Meten en experimenteren

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Meten en experimenteren"

Transcriptie

1 Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding Zie syllabus voor details 16 februari 2011 Catherine De Clercq

2 Statistische verwerking van gegevens Kursus statistiek voor fysici door Jorgen D Hondt In deze les wordt een samenvatting gegeven van de formules nodig in het practicum fysica Deel I: Toevallige veranderlijken Bronnen van onzekerheden Bepalen van de statistische onzekerheid op een grootheid Steekproef, histogram Karakterisatie van de steekproef: gemiddelde, variantie, standaarddeviatie Centrale limietstelling: normale of gaussische verdeling Herhaalde metingen: gemiddelde en variantie Deel II: Deel III: Deel IV: Voortplanten van statistische onzekerheden Lineair verband tussen 2 grootheden Bepalen beste rechte met methode der kleinste kwadraten iet lineaire problemen Presentatie van resultaten Aantal beduidende cijfers, afronden van getalwaarden Grafieken, tabellen, eenheden etc Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p2

3 Deel I Toevallige of stochastische veranderlijken Bronnen van onzekerheden Bepalen van de statistische onzekerheid: Steekproef Histogram Karakterisatie van de steekproef: gemiddelde, variantie en standaarddeviatie Centrale limietstelling: normale of gaussische verdeling Herhaalde metingen: gemiddelde en variantie Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p3

4 I. Toevallige veranderlijken experiment = meting van een bepaalde grootheid x uitgevoerd met een bepaald instrument volgens een bepaalde procedure Een experiment wordt meestal beïnvloed door verschillende factoren: vb bepaling verbruik van een auto, meten valversnelling Het resultaat t van een experiment is meestal nooit exact reproduceerbaar De verschillende waarnemingen of resultaten t van een experiment vertonen een spreiding Men noemt de grootheid x (het resultaat t van het experiment) een toevallige of stochastische veranderlijke Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p4

5 I. voorbeeld Ik meet het verbruik van mijn auto gedurende een jaar. Elke week noteer ik welke afstand ik afleg met een volle benzinetank. Welke van deze factiren beïnvloedt het verbruik van mijn auto IET? 1. Het gebied waar ik rij is soms vlak, soms heuvelachtig 2. Er wordt benzine getankt bij verschillende merken: ESSO, BP, 3. Ik rij soms sportief soms rustig 4. Er is soms tegenwind en soms geen wind Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p5

6 I. Onzekerheden op een grootheid Autoverbruik wordt elke week gemeten en men vindt verbruik ( l /100 km ) = 7, 2 7,3 7,1 6,9 7,5... De spreiding is het gevolg van toevallige factoren aast de waarde zelf is deze spreiding een even belangrijke informatie voor de buitenwereld a 100 metingen bekomt men bvb x= 7,3 ± 0,2 l /100 km ( ) De spreiding is te wijten aan de statistische onzekerheid op de meting?? Hoe schat men de statistische onzekerheid op een grootheid? Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p6

7 I. Bronnen van onzekerheden Statistische onzekerheden Te wijten aan toevallige fluctuaties in de metingen De onzekerheid op de conclusie uit de metingen verkleint wanneer men beschikt over een grotere steekproef Systematische ti onzekerheden Reproduceerbare metingen omwille van beperking meettoestel Bvb weegschaal meet tot op 0,01g nauwkeurig Reproduceerbare afwijkingen te wijten aan slecht afgesteld apparaat aat Bvb amperemeter meet systematisch te hoge stroom De metingen herhalen geeft geen betere nauwkeurigheid en geeft niet meer zekerheid over de conclusies uit de proef Blunders = fouten die niet ingeschat kunnen worden Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p7

8 I. Bepaling statistische onzekerheid: steekproef Om een grootheid met statistische onzekerheid te bepalen heeft men een steekproef nodig Men wil meestal uit het experiment een fysische grootheid bepalen, bvb de valversnelling Elk experiment wordt beïnvloed door verschillende willekeurige factoren Het is dus best om een groot aantal experimenten uit te voeren, at random (willekeurig) gekozen Dit is een steekproef waaruit men conclusies wenst te trekken over de fysische grootheid Men bekomt een verzameling gegevens {x 1,x 2,x 3, x n } Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p8

9 I. Karakterisatie steekproef a het uitvoeren van n experimenten beschikt men over een verzameling gegevens {x 1,x 2,x 3, x n } Men kan deze verzameling beschrijven met behulp van de volgende empirische grootheden : Het aantal gegevens Het steekproefgemiddelde: maat voor de locatie van de gegevens De steekproefvariantie en de -standaarddeviatie: maat voor de spreiding van de gegevens De gegevens worden vaak grafisch voorgesteld in een histogram Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p9

10 I. Histogram - inleiding Gegevens indelen in klassen men telt het aantal per klasse Het histogram geeft een eerste informatie over de uitkomst van het experiment: gemiddelde en spreiding, subklassen, De keuze van de breedte van de klassen hangt af van de nauwkeurigheid waarmee men de grootheid gemeten heeft, van het aantal gegevens Voorbeelden : Men meet de lengte van 100 houten staafjes van ongeveer 200mm Men meet de lengte van 1100 willekeurig gekozen mannen in Brussel Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p10

11 I. histogram: 100 metingen lengte balk in 10 klassen van elk 1mm breed in 4 klassen van elk 2,5mm breed Het histogram met 10 klassen geeft meer informatie over de spreiding van de steekproef dan het histogram met 4 klassen. Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p11

12 I. histogram: Lengte 1100 mannen In 60 klassen van 1cm In 10 klassen van 6cm In 300 klassen van 0,2cm Het histogram met 60 klassen geeft voldoende informatie over de structuur t van de steekproef en er zijn voldoende elementen in elke klasse. Het histogram met 10 klassen geeft te weinig informatie over de structuur. In het histogram met 300 klassen zijn er in sommige klassen te weinig elementen en is de spreiding binnen de klassen relatief te groot Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p12

13 I. Karakterisatie steekproef Een steekproef met n metingen wordt gekarakteriseerd door de volgende grootheden: Rekenkundig gemiddelde: 1 n kental van de locatie x schatting verwachtingswaarde μ n i = 1 = x i Steekproefvariantie: s = ( x x ) 2 kental van de spreiding i n 1 schatting variantie σ 2 i= n Standaardafwijking of standaarddeviatie s = s 2 Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p13

14 I. Gemiddelde en standaarddeviatie Lengteverdeling van 100 staafjes van ongeveer 200mm Met de hand gezaagd => spreiding Gemiddelde waarde = 200mm Standaarddeviatie = 1mm Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p14

15 I. Centrale limietstelling voor een oneindig (heel groot) aantal metingen kan elke verdeling benaderd worden door de normale verdeling. M.a.w. de theorie van de onzekerheden mag gebaseerd worden op de normale verdeling Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p15

16 I. ormale of gaussische verdeling 1 gemiddelde waarde μ = positie standaardafwijking σ = spreiding Waarschijnlijkheids [0;0,45] verdeling f(x) ( x-μ ) f x = e 2σ ( ) σ 2π 1 μ = lim x σ 2 1 i= 1 = lim i i= 1 i ( x μ ) 2 freque entie [-2;0,7] [0;1] [0;2,24] 24] Grootheid x Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p16

17 I. ormale of gaussische verdeling 2 68% van de metingen ligt in het interval [µ-σ, µ+σ] 95% van de metingen ligt in het interval [µ-2σ, µ+2σ] 99,7% van de metingen ligt in het interval [µ-3σ, µ+3σ] 1 - ( x-μ) 2 f ( x) = e 2σ σ π 2 2 Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p17

18 I. Centrale limietstelling Steekproef is nooit oneindig groot. Men benadert dus verwachtingswaarde μ door rekenkundig gemiddelde x variantie σ 2 door steekproefvariantie s 2 Voorbeeld : meting lengte staafjes met hand gezaagd ongeveer 200mm lang 100 of metingen Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p18

19 I. metingen lengte staafjes 100 metingen metingen + normale verdeling lengte(mm) Het histogram met metingen benadert goed een normale verdeling Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p19

20 I. Herhaalde metingen : gemiddelde met onzekerheid De metingen herhalen levert een resultaat met een kleinere statistische onzekerheid Wanneer men gelijkwaardige metingen uitvoert t van een grootheid x, {x i, i=1,}, dan zijn 1 het steekproefgemiddelde x = i = 1 2 de steekproefvariantie ( ) 2 Onzekerheid op het steekproefgemiddelde s x i 1 = xi x s 2 s s sx = sx = met sx = x i= 1 ± Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p20

21 I. In de praktijk : juist of fout? metingen van de lengte van de staafjes met een bepaalde opstelling geeft een grotere onzekerheid dan 100 metingen 2. de statistische onzekerheid hangt af van de nauwkeurigheid van de toestellen 3. Als in de klas elke student 1 meting van de valversnelling uitvoert bekomen ze alle dezelfde onzekerheid 4. Student A die 50 experimenten in 5 uur uitvoert heeft in principe een beter resultaat dan student B die 20 experimenten uitvoert in 1 uur Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p21

22 I. voorbeeld: juist of fout? Twee studenten voeren de proef valversnelling uit. De gemiddelde waarde in België is g=9,81 m/s 2 De studenten t bekomen de volgende waarden g ( A ) = 10,0 ± 0,1 m s ( ) 2 g( B) = 9,85 ± 0,01 m s ( ) 2 1. Het resultaat van student A is in overeenstemming met de verwachting 2. Het resultaat t van student t B is in overeenstemming met de verwachting 3. Student A heeft een afwijking van de zwaartekracht wet ontdekt 4. student B heeft iets nieuws ontdekt Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p22

23 PAUZE Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p23

24 Deel II Voorplanten van statistische onzekerheden Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p24

25 II. Bewerkingen met toevallige variabelen De metingen uitgevoerd in een of meerdere experimenten zijn zelden zelf het eindresultaat waarin men geïnteresseerd is De proeven uitgevoerd in de fysica bestaan meestal uit metingen van verschillende grootheden, elk met een statistische onzekerheid Bewerkingen met die metingen leiden tot het eindresultaat verwerking van de gegevens Hoe moet men de statistische onzekerheid bepalen op het eindresultaat? Dit gebeurt d.m.v. voortplanting van onzekerheden Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p25

26 II. Voorbeeld: bepaling snelheid auto Voor één afstand x doen we metingen van de tijd t x keer Verband tussen de afstand en de tijd: x = v( t t ) + x veronderstel t = 0, x = De snelheid wordt dan v = x t Vraag: wat is de onzekerheid op de snelheid? Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p26

27 II. Voorbeeld: bepaling snelheid auto We doen 100 metingen van de tijd t We maken een histogram van t Daaruit halen we de gemiddelde tijd met statistische onzekerheid s t Het juiste antwoord is t 1) t = ( 200 ± 1) s 2) t = 200 ± 3 s ( ) 3) t = 200,00 ± 0,1 s ( ) Tijd t (sec) Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p27

28 II. Voorbeeld: bepaling snelheid auto v = x t gemiddelde tijd met onzekerheid t 1 ti i= 1 = 1 1 i= 1 s = t ( t t ) 2 De afstand is gekend met een nauwkeurigheid s x Vraag: wat is de onzekerheid op de snelheid? i Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p28

29 II. Voorplanten van onzekerheden 1 beschouw een variabele z=f(u,v), een functie van 2 variabelen bvb snelheid als functie van afstand en gemiddelde tijd Voor elke meting van z geldt f( u, v ) i i i Voor metingen {z i, i=1,} bekomt men het gemiddelde z en de variantie Vraag is z =?? f ( uv, ) z = 2 1 z ( ) li z - z z σ = lim i Voor een lineair verband geldt deze relatie altijd Voor een niet-linear verband geldt deze relatie bij benadering. De functie f(u,v) wordt rond het gemiddelde gelineariseerd Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p29 i=1 2

30 II. Voorplanten van onzekerheden 2 Dit geschiedt door een ontwikkeling in Taylorreeks rond het punt ( u, v) f f f( u, v) = f( u, v) + ( u u) + ( v v) +... u v uv, uv, Termen van 2de en hogere orde worden verwaarloosd dus (z -z) i 2 f f ( u, ) (, ) i vi f u v ( ui u) + ( vi v) u uv f v ( ) 2,, uv 2 Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p30

31 II. Voortplanten van onzekerheden 3 De variantie op z wordt σ = z-z 2 1 z = lim i= 1 ( ) 2 i f f 1 lim ( ui u) u, v ( vi v) u, v + i= 1 u v 2 1 f 1 f = lim ( ) ( ) + lim ( ) ( ) u v ui u vi v i= 1 i= 1 1 f f + 2lim ( u )( ) i u vi v i= 1 u v Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p31

32 II. Voortplanten van onzekerheden 4 resultaat ( f z u ) v( f ) 2 f σ σ + σ + σ f uv u v u v Partieel afgeleiden van f(u,v) naar u en v σ 2 u = variantie van de verdeling van variabele u = kwadraat van onzekerheid op u De covariantie σ uv is nul voor niet gecorreleerde veranderlijken, wat in alle practica het geval is Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p32

33 II. Voorbeeld: bepaling snelheid auto x 100 keer De auto legt 100 keer een afstand van 4000m af We veronderstellen dat deze afstand exact gekend is We meten voor de gemiddelde tijd t = ( 200,0 ± 0,1) s Welke is de snelheid v met statistische ti ti onzekerheid? Antwoord : v = x σ x = 0 t 2 2 v 2 2 v 2 σ t s t σv σx( ) + σt ( ) x t σ v sv ( 20,0000 ± 0,01 01 ) ( 72,00 ± 0,04 04 ) v= ± m s = ± km h Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p33

34 Deel III Bepalen van de beste rechte door de metingen Methode van de kleinste kwadraten iet lineaire problemen Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p34

35 III. Een lineaire fysische wet Voorbeeld : bepaling veerconstante x 0 Een veer wordt opgehangen veer aan een punt men hangt achtereenvolgens verschillende massa s onderaan de veer x dit veroorzaakt een elongatie van de veer men meet de positie x van het onderste punt van de veer als functie van de massa m Massa m Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p35

36 III. Bepalen van de beste rechte - voorbeeld Fysische wet x m k x x mg 0 = 0 ( ) k = veerconstante g=valversnelling g x= m+x k vraag: wat is de veerconstante k voor deze veer? Of: welke is de beste schatting van k uit deze metingen? de beste schatting van k geeft de beste rechte door de meetpunten (m,x) Hoe bepaalt men de beste rechte door de meetpunten? Met de methode van de kleinste kwadraten. Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p36

37 III. Methode van de kleinste kwadraten 1 Met een steekproef van metingen {x i,y i ±σ i } schat men de beste rechte y=ax+b de beste schatting wordt bekomen door minimisatie van de χ 2 1 χ 1 = ( y [ ax + b] ) i i i= 1 σ i Vb verloop van χ 2 als functie van parameter a(rico) χ2chi2 χ minimum a rico a Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p37

38 positie(cm m) III. Voorbeeld : de veer g x= m + x k 0 y = ax+ b = [ ax + b ] elongatie vd veer ifv massa χ y massa(g) 1 ( ) 2 2 ( 2 i i ) i= 1 σ i y i x i i ± σ a b Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p38

39 III. Methode van de kleinste kwadraten 2 Het minimum van de χ 2 functie wordt bekomen door de partieel afgeleiden naar de parameters a en b gelijk aan nul te zetten 2 2 χ χ Parameters a,b a = 0, = 0 b van beste rechte Geeft een stelsel l met 2 vgl en 2 onbekenden a a x x x y 2 i i i i + b = i= 1 σ i i= 1 σi i= 1 σi xi 1 yi + b = σ σ σ i= 1 i i= 1 i i= 1 i a,b Oplossing naar a en b: zie syllabus formules (15),(16) Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p39

40 III. Schatting van onzekerheden op a,b Bvb a a 1 x y 1 x y = Δ i i i i i= 1 σ i i= 1 σ i i= 1 σ i i= 1 σ i Onzekerheden op a en b worden bekomen door voortplanten van onzekerheden σ σ 2 2 a 2 a = σ i i= 1 yi 2 2 b 2 b = σ i i= 1 yy i σ Uitwerking:zie syllabus formules (17) en (18) a, σ b Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p40

41 III. Indien de fysische wet geen rechte volgt De methode van de kleinste kwadraten is steeds geldig. Men berekent de χ 2 en leidt af naar de parameters om het minimum te vinden. Dit kan uitgevoerd worden met de Mathematica fit functies Bvb voor valbeweging χ = ( y ) 2 i gti σ 2 i= 1 i Men kan het probleem ook lineariseren Bvb valbeweging: indien men t 2 ipv t als x variabele gebruikt bekomt men een rechte waarvan de richtingscoëfficient = g y = 1 g t 2 2 Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p41

42 Deel IV Presentatie van resultaten Aantal beduidende cijfers Afronden van getalwaarden Grafieken, tabellen, eenheden etc Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p42

43 Aantal beduidende cijfers Meest LIKSE cijfer ( 0) is meest beduidende cijfer Geen decimaal punt : minst beduidende cijfer is meest RECHTSE cijfer ( 0) Wel ldecimaal punt : : minst beduidende d d cijfer is meest RECHTSE cijfer, ook al is dit 0 Aantal beduidende cijfers = aantal tussen meest en minst beduidende cijfers 5280 : 3 beduidende cijfers 5280, : 4 beduidende cijfers 0,0094 : 2 beduidende cijfers 3,010 x 10 4 : 4 beduidende cijfers Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p43

44 Afronden van getalwaarden Resultaat van de proef: hoeveel beduidende cijfers moet men geven? Men rond eerst de onzekerheid op het resultaat t af tott 2 of 3 beduidende cijfers Men kiest de meest aangepaste eenheden, bvb keuze tussen 1,0mm (3 beduidende cijfers) 0,1cm (1 beduidend cijfer) Dan rondt men het resultaat zelf af tot hetzelfde aantal decimalen als de onzekerheid Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p44

45 Grafieken, tabellen, eenheden Tabellen en grafieken geven een duidelijk overzicht van de metingen gebruik ze! Grafiek: geef assen een naam en eenheden Kies de schaal zodanig dat de gegevens over het gehele gebied verspreid zijn Geef duidelijk de schalen aan van de assen Tabel: zet bovenaan de naam van de grootheid en de eenheden Vergeet eenheden niet bij het geven van resultaten van metingen en berekeningen Zet titels boven grafieken en tabellen Experimentele Fysica Verwerking van gegevens p45

Meten en experimenteren

Meten en experimenteren Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding 6 oktober 009 Catherine De Clercq Statistische verwerking van gegevens Kursus statistiek voor fysici door Jorgen D Hondt

Nadere informatie

Meten en experimenteren

Meten en experimenteren Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding 5 oktober 007 Catherine De Clercq Statistische verwerking van gegevens Kursus statistiek voor fysici door Jorgen D Hondt

Nadere informatie

Meten en experimenteren

Meten en experimenteren Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding 3 oktober 006 Deel I Toevallige veranderlijken Steekproef Beschrijving van gegevens Histogram Gemiddelde en standaarddeviatie

Nadere informatie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Inleveren: 12 januari 2011, VOOR het college Afspraken Serie 1 mag gemaakt en ingeleverd worden in tweetallen. Schrijf duidelijk je naam, e-mail

Nadere informatie

Tentamen Planning 2de semester Wetenschappelijk verslag Lenzen en Hydrodynamica. 17 februari 2006 Meten en experimenteren 1

Tentamen Planning 2de semester Wetenschappelijk verslag Lenzen en Hydrodynamica. 17 februari 2006 Meten en experimenteren 1 Tentamen Planning 2de semester Wetenschappelijk verslag Lenzen en Hydrodynamica 17 februari 2006 Meten en experimenteren 1 tentamen Wie minimum 10/20 heeft behaald op het tentamen is vrijgesteld van het

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10)

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) en Tentamen Inleiding Experimentele Fysica voor Combi s (3NA10) d.d. 31 oktober 2011 van 9:00 12:00 uur Vul de

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3AA10)

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3AA10) TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3AA10) d.d. 30 oktober 2009 van 9:00 12:00 uur Vul de presentiekaart

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 8 Donderdag 13 Oktober 1 / 23 2 Statistiek Vandaag: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 23 Stochast en populatie

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Eindtoets Experimentele Fysica 1 (3A1X1) - Deel 2. 6 november 2015 van 10:00 12:00 uur

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Eindtoets Experimentele Fysica 1 (3A1X1) - Deel 2. 6 november 2015 van 10:00 12:00 uur TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Eindtoets Experimentele Fysica 1 (3A1X1) - Deel 2 6 november 2015 van 10:00 12:00 uur Puntenwaardering voor de opgaven: Opgave 1: a) 4; b) 6; c) 5 Opgave 2: a) 5; b) 3;

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 9 Dinsdag 18 Oktober 1 / 1 2 Statistiek Vandaag: Centrale Limietstelling Correlatie Regressie 2 / 1 Centrale Limietstelling 3 / 1 Centrale Limietstelling St. (Centrale

Nadere informatie

Statistiek I Samenvatting. Prof. dr. Carette

Statistiek I Samenvatting. Prof. dr. Carette Statistiek I Samenvatting Prof. dr. Carette Opleiding: bachelor of science in de Handelswetenschappen Academiejaar 2016 2017 Inhoudsopgave Hoofdstuk 1: Statistiek, gegevens en statistisch denken... 3 De

Nadere informatie

Sterrenkunde Praktikum 1 Fouten en fitten

Sterrenkunde Praktikum 1 Fouten en fitten Sterrenkunde Praktikum 1 Fouten en fitten Paul van der Werf 12 februari 2008 1 Inleiding In de sterrenkunde werken we vaak met zwakke signalen, of met grote hoeveelheden metingen van verschillende nauwkeurigheid.

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 : Numerieke beschrijving van data. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent

Hoofdstuk 3 : Numerieke beschrijving van data. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Hoofdstuk 3 : Numerieke beschrijving van data Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Numerieke beschrijving van data p 1/31 Beschrijvende

Nadere informatie

Les 2 / 3: Meetschalen en Parameters

Les 2 / 3: Meetschalen en Parameters Les 2 / 3: Meetschalen en Parameters I Theorie: A. Algemeen : V is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten van een toevallig experiment. Een veranderlijke of stochastiek is een afbeelding G die aan

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 16 Donderdag 4 November 1 / 25 2 Statistiek Indeling: Schatten Correlatie 2 / 25 Schatten 3 / 25 Schatters: maximum likelihood schatters Def. Zij Ω de verzameling van

Nadere informatie

1. Statistiek gebruiken 1

1. Statistiek gebruiken 1 Hoofdstuk 0 Inhoudsopgave 1. Statistiek gebruiken 1 2. Gegevens beschrijven 3 2.1 Verschillende soorten gegevens......................................... 3 2.2 Staafdiagrammen en histogrammen....................................

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde Samenvatting en stappenplan van hfst. 7 en 8

Samenvatting Wiskunde Samenvatting en stappenplan van hfst. 7 en 8 Samenvatting Wiskunde Samenvatting en stappenplan van hfst. 7 en 8 Samenvatting door N. 1410 woorden 6 januari 2013 5,4 13 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde Getal en Ruimte 7.1 toenamediagrammen Interval

Nadere informatie

+ ( 1 4 )2 σ 2 X σ2. 36 σ2 terwijl V ar[x] = 11. Aangezien V ar[x] het kleinst is, is dit rekenkundig gemiddelde de meest efficiënte schatter.

+ ( 1 4 )2 σ 2 X σ2. 36 σ2 terwijl V ar[x] = 11. Aangezien V ar[x] het kleinst is, is dit rekenkundig gemiddelde de meest efficiënte schatter. STATISTIEK OPLOSSINGEN OEFENZITTINGEN 5 en 6 c D. Keppens 2004 5 1 (a) Zij µ de verwachtingswaarde van X. We moeten aantonen dat E[M i ] = µ voor i = 1, 2, 3 om te kunnen spreken van zuivere schatters.

Nadere informatie

In het internationale eenhedenstelsel, ook wel SI, staan er negen basisgrootheden met bijbehorende grondeenheden. Dit is BINAS tabel 3A.

In het internationale eenhedenstelsel, ook wel SI, staan er negen basisgrootheden met bijbehorende grondeenheden. Dit is BINAS tabel 3A. Grootheden en eenheden Kwalitatieve en kwantitatieve waarnemingen Een kwalitatieve waarneming is wanneer je meet zonder bijvoorbeeld een meetlat. Je ziet dat een paard hoger is dan een muis. Een kwantitatieve

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 12 Vrijdag 16 Oktober 1 / 38 2 Statistiek Indeling vandaag: Normale verdeling Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling Deductieve statistiek Hypothese toetsen

Nadere informatie

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE 1 DOEL VAN REGRESSIE ANALYSE De relatie te bestuderen tussen een response variabele en een verzameling verklarende variabelen 1. LINEAIRE REGRESSIE Veronderstel dat gegevens

Nadere informatie

Practicum algemeen. 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag

Practicum algemeen. 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag Practicum algemeen 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag 1 Diagrammen maken Onafhankelijke grootheid en afhankelijke grootheid In veel experimenten wordt

Nadere informatie

vwo: Het maken van een natuurkunde-verslag vs 21062011

vwo: Het maken van een natuurkunde-verslag vs 21062011 Het maken van een verslag voor natuurkunde, vwo versie Deze tekst vind je op www.agtijmensen.nl: Een voorbeeld van een verslag Daar vind je ook een po of pws verslag dat wat uitgebreider is. Gebruik volledige

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 7 Dinsdag 11 Oktober 1 / 33 2 Statistiek Vandaag: Populatie en steekproef Maten Standaardscores Normale verdeling Stochast en populatie Experimenten herhalen 2 / 33 3

Nadere informatie

Samenvatting Natuurkunde Hoofdstuk 1

Samenvatting Natuurkunde Hoofdstuk 1 Samenvatting Natuurkunde Hoofdstuk 1 Samenvatting door een scholier 1494 woorden 8 april 2014 7,8 97 keer beoordeeld Vak Methode Natuurkunde Systematische natuurkunde Grootheden en eenheden Kwalitatieve

Nadere informatie

Examen Statistiek I Feedback

Examen Statistiek I Feedback Examen Statistiek I Feedback Bij elke vraag is alternatief A correct. Bij de trekking van een persoon uit een populatie beschouwt men de gebeurtenissen A (met bril), B (hooggeschoold) en C (mannelijk).

Nadere informatie

Theorie: Het maken van een verslag (Herhaling klas 2)

Theorie: Het maken van een verslag (Herhaling klas 2) Theorie: Het maken van een verslag (Herhaling klas 2) Onderdelen Een verslag van een experiment bestaat uit vier onderdelen: - inleiding: De inleiding is het administratieve deel van je verslag. De onderzoeksvraag

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 12 Donderdag 21 Oktober 1 / 38 2 Statistiek Indeling: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 38 Deductieve

Nadere informatie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie Inleveren: Uiterlijk 15 februari voor 16.00 in mijn postvakje Afspraken Overleg is toegestaan, maar iedereen levert zijn eigen werk in. Overschrijven

Nadere informatie

Data analyse Inleiding statistiek

Data analyse Inleiding statistiek Data analyse Inleiding statistiek 1 Doel Beheersen van elementaire statistische technieken Toepassen van deze technieken op aardwetenschappelijke data 2 1 Leerstof Boek: : Introductory Statistics, door

Nadere informatie

Meten en experimenteren

Meten en experimenteren Meten en expermenteren Statstsche verwerkng van gegevens Een korte nledng Ze syllabus voor detals 16 februar 2012 Catherne De Clercq Statstsche verwerkng van gegevens Kursus Toegepaste Statstek door J.

Nadere informatie

Deze week: Steekproefverdelingen. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen. Kwaliteit van schatter. Overzicht Schatten

Deze week: Steekproefverdelingen. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen. Kwaliteit van schatter. Overzicht Schatten Deze week: Steekproefverdelingen Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Zuivere Schatters Betrouwbaarheidsintervallen Departement Informatica Hfdstk

Nadere informatie

HOOFDSTUK VI NIET-PARAMETRISCHE (VERDELINGSVRIJE) STATISTIEK

HOOFDSTUK VI NIET-PARAMETRISCHE (VERDELINGSVRIJE) STATISTIEK HOOFDSTUK VI NIET-PARAMETRISCHE (VERDELINGSVRIJE) STATISTIEK 1 1. INLEIDING Parametrische statistiek: Normale Verdeling Niet-parametrische statistiek: Verdelingsvrij Keuze tussen de twee benaderingen I.

Nadere informatie

Data analyse Inleiding statistiek

Data analyse Inleiding statistiek Data analyse Inleiding statistiek Terugblik - Inductieve statistiek Afleiden van eigenschappen van een populatie op basis van een beperkt aantal metingen (steekproef) Kennis gemaakt met kans & kansverdelingen

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Eindtoets Experimentele Fysica 1 (3A1X1) - Deel januari 2014 van 14:50 17:00 uur

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Eindtoets Experimentele Fysica 1 (3A1X1) - Deel januari 2014 van 14:50 17:00 uur TECHISCHE UIVERSITEIT EIDHOVE Eindtoets Experimentele Fysica 1 (3A1X1) - Deel januari 014 van 14:50 17:00 uur Gebruik van dictaat, aantekeningen en laptop computer is niet toegestaan Gebruik van (grafische)

Nadere informatie

Vandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 2. Basisbegrippen. Theoretische kansverdelingen

Vandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 2. Basisbegrippen. Theoretische kansverdelingen Vandaag Onderzoeksmethoden: Statistiek 2 Peter de Waal (gebaseerd op slides Peter de Waal, Marjan van den Akker) Departement Informatica Beta-faculteit, Universiteit Utrecht Theoretische kansverdelingen

Nadere informatie

Foutenleer 1. dr. P.S. Peijzel

Foutenleer 1. dr. P.S. Peijzel Foutenleer 1 dr. P.S. Peijzel In dit hoofdstuk zal een inleiding in de foutenleer gegeven worden. Foutenleer is een onderdeel van statistiek dat gebruikt wordt om een uitspraak te kunnen doen over fouten

Nadere informatie

Samenvatting Statistiek

Samenvatting Statistiek Samenvatting Statistiek De hoofdstukken 1 t/m 3 gaan over kansrekening: het uitrekenen van kansen in een volledig gespecifeerd model, waarin de parameters bekend zijn en de kans op een gebeurtenis gevraagd

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) en Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3NA10)

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) en Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3NA10) TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) en Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3NA10) d.d. 23 januari 2012 van 9:00 12:00 uur Vul de presentiekaart

Nadere informatie

Vandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 3. Recap 2. Recap 1. Recap Centrale limietstelling T-verdeling Toetsen van hypotheses

Vandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 3. Recap 2. Recap 1. Recap Centrale limietstelling T-verdeling Toetsen van hypotheses Vandaag Onderzoeksmethoden: Statistiek 3 Peter de Waal (gebaseerd op slides Peter de Waal, Marjan van den Akker) Departement Informatica Beta-faculteit, Universiteit Utrecht Recap Centrale limietstelling

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 15 Dinsdag 2 November 1 / 16 2 Statistiek Indeling: Filosofie Schatten Centraal Bureau voor Statistiek 2 / 16 Schatten Vb. Het aantal tenen plus vingers in jullie huishoudens:

Nadere informatie

Je kunt al: -de centrummaten en spreidingsmaten gebruiken -een spreidingsdiagram gebruiken als grafische weergave van twee variabelen

Je kunt al: -de centrummaten en spreidingsmaten gebruiken -een spreidingsdiagram gebruiken als grafische weergave van twee variabelen Lesbrief: Correlatie en Regressie Leerlingmateriaal Je leert nu: -een correlatiecoëfficient gebruiken als maat voor het statistische verband tussen beide variabelen -een regressielijn te tekenen die een

Nadere informatie

Inleiding tot de natuurkunde

Inleiding tot de natuurkunde OBC Inleiding tot de Natuurkunde 01-08-2010 W.Tomassen Pagina 1 Hoofdstuk 1 : Hoe haal ik hoge cijfers. 1. Maak van elke paragraaf een samenvatting. (Titels, vet/schuin gedrukte tekst, opsommingen en plaatsjes.)

Nadere informatie

We illustreren deze werkwijze opnieuw a.h.v. de steekproef van de geboortegewichten

We illustreren deze werkwijze opnieuw a.h.v. de steekproef van de geboortegewichten Hoofdstuk 8 Betrouwbaarheidsintervallen In het vorige hoofdstuk lieten we zien hoe het mogelijk is om over een ongekende karakteristiek van een populatie hypothesen te formuleren. Een andere manier van

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 Statistiek: het toetsen

Hoofdstuk 3 Statistiek: het toetsen Hoofdstuk 3 Statistiek: het toetsen 3.1 Schatten: Er moet een verbinding worden gelegd tussen de steekproefgrootheden en populatieparameters, willen we op basis van de een iets kunnen zeggen over de ander.

Nadere informatie

SOCIALE STATISTIEK (deel 2)

SOCIALE STATISTIEK (deel 2) SOCIALE STATISTIEK (deel 2) D. Vanpaemel KU Leuven D. Vanpaemel (KU Leuven) SOCIALE STATISTIEK (deel 2) 1 / 57 Hoofdstuk 5: Schatters en hun verdeling 5.1 Steekproefgemiddelde als toevalsvariabele D. Vanpaemel

Nadere informatie

werkcollege 6 - D&P9: Estimation Using a Single Sample

werkcollege 6 - D&P9: Estimation Using a Single Sample cursus 9 mei 2012 werkcollege 6 - D&P9: Estimation Using a Single Sample van frequentie naar dichtheid we bepalen frequenties van meetwaarden plot in histogram delen door totaal aantal meetwaarden > fracties

Nadere informatie

Proefopstelling Tekening van je opstelling en beschrijving van de uitvoering van de proef.

Proefopstelling Tekening van je opstelling en beschrijving van de uitvoering van de proef. Practicum 1: Meetonzekerheid in slingertijd Practicum uitgevoerd door: R.H.M. Willems Hoe nauwkeurig is een meting? Onderzoeksvragen Hoe groot is de slingertijd van een 70 cm lange slinger? Waardoor wordt

Nadere informatie

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni Nummer vragenreeks: 1

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni Nummer vragenreeks: 1 IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni 206 Nummer vragenreeks: IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 29 juni 206 - reeks - p. /0 Oefening Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag

Nadere informatie

Examenvragen Hogere Wiskunde I

Examenvragen Hogere Wiskunde I 1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 10. Donderdag 18 Oktober

Statistiek voor A.I. College 10. Donderdag 18 Oktober Statistiek voor A.I. College 10 Donderdag 18 Oktober 1 / 28 Huffington Post poll verkiezingen VS - 12 Oktober 2012 2 / 28 Gallup poll verkiezingen VS - 15 Oktober 2012 3 / 28 Jullie - onderzoek Kimberly,

Nadere informatie

Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010

Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010 Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010 Het correcte antwoord wordt aangeduid door een sterretje. 1 Een steekproef van 400 personen bestaat uit 270 mannen en 130 vrouwen. Een derde van de mannen is

Nadere informatie

HOOFDSTUK III. SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen. Theorie Statistiek Les 6

HOOFDSTUK III. SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen. Theorie Statistiek Les 6 HOOFDSTUK III SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters e Betrouwbaarheidsitervalle 3. HET GEMIDDELDE VAN EEN NV Steekproef uit ee ormaal verdeelde populatie De kasveraderlijke X, X, X 3,..., X zij N(µ, σ) verdeeld

Nadere informatie

Introductie periode 2b. Onderdeel Foutenleer 1

Introductie periode 2b. Onderdeel Foutenleer 1 Introductie periode 2b Onderdeel Foutenleer 1 Assistenten: Lai Mei Tang / Vera Kaats Susan Kersjes Maurice Mourad Sandra Veen Marieke Bode Piter Miedema Inhoud: Wat is foutenleer, en wat heeft Excel daar

Nadere informatie

Titel: De titel moet kort zijn en toch aangeven waar het onderzoek over gaat. Een subtitel kan uitkomst bieden. Een bijpassend plaatje is leuk.

Titel: De titel moet kort zijn en toch aangeven waar het onderzoek over gaat. Een subtitel kan uitkomst bieden. Een bijpassend plaatje is leuk. Het maken van een verslag voor natuurkunde Deze tekst vind je op www.agtijmensen.nl: Een voorbeeld van een verslag Daar vind je ook een po of pws verslag dat wat uitgebreider is. Gebruik volledige zinnen

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, uur

Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, uur Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, 14.00 17.00 uur Het tentamen bestaat uit 15 meerkeuzevragen 2 open vragen. Een formuleblad wordt uitgedeeld. Normering: 0.4 punt per MC antwoord

Nadere informatie

HOOFDSTUK II BIJZONDERE THEORETISCHE VERDELINGEN

HOOFDSTUK II BIJZONDERE THEORETISCHE VERDELINGEN HOOFDSTUK II BIJZONDERE THEORETISCHE VERDELINGEN. Continue Verdelingen 1 A. De uniforme (of rechthoekige) verdeling Kansdichtheid en cumulatieve frequentiefunctie Voor x < a f(x) = 0 F(x) = 0 Voor a x

Nadere informatie

HOOFDSTUK IV TOETSEN VAN STATISTISCHE HYPOTHESEN

HOOFDSTUK IV TOETSEN VAN STATISTISCHE HYPOTHESEN HOOFDSTUK IV TOETSEN VAN STATISTISCHE HYPOTHESEN 4. VERGELIJKINGSTOETSEN A. Vergelijken van varianties Men beschouwt twee steekproeven uit normaal verdeelde populaties: X, X,, X n ~ N(µ, σ ) Y, Y,, Y n

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 2. Donderdag 13 September 2012

Statistiek voor A.I. College 2. Donderdag 13 September 2012 Statistiek voor A.I. College 2 Donderdag 13 September 2012 1 / 42 1 Beschrijvende statistiek 2 / 42 Extrapolatie 3 / 42 Verkiezingen 2012 4 / 42 Verkiezingen 2012 5 / 42 1 Beschrijvende statistiek Vandaag:

Nadere informatie

REKENTECHNIEKEN - OPLOSSINGEN

REKENTECHNIEKEN - OPLOSSINGEN REKENTECHNIEKEN - OPLOSSINGEN 1] 3,52 m + 13,6 cm =? 3,52 m 3,52 m - 2 13,6 cm 0,136 m - 3 3,656 m eindresultaat 3,66 m 2 cijfers na komma en afronden naar boven 3,52 m 352 cm - 0 13,6 cm 13,6 cm - 1 365,6

Nadere informatie

Data analyse Inleiding statistiek

Data analyse Inleiding statistiek Data analyse Inleiding statistiek 1 Terugblik - Inductieve statistiek Afleiden van eigenschappen van een populatie op basis van een beperkt aantal metingen (steekproef) Kennis gemaakt met kans & kansverdelingen»

Nadere informatie

6.1 Beschouw de populatie die beschreven wordt door onderstaande kansverdeling.

6.1 Beschouw de populatie die beschreven wordt door onderstaande kansverdeling. Opgaven hoofdstuk 6 I Basistechnieken 6.1 Beschouw de populatie die beschreven wordt door onderstaande kansverdeling. x 0 2 4 6 p(x) ¼ ¼ ¼ ¼ a. Schrijf alle mogelijke verschillende steekproeven van n =

Nadere informatie

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Beschrijvende Statistiek /k 1/35 OPDRACHT OVER BESCHRIJVENDE STATISTIEK Beleggen Door een erfenis heeft een vriend van u onverwacht de beschikking over een

Nadere informatie

HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN

HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN 1.2 Kansveranderlijken en verdelingen 1 Veranderlijken Beschouw een toevallig experiment met uitkomstenverzameling V (eindig of oneindig), de verzameling van alle gebeurtenissen

Nadere informatie

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics. Beschrijvende Statistiek

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics. Beschrijvende Statistiek Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Beschrijvende Statistiek OPDRACHT OVER BESCHRIJVENDE STATISTIEK Beleggen Door een erfenis heeft een vriend van u onverwacht de beschikking over een klein kapitaaltje

Nadere informatie

6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling.

6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling. Opgaven hoofdstuk 6 I Learning the Mechanics 6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling. De random variabele x wordt tweemaal waargenomen. Ga na dat, indien de waarnemingen

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Technische Universiteit Delft Mekelweg 4 Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica 2628 CD Delft Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Formulebladen, rekenmachines,

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde A. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde A. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde A Datum: 11 juni 2012 Tijd: 19.00-22.00 uur Aantal opgaven: 8 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van

Nadere informatie

Significante cijfers en meetonzekerheid

Significante cijfers en meetonzekerheid Inhoud Significante cijfers en meetonzekerheid... 2 Significante cijfers... 2 Wetenschappelijke notatie... 4 Meetonzekerheid... 4 Significante cijfers en meetonzekerheid... 5 Opgaven... 6 Opgave 1... 6

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Eindtoets Experimentele Fysica 1 (3A1X1) - Deel november 2016 van 14:30 16:30 uur

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Eindtoets Experimentele Fysica 1 (3A1X1) - Deel november 2016 van 14:30 16:30 uur TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Eindtoets Experimentele Fysica 1 (3A1X1) - Deel 2 11 november 2016 van 14:30 16:30 uur DIT DEEL VAN DE EINDTOETS BESTAAT UIT 6 OPGAVEN LET OP: ER ZITTEN 2 BIJLAGEN BIJ

Nadere informatie

Inleidende begrippen over foutentheorie

Inleidende begrippen over foutentheorie Hoofdstuk 1 Inleidende begrippen over foutentheorie Doelstellingen 1. leren omgaan met fouten op een meting 2. kennis van statistische basisbegrippen 3. meetgegevens verwerken en interpreteren (in Excell)

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN VANUIT VERSCHILLENDE HOEKEN BELICHT. S.A.R. Bus

BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN VANUIT VERSCHILLENDE HOEKEN BELICHT. S.A.R. Bus BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN VANUIT VERSCHILLENDE HOEKEN BELICHT S.A.R. Bus WAAR DENK JE AAN BIJ BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN? Wie van jullie gebruikt betrouwbaarheidsintervallen? WAAROM BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN???

Nadere informatie

Vrije Universiteit 28 mei Gebruik van een (niet-grafische) rekenmachine is toegestaan.

Vrije Universiteit 28 mei Gebruik van een (niet-grafische) rekenmachine is toegestaan. Afdeling Wiskunde Volledig tentamen Statistics Deeltentamen 2 Statistics Vrije Universiteit 28 mei 2015 Gebruik van een (niet-grafische) rekenmachine is toegestaan. Geheel tentamen: opgaven 1,2,3,4. Cijfer=

Nadere informatie

HAVO 4 wiskunde A. Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet kennen en kunnen. checklist SE1 wiskunde A.pdf

HAVO 4 wiskunde A. Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet kennen en kunnen. checklist SE1 wiskunde A.pdf HAVO 4 wiskunde A Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet kennen en kunnen. checklist SE1 wiskunde A.pdf 1. rekenregels en verhoudingen Ik kan breuken vermenigvuldigen en delen. Ik ken

Nadere informatie

HOOFDSTUK 6: INTRODUCTIE IN STATISTISCHE GEVOLGTREKKINGEN

HOOFDSTUK 6: INTRODUCTIE IN STATISTISCHE GEVOLGTREKKINGEN HOOFDSTUK 6: INTRODUCTIE IN STATISTISCHE GEVOLGTREKKINGEN Inleiding Statistische gevolgtrekkingen (statistical inference) gaan over het trekken van conclusies over een populatie op basis van steekproefdata.

Nadere informatie

introductie Wilcoxon s rank sum toets Wilcoxon s signed rank toets introductie Wilcoxon s rank sum toets Wilcoxon s signed rank toets

introductie Wilcoxon s rank sum toets Wilcoxon s signed rank toets introductie Wilcoxon s rank sum toets Wilcoxon s signed rank toets toetsende statistiek week 1: kansen en random variabelen week : de steekproevenverdeling week 3: schatten en toetsen: de z-toets week : het toetsen van gemiddelden: de t-toets week 5: het toetsen van varianties:

Nadere informatie

SCHRIFTELIJK TENTAMEN VAN 22 JANUARI Dit tentamen bevat verschillende soorten vragen of deelvragen:

SCHRIFTELIJK TENTAMEN VAN 22 JANUARI Dit tentamen bevat verschillende soorten vragen of deelvragen: FYSICA I PRACTICUM FYSICA I J. DANCKAERT J. DANCKAERT en L. SLOOTEN SCHRIFTELIJK TENTAMEN VAN JANUARI 007 OPGEPAST Dit tentamen bevat verschillende soorten vragen of deelvragen: o Meerkeuzevragen waarbij

Nadere informatie

Cursus Statistiek Hoofdstuk 4. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen. Definitie (Verwachting van discrete stochast) Voorbeeld (1)

Cursus Statistiek Hoofdstuk 4. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen. Definitie (Verwachting van discrete stochast) Voorbeeld (1) Cursus Statistiek Hoofdstuk 4 Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Departement Informatica Inhoud Verwachtingen Variantie Momenten en Momentengenererende functie

Nadere informatie

Havo 4 - Practicumwedstrijd Versnelling van een karretje

Havo 4 - Practicumwedstrijd Versnelling van een karretje Havo 4 - Practicumwedstrijd Versnelling van een karretje Vandaag gaan jullie een natuurkundig experiment doen in een hele andere vorm dan je gewend bent, namelijk in de vorm van een wedstrijd. Leerdoelen

Nadere informatie

4900 snelheid = = 50 m/s Grootheden en eenheden. Havo 4 Hoofdstuk 1 Uitwerkingen

4900 snelheid = = 50 m/s Grootheden en eenheden. Havo 4 Hoofdstuk 1 Uitwerkingen 1.1 Grootheden en eenheden Opgave 1 a Kwantitatieve metingen zijn metingen waarbij je de waarneming uitdrukt in een getal, meestal met een eenheid. De volgende metingen zijn kwantitatief: het aantal kinderen

Nadere informatie

Toegepaste Statistiek, Dag 7 1

Toegepaste Statistiek, Dag 7 1 Toegepaste Statistiek, Dag 7 1 Statistiek: Afkomstig uit het Duits: De studie van politieke feiten en cijfers. Afgeleid uit het latijn: status, staat, toestand Belangrijkste associatie: beschrijvende statistiek

Nadere informatie

Experimenteel onderzoek

Experimenteel onderzoek Newton - VWO Experimenteel onderzoek Samenvatting Soorten onderzoek experimenteel onderzoek - de opzet van een experimenteel onderzoek hangt af van het onderzoeksdoel literatuuronderzoek - over een bepaald

Nadere informatie

Beschrijvend statistiek

Beschrijvend statistiek 1 Beschrijvend statistiek 1. In een school werd het intelligentiequotiënt gemeten van de leerlingen van het zesde jaar (zie tabel). De getallen werden afgerond tot op de eenheid. De berekeningen mogen

Nadere informatie

Vermogen snelheid van de NXT

Vermogen snelheid van de NXT Vermogen snelheid van de NXT Inleiding In deze meting gaan we op zoek naar een duidelijk verband tussen de vermogens die je kunt instellen op de LEGO NXT en de snelheid van het standaardwagentje uit het

Nadere informatie

Een kogel die van een helling afrolt, ondervindt een constante versnelling. Deze versnelling kan berekend worden met de formule:

Een kogel die van een helling afrolt, ondervindt een constante versnelling. Deze versnelling kan berekend worden met de formule: Voorbeeldmeetrapport (eenparig versnelde beweging stopwatch en meetlat) Eenparig versnelde beweging stopwatch en meetlat. Doel van de proef Een kogel die van een helling afrolt, voert een eenparig versnelde

Nadere informatie

Significante cijfers en meetonzekerheid

Significante cijfers en meetonzekerheid Inhoud Significante cijfers en meetonzekerheid... 2 Significante cijfers... 2 Wetenschappelijke notatie... 3 Meetonzekerheid... 3 Significante cijfers en meetonzekerheid... 4 Opgaven... 5 Opgave 1... 5

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Steekproevendistributies

Hoofdstuk 5: Steekproevendistributies Hoofdstuk 5: Steekproevendistributies Inleiding Statistische gevolgtrekkingen worden gebruikt om conclusies over een populatie of proces te trekken op basis van data. Deze data wordt samengevat door middel

Nadere informatie

Statistiek: Vorm van de verdeling 1/4/2014. dr. Brenda Casteleyn

Statistiek: Vorm van de verdeling 1/4/2014. dr. Brenda Casteleyn Statistiek: Vorm van de verdeling /4/204 . Theorie Enkel de theorie die nodig is voor de oefeningen is hierin opgenomen. Scheefheid of asymmetrie Indien de meetwaarden links van de mediaan meer spreiding

Nadere informatie

4,4. Praktische-opdracht door een scholier 2528 woorden 23 juni keer beoordeeld. Natuurkunde. De Veer. Het bepalen van de veerconstante,

4,4. Praktische-opdracht door een scholier 2528 woorden 23 juni keer beoordeeld. Natuurkunde. De Veer. Het bepalen van de veerconstante, Praktische-opdracht door een scholier 2528 woorden 23 juni 2004 4,4 127 keer beoordeeld Vak Natuurkunde De Veer Het bepalen van de veerconstante, Het bepalen van de trillingstijd van een veer, Het bepalen

Nadere informatie

Toegepaste Statistiek, Week 6 1

Toegepaste Statistiek, Week 6 1 Toegepaste Statistiek, Week 6 1 Eén ordinale en één nominale variabele Nominale variabele met TWEE categorieën, 1 en 2 Ordinale variabele normaal verdeeld binnen iedere categorie? Variantie in beide categorieën

Nadere informatie

introductie populatie- steekproef- steekproevenverdeling pauze parameters aannames ten slotte

introductie populatie- steekproef- steekproevenverdeling pauze parameters aannames ten slotte toetsende statistiek week 1: kansen en random variabelen week 2: de steekproevenverdeling Moore, McCabe, and Craig. Introduction to the Practice of Statistics Chapter 5: Sampling Distributions 5.1: The

Nadere informatie

Naam: Klas: Practicum veerconstante

Naam: Klas: Practicum veerconstante Naam: Klas: Practicum veerconstante stap Bouw de opstelling zoals hiernaast is weergegeven. stap 2 Hang achtereenvolgens verschillende massa's aan een spiraalveer en meet bij elke massa de veerlengte in

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 4. Het steekproefgemiddelde. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 4. Het steekproefgemiddelde. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Kansmodellen 4. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg . Een concreet voorbeeld.... Een kansmodel

Nadere informatie

Ijkingstoets 4 juli 2012

Ijkingstoets 4 juli 2012 Ijkingtoets 4 juli 2012 -vragenreeks 1 1 Ijkingstoets 4 juli 2012 Oefening 1 In de apotheek bezorgt de apotheker zijn assistent op verschillende tijdstippen van de dag een voorschrift voor een te bereiden

Nadere informatie

Meten is weten, dat geldt ook voor het vakgebied natuurkunde. Om te meten gebruik je hulpmiddelen, zoals timers, thermometers, linialen en sensoren.

Meten is weten, dat geldt ook voor het vakgebied natuurkunde. Om te meten gebruik je hulpmiddelen, zoals timers, thermometers, linialen en sensoren. 1 Meten en verwerken 1.1 Meten Meten is weten, dat geldt ook voor het vakgebied natuurkunde. Om te meten gebruik je hulpmiddelen, zoals timers, thermometers, linialen en sensoren. Grootheden/eenheden Een

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect september 2018: feedback deel wiskunde

IJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect september 2018: feedback deel wiskunde IJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect september 8: feedback deel wiskunde Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen 5 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur-architect

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect september 2018: feedback deel wiskunde

IJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect september 2018: feedback deel wiskunde IJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect september 8: feedback deel wiskunde Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen 5 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur-architect

Nadere informatie

De 42 e Internationale Natuurkunde Olympiade Bangkok, Thailand Experimentele toets Donderdag 14 juli 2011

De 42 e Internationale Natuurkunde Olympiade Bangkok, Thailand Experimentele toets Donderdag 14 juli 2011 Lees dit eerst: De 42 e Internationale Natuurkunde Olympiade Bangkok, Thailand Experimentele toets Donderdag 14 juli 2011 1. Er zijn twee experimenten. Voor elk experiment wordt maximaal 10 punten toegekend.

Nadere informatie