Je kunt al: -de centrummaten en spreidingsmaten gebruiken -een spreidingsdiagram gebruiken als grafische weergave van twee variabelen

Transcriptie

1 Lesbrief: Correlatie en Regressie Leerlingmateriaal Je leert nu: -een correlatiecoëfficient gebruiken als maat voor het statistische verband tussen beide variabelen -een regressielijn te tekenen die een zo-goed-mogelijk verband tussen beide variabelen aangeeft Je kunt al: -de centrummaten en spreidingsmaten gebruiken -een spreidingsdiagram gebruiken als grafische weergave van twee variabelen Correlatie 1 Inleiding In 1986 kwam bij de ramp in de kerncentrale van Tsjernobyl een grote hoeveelheid radioactieve straling vrij. Veel mensen uit Tsjernobyl en omgeving hebben sindsdien problemen met hun gezondheid. Naar de oorzaak van hun problemen is veel onderzoek verricht. Zo is onder andere gebleken dat er een sterk verband bestaat tussen de hoeveelheid straling waaraan een bevolkingsgroep is blootgesteld en het percentage mensen van die groep dat aan kanker lijdt. Zulk onderzoek naar verbanden wordt ook wel correlatieonderzoek genoemd. Er kan bijvoorbeeld gekeken worden naar het verband tussen het aantal verkochte blikken erwtensoep op een dag en de gemiddelde temperatuur op die dag. Of het verband tussen het aantal uur dat iemand voor een proefwerk heeft geleerd en het uiteindelijk behaalde punt voor dat proefwerk. Of misschien het verband tussen de conditie van leerlingen en hun Body Mass Index. Het zal duidelijk zijn dat het verband in het ene geval sterker zal zijn dan in het andere geval. In de statistiek bestaat er een maat voor de sterkte van een verband tussen twee grootheden. Dit is de correlatie. Deze kan bestudeerd worden met behulp van een spreidingsdiagram. Spreidingsdiagram In een spreidingsdiagram wordt de samenhang tussen twee te onderzoeken grootheden in kaart gebracht. Als je vermoedt dat er tussen twee variabelen x en y een lineair verband bestaat, maak je een spreidingsdiagram dat de vorm van een puntenwolk krijgt. 1 (Hoofden van der, 2012) 1

2 R(x,y) = -1 R(x,y) = 0 R(x,y) = 0,6 R(x,y) = 1 De mate van correlatie komt tot uitdrukking in de mate waarin de puntenwolk naar een lijn, de zogenaamde centrale lijn, neigt. Deze mate waarin tussen de twee variabelen een lineair verband bestaat wordt gegeven door de correlatiecoëfficiënt, aangeduid door R(x,y). Als R(x,y) =1 dan is er een perfecte positieve correlatie tussen x en y. De punten van de puntenwolk liggen dan precies op een stijgende lijn. Als R(x,y) =0 dan is er geen enkele correlatie tussen x en y. Als R(x,y) =-1 dan is er een perfecte negatieve correlatie tussen x en y. De punten van de puntenwolk liggen dan precies op een dalende lijn. De correlatie tussen x en y wordt beter naarmate R(x,y) dichter bij 1 of -1 ligt. Maar hoe bereken je nu die correlatiecoëfficiënt? Dit kan je doen met je het spreadsheet Correlatie en regressie en met je GR. Uit de berekening in het spreadsheet of op je GR komt een correlatiecoëfficiënt R. In de tabel 2 hieronder kan je bepalen of hoe sterk het verband is tussen de twee variabelen die je hebt ingevoerd. Wanneer R(x,y) groter is dan 0.7 mag je uitgaan van een lineair verband tussen beide variabelen. Welk verband dit is staat bij de uitleg over regressie. R(x,y) R 2 (afgerond) Verklaarde variantie Interpretatie kracht verband < 0,3 < 0,1 < 10% zeer zwak 0,3-0,5 0,1-0, % zwak 0,5-0,7 0,25-0, % matig 0,7-0,85 0,5-0, % sterk 0,85-0,95 0,75-0, % zeer sterk > 0,95 > 0,9 > 90% uitzonderlijk sterk (suspect!) 2 (Universiteit, 2012) 2

3 Regressie 3 Inleiding In aansluiting op het gedeelte over correlatie zullen we nu kijken hoe je een regressielijn bepaalt. Na een korte uiteenzetting over wat een regressielijn nu precies is, volgt een methode om deze af te leiden met het spreadsheet of de grafische rekenmachine. Doel Het onderzoeken van een (lineair) verband tussen twee variabelen. Bijvoorbeeld: het verband tussen de waterstand van de Rijn en de waterstand van de Dommel (een riviertje in Twente), of het verband tussen de conditie van leerlingen en hun Body Mass Index. Voorbeeld Veronderstel dat je y meet op vijf verschillende niveaus van x. De gemeten waarden van y zijn weergegeven in een tabel. Om een indruk te krijgen van een mogelijk verband tussen x en y, maken we er een grafiek bij. x y Wat is een regressielijn? Zoals je ziet liggen ook in ons voorbeeldje de meetpunten niet precies op een lijn. Het is dus onmogelijk om een lijn te vinden die door alle punten gaat. Omdat de punten wel "ongeveer" op een lijn liggen, kan het interessant zijn om de lijn te zoeken die "zo goed mogelijk" bij het patroon van de punten past. Deze lijn noemen we de regressielijn of het regressiemodel. Voordat we deze regressielijn kunnen gaan bepalen, moeten we weten wat we eigenlijk verstaan onder een "zo goed mogelijke" lijn. In de grafiek kan je zien dat de lijn door vrijwel geen van de meetpunten gaat. Er treedt dus meestal een afwijking op tussen de y die we hebben gemeten en de y die we verkrijgen uit ons regressiemodel. Het lijkt ons redelijk de lijn waarvoor de som van al deze (gekwadrateerde) afwijkingen het kleinst is, als de "beste" lijn te beschouwen. Hoe bepaal je een regressielijn? Statistici kennen het bovenstaande onder de naam kleinste-kwadratenmethode. Het voert te ver om de afleiding in zijn geheel te behandelen. 3 (Friesen, 2012) 3

4 Wij zullen ons beperken tot het gebruik van het Excelspreadsheet, om de bijbehorende regressielijn y = ax + b te vinden. Dit kan ook op de GR, maar in het spreadsheet kan je de berekeningen makkelijker volgen. Voor de liefhebber is een uitwerking beschreven in de bijlage. Gebruiksaanwijzing bij Excelspreadsheet Het Excelspreadsheet kan je gebruiken om de correlatiecoëfficiënt en de regressielijn te bepalen. In Excel kan je sommige notaties niet zo mooi weergeven als in Word, daarom is de verklarende tabel hieronder toegevoegd. Verschillen in weergave tussen Word en Excel Gemiddelde x-waarde Gemiddelde y-waarde wordt in Excel uitgedrukt als x_gem wordt in Excel uitgedrukt als y_gem De term De term De term wordt in Excel uitgedrukt als (x-x_gem)^2 wordt in Excel uitgedrukt als (y-y_gem)^2 (variantie) wordt in Excel uitgedrukt als ^2 Het kwadraat van de correlatiecoëfficiënt R(x,y) wordt in Excel genoteerd als R(x,y)^2. Stel je wilt de correlatiecoëfficiënt en regressielijn bepalen van de volgende gegevens: X Y X= waterniveau van de Rijn Y= waterniveau van de rivier de Dommel Invullen van spreadsheet Stap voor stap: Je vult in vakje B4 de naam in van de gegevens die bij X horen: Rijn Vervolgens vul je in F4 de naam van de y gegevens in: Dommel Vul vanaf B11 naar beneden de x-waarden in: achtereenvolgens 1,2,3,4 en 5. Schrijf over de waarden in het spreadsheet heen. Vul vanaf C11 naar beneden de y-waarden in: achtereenvolgens 2,5,6,11 en 13. Schrijf over de waarden in het spreadsheet heen. 4

5 Lees af uit kolom A hoeveel metingen je hebt, vul dit in in C2. Druk op F9, dan rekent de computer alle gegevens door. Uitlezen van spreadsheet Na het berekenen F9, kan je de volgende gegevens aflezen: x Rijn 3,0 gemiddelde 2,0 σ^2= variantie 1,414 σ (standaarddeviatie) Met hierin de gemiddelde Rijnstand = 3 met een standaarddeviatie: Hetzelfde kan je doen voor de Dommel gegevens: y Dommel 7,4 gemiddelde 16,2 σ^2= variantie 4,030 σ (standaarddeviatie) Met hierin de gemiddelde Dommelstand = 7.4 met een standaarddeviatie van 4.03 De correlatiecoëfficiënt lees je af uit: Correlatie tussen Rijn en Dommel R(x,y)= 0,983 correlatiecoefficient R(x,y)^2= 0,966 Aan de hand van tabel 1, die opgenomen is in deel II van het PO kan je bepalen hoe zwak/ sterk deze correlatie tussen de Rijn en de Dommel is. Tenslotte kan je de regressielijn aflezen uit: Regressielijn y=ax+b met: a= 2,8 b= -1,0 Dit betekent dat de regressielijn weergegeven kan worden met de volgende vergelijking: y= 2.8x-1.0. Werk dit voorbeeld na in het Excelspreadsheet correlatie en regressie en kijk of je dezelfde resultaten krijgt. Pas als dit lukt weet je dat je het spreadsheet goed gebruikt en kan je het ook voor je eigen gegevens gebruiken!! 5

6 BIJLAGE VOOR DE LIEFHEBBER In deze bijlage wordt achtereen volgens de formule voor gegeven om de standaarddeviatie, de covariantie en de correlatiecoëfficiënt te berekenen. De standaarddeviatie De standaarddeviatie is een maat voor de spreiding van een rij getallen om het gemiddelde. Dit getal wordt meestal aangeduid met de letter en wordt ook wel de standaardafwijking genoemd. De standaarddeviatie van een rij getallen kan als volgt berekend worden: Dus: 1. Bereken het gemiddelde x. 2. Bereken van elk getal x de deviatie d. De deviatie d van x is gelijk aan het verschil van x en x, dus d = x - x. 3. Bereken van elke deviatie het kwadraat. 4. Bereken het gemiddelde van de kwadraten d Neem de wortel van dit gemiddelde. Dit is dan. Hier is n het aantal getallen in de rij. Het berekenen van de standaarddeviatie op de hierboven beschreven manier kost erg veel tijd. Met veel rekenmachines kun je de standaarddeviatie ook rechtstreeks uitrekenen. In de gebruiksaanwijzing van je rekenmachine staat hoe dit moet. 6

7 De covariantie De covariantie is een maat voor de spreiding van twee gekoppelde variabelen. De covariantie van x en y wordt aangeduid met Cov(x, y). Als Cov(x, y) een positief getal is, dan is er sprake van positieve correlatie en als Cov(x, y) een negatief getal is, dan is er sprake van negatieve correlatie. Als er geen sprake is van enige correlatie, dan geldt Cov(x, y) = 0. Laat een koppeling tussen twee variabelen x en y gegeven zijn door n punten (x i, y i ). De berekening van de covariantie gaat dan als volgt: Dus: 1. Bereken het gemiddelde x van de x-waarden en het gemiddelde y van de y- waarden. 2. Bereken voor elk getal x i de deviatie d xi = x i - x en bereken voor elk getal y i de deviatie d yi = y i - y. 3. Bereken de produkten van de deviaties, dus (x i - x )(y i - y ). 4. Bereken het gemiddelde van die produkten. De correlatiecoëfficiënt De correlatiecoëfficiënt is een getal dat de mate van correlatie tussen twee grootheden of variabelen aangeeft. Dit getal wordt aangeduid met de letter R(x,y) of R en ligt tussen -1 en +1. In de grensgevallen R = -1 en R = +1 is er sprake van volledige correlatie. Bij R = -1 is dat volledige negatieve correlatie en bij R = +1 volledige positieve correlatie. Als er geen sprake is van enige correlatie, dan geldt R = 0. Berekening van de correlatiecoëfficiënt: Stel dat het verband tussen twee grootheden x en y wordt onderzocht en dat er n punten (x i, y i ) gegeven zijn. Voor de correlatiecoëfficiënt geldt dan: Hier staat Cov(x, y) voor de covariantie van x en y. 7

8 Bronnen Friesen, B. (2012, 09 30). Opgeroepen op 09 30, 2012, van ressie1.html: ressie1.html Hoofden van der, D. (2012, 09 30). Opgeroepen op 09 30, 2012, van relatie1.html: relatie1.html Universiteit, L. (2012, 10 09). Opgeroepen op 10 09, 2012, van 8