Foutenleer 1. dr. P.S. Peijzel

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Foutenleer 1. dr. P.S. Peijzel"

Transcriptie

1 Foutenleer 1 dr. P.S. Peijzel In dit hoofdstuk zal een inleiding in de foutenleer gegeven worden. Foutenleer is een onderdeel van statistiek dat gebruikt wordt om een uitspraak te kunnen doen over fouten in metingen en de betrouwbaarheid van meetresultaten. Een uitgebreidere uitleg is te vinden in het dictaat Foutenleer op practicum.chem.uu.nl Na de kerstvakantie ontvang je de opgaven. De uitwerkingen dienen uiterlijk 2 februari 2007 om uur bij mij ingeleverd te zijn. Het inleveren dient op papier te gebeuren, stuur dus geen ! Laat bij elke vraag ook zien hoe je aan je antwoord komt, en geef dus niet alleen het antwoord. Opdrachten die na 2 februari worden ingeleverd zullen niet beoordeeld worden. Voor vragen en opmerkingen:

2

3 Foutenleer Inleiding Wetenschappelijk onderzoek wordt meestal uitgevoerd volgens onderstaande vier stappen: (a) Eerst zien we een interessant of onbekend verschijnsel. (b) Een mogelijke verklaring (hypothese) wordt bedacht voor het waargenomen verschijnsel. (c) Experimenten worden (1) ontworpen, en (2) uitgevoerd om de hypothese te testen. (d) De resultaten van de experimenten worden gecontroleerd om te zien of ze de hypothese kunnen bevestigen. De meeste experimenten die je zult doen in het eerste jaar van je studie zullen vallen onder stap (c2) en (d). Meestal zijn zowel het te bestuderen onderwerp als de relevante achtergrondtheorie bekend. Je voert de metingen uit en controleert of de resultaten in overeenstemming zijn met de theorie. Het doen van hypotheses (stap b) en het ontwerpen van experimenten (stap c1) is een belangrijk onderdeel van wetenschappelijk onderzoek en dit zul je later in je studie nog vaker tegenkomen. Een experiment kan alleen maar goed zijn wanneer het onderscheid kan maken tussen de voorspellingen van twee verschillende theorieën. Dit klinkt eenvoudiger dan het is, want het houdt in dat je een uitspraak moet doen over de kwaliteit van de behaalde resultaten. Aan de hand van een eenvoudig voorbeeld zal dit duidelijk worden: Stel, je hebt een gas bij verminderde druk en je wilt identificeren welke stof het is. Bij normale druk en kamertemperatuur kan het een gas of een vloeistof zijn. Je hebt een massaspectrometer tot je beschikking en je besluit om deze te gebruiken om de molaire massa van het gas te bepalen. Je meet een molaire massa van 43.9 g. Is dit voldoende om het gas te identificeren? Het antwoord is: waarschijnlijk wel. Maar je moet eerst nog wel weten hoe nauwkeurig die massa gemeten is. In bijna elke meting zit een onnauwkeurigheid. Wanneer je de lengte van een persoon meet, dan zul je het resultaat opgeven met een nauwkeurigheid van ca. 1 cm. In het geval van overdreven nauwkeurig meten zou je dit zelfs op ca. 0.1 cm kunnen doen. Het ca. deel is de fout in de meting. En het begrip fout betekent hier dus de onzekerheid in het antwoord, en er wordt niet bedoeld dat je een fout gemaakt hebt bij het meten (hoewel dat wel gebeurd kan zijn, uiteraard). Het betekent dat je het resultaat van de meting niet met een absolute nauwkeurigheid kan weergeven. De groot van de fout in een meetuitkomst heeft invloed op hoe je de resultaten van een meting kan interpreteren. Wanneer de bepaalde massa een fout had van ca. 1.5 g, dan was het resultaat van de meting 43.9 ± 1.5 g, dus de stof die je meet heeft een molaire massa tussen de 42.4 en de 45.4 g. Dit kunnen meerdere stoffen zijn. Zo zijn er bijvoorbeeld: kooldioxide (44.01 g), propaan (44.07 g), ethanol (45.06 g) of ethylamine (45.09 g). Wanneer de fout nog groter zou zijn, is zelfs argon een mogelijkheid. Aan de andere kant, wanneer de fout slechts ca g zou

4 4 Foutenleer 1 zijn, blijft alleen kooldioxide als optie over. Hieruit blijkt meteen een belangrijk gegeven: Alleen de uitkomst van een meting zegt niet zo veel wanneer er niet iets gezegd wordt over de onzekerheid in het resultaat. Sterker nog, de berekende resultaten van een experiment zijn waardeloos zonder een schatting van hun betrouwbaarheid. Een schatting van de kwaliteit van een meetresultaat is een belangrijk onderdeel in de analytische chemie. Net zoals je bij synthese een uitspraak doet over de zuiverheid van een product, zo doe je in de analytische en fysische chemie een uitspraak over de betrouwbaarheid van een meetuitkomst. Foutenleer is de wetenschap die zich bezighoudt met statistiek en fouten in metingen. In dit hoofdstuk zullen een paar van de belangrijkste basisbegrippen uit de foutenleer toegelicht worden. 2 Juistheid en precisie We beginnen meteen met twee termen die vaak door elkaar gehaald worden: Juistheid (accuracy) en precisie (precision). De juistheid van een resultaat geeft aan hoe dicht dit bij de theoretische waarde ligt. De precisie is een maat voor hoe reproduceerbaar de meetresultaten van dezelfde meting zijn. Een juiste meting komt goed overeen met de ware waarde, terwijl een precieze meting reproduceerbare resultaten geeft. Precieze metingen zijn niet per se juist. In onderstaande afbeelding wordt dit geïllustreerd aan de hand van de resultaten van vier titraties. Meting A is precies, maar niet juist. Meting B is gemiddeld wel juist (het gemiddelde ligt dicht bij het correcte resultaat), maar niet precies. Meting C is niet juist, en ook niet precies. Meting D is zowel juist als precies.

5 Foutenleer Toevallige en systematische fouten Het is onvermijdelijk dat er tijdens metingen meetfouten optreden. De fouten kunnen in twee categorieën worden ingedeeld: Systematische fouten kunnen ontstaan door foute calibratie (nulpunt verkeerd ingesteld), een beperking in de theorie, verontreiniging van het monster of drift in het meetapparaat of zelfs een verkeerd gekozen meetmethode. Systematische fouten zorgen voor telkens dezelfde afwijking, welke dus ook niet opvallen bij herhaling van de meting. Toevallige fouten ontstaan door onnauwkeurigheden tijdens het meetproces. Ze zijn dan ook onvoorspelbaar. Door toevallige fouten geven herhaalde metingen nooit precies hetzelfde resultaat. Ze ontstaan onder andere door willekeurige fluctuaties in bijvoorbeeld de temperatuur, of elektronische ruis. Een andere oorzaak van toevallige fouten is de experimentator zelf, omdat ook die niet altijd een (analoog) instrument op precies dezelfde manier afleest (hoewel dit ook systematisch kan zijn!). In onderstaande figuur staat een histogram waarin een serie meetresultaten is uitgezet. De gemiddelde waarde van deze metingen ligt dicht bij 15. Wanneer 15 ook de ware waarde is, dan vertonen de resultaten bij benadering een Gaussische verdeling rond het gemiddelde. Wanneer de ware waarde echter 23 is, dan is het duidelijk dat de hele set metingen een afwijking vertoont en dit suggereert de aanwezigheid van een systematische fout. Dit hoofdstuk zal een inleiding geven in de statistiek van toevallige fouten en er zal aan de hand van voorbeelden duidelijk worden gemaakt wat de praktische gevolgen van fouten in metingen zijn. Je zou kunnen denken dat systematische fouten eenvoudig te ontdekken zijn, maar meestal is het juist moeilijker om ze aan te tonen. Dit komt uiteraard ook doordat we meestal niet weten wat de ware uitkomst van een meting is, en dan weten we dus ook niet of we er dicht bij in de buurt zitten met ons antwoord. Systematische fouten worden

6 6 Foutenleer 1 snel duidelijk wanneer twee verschillende meetmethoden voor dezelfde fysische grootheid significant verschillende resultaten geven. Een bekend voorbeeld hiervan is het verschil in de gevonden waarden voor de lading van het elektron in het oliedruppel experiment van Millikan en de verhouding tussen de Faraday en Avogadro s constante. Het verschil werd uiteindelijk verklaard door een verkeerd aangenomen waarde voor de viscositeit van lucht, waaruit de straal van de oliedruppels werd afgeleid. 4 Nog iets over systematische fouten Toevallige fouten zijn onvermijdelijk en zullen dan ook in ieder experiment optreden. Maar, met behulp van statistiek (foutenleer) kan er goed mee gewerkt worden en hun effect kan worden geminimaliseerd door een experiment vaker uit te voeren. Voor systematische fouten ligt dit helaas niet zo eenvoudig, en daar zijn twee redenen voor: hoewel we (meestal) weten dat er een systematische fout kan zijn, weten we niet hoe groot deze is. soms weten we niet eens dat er een systematische fout optreedt. Het is belangrijk om je te realiseren dat systematische fouten niet lastige zaken zijn die af en toe optreden, maar dat het complicaties zijn die in ieder experiment voor kunnen komen. Wanneer je een titratie uitvoert, is de calibratie van de buret alleen correct tot op een bepaalde nauwkeurigheid. Alle volumina die je afleest zijn dus waarschijnlijk te klein of te groot. Mechanische balansen kunnen verslechteren bij gebruik. Ze kunnen dan nog steeds met dezelfde precisie worden afgelezen als wanneer ze nieuw waren, maar elke meting kan de zelfde afwijking vertonen. In veel experimenten worden in de achterliggende theorie benaderingen gedaan. Je kan bijvoorbeeld uitgaan van ideale gassen, en voor waterstof werkt dit vrij goed, en voor kooldioxide niet altijd. In elk meetresultaat zit dan een kleine systematische fout. De grootte van zo n fout wordt ook nog door de experimentele condities bepaald. Afwijkingen van de ideale gaswet treden met name bij hogere drukken op. Het is vaak moeilijk om systematische fouten te identificeren en om een schatting van hun grootte te maken. Dit betekent niet dat deze fouten genegeerd kunnen worden. Integendeel: systematische fouten zijn een groter obstakel bij het verzamelen van betrouwbare data dan toevallige fouten, omdat voor toevallige fouten statistische verklaringen en verwerkingsmethoden zijn.

7 Foutenleer Hoe om te gaan met toevallige fouten Herhaalde metingen van dezelfde waarde bevatten gewoonlijk een fout. Wanneer deze fout een toevallige fout is, wordt de grootte ervan bepaald door toeval en de uitkomsten zullen verspreid zijn rondom een gemiddelde. De resultaten vertonen dan meestal een Gaussische of normale verdeling. Toevallige fouten zijn volledig onvoorspelbaar en onvermijdelijk. Ze kunnen niet worden vermeden door het experiment zorgvuldiger uit te voeren, maar hun effect kan worden verminderd door het experiment te herhalen en statistiek toe te passen op de resultaten. Wanneer voldoende metingen beschikbaar zijn (vaak is zes een goed minimum) dan kunnen deze resultaten geanalyseerd worden om het gemiddelde te bepalen. Ook kunnen we de kans dat de ware waarde binnen een bepaald tolerantiegebied van het gemiddelde ligt bepalen. In de praktijk wordt in verband met de beschikbare tijd soms een kleiner aantal metingen gedaan. Dit gaat dan soms uiteraard wel ten koste van de betrouwbaarheid. Deze analyse is vanzelfsprekend en moet altijd worden gedaan wanneer door toevallige fouten een significante spreiding in de meetresultaten is ontstaan. De benodigde berekeningen kunnen met een eenvoudige rekenmachine of spreadsheet uitgevoerd worden. Bij toevallige fouten wordt ervan uit gegaan dat de ware waarde, dat is het gemiddelde µ van een groot aantal metingen voor x alleen gemeten kan worden binnen een bepaalde tolerantie of standaarddeviatie σ, en dat de kans P (x)dx voor het meten van een waarde tussen x en x + dx de normale verdeling volgt. De functie P (x) ziet er als volgt uit: P (x) = 2πσ 2 exp[ (x µ) 2 /2σ 2 ] (1) en heeft de eigenschap dat 67% van een oneindig groot aantal metingen van x liggen in het gebied µ ± σ, 95% ligt binnen µ ± 2σ en 99% ligt binnen µ ± 3σ. In paragraaf 6 zal uitgelegd worden hoe uit een set metingen het gemiddelde en de standaarddeviatie berekend kunnen worden. Paragraaf 7 gaat over het vergelijken van resultaten van een meting met een literatuurwaarde. In paragraaf 8 zal aandacht besteed worden aan het doorwerken van fouten, wanneer fouten in meerdere gemeten grootheden gecombineerd worden.

8 8 Foutenleer 1 6 Schatting van het gemiddelde en de standaarddeviatie Het uitrekenen van het gemiddelde en de standaarddeviatie voor een set meetwaarden is vrij eenvoudig. Wanneer we een set (onafhankelijke) metingen x 1, x 2,... x n hebben dan worden het gemiddelde x en de standaarddeviatie s berekend als respectievelijk: x = 1 n (x 1 + x x n ) = 1 n s = 1 n 1 n x i (2) i=1 n (x i x) 2 (3) De factor (n-1) in vergelijking 3 wordt veroorzaakt door het feit dat alleen (n 1) van de x i metingen onafhankelijk zijn wanneer het gemiddelde bekend is. Een manier om een meetresultaat weer te geven is: x = x ± s (4) n Een voorbeeld: Stel dat je de energie van de vibratie van de C O binding in koolmonoxide een aantal keer hebt bepaald en je vond de waarden 2140, 2145, 2139, 2150, 2146, 2142 en 2144 cm 1. Dan zou je het eindresultaat noteren als ± 1.4 cm 1. De waarde s n is de standaarddeviatie in het gemiddelde (ook weergegeven met s g ). We gebruiken deze waarde om te bepalen op hoeveel decimalen we een resultaat weergeven. Je berekent eerst s g en dit noteer je met slechts 1 significant cijfer. Is dit echter een 1 of een 2, dan noteer je een extra cijfer (is dit weer een 1 of een 2, dan doe je dit NIET nog een keer). Het aantal cijfers achter de komma dat je nodig hebt om s g te noteren bepaalt de notatie van het eindresultaat. In bovenstaand voorbeeld was de standaarddeviatie in het gemiddelde 1.4 cm 1. We noteren het gemiddelde dan met 1 cijfer achter de komma. Vergeet ook niet de eenheden bij de meting (en dus ook bij de standaarddeviatie) te noteren!! i=1 7 Vergelijking van resultaten van verschillende experimenten Vaak worden metingen uitgevoerd aan een grootheid waarvoor al eerder betrouwbare waarden gevonden zijn. Belangrijk is dan hoe je jouw eigen gevonden waarden kunt vergelijken met de resultaten van anderen. We kunnen hier twee gevallen onderscheiden: het vergelijken van een serie metingen met een nauwkeurig bekende literatuurwaarde, en het vergelijken van een serie metingen met een serie metingen van iemand anders. Dit laatste is ingewikkelder dan het eerste geval en we zullen ons hier dus beperken tot het eenvoudigste geval, waar we de gemiddelde meetwaarde vergelijken met een literatuurwaarde of met een theoretisch voorspelde waarde µ. Wanneer je een groot aantal metingen hebt verricht, bij voorbeeld meer dan 50 en er alleen willekeurige fouten optreden dan is te verwachten dat de gemeten waarden een normale

9 Foutenleer 1 9 verdeling vormen rond x = µ en dat er een kans van 95% is dat die waarden liggen binnen 1.96σ n van de ware waarde, en een kans van 99% dat die waarden liggen binnen 2.58σ n van de ware waarde. In de praktijk doe je minder metingen en dan wordt niet de normale verdeling gebruikt, maar de Student s t. De berekende standaarddeviatie wordt in dit geval ook s genoemd, en niet σ, en in plaats van µ gebruiken we x om het gemiddelde aan te duiden. Wanneer x en s bekend zijn, dan is het mogelijk om betrouwbaarheidsintervallen voor µ te berekenen. Die intervallen zijn gedefinieerd als: µ = x ± t ns n (5) In deze vergelijking staat t n voor de waarde van de Student s t bij n vrijheidsgraden. Het aantal vrijheidsgraden is in dit geval het aantal metingen min 1. Dit is zo omdat wanneer het gemiddelde en alle behalve één meetwaarde bekend is, die laatste waarde ook vaststaat. In bijvoorbeeld tabel 4-2 in Harris zijn voor verschillende betrouwbaarheden de waarden van t n te vinden. Wanneer van onze n metingen het gemiddelde x en de standaarddeviatie s bekend zijn, en we willen deze waarde vergelijken met een literatuurwaarde binnen een zekere betrouwbaarheid, dan voeren we de zogenaamde t-toets uit. Bereken: x literatuurwaarde t berekend = n (6) s en vergelijk deze t berekend met de waarde voor t n die je opzoekt in tabel 4-2 in Harris (voor n-1 vrijheidsgraden en de gewenste betrouwbaarheid). Wanneer t berekend kleiner is dan t n, dan kan je met de gekozen betrouwbaarheid zeggen dat er geen significant verschil is tussen de gemeten waarde en de literatuurwaarde. Wanneer er gekozen was voor een betrouwbaarheid van 95% dan wil dat dus ook zeggen dat er een kans van 5% is dat deze uitspraak niet gerechtvaardigd is. In plaats van gebruik van de tabel in Harris heeft een programma als Excel ook statistische functies om een t-toets uit te voeren. Een statistische toets zoals de t-toets doet dus geen uitspraak of een meetwaarde de juiste meetwaarde is, het is alleen mogelijk om een uitspraak te doen over de betrouwbaarheid van een uitkomst. De verantwoordelijkheid voor de interpretatie ligt nog steeds bij jezelf! 8 Propagatie van toevallige fouten Soms is het resultaat van een meting een hoeveelheid die je direct hebt gemeten. De fout hierin is dan de fout in de meting. Soms wordt het eindresultaat echter verkregen door combinatie van verschillende metingen. De eindberekening is dan een combinatie van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen van de verschillende waarnemingen. De fouten in verschillende waarnemingen zijn meestal niet even groot en in dat geval kan niet worden volstaan met optellen of vermenigvuldigen van de fouten om de fout in het eindantwoord te bepalen. De meest directe methode is het opnemen van foutenmarges in de formule waarmee het eindresultaat wordt berekend. Wanneer er echter veel rekenstappen zijn, dan is dit niet meer zo eenvoudig, en bovendien veel werk.

10 10 Foutenleer 1 Er zijn echter een paar regels over doorwerkende fouten. Let wel op dat het hier gaat om toevallige fouten. De doorwerking van systematische fouten wordt hier buiten beschouwing gelaten. Wanneer van elke meting de fout in die meting bekend is, dan zijn er wiskundige regels om te bepalen wat de fout in het eindantwoord is. 8.1 Lineaire combinaties In dit geval wordt het eindantwoord y berekend uit een lineaire combinatie van gemeten waarden a, b, c, etc. door: y = k + k a a + k b b + k c c +... (7) waarbij k, k a, k b, k c, etc. constanten zijn. De variantie (dat is het kwadraat van de standaarddeviatie) heeft de belangrijke eigenschap dat de variantie van de som of het verschil van onafhankelijke meetwaarden gelijk is aan de som van hun varianties. Wanneer σ a, σ b, σ b, etc. de standaarddeviaties zijn in a, b, c, etc., dan is de standaarddeviatie in y, σ y gegeven als: σ y = (k a σ a ) 2 + (k b σ b ) 2 + (k c σ c ) (8) 8.2 Vermenigvuldiging/deling Wanneer y berekend wordt uit een vermenigvuldiging of deling, bijvoorbeeld: y = k ab cd waarbij a, b, c, en d onafhankelijke meetwaarden zijn en k een constante is, dan is er het volgende verband tussen de relatieve standaarddeviaties: (9) σ y y = (σa a ) 2 + ( σb b ) 2 + ( σc c ) 2 ( σd ) 2 + (10) d In het geval van machtsverheffen, bijvoorbeeld b 3, dan kan dat niet geschreven worden als b b b omdat de drie b s niet onafhankelijk zijn. In het geval van: y = b n (11) is het verband tussen de standaarddeviaties: σ y y = nσ b (12) b 8.3 Andere functies Wanneer y een functie is van x, y = f(x), dan verhouden de standaarddeviaties in x en y zich als: σ y = σ dy x dx (13)

Introductie periode 2b. Onderdeel Foutenleer 1

Introductie periode 2b. Onderdeel Foutenleer 1 Introductie periode 2b Onderdeel Foutenleer 1 Assistenten: Lai Mei Tang / Vera Kaats Susan Kersjes Maurice Mourad Sandra Veen Marieke Bode Piter Miedema Inhoud: Wat is foutenleer, en wat heeft Excel daar

Nadere informatie

Foutenberekeningen. Inhoudsopgave

Foutenberekeningen. Inhoudsopgave Inhoudsopgave Leerdoelen :... 3 1. Inleiding.... 4 2. De absolute fout... 5 3. De KOW-methode... 7 4. Grootheden optellen of aftrekken.... 8 5. De relatieve fout...10 6. grootheden vermenigvuldigen en

Nadere informatie

Meten en experimenteren

Meten en experimenteren Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding 3 oktober 006 Deel I Toevallige veranderlijken Steekproef Beschrijving van gegevens Histogram Gemiddelde en standaarddeviatie

Nadere informatie

Significante cijfers en meetonzekerheid

Significante cijfers en meetonzekerheid Inhoud Significante cijfers en meetonzekerheid... 2 Significante cijfers... 2 Wetenschappelijke notatie... 3 Meetonzekerheid... 3 Significante cijfers en meetonzekerheid... 4 Opgaven... 5 Opgave 1... 5

Nadere informatie

Wiskundige vaardigheden

Wiskundige vaardigheden Inleiding Bij het vak natuurkunde ga je veel rekenstappen zetten. Het is noodzakelijk dat je deze rekenstappen goed en snel kunt uitvoeren. In deze presentatie behandelen we de belangrijkste wiskundige

Nadere informatie

Introductie periode 2b. Fysische Chemie en Statistiek 1

Introductie periode 2b. Fysische Chemie en Statistiek 1 Introductie periode 2b Fysische Chemie en Statistiek 1 Assistenten: Fysische Chemie als andere tak van sport Geen synthese maar metingen Apparatuur en glaswerk Betrouwbaarheid en significantie Statistiek

Nadere informatie

Foutenberekeningen Allround-laboranten

Foutenberekeningen Allround-laboranten Allround-laboranten Inhoudsopgave INHOUDSOPGAVE... 2 LEERDOELEN :... 3 1. INLEIDING.... 4 2. DE ABSOLUTE FOUT... 5 3. DE KOW-METHODE... 6 4. DE RELATIEVE FOUT... 6 5. GROOTHEDEN VERMENIGVULDIGEN EN DELEN....

Nadere informatie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie Inleveren: Uiterlijk 15 februari voor 16.00 in mijn postvakje Afspraken Overleg is toegestaan, maar iedereen levert zijn eigen werk in. Overschrijven

Nadere informatie

Meten en experimenteren

Meten en experimenteren Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding 5 oktober 007 Catherine De Clercq Statistische verwerking van gegevens Kursus statistiek voor fysici door Jorgen D Hondt

Nadere informatie

Hiermee rekenen we de testwaarde van t uit: n. 10 ( x ) ,16

Hiermee rekenen we de testwaarde van t uit: n. 10 ( x ) ,16 modulus strepen: uitkomst > 0 Hiermee rekenen we de testwaarde van t uit: n 10 ttest ( x ) 105 101 3,16 n-1 4 t test > t kritisch want 3,16 >,6, dus 105 valt buiten het BI. De cola bevat niet significant

Nadere informatie

In het internationale eenhedenstelsel, ook wel SI, staan er negen basisgrootheden met bijbehorende grondeenheden. Dit is BINAS tabel 3A.

In het internationale eenhedenstelsel, ook wel SI, staan er negen basisgrootheden met bijbehorende grondeenheden. Dit is BINAS tabel 3A. Grootheden en eenheden Kwalitatieve en kwantitatieve waarnemingen Een kwalitatieve waarneming is wanneer je meet zonder bijvoorbeeld een meetlat. Je ziet dat een paard hoger is dan een muis. Een kwantitatieve

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3AA10)

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3AA10) TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3AA10) d.d. 30 oktober 2009 van 9:00 12:00 uur Vul de presentiekaart

Nadere informatie

Meten is weten, dat geldt ook voor het vakgebied natuurkunde. Om te meten gebruik je hulpmiddelen, zoals timers, thermometers, linialen en sensoren.

Meten is weten, dat geldt ook voor het vakgebied natuurkunde. Om te meten gebruik je hulpmiddelen, zoals timers, thermometers, linialen en sensoren. 1 Meten en verwerken 1.1 Meten Meten is weten, dat geldt ook voor het vakgebied natuurkunde. Om te meten gebruik je hulpmiddelen, zoals timers, thermometers, linialen en sensoren. Grootheden/eenheden Een

Nadere informatie

Sterrenkunde Praktikum 1 Fouten en fitten

Sterrenkunde Praktikum 1 Fouten en fitten Sterrenkunde Praktikum 1 Fouten en fitten Paul van der Werf 12 februari 2008 1 Inleiding In de sterrenkunde werken we vaak met zwakke signalen, of met grote hoeveelheden metingen van verschillende nauwkeurigheid.

Nadere informatie

Meten en experimenteren

Meten en experimenteren Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding 6 oktober 009 Catherine De Clercq Statistische verwerking van gegevens Kursus statistiek voor fysici door Jorgen D Hondt

Nadere informatie

bij het oplossen van vraagstukken uit Systematische Natuurkunde - deel VWO4

bij het oplossen van vraagstukken uit Systematische Natuurkunde - deel VWO4 bij het oplossen van vraagstukken uit Systematische Natuurkunde - deel VWO4 B.vanLeeuwen 2010 Hints 2 Inleiding voor de leerling: Bij het vak natuurkunde zul je en de bovenbouw van het VWO heel wat kennis

Nadere informatie

VAARDIGHEDEN EXCEL. MEETWAARDEN INVULLEN In de figuur hieronder zie je twee keer de ingevoerde meetwaarden, eerst ruw en daarna netjes opgemaakt.

VAARDIGHEDEN EXCEL. MEETWAARDEN INVULLEN In de figuur hieronder zie je twee keer de ingevoerde meetwaarden, eerst ruw en daarna netjes opgemaakt. VAARDIGHEDEN EXCEL Excel is een programma met veel mogelijkheden om meetresultaten te verwerken, maar het was oorspronkelijk een programma voor boekhouders. Dat betekent dat we ons soms in bochten moeten

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10)

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) en Tentamen Inleiding Experimentele Fysica voor Combi s (3NA10) d.d. 31 oktober 2011 van 9:00 12:00 uur Vul de

Nadere informatie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Inleveren: 12 januari 2011, VOOR het college Afspraken Serie 1 mag gemaakt en ingeleverd worden in tweetallen. Schrijf duidelijk je naam, e-mail

Nadere informatie

Werkblad havo 4 natuurkunde Basisvaardigheden

Werkblad havo 4 natuurkunde Basisvaardigheden Werkblad havo 4 natuurkunde Basisvaardigheden Grootheden en eenheden Bij het vak natuurkunde spelen grootheden en eenheden een belangrijke rol. Wat dat zijn, grootheden en eenheden? Een grootheid is een

Nadere informatie

Proefopstelling Tekening van je opstelling en beschrijving van de uitvoering van de proef.

Proefopstelling Tekening van je opstelling en beschrijving van de uitvoering van de proef. Practicum 1: Meetonzekerheid in slingertijd Practicum uitgevoerd door: R.H.M. Willems Hoe nauwkeurig is een meting? Onderzoeksvragen Hoe groot is de slingertijd van een 70 cm lange slinger? Waardoor wordt

Nadere informatie

Figuur 1: Voorbeelden van 95%-betrouwbaarheidsmarges van gemeten percentages.

Figuur 1: Voorbeelden van 95%-betrouwbaarheidsmarges van gemeten percentages. MARGES EN SIGNIFICANTIE BIJ STEEKPROEFRESULTATEN. De marges van percentages Metingen via een steekproef leveren een schatting van de werkelijkheid. Het toevalskarakter van de steekproef heeft als consequentie,

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) en Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3NA10)

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) en Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3NA10) TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) en Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3NA10) d.d. 23 januari 2012 van 9:00 12:00 uur Vul de presentiekaart

Nadere informatie

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE 1 DOEL VAN REGRESSIE ANALYSE De relatie te bestuderen tussen een response variabele en een verzameling verklarende variabelen 1. LINEAIRE REGRESSIE Veronderstel dat gegevens

Nadere informatie

Populaties beschrijven met kansmodellen

Populaties beschrijven met kansmodellen Populaties beschrijven met kansmodellen Prof. dr. Herman Callaert Deze tekst probeert, met voorbeelden, inzicht te geven in de manier waarop je in de statistiek populaties bestudeert. Dat doe je met kansmodellen.

Nadere informatie

vwo: Het maken van een natuurkunde-verslag vs 21062011

vwo: Het maken van een natuurkunde-verslag vs 21062011 Het maken van een verslag voor natuurkunde, vwo versie Deze tekst vind je op www.agtijmensen.nl: Een voorbeeld van een verslag Daar vind je ook een po of pws verslag dat wat uitgebreider is. Gebruik volledige

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Eindtoets Experimentele Fysica 1 (3A1X1) - Deel januari 2014 van 14:50 17:00 uur

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Eindtoets Experimentele Fysica 1 (3A1X1) - Deel januari 2014 van 14:50 17:00 uur TECHISCHE UIVERSITEIT EIDHOVE Eindtoets Experimentele Fysica 1 (3A1X1) - Deel januari 014 van 14:50 17:00 uur Gebruik van dictaat, aantekeningen en laptop computer is niet toegestaan Gebruik van (grafische)

Nadere informatie

G0N11a Statistiek en data-analyse: project Eerste zittijd Modeloplossing

G0N11a Statistiek en data-analyse: project Eerste zittijd Modeloplossing G0N11a Statistiek en data-analyse: project Eerste zittijd 2007-2008 Modeloplossing Opmerking vooraf: Deze modeloplossing is een heel volledig antwoord op de gestelde vragen. Om de maximumscore op een vraag

Nadere informatie

Inleiding tot de natuurkunde

Inleiding tot de natuurkunde OBC Inleiding tot de Natuurkunde 01-08-2010 W.Tomassen Pagina 1 Hoofdstuk 1 : Hoe haal ik hoge cijfers. 1. Maak van elke paragraaf een samenvatting. (Titels, vet/schuin gedrukte tekst, opsommingen en plaatsjes.)

Nadere informatie

Rekenen aan wortels Werkblad =

Rekenen aan wortels Werkblad = Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden

Nadere informatie

2 Meetwaarden verschillen. Hoe komt dat? 3 Spreiding van data (meetresultaten)

2 Meetwaarden verschillen. Hoe komt dat? 3 Spreiding van data (meetresultaten) Info Statistiek 1 Precisie en juistheid Precisie en juistheid van metingen 1.1 t/m 1.2 Absolute en relatieve onnauwkeurigheid 1.3 Nauwkeurigheid verbeteren door duplo en triplo 1.4 Notatie van onnauwkeurigheden

Nadere informatie

Statistiek en Data Analyse Opgavenserie 3: Lineaire regressie

Statistiek en Data Analyse Opgavenserie 3: Lineaire regressie Statistiek en Data Analyse Opgavenserie 3: Lineaire regressie Inleveren: uiterlijk maandag 6 februari 16.00 bij Marianne Jonker (Kamer: R3.46) Afspraken De opdrachten maak je in tweetallen. Schrijf duidelijk

Nadere informatie

Theorie: Het maken van een verslag (Herhaling klas 2)

Theorie: Het maken van een verslag (Herhaling klas 2) Theorie: Het maken van een verslag (Herhaling klas 2) Onderdelen Een verslag van een experiment bestaat uit vier onderdelen: - inleiding: De inleiding is het administratieve deel van je verslag. De onderzoeksvraag

Nadere informatie

Een kogel die van een helling afrolt, ondervindt een constante versnelling. Deze versnelling kan berekend worden met de formule:

Een kogel die van een helling afrolt, ondervindt een constante versnelling. Deze versnelling kan berekend worden met de formule: Voorbeeldmeetrapport (eenparig versnelde beweging stopwatch en meetlat) Eenparig versnelde beweging stopwatch en meetlat. Doel van de proef Een kogel die van een helling afrolt, voert een eenparig versnelde

Nadere informatie

DEEL II DOEN! - Praktische opdracht statistiek WA- 4HAVO

DEEL II DOEN! - Praktische opdracht statistiek WA- 4HAVO DEEL II DOEN! - Praktische opdracht statistiek WA- 4HAVO Leerlingmateriaal 1. Doel van de praktische opdracht Het doel van deze praktische opdracht is om de theorie uit je boek te verbinden met de data

Nadere informatie

Practicum algemeen. 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag

Practicum algemeen. 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag Practicum algemeen 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag 1 Diagrammen maken Onafhankelijke grootheid en afhankelijke grootheid In veel experimenten wordt

Nadere informatie

XXX INTERNATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE PADUA, ITALIË PRACTICUM-TOETS

XXX INTERNATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE PADUA, ITALIË PRACTICUM-TOETS XXX INTERNATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE PADUA, ITALIË PRACTICUM-TOETS 20 juli 1999 13.1 practicum toets ---63 De Torsieslinger In dit experiment bestuderen we een relatief complex mechanisch systeem een

Nadere informatie

We illustreren deze werkwijze opnieuw a.h.v. de steekproef van de geboortegewichten

We illustreren deze werkwijze opnieuw a.h.v. de steekproef van de geboortegewichten Hoofdstuk 8 Betrouwbaarheidsintervallen In het vorige hoofdstuk lieten we zien hoe het mogelijk is om over een ongekende karakteristiek van een populatie hypothesen te formuleren. Een andere manier van

Nadere informatie

Het gebruik van Excel 2007 voor statistische analyses. Een beknopte handleiding.

Het gebruik van Excel 2007 voor statistische analyses. Een beknopte handleiding. Het gebruik van Excel 2007 voor statistische analyses. Een beknopte handleiding. Bij Excel denken de meesten niet direct aan een statistisch programma. Toch biedt Excel veel mogelijkheden tot statistische

Nadere informatie

Tentamen Planning 2de semester Wetenschappelijk verslag Lenzen en Hydrodynamica. 17 februari 2006 Meten en experimenteren 1

Tentamen Planning 2de semester Wetenschappelijk verslag Lenzen en Hydrodynamica. 17 februari 2006 Meten en experimenteren 1 Tentamen Planning 2de semester Wetenschappelijk verslag Lenzen en Hydrodynamica 17 februari 2006 Meten en experimenteren 1 tentamen Wie minimum 10/20 heeft behaald op het tentamen is vrijgesteld van het

Nadere informatie

Spanningscoëfficiënt water. 1 Doel 1. 2 Theorie 1

Spanningscoëfficiënt water. 1 Doel 1. 2 Theorie 1 Proefnummer : FE3-W5-WA1 Naam schrijver : René van Velzen Naam medewerker : Guillaume Goijen klas en PGO-groep : TN-P2, Groep 1 Datum practicum : 4 Oktober 2007 Datum inlevering : 11 Oktober 2007 Inhoudsopgave

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 3. Populatie en steekproef. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 3. Populatie en steekproef. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Kansmodellen. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg . Populatie: een intuïtieve definitie.... Een

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

Goed aan wiskunde doen

Goed aan wiskunde doen Goed aan wiskunde doen Enkele tips Associatie K.U.Leuven Tim Neijens Katrien D haeseleer Annemie Vermeyen Maart 2011 Waarom? Dit document somt de belangrijkste aandachtspunten op als je een wiskundeopgave

Nadere informatie

Inleiding tot de natuurkunde

Inleiding tot de natuurkunde OBC Inleiding tot de Natuurkunde 01-09-2009 W.Tomassen Pagina 1 Inhoud Hoofdstuk 1 Rekenen.... 3 Hoofdstuk 2 Grootheden... 5 Hoofdstuk 3 Eenheden.... 7 Hoofdstuk 4 Evenredig.... 10 Inleiding... 10 Uitleg...

Nadere informatie

NATUURKUNDE OLYMPIADE EINDRONDE 2013 PRAKTIKUMTOETS

NATUURKUNDE OLYMPIADE EINDRONDE 2013 PRAKTIKUMTOETS NATUURKUNDE OLYMPIADE EINDRONDE 13 PRAKTIKUMTOETS Opmerkingen 1. Schrijf bovenaan elk papier je naam.. Nummer elke bladzijde. 3. Schrijf op de eerste pagina het totale aantal bladen dat je inlevert. 4.

Nadere informatie

2 Spreidingsvoortplanting

2 Spreidingsvoortplanting Spreidingsvoortplanting Spreidingsvoortplanting In het vorige hoofdstuk hebben we ons beiggehouden met eenvoudige analyses achteraf van meetgegeven. Naast analyse achteraf van data is het ook belangrijk

Nadere informatie

Klantonderzoek: statistiek!

Klantonderzoek: statistiek! Klantonderzoek: statistiek! Statistiek bij klantonderzoek Om de resultaten van klantonderzoek juist te interpreteren is het belangrijk de juiste analyses uit te voeren. Vaak worden de mogelijkheden van

Nadere informatie

De Wetenschappelijke notatie

De Wetenschappelijke notatie De Wetenschappelijke notatie Grote getallen zijn vaak lastig te lezen. Hoeveel is bijvoorbeeld 23000000000000? Eén manier om het lezen te vergemakkelijken is het zetten van puntjes of spaties: 23.000.000.000.000

Nadere informatie

Aan de slag met de nieuwe leerplannen fysica 2 de graad ASO

Aan de slag met de nieuwe leerplannen fysica 2 de graad ASO Aan de slag met de nieuwe leerplannen fysica 2 de graad ASO M. De Cock, G. Janssens, J. Vanhaecht zaterdag 17 november 2012 Specifieke Lerarenopleiding Natuurwetenschappen: Fysica http://fys.kuleuven.be/alon

Nadere informatie

1. Orthogonale Hyperbolen

1. Orthogonale Hyperbolen . Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Eindtoets Experimentele Fysica 1 (3A1X1) - Deel 2. 6 november 2015 van 10:00 12:00 uur

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Eindtoets Experimentele Fysica 1 (3A1X1) - Deel 2. 6 november 2015 van 10:00 12:00 uur TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Eindtoets Experimentele Fysica 1 (3A1X1) - Deel 2 6 november 2015 van 10:00 12:00 uur Puntenwaardering voor de opgaven: Opgave 1: a) 4; b) 6; c) 5 Opgave 2: a) 5; b) 3;

Nadere informatie

Korte uitleg van twee veelvoorkomende statistische toetsen Veel wetenschappelijke hypothesen kunnen statistisch worden getoetst. Aan de hand van een

Korte uitleg van twee veelvoorkomende statistische toetsen Veel wetenschappelijke hypothesen kunnen statistisch worden getoetst. Aan de hand van een Korte uitleg van twee veelvoorkomende statistische toetsen Veel wetenschappelijke hypothesen kunnen statistisch worden getoetst. Aan de hand van een statistische toets beslis je of een hypothese waar is.

Nadere informatie

Meetfouten, afronding, voorvoegsels en eenheden

Meetfouten, afronding, voorvoegsels en eenheden Meetfouten, afronding, voorvoegsels en eenheden Meetfouten In de wiskunde werken we meestal met exacte getallen: 2π, 5, 3, 2 log 3. Ook in natuurwetenschappelijke vakken komen exacte getallen voor, maar

Nadere informatie

EXACT- Periode 1. Hoofdstuk Grootheden. 1.2 Eenheden.

EXACT- Periode 1. Hoofdstuk Grootheden. 1.2 Eenheden. EXACT- Periode 1 Hoofdstuk 1 1.1 Grootheden. Een grootheid is in de natuurkunde en in de chemie en in de biologie: iets wat je kunt meten. Voorbeelden van grootheden (met bijbehorende symbolen): 1.2 Eenheden.

Nadere informatie

Statistiek 1. R.J. Baars, MSc Kruytgebouw N710 december 2013

Statistiek 1. R.J. Baars, MSc Kruytgebouw N710 december 2013 Statistiek 1 R.J. Baars, MSc Kruytgebouw N710 r.j.baars@uu.nl december 2013 Opbouw van statistiek Statistiek 1 (periode 2: vandaag) Dit college + zelfstudie + thuisopdracht Statistiek 2 (periode 3: 3/10/17

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde A, (nieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs 0 0 Tijdvak Inzenden scores Uiterlijk op 5 juni de scores van de alfabetisch eerste vijf kandidaten per school

Nadere informatie

Waterweerstand. 1 Inleiding. VWO Bovenbouwpracticum Natuurkunde Practicumhandleiding

Waterweerstand. 1 Inleiding. VWO Bovenbouwpracticum Natuurkunde Practicumhandleiding VWO Bovenbouwpracticum Natuurkunde Practicumhandleiding Waterweerstand 1 Inleiding Een bewegend vaartuig ondervindt altijd weerstand van het langsstromende water: het water oefent een wrijvingskracht uit

Nadere informatie

Statistiek = leuk + zinvol

Statistiek = leuk + zinvol Statistiek = leuk + zinvol Doel 1: Doel : Doel 3: zie titel een statistisch onderzoek kunnen beoordelen een statistisch onderzoek kunnen opzetten een probleem vertalen in standaardmethoden gegevens verzamelen,

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

1 Rekenen met gehele getallen

1 Rekenen met gehele getallen 1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9

Nadere informatie

Cursus TEO: Theorie en Empirisch Onderzoek. Practicum 2: Herhaling BIS 11 februari 2015

Cursus TEO: Theorie en Empirisch Onderzoek. Practicum 2: Herhaling BIS 11 februari 2015 Cursus TEO: Theorie en Empirisch Onderzoek Practicum 2: Herhaling BIS 11 februari 2015 Centrale tendentie Centrale tendentie wordt meestal afgemeten aan twee maten: Mediaan: de middelste waarneming, 50%

Nadere informatie

Bijlage 9 5. TESTEN VAN HET VOERTUIG OP DE TESTBAAN, DE WEG OF DE ROLLENBANK

Bijlage 9 5. TESTEN VAN HET VOERTUIG OP DE TESTBAAN, DE WEG OF DE ROLLENBANK Bijlage 9 E/ECE/324 Rev.1/Add.82/Rev.3 bladzijde 229 Bijlage 4 Aanhangsel 1 TEST VAN TYPE V (beschrijving van de uithoudingstest ter controle van de duurzaamheid van de voorzieningen tegen verontreiniging)

Nadere informatie

Wiskunde B - Tentamen 2

Wiskunde B - Tentamen 2 Wiskunde B - Tentamen Tentamen van Wiskunde B voor CiT (57) Donderdag 4 april 005 van 900 tot 00 uur Dit tentamen bestaat uit 8 opgaven, 3 tabellen en formulebladen Vermeld ook je studentnummer op je werk

Nadere informatie

Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1

Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Wortels uit willekeurige getallen In paragraaf 1.3.5 hebben we het worteltrekalgoritme besproken. Dat deden we aan de hand van de relatie tussen de (van tevoren gegeven)

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig

Trillingen en geluid wiskundig Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Radialen 3 Uitwijking van een harmonische trilling 4 Macht en logaritme 5 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Sinus van een hoek

Nadere informatie

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk

Nadere informatie

Je kunt al: -de centrummaten en spreidingsmaten gebruiken -een spreidingsdiagram gebruiken als grafische weergave van twee variabelen

Je kunt al: -de centrummaten en spreidingsmaten gebruiken -een spreidingsdiagram gebruiken als grafische weergave van twee variabelen Lesbrief: Correlatie en Regressie Leerlingmateriaal Je leert nu: -een correlatiecoëfficient gebruiken als maat voor het statistische verband tussen beide variabelen -een regressielijn te tekenen die een

Nadere informatie

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8 Tentamen Statistische methoden 4052STAMEY juli 203, 9:00 2:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het meerkeuzevragenformulier uw Delftse studienummer in (tbv automatische verwerking); en op het open

Nadere informatie

Stochastiek 2. Inleiding in the Mathematische Statistiek. staff.fnwi.uva.nl/j.h.vanzanten

Stochastiek 2. Inleiding in the Mathematische Statistiek. staff.fnwi.uva.nl/j.h.vanzanten Stochastiek 2 Inleiding in the Mathematische Statistiek staff.fnwi.uva.nl/j.h.vanzanten 1 / 12 H.1 Introductie 2 / 12 Wat is statistiek? - 2 Statistiek is de kunst van het (wiskundig) modelleren van situaties

Nadere informatie

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur.

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (WS05), vrijdag 9 oktober 010, van 14.00 17.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Eindtoets 3BTX1: Thermische Fysica. Datum: 3 juli 2014 Tijd: uur Locatie: paviljoen study hub 2 vak c & d

Eindtoets 3BTX1: Thermische Fysica. Datum: 3 juli 2014 Tijd: uur Locatie: paviljoen study hub 2 vak c & d Eindtoets 3BTX1: Thermische Fysica Datum: 3 juli 2014 Tijd: 9.00-12.00 uur Locatie: paviljoen study hub 2 vak c & d Deze toets bestaat uit 3 opgaven die elk op een nieuwe pagina aanvangen. Maak de opgaven

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Wanda Guedens en Monique Reynders. Universiteit Hasselt, België

Wanda Guedens en Monique Reynders. Universiteit Hasselt, België Wanda Guedens en Monique Reynders Universiteit Hasselt, België Van chemisch experiment tot wiskundig model Hoe chemie en wiskunde elkaars maatje worden Data-analyse komt neer op het zoeken naar onderlinge

Nadere informatie

Toets Spectroscopie. Maandag 26 oktober 2015, 9:00-12:00 uur Educatorium, Zaal Alfa. Lees dit eerst!

Toets Spectroscopie. Maandag 26 oktober 2015, 9:00-12:00 uur Educatorium, Zaal Alfa. Lees dit eerst! Toets Spectroscopie Maandag 26 oktober 2015, 9:00-12:00 uur Educatorium, Zaal Alfa Lees dit eerst! Graag op alle papieren die je inlevert je naam en studentnummer vermelden. Je mag bij het oplossen van

Nadere informatie

Statistiek 2 deel A 30 minuten over statistisch toetsen

Statistiek 2 deel A 30 minuten over statistisch toetsen Statistiek 2 deel A 30 minuten over statistisch toetsen R.J. Baars, MSc Kruytgebouw N710 r.j.baars@uu.nl februari 2014 Opbouw van statistiek Statistiek 1 (periode 2: vandaag) Dit college + zelfstudie +

Nadere informatie

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde 8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige

Nadere informatie

Examen VWO - Compex. wiskunde A1,2

Examen VWO - Compex. wiskunde A1,2 wiskunde A1,2 Examen VWO - Compex Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 25 mei totale examentijd 3 uur 20 05 Vragen 1 tot en met 13 In dit deel staan de vragen waarbij de computer

Nadere informatie

Samenvattingen 5HAVO Wiskunde A.

Samenvattingen 5HAVO Wiskunde A. Samenvattingen 5HAVO Wiskunde A. Boek 1 H7, Boek 2 H7&8 Martin@CH.TUdelft.NL Boek 2: H7. Verbanden (Recht) Evenredig Verband ( 1) Omgekeerd Evenredig Verband ( 1) Hyperbolisch Verband ( 2) Machtsverband

Nadere informatie

Statistiek. Statistiek in het laboratorium van de ziekenhuisapotheek; deel 1.

Statistiek. Statistiek in het laboratorium van de ziekenhuisapotheek; deel 1. Statistiek Statistiek in het laboratorium van de ziekenhuisapotheek; deel 1. M.C. de Brouwer M.C.J. Langen Laboratorium van de ziekenhuisapotheek Midden-Brabant Maria ziekenhuis Dr. Deelenlaan 5 5042 AD

Nadere informatie

Inleiding statistiek

Inleiding statistiek Inleiding Statistiek Pagina 1 uit 8 Inleiding statistiek 1. Inleiding In deze oefeningensessie is het de bedoeling jullie vertrouwd te maken met een aantal basisbegrippen van de statistiek, meer bepaald

Nadere informatie

Vermogen snelheid van de NXT

Vermogen snelheid van de NXT Vermogen snelheid van de NXT Inleiding In deze meting gaan we op zoek naar een duidelijk verband tussen de vermogens die je kunt instellen op de LEGO NXT en de snelheid van het standaardwagentje uit het

Nadere informatie

De wijde wereld in wandelen

De wijde wereld in wandelen 127 De wijde wereld in wandelen Valrisico schatten door het meten van lopen in het dagelijks leven Om een stap verder te komen in het schatten van valrisico heb ik het lopen in het dagelijks leven bestudeerd.

Nadere informatie

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter 25 februari, 2008 Hans Maassen 1. Inleiding Het Kalman filter schat de toestand van een systeem op basis van een reeks, door ruis verstoorde waarnemingen. Een meer

Nadere informatie

Data analyse Inleiding statistiek

Data analyse Inleiding statistiek Data analyse Inleiding statistiek 1 Terugblik - Inductieve statistiek Afleiden van eigenschappen van een populatie op basis van een beperkt aantal metingen (steekproef) Kennis gemaakt met kans & kansverdelingen»

Nadere informatie

Les 1: Waarschijnlijkheidrekening

Les 1: Waarschijnlijkheidrekening Les 1: Waarschijnlijkheidrekening A Men neemt een steekproef van 1000 appelen. Deze worden ingedeeld volgens gewicht en volgens symptomen van een bepaalde schimmel: geen, mild, gematigd of ernstig. Het

Nadere informatie

4 Optimale weegschema s

4 Optimale weegschema s 20 Proceedings of the 52 nd European Study Group with Industry 4 Optimale weegschema s Sandjai Bhulai, Thomas Breuer, Eric Cator en Fieke Dekkers Inleiding De kilogram is de laatste fysische grootheid

Nadere informatie

Experiment: massadichtheid

Experiment: massadichtheid Inleiding In deze workshop willen we aan de hand van een praktijkvoorbeeld voor de lessen fysica in het derde jaar aangeven hoe de TI-83 plus een handig hulpmiddel kan zijn bij het verwerken van meetresultaten.

Nadere informatie

Ar(C) = 12,0 u / 1 u = 12,0 Voor berekeningen ronden we de atoommassa s meestal eerst af tot op 1 decimaal. Voorbeelden. H 1,0 u 1,0.

Ar(C) = 12,0 u / 1 u = 12,0 Voor berekeningen ronden we de atoommassa s meestal eerst af tot op 1 decimaal. Voorbeelden. H 1,0 u 1,0. 5. Chemisch rekenen 1. Atoommassa De SI-eenheid van massa is het kilogram (kg). De massa-eenheid die we voor atomen gebruiken is u (unit). 1 27 1 u 1,66 10 kg m 6 C-nuclide m(h) = 1,0 u m(o) = 16,0 u m(c)

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Tolerantiegebied. H. Haitjema. Het schatten van onzekerheden bij (geometrische) metingen

Tolerantiegebied. H. Haitjema. Het schatten van onzekerheden bij (geometrische) metingen H. Haitjema Het schatten van onzekerheden bij (geometrische) metingen Inleiding Het berekenen van onzekerheden werd lange tijd beschouwd als een hobby van enkele specialisten van nationale standaardenlaboratoria.

Nadere informatie

Rekenen met verhoudingen

Rekenen met verhoudingen Rekenen met verhoudingen Groep 6, 7 Achtergrond Leerlingen moeten niet alleen met de verhoudingstabel kunnen werken wanneer die al klaar staat in het rekenboek, ze moeten ook zelf een verhoudingstabel

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Tentamen Biostatistiek voor BMT (2S390) op 17-11-2003 U mag alleen gebruik maken van een onbeschreven Statistisch Compendium (dikt. nr. 2218) en van een zakrekenmachine.

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

En natuurwetenschappelijk onderzoek en het verslag daarvan (categorie 3)

En natuurwetenschappelijk onderzoek en het verslag daarvan (categorie 3) En natuurwetenschappelijk onderzoek en het verslag daarvan (categorie 3) Bij een natuurwetenschappelijk onderzoek probeer je een verband te leggen tussen theorie en praktijk. De proef, het experiment,

Nadere informatie

Inleidende begrippen over foutentheorie

Inleidende begrippen over foutentheorie Hoofdstuk 1 Inleidende begrippen over foutentheorie Doelstellingen 1. leren omgaan met fouten op een meting 2. kennis van statistische basisbegrippen 3. meetgegevens verwerken en interpreteren (in Excell)

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodellen en normaal verdeelde steekproefgrootheden 5. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 12 Donderdag 21 Oktober 1 / 38 2 Statistiek Indeling: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 38 Deductieve

Nadere informatie

Experimenteel onderzoek

Experimenteel onderzoek Newton - VWO Experimenteel onderzoek Samenvatting Soorten onderzoek experimenteel onderzoek - de opzet van een experimenteel onderzoek hangt af van het onderzoeksdoel literatuuronderzoek - over een bepaald

Nadere informatie