Kansrekenen en statistiek. Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven

Transcriptie

1 Kansrekenen en statistiek Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven Academiejaar

2 Hoofdstuk 2 Beschrijvende statistiek Meerkeuzevraag 1 Opeenvolgende metingen van de levensduur van 5 batterijen leveren volgend resultaat (in uren): 13.5, 12.4, 22.2, 14.2, 17.8 (1) De interkwartielafstand (IQR), afgerond op 2 cijfers, komt overeen met: Oplossing De onderkwartiel is gelijk aan: i i 0.5 n x i Q 0.25 = Q 0.25 = (2) De bovenkwartiel is gelijk aan: Q 0.75 = Q 0.75 = 18.9 (3) De interkwartielafstand is dus gelijk aan: IQR = Q 0.75 Q 0.25 IQR = 5.68 (4) 1

3 Meerkeuzevraag 5 De maximum jaarlijkse windsnelheid tijdens 5 opeenvolgende jaren komt overeen met: 15.2, 17.1, 16.2, 15.8, 16.9 (5) De interkwartielsafstand, zoals afgeleid uit de empirische kwantielplot, komt dan overeen met: Oplossing De onderkwartiel is gelijk aan: i i 0.5 n x i Q 0.75 = Q 0.75 = (6) De bovenkwartiel is gelijk aan: Q 0.25 = Q 0.25 = (7) De interkwartielafstand is dus gelijk aan: IQR = Q 0.75 Q IQR = (8) Meerkeuzevraag 7 Men meet de zijde X van 20 perfecte vierkante RAMs. De interkwartielafstand is 0.02 mm. Het gemiddelde van de beneden- en bovenkwartiel is 9.8 mm. Wat kan men stellen betreffende de interkwartielafstand van de oppervlakte X 2 van de chips? 2

4 Oplossing Gegeven: Q 0.75,X = (9) Q 0.25,X = (10) Stel Y = X 2. Dan geldt: Q Y = Q 2 X (11) Toegepast op Vergelijkingen?? en?? geeft dat: Q 0.75,Y = ( ) 2 (12) Q 0.25,Y = ( ) 2 (13) De interkwartielafstand van X 2 = Y is dan gelijk aan: IQR X 2 = ( ) 2 ( ) 2 IQR X 2 = (14) Meerkeuzevraag 9 Voor een steekproef van 10 metingen van een variabele X, vindt men volgende statistieken: x = 52.3 s x = 2.1 x 0.25 = 47.1 x 0.75 = 57.5 Oplossing (1) Interkwartielafstand van X 2 IQR X 2 = 2IQR X Q 0.75,X + Q 0.25,X 2 IQR X 2 = (15) (2) (x i x) 2 i (x i x) 2 = (n 1)s 2 (x i x) 2 = i (16) 3

5 (3) s 2 Y Voor Y = 5 + 6X: s 2 Y = (6s X ) 2 s 2 Y = (17) (4) y 0.5 Voor Y = X 52.3 : y 0.25 = = 5.2 y 0.75 = = 5.2 (18) Aangezien beneden- en bovenkwartiel gelijk zijn, is de mediaan ook gelijk aan deze waarden van

6 Hoofdstuk 3 Basisbegrippen kansrekenen Oefening 1 Wafers voor geïntegreerde schakelingen worden geproduceerd door cathodevertuiving. Volgende tabel beschrijft de proportie van de wafers in functie van het aantal contaminaties op een wafer en de positie van de wafer relatief ten opzichte van de cathode: aantal contaminaties centrum hoek of meer welk zijn de toevalsvariablen die worden geobserveerd en wat is de uitkomstenverzameling? 2. wat is de kans dat een lukraak gekozen wafer in het centrum ligt? 3. wat is de kans dat een lukraak gekozen wafer 4 of meer contaminaties bevat? 4. als een wafer 4 of meer contaminaties bevat, wat is de kans dat het in het centrum lag? 5. als in wafer in het centrum ligt, wat is de kans dat het 4 of meer contaminaties bevat? 6. wat is de kans dat een lukraak gekozen wafer 4 of meer contaminaties bevat of in het centrum ligt? 7. is de gebeurtenis 4 of meer contaminaties en de gebeurtenis in het centrum onafhankelijk? 5

7 Oplossing (1) toevalsvariabelen en uitkomstenverzameling A is het aantal contaminaties met als uitkomstenverzameling: Ω A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} (19) B is de positie met als uitkomstenverzameling: Ω B = {centrum, hoek} (20) De totale uitkomstenverzameling is een unie van die van A en B: Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, centrum, hoek} (21) (2) P(centrum) P (centrum) = = 0.72 (22) (3) P(A 4) P (A 4) = P (A = 4) + P (A 5) = ( ) + ( ) = 0.15 (23) (4) P(B = centrum A 4) P (B = centrum A 4( P (B = centrum A 4) = P (A 4) = 0.15 = 0.73 (24) (5) P(A 4 B = centrum) P (A 4 B = centrum) P (A 4 B = centrum) = P (B = centrum) = 0.72 = (25) 6

8 (6) P(A 4 B = centrum) P (A 4 B = centrum) = P (A 4) + P (B = centrum) P (A 4 B = centrum) = ( ) = 0.76 (26) (7) afhankelijkheid Aangezien Vergelijking?? en?? niet aan elkaar gelijk zijn, zijn de twee gebeurtenissen afhankelijk 7

9 Hoofstuk 10 Intervalschattingen Oefening 1 In het artikel Mix Design for Optimal Strength Developement of Fly Ash Concrete onderzoekt men de druksterkte van beton die met vliegas wordt vermengd. De druksterke van 9 proefmonsters in droge conditie op de 28ste dag is als volgt: 40.2, 30.4, 28.9, 30.5, 22.4, 25.8, 18.4, 14.2, 15.3 (27) 1. bereken een 99% links-eenzijdig betrouwbaarheidsinterval voor de gemiddelde druksterkte. Wat is de praktische betekenis van dit interval? 2. bereken een 95% tweezijdig betrouwbaarheidsinterval voor de gemiddelde druksterke Antwoord (1) links-eenzijdig Aangezien σ x niet gekend is, kunnen we dit schatten met S x en hebben we met een t-verdeling te maken: X µ x n S x t n 1 (28) met n = 9 en α = Uit de kanstabel volgt dan: t 0.01,8 = (29) De schatter S x is gelijk aan: S 2 x = 1 n 1 S x = 8.45 (x i x) 2 i (30) Dit invullen in Vergelijking?? geeft: X = (31) 8

10 Het betrouwbaarheidsinterval is gegeven door: [ ] S x BI 0, x + t 0.01,8 n BI [0, 33.25] (32) (2) tweezijdig Voor een betrouwbaarheid van 95% is α gelijk aan Het betrouwbaarheidsinterval is dan gelijk aan: [ ] S x S BI x t 0.025,8 x, x + t 0.01,8 n n (33) BI [18.65, ] Oefening 2 Het besturingssysteem van een pc is uitvoerig bestudeerd en men weet dat de standaarddeviatie van de responsietijd voor een bepaald commando overeenkomt met σ = 8 ms. Een nieuwe versie van het besturingssysteem wordt geïnstalleerd en men wenst de gemiddelde responsietijd van dit nieuwe systeem te bepalen zodat het 95% tweezijdig betrouwbaarheidsinterval overeenkomt met ten hoogste 5 ms. Als we mogen veronderstellen dat de responsietijd normaal verdeeld is en dat σ = 8 ms voor het nieuwe systeem, welke steekproefomvang zou u dan voorstellen? Antwoord Volgende waarden zijn gegeven: σ = 8 ms intervalbreedte = 5 ms betrouwbaarheid = 95% De intervalbreedte is gegeven door: 2z σ n (34) Voor een 95%-betrouwbaarheidsinterval geldt: De steekproefomvang is dus gelijk aan (uit Vergelijking??): z = 1.96 (35) n is dus gelijk aan 40. 2z σ n 5 n 39.3 (36) 9

11 Oefening 3 De treksterkete van garendraad geleverd door twee verschillende producenten wordt onderzocht. Uit ervaring weet men dat voor de twee productenten de standaarddeviateis overeenkomen met σ 1 = 5 psi en σ 2 = 4 psi. Een lukrake steekproef van 20 monsters van elk van de producenten levert volgend resultaat voor de gemiddelde treksterkte: x 1 = 88 psi en x 2 = 91 psi. Bereken een 90% tweezijdig betrouwbaarheidsinterval voor het verschil in gemiddelde treksterkte. Is er enig bewijs dat het garen van de tweede producent een hogere gemiddelde treksterkte heeft? Antwoord Het betrouwbaarheidsinterval van X 1 X 2 is gegeven door: BI = ( x 1 x 2 ) z 0.05 σ 2 1 n 1 + σ2 2 n 2, ( x 1 x 2 ) + z 0.05 σ σ2 2 (37) n 1 n 2 De gegeven waarden invullen met z 0.05 = geeft: BI = [ 5.36, 0.65] (38) In dit interval komt de waarde nul niet voor, dus men kan met 90% betrouwbaarheid zeggen dat µ x2 groter is dan µ x1. Oefening 4 Veronderstel in voorgaande oefening dat men een 90% tweezijdig betrouwbaarheidsinterval wenst op te stellen voor µ 1 µ 2 zodat de fout bij de schatting van dit verschil kleiner is dan 1.5 psi. Welke steekproefomvang dient men in dit geval te gebruiken? Oplossing Als de fout kleiner moet zijn dan 1.5 psi moet het betrouwbaarheidsinterval kleiner zijn dan 3 psi. De breedte van dit interval is gegeven door: σ 2 BI 2z n + σ2 2 n (39) Dit gelijkstellen aan 3 psi en n eruit halen geeft: 2z 0.05 σ 2 1 n + σ2 2 n 3 n 49.3 (40) 10

12 n moet dus gelijk zijn aan 50. Oefening 5 Eeen artikel betreft de faalmechanismen van een plasma-gesproeide thermische isolatie-deklaag. De spanning waarbij faling optreedt voor een bepaald type deklaag wordt gemeten voor 2 verschillende testopstellingen en men vindt: test 1: 19.8, 18.5, 17.6, 16.7, 16.7, 14.8, 15.4, 14.1, 13.6 test 2: 14.9, 12.7, 11.9, 11.4, 10.1, 7.9 Bereken een 99% tweezijdig betrouwbaarheidsinterval voor het verschil in de gemiddelde faalspanning voor de twee testopstellingen Welke veronderstellingen heb je nodig om voorgaand interval op te stellen? Oplossing De standaarddeviaties zijn niet gekend. Er zijn dus twee mogelijkheden: ofwel zijn ze gelijk voor beide testen, ofwel verschillend. Voor beide testen kunnen x i en S xi bepaald worden. Deze zijn: { x 1 = 16.4 x 2 = 11.5 { S x1 = 2.01 S x2 = 2.37 (41) S x1 is niet significant verschillend van S x2. We kunnen er dus vanuit gaan dat dat voor de standaarddeviaties ook niet het geval gaat zijn. Voor gelijke standaarddeviaties is de uitdrukking van het betrouwbaarheidsinterval: [ 1 BI = x 1 x 2 t α 2,n 1+n 2 2S + 1 1, x 1 x 2 + t α 2 n 1 n,n 1+n 2 2S + 1 ] (42) 2 n 1 n 2 met Alles invullen geeft: S = (n 1 1)S (n 2 1)S 2 2 n 1 + n 2 2 (43) BI = [1.42, 8.38] (44) 11

13 Oefening 6 Een publicatie betreft fouten in de bedrading van transportvliegtuigen die verkeerde cockpitinformatie tot gevolg kunnen hebben. Zulk een fout is mogelijk verantwoordelijk voor het neerstorten van een British Midland Airways vliegtuig in januari 1989, waarbij de piloot de verkeerde motor afsloot. Bij 1600 lukraak gekozen vliegtuigen vond men in 8 gevallen een bedradingsfout die verkeerde informatie tot gevolg zou kunnen hebben. 1. bereken een 95% tweezijdig betrouwbaarheidsinterval voor de proportie vliegtuigen met dergelijke fouten 2. veronderstel dat we steekproefomvang gebruiken om een schatter op te stellen van p. Welke steekproefomvang dient men te gebruiken indien men wenst dat de geschatte waarde van p met 99% betrouwbaarheid ten hoogst verschilt van de werkelijke waarde? 3. hoe groot dient de steekproefomvang te zijn indien men wenst dat met 99% betrouwbaarheid de steekproefproportie ten hoogste 0.01 verschilt van de werkelijke waarde van p, ongeacht de waarde van p (d.w.z. men beschikt neit over een voorafgaande schatting) Oplossing Gegeven is: n = 1600 ˆp = = (1) betrouwbaarheidsinterval Het betrouwbaarheidsinterval is gegeven door: [ ] ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) BI = ˆp z α, ˆp + z α 2 2 n n met z = Dit invullen geeft: (45) BI = [0.0015, ] (46) (2) steekproefomvang Als de fout maximaal mag zijn, mag het interval maximaal 0.01 breed zijn. Dit wordt dus: De steekproefomvang is dus gelijk aan ˆp(1 ˆp) 2z n n (47) 12

14 (3) steekproefomvang Als de fout maximaal 0.01 mag zijn, mag het interval maximaal 0.02 breed zijn. Dit wordt dus: ˆp(1 ˆp) 2z n n (48) De steekproefomvang is dus gelijk aan