en standaarddeviatie Een steekproef met n gegevens wordt gekarakteriseerd door de volgende grootheden: Rekenkundig gemiddelde x n xi n i = = Variantie s = x x i n n i= ( ) Standaardafwijking of standaarddeviatie = s p0

11 Gemiddelde en standaarddeviatie 00 metingen van de lengte van een balk van 0cm met een lat met mm onderverdelingen Gemiddelde waarde = 00mm Standaarddeviatie = mm p

12 ormale of gaussische verdeling Indien de steekproef oneindig groot wordt dan volgt de verdeling van de gemeten grootheid een normale of gaussische verdeling met gemiddelde waarde µ standaardafwijking σ Variantie σ Waarschijnlijkheids verdeling f(x) ( x-µ ) - ( ) f x = e σ σ π frequentie Grootheid x p

13 ormale of gaussische verdeling 68% van de metingen ligt in het interval [µ-σ, µ+σ] 95% van de metingen ligt in het interval [µ-σ, µ+σ] 99,7% van de metingen ligt in het interval [µ-3σ, µ+3σ] f ( x) = e σ π ( x-µ ) σ = lim i µ i= - σ ( x ) p3

14 ormale verdeling en steekproef Steekproef is nooit oneindig groot Men benadert Gemiddelde µ door rekenkundig gemiddelde x variantie σ door steekproefvariantie s Standaardafwijking σ = statistische onzekerheid op één meting van de grootheid Voorbeeld : meting lengte balk 00 of 0000 metingen p4

15 00 en 0000 metingen lengte balk 00 metingen 0000 metingen + normale verdeling Het histogram met 0000 metingen benadert goed een normale verdeling p5

16 Fouten en onzekerheden Statistische onzekerheden Te wijten aan toevallige fluctuaties in de metingen De onzekerheid op de conclusie uit de metingen verkleint wanneer men beschikt over een grotere steekproef Men spreekt vaak van statistische fout Blunders = fouten die niet ingeschat kunnen worden Systematische fouten Reproduceerbare fouten te wijten aan slecht afgesteld apparaat Bvb amperemeter meet systematisch te hoge stroom De metingen herhalen geeft geen betere nauwkeurigheid en geeft niet meer zekerheid over de conclusies uit de proef p6

17 Deel II Herhaalde metingen: gemiddelde en variantie Bewerkingen met stochastische veranderlijken Voorplanten van statistische onzekerheden p7

18 Een enkele meting Elk meetinstrument laat toe metingen uit te voeren met een bepaalde onzekerheid Bvb weegschaal meet op 0,0g nauwkeurig Bvb lat meet op mm nauwkeurig Voor de meetapparaten die in het practicum gebruikt zullen worden wordt de nauwkeurigheid gegeven in de syllabus of op het apparaat zelf otatie: x i ± s i bvb m= 50,00± 0,0 ( ) g p8

19 Herhaalde metingen De metingen herhalen levert een resultaat met een kleinere onzekerheid Wanneer men metingen uitvoert van een grootheid x, elk men een bepaalde onzekerheid s i x ± s ; i =, { } i i Dan zijn het gewogen gemiddelde en zijn variantie wx i i i= = en x= met gewichten i = w i wi i= i= x s w s i p9

20 Herhaalde metingen met zelfde onzekerheid Indien alle metingen dezelfde onzekerheid s bezitten (of hetzelfde gewicht) dan worden het gemiddelde en zijn onzekerheid i x x = x s = i= s Bvb 00 metingen van 00mm lange balk met lat met mm nauwkeurigheid geven: Elke meting : onzekerheid s = mm Gemiddelde : onzekerheid s x = mm/ 00 = mm/0 p0

21 Bewerkingen met toevallige variabelen De metingen uitgevoerd in een of meerdere experimenten zijn zelden zelf het eindresultaat waarin men geïnteresseerd is Eenvoudig geval: ik bepaal mijn gewicht door elke ochtend op de weegschaal te staan De proeven uitgevoerd in de fysica bestaan meestal uit metingen van verschillende grootheden, elk met een onzekerheid Bewerkingen met die metingen leiden tot het eindresultaat p

22 Voorbeeld: bepaling valversnelling bepaling valversnelling g: laat een kogel vanop een hoogte vallen en meet de tijd tot die de grond raakt Metingen van hoogte y en tijd t, elk met een statistische onzekerheid Valbeweging y = y0 + v0t+ at met y0 = 0 en v0 = 0 De valversnelling g wordt Vraag: welke is de onzekerheid op g? g = y t p

23 Voorplanten van onzekerheden Voor een groot aantal metingen van een stochastische variabele heeft deze variabele een normale verdeling de onzekerheid op één enkele meting gelijk is aan de standaarddeviatie van de normale verdeling Voor een variabele z=f(u,v), een functie van variabelen (bvb hoogte en tijd bij valversnelling), geldt Vraag is σ z = i i i z = = lim i f( u, v ) f(,)? uv σ i= z ( x x ) = lim i= ( z ) i z? p3

24 Voorplanten van onzekerheden De vraag is nu z = fuv (,)? Voor een lineair verband geldt deze relatie altijd Voor een niet-linear verband geldt deze relatie bij benadering. De functie f(u,v) wordt rond het maximum van de multidimensionele waarschijnlijkheidsverdeling benaderd door een raakvlak Dit geschiedt door een ontwikkeling in Taylorreeks rond het punt ( u, v) f f f( u, v) = f( u, v) + ( u u) + ( v v) +... u v uv, uv, Termen van de en hogere orde worden verwaarloosd p4

25 Voortplanten van onzekerheden 3 ( ) ( ) ( ) ( zi z) f ui, vi f u, v ( ui u) + ( vi v) u uv, v uv, f f De variantie op z wordt σ f f z lim ( ui u) u, v ( vi v) u, v + i= u v f f = lim ( ) ( ) + lim ( ) ( ) u v ui u vi v i= i= f f + lim ( ui u)( vi v) u v i= p5

26 Voortplanten van onzekerheden 4 ( f z u ) v( f ) f σ σ + σ + σ f uv u v u v De covariantie σ uv is nul voor niet gecorreleerde veranderlijken, wat in alle practica het geval is Voorbeeld: men bepaalt de snelheid van een auto uit de metingen van afstand x en tijd t Voor de steekproefvariantie geldt σ s, σ s, σ s ( ) x x t t v v v = x t v v σ σ ( ) + σ ( ) x t v x t resultaat v = v ± σ v p6

27 Deel III Bepalen van de beste rechte door de metingen Methode van de kleinste kwadraten iet lineaire problemen p7

28 Een lineaire fysische wet Voorbeeld : bepaling veerconstante Een veer wordt opgehangen aan een punt men hangt achtereenvolgens verschillende massa s onderaan de veer dit veroorzaakt een elongatie van de veer men meet de positie x van het onderste punt van de veer als functie van de massa m positie(cm elongatie vd veer ifv massa Blauw = Meetpunten Alle posities zijn gemeten met dezelfde onzekerheid massa(g) p8

29 Bepalen van de beste rechte - voorbeeld Fysische wet g k( x x ) = mg of x = m+ x k k = veerconstante g=valversnelling 0 0 x positie(cm elongatie vd veer ifv massa vraag: wat is de veerconstante k voor deze veer? Of: welke is de beste schatting van k uit deze metingen? de beste schatting van k geeft de beste rechte door de meetpunten (m,x) Hoe bepaalt men de beste rechte door de meetpunten? Met de methode van de kleinste kwadraten massa(g) p9

30 Methode van de kleinste kwadraten Uit metingen {x i,y i ±σ i } schat men de beste rechte y=ax+b de beste schatting wordt bekomen door minimisatie van de χ χ ( ) = y i axi b i= σ i Vbverloopvan χ als functie van parameter a(rico) voor proef veer χ chi minimum rico a a p30

31 Methode van de kleinste kwadraten Het minimum van de χ functie wordt bekomen door partieel af te leiden naar de parameters a en b χ a χ = 0, = 0 b Parameters a,b van beste rechte Algemene oplossing: zie cursus statistiek Indien alle metingen y i dezelfde onzekerheid σ y bezitten bekomt men een eenvoudig stelsel van vergelijkingen en onbekenden Oplossing van het stelsel:. Eerst de vergelijking oplossen naar b. Deze oplossing substitueren in ste vergelijking geeft a 3. Dit invullen in oplossing voor b bekomen in stap. p3

32 Oplossen van stelsel naar a en b stel δ = xi xi i= i= a = x y x y δ i i i i i= i= i= Alle metingen hebben dezelfde onzekerheid s y b= x y x x y δ i i i i i i= i= i= i= p3

33 Schatting van onzekerheden op a,b Voortplanten van onzekerheden op y i naar a,b σ σ a a = σ i i= yi b b = σ i i= yi σ i = σ y i In de praktijk is de onzekerheid σ y vaak niet gekend en kan berekend worden uit σ σ a = σ y δ σ y b = xi δ i = σ y = sy = ( yi axi b) i= p33

34 Indien de fysische wet geen rechte volgt De methode van de kleinste kwadraten is steeds geldig. Men berekent de χ en leidt af naar de parameters om het minimum te vinden zie cursus statistiek en Mathematica Bvb voor valbeweging χ = ( y gt ) i i i= σ i Men kan het probleem lineariseren Bvb valbeweging: indien men t ipv t als x variabele gebruikt bekomt men een rechte waarvan de richtingscoëfficient = g y = gt p34

35 Deel IV Presentatie van resultaten Aantal beduidende cijfers Afronden van getalwaarden Grafieken, tabellen, eenheden etc p35

36 Aantal beduidende cijfers Meest LIKSE cijfer ( 0) is meest beduidende cijfer Geen decimaal punt : minst beduidende cijfer is meest RECHTSE cijfer ( 0) Wel decimaal punt : : minst beduidende cijfer is meest RECHTSE cijfer, ook al is dit 0 Aantal beduidende cijfers = aantal tussen meest en minst beduidende cijfers 580 : 3 beduidende cijfers 580, : 4 beduidende cijfers 0,0094 : beduidende cijfers 3,00 x 0 4 : 4 beduidende cijfers p36

37 Afronden van getalwaarden Resultaat van de proef: hoeveel beduidende cijfers moet men geven? Men rond eerst de onzekerheid op het resultaat (de fout ) af tot of 3 beduidende cijfers Men kiest de meest aangepaste eenheden, bvb keuze tussen,0mm (3 bed cijfers) 0,cm ( bed cijfer) Dan rond men het resultaat zelf af tot hetzelfde aantal decimalen als de fout p37

38 Grafieken, tabellen, eenheden Tabellen en grafieken geven een duidelijk overzicht van de metingen gebruik ze! Grafiek: geef assen een naam en eenheden Kies de schaal zodanig dat de gegevens over het gehele gebied verspreid zijn Geef duidelijk de schalen aan van de assen Tabel: zet bovenaan de naam van de grootheid en de eenheden Vergeet eenheden niet bij het geven van resultaten van metingen en berekeningen Zet titels boven grafieken en tabellen p38